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Difracción Láser por un CD

Con la medición de la difracción producida de un haz láser del que conocemos su longitud de onda,

calcularemos la distancia entre surcos de un CD de 700 MB – 80 min., así como la distancia total del surco

enrollado en el CD. Para el montaje disponemos de un láser de verde 532 nm, un CD al que se le ha

desprovisto de la capa metalizada que lo recubre y una cinta métrica. En el siguiente gráfico podemos

apreciar como quedan dispuestos el montaje de los distintos elementos.

Incorporando ya en el gráfico las medidas de las distancias L y d.

Conociendo la longitud de onda del haz incidente la distancia 𝝆 entre surcos de la red de difracción es igual a:

𝜌 =𝜆

𝑠𝑒𝑛(arctan 𝑑 𝐿 )=

532 ∙ 10−9

𝑠𝑒𝑛(arctan 6551672 )

= 1,4585 ∙ 10−6 𝑚 = 𝟏, 𝟒𝟓𝟖𝟓 𝝁𝒎

Lo que nos da una densidad de surcos de 685,6 surcos/milímetro.

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En un CD la superficie en la que se escriben los datos ocupan la porción azul del disco como se ve

representada en el gráfico siguiente.

De manera que los surcos comienzan a escribirse con un

radio interior 𝑅𝑜 = 20 𝑚𝑚 , y formando una espiral llegan

hasta el borde del disco con una radio 𝑅𝑛 = 58 𝑚𝑚. Según

los cálculos anteriores la distancia entre surcos es de 1,4585

µm, con lo cual entre el radio exterior y el interior tenemos

38 mm. En esta distancia tendremos

0,038

1,4585 ∙ 10−6= 26054 𝑠𝑢𝑟𝑐𝑜𝑠

Para calcular la distancia total del surco que recorre todo el disco desde 𝑅𝑜 a 𝑅𝑛 incrementando

constantemente el radio de giro se puede hacer de distintas formas cada una de ellas con una precisión

diferente.

Método 1.

Pongamos el radio en función del ángulo.

Siendo ρ la distancia entre surcos y θ el ángulo de

giro. Cuando demos una vuelta completa el radio

valdrá

𝑅1 = 𝑅𝑜 + 𝜌

Pero como R va cambiando constantemente

tendremos que

𝑅(𝜃) = 𝑅𝑜 +𝜌

2𝜋𝜃

Es decir cuando 𝜃 = 2𝜋, el radio se habrá

incrementado una distancia igual a 𝜌.

El arco subtendido para un radio determinado en

función del ángulo es

𝑆 = 𝑅𝜃 → 𝑑𝑆 = 𝑅𝑑𝜃 → 𝑑𝑆 = 𝑅𝑜 +𝜌

2𝜋𝜃 𝑑𝜃

Con lo cual el arco total S será igual a la integral de la ecuación anterior entre 0 𝑦 2𝜋𝑛, siendo n igual al

número total de surcos.

𝑆 = 𝑅𝑜 +𝜌

2𝜋𝜃 𝑑𝜃

2𝜋𝑛

0

= 𝑅𝑜𝜃 +𝜌

4𝜋𝜃2

0

2𝜋𝑛

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𝑺 = 0,02 ∙ 2𝜋 ∙ 26054 +1,4585 ∙ 10−6 ∙ (26054 ∙ 2𝜋)2

4𝜋= 𝟔𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟔 𝒎

Método 2.

Dada la simetría del disco también podíamos calcular la distancia total del surco haciendo el cálculo para un

radio medio 𝑅𝑚 , que para nuestros propósitos no entrañaría mucho error. Sería

𝑅𝑚 =𝑅0 + 𝑅𝑛

2=

20 + 58

2= 39 𝑚𝑚

Y S sería igual a la circunferencia para el radio medio multiplicado por el número total de surcos:

𝑆 = 2𝜋 ∙ 0,039 ∙ 26054 = 𝟔𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟖 𝒎

Como podemos comprobar el resultado es prácticamente el mismo.

Método 3.

Otra forma de calcular S es imaginando una serie de circunferencias concéntricas de radio creciente. Esto es

𝑆 = 2𝜋𝑅0 + 2𝜋(𝑅0 + 𝜌) + 2𝜋(𝑅0 + 2𝜌) +∙∙∙∙∙∙ +2𝜋(𝑅0 + 𝑛𝜌)

𝑆 = 2𝜋(𝑅0 + 𝑅0 + 𝜌 + 𝑅0 + 2𝜌 +∙∙∙∙∙∙ +𝑅0 + 𝑛𝜌)

𝑆 = 2𝜋(𝑅0(𝑛 + 1) + 𝜌 + 2𝜌 +∙∙∙∙∙∙ +𝑛𝜌) = 2𝜋(𝑅0(𝑛 + 1) + 𝜌(1 + 2 + 3 +∙∙∙∙∙∙ +𝑛))

𝑆 = 2𝜋 𝑅0(𝑛 + 1) + 𝜌(𝑛2 + 𝑛

2) = 𝟔𝟑𝟖𝟒, 𝟔 𝒎

Solución también aceptable.

Método 4.

Este método es el más exacto, seguido del método 1. Partimos de la ecuación del radio en función del ángulo

igual que en el método primero.

𝑅(𝜃) = 𝑅𝑜 +𝜌

2𝜋𝜃

El diferencial de longitud para un arco de la espiral será

𝑑𝑙 = 𝑑𝑅𝑢 𝜌 + 𝑅𝑑𝜃𝑢 𝜃 → 𝑑𝑙 = (𝑑𝑅)2 + 𝑅2(𝑑𝜃)2 1/2

𝑑𝑙 = (𝑑𝑅

𝑑𝜃)2 + 𝑅2

1/2

∙ 𝑑𝜃

𝑆 = 𝑑𝑙 = (𝜌

2𝜋)2 + (𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃)2

1/2

𝑑𝜃2𝜋𝑛

𝑜

𝑆 =2𝜋

𝜌 𝑅𝑜 +

𝜌2𝜋 𝜃

2 (𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃)2 + (

𝜌

2𝜋)2 +

(𝜌

2𝜋)2

2𝑙𝑜𝑔 𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃 + (𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃)2 + (

𝜌

2𝜋)2

0

2𝜋𝑛

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Y como (𝝆

𝟐𝝅)𝟐 → 𝟎, el segundo término de la integral podemos prescindir de él, a no ser queramos una

precisión muy grande en nuestros cálculos. Así mismo este término también aparece dentro del radicando

del primer miembro de la integral, si también prescindimos de él, la integral nos queda

𝑆 =𝜋

𝜌 (𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃) (𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃)2

0

2𝜋𝑛

=𝜋

𝜌 (𝑅𝑜 +

𝜌

2𝜋𝜃)2

0

2𝜋𝑛

Operando

𝑆 =𝜋

𝜌 𝑅0

2 + (𝜌

2𝜋𝜃)2 +

𝑅𝑜𝜌𝜃

𝜋)2

0

2𝜋𝑛

= 𝜋𝑅0

2

𝜌+

𝜌

4𝜋𝜃2 + 𝑅𝑜𝜃

0

2𝜋𝑛

= 𝑅𝑜𝜃 +𝜌

4𝜋𝜃2

0

2𝜋𝑛

Con lo que S nos queda como en el método 1

𝑆 = 𝑅𝑜𝜃 +𝜌

4𝜋𝜃2

0

2𝜋𝑛

Podemos seguir calculando cosas. Por ejemplo podemos ver qué espacio del disco ocupa un bit de datos.

Como sabemos que el disco es de 700 Mb tenemos

700 𝑀𝑏 = 7,34 ∙ 108 𝑏𝑦𝑡𝑒𝑠 = 5,872 ∙ 109 𝑏𝑖𝑡𝑠

Y cada bit ocupará

6384,36 𝑚

5,872 ∙ 109 𝑏𝑖𝑡𝑠= 1,087 ∙ 10−6 𝑚 = 𝟏𝟎𝟖𝟕 𝒏𝒎

Si tenemos en cuenta que el láser utilizado es un láser rojo de aproximadamente 650 nm (la longitud exacta

depende del fabricante y pueden oscilar entre los 625-740 nm), podemos decir que cada bit de datos ocupa

aproximadamente 1,67 longitudes de onda del láser utilizado para leerlo. Siendo el surco 2,24 veces la

longitud de onda.