UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE FISICA
DISEÑO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES GEOMETRICAS EN LOS TEMAS DE
CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS PARA NM2, CON USO DE GEOGEBRA
Autora: JAZMÍN DEL CARMEN LAGOS MORA
Profesora Guía: Claudia Amelia Matus Zúñiga
Tesis para obtener el grado de Licenciado en Educación de Física y Matemática.
Santiago - Chile 2012
0154555© JAZMÍN DEL CARMEN LAGOS MORA
Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines académicos, por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y
cuando se incluya la cita bibliográfica del documento
Diseño de actividades para el desarrollo de habilidades geométricas en los temas de circunferencia y sus ángulos
para NM2, con uso de GeoGebra.
Jazmín del Carmen Lagos Mora
Este trabajo de graduación fue elaborado bajo la supervisión de la profesora Claudia Amelia Matus Zúñiga del Departamento de Matemáticas y ha sido aprobado por los miembros de la Comisión Calificadora, Srta. Johanna Camacho y el Sr. Sergio Saez.
Srta. Johanna Camacho Profesora Correctora
Sr. Sergio Saez Profesor Corrector
Sr. Bernardo Carrasco Puentes Director
Srta. Claudia Matus Zúñiga Profesora Guía
Agradecimientos
Descubrirme como una persona adulta ha sido la parte fundamental de este
trabajo y quienes han visto el cambio producido en mi, son quienes me
acompañan en este momento. A todo ellos muchas gracias por acompañarme.
A mis padres, por darme la educación que me ha hecho ser quien soy, a
mis compañeros de universidad, que me contuvieron en los momentos difíciles
y a mi esposo quien supo darme el apoyo que necesitaba y fue incondicional en
todo momento.
Dios es quien me ciñe y hace perfecto mi camino. Mi infinito amor a él me
ha llevado al logro de mis metas y él es quien te puso en mi vereda.
Jazmín Lagos Mora
TABLA DE CONTENIDOS
Resumen……………………………………………………………………..
1
Abstract……………………………………………………………………….
2
Palabras claves y Key words ……………………………………………...
3
1. Introducción….………………………………………………………………
4
1.1. Objetivo general del trabajo……………………………………….
9
1.2. Objetivos específicos………………………………………………
10
2. Marco teórico………………………………………………………………..
11
2.1. Geometría y su enseñanza………………………………………..
11
2.2. Habilidades desarrolladas con la geometría…………………..
13
2.2.1. Habilidad de visualización………………………………………
14
2.2.2. Habilidad de comunicación……………………………………
16
2.2.3. Habilidad de dibujo o construcción.……………………………
16
2.2.4. Habilidad de razonamiento……………………………………..
18
2.2.5. Habilidad de aplicación o transferencia..…………………….
19
2.2.6. Habilidades matemáticas en las bases curriculares 2012…..
20
2.3. Enfoques de enseñanza de la geometría………………………..
22
2.3.1. Van Hiele………………………………………………………….
22
2.3.1.1. Niveles de razonamiento…………………………………
23
2.3.1.2. Fases de aprendizaje…………………………………….
25
2.3.2. NCTM……………………………………………………………..
26
2.4. Recursos tecnológicos para el proceso enseñanza–aprendizaje de la geometría…..……………………………….
29
2.4.1. ¿Qué es un procesador geométrico?.....................................
30
2.4.2. Cualidades de GeoGebra……………………………………….
31
3. Metodología………………………………………………………………….
34
3.1. Observación de clases…………………………………………….
34
3.1.1. Tipo de investigación……………………………………………
35
3.1.2. Fuente de información…………………………………………..
36
3.1.3. Pregunta de investigación.……………………………………...
36
3.1.4. Marco situacional….……………………………………………..
37
3.1.5. Para el análisis de los registros de observación…………….
38
3.2. Para el diseño de material didáctico…………………………….
40
3.2.1. Contenidos a abordar…………………………………………..
40
3.2.2. Habilidades y enfoques de enseñanza a desarrollar………..
40
3.2.3. Material a elaborar….……………………………………………
41
3.2.4. Uso de GeoGebra……………………………………………….
43
3.3. Para la validación del material……………………………………
43
4. Resultados metodológicos…………………………………………………
45
4.1. Revisión de enfoques de enseñanza…………………………….
45
4.2. Análisis y resultados de investigación de observación….…….
45
4.2.1. Desarrollo de habilidades y uso de procesador geométrico.
46
4.2.2. Descubrimiento de propiedades………………………………
48
4.2.3. Problemas y ejercicios…………………………………………
49
4.2.4. Importancia de la unidad………………………………………
50
4.3. Propuesta de material……………………………………………..
52
4.3.1. Enfoque de Van Hiele en los materiales……………………
52
4.3.2. Desarrollo de habilidades geométricas en los materiales….
54
4.3.3. Estándares de NCTM en los materiales……………….........
54
4.4. Resultados de la validación………………………...……………..
56
4.4.1. Pauta de observación para el validador…………………….
56
4.4.2. Análisis de resultados de validación………………………….
61
4.5. Propuesta de material con modificaciones……………….……..
63
4.5.1. Actividad 1 con modificaciones……………………………….
64
4.5.2. Actividad 2 con modificaciones……………………………….
72
4.5.3. Material para el profesor con modificaciones………………..
79
5. Conclusiones……………………………………………………………….
86
6. Anexos……………………………………………………………………...
91
6.1. Observación de clases de la unidad de circunferencia y sus ángulos.……………………………………………………………..
91
6.2. Encuesta al profesor 2………………………………………….
97
6.3. Material elaborado……………………………………………..
101
6.3.1. Actividad 1……………………………………………………
101
6.3.2. Actividad 2……………………………………………………
109
6.3.3. Recomendaciones al profesor……………………………..
115
6.4. Pauta de observación para el evaluador…...........................
122
Referencias…………………………………………………………………
125
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Paralelepípedo…..…………………………………………..
15
Ilustración 2: Construcción de triángulos equiláteros...…………………
17
Ilustración 3: Principios y estándares de NCTM………………………...
27
Ilustración 4: Estándares de conocimientos según NCTM……………..
29
Ilustración 5: Barra de herramientas de GeoGebra……………………..
32
Ilustración 6: Interfaz GeoGebra…………………………………………..
33
Ilustración 7: Interfaz entrada en GeoGebra……………………………..
33
RESUMEN
Este seminario de grado se propuso como objetivo diseñar actividades de
aprendizaje en geometría para el desarrollo de conjeturas, razonamiento
geométrico, teoremas y demostraciones para estudiantes de segundo medio,
con uso de un procesador geométrico. Para ello, el trabajo se dividió en tres
partes fundamentales: una investigación cualitativa sobre cómo se implementan
clases de geometría en algunas aulas de segundo año medio en Chile, el
diseño y desarrollo del material didáctico para contribuir a fortalecer aquellas
habilidades geométricas que fueran detectadas como débiles en los estudiantes
observados, y finalmente, una validación del material elaborado, por parte de un
experto curricular, con el propósito de mejorar la propuesta didáctica.
El material elaborado corresponde a dos actividades para el estudiante y
dos guías con recomendaciones al docente, relativas a cada una de las
actividades. Los contenidos matemáticos y objetivos de aprendizaje abordados
en el material fueron los relativos a la circunferencia y sus ángulos,
correspondientes a la unidad de geometría, según se indica en el programa de
estudio y los contenidos mínimos obligatorios para segundo medio del
Ministerio de Educación (MINEDUC, 2011).
Para la elaboración de las actividades, se tomó en cuenta
recomendaciones que entrega la literatura especializada, respecto de:
desarrollo de habilidades de visualización, comunicación, dibujo y construcción,
razonamiento y aplicación o transferencia (Breassan, 2000 y García & López,
2008), además de, las fases de aprendizaje que propone Van Hiele y los
estándares de proceso que propone la National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), junto con el uso de herramientas del procesador
geométrico.
ABSTRACT
This current seminar set a target design learning activities on geometry for
developing conjectures, geometric reasoning, theorems and proofs in 10 Grade
students, using a geometry processor. To do this, this work was divided in three
fundamental parts: a qualitative study about how geometry classes are
implemented in some classrooms in ten Grade in Chile, the design and
production of the didactic material to help to strengthen those geometric skills
that were detected as weak in the students observed, and finally, a validation of
the learning materials, by a curriculum expert to improve the didactic proposal.
The material designed consists in two activities for students and two
guides with didactic recommendations for mathematics teachers, related to each
of those activities. The math topics and learning goals addresses by this
proposal were the ones related to circumference and its angles belonged to the
geometry unit in the high school math program and the minimal obligatory
contents for ten grades, indicated in by the Minister of Education (MINEDUC,
2011).
To develop the learning activities, recommendations from the specialized
literature were taken in count, respect to: the development of the geometric
visualization, communication, drawing and construction skills, reasoning skills,
and application or transference skills (according to Hoffer, 1981; Breassan,
2000 y García & López, 2008), the learning phases proposed early by Van
Hiele, as well as, the process standards described by National Council of
Teachers of Mathematics (NCTM), in addition to the use of tools from a
geometric processor.
PALABRAS CLAVES
Habilidad de visualización
Habilidad de comunicación
Habilidad de dibujo y construcción
Habilidad de razonamiento
Habilidad de aplicación y transferencia
Estándares de proceso en matemáticas
Fases de aprendizaje
KEY WORDS
Visualization skills
Communication skills
Drawing and construction skills
Reasoning ability
Application and transfer skills
Math process standards
Learning phases
1. INTRODCUCIÓN
La geometría es una rama de la matemática que puede ser un gran apoyo
en el desarrollo personal y en otras áreas del aprendizaje, si está bien enfocada
en la educación regular. Variados autores e instituciones se han dedicado a
realzar la importancia de enseñar geometría, argumentando que es necesaria y
útil para representar y resolver problemas, no tan solo en la misma geometría
sino que también en otras áreas de aprendizaje y de nuestra vida cotidiana
(Orozco, 2003; Bressan, 2000; Instituto Nacional para la evaluación de la
educación de México 2008; NCTM, 2000; SAEM Thales, 2005).
En esta disciplina de la matemática llamada geometría, el estudiante debe
describir relaciones y razonarlas, esto implica que, el estudiante está utilizando
habilidades de visualización, exploración y razonamiento, llegando a la
demostración de conjeturas. Estas mismas habilidades son las que el
estudiante debe utilizar cuando se ve enfrentado a problemas de la vida
cotidiana, es decir, el debe visualizar el problema al cual se ve enfrentado,
explorar aquellas cosas que están afectando el desarrollo del problema, las
posibles salidas de éste y las consecuencias que esto conlleve, por tanto,
realiza el razonamientos específicos para cada aérea, la cuales pueden ser el
álgebra, la historia, la computación, el arte, nuestro entorno, etcétera. Es Sergio
A. Hojman (1997, p.450), en su ensayo Matemáticas en Chile, quien muestra
claramente esta idea diciendo:
Se escucha con frecuencia que las personas sabrían más
matemáticas si sus labores diarias incluyeran actividades que las
requirieran. La falta de práctica sería entonces la responsable de
olvidar aquello que se aprendió en la época de estudiante. Aunque
en algunos casos esta situación puede ser verdadera, es también
cierto que algunos problemas que muchas personas enfrentan
infructuosamente en su vida diaria puedan resolverse fácilmente con
aplicaciones elementales de matemáticas escolares.
Entendemos entonces que, es de gran importancia, la utilidad que
represente para cada uno el aprendizaje de los contenidos en su vida y entorno,
pero no debemos olvidar que la forma de aprender también influirá en que estos
conocimientos no sean desechados y puedan conformarse como un
aprendizaje significativo. Es por esto que, para los profesores debe representar
un desafío el poder realizar actividades que leven al aprendizaje efectivo y
permanente. Pero también nos vemos enfrentados al problema de que algunos
profesores no saben exactamente el cómo contextualizar las actividades al
entorno real de los estudiantes, o que en otras ocasiones, no conocen la utilidad
del contenido especifico, tal como sucede con los teoremas asociados al
estudio de la circunferencia y circulo.
En un estudio sobre la cobertura curricular en el sector de matemáticas en
la enseñanza media, realizado por el Ministerio de Educación mediante una
encuesta abierta a profesores reveló que tan sólo un 69,7% de ellos manifestó
haber trabajado el contenido referido a geometría en segundo medio, pese a
que declararon implementar el programa oficial del Mineduc (MINEDUC, 2004
b) lo cual contrasta enormemente con la importancia entregada a este eje en el
programa de estudio de este mismo curso. Hasta hace algunos años atrás,
dentro del programa de estudio de segundos medio, se proponía que,
aproximadamente un tercio del año escolar se debía trabajar en el contenidos
de geometría, donde dentro de las indicaciones al docente, se decía que, en los
temas relativos a la medida del ángulo del centro y ángulo inscrito, señalando
de manera implícita y explicita, expectativas de trabajo de conjeturas, de
propiedades que es necesario demostrar, y donde además se recalca que la
geometría es un terreno propicio para cultivar este tipo de habilidades
(MINEDUC, 2005. p 78). Sin embargo, se consta que, estas habilidades no han
sido desarrolladas apropiadamente, en la enseñanza regular, siendo su reflejo
los resultados sistemáticamente deficientes de nuestro país en las pruebas
SIMCE, PISA y TIMSS, a los que nuestros estudiantes han sido sometidos.
En efecto, en diversas investigaciones sobre los resultados de los
estudiantes chilenos en pruebas, como SIMCE y TIMSS, se han detectado
dificultades en matemática, específicamente, en el área de la geometría. Por
ejemplo, en el informe de resultados del SIMCE 2003 para 2° medio, realizado
por el Ministerio de Educación (MINEDUC), Unidad de Currículum y Evaluación
(UCE) y el Sistema de Medición de la Calidad de la Educación (SIMCE), se
destaca que las preguntas que requerían aplicar procedimientos, conceptos y
teoremas frente a figuras geométricas (triángulos y cuadriláteros) presentaron
menor dificultad para los alumnos, que aquellas que exigían aplicar el mismo
tipo de conceptos y teoremas, pero en situaciones que requerían, por ejemplo,
ampliar y reducir figuras, encontrar una distancia desconocida, etc. También se
observaron dificultades en las preguntas referidas a ángulos inscritos en una
circunferencia (MINEDUC, 2004d, p. 47).
En la prueba TIMSS 2003 (MINEDUC, 2004c) se evidencia que, en el área
de la geometría es donde los estudiantes tienen un mayor grado de dificultad,
puesto que obtienen el menor puntaje promedio. Dramáticamente en esta
prueba, el 0% de los estudiantes alcanzó un nivel de logro “Avanzado en
Matemáticas”, donde se especifica entre otras cosas, habilidades como:
“pueden aplicar su conocimiento de medición y geometría en situaciones
problemáticas complejas”. En la misma prueba, tan solo un 3% de los
estudiantes tuvo un nivel de logro “Alto en Matemáticas”, donde se especifica,
entre otras cosas habilidades como “pueden encontrar el área y volumen de
figuras geométricas simples y utilizar su conocimiento acerca de propiedades
geométricas para resolver problemas”. Más recientemente, se ha observado un
progreso en los resultados de la prueba TIMSS 2011, respecto de su anterior
aplicación en Chile el año 2003, dado que el contenido de geometría es uno de
los contenidos mejor evaluados si se compara con el promedio de puntajes
obtenidos en los contenidos de números y álgebra. Sin embargo, es importante
mencionar que, ha bajado considerablemente la cantidad de estudiantes que se
encuentran fuera de nivel de competencias, es decir que promediaron menos
de 400 puntos, y en contraparte, ha bajado la cantidad de estudiantes que
logran tener un nivel avanzado.
Parte de los resultados deficientes de los estudiantes, se pueden explicar
por el trabajo que realiza el profesor de matemáticas en el aula. En efecto, un
estudio realizado por Roberto Araya (2007), en donde analizó 720 videos de
profesores realizando clases en aulas chilenas, permitió recopilar información
detallada acerca de cómo se realizan las actividades de clase, específicamente
las de matemáticas. De este informe se obtuvo variadas conclusiones entre las
cuales se destacan:
Existen sólo dos tipos de trabajo en aula: uno consiste en
explicaciones y preguntas del profesor desde el pizarrón, y en el otro,
los estudiantes trabajan una guía y el docente pasea por los puestos
entregando explicaciones individuales.
La evidencia encontrada da lugar a estimar que el uso tanto de textos
escolares y de tecnología informática y comunicaciones TIC en
matemáticas es bajo.
Los profesores que trabajaron el eje de geometría dedicaron gran
parte del tiempo a mostrar, dibujar, recortar y pegar figuras
geométricas, pero poco tiempo al análisis de la situación.
Todo esto descrito, no asegura el hecho que no existan posiblemente
otras prácticas pedagógicas en clases de matemática y de geometría en
nuestras aulas chilenas, pero al menos muestra una clara tendencia, por parte
de los profesores de matemáticas, a realizar clases carentes de los
requerimientos mínimos establecidos en el marco curricular, como es análisis
de situaciones, desarrollo de conjeturas y uso de software educativo (MINEDUC
2011).
Por otra parte, en los estudios de videos de clases del TIMMS (Stigler &
Hiebert, 2004), se ubicaron muy pocos casos donde el profesor trabajaba
demostraciones matemáticas a través del razonamiento deductivo. De esta
manera, se evidencia que, la enseñanza de teoremas y demostraciones es algo
que se dejaría de lado, por parte de los profesores, pese a que la enseñanza de
estas habilidades son, precisamente, las habilidades que la misma geometría
pretende incentivar en los estudiantes.
También se resalta que la forma de abordar los contenidos de geometría,
está lejano al uso de tecnología informática y telecomunicaciones (TIC),
contradiciéndose con estudios que evidencian los buenos resultados obtenidos
cuando se ha implementado el uso de estas tecnologías. En este contexto, es
que Iranzo y Forlury (2009) realizaron una investigación llamada “La influencia
conjunta de uso de GeoGebra y lápiz y papel, en la adquisición de
competencias del alumnado”, donde pudieron verificar que el uso de un
procesador geométrico llamado GeoGebra es una herramienta que promueve
de mayor forma el pensamiento geométrico y que facilita la visualización.
También se destaca, que ayuda a evitar obstáculos algebraicos permitiendo
concentrarse en los conceptos geométricos, al igual como lo comprobaron
Bernardis y Moriena (s.f.) en su artículo “Análisis de pruebas en un entorno de
geometría dinámica”, donde pudieron constatar de que el uso de un procesador
geométrico, motiva a los estudiantes a realizar exploración y su uso favorece al
convencimiento de la veracidad de las conjeturas.
Esto muestra que, un trabajo adecuado, con las herramientas apropiadas,
puede lograr cambios importantes que conlleven un avance en el aprendizaje
de habilidades matemáticas. Es importante no olvidar que, esto es un caso
entre tantos, ya que tal como fue posible observar en el estudio de Roberto
Araya (FONIDE, 2007), la tendencia es a realizar una clase formal, donde el
profesor está en el pizarrón mostrando algún teorema o realizando guías de
trabajo y sólo podemos encontrar casos excepcionales de trabajo donde los
estudiantes realicen deducción de demostraciones o hipótesis o de uso de TIC.
En contraparte, la bibliografía especializada (NCTM, 2000; García &
López, 2008), ha dado claros indicios de que la geometría es una de las áreas
que debe ser mayormente abordada por el currículum, dado su potencial en el
desarrollo de habilidades como la visualización de objetos y de problemas,
además de la habilidad de razonamiento, siendo la herramienta TIC, la que
demuestra mejores resultados en esa materia. En el caso particular de la
geometría, el uso del procesador geométrico GeoGebra es uno de los más
usados en Chile y en el mundo debido a su cualidad de software libre y por su
amplia utilidad (GeoGebra.org).
Dado este conjunto de antecedentes acerca de la enseñanza de la
matemática y la geometría, se constata la necesidad de apoyar el aprendizaje
significativo de ellas, diseñando propuestas, tanto para los estudiantes, como
para los profesores, que ayuden al desarrollo de las habilidades de
visualización, exploración, razonamiento y de demostración, que se
favorecerían mejor de acuerdo a las experiencias revisadas, con la ayuda de los
procesadores geométricos, entre los cuales se destaca, GeoGebra.
En este contexto me pregunté:
¿Es posible diseñar materiales de enseñanza que apoyen la adquisición
de habilidades de visualización, razonamiento, construcción geométrica y
demostración, con el uso de procesadores geométricos?
¿Se puede implementar actividades de geometría con TIC, en el contexto
de una clase de matemáticas dentro de las aulas chilenas?
¿Son estas actividades apreciadas por profesores y estudiantes, como
una herramienta útil y beneficiosa para el aprendizaje?
1.2 Objetivo general
Diseñar actividades de geometría para el desarrollo de conjeturas,
razonamiento geométrico, teoremas y demostraciones en temas de la
circunferencia, para segundo medio, con uso de un procesador geométrico.
1.3. Objetivos específicos
1. Revisar enfoques de la enseñanza de la geometría y en la
literatura, pertinentes al área de estudio.
2. Indagar aspectos de la enseñanza de la geometría, y en
particular de la unidad de circunferencia, que son
implementados en un aula regular de segundo año medio.
3. Diseñar y crear materiales de enseñanza y documentos
complementarios (archivos, guías, sugerencias metodológicas,
pautas de evaluación, y otros según se requiera) necesarios
para la implementación de las actividades seleccionadas de
geometría para circunferencia, incorporando el uso de software
geométrico, de acuerdo a las sugerencias de la literatura y el
análisis de las experiencias de aula.
2. MARCO TEÓRICO
Pensando que la geometría nace desde nuestro entorno, debemos
entender que los estudiantes presentan muchos conocimientos previos sobre la
geometría, los cuales deben ser formalizados. “Si tuviera que reducir toda la
Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el factor más
importante que el influye en el aprendizaje es lo que el alumno/a sabe.
Averígüese esto y enséñese en consecuencia” (Ausubel, 1978). Pero se puede
preguntar, si la formalización de estos conocimientos, se ha realizado en forma
adecuada en el contexto escolar. En consecuencia, en este marco teórico se
muestra una visión de cómo se ha enfrentado la geometría en las aulas
chilenas y cuál es el enfoque recomendado para poder lograr que el proceso de
enseñanza aprendizaje sea más efectivo, a través del logro de habilidades
relacionadas, entendiendo que el logro de estas habilidades no constituyen una
“fórmula secreta” para el logro de un aprendizaje significativo, si no que
orientaciones al docente para enriquecer el proceso de enseñanza. Así mismo,
se presenta a la tecnología como una herramienta de gran utilidad y que ha
demostrado buenos resultados en los estudiantes, específicamente, se hablará
de los procesadores geométricos, sus efectos y utilidades.
2.1. Geometría y su enseñanza
Para nadie es un secreto que en la enseñanza de la geometría hay algo
que no se está realizando bien, esto deducido de las diversas investigaciones
sobre los resultados de los estudiantes chilenos, en pruebas de evaluación de
aprendizajes, como SIMCE y TIMSS 2003, para primeramente es importante
darnos cuentas de que no existe una linealidad en el proceso de enseñanza y
aprendizaje, es decir, todo lo que se enseña no corresponde a todo lo
aprendido. Dado esto, debemos advertir que los estudiantes tienen como
necesidad básica, que el docente tenga las herramientas para formular diversas
maneras de enseñanza, pensando en los distintos estilos de aprendizaje de sus
educando, lo que resulta para el docente en un proceso de alta complejidad, ya
que el proceso de enseñanza–aprendizaje no lo puede limitar sólo a la
transmisión de métodos y técnicas (Assaél & Soto, 1992).
En el libro “Enseñanza de la geometría”, escrito por Silvia García y Olga
López en 2008, es posible evidenciar que muchos de los profesores, limitan la
geometría a cuestiones métricas, de área, volumen y ángulos, mientras que
para otros la geometría se relaciona con el conocer figuras o relaciones
geométricas con dibujos, reconociendo a esto como un glosario geométrico
ilustrado. Ahí se afirma que los estudiantes manifiestan poco aprendizaje y los
profesores, en su mayoría, no tienen las herramientas y estrategias para lograr
revertir ésta situación. La enseñanza de la geometría se ha convertido en un
círculo de repetición de experiencias que no ayudan, ni llevan a una mejoría en
los resultados en las evaluaciones, a las cuales se someten los estudiantes.
En cuanto a la enseñanza de demostraciones, se constata que la
enseñanza por imitación es la forma más utilizada para su enseñanza. El
profesor realiza una demostración, y luego, les solicita a los estudiantes hacer
lo mismo (Balacheff, 1988). Esto implica que, no porque un profesor “exhiba”
cómo se demuestra, será suficiente para decir que el profesor ha ensañado a
demostrar, porque cada nuevo contexto problema puede requerir una forma
distinta de demostración. De esta forma Balacheff realiza una clasificación entre
demostración pragmática y demostración conceptual, siendo la primera el tipo
de demostración en la que se recurren a la acción real o a la ostentación, es
decir, donde se hace una manipulación de los objetos en estudio y se realizan
las mediciones pertinentes, mientras que la segunda, la demostración
conceptual, está basada en un razonamiento deductivo, mediante la
formulación de definiciones y propiedades.
Como consecuencia de lo anterior, se reafirma que la enseñanza de la
geometría no se ha realizado de forma correcta, tanto por el enfoque que se le
entrega y el poco uso de las demostraciones como herramienta de desarrollo
del pensamiento. Al mismo tiempo, los problemas relacionados al proceso de
enseñanza–aprendizaje se ven maximizados cuando se observa que el tiempo
empleado para la cobertura de los contenidos mínimos obligatorios es muy
precario y en oportunidades es omitido, tal como se observa en el estudio sobre
la cobertura curricular en el sector de matemáticas, en la enseñanza media,
realizado por el Ministerio de Educación, donde se reveló que tan sólo un
69,7% de los profesores trabajan el contenido referido a geometría en 2° medio,
pese a que declararon implementar el programa oficial del Mineduc (MINEDUC,
2004).
2.2. Habilidades desarrolladas con la geometría
“Si el maestro tiene claro el porqué se enseña, estará en condiciones de
tomar decisiones más acertadas acerca de cómo enseñar”. (García & López,
2008, p. 27). El por qué enseñar geometría radica principalmente en dos cosas:
primero en el uso que este tiene respecto de nuestro entorno cercano, pues la
geometría nos permite modelar el mundo en que vivimos, y tal cómo lo dice
Breassan (2000), la geometría, es la matemática del espacio. La segunda
razón por la cual es importante enseñar geometría, radica en las habilidades de
pensamiento que ésta ayudaría a desarrollar. Esas habilidades pueden ser
varias, tales como, las habilidades de visualización, las habilidades de
construcción y/o de razonamiento, las que tienen múltiples usos para la vida
cotidiana, ya sea para resolver problemas o adaptarse al entorno, aunque esto
se vea contrariado con lo que ocurre de hecho en las aulas, por la ausencia de
estas mismas habilidades en la enseñanza y el aprendizaje escolar.
Los sistemas tradicionales de enseñanza no dan a los
estudiantes las herramientas para indagar, analizar y discernir la
información que los lleve a la verdadera toma de decisiones. Los
conocimientos impartidos son más bien atomizados, memorísticos y
no fomentan el desarrollo de la iniciativa, la creatividad, ni la
capacidad de comunicarse efectivamente por distintas vías. (Segura
& Chacón, 1996, p. 29).
Las habilidades específicas que se desarrolla en una buena enseñanza de
la geometría, según Hoffer (1981), Breassan (2000) y García & López (2008)
son clasificadas en 5 aéreas: visuales, verbales o de comunicación, de dibujo o
construcción, lógicas o de razonamiento y de aplicación o transferencia. Cada
una de ellas, se explican a continuación.
2.2.1. Habilidad de visualización
Esta es una de las habilidades principales y que de ser desarrollada
tempranamente en los estudiantes de educación básica, tal como lo propone el
ministerio de educación en los programas de estudio del MINEDUC (2012). Por
ejemplo, podemos ver que en el programa de estudio para primero básico, en el
eje temático de geometría se plantea como objetivo de aprendizaje que el
estudiante aprenda a visualizar las características y propiedades de figuras en
2D y 3D, teniendo como orientación didáctica, que esto se realice con material
concreto. Con esto podemos advertir que, en la enseñanza de la geometría, la
visualización es una de las habilidades adquiridas tempranamente, y que en
relación a lo postulado por Van Hiele (1982), corresponde al primer nivel de
pensamiento y conocimiento, pero diferenciado a que aquí entenderemos la
visualización también como un análisis de las componentes, mientras que Van
Hiele, propone en un nivel superior al análisis.
En forma muy acertada, se considera se puede referenciar el documento
llamado “Visualización y pensamiento matemático” de Cantoral y Montiel, donde
se define la visualización en los siguientes términos (2002, p. 2):
Se entiende la visualización no como el simple acto de ver,
pues visualizar una función, por ejemplo, no significa solamente
verla, mirarla o contemplar su gráfica, de hecho es posible
visualizarla sin verla… en un sentido más amplio, se entenderá que
la visualización en la habilidad para representar, generar, comunicar,
documentar y reflejar información visual en el pensamiento y el
lenguaje del que aprende… la visualización entonces, trata con el
funcionamiento de las estructuras cognitivas que se emplean para
resolver problemas, con las relaciones abstractas que formulamos
entre diversas representaciones de un objeto matemático a fin de
operar con ellas y obtener un resultado.
En consecuencia, es posible entender la visualización como el proceso
cognitivo basado en el uso de elementos visuales espaciales, tanto mentales
(representaciones mentales) como físicos, utilizados para resolver problemas o
probar propiedades. En este proceso se debe reconocer las componentes y
propiedades que son inherentes a elemento geométrico. La visualización por
tanto está muy ligada a la imaginación espacial, por ejemplo, la siguiente figura
es una imagen plana, sin volumen, sin embargo es posible identificarlo como
una figura 3D si imaginado aristas conformando un paralelepípedo.
Ilustración 1: paralelepípedo.
2.2.2. Habilidad de comunicación
Una vez que el estudiante sea capaz de realizar alguna visualización física
o mental es importante que éste logre transmitir la información que infiere, es
decir, debe él pasar por el proceso de interpretar, entender y comunicar
información geométrica, ya sea en forma oral o en forma escrita, es a esto a lo
cual se llama habilidad de comunicar.
Si bien, Van Hiele no define a la habilidad de comunicar, como un nivel de
aprendizaje, este autor le entrega una gran relevancia a esta habilidad,
indicando que, en la base del aprendizaje de la geometría, hay dos elementos
importantes, “el lenguaje utilizado”, es decir que los estudiantes debe dominar
un leguaje adecuado, para poder designar por su nombre a las relaciones y
objetos geométricos, y como segundo elemento, propone “la significatividad de
los contenidos”, refiriéndose a la capacidad del los estudiantes para
comprender lo que se les presenta dado sus conocimientos previos y niveles de
razonamiento, entregado en particular por la edad del estudiante. Es así que,
Van Hiele propone por tanto, como un acto fundamental, que el profesor invite a
los estudiantes, siempre, a comunicar sus ideas y a argumentar sus respuestas
con el lenguaje correspondiente a su nivel de aprendizaje y a los términos ya
conocidos o estudiados.
2.2.3. Habilidad de dibujo o construcción
Esta habilidad está referida a la capacidad de los estudiantes de realizar
representaciones que constituyan un medio para que ellos mismos puedan
realizar exploraciones que lo lleven a construir nuevos conocimientos y/o
profundizar los conocimientos que ya tienen. Esto requiere que el estudiante
sea capaz de intuir los patrones necesarios para construir o reproducir algún
objeto, por ejemplo:
- Un estudiante de educación básica, que necesita reproducir un
cuadrado, en su cuaderno, considerando que la hoja donde lo realiza es
completamente blanca (no tiene líneas cuadriculadas que lo guíen),
tendrá que ver que los cuatro segmentos que conforman la figura tienen
la misma longitud y que los segmentos forman ángulos rectos, estos son
dos patrones que el estudiante debe tener en cuenta para realizar bien el
ejercicio.
- Un estudiante de enseñanza media, que debe dibujar un triángulo
equilátero, podrá realizarlo con la ayuda de un compás. Si se da cuenta
de que, dado uno de los vértices, que represente el centro de una
circunferencia de radio definido, uno de los puntos de esa circunferencia
podrá ser otro vértice de la circunferencia, si de él se crea una
circunferencia del mismo radio que la primera, luego entendiendo que la
intersección de estas dos circunferencias da origen al tercer vértice de un
triangulo equilátero, porque la distancia entre cada vértice define un radio
de alguna de las circunferencias congruentes.
Ilustración2: Construcción de triangulo equilátero
En estas situaciones los estudiantes identifican las figuras involucradas y
la manera en que estas se relacionan dentro de la figura completa, y tal como
se ve en estos casos, es importante el uso de materiales geométricos, tales
como la regla, el compás, la escuadra y transportador, con esto podemos decir
que esta habilidad se potencia mayormente si el docente promueve
continuamente el uso, por parte de los estudiantes, de instrumentos
geométricos. Sin embargo, tal como advierte Castellanos (2010), el instrumento
de la regla debe considerarse como un instrumento para trazar rectas y no para
medir, de esta forma es necesario tener una regla que no esté graduada, esto
por la poca precisión del instrumento.
La habilidad de dibujo, a la vez, es capaz de desarrollar o reforzar la
habilidad de visualización, entendiéndola como la construcción de objetos
geométricos, en forma gráfica o mental, y en ambas, se realiza una
representación de lo indicado en forma oral, escrita o simbólica.
2.2.4. Habilidad de razonamiento
La habilidad de razonamiento es considerada como una variedad de
acciones o como una secuencia lógica que tiene como objetivo el desarrollar
una demostración argumentativa de algo, realizada con un orden o método.
Entre las acciones consideradas podemos destacar:
- Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.
- Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo.
- Seguir una serie de argumentos lógicos.
- Identificar cuándo un razonamiento no es lógico.
- Hacer deducciones lógicas.
Es importante que los docentes puedan identificar dos tipos de
razonamientos: un razonamiento considerado como un proceso discursivo
natural, donde el estudiante busca demostrar, describiendo, explicando o
argumentando de manera espontánea, y otro tipo de razonamiento, como un
proceso discursivo teórico, donde el estudiante utiliza teoremas, axiomas o
definiciones para llegar a alguna conclusión, quedando a criterio del profesor, la
exigencia de uno o de otro, dependiendo de la etapa de aprendizaje. En este
razonamiento, es importante considerar, lo señalado por García & López (2008,
p. 65):
A pesar de que tradicionalmente la Geometría ha sido
considerada como el prototipo de una disciplina deductiva (sus
demostraciones son deductivas porque algunas propiedades se
demuestran o derivan a partir de otras ya demostradas o aceptadas
como verdades), en la enseñanza es conveniente usar la inducción
para elaborar conjeturas o construir conceptos.
2.2.5. Habilidad de aplicación o transferencia
Tal como se puede inferir de su nombre, la habilidad de aplicación, consta
que el estudiante pueda realizar la aplicación de lo aprendido, no solo en
ejercicios, sino que también en problemas geométricos. De esta forma,
podemos asegurar que el aprendizaje será significativo si se realiza la
aplicación del conocimiento en nuevos contextos, sobre todo si es capaz de
moldear geométricamente situaciones en su entorno, que no necesariamente
sean relacionados con la misma geometría.
En el programa de estudio de segundo medio (2011) del MINEDUC, la
habilidad de aplicación es muy poco mencionada, pues solo podemos
identificarla en los aprendizajes esperados, donde estipula el resolver
problemas relacionados con el teorema de Thales y Euclides, pero en relación a
esto, es legítimo preguntarse si los profesores, realmente, realizan problemas
contextualizados o sólo realizan ejercicios tipo de estas materias. Los
resultados nacionales de SIMCE y TIMMS dan respuesta negativa a este
cuestionamiento.
2.2.6. Habilidades matemáticas en las bases curriculares 2012
Dentro del cambio de las bases curriculares, las cuales fueron publicadas
el año pasado (MINEDUC, 2012), para la educación básica (de 1° a 6° básico),
es posible destacar el gran énfasis que se le entrega a las habilidades que los
estudiantes deben desarrollar en cada una de las áreas de aprendizaje. Aquí
podemos reconocer habilidades matemáticas que se ven perfectamente
relacionadas con las habilidades geométricas, que hemos descrito
anteriormente.
Es imperioso mencionar que las habilidades geométricas son una
especificación de las habilidades matemáticas, es decir, las habilidades
geométricas anteriormente descritas, son habilidades matemáticas, descritas
para el eje temático de geometría.
Las habilidades descritas en las bases curriculares, educación matemática
(2012), son las siguientes:
Resolver problemas: se propone que los estudiantes puedan resolver
problemas, en lugar de simples ejercicios, realizándolo sin que se le haya
indicado un procedimiento a seguir. Luego de aplicar variadas
estrategias y obtener respuestas, el estudiante deber determinar la
pertinencia de esta.
Argumentar y comunicar: esta habilidad, la utilizan los estudiantes en
discusiones colectivas al tratar de convencer a otros de la validez de los
resultados obtenidos, se espera que los estudiantes sean capaces de
utilizar un amplio abanico de formas de comunicación de ideas,
apuntando principalmente a que ellos establezcan progresivamente
deducciones.
Modelar: el objetivo de esta habilidad es lograr que el estudiante
construya una versión simplificada y abstracta de un sistema,
usualmente más complejo, pero que capture los patrones claves y lo
exprese mediante lenguaje matemático (Bases curriculares 2012). Con
esto se propone por ejemplo comenzar por actividades de modelación
tan básicas como formular una ecuación que presente a una situación de
la vida cotidiana
Representar: en esta habilidad se espera que el estudiante sea capaz de
aprendan a usar representaciones pictóricas como diagramas, esquemas
y gráficos, para comunicar cantidades, operaciones y relaciones, y que
luego conozcan y utilicen el lenguaje simbólico y el vocabulario propio de
la disciplina.
Dada estas definiciones, podemos relacionar directamente la habilidad de
resolver problemas con la habilidad de aplicación y transferencia, porque en
ambas se espera que el estudiante sea capaz de resolver problemas y no tan
solo ejercicios. Por otro lado tenemos, la habilidad de argumentar y comunicar
con la habilidad geométrica de comunicación, siendo evidente su relación dado
el nombre que reciben; es con esta habilidad que los estudiantes comparten en
forma verbal o escrita, las relaciones que ellos están observando, pero también
podemos relacionar la habilidad de argumentar y comunicar con la habilidad
geométrica de razonamiento, dado que en esta última se pretende que los
estudiantes sean capaces de establecer deducciones argumentativas, tal como
lo propone la habilidad matemática de argumentar.
La habilidad de modelar, es posible relacionarla con la habilidad
geométrica de visualización, dodo que en estas dos habilidades encontramos
esencial que el estudiante sea capaz de captar patrones claves para luego
realizar análisis de la situación dada. Finalmente, es posible ver una
correspondencia entre la habilidad de representar con la habilidad geométrica
de dibujo y construcción, ya que en ambas se espera el trabajo con
representaciones graficas del objeto de estudio, aunque en la primera sólo se
espera el uso y en la segunda se espera que el estudiante las cree y luego las
use.
En forma específica la habilidad geométrica de razonamiento se describe
como un medio, sin embargo en el las bases curriculares se espera que el
estudiante bajo todas las otras habilidades (habilidad de resolver problema, de
argumentación y comunicación, la habilidad de modelar y la habilidad de
representar.) logre hacer razonamiento matemático.
2.3. Enfoques de enseñanza de la geometría
Respecto de la enseñanza de la geometría, es posible encontrar variadas
maneras de concebir su proceso de enseñanza aprendizaje, y donde se
estipulan indicaciones o definiciones del quehacer docente. Dentro de los más
destacados y los cuales se consideraron para la elaboración del diseño de
material en este trabajo, es posible nombrar a Van Hiele, Duval y también los
informes con orientaciones de NCTM.
2.3.1. Van Hiele
En el libro, “Structure and Insight”, Van Hiele, se refiere a su postulado de
que la enseñanza de la geometría se debe realizar cumpliendo cinco niveles de
razonamiento (comenzando desde nivel 0 al nivel 4) y por otra parte describe
cinco fases de aprendizaje. Respecto a esto, se aclara que, alcanzar un nivel
superior de pensamiento, significa que, con un nuevo orden de pensamiento,
una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a
nuevos objetos, además se da gran énfasis a que en la base del aprendizaje de
la geometría, hay dos elementos importantes: “el lenguaje utilizado” y “la
significatividad de los contenidos”. Lo primero implica que los niveles, y su
adquisición, van muy unidos al dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo,
que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a nivel de su
razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles
un contenido matemático nuevo (Fouz, F. & de Donosti, B., s.f.). Estas son
indicaciones, planteadas por Van Hiele, de suma importancia para un buen
desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje.
2.3.1.1. Niveles de razonamiento
Los niveles de razonamiento de, Van Hiele, se proponen de modo que, el
paso de un nivel a otro depende esencialmente de la enseñanza recibida y no
tanto de la edad o madurez de los estudiantes, es decir, dan una gran
importancia a la organización del proceso de enseñanza-aprendizaje así como
a las actividades diseñadas y los materiales utilizados. Además es importante
destacar, que aquello que es implícito en un nivel, se convierte en explícito en el
siguiente nivel (Gregorio, 2004; Fouz, F. & de Donosti, B., s.f.). A continuación,
se describe cada uno de los niveles propuestos por Van Heile, para el
aprendizaje de la geometría.
NIVEL 0 (de RECONOCIMIENTO). En este nivel, se reconocen las
siguientes acciones: los objetos se describen por su apariencia física mediante
descripciones meramente visuales, y asemejándoles a elementos familiares del
entorno. No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su
nombre correcto y no reconocen de forma explícita componentes y propiedades
de los objetos motivo de trabajo.
NIVEL 1 (de ANÁLISIS). En este nivel se reconocen las siguientes
acciones: se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias)
de los objetos y figuras. Esto se obtiene tanto desde la observación como de la
experimentación. Experimentando con figuras u objetos pueden establecer
nuevas propiedades, sin embargo, no realizan clasificaciones de objetos y
figuras a partir de sus propiedades o la elaboración de definiciones a partir de lo
observado.
NIVEL 2 (CLASIFICACIÓN). En este nivel, se reconocen las siguientes
acciones: se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las
condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante,
pues conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la
Geometría y los requisitos que siempre requieren. También, se realizan
clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su razonamiento
matemático ya está iniciado. Esto significa que, reconocen cómo unas
propiedades derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las
consecuencias de esas relaciones; llevando consigo la estructuración de
demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las entienden en cuanto a
su estructura.
NIVEL 3 (DEDUCCIÓN FORMAL). En este nivel se reconocen las
siguientes acciones: se realizan deducciones y demostraciones lógicas y
formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas; se
comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en
sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las
Matemáticas; se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados
partiendo de proposiciones o premisas distintas lo que permite entender que se
puedan realizar distintas forma de demostraciones para obtener un mismo
resultado. Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de
razonamiento lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas.
NIVEL 4 (RIGOR). En este nivel se reconocen las siguientes acciones: se
conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y
comparar permitiendo comparar diferentes geometrías; se puede trabajar la
Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos,
alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.
2.3.1.2. Fases de aprendizaje
FASE 1 de PREGUNTAS/INFORMACIÓN. Se trata de lograr determinar
los conocimientos previos de los estudiantes, está fase es oral y mediante el
uso de test, preguntas abiertas o individualizadas de parte del profesor que
ayuden a determinar el punto de partida de sus estudiantes y el camino a seguir
de las actividades siguientes, marcado principalmente por las respuestas
entregadas por los estudiantes.
FASE 2 de ORIENTACIÓN DIRIGIDA. Esta fase corresponde al momento
en que los estudiantes deben descubrir, asimilar, aplicar, comprender
conceptos, propiedades o relaciones, siendo está fase donde la importancia de
la capacidad didáctica del profesor/a más se va a necesitar, para determinar el
diseño de actividad más factible para el aprendizaje de sus estudiantes.
FASE 3 de EXPLICACIÓN (EXPLICITACIÓN). Es una fase de interacción
(intercambio de ideas y experiencias) entre estudiantes y en la que el papel del
profesor/a se reduce en cuanto a contenidos nuevos y, sin embargo, su
actuación va dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos/as conforme a lo
requerido en ese nivel. La interacción entre alumnos/as es importante ya que
les obliga o ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible
para los demás.
FASE 4 de ORIENTACIÓN LIBRE. En esta fase, los estudiantes se
enfrentan a desafíos de aplicación de contenidos, idealmente con problemas
abiertos, para que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan ser
de varias respuestas válidas conforme a la interpretación del enunciado. Esta
idea les obliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un
razonamiento y lenguaje cada vez más potente.
FASE 5 de INTEGRACIÓN. En esta fase no se trabajan contenidos
nuevos sino que sólo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una red
interna de conocimientos aprendidos. En esta estructura de actividades se
pueden integrar perfectamente actividades de recuperación para los alumnos/as
que presenten algún retraso en la adquisición de los conocimientos
geométricos.
2.3.2. NCTM
El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) es una
organización definida como una organización profesional internacional
comprometida con la excelencia de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas para todos los estudiantes. Esta organización, en el año 1998,
publica un borrador llamado “Principles and Standards for School Mathematics”,
teniendo la publicación final el año 2000, donde explicita los principios y
Estándares para la organización de currículo, entregando guía y herramientas
para la toma de decisiones para el desarrollo de los programas escolares de
alta calidad en la enseñanza de las matemáticas.
Los principios orientan la acción educativa. Forman parte de las grandes
decisiones subyacentes a todo currículo e implican a los ámbitos políticos,
sociales y económicos, estos principios son definidos como seis temas
centrales: equidad, currículo, enseñanza, aprendizaje, evaluación y tecnología.
Por otra parte los Estándares curriculares representan los contenidos y
procesos matemáticos que los estudiantes debiesen dominar, estos cinco
estándares de contenidos son: Números y Operaciones, Algebra, Geometría,
Medida y Análisis de datos y Probabilidad. Conjuntamente, hay otros cinco
estándares de procesos en los que se presentan modos destacados de adquirir
y usar el conocimiento: Resolución de Problemas, Razonamiento y
Demostración, Comunicación, Conexiones y Representación.
Ilustración 3: Principios y Estándares de NCTM
Nota: La ilustración muestra en forma gráfica lo que indica la NCTM en su
publicación Principles and Standards for School Mathematics.
Entre los fundamentos, respecto de cada principio, para la educación, que
propone la NCTM es posible destacar en cada uno que:
Igualdad. La excelencia en la educación matemática requiere igualdad:
grandes expectativas y un fuerte apoyo para todos los estudiantes.
NCTM
Principios
Equidad
Currículo
Enseñanza
Aprendizaje
Evaluación
Tecnología
Estándares
Contenidos
Números
Operaciones
Álgebra
Geometría
Medidas y análisis de datos y probabilidad
Procesos
Resolución de problemas
Razonamiento y demostraciones
Comunicación
Conexiones
Representaciones
Currículum. Un currículum es más que una colección de actividades.
Este debe ser coherente, estar focalizado en matemáticas relevantes y
estar bien articulado a través de los diferentes niveles.
Enseñanza. Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere
saber y comprender qué es lo que los estudiantes saben y necesitan
aprender de las matemáticas; y luego motivarlos y apoyarlo para que
las aprendan bien.
Aprendizaje. Los estudiantes deben aprender las matemáticas
entendiéndolas, construyendo activamente el nuevo conocimiento a
partir de sus experiencias y conocimientos previos.
Tecnología. La tecnología es esencial en el aprendizaje y la enseñanza
de las matemáticas. Este medio es capaz de influenciar positivamente
en lo que se enseña e incrementar a su vez el aprendizaje de los
estudiantes
Evaluación. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de matemáticas
relevantes y proveer de información útil tanto a profesores como
estudiantes.
Por otro lado la NCTM, propone que los estándares de conocimiento
deben recibir diferentes énfasis a través de los grados (según el currículo
chileno, niveles de enseñanza: de primero básico a cuarto medio).
Ilustración 4: Estándares de conocimiento según NCTM
Fuente: Resumen ejecutivo. Principios y estándares para educación
matemática.
Finalmente, es necesario rescatar que dentro de los estándares de
proceso se menciona la importancia de que los estudiantes se enfrenten
continuamente a problemas, la importancia de realizar demostraciones para
desarrollar un comprensión en sus amplio sentido, la calidad educativa cuando
los contenidos se ven articulados, ya que las matemáticas no es un conjunto
separado de ejes.
2.4. Recursos tecnológicos para el proceso enseñanza-
aprendizaje de la Geometría
Todo docente, a la hora de enfrentarse a una planificación de clase,
necesita seleccionar los recursos materiales didácticos que ayuden a cumplir de
mejor manera con los objetivos propuestos. En consecuencia, es fundamental
elegir adecuadamente los recursos y materiales didácticos, porque constituyen
una herramienta fundamental para el desarrollo y enriquecimiento del proceso
enseñanza–aprendizaje de los estudiantes. En este contexto, podemos
encontrar el uso de las TIC (tecnología informática y de comunicaciones), como
una herramienta de gran relevancia, y que está generado cambios positivos al
momento de observar los resultados en evaluaciones de aprendizajes, tales
como el SIMCE, los cuales se evidencian en las experiencias reportadas en los
últimos años.
En efecto, diversos estudios revelan los logros obtenidos con el uso de
algún procesador geométrico como GeoGebra, tal como sucedió en los estudios
realizados por Iranzo, N y Forlury, J (2009) y por Bernardis, S y Moriena, S
(s.f.), en sus artículos llamados “La influencia conjunta de uso de GeoGebra y
lápiz y papel en la adquisición de competencias del alumnado” y “Análisis de
pruebas en un entorno de geometría dinámica”, respectivamente, donde los
resultados apuntan siempre hacia la promoción de las habilidades geométricas,
al usar procesador, especialmente la de visualización, además de que motivan
el interés de los estudiantes a realizar exploración y verificación de conjeturas.
En los últimos años, gran cantidad de instituciones han reconocido a la
tecnología como una herramienta potente para el desarrollo de aprendizaje
siendo la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) una de las que
propone que el uso de tecnologías de la información y la comunicación en la
educación constituye un apoyo significativo en el proceso enseñanza-
aprendizaje: “La tecnología es uno de los principios para las matemáticas
escolares por lo tanto, la tecnología es fundamental en la enseñanza de las
matemáticas, influyen en las matemáticas que se enseñan y enriquecen el
aprendizaje” (NCTM, 2000, p. 26).
2.4.1. ¿Qué es un procesador geométrico?
Principalmente, un procesador geométrico (también llamados con el
nombre de software de geometría dinámica), es un programa de edición gráfico
que da la posibilidad de dibujar diagramas geométricos en la pantalla del
computador, teniendo la particularidad de que el diagrama representado se
redibuja de manera continua, conservando intactas las relaciones geométricas
que hayan sido declaradas en su construcción, así como todas las propiedades
geométricas implícitas en ella. Así, la naturaleza de las figuras que se hacen en
un procesador geométrico es diferente a la de los dibujos que hacemos con
papel y lápiz.
Existen diversos programas que se definen como procesadores
geométricos, tales como GeoGebra, Cabri y Geometry Stketch Pad, donde cada
uno se puede diferenciar por funcionamiento, calidad gráfica, precisión
matemática y costos. En particular se ha seleccionado describir en este trabajo,
GeoGebra, debido a su calidad y cualidad de software libre.
2.4.2. Cualidades de GeoGebra
GeoGebra es un software de matemáticas desarrollado por Markus
Hohenware de la Universidad de Salzburgo, Australia. Este procesador, es
capaz de englobar diversas áreas tales como la geometría, el algebra y el
cálculo, debido a que por un lado es un sistema de geometría dinámica, que
permite realizar construcciones geométricas, que posteriormente pueden ser
modificadas dinámicamente, mientras que, por otro lado, es posible introducir
ecuaciones o coordenadas en forma directamente y ofrece un repertorio de
comandos propios del análisis matemático (Castellanos, 2010).
Este procesador, ha tenido la distinción, que reconocen sus cualidades,
siendo galardonado por variadas instituciones internacionales tales como el
European Academic Software Award (Suiza, 2002), el International Free
Software, categoría Education (Francia, 2005) y la Association for Educational
Communication and Technology (USA, 2008).
En el proceso de uso de este programa, es posible advertir la facilidad con
que se logra tener dominio de los elementos de construcción geométrica, esto
debido a dos factores fundamentales, el hecho de que GeoGebra tiene una
versión en español, con lo cual el usuario (de habla hispana), asocia todas las
herramientas que este posee con su nombre, y por otra parte todos los
comandos de la barra de herramienta y barra de menú, tienen nombres que
explicitan su función que además, están señalados con una imagen que ayudan
a su comprensión.
Ilustración 5: barra de herramientas de GeoGebra.
Nota: La ilustración muestra las herramientas que presenta GeoGebra
(Lagos, J. 2012)
Para comenzar a graficar, basta con seleccionar alguno de los iconos
disponibles en la barra de herramientas, que al seleccionarlos, es posible
visualizar en la parte superior la forma en que se debe realizar el dibujo, por
ejemplo, al querer crear un polígono, es posible usar el icono llamado polígono,
el cual indica la forma en que se puede dibujar de la siguiente forma:
Ilustración 6: Interfaz GeoGebra
Nota: La ilustración muestra las herramientas que presenta GeoGebra
(Lagos, J. 2012)
En esta misma imagen, es posible ver que, además existe la interfaz,
donde es posible visualizar la formulación algebraica de los elementos
dibujados. En forma contraria es posible ingresar la expresión algebraica, para
luego observar el elemento que representa, esto se realiza a través de la barra
de entrada que se encuentra en la parte interior, la cual tiene comandos
predeterminados.
Ilustración 7: interfaz entrada en GeoGebra
Nota: La ilustración muestra la interfaz de entrada, para la fotma
algebraica de los elementos, en GeoGebra (Lagos, J. 2012)
3. METODOLOGÍA
Primeramente se realiza una investigación sobre los enfoques de
enseñanza que la literatura especializada entrega, como metodologías,
recomendaciones u orientaciones para el proceso enseñanza aprendizaje de la
geometría. Todo esto se remite a la misma creación del marco teórico donde se
resumen los puntos más importantes.
Luego de esto se realiza una investigación de observación de clases, esto
en vista de los problemas presentados en el aprendizaje del área de geometría,
mostrados en la literatura especializada, por lo cual se vuelve necesario
diagnosticar esta realidad en aulas y advertir la forma en que se está abordando
estos contenidos en aulas chilenas, previo a cualquier diseño de material
didáctico que se proponga.
En consecuencia en este trabajo, la metodología contempló cuatro partes:
la primera relativa a una revisión en la literatura especializada para determinar
enfoques y recomendaciones para la enseñanza de la geometría, lo cual se
reporta en el Marco Teórico; luego una segunda, dedicada a la observación de
clases, para determinar el cómo se presentan contenidos de geometría relativos
a circunferencia y sus ángulos, sección que se le llamó “Observación de
clases”. Luego, una tercera parte de diseño de materiales de enseñanza en
geometría de la circunferencia y sus ángulos, guiándose con las orientaciones
que nos entrega la literatura y con apoyo de un procesador geométrico, la cual
se llama “diseño de material” la cual exige una fase donde se realiza la
validación del material creado, que responde a la cuarta y última parte. En este
capítulo, se describen las tres últimas para una mayor comprensión.
3.1. Observación de clases
En esta sección se especifica la forma en que se realizó el proceso de la
observación de clases, es decir, el tipo de investigación realizada y las
preguntas de investigación que la orientaron, las fuentes de información
recabadas y la forma en que la información recopilada en esta investigación fue
analizada para obtener una muestra de la situación actual de la enseñanza de
las geometría, en aulas chilenas.
3.1.1. Tipo de investigación
La observación de clases se plantea como una forma de investigación
sobre aspectos importantes de la enseñanza de la geometría, en algunas de las
aulas chilenas. El tipo de investigación elegida corresponde a una cualitativa, a
través del método de investigación educativa llamada “estudio de caso”. Los
estudios de casos son descritos por Yin (1989), como el tipo de investigación
donde se describe y analiza una unidad social o entidad educativa única. Este
tipo de investigación es de gran ayuda para este trabajo debido al objetivo que
esta persigue. Tal como la define Walker, en su libro “Método de investigación
para el profesor”, el estudio de caso es un método de investigación, que todo
profesor debiese utilizar, ya que permite llevar a cabo una reflexión profunda
sobre lo que acontece en el aula, para poder formular una hipótesis y nuevas
formas de trabajo que mejoren el aprendizaje. Con esto, se manifiesta que este
trabajo partió con una investigación cuyo propósito fue describir y explicar, la
manera en que se enseñan los contenidos de geometría, pero que como
objetivo de trabajo se traduce en la creación de materiales y metodologías
alternativas que ayuden con soluciones para el problema observado, de malos
resultados obtenidos en evaluaciones nacionales, por parte de los estudiantes
en las pruebas de matemáticas, específicamente en el contenido de geometría.
Por otro lado, este tipo de investigación tiene carácter heurístico, debido a
que pretende corroborar en aula, lo descrito en el marco teórico como el foco
problema.
3.1.2. Fuente de información
En el estudio de campo realizado, las fuentes de información con las
cuales se trabajó fueron tres. La primera corresponde a notas de campo de la
observación de clases a un profesor 1 (Ver anexos), con un enfoque de
observación de forma intencionada, luego una encuesta a un profesor 2, que
tiene características similares al profesor 1, y finalmente, la revisión del
cuaderno de algún estudiante del profesor 1, de modo de complementaran la
información de la observación de clases con las notas de los estudiantes.
Se afirma que la observación fue intencionada porque se esperó
responder las siguientes preguntas ejes, a través del registro de las clases
observadas:
¿Se realizan actividades que ayuden a lo visualización de los teoremas y
conceptos tratados en clases? ¿De qué forma? ¿Se utiliza procesadores
geométricos?
¿Los estudiantes descubren por si mismos las propiedades de los ángulos
de la circunferencia? ¿De qué modo?
¿Se presentan problemas contextualizados o que representen desafíos
para los estudiantes?
3.1.3. Pregunta de investigación
¿Cómo se enseña teoremas y demostraciones de circunferencia en un
segundo medio?
3.1.4. Marco situacional
La investigación se desarrolló en el liceo Nuestra Señora de las Mercedes
de Puente Alto, colegio que pertenece a la Corporación Educacional del
Arzobispado de Santiago. Este establecimiento es mixto, de financiamiento
compartido, de jornada escolar completa y que imparte educación científico
humanista.
Es importante señalar que, este establecimiento corresponde al centro
donde la autora de este trabajo realizó su práctica profesional docente, por lo
cual, tanto directivos, profesor y estudiantes, conocen al observador.
El estudio de caso, se realizó al curso segundo medio A, el cual estaba
constituido por 36 estudiantes, con edades promedios de 16 años, mientras que
el profesor a cargo, al cual llamaremos profesor 1, es un profesor titulado de
Licenciatura en Educación en Matemática y Computación, de la Universidad de
Santiago de Chile.
Las clases observadas son precisamente las correspondientes a la unidad
de geometría, orientada a la sección de circunferencia y sus ángulos1. La
unidad se comenzó a estudiar el día 28 de noviembre del 2012, mientras que
las observaciones se iniciaron el día 30 de noviembre, habiendo una sola
sesión no observada, teniendo un total de 5 sesiones observadas, lo que
equivale a 7 horas pedagógicas, es decir 5,25 horas cronológicas.
En cada una de estas clases, se realizó la observación pertinente,
habiendo una transcripción de estas mismas (ver Anexo 1). El observador se
ubicó en la parte posterior de la sala, de modo de no interrumpir el desarrollo
normal de la clase, y sin distraer a los estudiantes, siendo muy importante la
confianza existente entre el profesor de la clase y la observadora. Debido a la
1 La unidad de geometría se puede subdividir en dos unidades diferentes, tal como se explicita
en el libro de texto del estudiante. La primera unidad es de triángulos y semejanza y la segunda unidad corresponde a circunferencia y sus ángulos.
relación profesor guía y practicante, es que el profesor observado, no se sintió
presionado a realizar una clase perfeccionada y se realizaron clases en forma
normal, en similares condiciones a las realizadas en el contexto de la práctica
de la autora, con un observador presente.
Posteriormente, en la etapa de análisis de los registros, el profesor
observado fue contactado para completar el proceso de realización de una
encuesta. Sin embargo, la encuesta no fue posible de completarse debido a que
el profesor observado, fue desvinculado del establecimiento, al igual que la jefa
de unidad técnica y director, por razones que no se pudieron determinar.
De este modo, en el curso de la investigación, se decidió incorporar la
opinión de un segundo profesor, de similar perfil al profesor observado, con el
propósito de comparar las información recolectada de las observaciones de
clase, lo propuesto por la literatura revisada, y lo que declara un profesor de
matemática, acerca del tema de estudio. A este nuevo participante, lo
llamaremos en adelante Profesor 2. Este profesor 2, corresponde a otro
profesional de la educación titulado de la carrera Licenciatura en educación
matemática y computación, de la Universidad de Santiago de Chile, quien
realiza clases de matemática en el colegio Pablo Apóstol de Buin, es decir,
tiene similares características similares al Profesor 1, al cual se observó en su
desarrollo de las clases. La entrevista completa al Profesor 2, fue reproducida
en Anexo 6.2.
3.1.5. Para el análisis de los registros de observación
Una vez realizada la observación de las clases, del tema circunferencia y
sus ángulos, y de realizar la transcripción de las clases observadas, fue
necesario responder las preguntas ejes de la investigación, las cuales fueron
planteadas antes de realizar la misma observación, dado que con esta acción,
es posible hacer un primer acercamiento para contrastar lo realizado en las
clases, tanto por el profesor como por los estudiantes, con las orientaciones
pedagógicas entregadas por la literatura especializada. En particular, se
preguntó:
¿Se realizan actividades que ayuden a desarrollar algunas de las
habilidades geométricas (visualización, comunicación, dibujo y
construcción, razonamiento y/o aplicación o transferencia)? ¿De qué
forma? ¿Se utiliza procesadores geométricos?
¿Los estudiantes descubren por si mismos las propiedades de los
ángulos de la circunferencia? ¿De qué modo?
¿Se presentan problemas contextualizados o que representen desafíos
para los estudiantes?
En base a esas preguntas, a continuación, se realizó una revisión y
análisis de las acciones realizadas en las clases, para determinar la presencia
y/o ausencia de aspectos relevantes propuestos en la literatura, tales como las
habilidades promovidas, niveles de razonamiento obtenidos, correcto desarrollo
de fases de aprendizaje, principios para la educación presentes y los
estándares de proceso utilizados. También se buscó destacar acciones nuevas,
que no se identificaran dentro de la literatura, y que contribuyeran al desarrollo
de los aprendizajes de los estudiantes. Se buscó complementar y diferenciar los
resultados preliminares de las observaciones con las explicaciones dadas por el
profesor 2, pero que nos informa acerca de las decisiones didácticas típicas que
realiza, tales como, el tiempo de dedicación a cada actividad, el uso de
visualizaciones, el uso de tecnología y otras. Con todo lo anterior, se obtuvo
una caracterización acerca de las clases correspondientes al contenido
circunferencia y sus ángulos, de segundo medio, en un aula chilena.
3.2. Diseño de material didáctico
En esta sección, se explican aspectos metodológicos contemplados en el
diseño de los materiales, es decir, se da a conocer la forma y los materiales
necesarios para el desarrollo de la propuesta de material que se elaboró, por
ejemplo, el contenido a abordado, las habilidades que se deseó fomentar y
enfoques de enseñanza que se utilizaron, especificando el tipo de material que
elaboró y la herramienta tecnológica que se utilizó en este material.
3.2.1. Contenidos a abordar
El contenido a trabajar, en la propuesta de material didáctico, es aquel
planteado por el MINEDUC (2011), entre los contenidos mínimos obligatorios
para segundo medio, en la segunda unidad, la unidad de geometría,
específicamente el contenidos de ángulo del centro de la circunferencia y
ángulo inscrito de la circunferencia, donde además se proponen como
aprendizajes esperados, que los estudiantes logren:
Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia, y
relacionar las medidas de dichos ángulos.
Demostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por
cuerdas y secantes de una circunferencia.
3.2.2. Habilidades y enfoques de enseñanza a desarrollar
En diferentes niveles y con distintas frecuencia, dentro de los materiales a
elaborar se vio necesario abordar los contenidos con cada una de las
habilidades nombradas en el marco teórico: visualización, comunicación, dibujo
o construcción, razonamiento y aplicación o transferencia, estando presente los
primeros 4 niveles de razonamiento de Van Hiele, es decir, con el material que
se desarrolla, no se espera que los estudiantes logren el nivel de rigor, pero si
se espera que, al menos, la gran mayoría de los estudiantes puedan lograr
realizar en forma “correcta” la deducción formal (no es necesario que siempre
este bien realizada una deducción formal, pero sí que los estudiantes, hagan
sus esfuerzos pará realizarlo).
Respecto de los estándares de proceso, propuestos por la NCTM, es
necesario advertir, que estos se encuentran presentes en las habilidades
descritas anteriormente. Se puede ver que las habilidades de razonamiento,
comunicación y representación se presentan como parte de los estándares de
proceso de razonamiento y demostración, comunicación y representación (en
algunos casos vemos que tienen el mismo nombre), mientras que la habilidad
de aplicación y transferencia, se presenta como parte de los estándares de
resolución de problemas y conexión.
3.2.3. Material a elaborar
Los materiales a elaborar fueron precisamente dos: el primero
corresponde al material para los estudiantes, donde se pretendió desarrollar las
habilidades geométricas ya descritas y presentadas en este mismo trabajo, a
través de los estándares de proceso propuestos por la NCTM. Se propuso
trabajar con 2 Actividades del estudiante, que se describen a continuación:
Mundo circular: donde se trabaja los trazos que se encuentran en una
circunferencia y las relaciones que existen entre el ángulo del centro y
el ángulo inscrito.
Relacionando segmentos de la circunferencia: donde se trabajo los
contenidos de propiedades entre cuerdas de circunferencia,
propiedades entre secantes de una circunferencia y propiedades
entre secante y tangente de una circunferencia.
Su estructura es común y se determina en 6 partes fundamentales, que
los estudiantes deberán trabajar en cada guía de trabajo, para cada contenido,
las cuales los estudiantes podrán reconocer con los siguientes nombres.
Explora: donde se pretende que el estudiante desarrolle la habilidad
de visualización
Exprésate: donde se pretende que el estudiante desarrolle la
habilidad de comunicación
Construye: donde se pretende que el estudiante desarrolle la
habilidad de dibujo y construcción, y donde los estudiantes realizar
trabajo con GeoGebra.
Demuestra: donde se pretende que el estudiante desarrolle la
habilidad de razonamiento, y donde es necesario conectarse con lo
realizado en GeoGebra.
¿Cómo estoy?: donde se pretende que el estudiante desarrolle la
habilidad de aplicación y transferencia y donde debe realizar
ejercicios y se enfrentan a problemas
Algo más: en esta sección también se trabaja la habilidad de
aplicación transferencia pero entregando datos que completen o
cierre el aprendizaje.
Es necesario destacar que, para cada contenido a trabajar, no es
necesario que se utilicen todas y cada una de las partes de una guía recién
presentadas, pero si es fundamental el realizarlo en el orden indicado,
respondiendo a los niveles de aprendizaje que propone Van Hiele.
El segundo material diseñado, corresponde al material para el profesor,
donde se le entrega las orientaciones didácticas para que realice correctamente
las fases de aprendizaje, y donde se presenta la forma en que es posible llegar
a desarrollar el razonamiento y las demostraciones geométricas.
3.2.4. Uso de GeoGebra
Gracias a que este procesador geométrico es amigable con el usuario, no
es necesario tener una clase específica para aprender a utilizarlo. De esta
manera, se propuso el uso del procesador, directamente en las actividades, sin
necesidad de apresto más que la propia exploración del estudiante. Sin
embargo, sí se ve necesario que el profesor sea capaz de revisar las opciones
del programa anteriormente o de revisar el manual en línea, disponible en
http://www.geogebra.org/cms/, para poder tener un manejo óptimo de las
herramientas que este dispone. Así, el uso del procesador geométrico
GeoGebra, se hizo con dos propósitos. Primero para poder hacer la
visualización de los objetos geométricos, y luego, para poder realizar y revisar
los procesos geométricos en la construcción, para poder lograr la deducciones
necesarias para las demostraciones.
3.3. Para la validación de material propuesto
Tras la elaboración de las actividades para el estudiante y las
recomendaciones para el profesor, el material desarrollado, fue enviado a un
profesor experto, el que actuó como validador de la propuesta, haciendo
observaciones, correcciones y sugerencias respecto del contenido y tratamiento
de los contenidos, así como, de la metodología empleada en el uso del
procesador geométrico GeoGebra.
La validación del material elaborado, la realizó el profesor Mauricio Moya
Gaete, quien es un profesor de matemática y computación de la Universidad de
Santiago, magister en educación con especialidad en didáctica de la
Universidad Humanismo Cristiano, y que ejerce como docente en las áreas de
tecnología educativa, didáctica de las matemáticas y práctica profesional
docente, tanto en Universidad Academia de Humanismo Cristiano como en la
Universidad Diego Portales.
Esta persona presenta una alta idoneidad para cumplir con el papel de
validador, puesto la mayor parte de su tiempo lo ha dedicado a ser diseñador
curricular y creador de material didáctico, para el área de matemática, por lo
cual tiene una vasta experiencia en la evaluación de guías, actividades, pautas,
etc., para el trabajo con estudiantes de educación media.
Al evaluador, se le entregó una pauta de apreciación con puntos
fundamentales que debía contemplar el diseño del material, la cual se adjunta
en el Anexo 6. 8. Con las observaciones del validador, se trabajó en las mejoras
del material para responder a los estándares señalados en esta propuesta.
4. RESULTADOS METODOLÓGICOS
Respondiendo a las cuatro partes en que se dividió la propuesta
metodológica, más la necesidad emergente de validación de la propuesta
didáctica, es que en este capítulo se presentan precisamente, los resultados en
cuatro secciones: primero los resultados de investigación de enfoques de
enseñanza, luego el análisis de los aspectos de enseñanza en algunas aula
chilenas, donde se realizó la observación de clases y en forma conjunta, una
entrevista a un profesor, tercero el desarrollo del diseño de material propuesto,
y finalmente, los resultados de la validación del mismo material.
4.1. Revisión de enfoques de enseñanza de la geometría
Esta sección se trabajo íntegramente en el marco teórico, donde se
especifica los dos enfoques de enseñanza que se toman como referencia para
la observación de clases y para el desarrollo de material, siendo estos, la
propuesto de Van hiele y sus fases de aprendizaje, y por otro lado, los
estándares de proceso que propone la NCTM. Por otra parte, se toma como
objetivo el poder desarrollar las habilidades geométricas que se describe en la
literatura y por tanto también en el marco teórico. La integración de todo esto,
es lo que se propone como orientaciones para enfocar la enseñanza de la
geometría.
4.2. Análisis y resultados de investigación de aspectos de
enseñanza en aulas chilenas.
Un primer resultado del análisis de las observaciones de clases realizadas
al profesor 1 y la entrevista al profesor 2, permitió primeramente advertir una
tendencia al poco desarrollo de conjeturas y demostraciones de los estudiantes
de enseñanza media en clases de matemática, tal como lo reporta Roberto
Araya (2007) y los videos de clases del TIMMS (2004) realizadas en aulas
chilenas, y por otra parte, la escasa implementación de las recomendaciones
que entrega la literatura, acerca de la importancia del desarrollo de habilidades
geométricas, de estructurar la enseñanza en fases de aprendizaje, como lo
propone Van Hiele, y otras, que no fueron observadas en el desarrollo de las
clases. Para organizar los resultados del análisis realizado, se retoman ahora
las preguntas ejes, que se propusieron como fuentes de información, de este
modo, se reporta un análisis parcelado en cada uno de los puntos importantes y
por cada profesor participante del estudio.
4.2.1. Desarrollo de habilidades y uso de procesador
geométrico
Una pregunta propuesta para la observación del Profesor 1 fue: ¿Se
realizan actividades que ayuden a desarrollar algunas de las habilidades
geométricas (visualización, comunicación, dibujo y construcción, razonamiento
y/o aplicación o transferencia)? ¿De qué forma? ¿Se utiliza procesadores
geométricos?
Entendiendo la visualización como un proceso, en donde el estudiante ve
una imagen para el estudio de sus propiedades, es posible decir que, sí se
realizaron actividades de visualización en las clases observadas, pero ellas
estuvieron ausentes de una parte muy fundamental, que el estudiante pueda
cambiar las condiciones o algunos patrones para explorar de lo que sucede con
ciertos cambios. Esto se constató en la primera observación hecha al profesor
1, donde él presenta una ilustración para acompañar cada definición, como la
medida de longitud de un arco, relacionándolo con el ángulo del centro y la
visualización de un ángulo semi-inscrito, pero esta visualización es única y fija,
y no permite la exploración.
Otro aspecto ausente, fue el desarrollo de la habilidad de comunicación, la
cual fue muy poco practicada por parte del mismo Profesor 1 y también de sus
estudiantes. Por ejemplo, para explicar un concepto matemático, el profesor 1
se remitía a tomar como referencia la definición de su libro (Santillana de 2°
medio, el cual no corresponde al libro entregado por el Ministerio de Educación
en 2012) y a realizar el dictado de la definición dada en el libro para que la
copiaran los estudiantes a su cuaderno. Otro ejemplo de la falta de
comunicación en las clases analizadas del Profesor 1, fue encontrado cuando
los estudiantes tuvieron que resolver problemas. De las clases observadas, fue
nulo el registro de de estudiantes tratando de explicar el método de resolución
que utilizó para cierto problema o de las conjeturas que realizó para algún
ejercicio.
En cuanto al desarrollo de la habilidad de dibujo y construcción, se
observó que esta se limitó a la reproducción en el cuaderno de un dibujo
realizado por el Profesor 1 en la pizarra, y que en muchos casos, los
estudiantes lo hicieron de manera incorrecta, ya sea de forma
desproporcionada, es decir, sin las propiedades que conlleva un dibujo
geométrico. Las otras dos habilidades, razonamiento y aplicación o
transferencia, estuvieron totalmente ausentes en las observaciones de clases
realizadas. Por ejemplo, ninguno de los estudiantes realizó conjeturas, por si
mismo, ni mucho menos demostraciones de propiedades geométricas
estudiadas, y el profesor tampoco los estimuló a realizarlas.
De todo lo anterior, es posible inferir que las habilidades geométricas
fueron poco trabajadas y que la única herramienta metodológica utilizada fue el
pizarrón, es decir, no se utilizó ninguna herramienta tecnológica ni mucho
menos un procesador geométrico. Por otra parte, si se analiza lo que declara el
Profesor 2 en su entrevista, se constata que él entrega gran importancia al
desarrollo de habilidades matemáticas para esta unidad, pero que no tiene
claridad sobre su significado o las confunde. Por ejemplo, ante la pregunta:
¿Considera usted que en esta unidad es posible desarrollar habilidades de
razonamiento?, el Profesor 2 entrega una respuesta en la cual evidencia que
asimila la habilidad de razonamiento con la de aplicación y transferencia,
indicando que esta unidad permite el desarrollo de otros contenidos como
“Thales”.
Sin embargo, no se puede negar que este Profesor 2, sí intenta que sus
estudiantes realicen razonamientos matemáticos, puesto que él declara que si
realiza demostraciones en sus clases, las cuales son parte de las habilidades
de razonamiento geométrico. Un punto muy favorable destacado en este
Profesor 2, es que él realiza actividades con uso de un procesador geométrico
(GeoGebra) y bajo su experiencia, esto ha tenido buenos resultados en su
práctica, debido al interés que produce en los estudiantes el trabajar con este
tipo de herramientas, favoreciendo en gran parte el aprendizaje. Pero tal como
él lo menciona, esta herramienta la está utilizando solamente, para el desarrollo
de la habilidad de visualización.
4.2.2. Descubrimiento de propiedades geométricas
La segunda pregunta eje propuesta fue: ¿Los estudiantes descubren por
si mismos las propiedades de los ángulos de la circunferencia? ¿De qué modo?
Para la cual, dentro de los registros de las observaciones al Profesor 1, se
obtiene una respuesta clara y categórica: no se realizan actividades de
descubrimiento. Cabe destacar que, a pesar de que el profesor propuso en la
segunda clase, como objetivo el descubrir los teoremas de los ángulos de las
circunferencias, el desarrollo de todas las clases fue proponer una relación con
ángulos y aplicarla a ejercicios tipo.
Respecto del Profesor 2, es importante señalar que de la entrevista, no es
posible inferir si las demostraciones y descubrimiento de propiedades las
realizan los mismos estudiantes o no, pero ante la pregunta realizada:
¿Considera usted que en esta unidad es posible desarrollar habilidades de
comunicación?, es posible desprender que la clase se centra en lo que el
profesor comunica, más que lo que los estudiantes son capaces de comunicar,
a partir de las situaciones presentadas en clase. Lo cual denota un enfoque
centrado en la actividad del profesor por sobre un enfoque centrado en lo que
los estudiantes descubren.
4.2.3. Problemas y ejercicios propuestos
La tercera pregunta eje que se propuso para la observación de clases del
profesor 1 fue: ¿Se presentan problemas contextualizados o que representen
desafíos para los estudiantes? Las respuestas a las anteriores preguntas,
hacen inferir que es evidente que en la unidad desarrollada, se trabajó con
ejercicios descontextualizados, es decir, con un nivel de abstracción de la
realidad, lo cual posiblemente conlleva a una desmotivación por el aprendizaje
matemático, debido a que para el profesor y para el estudiante, está unidad de
trabajo representa un contenido que no tiene aplicabilidad y que por tanto no es
importante conocer.
El profesor 1 no presentó o propuso algún problema para que los
estudiantes resolvieran, sino más bien ejercicios donde se aplicaba cierta
propiedad. Se puede evidenciar en la tercera observación de clases, que el
profesor presentó un ejercicio el cual comprende un mayor grado de dificultad,
pues involucraba conocimientos anteriores, pero este ejercicio aún así, no
cumple con los requerimientos de un problema tal como se propone en la
literatura, es decir, que promueva la habilidad aplicación y transferencia, y
también, como un estándar de proceso de la educación propuesto por la NCTM.
Respecto del profesor 2, no se le preguntó directamente sobre el uso de
problemas reales en esta unidad, pero dada las respuestas que entrega en
variadas preguntas (preguntas 1, 2, 8 y 13), es posible inferir que la aplicación
que trabaja el profesor 2, está referida igualmente a ejercicios y no a problemas,
tales como se definen en este trabajo en la habilidad de aplicación y
transferencia y como NCTM propone en el estándar de proceso de conexión,
puesto que el profesor hizo alusión a los ejercicios que están en el libro de
matemática del estudiante, ejercicios que no cumplen con los requerimientos
de un problema real, al igual que lo que fue observado en las clases con el
Profesor 1.
4.2.4. Importancia de la unidad circunferencia
Otra de las observaciones importantes que se realizó durante el desarrollo
de las clases, y que no fue propuesto como una pregunta eje de la observación
para el profesor 1, pero que emergió de las observaciones realizadas, fue el
hecho que el profesor mismo aludido, no le asigna mucha importancia a la
unidad de circunferencia y sus ángulos en el currículum de segundo medio, lo
cual es transmitido por él mismo a los estudiantes con frases tales como: “este
teorema no se utiliza mucho, pero tienen que conocer” o “esto es algo
pequeño”. Frases como estas, pueden incidir en gran forma en el entusiasmo
del estudiante por el aprendizaje de la unidad.
En forma general, es posible afirmar, que las clases se limitaron a la
entrega de una definición y luego a un conjunto de ejercicios
descontextualizados, con lo cual se puede inferir que la planificación de
actividades no tuvo la dedicación necesaria para provocar interés o motivación
de parte de los estudiantes, sino más bien, se toma como objetivo, el completar
la transmisión de algunos de los contenidos mínimo obligatorios del programa
vigente, lo cual se suma al poco tiempo que se cuenta para la desarrollo de esta
unidad, debido a que se comenzó a desarrollar ésta al termino del mes de
noviembre, sabiendo que en el mes de diciembre, solo se dispone de 2
semanas antes del cierre del año escolar y que las calificaciones deben estar
procesadas a esa fecha. Esto revela, como a menudo, se realiza una mala
planificación anual de los contenidos a enseñar, que no se contempla la
dedicación del tiempo necesario para todas y cualquiera de las unidades, y por
tanto, algunas de ellas son casi condenadas a la poca importancia, como
ocurrió con la unidad de circunferencia y sus ángulos. También es importante
aludir a la ausencia de evaluación de la unidad, lo cual se contradice con lo que
nos propone la NCTM, como un principio de evaluación, dado que es
importante entenderlo como un apoyo al aprendizaje y que revela información
importante para el estudiante y para el profesor.
En forma contraria el profesor 2, en sus respuestas se refiere a un alto
grado de importancia de la unidad de circunferencia, y éste se refiere a la
relevancia de planificar bien esta unidad y que además se incluya trabajo con
GeoGebra para acrecentar el interés de los estudiantes en esta unidad, pero
lamentablemente, en la pregunta 8 que se refiere a que la importancia de esta
unidad, es el mismo profesor quien se remite a indicar que este contenido se
enseña por tradición, que por su utilidad para el desarrollo de habilidades o a su
aplicación en el entorno, recordándonos que este mismo profesor es quién
declara no conocer alguna aplicación del contenido a la vida real.
Finalmente, siendo la pregunta de investigación: ¿Cómo se enseña
teoremas y demostraciones de circunferencia, en segundo año medio?, es
posible decir que en muchos de los casos observados, se realizó una clase
centrada en el profesor, donde se entrega una relación y luego se realizan
ejercicios de aplicación, los cuales son descontextualizados. A pesar de las
recomendaciones sobre el uso de tic, y específicamente de procesadores
geométricos para fomentar el aprendizaje, se constata que no está siendo
incorporado como una herramienta importante para el desarrollo de habilidades
geométricas, y el problema es que, ante el poco y nulo uso de procesadores
geométricos, hasta donde se ha observado, estamos en ausencia de otros
métodos que novedosos y que produzcan mejoras en los resultados en el área
de geometría en pruebas nacionales e internacionales, por tanto, podríamos
erróneamente estar desechando un método servicial, al alcance de cualquier
profesor.
4.3. Propuesta de materiales
El material que se elaboró, constó de 2 actividades para el estudiante, y
para cada una de ellas, se confeccionó además una guía con indicaciones al
profesor, tal como se expuso en el capítulo 3.2. Diseño de material didáctico. El
material diseñado en una primera instancia, se adjunta en forma completa en el
Anexo 6.7, tal como se presentó al experto para su evaluación, de acuerdo a lo
que se describe en la metodología, sección 3.3, permitiendo dar origen a los
resultados de la validación, los cuales sirvieron para implementar las mejoras
en el material propuesto.
El material creado persiguió una estrecha relación con las habilidades
geométricas que se describieron en el marco teórico, implementando las fases
de aprendizaje que propuso Van hiele, junto con los estándares de proceso que
propone la NCTM. De acuerdo a lo anterior, en esta sección, se describen
explícitamente los elementos presentes en el diseño de cada uno de los
materiales del estudiante, y que se alinean a las sugerencias de la literatura.
4.3.1. Enfoque de Van Hiele en los materiales
Actividad 1: Mundo circular
La fase 1, propuesta por Van Hiele, referida a preguntas/información se
refleja en la sección COMENCEMOS, dado que es aquí donde se identifican
los conocimientos previos.
En la sección EXPLORA, se trabaja la fase 2, de orientación dirigida, porque
es aquí donde se pretende que el estudiante descubra propiedades y/
relaciones
En la sección EXPRESATE, se trabaja la fase 3, ya que aquí se espera que
el estudiante realice conjeturas y las exprese en forma escrita.
En las secciones CONSTRUYE y DEMUESTRA, se trabaja la fase 4, de
Orientación libre, ya que ambas secciones corresponden a una problemática
abierta, donde el estudiante debe usar sus conjeturas y generalizarlas.
En la sección ¿CÓMO ESTOY?, se trabaja la fase 5, de integración, ya que
en esta parte el estudiante debe sintetizar sus conocimientos adquiridos,
primeramente resumiéndolos para darlos a conocer a otros y luego
aplicándolos en ejercicios.
Actividad 2: Relacionando segmentos en la circunferencia
La fase 1, propuesta por Van Hiele, referida a preguntas/información se
refleja en la sección COMENCEMOS, dado que es aquí donde se identifican
los conocimientos previos.
La sección CONSTRUYE es capaz de sintetizar las fases 2 y 3, dado que en
esta misma sección, los estudiantes descubren propiedades y las van
expresando en forma inmediata, con las preguntas que se plantean para
cuadro de completación.
En la sección DEMUESTRA, se trabaja la fase 4, siendo la demostración el
desafío, como un problema abierto.
La sección ¿CÓMO ESTOY?, actúa de la misma forma que para la actividad
1, trabajándose la fase 5.
4.3.2. Desarrollo de habilidades geométricas en los materiales
En cuanto al desarrollo de las habilidades geométricas, es importante
mencionar que algunas de ellas, se trabajan en forma transversal durante el
desarrollo de la actividad, o a veces, como enfoque central de una sección de la
actividad, por lo cual, se describe de manera explícita la manera en que se
abordó su desarrollo, a continuación:
La habilidad de visualización, se trabaja en las secciones de EXPLORA y
CONSTRUYE, ya que en estas se construye, observa y manipulan los
objetos geométricos y se analizan ciertas propiedades.
La habilidad de comunicación, se trabaja en ambas actividades de forma
transversal, dado que en cada sección se pregunta, pide comunicar o
compartir sus descubrimientos o conjeturas, pero esta habilidad se trabaja
especialmente en la sección EXPRESTE.
La habilidad de dibujo o construcción se trabaja en la sección CONSTRUYE,
ya que el estudiantes debe reproducir la imagen que se le presenta.
La habilidad de razonamiento, se trabaja esencialmente en la sección
DEMUESTRA, dado que esta actividad representa la esencia de esta
habilidad.
La habilidad de aplicación y transferencia para la actividad 1, se trabaja con
las imágenes que entregan contexto a la sección EXPLORA, pero en la
actividad 2, se trabaja en forma transversal, dado que la transferencia se
realiza con el contenido de proporcionalidad de segmentos.
4.3.3. Estándares de NCTM en los materiales
Es importante mencionar que los estándares de proceso que propone
NCTM, se relacionan en forma directa con las habilidades geométricas que se
han presentado, dándose las siguientes coincidencias.
En el estándar de proceso resolución de problemas, se trabajan las
habilidades de conexión y de aplicación y transferencia.
En el estándar de proceso de razonamiento y demostraciones, se trabaja la
habilidad de razonamiento.
En el estándar de proceso de comunicación se trabaja la habilidad que lleva
el mismo nombre, es decir la habilidad de comunicación.
En el estándar de proceso de Representación se trabaja la habilidad de
visualización y la habilidad de dibujo y construcción.
4.4. Resultados de la validación
Una vez entregado el material elaborado al validador, él reportó por escrito
todas las observaciones y recomendaciones para mejorar las actividades para
el estudiante y la guía con sugerencias para el profesor. Las recomendaciones
han sido íntegramente transcritas a continuación.
4.4.1. Pauta de observación para el evaluador.
En esta pauta, se presenta una pauta de apreciación de los puntos
fundamentes con los cuales se diseñó la propuesta de actividades de
circunferencia. En la pauta, se proponen los siguientes niveles de apreciación
para cada afirmación:
5: Estoy totalmente de acuerdo con lo que ahí se dice.
4: Estoy de acuerdo, pero con ciertas restricciones.
3: Estoy en desacuerdo, pero con ciertas restricciones.
2: Estoy en total desacuerdo.
1: No observado o no corresponde.
Afirmaciones 5 4 3 2 1
La estructura de las actividades representa un orden lógico,
que ayude al entendimiento de los estudiantes.
X
La estructura de las actividades, responde adecuadamente los
niveles de aprendizaje que propone Van Hiele.
X
Los contenidos tratados en las actividades, corresponden a
los estipulados para 2° medio.
X
La aplicación que se entrega en cada actividad es adecuada X
en su relación con el contenido.
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían
desarrollar efectivamente la habilidad de visualización.
X
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían
desarrollar efectivamente la habilidad de comunicación.
X
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían
desarrollar efectivamente la habilidad de dibujo y construcción.
X
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían
desarrollar efectivamente la habilidad de razonamiento.
X
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían
desarrollar efectivamente la habilidad de aplicación y
transferencia.
X
La forma en que se propone el desarrollo de conjeturas y
demostraciones, es coherente con el desarrollo de las demás
secciones de la actividad.
X
La forma en que se propone el desarrollo de conjeturas y
demostraciones, está conforme con los aprendizajes
esperados propuestos por el Ministerio de Educación.
X
El uso de GeoGebra, responde a una necesidad de la
actividad, enriqueciendo el proceso de aprendizaje
X
El uso de GeoGebra está propuesto en las secciones
correctas para el buen desarrollo de la actividad.
X
Las actividades en su complemento, corresponden a una
propuesta novedosa.
X
Las actividades en su complemento, corresponden a una
propuesta que ayude al fortalecimiento del aprendizaje de la
unidad de circunferencia y sus ángulos,
X
1. ¿Qué recomendaciones propondría para mejorar esta propuesta de
actividades?
Se recomienda hacer revisión de estilo, ortografía, errores tipográficos,
redacción…
Se recomienda unificar la notación matemática usando un solo tipo de
editor de ecuaciones, ya sea el incorporado o MathType. Es importante
cuando se trata de un material de esta naturaleza.
Las imágenes deben ser tratadas con la misma calidad en toda la guía.
Por ejemplo todas hechas con GeoGebra en resolución 300 dpi
Acorde al diseño propuesto mejorar las tablas…
En lo metodológico la guía se aprecia muy individualista. No se propone
un trabajo cooperativo que es importante en el aprendizaje matemático.
Sobre todo en la parte de conjeturar.
Intencionar más el uso de GeoGebra, justamente para potenciar la parte
de las conjeturas.
La sección de demostraciones requiere más orientación y guía para el
alumno. Muy abierto no opera.
Las definiciones y teoremas deben quedar fuera de este material. Eso es
más propio de un glosario o material de referencia.
La secuencia de INCIO – DESARROLLO – CIERRE no está muy clara,
especialmente el cierre o síntesis de la actividad. Antes de pasar a la
práctica es necesario un cierre o síntesis que integre los hallazgos.
En general se recomienda que la motivación o inicio incorpore algún
contexto que justamente motive el tema a introducir.
El lenguaje debe uniformarse hacia un lenguaje cercano al alumno o
coloquial. En algunas instrucciones se utiliza tratamiento formal.
2. ¿Qué fortalezas y qué debilidades presentan estas actividades?
Las fortalezas tienen que ver una actividad que pretende que los
estudiantes exploren, descubran y conjeturen. Además propone la
habilidad de demostrar matemáticamente. Por otra parte el uso de
GeoGebra es clave como elemento tecnológico que apoye la
visualización y la generación de conjeturas y posterior verificación.
La debilidad es parte de lo expuesto en el punto 1. Pero en esencia la
secuencia puede mejorar. Por ejemplo saltar de la demostración a la
práctica si hacer un cierre, síntesis y reflexión hace un corte importante
en el esquema INICIO – DESARROLLO – CIERRE. Por otra parte se
podría potenciar más el uso de GeoGebra para apoyar el descubrimiento
y conjeturas. Por ejemplo, en el caso de proporcionalidad que
establezcan en el software las razones y vean lo que sucede
La demostración queda muy abierta.
Por otro lado la actividad no intenciona un trabajo cooperativo, tan vital
en matemática.
A la actividad le faltaron componentes, por ejemplo un glosario.
3. Indique a continuación, si desea, nuevas observaciones a la propuesta
de actividades.
MATERIAL DEL PROFESOR:
El material del profesor tiene un esquema muy rígido, por ejemplo en la
propuesta “ANTE… ”. Se recomienda hacerlo más flexible y en un tono de
sugerencias.
Aquí habría que dar más orientaciones de la secuencia que debería
realizarse para la demostración en cada caso, o al menos los aspectos
claves. La parte de demostración es importante y falta más orientación en
ambos materiales.
No queda claro el rol de la SÍNTESIS o CIERRE en este material y tampoco
en la guía del estudiante. Mejorar la secuencia.
4.4.2. Análisis de resultados de validación
Dentro de las observaciones que realizo el validador, se da cuenta de
que las fortalezas de las actividades están precisamente en las acciones que
desarrollan habilidades geométricas, que dada las observaciones realizadas en
la investigación cualitativa, son necesarias de fortalecer, es decir, en las
actividades propuestas, el estudiante debe explorar, descubrir y conjeturar,
siendo estas una de las habilidades que no fueron vistas en las observaciones
de clases. Junto con esto, es importante que el mismo validador haya
destacado que en las actividades se desarrolla la habilidad de demostración
con un método matemático. Por otro lado, se destaca el buen uso que se da al
procesador GeoGebra, aunque igualmente se recomienda darle mayor
intencionalidad a su uso.
En relación a las recomendaciones que realiza el validador, y que fueron
tomadas en cuenta para realizar cambios en el material creado, están:
Unificar la notación matemática y formato de imágenes gráficas.
Fomentar más el trabajo en grupo en ambas actividades.
Dar más orientaciones a los estudiantes, en la sección de demostración.
Entregar un lenguaje más cercano a lo estudiantes, en los enunciados o
indicaciones.
Secuenciar mejor el inicio, desarrollo y cierre, especialmente el cierre,
dado que no se ve un momento de integración de los contenidos.
Uno de los puntos más débiles encontrados en los materiales, según es
observado en la evaluación que realizó el validador, es el hecho de que las
actividades no mostrarían, en forma clara, que se está utilizando las fases de
aprendizaje de Van Hiele. Se constata entonces la necesidad, de que al menos,
se indique en el las sugerencias al profesor, la intención de cada sección, de
manera de aclarar el propósito de las mismas y que quede claro para cualquier
profesor que tome la guía, las habilidades que se fomentan en cada sección y la
importancia de las mismas.
Finalmente, el validador propone que el material del profesor no sea tan rígido
respecto de las recomendaciones que se le entrega al profesor, y que más bien,
se realice en tono de sugerencias, de modo que el desarrollo sea también
amigable con el profesor que determine trabajar con este material, además de,
mayores orientaciones para que el pueda trabajar las demostraciones.
4.5. Propuesta de material con modificaciones
El material elaborado en primera instancia (Anexo 6.7) fue modificado,
respetando algunas de las recomendaciones dada por el profesor evaluador,
del modo que se especificó en el análisis de resultados de la validación, por lo
cual se mostrará a continuación las 2 actividades para el estudiante y para cada
una de ellas, la guía con sugerencias e indicaciones para el profesor.
4.5.1. Actividad 1 con modificaciones
__________________________________________
Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR.
_________________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y comprobar la existencia de relación entre ellos. Para ello, debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.
Dibuja en el esquema los siguientes elementos:
RADIO – CUERDA – DIAMETRO – RECTA SECANTE – RECTA TANGENTE
Indica cual es el ángulo del centro y ángulo inscrito y luego mide con un
transportador la medida de cada ángulo.
COMENCEMOS
El siguiente esquema representa un escenario al aire libre, en la que se observa el ángulo de visión que debe tener cada persona que se ubiquen en la primera fila.
Con la ayuda de un transportador mide el ángulo de visión del
escenario, que tiene cada persona que está representada por un punto rojo.
Teatro al aire libre El teatro al aire libre nació en la antigua Grecia y era muy parecido a los que se muestran en las ilustraciones adjuntas.
1. ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A?¿Y la B, C
,D y E?
2. ¿Qué relación hay entre esos ángulos?
3. ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con el
ángulo de visión de las personas? Conjetura acerca de lo que podría pasar.
EXPLORA
La imagen adjunta muestra a dos personas que están en un escenario. Ellas son las encargadas de iluminación para una obra de teatro. Ellas tienen como tarea colocar 5 focos que iluminen el escenario completo.
4. Discute con tus amigos sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que
cada haz de luz, ilumine el escenario completo y con la misma intensidad. Escribe
las conjeturas más interesantes
5. Representa la situación con elementos geométricos:
6. Dada la situación de focos en el escenario ¿Qué característica tienen en común
los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?
7. ¿Cómo podrías generalizar la situación anterior?
EXPRESATE
Trabajemos ahora con GeoGebra: PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 8 centímetros, agrega un ángulo del centro y un ángulo inscrito, de modo que subtiendan el mismo arco. Tal como la imagen que se muestra adjunta.
PASO 2. Haz que la figara muestre la medida del ángulo del centro y del ángulo inscrito y responde:
¿Cuál es la medida del ángulo del centro? ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito? ¿Qué relación numérica hay en las medidas de los ángulos?
PASO 3. Cambia la imagen que creaste. Puedes mover el punto B, C y D o incluso puedes cambiar la medida del radio de la circunferencia. Luego responde las siguientes preguntas:
¿Qué pasa con la medida del ángulo inscrito si mueves el punto D, vértice del ángulo, pasando por sobre la circunferencia?
¿Qué pasa con el ángulo inscrito cuando si ángulo del centro mide 180°?
¿Qué pasa con la relación entre los ángulos cuando el radio de la circunferencia es aumentado o disminuido?
CONSTRUYE
Completa la siguiente tabla, ayudándose de lo que usted observa al manipular la figura en GeoGebra.
Medida del ángulo del centro Medida del ángulo inscrito
75°
22°
De qué forma podrías generalizar la relación encontrada entre el ángulo.
Puedes revisar tu respuesta con el profesor.
De lo anterior plantea la hipótesis y la tesis correspondiente y luego realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tales como las propiedades de los triángulos.
Hipótesis: Aquí debes describir las condiciones iniciales o ideas que hasta ahora son
ciertas.
Tesis: Aquí debes escribir aquello que buscar demostrar.
Demostración: Aquí debes hacer una construcción geométrica que te ayude a
verificar tu tesis, escribiendo cada paso que haces y describir cada relación que se crea entre segmentos o igualdades de ángulos, mencionando la propiedad que cumplen.
DEMUESTRA
Explica a tus compañeros aquello que has aprendido y compáralo con lo
que ellos aprendieron
Entre todos los del curso formalicen alguna relación y colóquenla en tu
cuaderno y enmárcalo.
¿Crees que ante algún ejercicio te irá bien? Entonces ponte a prueba.
1. ¿Cuál es el valor del ángulo AOD, si O es el centro de la circunferencia?
a) -
b) -
c) 180 -
d) + e) Ninguna del las anteriores
2. En la figura, DO // CA, AB es diámetro y O es el centro. El ángulo DOC = , determine el ángulo BOD.
a) 180 - 2
b) 90 -
c) 2
d)
e) 2
¿CÓMO ESTOY?
3. En la figura siguiente, se tiene un semicírculo de centro O y <BAC = 20. El valor del ángulo CBD es:
a) 20° b) 35° c) 40° d) 55° e) 70º
4. En la figura, circunferencia de centro O, entonces el valor del ángulo ADO
a) 105º b) 90º c) 60º d) 45º e) 30º
5. ¿Cuánto mide el ángulo BAC?
6. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?
7. 75ºCBA , ¿Cuál es la medida
del arco Y?
8. º72 , ¿Cuánto mide el ángulo
BAC y el arco Y?
4.5.2. Actividad 2 con modificaciones
__________________________________________
Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA
CIRCUNFERENCIA. _________________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la proporcionalidad entre trazos en una circunferencia. Para ello debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.
¿Te acuerdas que es una proporcionalidad?
Proporcionalidad directa Si dos variables, x e y, cumplen que y = k · x donde k es una constante, entonces se
dice que x e y son directamente proporcionales
Sean dos triángulos, tales como los que se muestran en la figura, de los cuales se sabe que son semejante.
1. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que hay entre dos lados
homólogos y por tanto también de los triángulos?
2. ¿Cómo puedes buscar la medada del lado “e”, del cual no se tiene la
medida?¿Cuál es su medida?
COMENCEMOS
Trabajemos ahora con GeoGebra: PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 5 centímetros, agrega dos cuerdas que se crucen entre si, como el que se muestra en la figura, asignándole el nombre P al punto de intersección de las cuerdas
PASO 2. Haz que la figura muestre la medida de los segmentos AP, PB, CP y PD y luego realiza la siguiente actividad:
Completa la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios y prueba con otro que tu quieras
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
5
6
3. ¿Encuentras alguna regularidad entre los segmentos? ¿Cuál?
Completa la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
4
4
Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.
4. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos?
CONSTRUYE
PASO 3. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 5 centímetros de modo que se ubiquen dos cuerda, que al extenderlas, se intercepten en el exterior de la circunferencia, al encontrar el punto de intercepción, asignándole el nombre P.
PASO 4. Realiza el mismo procedimiento de observar las medidas de los segmentos en GeoGebra y repórtalos en las siguientes tablas.
Complete la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios y prueba con otro radio a tu elección
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
5
6
5. ¿Encuentras alguna regularidad entre los segmentos? ¿Cuál?
Complete la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
4
4
Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.
6. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos?
7. ¿Qué pasara con la proporcionalidad cuando los puntos D y E están sobre puestos? Revísalo en GeoGebra.
De qué forma podrías generalizar la relación encontrada entre el ángulo.
Puedes revisar tu respuesta con el profesor.
De lo anterior plantea la hipótesis y la tesis correspondiente y luego realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tales como las propiedades de los triángulos.
Hipótesis: Aquí debes describir las condiciones iniciales o ideas que hasta ahora son
ciertas.
Tesis: Aquí debes escribir aquello que buscar demostrar.
Demostración: Aquí debes hacer una construcción geométrica que te ayude a
verificar tu tesis, escribiendo cada paso que haces y describir cada relación que se crea entre segmentos o igualdades de ángulos, mencionando la propiedad que cumplen.
DEMUESTRA
Explica a tus compañeros aquello que has aprendido y compáralo con lo
que ellos aprendieron
Entre todos los del curso formalicen alguna relación y colóquenla en tu
cuaderno y enmárcalo.
¿Crees que ante algún ejercicio te irá bien? Entonces ponte a prueba.
1. En la figura, O centro de la circunferencia de radio 12, AB es diámetro y AD = DO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AC = 12 II) CD = 6√3 III) BC = 12√3
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III
2. En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 4, AE = 20 y BE = 5. ¿Cuánto mide CD?
a) 29 b) 25 c) 21 d) 14 e) Ninguno de los valores anteriores
¿CÓMO ESTOY?
3. En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 20 cm, la distancia entre el centro de la circunferencia a la cuerda CD es de 5 cm, entonces la cuerda CD mide
a) 5√3 cm b) 10 cm c) 10√3 cm d) 20 cm e) faltan datos para determinarla.
4. En la figura, AB y AE son secantes, AC = 2 cm, AE = 20 cm y ED = 16 cm. La medida de AB es
a) 41 cm b) 40 cm c) 39 cm d) 38 cm e) ninguna de las medidas anteriores.
5. En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 6 cm, DC = 12 cm y DE = 5 cm. El diámetro de la circunferencia mide
a) 2 cm b) 4 cm c) 6,5 cm d) 8 cm e) 13 cm
6. En la circunferencia de la fi gura, PQ tangente, RQ secante, si RQ = 64 y RS = 48, ¿cuál es el valor de PQ ?
a) 32 b) 16√3 c) 12 d) 8 e) Ninguno de los valores anteriores
4.5.3. Material del profesor con modificaciones
Recomendaciones para el profesor
NOMBRE DEL DOCENTE: _____________________________________________________________ COLEG CURSO: 2° medio ____ SUBSECTOR: Matemática TÍTULO DE LA UNIDAD: Circunferencia y sus ángulos CONTENIDOS: ángulo del centro y ángulo inscrito APRENDIZAJES ESPERADOS: identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar las medidas de dichos ángulos y demostrar relaciones de proporcionalidad que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT): Adquirir un sentido positivo del aprendizaje sistemático. Resolver problemas de manera reflexiva, explorando nuevos métodos de resolución de problemas. TIEMPO ESTIMADO: 5 clases (90 minutos c/u) HERRAMIENTAS: transportador, computadores, Data Show y GeoGebra.
SUGERENCIAS PEDAGÓGICAS ______________________________________________________________________________________________________
Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR
______________________________________________________________________________________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y demostrar la existencia de relación entre ellos.
Para esta primera actividad, se estima se dedique un tiempo de 3 clases de 90 minutos para completarla. En una primera clase, es probable que se trabaje hasta la sección EXPRÉSATE, luego en la segunda clase hasta la sección CONSTRUYE y finalmente, en la tercera clase se trabaje para completar las dos últimas secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY? La declaración del objetivo de clase es importante que la realice el profesor mismo, para que los estudiantes puedan orientar sus energías al logro de estos y que éste no pase desapercibido en el desarrollo de la ACTIVIDAD.
En esta sección, se revisan los conocimientos previos de los estudiantes a través del desarrollo de actividades, donde el estudiante debe identificar los objetos geométricos que serán utilizados más adelante, por lo tanto, es importante que el profesor revise minuciosamente que estos conocimientos estén bien logrados.
En esta sección, se espera que el estudiante sea capaz de indagar en una situación nueva y busque patrones. Esencialmente, se espera que imagine y realice mediciones geométricas, en los ángulos. Es en esta sección, se debe utilizar transportador, y por lo tanto, es importante asegurarse que sepan utilizarlo correctamente.
COMENCEMOS
EXPLORA
SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A? ¿Y la B, C , D y E? Es importante que el estudiante registre las mediciones y el cómo las realizo, estimulándolo a tener un orden en su trabajo. SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Qué relación hay entre esos ángulos? Pueden aparecer dos posibles respuestas: una donde relacionen la medida de los ángulos, diciendo que son de igual medida u otra donde se refieren al arco que subtienden. En este caso se vuelve importante que los estudiantes expongan sus respuestas para hacer una retroalimentación con los mismos compañeros. SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con el ángulo de visión de las personas? Si los estudiantes ya se manejan con GeoGebra, podrían hacer esta exploración con el programa, para complementar el aprendizaje. Es posible que algunos estudiantes respondan que el ángulo se hace más chico si el teatro se hace más grande, por lo cual el profesor debe guiar la respuesta generando distintos ejemplos donde se visualicen las condiciones para observar que todo crece proporcionalmente.
Esta es la sección donde los estudiantes deben comunicar sus ideas. El rol del profesor se debe enfocar a poner mayor énfasis, a ampliar o corregir el vocabulario geométrico que están utilizando los estudiantes para expresar sus deducciones. Es posible que en el desarrollo de la clase el profesor tenga que realizar la completación de un glosario en el cuaderno de los estudiantes, lo cual complementa el desarrollo de las actividades.
SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: Conjetura sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que cada haz de luz, ilumine el escenario completo: Es posible que el estudiante responda que se debe colocar los focos más arriba o más abajo, correrlos hacia un lado u otro, pero es el profesor quien debe guiar a los estudiantes para que encuentren el lugar geométrico, es decir, que identifiquen los posibles lados del ángulo que determinan que el haz de luz coincida exactamente con el ancho del escenario. Idealmente, se espera que, el estudiante identifique un arco de circunferencia que cumple con este requerimiento para así pasar a representar la situación.
SUGERENCIAS PARA LA INDICACIÓN: Represente la situación con objetos y elementos geométricos Si los estudiantes presentan alguna dificultad para realizar esta actividad, será necesario indicarles a los estudiantes que revisen la primera ilustración de la parte de exploración con la imagen de los focos, para ver las similitudes y llegar a la visualización correcta de la situación
EXPRESATE
planteada. Es posible que haya que clarificar a los estudiantes que esto es una simplificación de un problema de iluminación, porque este trabajo comprende un desafío mucho mayor.
SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Qué característica tienen en común los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?
Esta respuesta, puede ser muy parecida a la segunda pregunta de la parte de exploración, por lo cual se debe pedir a los estudiantes que expresen, cada vez, de manera más completa su respuesta, antes de dar paso a la siguiente pregunta.
SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Cómo podrías generalizar la situación anterior? Aquí se debe hacer una conjetura más formal de todo lo visto anteriormente, nombrando los objetos y elementos geométricos que están presentes y la medida en la que se relacionan. Esta sección es muy dependiente del avance que tengan los estudiantes, para determinar si es posible que lo realicen los estudiantes en forma personal o en conjunto con el profesor, teniendo una ayuda para completarla
Esta sección, se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual sería importante que el profesor pueda realizar previamente, las construcciones geométricas que se realizarán en esta actividad, para así estar más interiorizada en el proceso que deben enfrentar los estudiantes y poder dirigir de mejor forma el trabajo de ellos. Se espera que los estudiantes tengan experiencias previas de trabajo con GeoGebra, de modo que estén familiarizados con su uso y funciones Por otra parte es importante tener en cuenta la implementación necesaria para trabajar, para asegurar tener el material que se necesita. Puede usar un laboratorio donde los estudiantes trabajen en parejas o en grupo, o con proyección en el aula, todo esto dependiendo de las herramientas y disponibilidad de la tecnología, que tenga el establecimiento. Es importante que esta sección la trabajen al menos en pareja, para complementar los aprendizajes, entre compañeros. En el caso de usar una proyección en la sala de clases, es importante que la manipulación de los objetos sea realizada principalmente por los estudiantes, pues son ellos los deben descubrir las relaciones. Así, esta sección está centrada en la actividad personal de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra para la construcción Sólo al final de la clase, se espera que el profesor dirija la actividad para que los estudiantes compartan sus resultados.
CONSTRUYE
Esta sección, está abierta a la decisión del profesor de cómo trabajar la demostración del teorema. Se puede realizar en pizarra con participación de algún estudiante en forma conjunta con el profesor o en forma grupal o individual con apoyo del profesor, esto dependiendo del nivel de experiencia de los estudiantes haciendo demostraciones, puesto que para algunos estudiantes esta será la primera vez que deben realizar una demostración en formalmente.
La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades de triángulos, sugiriendo realizar esta construcción geométrica es posible trabajar una demostración relacionada con la figura siguiente.
Es importante que antes de comenzar esta sección, los estudiantes puedan resumir y transmitir los conocimientos adquiridos, por ello el profesor debe motivar a los estudiantes a que compartan sus apreciaciones. También es importante en esta sección, que los estudiantes realicen ejercicios tipo SIMCE, porque es la realidad, que ellos están viendo como más inmediata que tendrán que enfrentar. Por otra parte, estos ejercicios representan un desafío de abstracción de todos los contenidos que se han visto en la ACTIVIDAD. Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?:
1.- D 2.- D 3.- B 4.- C
5.- 48° 6.- 34° 7.- 90° 8.- 90° y 144°
DEMUESTRA
¿CÓMO ESTOY?
Recomendaciones para el profesor
______________________________________________________________________________________________________
Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
______________________________________________________________________________________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la proporcionalidad entre trazos en una circunferencia.
Para esta segunda actividad, se estima un tiempo de 2 clases de 90 minutos. En una de ellas se probable y espera que se trabaje las secciones COMENCEMOS y CONSTRUYE, mientras que en una última clase se trabaje las secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY? Es fundamental, tomar en cuenta las indicaciones entregadas en la actividad 1, sobre el cómo enfrentar cada sección se la actividad, considerándose el objetivo que tiene cada una.
En esta sección los estudiantes deben llegar a proponer las ecuación que representa la proporcionalidad de los segmentos que conforman el triangulo. Recordar que este es un aprendizaje que debió ser trabajado justamente antes de proponer el contenido de circunferencia, pues estas relaciones se trabajan en semejanza de triángulos, por lo cual no debería revestir mayor dificultad, si se trabajo adecuadamente el contenido de proporcionalidad, de no ser así, se necesitara orientaciones didácticas.
Esta sección se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual, al igual que en la actividad anterior queda a criterio del profesor, según las herramientas disponibles. Esta sección es para uso exclusivo de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra.
SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos? Para que los estudiantes puedan encontrar las relaciones correctas, puede ser necesario, motivarlos a probar, calculando la razón entre las medidas de pares de segmentos o la multiplicación de la medida de los segmentos e ir observando alguna regularidad. Es probable que al revisar el trabajo de los estudiantes haya que preguntar ¿Ves alguna regularidad o igualdad?. Ellos debiesen descubrir, que corresponde a una proporcionalidad, tal como lo visto
COMENCEMOS
CONSTRUYE
en los triángulos. El profesor puede guiar el descubrimiento por medio de preguntas, tales como: ¿cómo son las medidas de los segmentos? ¿Cómo se los puede comparar? Luego puede sugerir realicen algunos cálculos con las medidas que les permitan deducir la proporcionalidad.
La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades encontrada en la actividad 1, sobre la relación de las medidas del ángulo del centro y el ángulo inscrito de triángulos, sugiriendo la construcción de dos triángulos y así el estudiante podrá realizar observación sobre los ángulos congruentes, dado que son opuestos por el vértice y que los ángulos subtienden el mismo arco, como en la siguiente figura.
ORIENTACION: Se deben crear triángulos, que se definen con los puntos de las secantes sobre la circunferencia y luego ver los ángulos congruentes, por ser opuestos por el vértice y aquellos que subtienden el mismo arco.
Es importante que antes de comenzar esta sección, los estudiantes puedan resumir y transmitir los conocimientos adquiridos, por ello el profesor debe motivar a los estudiantes a que compartan sus apreciaciones. Los ejercicios propuestos los debe hacer el estudiante en forma individual, para que pueda poner a prueba sus propios conocimientos, para luego hacer paso a una revisión, en forma grupal, de los resultados obtenidos. Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?:
1.- E 2.- A 3.- C
4.- B 5.- B 6.- D
Para finalizar el proceso el profesor debe incentivar a los estudiantes para que ellos mismos puedan evaluar los conocimientos adquiridos y que nombren los conocimientos relevantes.
DEMUESTRA
¿CÓMO ESTOY?
5. CONCLUSIONES
En este seminario de titulo se plantearon tres objetivos, siendo el primero
de estos, realizar una revisión en la literatura especializada, sobre enfoques de
enseñanza de la geometría, que sirviera como referencia para la posterior
creación de material didáctico.
De las propuestas revisadas, destacan las escritas por el National Council
of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) y la Sociedad Andaluza de
Educación Matemática Thales (SAEM Thales, 2005), junto a la robusta
presentada por el doctor en matemática Van Hiele (Van Heile 1959 citado por
Fouz, F. & de Donosti, B., sf), pero a pesar del prestigio que presentan estos
autores e instituciones y de la completa propuesta teórica que ellos proponen,
se constató que existen escasos trabajos que desarrollen esas estas mismas
metodológicas, especialmente, aplicados a los contenidos de circunferencia y
sus ángulos. Esto resulta preocupante, debido a que, estudios que nos
demuestran el poco abordaje que tienen los contenidos de geometría en la
enseñanza media (Araya, 2007) y los bajos niveles de logro que han obtenido
los estudiantes chilenos, en diversas pruebas nacionales e internacionales
(MINEDUC 2004c; MINEDUC & IEA, 2011).
Dado esto mismo, es que tomó sentido desarrollar el segundo objetivo de
este seminario, que estaba referido a investigar sobre cómo se estaban
realizando las clases de geometría en enseñanza media chilena,
específicamente, en el tema de circunferencia. Para realizar esto, se asistió
para realizar observación, a las clases de matemática, de un curso que
estuviese revisando el contenido de circunferencia y sus ángulos. En las
observaciones de clases, se pudo verificar el hecho de que los enfoques de
enseñanza de la geometría y las habilidades geométricas que se proponen en
la literatura, no corresponden a la forma con que se está abordando la
enseñanza de la geometría, y por el contrario más bien se detectó, grandes
debilidades de parte del profesor para implementar actividades que motiven el
aprendizaje y conlleven a un proceso de enseñanza aprendizaje más efectivo,
esto debido a que las actividades realizadas, se limitaron al texto un libro y no
se trabajo con ninguna otra herramienta más que el cuaderno y la pizarra.
Posteriormente a la observación de clases, se buscó comparar la
información recopilada a través de una encuesta al profesor observado, sin
embargo no fue posible de realizarla debido a la negativa del profesor para
responder la encuesta. Entonces, se optó por realizar una encuesta similar a un
profesor que cumpliera con el mismo perfil profesional del profesor observado,
de modo que pudiese comparar la información declarada y evidenciada en
ambos casos, respecto a las preguntas indagadas. Respecto a lo anterior, es
justo reconocer que, metodológicamente, hubiese sido más robusto realizar un
proceso de observación de las clases al segundo profesor, al cual sí se
encuestó, sin embargo, esto no fue posible dadas las restricciones de tiempo y
la programación del contenido de circunferencia en el segundo semestre. Todo
lo anterior constata, las dificultades emergentes que tiene el proponerse
estudios de enfoque cualitativo en el aula.
Pese a las restricciones antes descritas, se pudo establecer
comparaciones entre los dos objetos de estudio, a decir, las observaciones de
clases y las declaraciones en encuesta del profesor. Un factor relevante que se
repitió en ambos registros, es la poca importancia que se asigna a la unidad de
circunferencia, dado que uno de los participantes declara abiertamente que los
contenidos no son muy importantes, mientras que el otro le da una importancia
atribuible únicamente a la tradición, implicando además el desconocimiento de
aplicaciones de los contenidos tratados. Además, mediante la observación de
clases fue posible ratificar la afirmación de García y López (2008), acerca de
que los profesores limitan la geometría a cuestiones métricas o a un glosario
geométrico ilustrado, dado que nula o vagamente los profesores propone a la
geometría como un área propicia para el desarrollo de las habilidades
matemáticas, que puedan inferir en aprendizaje de otras áreas.
Respecto al diseño y desarrollo de materiales de enseñanza que fomenten
el desarrollo de habilidades geométricas, que fue el tercer objetivo de este
trabajo, se constató problemas para encontrar aplicaciones de los contenidos
propuestos para esta unidad, lo cual se reflejó en el diseño de la actividad 2. En
ella, no fue posible encontrar alguna referencia a objetos o situaciones del
entorno cercano o cotidiano del estudiante, donde se aplique la
proporcionalidad de trazos en la circunferencia, en comparación a lo que ocurrió
con la relación de ángulo inscrito y ángulo del centro, donde sí fue posible
estudiar casos de ángulo de visión de un escenario y su iluminación. Sin
embargo, sí se pudo encontrar una aplicación y la transferencia de contenidos a
contenidos de números y álgebra, dado que en la circunferencia se observa un
caso donde la proporcionalidad de trazos se cumple.
Un segundo desafío en la creación del material para geometría, fue lograr
la complementación, en una sola propuesta, de fases de aprendizaje
propuestas por Van Heile y el desarrollo de habilidades generales de la
matemática propuesta por NCTM. En efecto, el trabajar en forma conjunta con
dos enfoques reunidos en un mismo material, presentó un reto metodológico no
menor. Así, el material abordó en forma completa las fases de aprendizaje, tal
como se propusieron en el marco teórico y metodológico, logrando que las
habilidades geométricas vayan surgiendo en el mismo desarrollo de las
actividades o en la continuidad del trabajo realizado, según las sugerencias
indicadas al profesor.
Respecto del material destinado a los profesores, las sugerencias
pedagógicas, es importante mencionar que es posible que para algunos
profesores encuentren que están ausentes algunas orientaciones más explicitas
de las demostraciones que se deben realizar para estos contenidos, sin
embargo es necesario aclarar que en este trabajo se consideró que escribir en
forma completa una demostración, limitaría la experiencia a una sola forma de
demostrar, lo cual resulta metodológicamente errado pues no permitiría que
surgieran nuevas maneras de abordar la actividad, además incluirla, podría ser
percibido como un remedial ante la incapacidad de los profesores de realizar
demostraciones matemáticas en ese ámbito.
Acerca de la validación del material creado, resulta importante destacar
que fue un gran aporte al trabajo realizado de diseño de materiales, puesto que
esta permitió constatar problemas de diseño técnico y metodológico, que no
hubiesen sido posibles de corregir a tiempo, si se hubiese obviado este
proceso. Producto de la validación, se pudo realizar cambios que fueron desde
la presentación de imágenes hasta mejoras al material dirigido a los profesores,
todas las cuales dada la inexperiencia de la autora en el ámbito de creación de
material didáctico, representaron un desafío importante y enriquecedor. De esta
manera, se concluye que diseñar actividades interesantes para los estudiantes
requiere de tiempo y conocimiento especializado, el cuál puede no estar al
alcance de todos los profesores de enseñanza media, por lo que el diseño de
actividades con bases metodológicas como el propuesto, resulta muy relevante.
Finalmente, respecto al hecho que el material desarrollo fue validado por
un solo experto, se determinó que éste tenía el perfil y experiencia necesaria
para realizar esta labor, la cual es escasa entre los docentes del área. Más
importantemente, se sugiere la validación del material desarrollado en
ambientes reales de salas de clases, donde los estudiantes y profesores
puedan poner a prueba la efectividad del material para el desarrollo de
habilidades geométricas. Este tipo de estudios requerirían un tiempo de
desarrollo más prolongado, pues el contenido es abordado una vez al año y
sólo en 2 año medio. Complementariamente, en un proceso de investigación y
desarrollo, nuevas adaptaciones del material serían necesarias para cubrir las
diferentes realidades educativas del país.
6. ANEXOS
6.1. Observación de clases de la unidad de circunferencia y sus
ángulos.
La observación se desarrollo en el liceo Nuestra Señora de las Mercedes
de Puente Alto, en el curso 2° medio A, el cual cuenta con 36 estudiantes, todos
con edades promedios de 16 años. Las clases observadas fueron realizadas
por el profesor Sergio Maldonado, quien es titulado de Licenciatura en
educación en matemática y computación de la Universidad de Santiago de
Chile.
Las clases observadas son precisamente las correspondientes a la unidad
de geometría, orientada a la sección de circunferencia y sus ángulos. La unidad
se comenzó a estudiar el día 28 de noviembre del 2012, mientras que las
observaciones se iniciaron el día 30 de noviembre, habiendo una sola sesión no
observada y que finalmente tuvo una duración total de tan sólo 5 sesiones.
Se realizo una revisión del cuaderno de un estudiante del curso, quien sí
estuvo presente en el día que no se realizo la observación, es decir el día 28 de
noviembre y se le realizo un par de preguntas.
Clase no observada.
Para esta clase el profesor propuso como objetivo el reconocer estructuras
y medidas de una circunferencia. Es posible evidenciar en el cuaderno del
estudiante que el profesor presento una imagen donde se identificaban
elementos como radio, diámetro, cuerda, tangente y arco, además se realizo el
cálculos de área y perímetro de una circunferencia siendo dos de cada uno y
otros tres ejercicios de cálculo de área de un sector circular. Finalmente se deja
planteado otros tres ejercicios de cálculo de arco de circunferencia.
Se le pregunto al estudiantes si algunas de las propiedades estudiadas,
ese día, se habían demostrado, de alguna manera, a lo cual el estudiante
declara que las clases fueron todas iguales, donde el profesor presentaba una
imagen, daba una relación matemática, luego un ejemplo y los estudiantes
desarrollaban ejercicios.
1° observación.
Al comenzar la clase el profesor le recuerda a los estudiantes que la clase
anterior se había dejado una serie de tres ejercicios planteados, donde ellos
debían realizar el cálculo de la longitud de un arco y asigna a algunos de los
estudiantes que realicen los ejercicios en la pizarra.
Ejemplo: Mida la longitud de
Los estudiantes salen al pizarrón a solucionar los ejercicios, escribiendo la
solución del problema, pero no hay un momento donde ellos expliquen qué y
cómo se realizo. El profesor tampoco se encarga de hacer una explicación.
Luego se entrega el objetivo de clase presente, definido como: Descubrir y
aplicar los teoremas de los ángulos de la circunferencia.
Luego de esto el profesor procede a dictar el teorema del ángulo inscrito y
se presenta la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo del centro. Se puede
inferir, mediante las preguntas y comentarios, planteadas por los estudiantes,
que ellos no conocen los conceptos de ángulo inscrito, ángulo del centro o arco.
El profesor plantea un caso especial de este teorema, siendo este el de un
triangulo rectángulo inscrito en la circunferencia, a lo cual alguno estudiantes
preguntan entre ellos el significado de “inscrito”, pero al n o llegar al profesor
esta interrogativa, los estudiantes no se sienten seguros de la respuesta que se
dan entre ellos mismos. Se dicta: Todo triangulo inscrito en una circunferencia y
el diámetro sea un lado de esté, entonces estamos en presencia de un triangulo
recto.
El profesor dice: “Ahora veremos
en teorema del ángulo semi-inscrito,
este es un teorema que no se utiliza
mucho, pero tienen que conocer”, con
lo cual estimo que el profesor le quita
importancia a los contenidos que está
entregando. Respecto de este
teorema no se dicta y solo se
presenta un dibujo
El profesor le pregunta a los
estudiantes la relación existe entre los ángulos α y β, hasta que los estudiantes
adivinen y digan que α = β y no se pregunta el porqué.
El profesor presenta una serie de ejercicios, a lo cual sólo algunos
responden, mientras que otros conversan. El profesor se dirige solo a los
estudiantes que realizan consultas. Esos ejercicios propuestos no son
solucionados en ningún instante en conjunto con los estudiantes, ni se revisan
los resultados.
Para finalizar se hace revisión de cuaderno con los ejercicios
completados2.
2° observación.
El inicio de la clase se comienza con gran retraso y con un gran alboroto
de los estudiantes, donde algunos de los estudiantes se me acercan y me
comentan que ya no habrá clases y que por tanto la unidad de circunferencia no
será evaluada.
El objetivo de la clase se declara como “aplicar las propiedades de los
ángulos de la circunferencia”, luego el profesor comienza a anotar en la pizarra,
sin preocuparse del orden o de la atención por parte de los estudiantes, la
relación entre los ángulos de un cuadrilátero inscriptible, a lo cual el profesor
realiza el comentario “Esto es algo pequeño” y luego se dicta: “En un cuadrado
inscriptible los ángulos opuestos suman 180° (son suplementarios)”. Luego el
profesor propone ejercicios, los cuales son extraídos del libros Santillana, el
cual no es precisamente el entregado por el ministerio de educación. Para
revisar los ejercicios el profesor va puesto por puesto, aclarando las dudas de
quienes tengan algún tengan algún problema.
Posteriormente, el profesor vuelve a dictar, ahora tomando como subtitulo
los ángulos interiores de la circunferencia, definiéndola como la semisuma de
los arcos que comprende, para lo cual el profesor propone un ejemplo y un
conjunto de ejercicios.
Entre tanto hay al menos 3 estudiantes que se encuentran durmiendo.
La dinámica se repite para definir el teorema del ángulo exterior de la
circunferencia, definiéndolo como la semi resta de los ángulos que comprende,
luego propone un ejemplo y un conjunto de ejercicios, los cuales no son
2 El profesor durante todo el año ha realizado la actividad de revisión de cuaderno al finalizar la clase,
dándole a los estudiantes que tengan la clase completa un timbre, lo cual al finalizar el año será evaluado
como una nota de participación en clases.
revisados en la pizarra, mientras que la clase se da por terminada con la
revisión de los cuadernos.
3° observación
Al inicial la clase el profesor escribe en la pizarra el objetivo de la clase,
declarado como: Aplicar el teorema del ángulo interior y exterior de una
circunferencia” y luego vuelve a escribir los ejercicios propuestos en la clase
anterior y el mismo los soluciona, consecutivamente el profesor presenta
nuevos ejercicios relacionado con los dos teoremas, estos ejercicios presentan
un mayor grado de dificultad que los presentados en las clases anteriores,
porque no representan un único teorema, si no que consideran una
combinación del teorema del ángulo interior y exterior de la circunferencia. Si
bien los estudiantes son capaces de advertir que se debe utilizar las relaciones
de ambos teoremas, no son capaces de encontrar una forma de encontrar la
solución, sólo hasta que el profesor les dice que deben hacer un sistema de
ecuaciones para llegar a la respuesta correcta, con lo cual una pequeña parte
del curso es capaz de llegar a la respuesta.
Al igual que en veces anteriores, los estudiantes que tienen las respuestas
salen al pizarrón a solucionar el ejercicio, pero hay ausencia de refuerzos
positivos o alguna forma de asegurarse que el resto del curso haya
comprendido la forma de solucionar el problema presentado. Se finaliza la clase
dado el toque de timbre, con lo cual los estudiantes solo salen de la sala.
4° Y 5° Observación
En las siguientes dos clases de la unidad, el profesor no realizo la
declaración de los objetivos, siendo la dinámica de clases la misma para las dos
sesiones. El profesor entraba a la sala y le comunicaba a los estudiantes que se
realizaría la revisión de los timbres que tiene cada estudiante en sus cuadernos,
para poder traducirlos en la 7° nota del semestre.
El profesor le solicita a los estudiantes realizar los ejercicios propuestos en
el libro de clases, mientras que llama uno a uno a los estudiantes para contar la
cantidad de timbre. Es importante destacar que, la cantidad de estudiantes que
realizaron los ejercicios de la unidad, propuestos en el libro, fue mínima
(alrededor de 3 estudiantes), mientras que la mayoría sólo se dedicaba a
conversar.
6.2. Encuesta al profesor 2.
Dada la situación de desvinculación del profesor1 observado del
establecimiento escolar donde se realizo la observación misma, y del nulo
contacto con él, desde el término del año escolar 2012, es que se opto por
realizar una encuesta similar a la que se proponía para el profesor 1. Se debe
tomar en cuenta que el profesor 2, tiene características similares al profesor 1,
es decir, ambos ejercen como profesor de matemática en un establecimiento
particular subvencionado, mixto que cuenta con laboratorio de computación,
además que ambos tienen título de profesor de matemáticas y ambos tienen
edades similares.
El profesor 2, trabaja en el colegio Pablo Apóstol de Buin, donde lleva
trabajando 2 años, en los cuales siempre ha realizado clases en 2° medio. La
encuesta se realizo en el establecimiento y el profesor está al tanto de que la
entrevista se realiza debido a problemas con el profesor observado. Él también
fue informado medianamente del desarrollo de las clases observadas.
La entrevista realizada fue la siguiente:
1. ¿Usted considera que, los contenidos de la unidad de
circunferencia y sus ángulos, tienen aplicabilidad en la vida cotidiana?
No, puesto que hasta ahora no he conocido ninguna. Tal vez exista
alguna, pero yo no la conozco
2. ¿Usted considera necesario que los estudiantes conozcan
alguna aplicación del contenido para fortalecer el aprendizaje?
Si, para cualquier contenido, incluyendo este, es muy necesario
conocer las aplicaciones de lo que se está estudiando, porque se aprende a
mirar de otro modo el contenido. Son necesarias representan experiencias
significativas, y que ayudaran a aclarar el concepto, para poder tomar
decisiones y ordenar ideas y secuencias. Priorizar medio y fines
3. ¿Usted considera que este contenido puede ser utilizado o
abordado en alguna otra unidad temática, como el algebra o el
cálculo?
Sí, porque en esta unidad se estudian las relaciones de ángulos y
trazos y las son relaciones, y las relaciones son transversales
4. ¿Considera usted que en esta unidad es posible
desarrollar habilidades de razonamiento?
Si, por supuesto, con esta afirmación estoy muy de acuerdo, por
ejemplo, como consecuencia del ángulo inscrito se puede llegar a la
semicircunferencia de Thales y eso representa un desafío de razonamiento
para los estudiantes.
5. ¿Considera usted que en esta unidad es posible
desarrollar habilidades de comunicación?
Si. Ligado con la expresión Verbal que el profesor utilice se puede
lograr que el receptor desarrolle la comprensión y ampliación del lenguaje
matemático.
6. ¿Considera importante y necesario que los estudiantes
realicen demostraciones, dentro de esta unidad?
Si, es muy importante puesto es uno de los contenidos mínimos que
están en los planes y programas.
7. ¿De qué forma realizan las demostraciones sus
estudiantes?
Los estudiantes realizan demostraciones con los pasos hipótesis, tesis
y demostración. Pero necesitan mucha ayuda para poder lograr llegar a una
solución coherente completando cada uno de los pasos.
8. ¿Qué grado de importancia le entrega usted a la unidad de
circunferencia y sus ángulos?
Es importante debido a una tradición. Siempre se ha visto este
contenido y los estudiantes saben que este contenido lo verán en algún
momento de su vida de estudiantes.
Esta unidad es importante y muy práctica en el uso de ejercicios,
puesto que tiene aplicabilidad, se usa y demuestran teoremas.
En el libro de clases, entregado por el ministerio, esta unidad es la que
tiene mayor cantidad de ejercicios.
9. ¿Usted conoce y domina algún procesador geométrico, el
cual pueda ser utilizado en la enseñanza de la unidad de
circunferencia y sus ángulos?
Si, GeoGebra
10. ¿Ha utilizado este procesador con sus estudiantes y en
qué contexto?
Si lo he utilizado y precisamente tome este recurso para este contexto,
de modo que los estudiantes tuvieron que trabajar en pareja en un
computador, para poder hacer construcción de objetos geométricos.
11. ¿Considera apropiado el uso de Tic en la unidad de
circunferencia y sus ángulos?
Si estoy totalmente de acuerdo, porque cuando los estudiantes
trabajan con GeoGebra se interesan mucho más por el contenido,
comparado con las veces que fue visto sólo en la sala de clases, con
pizarra.
Los estudiantes se involucran más con el contenido, siendo un
recurso muy favorable para el aprendizaje.
12. ¿Cuál es el tiempo (cantidad de horas de clases), que
usted considera necesario, para que el desarrollo de la unidad de
circunferencia y sus ángulos sea en forma completa y apropiada?
Solo circunferencia y sus ángulos yo utilizo aproximadamente 3
semanas, teniendo 6 horas semanales.
13. ¿Qué factores cree usted que aportaron para el desarrollo
de la unidad y cuáles dificultaron el logro de los objetivos?
El tener hecha una buena planificación, mostrar a los estudiantes
inmediatamente una aplicación, donde ellos tengan que resolver problemas,
es decir, que los niños vallan aplicando los teoremas, valla viendo un
ejemplo y realizando ejercicios
Tener un buen orden en la sala de clases, contar con materiales de
pizarra, tales como compas y reglas
14. ¿Considera que usted tiene un buen dominio de los
contenidos de la unidad de circunferencia? ¿Dónde y cómo los
adquirió?
Si tengo un buen dominio de este contenido, básicamente gracias a
los conocimientos que adquirí en el colegio, pues en la universidad solo
tuve 2 semestres de geometría, pero ninguno de ellos se relacionaba con
este contenido en particular.
6.3. Material elaborado 6.7.1. Actividad 1
____________________________
Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR.
______________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y comprobar la existencia de relación entre ellos. Para ello, debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.
Antes de comenzar a explorar, debes tener muy claro que la circunferencia es el
lugar geométrico de todos los puntos del plano que están equidistantes de un punto fijo llamado centro.
Dibuja en el esquema los siguientes elementos:
RADIO – CUERDA – DIAMETRO – RECTA SECANTE – RECTA TANGENTE
En una circunferencia se pueden subtender distintos ángulos, entre ellos el
ángulo del centro y el ángulo inscrito, tal como los que se muestran en las siguientes figuras.
Indica cual es el ángulo del centro y ángulo inscrito y luego mide con un
transportador la medida de cada ángulo.
COMENCEMOS
El siguiente esquema representa un escenario al aire libre, en la que se observa el
ángulo de visión que debe tener cada persona que se ubiquen en la primera fila.
Con la ayuda de un transportador mide el ángulo de visión del
escenario, que tiene cada persona que está representada por un punto rojo.
Teatro al aire libre El teatro al aire libre nació en la
antigua Grecia y era muy parecido a los que se muestran en las ilustraciones
adjuntas.
1. ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A?¿Y
la B, C ,D y E?
2. ¿Qué relación hay entre esos ángulos?
EXPLORA
3. ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con
el ángulo de visión de las personas?
La imagen adjunta muestra a dos personas que están en un escenario. Ellas son las encargadas de iluminación para una obra de teatro. Ellas tienen como tarea colocar 5 focos que iluminen el escenario completo.
4. Conjetura sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que cada
haz de luz, ilumine el escenario completo:
5. Representa la situación con objetos y elementos geométricos:
6. Dada las observaciones anteriores ¿Qué característica tienen en común
los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?
7. ¿Cómo podrías generalizar la situación anterior?
EXPRESATE
Trabajemos ahora con GeoGebra: junto con el profesor, dirigirse a un laboratorio
de computación o a una sala multimedia donde puedan proyectar el trabajo que se realice en el procesador geométrico.
PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia
de radio 8 centímetros, agrega un ángulo del centro y un ángulo inscrito, de modo que subtiendan el mismo arco. Tal como la imagen que se muestra adjunta.
PASO 2. Haz que la figara muestre la medida del ángulo del centro y del ángulo
inscrito y responde:
¿Cuál es la medida del ángulo del centro? ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito? ¿Qué relación numérica hay en las medidas de los ángulos?
PASO 3. Cambia la imagen que creaste. Puedes mover el punto D, C y E o incluso
puedes cambiar la medida del radio de la circunferencia. Luego responde las siguientes preguntas:
¿Qué pasa si mueves el punto D que está sobre la circunferencia?
¿Qué pasa con el ángulo inscrito cuando si el ángulo del centro mide 180°?
CONSTRUYE
¿Qué pasa con los ángulos cuando el radio de la circunferencia es aumentado o disminuido?
Complete la siguiente tabla, ayudándose de lo que usted observa al manipular la figura en GeoGebra.
Medida del ángulo del centro
Medida del ángulo inscrito
75°
22°
Teorema: Para cada ángulo inscrito α, el ángulo del centro β que subtiende el
mismo arco de la circunferencia, cumple con que 2α= β. Distingue en el teorema anterior la hipótesis y la tesis correspondiente y luego
realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tales como las propiedades de los triángulos.
Hipótesis: Tesis: Demostración:
DEMUESTRA
1. ¿Cuál es el valor del ángulo x, si O es el centro de la circunferencia?
f) -
g) -
h) 180 -
i) + j) Ninguna del las anteriores
2. En la figura, DO // CA, AB es diámetro y O es el centro. El ángulo DOC = , determine el ángulo BOD.
a) 180 - 2
b) 90 -
c) 2
d)
e) 2
3. En la figura siguiente, se tiene un semicírculo de centro O y <BAC = 20. El valor del < x es:
a) 20° b) 35° c) 40° d) 55° e) 70º
4. En la figura, circunferencia de centro O, entonces x - y =
f) 105º g) 90º h) 60º i)45º j)30º
A
B
C
E
O x
y
60º
D
¿CÓMO ESTOY?
O
A
B
C
D
x
B
O
A
D
C
5. Hallar
BAC
6. º112y ,
x ______
7. º75x
, y ____
8. º72 ,
x ____ y ___
6.7.2. Actividad 2
________________________________________
Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA
CIRCUNFERENCIA. ______________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la proporcionalidad entre trazos en una circunferencia. Para ello debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.
¿Te acuerdas que es una proporcionalidad?
Proporcionalidad directa Si dos variables, x e y, cumplen que
y = k · x donde k es una constante, entonces se dice que x e y son directamente proporcionales
Sean dos triángulos, tales como los que se muestran en la figura, de los cuales se
sabe que son proporcionales.
8. ¿Cuál es la proporcionalidad que hay entre los triángulos?
9. ¿Cómo puedes buscar la medada del lado “e”, del cual no se tiene
la medida?
COMENCEMOS
Trabajemos ahora con GeoGebra: junto con el profesor, dirigirse a un
laboratorio de computación o a una sala multimedia donde puedan proyectar el trabajo que se realice en el procesador geométrico.
PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 5 centímetros, agrega dos cuerdas que se crucen entre si, como el que se muestra en la figura, asignándole el nombre P al punto de intersección de las cuerdas
PASO 2. Haz que la figura muestre la medida de los segmentos AP, PB, PC y PD y
luego realiza las siguiente actividad:
Complete la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios.
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
5
6
Complete la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
4
4
Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.
10. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos? PASO 3. En GeoGebra construye una
circunferencia de radio 5 centímetros, pero ahora que de modo que los radios no se intercepten en el interior de la circunferencia, así deberás prolongar los segmentos de modo que puedas encontrar el punto de intercepción, al cual deberás asignándole el nombre P.
CONSTRUYE
PASO 4. Realiza el mismo procedimiento de observar las medida de los segmentos y repórtalos en las siguientes tablas.
Complete la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios.
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
5
6
Complete la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.
Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
4
4
Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.
11. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos?
12. ¿Qué pasara con la proporcionalidad cuando los puntos D y E están sobre puestos? Revísalo en GeoGebra.
Teorema: En una circunferencia, cuando dos cuerdas se cortan, el producto de
los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentos de la otra. Distingue en el teorema anterior la hipótesis y la tesis correspondiente y luego
realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración
DEMUESTRA
puedes agregar o dibujar elementos geométricos que te ayuden y debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tal como la propiedad descubierta en la actividad 1, donde 2 ángulos inscritos son iguales si subtienden el mismo arco.
Hipótesis: Tesis: Demostración:
7. En la figura, O centro de la circunferencia de radio 12, AB es diámetro y AD = DO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) AC = 12 II) CD = 6√3 III) BC = 12√3
f) Sólo I g) Sólo II h) Sólo I y II i) Sólo II y III j) I, II y III
¿CÓMO ESTOY?
8. En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 4, AE = 20 y BE = 5. ¿Cuánto mide CD?
f) 29 g) 25 h) 21 i) 14 j) Ninguno de los valores anteriores
9. En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 20 cm, la distancia entre el centro de la circunferencia a la cuerda CD es de 5 cm, entonces la cuerda CD mide
f) 5√3 cm g) 10 cm h) 10√3 cm i) 20 cm j) faltan datos para determinarla.
10. En la figura, AB y AE son secantes, AC = 2 cm, AE = 20 cm y ED = 16 cm. La medida de AB es
f) 41 cm g) 40 cm h) 39 cm i) 38 cm j) ninguna de las medidas anteriores.
11. En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 6 cm, DC = 12 cm y DE = 5 cm. El diámetro de la circunferencia mide
f) 2 cm g) 4 cm h) 6,5 cm i) 8 cm j) 13 cm
12. En la circunferencia de la fi gura, PQ tangente, RQ secante, si RQ = 64 y RS = 48, ¿cuál es el valor de PQ?
f) 32 g) 16√3 h) 12 i) 8 j) Ninguno de los valores anteriores
6.3.1. Recomendaciones al profesor
Recomendaciones para el profesor
NOMBRE DEL DOCENTE:
_____________________________________________________________ COLEGIO: CURSO: 2° medio ____ SUBSECTOR: Matemática TÍTULO DE LA UNIDAD: Circunferencia y sus ángulos CONTENIDOS: ángulo del centro y ángulo inscrito APRENDIZAJES ESPERADOS: identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y
relacionar las medidas de dichos ángulos y de mostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia
OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT): Adquirir un sentido positivo del aprendizaje sistemático. Resolver problemas de manera reflexiva, explorando nuevos métodos de resolución de
problemas. TIEMPO ESTIMADO: 5 clases (90 minutos) HERRAMIENTAS: transportador, computadores y Data Show.
RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS ____________________________________________________________________________________________________
Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR
____________________________________________________________________________________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y comprobar la existencia de relación entre ellos.
Para esta primera actividad, se estima se dedique un tiempo de 3 clases de 90 minutos para completarla. En una primera clase, se espera que se trabaje hasta la sección EXPRÉSATE, luego en la segunda clase hasta la sección CONSTRUYE y finalmente, en la tercera clase se trabaje para completar las dos últimas secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY?
La declaración del objetivo de clase es importante que la realice el profesor mismo, para que los estudiantes puedan orientar sus energías al logro de estos objetivos, y que este no pase éste desapercibido en el desarrollo de la ACTIVIDAD.
En esta sección, se revisan los conocimientos previos de los estudiantes a través
del desarrollo de actividades, donde el estudiante debe identificar los objetos geométricos que serán utilizados más adelante, por lo tanto, es importante que el profesor revise minuciosamente que estos conocimientos estén bien logrados.
En esta sección, se espera que el estudiante sea capaz de indagar en una
situación nueva y busque patrones. Esencialmente, se espera que imagine y realice mediciones geométricas. Es en esta sección, donde deben utilizar transportador, y por lo tanto, es importante que asegurarse que sepan utilizarlo correctamente.
COMENCEMOS
EXPLORA
ANTE LA PREGUNTA: ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A? ¿Y la B, C ,
D y E? Es importante que el estudiante registre las mediciones, estimulándolo a tener
un orden en su trabajo. ANTE LA PREGUNTA: ¿Qué relación hay entre esos ángulos? Pueden aparecer dos posibles respuestas: una donde relacionen la medida de los
ángulos, diciendo que son de igual medida u otra donde se refieren al ángulo que subtienden. En este caso se vuelve importante que los estudiantes expongan sus respuestas para hacer una retroalimentación con los mismos compañeros.
ANTE LA PREGUNTA: ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con el ángulo
de visión de las personas? Es posible que algunos estudiantes respondan que el ángulo se hace más chico si
el teatro se hace más grande, por lo cual el profesor debe guiar la respuesta generando distintos ejemplos donde se visualicen las condiciones para observar que todo crece proporcionalmente.
Esta es la sección donde los estudiantes deben comunicar sus ideas. El rol del profesor
se debe enfocar a poner mayor énfasis, a ampliar o corregir el vocabulario geométrico que están utilizando los estudiantes para expresar sus deducciones.
ANTE LA INDICACIÓN: Conjetura sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que cada haz de
luz, ilumine el escenario completo: Es posible que el estudiante responda que se debe colocar los focos más arriba o más
abajo, correrlos hacia un lado u otro, pero es el profesor quien debe guiar a los estudiantes a los estudiantes para que encuentren el lugar geométrico, es decir, que identifiquen los posibles lados del ángulo que determinan que el haz de luz coincida exactamente con el ancho del escenario. Idealmente, se espera que, el estudiante identifique un arco de circunferencia que cumple con este requerimiento para así pasar a representar la situación.
ANTE LA INDICACIÓN: Represente la situación con objetos y elementos geométricos Si los estudiantes presentan alguna dificultad para realizar esta actividad, será necesario
indicarles a los estudiantes que revisen la primera ilustración de la parte de exploración con la imagen de los focos, para ver las similitudes y llegar a la visualización correcta de la situación planteada.
ANTE LA PREGUNTA:
¿Qué característica tienen en común los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?
EXPRESATE
Esta respuesta, puede ser muy parecida a la segunda pregunta de la parte de exploración, por lo cual se debe pedir a los estudiantes que expresen, cada vez, de manera más completa su respuesta, antes de dar paso a la siguiente pregunta.
ANTE LA PREGUNTA:
¿Cómo podrías generalizar la situación anterior? Aquí se debe hacer una conjetura más formal de todo lo visto anteriormente,
nombrando los objetos y elementos geométricos que están presentes y la medida en la que se relacionan.
Esta sección, se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual sería
importante que el profesor pueda realizar las construcciones geométricas que se realizarán en esta actividad, para así estar más interiorizada en el proceso que deben enfrentar los estudiantes y poder dirigir de mejor forma el trabajo de ellos. Por otra parte es importante tener en cuenta la implementación necesaria para trabajar, para asegurar tener el material que se necesita. Puede usar un laboratorio donde los estudiantes trabajen individualmente o en grupo, o con proyección en el aula, todo esto dependiendo de las herramientas y disponibilidad de la tecnología, que tenga el establecimiento. En el caso de usar una proyección en la sala de clases, es importante que la manipulación de los objetos sea realizada principalmente por los estudiantes, pues son ellos los deben descubrir las relaciones.
Así, esta sección está centrada en la actividad personal de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra para la construcción
Sólo al final de la clase, se espera que el profesor dirija la actividad para que los estudiantes compartan sus resultados.
Esta sección, está abierta a la decisión del profesor de cómo trabajar la demostración
del teorema. Se puede realizar en pizarra con participación de algún estudiante en forma conjunta con el profesor o en forma grupal o individual con apoyo del profesor, esto dependiendo del nivel de experiencia de los estudiantes haciendo demostraciones, puesto que para algunos estudiantes esta será la primera vez que deben realizar una demostración en formalmente.
La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades de triángulos, sugiriendo realizar esta construcción geométrica es posible trabajar una demostración relacionada con la figura siguiente.
CONSTRUYE
DEMUESTRA
En importante esta sección los estudiantes realicen ejercicios tipo SIMCE, porque es la
realidad, que ellos están viendo como más inmediata que tendrán que enfrentar. Por otra parte, estos ejercicios representan un desafío de abstracción de todos los contenidos que se han visto en la ACTIVIDAD.
Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?: 1.- D 2.- D 3.- B 4.- C
5.- 48° 6.- 34° 7.- 90° 8.- 90° y 144°
¿CÓMO ESTOY?
Recomendaciones para el profesor
____________________________________________________________________________________________________
Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
____________________________________________________________________________________________________
Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la
proporcionalidad entre trazos en una circunferencia.
Para esta segunda actividad, se estima un tiempo de 2 clases de 90 minutos. En una de ellas se espera que se trabaje las secciones COMENCEMOS y CONSTRUYE, mientras que en una última clase se trabaje las secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY?
Es fundamental, tomar en cuenta las indicaciones entregadas en la actividad 1, sobre el cómo enfrentar cada sección se la actividad, considerándose el objetivo que tiene cada una.
En esta sección los estudiantes deben llegar a proponer las ecuación que
representa la proporcionalidad de los segmentos que conforman el triangulo. Recordar que este es un aprendizaje que debió ser trabajado justamente antes de proponer el contenido de circunferencia, pues estas relaciones se trabajan en semejanza de triángulos, por lo cual no debería revestir mayor dificultad.
Esta sección se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual, al
igual que en la actividad anterior queda a criterio del profesor, según las herramientas disponibles.
Esta sección es para uso exclusivo de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra.
ANTE LA PREGUNTA:
¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos? Para que los estudiantes puedan encontrar las relaciones correctas, puede ser
necesario, motivarlos a probar calculando la razón entre las medidas de pares de segmentos o la multiplicación de la medida de los segmentos e ir observando alguna regularidad. Ellos
COMENCEMOS
CONSTRUYE
debiesen descubrir, que corresponde a una proporcionalidad, tal como lo visto en los triángulos. El profesor puede guiar el descubrimiento por medio de preguntas, tales como: ¿cómo son las medidas de los segmentos? ¿Cómo se los puede comparar? Luego puede sugerir realicen algunos cálculos con las medidas que les permitan deducir la proporcionalidad.
La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades
encontrada en la actividad 1, sobre la relación de las medidas del ángulo del centro y el ángulo inscrito de triángulos, sugiriendo la construcción de dos triángulos y así el estudiante podrá realizar observación sobre los ángulos congruentes, dado que son opuestos por el vértice y que los ángulos subtienden el mismo arco, como en la siguiente figura.
Los ejercicios propuestos los debe hacer el estudiante en forma individual, para que
pueda poner a prueba sus propios conocimientos, para luego hacer paso a una revisión, en forma grupal, de los resultados obtenidos.
Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?: 1.- E 2.- A 3.- C
4.- B 5.- B 6.- D
Para finalizar el proceso el profesor debe incentivar a los estudiantes para que ellos
mismos puedan evaluar los conocimientos adquiridos y que nombren los conocimientos relevantes.
DEMUESTRA
¿CÓMO ESTOY?
6.4. Pauta de observación para el evaluador.
En esta pauta, se presenta una pauta de apreciación de los puntos
fundamentales con los cuales se diseñó la propuesta de actividades de
circunferencia. En la pauta, se proponen los siguientes s niveles de apreciación
para cada afirmación:
5: Estoy totalmente de acuerdo con lo que ahí se dice.
4: Estoy de acuerdo, pero con ciertas restricciones.
3: Estoy en desacuerdo, pero con ciertas restricciones.
2: Estoy en total desacuerdo.
1: No observado o no corresponde.
Afirmaciones 5 4 3 2 1
La estructura de las actividades representa un
orden lógico, que ayude al entendimiento de los
estudiantes.
La estructura de las actividades, responde
adecuadamente los niveles de aprendizaje que
propone Van Hiele.
Los contenidos tratados en las actividades,
corresponden a los estipulados para 2° medio.
La aplicación que se entrega en cada actividad es
adecuada en su relación con el contenido.
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes
podrían desarrollar efectivamente la habilidad de
visualización.
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes
podrían desarrollar efectivamente la habilidad de
comunicación.
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes
podrían desarrollar efectivamente la habilidad de
dibujo y construcción.
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes
podrían desarrollar efectivamente la habilidad de
razonamiento.
Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes
podrían desarrollar efectivamente la habilidad de
aplicación y transferencia.
La forma en que se propone el desarrollo de
conjeturas y demostraciones, es coherente con el
desarrollo de las demás secciones de la actividad.
La forma en que se propone el desarrollo de
conjeturas y demostraciones, está conforme con los
aprendizajes esperados propuestos por el Ministerio
de Educación.
El uso de GeoGebra, responde a una necesidad
de la actividad, enriqueciendo el proceso de
aprendizaje
El uso de GeoGebra está propuesto en las
secciones correctas para el buen desarrollo de la
actividad.
Las actividades en su complemento,
corresponden a una propuesta novedosa.
Las actividades en su complemento,
corresponden a una propuesta que ayude al
fortalecimiento del aprendizaje de la unidad de
circunferencia y sus ángulos,
1. ¿Qué recomendaciones propondría para mejor esta
propuesta de actividades?
2. ¿Qué fortalezas y qué debilidades presentan estas
actividades?
3. Indique a continuación, si desea, nuevas observaciones a la
propuesta de actividades.
REFERENCIAS
Ausubel, D (1978). Educational Psychology: A cognitive View. [Edición en
español]. Psicología educativa. Un punto de vista cognitivo (1983).
México.
Araya, R. (2007). Saberes pedagógicos y conocimientos de la disciplina
matemática en profesores de Educación general básica [Informe final del
Proyecto FONIDE N°212, Chile].
Balacheff, N. (1988): Une étude des processus de preuve en mathématiques
chez les élèvesde collège. Thèse d’état, Université Joseph Fourier.
Grenoble. France.
Bressan, A (2000) Razones para enseñar geometría en la educación básica.
Mirar, construir, decir y pensar. Novedades educativas, proyecto en la
escuela 2000 p.p. 19 -87. Argentina
Cantoral, R & Montiel, G (2002) Propuesta didáctica, visualización y
pensamiento matemático. Área de educación Superior del Departamento
de Matemática Educativa. Centro de Investigación y de estudios
Avanzados del IPN, Mexico.
Castellanos, I. M. (2002) Visualización y razonamiento en las construcciones
geométricas, utilizando el software GeoGebra con alumnos de II de
magisterio de la E.N.M.P.M. (tesis inédita de maestría). Universidad
pedagógica nacional Francisco Morazán, Tegucigalpa M.D.C.
CIAEM (s.f.). Resumen ejecutivo. Principios y estándares para educación
matemática, obtenido en:
http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/archivos/RE_NCTM.pdf
EducaTic (2012). Gran alegría por resultados SIMCE 2011 (publicación noticias
de EducaTIC) Obtenido en
http://www.educatic.cl/educatic/index.php/notas/eventos/89-gran-alegria-
por-resultados-simce-2012
Eduteka (2003). Principios para matemáticas escolares. Consejo
Estadounidense de Profesores de Matemáticas (NCTM) Obtenido en:
http://www.eduteka.org/PrincipiosMath.php
Fouz, F. & de Donosti, B. (s.f.) Modelo de Van Hiele para la didáctica de la
geometría. Obtenido en:
http://cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/universitario/materiales/Modelo%20d
e%20Van%20Hiele%20para%20la%20did%C3%A1ctica%20de%20la%2
0Geometr%C3%ADa.*Fouz,%20Fernando%3B%20%20De%20Donosti,
%20Berritzegune.*Fernando%20Fouz,%20Berritzegune%20de%20Donos
ti.pdf
García, S. & López, O. L. (2008). La enseñanza de la geometría: Materiales
para apoyar la práctica educativa. Mexico D. F.: Instituto Nacional para la
Evaluación de la Educación.
GeoGebra.org, http://www.geogebra.org/cms/es/info
Gregorio G (2004). El modelo de Van Hiele aplicada a la geometría de los
sólidos: describir, clasificar, definir y demostrar como componentes de la
actividad matemática. Red de Revistas científicas de América Latina y el
Caribe, España y Portugal, Volumen (16) pp. 103-125. Obtenido en:
http://redalyc.uaemex.mx/pdf/405/40516306.pdf
Hojman, S. A. (1997). Matemáticas escolares en Chile. Reflexión y experiencias
so bre la enseñanza de las matemáticas. Revista Estudios Públicos,
Volumen (68), p.p. 450-3. Obtenido de
www.cepchile.cl/dms/archivo.../rev68_matematica.pdf
International Study Centre, IEA y Agencia de calidad de la Educación (1012)
Resultados TIMSS 2011 Chile. Estudio internacional de tendencias en
Matemáticas y ciencias. Obtenido en: http://www.agenciaeducacion.cl/wp-
content/uploads/2013/02/resultados-timss-18-dic-2012.pdf
EMINEDUC (2004 a). Sistema de medición de la calidad de la educación
SIMCE 2003: Informe de resultados 2 de educación media. Santiago:
MINEDUC.
MINEDUC (2004 b). Cobertura curricular en segundos ciclo básico y enseñanza
media sector matemáticas. Santiago: MINEDUC.
MINEDUC (2004 c) Unidad de Curriculum y Evaluación. Ministerio de
Educación. Chile y el aprendizaje de matemáticas y ciencias, según
TIMSS. p.p. 39 – 47, Santiago : Mineduc
MINEDUC (2004 d) informe de resultados del SIMCE 2003. Santiago:
MINEDUC
MINEDUC (2005). Matemáticas, Programa de estudio Segundo año medio,
formación general, Segunda edición, Santiago: MINEDUC.
MINEDUC (2011). Matemáticas, Programa de estudio. Segundo año medio,
formación general, Santiago: MINEDUC.
SAEM Thales (2005). Los nuevos principios y estándares de la NCTM en
castellano. Suma, 48, 105 – 112. Sevilla
Segura, M & Chacón I. (1996). Competitividad en la educación superior.
Umbral, 11 (5), 29 -37.
Stigler, J. W. & Hiebert, J. (2004, Fall). A world of difference: Classrooms
abroad provide lessons in teaching math and science. JSD, 25(4), 10-15.
Obtenido de
http://timssvideo.com/sites/default/files/A%20World%20of%20Difference.
Vera Orozco, M (2003) Geoespacio, un recurso para la enseñanza de la
geometría. Obtenido de:
http://www.matematicaparatodos.com/varios/geoespacio.pdf
Walker, R. (1989). Métodos de Investigación para el Profesorado. Morata.
Madrid.
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