��������
�� �� ����� ������ �� ��� ���� ������ �� ���������� ����� �� ������
�� ��� ������ � ���� ������� �� �������� � ���� ����� ��� �� ������ �
�� ���� � ������ �� �� ���� ��� ����� � ��� ������ � ���!� ��� ����
��������� � ���������� �� ��� �� �����"��� ������ ����������# �� $�� !%
�� &������# "�� �� ��������� �� �� ��������� �������� �� ���"��� '�������
��� ���
(� � ������ �� ��� ��� ������ � �������� �� � ������ ������
���� ����# "�� ������� �� ���� �� �)������ ��������� � ��� �� �)������ �������%
���# ��� �� ���� �� �������* �� ��� ���! ����� ��������� �� ���
�� ���� ������ �� ����+�, ��������
-��� �� ������ ������� �������� ��� ��� ��� ������ � ���� ������ ��
���� ��� �� &��� �� .!����� & ����� ����� ������ ���# � �� ������ ���%
����� ��� �� &���/�� $�� !��� 0�������� ����� ��� �� �������
�� �������
� �� � ���
������ ����
�
�
���������
�� ��������� � ���� ���� �� ��� �������� �
�� ������� ����� ��� ���������� ����������� ��� ���������� ���������� ��
�� ��������� � ���� ���� �� ��� ������� �� ������� ��
�� ������������ ���� �� ������ ���������� ���� �� ������ ���� ������� ���� ������������ ��� ������ ���������� ���� ������������ ��� ������ ���� ������� ���� �������� ��
�� ������� � ������ ����������� �
�� ��� ��� ����� !��� ���������� ����������� !��� ���������� ���������� ���
�� !����� � "����� ���������� �� #����$��� ��%
�� ������������ ����� �������� ��"
!��������� ���
&�$"�����'(�� �%�
)� �" �� "� ����������� �%�
�� #������ ������������ ����� $������� �� ������ ���������� ���
�
�
��������
����������� � ���� � ����� � ��� ��� ������
���������� � ������ �� �� �� � ��� �� �� ���� �������� ����� �����
������ �� ��� ����� ����� ���� �������� ������� ������ � �� ���
���������� ������� ��� ������ ���������������� �� � ���� � ������ ��� ���
��� �� �������� ���� �� ��� ���������� �� ��� ��������� �� � ������
�� ����� � ������� ���� ������� ���� ������� �� � ��� �� �� ���� �
��� ������ �� ����� �� � ������ �� ������ ��������� �� ��� ���������
�� ��� ��� ������ ������ !� ������� �� ���� ������� � ������� �� � ����
�"� �"��� ��������
��� ������� �����
#� �������� � ��� �� ��� ��� � ������� �� �� ���� ��������� ��������
������� �� ��������� �����$
%� &�������� ��� ����� �� ������������ �� � ��� ��� ��� ���� �����������
'� &�������� ��� �������� �� ������ ��������� �� ��� ������� �� � ���
�����
(� &�������� � ������) �� � ��� ��� �������� ��� ���� ���������� � �
�������
*� &�������� �� �������� �� �� �)����� ������� �� ��� ����� � ����
+� ����� �� ��������� �� � ������ � ������ �� ����� �� ������� �
��" � ���� �������� �
,� -��� � ��" � �� � ����
�
��� ������������ ��� C : P(x, y) = 0 ��� ���� �� R2 ����� P(x, y) � ��
��������� �� �� ������� x � y�
�� �� ����� ������� �� C ��� �� ��� Ox � ���������� �� ������� �� ��������
P(x, 0) = 0 � �� ����� ������� �� C ��� �� ��� Oy �� ������� �� ��������
P(0, y) = 0 .
�� �� P(x, y) = 0 ≡ P(x,−y) = 0 �� ���� C � �������� �� ����� �� ��� Ox� ��
����� ������ � P(x, y) = 0 ≡ P(−x, y) = 0 �� ���� C � �������� �� ������� ��� Oy� �������������� � P(x, y) = 0 ≡ P(−x,−y) = 0 �� ���� C � �������� �� ����� �� ������ �� ���������� �
�� ��� ���������� �� � !����� �������� �� C � ������ P(x, y) �� ������� �� ��������� y � � ������ � ���� �� ���"������ �� �� �������� �# ����� ������������
���� ���������� �� � !����� $���%������ �� C � ������ P(x, y) �� ������� �� �� ������� x � � ������ � ���� �� ���"������ �� �� �������� �# ����� �� ����
����� ���� ���������� �� � !����� ������� �� C � ������ P(x,mx + b) ��
������� �� �� ������� x � � ������� � ���� �� ���"������ �� �� �� ��������
�# ���� �
��� ������� ��� ���� ��
��� � ����� &�� ����� �� ���� C : 2xy2 − x3 + 8 = 0�
�������� &�� ����� � �� ������"������
P(x, y) = 2xy2 − x3 + 8 .
�� �������� P(x, 0) = 0 ������� −x3+8 = 0 ���� '���� ������� ���� � x = 2� ��
����� (�� P(0, y) = 0 ������� �� �� ���� 8 = 0 �� (�� ������ (�� �� ���� C �� ������ ���� ��� �� ��� Ox� �� �� ���� �)��� �� �� ���� C '��������� ����� ���� ����� Ox �� �� ����� (2, 0)�
��� ���������� �� ����� ���� ���� �� �� ������� x � ��������# � �� ����� y
�� ������� �� x
y = ±√
x3 − 8
2x. *���+
���'� � ������� �� *���+ �� ������� y � ����# ����� ����� ������ � ������
�
��� ������� �� �� ������ x ����� ���� �� �� �� �� ������ �� �� ������
x3 − 8
2x≥ 0 . �����
������ ��� ������� ������� ���� x ���� ����� ��� ������� x ∈ 〈−∞, 0〉∪ [2,+∞〉 ���� ���� ������ ����� �����√
x3 − 8
2x≥ 0 ∨ −
√x3 − 8
2x≤ 0 ,
�� �� ������� �� ������ ���� �� y ≥ 0 ∨ y ≤ 0 . � �� ���� ��� ������� �������
���� y ���� ����� ��� ������� y ∈ [0,+∞〉 ∪ 〈−∞, 0]� �� ����� ����� ��� �������
y ∈ R�
�������� ��� ���� ����� ��������� � �� � ����
P(x,−y) = 0 ≡ 2x(−y)2 − x3 + 8 = 0 ,
≡ 2xy2 − x3 + 8 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
�� �� ��� ��� �� ����� C �� ��!���� �� �������� �� ��� Ox� "� ���� ���
P(−x, y) = 0 ≡ 2(−x)y2 − (−x)3 + 8 = 0 ,
≡ −2xy2 + x3 + 8 = 0 ,
≡ 2xy2 − x3 − 8 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��# ��� �� ����� � ������ � �� �����#�� �� �������� �� ��� Oy� $ ���� ���
P(−x,−y) = 0 ≡ 2(−x)(−y)2 − (−x)3 + 8 = 0 ,
≡ −2xy2 + x3 + 8 = 0 ,
≡ 2xy2 − x3 − 8 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� C ������� �� ��!���� �� �������� �� ���� �
�
������ ���� � ��� � � ������ � ��� � ������� � �� ����� ������� �
y �
P(x, y) = 2xy2 − x3 + 8
� ����� �� ������ 2x = 0� ������ �� ����� �������� ������� � C � �� ����
x = 0� ��� ������� ��� � � ������ � ��� � ������� � �� ����� ������� �
x �
P(x, y) = −x3 + 2y2x+ 8
� ����� � ������ −1 = 0� � ���� � �� ���� C �� ��� �������� �����������
��� ���� ����� ��� � � ������ � ��� ��� �������� � ��� ��� �������� � �
����� � x �
P(x,mx+ b) = 2x(mx+ b)2 − x3 + 8 ,
= (2m2 − 1)x3 + 4bmx2 + 2b2x+ 8 ,
� ����� � ������ ⎧⎪⎨⎪⎩
2m2 − 1 = 0 ,
4bm = 0 .
���� �������� ������ ����� ��� ������� � ��� ��������� ������� � ��
!���� y = mx+ b� ��� ��
y = − x√2, y =
x√2.
� ������������ ������ � ���� "#�#$ � �� �������� �� ������ �����
x −2 −1 −12 3 5
y ±2 ± 3√2±√
658 ±
√196 ±3
√1310
�� ��� ������ ��� ���������� � ��� ����� � ����� � ���� �!����� ����
������ �� �� ��� � �� ���� C�%� �������� � ����� �� �� ��� � �� ���� C ��� � ���� � ����� � �� ����
#�#�
�
�
���� ���
��� ���������� �������� � ��� � C : yx2 − xy2 − 1 = 0�
�������� ���������� � ����������
P(x, y) = yx2 − xy2 − 1 .
�� ������� P(x, 0) = 0 ������� � ������� −1 = 0� � ��� ���� ��� � ��� � C ��
�� ��������� ��� � ��� Ox� ���������� P(0, y) = 0 ������� � ���� ��������
�� ����� � ��� � C ������� �� ��������� ��� � ��� Oy�
���� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y
�� ������� �� x�
y =x2 ±√x4 − 4x
2x. ����
!��� ���� ��� � ����� y ������ ����� ������ ������ " ������ �� ����� ��
� ����� x �������#��� � �������� ������ �� � ��������
x4 − 4x ≥ 0 ∧ x �= 0 .
���$�� �� ����� ������� ���� x ����� ����� �� ����� x ∈ 〈−∞, 0〉∪[ 3√4,+∞〉 �
%� ���� ����� �� ��������� � �������� x �� ������� �� y�
x =y2 ±
√y4 + 4y
2y.
!��� ���� ��� � ����� x ������ ����� ������ ������ " ������ �� ����� ��
�
�� �������� y �������� �� � �� � ����� �� �� ��������
y4 + 4y ≥ 0 ∧ y �= 0 .
���� � � � ��� ��� ���������� ���� y ���� � � � � ��� ��� y ∈ 〈−∞,− 3√4] ∪
〈0,+∞〉�
����������� � � ����� ���������� � � ������
P(x,−y) = 0 ≡ (−y)x2 − x(−y)2 − 1 = 0 ,
≡ −yx2 − xy2 − 1 = 0 ,
≡ yx2 + xy2 + 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� ���� �� ����� C �� �������� � ������ �� ��� Ox� ���������
P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)2 − (−x)y2 − 1 = 0 ,
≡ yx2 + xy2 − 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��� ���� �� ����� � ������ ��� � ������ ������� � ������ �� ��� Oy� �
��� ����
P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)(−x)2 − (−x)(−y)2 − 1 = 0 ,
≡ −yx2 + xy2 − 1 = 0 ,
≡ yx2 − xy2 + 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� C ��� � �� �������� � ������ �� �����
� ��� ��� ��� ������� �� ������� � ��� �� � �!���� �� �� ��" � � ���� ��
y �
P(x, y) = −xy2 + yx2 − 1
�� ���� �� ������� −x = 0� � ��� �� #��� ��� � ������� �� C �� �� ����
x = 0� $� �� ����� % ���� ������� �� ������� � ��� �� � �!���� �� �� ��" �
��
�������� � x ��
P(x, y) = yx2 − xy2 − 1
� ������� �� �� ����� y = 0� � ��� � � �� ����� ������� ���������� � �� � ���
C � �� ����� y = 0� ��� ���� ���� �� � � �� ���� � ���� �� ���������� � ��
� �������� �� ���� � x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)x2 − x(mx+ b)2 − 1 ,
= m(1−m)x3 + b(1− 2m)x2 − b2x− 1 ,
� ������� �� ����� ⎧⎪⎨⎪⎩
m(1−m) = 0 ,
b(1− 2m) = 0 .
� �� �� ����� �������� ������� �� �� ������ � �� ������� ����� � � ��
����� y = mx+ b� ��� ��
y = 0† , y = x .
������ ������ ������� �� � ���� !"�#$ � �� �������� �� �� ����� �����
x −3 −1 −14
3√4 3 4
y −9±√936
−1±√52
−1±√2578
3√42
9±√696
4±√152
�� � �� �������� �� �������� � �� � ��� � � ������� ���� ���������� ����
������ �� ������ � �� � ��� C�%� ���������� � ����� �� ������ � �� � ��� C ��� � ���� � � ���� �� �� �� ��
"�&�
�
��� ���������� '���� �� �� � ��� C : yx− x2 + y − 2 = 0�
�������� '������� �� ������������
P(x, y) = yx− x2 + y − 2 .
†���� �������� �� � �������� ��� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��� ���� �������� �� �� � ���������� ��� m = 0�
��
���� ���
�� �������� P(x, 0) = 0 ����� −x2 − 2 = 0 �� �� ����� ��� ��������� �� ���
������ ��� �� ���� C �� �� ��������� ��� �� ��� Ox� �� ����� ���� P(0, y) = 0
����� y− 2 = 0 �� � ����� �������� ��� �� y = 2� �� �� ����� �������� �� ����
C ���������� ��������� �� ��� Oy �� �� ���� (0, 2)�
��� �������� ��� ������ ���������� �� �� ������� x �� ������ � ������ y
�� ������� �� x�
y =x2 + 2
x+ 1. � �!"
���� ������ ��� ��� ������ ���������� �� x ���� ����� ��� ������ x ∈ R−{−1}�#� ���� ������� �� ������ � ������ x �� ������� �� y�
x =y ±
√y2 + 4y − 8
2.
���� ������ ��� �� ������� x ������ ������ ������ ����� ������ ��� ������ ��
�� ������� y �����$��� �� �������� �������� �� �� ����������
y2 + 4y − 8 ≥ 0 .
���� ������ ��� ��� ������ ���������� �� y ���� ����� ��� ������
y ∈ 〈−∞,−2√3− 2] ∪ [
2√3− 2,+∞〉 �
��
����������� � � ����� ���������� � � ������
P(x,−y) = 0 ≡ (−y)x− x2 + (−y)− 2 = 0 ,
≡ −yx− x2 − y − 2 = 0 ,
≡ yx+ x2 + y + 2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� ���� �� ����� C �� �������� � ������ �� ��� Ox� ���������
P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)− (−x)2 + y − 2 = 0 ,
≡ −yx− x2 + y − 2 = 0 ,
≡ yx+ x2 − y + 2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��� ���� �� ����� � ������ ��� � ������ ������� � ������ �� ��� Oy� �
��� ����
P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)(−x)− (−x)2 + (−y)− 2 = 0 ,
≡ yx− x2 − y − 2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� C ��� � �� �������� � ������ �� �����
�� ��� ��� ��� ������� �� ������� � ��� �� � ������ �� �� ��� � � ���� ��
y �
P(x, y) = (x+ 1)y − x2 − 2
�� ���� �� ������� x+ 1 = 0� � ��� �� ��� ��� � ������� �� C �� �� ����
x = −1� !� �� ����� " ���� ������� �� ������� � ��� �� � ������ �� �� ��� �
� ���� �� x �
P(x, y) = −x2 + yx+ y − 2
�� ���� �� ������ −1 = 0� �� � � ��� �� ����� C � ��� ��� � � ��# ���
$ � � ��� � ������� �� ������� � ��� � � � ������� �� ��� � � � ����� �%�
��
����� �� x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)x− x2 + (mx+ b)− 2 ,
= (m− 1)x2 + (m+ b)x+ b− 2 ,
�� ����� �� ������ ⎧⎪⎨⎪⎩
m− 1 = 0 ,
m+ b = 0 .
� �� ��� ��� ������ ������ �� �� ���� �� �� �������� ��� � �� �� �����
y = mx+ b� ���� ���
y = x− 1 .
� ����� ����� ������� �� � ���� ����� �� �� �������� �� �� ���� ����
x −6 −4 −2 −32 −1
2 2 5
y −274 −6 −6 −17
292 2 9
2
�� � �� ������� ��� ����������� �� ��� � ���� � � ������� ���� ��������� ����
��� �� �� ���!�� �� �� � ��� C�"� !��������� �� ��� � �� ���!�� �� �� � ��� C ��� � ���� �� � ����� �� �� !� ��
��#�
���� ���
�
��
��� ���������� �������� � ��� � C : xy + 2x2y − y − 1 = 0�
�������� ���������� � ����������
P(x, y) = xy + 2x2y − y − 1 .
�� ������� P(x, 0) = 0 ������� � ������� −1 = 0� � ��� ���� ��� � ��� � C�� �� ��������� ��� � ��� Ox� ��� ���� ������ P(0, y) = 0 ������� −y − 1 = 0�
���� ������ �� y = −1� �� ������� ���� ��� � ��� � C ��������� �� ���������
��� � ��� Oy �� � ����� (0,−1)����� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y
�� ������� �� x�
y =1
2 x2 + x− 1. ��� !
"��� ���� ��� �� ����� ������� ���� x ����� ����� �� ����� x ∈ R−{−1, 12}�#� ���� ����� �� ��������� � �������� x �� ������� �� y�
x =−y ±
√9 y2 + 8 y
4 y.
"��� ���� ��� � ����� x ������ ����� ������ ������ � ������ �� ����� ��
� ����� y �������$��� � �������� ������ �� � ��������
9y2 + 8y ≥ 0 ∧ y �= 0 .
���%�� �� ����� ������� ���� y ����� ����� �� ����� y ∈ 〈−∞,−89
]∪〈0,+∞〉�&�%��������� ���� ����� ��������� � ����������
P(x,−y) = 0 ≡ x (−y) + 2 x2 (−y)− (−y)− 1 = 0 ,
≡ −x y − 2 x2 y + y − 1 = 0 ,
≡ x y + 2 x2 y − y + 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ������ ���� � ��� � C �� �� ������� ��� �������� � ��� Ox� '%��������
P(−x, y) = 0 ≡ (−x) y + 2 (−x)2 y − y − 1 = 0 ,
��
P(−x, y) = 0 ≡ −x y + 2 x2 y − y − 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��� ���� �� ��� �� ��� ��� ����� ����� � ���� �� �� ���� � �� ��� Oy� �
���� ����
P(−x,−y) = 0 ≡ (−x) (−y) + 2 (−x)2 (−y)− (−y)− 1 = 0 ,
≡ x y − 2 x2 y + y − 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ��� C ����� �� ���� �� �� ���� � �� ������
����� ���� ��� ������� �� ������ � �� �� ������ � �� �� ���� �� ���� ��
y ��
P(x, y) = (2x2 + x− 1)y − 1
�� �� ���� �� ������ 2x2 + x − 1 = 0� �� ���� ��� ��� ���� � �� �� ����� �� C��� ��� � �� x = −1 � x = 1
2 � �� �� ����� ����� ������� �� ������ � �� ��
������ � �� �� ���� �� ���� �� x ��
P(x, y) = yx2 − y2x− 1
�� �� ���� �� ������ y = 0� �� ���� ��� �� ��� ���� � � ���!�� �� �� �� ���
C �� �� � � y = 0� "� � � ����� ������� �� ������ � �� ��� ������ �� �� ���
��� �� ����� �#� �� �� �� x ��
P(x,mx+ b) = x(mx+ b) + 2x2(mx+ b)− (mx+ b)− 1 ,
= 2mx3 + (2b+m)x2 + (b−m)x− b− 1 ,
�� �� ���� �� ��� ��� ⎧⎪⎨⎪⎩
2m = 0 ,
2b+m = 0 .
��� ������� ���� � �� ��� �� ������ �� �� ���� � � ������ �� �� ����
��
y = mx+ b� ���� ���
y = 0† .
� ���������� ����� � �� ����� ����� �� �� ������� � �� ������ �����
x −2 −54 −3
414
34
32
y 15
87 −8
5 −85
87
15
�� ��� ������� ��� ���� ��� �� � ��� ����� �� ������� ���� ��������� ����
������ �� ������ � �� ���� C� � ���������� �� ����� �� ������ � �� ���� C ��� ! ���� �� ������ �� �� ����
��"�
���� ���
�
��� ���������� #������ �� ���� C : y2x− y2 − x3 = 0�
�������� #��� $���� �� ���������
P(x, y) = y2x− y2 − x3 .
%� ������ P(x, 0) = 0 ��� �� −x3 = 0� �!� ������ �� x = 0� &����������
P(0, y) = 0 ��� �� −y2 = 0� �!� ������ �� y = 0� %� ������� � �� �� ��
���� C ���� ��� �� ����� � ���� ��� �� O(0, 0)�
†���� �� �� ������� �� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��������� �� ���� ������� ��� m = 0�
��
���� ��������� �� ����� ��������� �� � ������ x �� ��������� � �������� y
� ������� �� x�
y = ±√
x3
x− 1. �����
���� ����� ��� � ������ y ������� ����� ������ ������� � ����� �� ����� ��
� ������ x ��������� � ������ ������ �� � ��������
x3
x− 1≥ 0 . ��� �
!��"�� �� ����� ��������� ���� x ���� ����� �� ����� x ∈ 〈−∞, 0]∪〈1,+∞〉���� ���� ������ ��� � ������√
x3
x− 1≥ 0 ∨ −
√x3
x− 1≤ 0 ,
�� �� ������� �� ������ ���� ��
y ≥ 0 ∨ y ≤ 0 .
#�$ ���� �� ����� ��������� ���� y ���� ����� �� ����� y ∈ [0,+∞〉∪ 〈−∞, 0]�
�� ������ ����� �� ����� y ∈ R�
%�"��������� ���� ����� ���������� � ���������
P(x,−y) = 0 ≡ (−y)2x− (−y)2 − x3 = 0 ,
≡ y2x− y2 − x3 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� ���� � ��� � C �� ��������� �� �������� � ��� Ox� %� �����"��
P(−x, y) = 0 ≡ y2(−x)− y2 − (−x)3 = 0 ,
≡ −y2x− y2 + x3 = 0 ,
≡ y2x+ y2 − x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��$ ���� � ��� � � ������� � �� ��������� �� �������� � ��� Oy� & ���� ����
P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)2(−x)− (−y)2 − (−x)3 = 0 ,
��
P(−x,−y) = 0 ≡ y2x+ y2 − x3 = 0 ,
≡ −y2x− y2 + x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� C ���� �� � ���� �� �� ������ �� � ����
����� ��� ��� ������ �� ������ � ��� �� ���� ���� �� �� ���� ���� � ��
y ��
P(x, y) = (x− 1)y2 − x3
�� �� ��� �� ����� �� x−1 = 0� ������� �� ������� ���� ��� �� C �� �� ����� x = 1�
�� �� � ��� ����� ������ �� ������ � ��� �� ���� ���� �� �� ���� ���� � ��
x ��
P(x, y) = −x3 + y2x− y2
�� �� ��� �� ������ −1 = 0� �� ��� �� �� ����� C � ��� ������� �� ������ ��
������ �� ������ � ��� �� ���� ����� �� ��� �� ���� �� � � ����� �� x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)2x− (mx+ b)2 − x3 ,
= (m2 − 1)x3 +m(2b−m)x2 + b(b− 2m)x− b2 ,
�� �� ��� �� � ����� ⎧⎪⎨⎪⎩
m2 − 1 = 0 ,
m(2b−m) = 0 .
���� ���� �� ��� �� ������ �� ����� �� �� �� ������� �� ��� �� �� ����
y = mx+ b� ��� ���
y = x+1
2, y = −x− 1
2.
� ��� ���� ��� ��� ��� �� ������ !"�#$ �� �� ������� �� � �� ���� �����
x −1 −12
98 2
y ± 1√2± 1
2√3±27
8 ±√8
�� ���� ��� ��� ��� ��������� �� �� ���� ��� ���� � � �� �������� � ���
������ �� �� ��� �� �� ����� C���
�� ��������� � ���� �� ����� �� �� ����� C �� � ���� � ����� �� �� � �������
���� ���
�
��� ���������� ������� �� ����� C : yx3 − y − 5x2 = 0�
�������� ��������� �� ������������
P(x, y) = yx3 − y − 5x2 .
�� �������� P(x, 0) = 0 ������� −5x2 = 0� ���� ������� � x = 0� ������������
P(0, y) = 0 ������� −y = 0� ���� ������� � y = 0� �� ������� ������ ��� �� �����
C ��� ��� �� ��� �� �� ���������� O(0, 0)�
��� ��������� �� ������ �����!�� �� �� �����!�� x � ��������� � ����"�� y
�� ������ �� x�
y =5x2
x3 − 1. #��$%
&� ������ ��� �� ������ �����!�� ���� x ���� ��� �� ������
x ∈ R− {1} . #��'%
�� ��� ����� #��'% ������ (���� �� � ����� ����������
−∞ < x < 1⇒ 0 ≤ x2 < +∞⇒ 0 ≤ 5x2 < +∞ #���)%
��
−∞ < x < 1⇒ −∞ < x3 < 1
⇒ −∞ < x3 − 1 < 0
⇒ 0 < 1− x3 < +∞⇒ 0 <
1
1− x3< +∞ ������
� ������ ��� ������ � ������ �� ������
0 <5x2
1− x3< +∞
−∞ <5x2
x3 − 1< 0
−∞ < y < 0 ������
� ����� ����� ����� � ��� �� � �� � ����������
1 < x < +∞⇒ 1 < x2 < +∞⇒ 5 < 5x2 < +∞ ������
1 < x < +∞⇒ 1 < x3 < +∞⇒ 0 < x3 − 1 < +∞⇒ 0 <
1
1− x3< +∞ ������
�� ���� ����� ������ ��� ������ � ������ �� ������
0 <5x2
x3 − 1< +∞
0 < y < +∞ ������
�! "��� ������ �� ���� ������� ������ � �� ����� "�� � ���� C � � ��� ����#�� �� ������� � �� ��� � ����� ������� � � y ���$� ���� ��� � ����� y ∈ R�
%�#�� ����� ���� ����� ���� ��� ����� �&�
P(x,−y) = 0 ≡ (−y)x3 − (−y)− 5x2 = 0 ,
≡ −yx3 + y − 5x2 = 0 ,
��
P(x,−y) = 0 ≡ yx3 − y + 5x2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ������ ��� � ����� C � �� ��������� � � ������� � ��� Ox� �����������
P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)3 − y − 5(−x)2 = 0 ,
≡ −yx3 − y − 5x2 = 0 ,
≡ yx3 + y + 5x2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ��������� � � ������� � ��� Oy� � ���
���
P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)(−x)3 − (−y)− 5(−x)2 = 0 ,
≡ yx3 + y − 5x2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
� ����� C ���� � �� ��������� � � ������� � ������
�� �� ��� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ ��
y ��
P(x, y) = (x3 − 1)y − 5x2
�� ������ � �������� x3 − 1 = 0 ���� ����� � ����� ��� �� x = 1 ��� ���� �
����� �� ������� �� C �� � ����� x = 1� � � ����� ! ��� ������� �� ������ �
��� � � �������� �� � ��� � � ������ �� x ��
P(x, y) = yx3 − 5x2 − y
�� ������ � �������� y = 0 ��� ���� � ����� �� � ��" ��� �� C �� � ����� y = 0�
# � �� �� ������� �� ������ � ��� � � ��������� �� �� � � � ������� �$�
���� �� x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)x3 − (mx+ b)− 5x2 ,
= mx4 + bx3 − 5x2 −mx− b ,
��
�� ������� �� ����� ⎧⎪⎨⎪⎩
m = 0 ,
b = 0 .
�� �������� ������ ������� � ������� �� � ������ ������ �� � ���
y = mx+ b� ���� ���
y = 0† .
� ������������ �������� �� ����� ����� �� � ������� � ��������� ���
x −4 −2 −12
12
74 3
y −163 −20
9 −109 −10
7980279
4526
� ��� �������� �� ��������� �� ��� ������ ��� �������� ��� ��������� ��
�� � � ���!� �� � ���� C�"� !������� �� �� � ���!� �� � ���� C �� ��� �� ����� �� � !���
��#�
���� ���
�
†���� �������� �� � �������� ��� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��� ���� �������� �� �� � ���������� ��� m = 0�
��
��� ���������� �������� � ��� � C : x2y3 + y3 − 2x2 + 1 = 0�
�������� ���������� � ����������
P(x, y) = x2y3 + y3 − 2x2 + 1 .
�� ������� P(x, 0) = 0 ������� −2x2 + 1 = 0� ����� �������� ��� x = − 1√2�
x = 1√2� ��� ���� ������ P(0, y) = 0 ������� y3 +1 = 0� ���� ���� ������ ��� ��
y = −1� �� ������� ���� ��� � ��� � C �� ��������� ��� � ��� Ox �� �� ������(− 1√
2, 0)�(
1√2, 0)� � ��� � ��� Oy �� � ����� (0,−1)�
���� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y
�� ������� �� x�
y =3
√2x2 − 1
x2 + 1. � � !"
#��� ���� ��� �� ����� ������� ���� x ����� ����� �� ����� x ∈ R� $� ����
����� �� ��������� � �������� x �� ������� �� y�
x = ±√
y3 + 1
2− y3.
#��� ���� ��� � ����� x ������ ����� ������ ������ � ������ �� ����� ��
� ����� y �������%��� � �������� ������ �� � ��������
y3 + 1
2− y3≥ 0 .
���&�� �� ����� ������� ���� y ����� ����� �� ����� y ∈ 〈−1, 3√2]�
'�&��������� ���� ����� ��������� � ����������
P(x,−y) = 0 ≡ x2(−y)3 + (−y)3 − 2x2 + 1 = 0 ,
≡ −x2y3 − y3 − 2x2 + 1 = 0 ,
≡ x2y3 + y3 + 2x2 − 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ������ ���� � ��� � C �� �� ������� ��� �������� � ��� Ox� (� ���������
P(−x, y) = 0 ≡ (−x)2y3 + y3 − 2(−x)2 + 1 = 0 ,
��
P(−x, y) = 0 ≡ x2y3 + y3 − 2x2 + 1 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
��� ���� �� ��� �� ��� ��� �� ���� �� �� ���� � �� ��� Oy� � ���� ����
P(−x,−y) = 0 ≡ (−x)2(−y)3 + (−y)3 − 2(−x)2 + 1 = 0 ,
≡ −x2y3 − y3 − 2x2 + 1 = 0 ,
≡ x2y3 + y3 + 2x2 − 1 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ��� C �� �� ���� �� �� ���� � �� ������
����� ���� ��� ������� �� ������ � �� �� ������ � �� �� ���� �� ���� ��
y ��
P(x, y) = (x2 + 1)y3 − 2x2 + 1
�� �� ���� �� ������ x2 + 1 = 0� ��� �� ����� ��������� ������ �� ���� �� ���
C �� ����� ���� � � �� ���� ��� ������� ������� �� ������ � �� �� ������ �
�� �� ���� �� ���� �� x ��
P(x, y) = (y3 − 2)x2 + y3 + 1
�� �� ���� �� ������ y3 − 2 = 0� �� ���� ��� �� ���� ���� � � ��� �� �� �� ��
��� C �� �� � � y = 3√2� !� � � ����� ������� �� ������ � �� ��� ������ ��
�� ��� ��� �� ����� �"� �� �� �� x ��
P(x,mx+ b) = x2(mx+ b)3 + (mx+ b)3 − 2x2 + 1 ,
= m3x5 + 3bm2x4 +m(m2 + 3b2)x3 +
+(3mb2 + b3 − 2)x2 + 3b2mx+ b3 + 1 ,
�� �� ���� �� ��� ��� ⎧⎪⎨⎪⎩
m3 = 0 ,
3bm2 = 0 .
�� ���� �� ���� � ����� �� ��������� ��� b� ����� ��� �� ��� C �� �����
���� � �� ��������
��
���� ���
� ����������� �������� �� ������ ����� �� �� ��������� �� ��������� �����
x −4 −2 −12
12 2 4
y 3
√3117
3
√75 − 3
√25 − 3
√25
3
√75
3
√3117
�� ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ ��� �������� ���� ���������� ����
������ �� ������ �� �� ����� C� ��������� �� ����� �� ������ �� �� ����� C ��� ! ���� �� ������� �� �� �����
��"�
�
��� ���������� #�������� �� ����� C : xy2 + x− y2 + 2 = 0�
�������� #�����$���� �� ������������
P(x, y) = xy2 + x− y2 + 2 .
%� ������� P(x, 0) = 0 ������� x + 2 = 0 ��!� ������� �� x = −2� &�� ��������� P(0, y) = 0 ������� −y2 + 2 = 0 ��!�� ���������� ��� y = −√2 ! y =
√2�
%� �������� ������ ��� �� ����� C �� ���������� ��� �� �'� Ox �� �� ����� (−2, 0)( !��� �� �'� Oy �� ��� ������
(0,−√2
)!(0,√2)�
&��� ���������� ��� ������� ���������� �� �� �������� x �� ��������� � �����'�� y
��
�� ������� � x�
y = ±√
x+ 2
1− x. � � ��
��� ����� ��� �� �������� y ������ ������ ������ ������ � ����� �� ������ �
�� �������� x ����������� �� �������� ������� � �� ����������
x+ 2
1− x≥ 0 . � � ��
��!�� �� ������ ������� ���� x ���� ��� �� ������ x ∈ [−2, 1〉 � "� ���������� � �������� � ������ x �� ������� � y�
x =y2 − 2
y2 + 1.
��� ����� ��� �� ������ ������� ���� y ���� ��� �� ������ y ∈ R�
#�!��������� ���� ���� ��������� � ������������
P(x,−y) = 0 ≡ x(−y)2 + x− (−y)2 + 2 = 0 ,
≡ xy2 + x− y2 + 2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
� ������ ���� �� ����� C � �������� ��� ������� �� ��� Ox� $� ��������
P(−x, y) = 0 ≡ (−x)y2 + (−x)− y2 + 2 = 0 ,
≡ −xy2 − x− y2 + 2 = 0 ,
≡ xy2 + x+ y2 − 2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�% ���� �� ����� �� ������� �� � �������� ��� ������� �� ��� Oy� & �� ����
P(−x,−y) = 0 ≡ (−x)(−y)2 + (−x)− (−y)2 + 2 = 0 ,
≡ −xy2 − x− y2 + 2 = 0 ,
≡ xy2 + x+ y2 − 2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ����� C �� � �������� ��� ������� �� ���!�����
������ ���� � ��� � � ������ � ��� � ������� � �� ����� ������� �
y �
P(x, y) = (x− 1)y2 + x+ 2
� ����� �� ������ x− 1 = 0� ��� ������� � x = 1� ������ �� ���� C ���
��� �������� ������� � �� ���� x = 1� ��� ������� ��� � � ������ � ��� �
������� � �� ����� ������� � x �
P(x, y) = (y2 + 1)x− y2 + 2
� ����� �� ������ y2+1 = 0� � �� ��� �������� ����� ��� � �� ���� C ��
��� ��������� ������������ ��� ���� ����� ��� � � ������ � ��� ��� ��������
� ��� ��� �������� ��� ����� � x �
P(x,mx+ b) = x(mx+ b)2 + x− (mx+ b)2 + 2 ,
= m2x3 +m(2b−m)x2 + (b2 − 2bm+ 1)x− b2 + 2
� ����� � ������ ⎧⎪⎨⎪⎩
m2 = 0 ,
m(2b−m) = 0 .
� ���� ��� ������� �������� �������� ���� b� ������ � �� ���� C �� ���
��������� ��������
� ������������ ������ � ���� !�!"# � �� �������� �� ������ �����
x −32 −1
212
y ± 1√5±1 ±√5
�� ��� ������ ��� ���������� � ��� ����� � ������� ���� �$����� ����
������ �� ������ � �� ���� C�%� �������� � ����� �� ������ � �� ���� C ��� � ���� � ����� � �� ����
!�&�
�
��
���� ���
��� ���������� �������� � ��� � C : x2y2 − 4xy + x2 + y2 = 0�
�������� ���������� � ����������
P(x, y) = x2y2 − 4xy + x2 + y2 .
�� ������� P(x, 0) = 0 ������� x2 = 0� ���� ������ �� x = 0� �� ����� �����
P(0, y) = 0 ������� y2 = 0� ���� ������ �� y = 0� �� ������� ���� ��� � ��� �
C ���� ��� � ����� �� ����������� O(0, 0)�
���� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y
�� ������� �� x�
y =−2x±√3x2 − x4
x2 + 1. !�!"#
$��� ���� ��� � ����� y ������ ����� ������ ������ � ������ �� ����� ��
� ����� x �������%��� � �������� ������ �� � ��������
3x2 − x4 ≥ 0 .
��
������ ��� ����� � ������� �� x ����� ����� ��� ����� x ∈ [−√3,√3]� ��
��� �� ���� �� ��������� ������� x �� ��� ���� �� y�
x =−2y ±
√3y2 − y4
y2 + 1.
���� ����� ��� � ����� y �� ��� ����� ������ ��� ��� � ����� ��� ����� ��
� ����� y ���������� � �������� �������� �� � ���������
3y2 − y4 ≥ 0 .
������ ��� ����� � ������� �� y ����� ����� ��� ����� y ∈ [−√3,√3]�
������ ����� �� � ����� �������� �����������
P(x,−y) = 0 ≡ x2(−y)2 − 4x(−y) + x2 + (−y)2 = 0 ,
≡ x2y2 + 4xy + x2 + y2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
�� ��� ���� � ��� C �� �� �� ����� ��� �������� � ��� Ox� �� ��� �������
P(−x, y) = 0 ≡ (−x)2y2 − 4(−x)y + (−x)2 + y2 = 0 ,
≡ x2y2 + 4xy + x2 + y2 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
� ���� � ��� �� �������� �� �� �� ����� ��� �������� � ��� Oy� !� ��������
P(−x,−y) = 0 ≡ (−x)2(−y)2 − 4(−x)(−y) + (−x)2 + (−y)2 = 0 ,
≡ x2y2 − 4xy + x2 + y2 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
� ��� C �� �� ����� ��� �������� � �������
"#��� ��� ��� ������� �� ����� ���� �� ���$������ �� � ��� ������� ��
y ��
P(x, y) = (x2 + 1)y2 − 4xy + x2
�� ������� � ������� x2+1 = 0� ��� �� ����� ���������� ������ �������� � ��� C�� ����� � ����� ��������� �� ��� ����� ������� �� ����� ���� �� ���$������
��
�� �� ����� ���� � �� x ��
P(x, y) = (y2 + 1)x2 − 4yx+ y2
�� �� ��� �� ����� �� y2+1 = 0� ��� �� ���� ����� ���� ������� ��� ��� �� ����� C ��
���� ������� ��� �������� ��� ��� ����� ������ �� ������ � ���� ��� ����� ����
�� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� x ��
P(x,mx+ b) = x2(mx+ b)2 − 4x(mx+ b) + x2 + (mx+ b)2 ,
= m2x4 + 2bmx3 + (m2 − 4m+ b2 + 1)x2 +
+2b(m− 4)x+ b2
�� �� ��� �� � ���� ⎧⎪⎨⎪⎩
m2 = 0 ,
2bm = 0 .
�� ����� �� ��� � ��� �� ����� ���� ��� b� �� �� ��� �� ����� C �� ����
������� ��� �����
� ��� ���� ��� �� ���� �� ����� � � !" �� �� ��������� �� � �� ��� ����
x −32 −1
212
12
y −12±√2713
−4±√115
−4±√115
−12±√2713
�� ���� ��� ��� ��� ����������� �� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��#����� � ���
����� �� ������ �� �� ����� C�$� ��������� �� ���� �� ������ �� �� ����� C �� � ���� �� ������ �� �� �����
�!�
�
���� ���������� %����� � �� ����� C : y3 − 8 + x3 = 0�
�������� %��� ������ �� ��� ���� ��
P(x, y) = y3 − 8 + x3 .
&� ����� �� P(x, 0) = 0 ������ −8 + x3 = 0� ���� '� �� ����� �� ���� �� x = 2�
��
���� ���
�� ���� ������ P(0, y) = 0 ��� �� y3−8 = 0� � � ���� ��� ���� �� �� y = 2�
�� ����� ����� � � � � � C �������� � ��� Ox �� �� � ��� (2, 0) � � ��� Oy�
�� � �� (0, 2)�
� ������� ��� ����� ��������� �� � ����� x �� ������� ������ y
�� ������� �� x�
y =3
√8− x3 . ���� !
"��� ����� � � ��� ����� ��������� � x ���� ����� ��� ����� x ∈ R� �� ����
������ �� ������� ������ x �� ������� �� y�
x = 3
√8− y3 .
"��� ����� � � ��� ����� ��������� � y ���� ����� ��� ����� y ∈ R�
#�$ �������� ���� � ��� ������ ������ ����
P(x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 8 + x3 = 0 ,
≡ −y3 − 8 + x3 = 0 ,
≡ y3 + 8− x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��
�� ������ ��� � ����� C � �� ��������� � � ������� � ��� Ox� �����������
P(−x, y) = 0 ≡ y3 − 8 + (−x)3 = 0 ,
≡ y3 − 8− x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ��������� � � ������� � ��� Oy� � ���
���
P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 8 + (−x)3 = 0 ,
≡ −y3 − 8− x3 = 0 ,
≡ y3 + 8 + x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
� ����� C ���� � �� ��������� � � ������� � ������
�� �� ��� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ ��
y ��
P(x, y) = y3 − 8 + x3
�� ������ � ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C � � ��� ����� ��� ���������� �� �
����� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ �� x ��
P(x, y) = x3 − 8 + y3
�� ������ � ���� ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C ���� � � ��� ����� ���
� ��! ������ " � �� �� ������� �� ������ � ��� � � ��������� �� �� � �
� ������� �#� ���� �� x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)3 − 8 + x3 ,
= (m3 + 1)x3 + 3bm2x2 + 3b2mx+ b3 − 8 ,
�� ������ � ������� ⎧⎪⎨⎪⎩
m3 + 1 = 0 ,
3bm2 = 0 .
���� � ����� ������� ������ � �������� �� � ����� �� ����� �� � ���
��
y = mx+ b� ���� ���
y = −x .
� ���������� ����� � �� ����� ������ �� �� ������� � �� ������ �����
x −4 −2 32
52 4
y 2 3√9 3√16
3√372 − 3
√612 −2 3
√7
�� ��� ������� ��� ���� ��� �� � ��� ����� �� ������� ���� ��������� ����
������ �� ��� �� � �� ���� C�!� ��������� �� ����� �� ��� �� � �� ���� C ��� " ���� �� ������ �� �� ���
�����
���� ����
�
���� ���������� #������ �� ���� C : y3 − 4x+ x3 = 0�
�������� #��� $���� �� ��� �����
P(x, y) = y3 − 4x+ x3 .
%� ������ P(x, 0) = 0 ��� �� −4x + x3 = 0� �"� �������� ���� ��� x = −2���
x = 0 � x = 2� ���������� P(0, y) = 0 ����� y3 = 0� ���� ������� � y = 0�
�� ������ ����� �� �� ����� C ������� �� � Ox ��� ���� (−2, 0) � (2, 0)�
� ����� ��� �� � ���� O(0, 0)�
���� ������� ��� ������ ��������� � �� ������� x � ������ � �� ��� y
������� � x�
y =3
√4x− x3 . ��� �!
"��� ����� �� ��� ������ ��������� ��� x ��� ����� ��� ������
x ∈ R . ��� !
# ��� �� ��� ! � �� ������� ����
−∞ < x < +∞ ,
� ��
−∞ < 4x < +∞ ��� $!
�
−∞ < x3 < +∞ ��� %!
&'���� ������ ��� $! � ��� %! � ����
−∞ < 4x− x3 < +∞−∞ <
3
√4x− x3 < +∞
−∞ < y < +∞
"��� ����� �� ��� ������ ��������� ��� y ��� ����� ��� ������ y ∈ R
��������� ���� �� � ������ � ���������
P(x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 4x+ x3 = 0 ,
≡ −y3 − 4x+ x3 = 0 ,
≡ y3 + 4x− x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��
�� ������ ��� � ����� C � �� ��������� � � ������� � ��� Ox� �����������
P(−x, y) = 0 ≡ y3 − 4(−x) + (−x)3 = 0 ,
≡ y3 + 4x− x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
��� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ��������� � � ������� � ��� Oy� � ���
���
P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 4(−x) + (−x)3 = 0 ,
≡ −y3 + 4x− x3 = 0 ,
≡ y3 − 4x+ x3 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
� ����� C ���� � �� ��������� � � ������� � ������
�� �� ��� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ ��
y ��
P(x, y) = y3 − 4x+ x3
�� ������ � ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C � � ��� ����� ��� ���������� �� �
����� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ �� x ��
P(x, y) = x3 − 4x+ y3
�� ������ � ���� ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C ���� � � ��� ����� ���
� ��! ������ " � �� �� ������� �� ������ � ��� � � ��������� �� �� � �
� ������� �#� ���� �� x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)3 − 4x+ x3 ,
= (m3 + 1)x3 + 3bm2x2 + 3b2mx− 4x+ b3 ,
�� ������ � ������� ⎧⎪⎨⎪⎩
m3 + 1 = 0 ,
3bm2 = 0 .
���� � ����� ������� ������ � �������� �� � ����� �� ����� �� � ���
��
���� ����
y = mx+ b� ���� ���
y = −x .
� ���������� ����� � �� ����� ������ �� �� ������� � �� ������ �����
x −4 −1 1 4
y 2 3√6 − 3
√3 3√3 −2 3
√6
�� ��� ������� ��� ���� ��� �� � ��� ����� �� ������� ���� ��������� ����
������ �� ������ � �� ���� C� � ���������� �� ����� �� ������ � �� ���� C ��� ! ���� �� ������ �� �� ����
�����
�
���� ���������� "������ �� ���� C : 4y2x2 − x3 − 4 = 0�
�������� "��� #���� �� ���������
P(x, y) = 4y2x2 − x3 − 4 .
$� ������ P(x, 0) = 0 ��� �� −x3 − 4 = 0� �!�� �������� ��� x = − 3√4� %�
����� ��� P(0, y) = 0 ��� �� �� ���� � −4 = 0� $� ������� � �� �� �� ����
C &�������� ��������� �� �'� Ox �� ��� ����� (− 3√4, 0)�
(��� �������� ��� ������� � ������ � �� ������� x �� ����� ��� � ����'�� y
��
�� ������� � x�
y = ±√x3 + 4
2x. � ����
��� ����� ��� �� ������ ������� ���� x ���� ��� �� ������ ��� ����������
�� �������� ������� � �� ����������
x3 + 4 ≥ 0 . � ����
��� �� �� ������ ������� ���� x ���� ��� �� ������
x ∈[− 3√4,+∞
⟩. � ��!�
"�� ���� ����� � ���� �������
0 ≤√x3 + 4 < +∞ . � ��#�
$��� � ��!� ������� %���� �� � ������ ��������
− 3√4 ≤ x < +∞⇒ −2 3
√4 ≤ 2x < +∞
⇒ 0 <1
2x≤ − 1
2 3√4
� ��&�
$%���� ������������ � ��#� ' � ��&� � ����
0 <
√x3 + 4
2x< +∞ ∨ −∞ < −
√x3 + 4
2x< 0
0 < y < +∞ ∨ −∞ < y < 0 � �()�
*� ��� ���� ������� �� ������ � �()� ' �� %��%� ��� �� ����� ��� ��� �� �����
(− 3√4, 0)� �� ������ ������� ���� y ���� ��� �� ������ y ∈ R�
+� ��������� ���� ���� ��������� � ������������
P(x,−y) = 0 ≡ 4(−y)2x2 − x3 − 4 = 0 ,
≡ 4y2x2 − x3 − 4 = 0 ,
≡ P(x, y) = 0 ,
��
�� ������ ��� � ����� C � �������� ��� �� ����� � ��� Ox� �� �� �����
P(−x, y) = 0 ≡ 4y2(−x)2 − (−x)3 − 4 = 0 ,
≡ 4y2x2 + x3 − 4 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
� � ��� � ����� �� ��� ���� � �������� ��� �� ����� � ��� Oy� � ���� ���
P(−x,−y) = 0 ≡ 4(−y)2(−x)2 − (−x)3 − 4 = 0 ,
≡ 4y2x2 + x3 − 4 = 0 ,
�≡ P(x, y) = 0 ,
� ����� C �� ��� ���� ������� ��� �� ����� � �������
����� ���� ��� �� ��� �� ������ � ���� � ���������� �� � ����� �������� ��
y ��
P(x, y) = y3 − 4x+ x3
� ������� � �� ���� 1 = 0 ������� � ����� C �� �� �� � ������ �������� � �� �
�� �� ���� �� ��� �� ������ � ���� � ���������� �� � ����� �������� �� x ��
P(x, y) = x3 − 4x+ y3
� ������� � �� �� �� ���� 1 = 0 ������� � ����� C ������� �� �� � ������
����!����� � "�� ���� ��� �� ��� �� ������ � ���� � ���������� �� � ��
�������� �# ��� �� x ��
P(x,mx+ b) = (mx+ b)3 − 4x+ x3 ,
= (m3 + 1)x3 + 3bm2x2 + (3b2m− 4)x+ b3 ,
� ������� � � ���� ⎧⎪⎨⎪⎩
m3 + 1 = 0 ,
3bm2 = 0 .
���� ������ ������� ������� � �������� �� � � ������ ������ �� � ����
y = mx+ b � �� �
y = −x .��
���� ����
� ����������� �������� �� ������ ����� �� �� ��������� �� ��������� �����
x −1 −12
12 2 4
y ±√32 ±
√318 ±
√338 ±
√32 ±
√174
�� ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ ��� �������� ���� ���������� ����
������ �� ��� �� �� �� ����� C�! �������� �� ����� �� ��� �� �� �� ����� C ��� " ���� �� ������� �� �� ����
�����
�
��� ������� ��� ����
� ����������� �� ���� �������� " ������ �� ��� �� �� ���� ��� �� ��� ����������
�����������
�� x2y − xy2 + 5 = 0
�� x2y − x2 + 6x = 2
#� y =x2
x2 − 9
$� y2 =9x
x2 − 9
��
�� y =2x
x2 − 5
�� y =x2 − 2
x+ 2
�� y =x3
x2 − 2x+ 8
�� x2y2 + 2x3y − 2x− 1 = 0
�� x4y2 + 2x5y − 2 = 0
��� y2 =x3
x2 − 9
��� y2 =100x
x3 − 27
�� y2 =9x
x+ 2
�� x2 + y2 + x2y2 = 9
��� yx2 + 2xy = 1
��� x2 + y2 − xy2 = 9
��� x(4 + y2) = 8
��� x3 = y2(16− x)
��� (x2 + y2)2 = 9x3
��
��������
����������� � ���� � ����� � ��� ��� ������
��� � ���
��� �������� �
������ �� � ������ ���� � ����� ���� �� ���������� ����� ���� � ��������
��� ������� �� ����� � ������ ������ � ��� ���������� �������� �� ���
������� � ��� �� �� �������� � �������� � ������ �� ���� �� � ��� �����
������� � � ������ ��� �������� ��� ����� � ������� � � ����� �� ��������
�� ������ ����� ������� ����� �� ����� � ���
�������������� ������������
� � ��� ����� ����� �� ���� ���� �� ���� ��������� ����� !� �� ��" ����"
������" � ���" ������" �� ���" #�����" �� ���" ��������" �� ����� � ����$� %"
������" �������� �� ��������" ���
& ��� ����� � �� ���� ��� �� ���� � ��������� � ������� ��� '����
������� � �� ���� � ������������� � ������� ��� (� #�� (� )�#�
��� �� � �� ��������
& ���� � �������� �� � ������� ��� ����� �� �������
��������" �������"
��� ���" �������
�� ������" ��� ���� �� ����� ����������" �� ������ ������� �� ��� ��� � ����
������
��� ������ �� ����� ���������� � � �������� � � ������� � � ������
��
������� �� ����� ��������
���� ����� ���� ���� � �� �� ����� ����� �������� � �� ����� � �������
��� ��������� ������ � ��� ������ � � �� ������ � ���������� �� ������ ��
�� �������
�������������������������
�����������������1, . . . ��������n���������
������� �� ����� ����� �
���� ����� �� ������� � �� ���� ��� �������� ������ �� �� ������� � ��
������� � �� �� �� ������ �� �� �������
����� �� ����������������
������� �� ����� � ��� �
���� ����� ������� ��� ����� ��� ������� ��� ������ � �� ��� �� � �������
������ � �� ����� � ��������� �� ������ �� �� �������
� ��� ������������������
������ �� ����� �� � �
���� ����� ������ ������� ������� ������ �� ��� ��� �������� ������ �����
��� ����� ������ � � ������� �� ������ �� �� �������
�� � �������1� . . .� �����n� x, xmin, xmax� y, ymin, ymax�
���������� �� ����� �� � � ������ ������� ��� �� ����� �� ��� �� ���!
�� � ��� ��
��� �� ���� ������� ������
�� � ��� ������� ������ �� �� ���"�� ��� ������� ��� ����� �� ����
������� #� ������ � �"� ����� �� �� ��������
������� ������������������
��
��� ������������ � ����� ����������
���� �������� �� ���� �� ������� �� �� ������ � � ����� ������ ������������� ��
����� ���������� �� �� ��� ��� � ������ � � ����������
������
�� ���� ���� �� ���� �� ���� �����������
� �� ��� ������������ �
�� ���� � ���� ����� ������� ��� �� ������ ��������������� ���� ���� �����
��� �� �� ���������
����������� � ������������������� �!�������
���������� �!������
�� � � ������ �� �������� �� �� ������� � �� � ������� �� ����� ��� ����� �
��� ������������ � ����� �����"���"���#
���� �������� �� ������ ������� �� �� ������ � � ������� ������ �� ��������
����� �
������
�� ���� ���� �� ���� �� ���� ���� ��������
� ��� ��� ������"���"���#� �
��� �� ����
��� �������� ������ �� �����
C : 2xy2 − x3 + 8 = 0
��������� !�"����
�������� �� �� �� � ����� � �� ��������#
��
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ���� ������ ������ �
������
������ ��� � ����� � �������� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� ���� ���������������������
� ���� [x = 2]
� ���� ���������������������
� ���� [ ]
������
������������� ��� � ����� � ����� ������� �� �������� � ������ y �� ������� �� x� � ��� �������
����� �� � ������ � �������� ��� ���������! � ������������� �� � �������� � ��"� ���� � ��
������������! � ����� ������� �� � ������� x� #���� � �� � ����� � ������������ ����
������ ���$� �������� ��
� ���� �����������
� ����
[y = −
√x2− 8
x√2
, y =
√x2− 8
x√2
]� ���� ������� !��"�#��� �$%����
� ���� [[x < 0], [x >= 2]]
���� ������ ������ ����� � �� �������� ������� �� �� �� ��� ��� �� �
�������� �� ��� �� ���������� �� � �� �� ����� y��� �� ��� �� �� ������� x ��
�� ���� �� y� �������� �� ������ ������ � �� � ��� � ���� ��� ����� ��� � ��
�� �� � � ��� � � �� �� � � ����������
��%� ��!�� ����� ���� �� � ���� � �������� ���� � ��������� � �� ��� ���� ����� �� ���������� &�'�
()
������
�� ������� x � �� ��� �� y �� ������ �� ������� ��������� ��� ������ ��� �� ����
��������� ��� ������ �� ������� �� �� ������� y� ��� ��� �� ������ �� �������� ��� �� ������
���� ���� ���������� �� ������ �� ������� ���� �� � �� ��� �� �������� � ������� ��
������ �� ������ �� ������� ��������
� ���� ������ ��
� ����
⎡⎢⎢⎣x =
(−√3 i2 − 1
2
) (232
√54−y6
332
+ 4
) 1
3
+2(√
3 i2− 1
2
)y2
3
(2
32
√54−y6
3
32
+4
) 13
,
x =(√
3 i2 − 1
2
) (232
√54−y6
332
+ 4
) 1
3
+2(−
√3 i2− 1
2
)y2
3
(2
32
√54−y6
3
32
+4
) 13
,
x =
(232
√54−y6
332
+ 4
) 1
3
+ 2 y2
3
(2
32
√54−y6
3
32
+4
) 13
⎤⎥⎥⎦
� ���� ��������������� �������
� ���� [[y >= −1.94416, y <= 1.94416]]
������
�� �������� ��� ����������� ������ � ��� ������ � ����� � � ����� ����� ��� ��� ����
y �∈ [−1.94416, 1.94416] �� ������� ����� ������ ����� ��� x� � ���� ������� ��� ������ �� �������
��� y � ������� � �� �������� 54− y6 ≥ 0 ��� �� ������� ���� ���� � �� ����� � ���� �
���� ���� ������ �� ������� ����� ����� ��� � �� ������� ��� �������� �!�
� ����� ���������� ������ �!��"������"#$ ���%"��
� ����� [x = −0.16008204608743, x = −6.989667620450047,x = 7.149749666537473]
"#
� ����� �������� �� ����� �������� � ������
� ���� [x = −1.440237129256727 i− 1.165373043062415,
x = 1.440237129256727 i− 1.165373043062415,
x = 2.33074608612483]
� ����� �������� �� ���� �������� � ������
� ���� [x = −1.440237129256727 i− 1.165373043062415,
x = 1.440237129256727 i− 1.165373043062415,
x = 2.33074608612483]
� ����� �������� �� ���� ������� ����� � � ������
� ��!� [x = −0.16008204608743, x = −6.989667620450047,x = 7.149749666537473]
������
������ �� ����� �� �� ����� � ������� ���� ������� �� ������ ���� �� ������� �� ������
��� � ���� ���� ���
� ���"� ���� ������
� ��"� 2 x y2 − x3 + 8 = 0
� ���#� ����� ������
� ��#� 2 x y2 − x3 − 8 = 0
� ���$� ����� %���� ����&��
� ��$� 2 x y2 − x3 − 8 = 0
��
������
� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ������ � � ��������� �� �� �� �����
����������
� ����� ���� ���������
� ����� 2 x y2 − x3 + 8 = 0
� ����� �������������� ���������������
� ����� 2 x = 0
� ����� ����������������� �����
� ����� [x = 0]
������
����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������� � � ��������� �� �� �� �����
����� ���� ����� ��� �� ��� ��� � ������� ��� ���� �������
� ��� � ���� ���������
� ��� � 2 x y2 − x3 + 8 = 0
� ���!� �������������� ���������������
� ���"� −1 = 0
� ���#� ���$��������������� �����
� ���#� [ ]
��
������
������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ��� � �� ���� �� � �� ��������
���������
� ����� ���� ���������������������
� �����(2m2 − 1
)x3 + 4 bmx2 + 2 b2 x+ 8 = 0
� ����� ��������������
�!"��!�#� $��%%����������$��%%��������&"�#�
� ���"�[2m2 − 1 = 0, 4 bm = 0
]� ����� '�(��'�(��� �!"��!�#� ���#��
� �����[[b = 0,m = − 1√
2
],[b = 0,m = 1√
2
]]� ����� ��(�$)�'����(��� �� �#����������������'�(��
� �����[y = − x√
2, y = x√
2
]
������
������� �� ������ � ����� ��� ���� � ����� ���� ������ �� ���� � �� ��� � �� �����
� ���*� (�'+�� &��&"�&",����*#�
��+��)(����(�'+���
� ���-�
⎡⎢⎣x −2 −1 −1
2 3 4
y [−2, 2] [− 3√2, 3√
2] [−
√65
232
,√65
232
] [−√19√6,√19√6] [−√7,
√7]
⎤⎥⎦
���� �� ������ ������ �� �� ����� � ���*� �� ������ �������� ��� �� �������
+��)(�� �������� �� ����� �������� �� �� ������ �������� ��������� �� �������
�� ��������� ����������� �������� �� ���� ������� ������� ���� �������� ��
������� �������� �)��� ��� ���� ������ � �������������
��
������
��������� �� ������ ������ ����� � ����� �� � � ��� � ���������
� ����� ���� ��� ��������
� � ���
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x y
−2 [−2, 2]
−1 [−2.121320343559642, 2.121320343559642]
−0.5 [−2.850438562747844, 2.850438562747844]
3 [−1.779513042005219, 1.779513042005219]
4 [−2.645751311064591, 2.645751311064591]
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
������
������ �� � ����� �� ������ � �� ���� �������� �� �� ��� � �� ����� ��������� � ���� �
��� �� ����� �� � � x � �� ����� �� ���� � �� �����������
� ����� ���������� ������� �������������� ��� �����
������������� ������������� ��!�"� !�!�#
� �����
�
��
��� �������� �������� � ��� �
C : yx2 − xy2 − 1 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ����� ���� ��� ���� �
������
����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� ����� ���������������������
� ����� [ ]
� ����� ���������������������
� ����� [ ]
������
������������ � ���������� � ����� ������� �� � ������� x�
� ����� ����������
� �����[y = −
√x4−4x−x2
2x , y =√x4−4x+x2
2x
]� ��� � ����������� �!�������"����
� ��� � [[x ≤ 0], [x ≥ 1.5874]]
��
������
�� ������� ���� �� �� ���� �������� ��� ������� ������� �� �� ������� y�
� ����� ����� ���
� �����
[x = −
√y4+4 y−y2
2 y , x =
√y4+4 y+y2
2 y
]
� ����� �������������������������
� ����� [[y ≤ 0], [y ≥ 1.5874]]
������
����� �� �������� ��� ������� ��� ��� ���� � �� ������
� ����� ���� ������
� ����� x y2 + x2 y + 1 = 0
� ����� ��� ������
� ����� x y2 + x2 y − 1 = 0
� ��� � ��� !���� ����"��
� ��� � x y2 − x2 y − 1 = 0
������
� ����� ���� �� �������� ��� �� ������ �� ��� ��������� ����������
� ���#� ��$�%��&������ ���
� ���#� −x y2 + x2 y − 1 = 0
� ���'� (��%)�$�*���$� ��+ ,��--���$� � (����
��
� ����� −x = 0
� ����� ��� ���������� �����
� ����� [x = 0]
������
������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����
� ����� ����������������
� ����� −x y2 + x2 y − 1 = 0
� ����� ����������������� � ������������
� ���!� y = 0
� ����� ����"������������� �����
� ����� [y = 0]
������
����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��
� ���#� ���������������$%&�'(�����
� ���#�(m−m2
)x3 + (b− 2 bm) x2 − b2 x− 1 = 0
� ���)� �����������������
*+��+�,�* � ������������ � ����������-��,�
� ���.�[m−m2 = 0, b− 2 bm = 0
]� ���/� ����������*+��+�,�*(�%,��
� ���/� [[b = 0,m = 0], [b = 0,m = 1]]
��
� ����� ����� ������������������������������ ���
� ����� [y = 0, y = x]
������
������� �� ����� � ��� ����
� ����� � ���� !� �� �"#�#$��"!��!�#�%
����&�' �� �������&�(�� �����
� ���)�
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x y
−3 [−√93+96 ,
√93−96 ]
−1 [−√5+12 ,
√5−12 ]
−14 [−
√257+18 ,
√257−18 ]
41
3 [413
2 ]
3 [−√69−96 ,
√69+96 ]
4 [−√15−42 ,
√15+42 ]
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
������
�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� � � ��� ����� ��� ����
� ���!� �&�*�&������'�(��
� �'���� ���&���� ���&�*�'��� ������ ��
����� !�+��� +�+�%
��
� �����
�
��� �������� �������� � ��� �
C : yx− x2 + y − 2 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ����� �� � �������� �
������
����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� ����� ������������������ ��
� ����� [ ]
� ����� ������������� �������
��
� ����� [y = 2]
������
�� ���� ���� � ��� ����� �������� ������� �� ������� y �� ��� ��� � ��� �� � ������� ������������
�� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�
� ����� ����� ���
� �����[y = x2+2
x+1
]
������
����� �� ��� � � ����� �� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y �� ����� � �� � �������
�������������
� ����� ����� ���
� �����
[x = −
√y2+4 y−8−y
2 , x =
√y2+4 y−8+y
2
]� ����� ����������������������� !��
� ����� [[y ≤ −2√3− 2], [y ≥ 2√3− 2]]
������
��� � �� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� � � � �����
� ���!� ���� � ����
� ���!� x y + y + x2 + 2 = 0
� ���"� ��� � ����
� ���"� x y − y + x2 + 2 = 0
!
� ����� ����� ��� �����
� ����� x y − y − x2 − 2 = 0
������
� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������
� ����� ����������������
� ����� x y + y − x2 − 2 = 0
� ����� ����������������� ��� �����������
� ���!� x+ 1 = 0
� ���"� ���#���$�%���%�$���� ����
� ���"� [x = −1]
������
����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������
� ����� ����������������
� ����� (x+ 1) y − x2 − 2 = 0
� ���&� ����������������� ��� �����������
� ���'� −1 = 0
� ��&(� ����)��#�$�%���%�$���� ����
� ��&(� [ ]
��
������
������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����
� ����� ���� ���������������������
� ����� (m− 1) x2 + (m+ b) x+ b− 2 = 0
� ����� ��������������
�� ��� �!��"��##����������"��##��������$��!�
� ���%� [m− 1 = 0,m+ b = 0]
� ���&� '�(��'�(����� ��� �!�����!��
� ���&� [[b = −1,m = 1]]
� ���)� ��(�"*�'����(��� ����!����������������'�(��
� ���)� [y = x− 1]
������
������� �� ������ �� ������ ���
� ���+� (�',���$+�$&�$��$%-��$�-����)!�
��,��*(����(�',���
� ���.�
⎡⎢⎣x −6 −4 −2 −3
2 −12 2 5
y [−385 ] [−6] [−6] [−17
2 ] [92 ] [2] [92 ]
⎤⎥⎦
������
�������� �� ����� �� ���� � � �� ����� ��� ��������� ��� ����� �������� � �� ���� � ������ ��
� �� ��� y�
� ����� ,�/���"*�"�������
�'��,�,�'���,�"�(�'����/��,�(�'���(�"*�'��
��*�,�'���0��!!����$��)1.)���$������
�
� �����
�
��� �������� �������� � ��� �
C : xy + 2x2y − y − 1 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ����� ��� ������������ �
������
����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� ����� ���������������������
� ����� [ ]
� ����� ���������������������
��
� ����� [y = −1]
������
�� ���� ���� � ��� ����� �������� ������� �� ������� y �� ��� ��� � ��� �� � ������� ������������
�� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�
� ����� ���� ����
� �����[y = 1
2x2+x−1]
������
����� �� ��� � � ����� �� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y �� ����� � �� � �������
�������������
� ����� ���� ����
� �����
[x = −
√9 y2+8 y+y
4 y , x =
√9 y2+8 y−y
4 y
]� ����� ������������������������ ��
� ����� [[y ≤ −89 ], [y ≥ 0]]
������
��� � �� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� � � � �����
� ���!� "��� ���"���
� ���!� 2 x2 y + x y − y + 1 = 0
� ���#� ��� ���"���
� ���#� 2 x2 y − x y − y − 1 = 0
!
� ����� ����� �� ��������
� ����� 2 x2 y − x y − y + 1 = 0
������
� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������
� ����� � ���������������
� �����(2 x2 + x− 1
)y − 1 = 0
� ����� ����������� ������ ������� ����������
� �� !!�2 x2 + x− 1 = 0
� �� ! ���"���#�$���$�#��� �� ��
� �� ! �[x = 1
2 , x = −1]
������
����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������
� �� !%�� ������������ ��
� �� !%�2 x2 y + x y − y − 1 = 0
� �� !&������������ ��� �� ������� ��� ��� ��
� �� !'�2 y = 0
� �� !(�����)��"�#�$���$�#��� �����
� �� !(�[y = 0]
��
������
������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����
� ��������� ����������������������
� � ����2mx3 + (m+ 2 b) x2 + (b−m) x− b− 1 = 0
� ����������� �������
�!���!"#� $ �%%���������$ �%%�������&��#�
� � ��'�[2m = 0,m+ 2 b = 0]
� ����(�) *���) *���� �!���!"#� ���#��
� � ��(�[[b = 0,m = 0]]
� ������ �*�$+�)����*������ �#���������������) *��
� � ����[y = 0]
������
������� �� ������ �� ������ ���
� ������*�),�� &"�&-./�&0./��./�0./�0."#�
��,��+*�����*�),���
� � ��"�
⎡⎢⎣x −2 −5
4 −34
14
34
32
y [15 ] [87 ] [−85 ] [−8
5 ] [87 ] [15 ]
⎤⎥⎦
��
������
���������� � ���� �� � ��� �� �� ����� � �������� �� ����� �������� � �� ����� �� ����������
��� �� ��� y�
� ������������ ��������
���������������������������������� ���
��� ������������������������ ������!
� ������
�
��� �������� �������� � ��� �
C : y2x− y2 − x3 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
���������� � �������� �� �������� ���� �� �� ������� ��
� ����"��# $�%�� $���$�&� !
��
������
����� �� ����� �� ��� �������� �� �� ���� x � y� ��������������
� ���������������� ���������
� �����[x = 0]
� ���������������� ���������
� �����[y = 0]
������
����������� �� ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�
� ���������� ����
� �����[y = −x√
xx−1 , y = x
√x
x−1]
� �������������������������������
� �����[[x ≤ 0], [x > 1]]
������ ��� � ���� �������� �� ���� � � ������ x� �� ������� ��� ���
������ ��������� �� � ������ y �� ������� � ���� �� �� ������ ��� �� ����
� �� ������� ���� �� �� ����� ���� ������� � ��� �� ��� �� ���� � ��
������ � � ������ ��� ������� !�"�
������
��� � �� ���� ��� �� ����� ��� �� �� ���� � � � ����
� ��������� �������
� �����x y2 − y2 − x3 = 0
��
� ���������� �� ��
� ������x y2 + y2 − x3 = 0
� ����������� �� ��������
� ������x y2 + y2 − x3 = 0
������
� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������
� ������ ���������������
� ������(x− 1) y2 − x3 = 0
� ���������������� ������ �� � ����������
� ����!�x− 1 = 0
� ����"��#���$%��%�$�� �� ��
� ����"�[x = 1]
������
����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������
� ����&� ������������ ��
� ����&�x y2 − y2 − x3 = 0
� ����'����������� ��� �� �� � ��� ��� ��
� ����(�−1 = 0
��
� ���������� ����������� �����
� �����[ ]
������
������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����
� ������������������������� !�����
� �����(m2 − 1
)x3 +
(2 bm−m2
)x2 +
(b2 − 2 bm
)x− b2 = 0
� ������"�����#�������$
%�&���&�'�%(�))�������"���(�))�������"�*��'�
� �����[m2 − 1 = 0, 2 bm−m2 = 0]
� ���������������%�&���&�'�%!��'��
� �����[[b = 1
2 ,m = 1],[b = −1
2 ,m = −1]]� ����+�!��(,����������!���%�'��������� !���������
� ���+�[y = x+ 1
2 , y = −x− 12
]
������
������� �� ������ �� ������ ���
� ����-���� ��%*��*�.���./��'$
��� �!,�������� ���
� ���0�
⎡⎢⎣x −1 −1
298 2
y [− 1√2, 1√
2] [− 1
2√3, 12√3] [−27
8 ,278 ] [−2 3
2 , 23
2 ]
⎤⎥⎦
��
������
���������� � ���� �� � ��� �� �� ����� � �������� �� ����� ���������� ��� �� ��� ���������
��� ��� ���� �� ������ � �� ����� ���������
� ���������� � �������
������������ ������������������� ����
������������������
��������� ������!
� ������
�
��� �������� �������� � ��� �
C : yx3 − y − 5x2 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
���������� � �������� �� �������� ���� �� �� ������� ��
� ����"��# $�%�� ��$�%&'� !
�
������
����� �� ����� �� ��� �������� �� �� ���� x � y� ��������������
� ��������� �� �����������
� ������[x = 0]
� ��������� �� �����������
� ������[y = 0]
������
� ���� ����� � ��� ���� ������� ������� �� ������� y � ��� ��� � ��� �� � �����
������������ �� � ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�
� �������� ������
� ������[y = 5x2
x3−1]
������ ��� � ���� �������� �� ���� � � ������ x� �� ������� ��� ���
������ ��������� �� � ������ y �� ������� � ���� �� �� ������ ��� �� ����
� �� ������� ���� �� �� ����� ���� ������� � ��� �� ��� �� ���� � ��
������ � � ������ ��� ������� ��!�
������
��� � �� ���� ��� �� ����� ��� �� �� ���� � � � ����
� ������� ���������
� ������x3 y − y + 5 x2 = 0
�
� ���������� �� ��
� ������x3 y + y + 5 x2 = 0
� ���������� �� ��������
� ������x3 y + y − 5 x2 = 0
������
� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������
� ������ ���������������
� ������(x3 − 1
)y − 5 x2 = 0
� ���������������� ������ �!!� ����������
� ����"�x3 − 1 = 0
� ����#��$� �%&��&�%�� �� ��
� ����#�[x = 1]
������
����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������
� ����'� ������������ ��
� ����'�x3 y − y − 5 x2 = 0
� ����(����������� ��� �� �!!� ��� ��� ��
� ������y = 0
��
� ���������� ����������� �����
� �����[y = 0]
������
������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����
� �������������������������� �����
� �����mx4 + b x3 − 5 x2 −mx− b = 0
� ����!�"�����#�������$
%�&���&�'�%(�))�������"���(�))�������"�*��'�
� �����[m = 0, b = 0]
� ����+����������%�&���&�'�% ��'��
� ���+�[[b = 0,m = 0]]
� ����,� ��(-���������� ���%�'���������� ���������
� ���,�[y = 0]
������
������� �� ������ �� ������ ���
� ����.���� ��%*!�*��*�/���/��,/!��'$
��� � -�������� ���
� ���0�
⎡⎢⎣x −4 −2 −1
212
74 3
y [−1613 ] [−20
9 ] [−109 ] [−10
7 ] [980279 ] [4526 ]
⎤⎥⎦
��
������
���������� � ���� �� � ��� �� �� ����� � �������� �� ����� �� ���������� ��� �� ��� ������
���� ��� ��� ���� �� ������ � �� ����� ���������
� ���������� � �������
������������ ������������������� ����
������������������
���������������
� ������
�
��� �������� �������� � ��� �
C : x2y3 + y3 − 2x2 + 1 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
���������� � �������� �� �������� ���� �� �� ������� ��
� ������� �!"#�!$%�!$�"#�!"%�&� �
!
������
����� �� ����� �� ��� �������� �� �� ���� x � y� ��������������
� ��������� �� �����������
� ������[x = − 1√
2, x = 1√
2
]� ��������� �� �����������
� ������[y = −1]
������
� ���� ����� � ��� ���� ������� ������� �� ������� y � ��� ��� � ��� �� � ����� ������������
�� � ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�
� �������� ������
� ������
[y =
(√3 i−1) (2x2−1)
13
2 (x2+1)13
, y = −(√3 i+1) (2x2−1)
13
2 (x2+1)13
,
y =(2x2−1)
13
(x2+1)13
]
������
����������� �� ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y� ���� ��� � ����� ������ ����
�� ���� ��� ����� ��� � ����� ������ � ���� � ����� � ��� �� � ����� ������
� �������� ������
� ������[x = −
√− y3
y3−2 − 1y3−2 , x =
√− y3
y3−2 − 1y3−2
]� �������� �������������
��
� ������[x = −
√−y3+1
y3−2 , x =√−y3+1
y3−2]
� ��������� ��� ��������������������������
� ������[[y ≥ −1, y < 1.259921]]
������
����� �� �������� �� ������� ��� �� ���� � � �������
� ����������� ������
� ������x2 y3 + y3 + 2 x2 − 1 = 0
� ����!����� "��"��
� ����!�x2 y3 + y3 − 2 x2 + 1 = 0
� ����������� #"��" ����$��
� ������x2 y3 + y3 + 2 x2 − 1 = 0
������
� ����������� �� �������� �� ���������� �� �� ������� ������ ���
� �������"%�&��'������ ���
� ������(x2 + 1
)y3 − 2 x2 + 1 = 0
� ������(��&)�%�*��"%� ��+ ,��--��"%� � (����
� ������x2 + 1 = 0
��
� ���������� �������� �����
� ������[ ]
������
������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����
� ������������ ������
� ������y3 + x2(y3 − 2
)+ 1 = 0
� ��������������������� �� ����������
� ������y3 − 2 = 0
� ����!����"��� �������� �����
� ����!�[y = 2
1
3
]
������
����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��
� ����#������� ������$%&�'(�����
� ����#�m3 x5 + 3 bm2 x4 +(m3 + 3 b2m
)x3+
+(3 bm2 + b3 − 2
)x2 + 3 b2mx+ b3 + 1 = 0
� ���!)����������������
*+��+,-�*�� ������������ ��������.��-�
� ���!��[m3 = 0, 3 bm2 = 0
]� ���!,����������*+��+,-�*(�%-��
� ���!,�[ ]
��
� ���������� ��� �� �� �����������������������
� ������[ ]
������
������� �� ����� � ��� ����
� �������� ��!��!"�!�#"��#"�$#����%
�� � &�'��� ��
� ����(�
⎡⎢⎣x −4 −2 −1
212 2 4
y [3113
1713
] [713
513
] [−213
513
] [−213
513
] [713
513
] [3113
1713
]
⎤⎥⎦
������
�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����
������ ��� ��� ���� ������� ����
� ����)� & * &���� ���+�'�� ��+ � ����& �� �����&�*�+ ���
���� ��� ����+ �����!�#�,& �"��-����#�,& �"��-��
�-�!�������!(�(���!"�"�%
� � ��)�
�
�
��� �������� �������� � ��� �
C : xy2 + x− y2 + 2 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ��������� ���� ����� �
������
����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� ���������������������������
� ������[x = −2]
� ���������������������������
� ������[y = −√2, y =
√2]
������
������������ � ���������� � ����� ������� �� � ������� x�
� �������������������� ���
� ������[y = −
√−x+2
x−1 , y =√−x+2
x−1]
� �����������!�� !�"�#������$����%����
��
� ������[[x ≥ −2, x < 1]]
������
�� ���� ���� � ��� ����� �������� ������� �� ������� x �� ��� ��� � ��� �� � ������� ������������
�� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y�
� ���������� ����
� ������[x = y2−2
y2+1
]
������
��� � �� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� � � � �����
� ��������� �������
� ������x y2 − y2 + x+ 2 = 0
� ���������� �������
� ������x y2 + y2 + x− 2 = 0
� ���������� ��������������
� ������x y2 + y2 + x− 2 = 0
������
� ������������ �� ���� ����� �� ���������� �� �� ��������� �� �������
� ������������������� ����
��
� ������(x− 1) y2 + x+ 2 = 0
� ������� �������������� �����������������
� ������x− 1 = 0
� ���������������� ��������� �����
� ������[x = 1]
������
������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����
� ���������� �� �!���"����
� ������x(y2 + 1
)− y2 + 2 = 0
� �������� �������������� �����������������
� ������y2 + 1 = 0
� ����#�����$�!����� ��������� �����
� ����#�[ ]
������
����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��
� ����%����� �� �!������"��&'(�)*�����
� ����%�m2 x3 +(2 bm−m2
)x2 +
(−2 bm+ b2 + 1)x− b2 + 2 = 0
� ����+��� ��������������
,�-���-�. ,��������������������������������/��.�
� ������[m2 = 0, 2 bm−m2 = 0
]
��
� ��������� �� ��� ��� �����������
� �����[ ]
� ��������������������������� ����� !"���������
� �����[ ]
������
������� �� ����� � ��� ����
� ����#���$���%&'��%�'���'��(
���$��)��� �$������*���$����
� �����
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x y
−32 [− 1√
5, 1√
5]
−12 [−1, 1]
12 [−√5,
√5]
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
������
�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����
������ ��� ��� ���� ������� ����
� ������$��+��� �����)�*��
���)$$���� �$��� �����+)$� ����������
�����)$����%��������%���$�����������$�������
!�%&�����%,�,�(
�
� ������
�
��� �������� �������� � ��� �
C : x2y2 − 4xy + x2 + y2 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ���������� ������ ���� ���� �
������
����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� �������������������� ������
� ������[x = 0]
��
� ��������� �� �����������
� ������[y = 0]
������
���������� �� ������� �� �� ���� ������� �� �� � ������ � x�
� �������� �������������
� ������[y = −x
√3−x2−2xx2+1 , y = x
√3−x2+2xx2+1
]� �������� ������������ �!����
� ������[[x ≥ −√3, x ≤ √3]]
������
���� ����� �� ������� �� �� ���� ������� �� �� � ������ � y�
� ����"��� �������������
� ����"�
[x = −y
√3−y2−2 yy2+1 , x =
y√
3−y2+2 y
y2+1
]
� ����#��� ������������ �!����
� ����#�[[y ≥ −√3, y ≤ √3]]
��
������
����� �� �������� �� ������� ��� �� ���� � � �������
� ���������� ����
� ������x2 y2 + y2 + 4 x y + x2 = 0
� ���������� ����
� ������x2 y2 + y2 + 4 x y + x2 = 0
� ����������� ���� �����
� ������x2 y2 + y2 − 4 x y + x2 = 0
������
� ����������� �� �������� �� ���������� �� �� ������� ������ ���
� �����������������������
� ������(x2 + 1
)y2 − 4 x y + x2 = 0
� ������������������������ ��!!�������������
� ����"�x2 + 1 = 0
� ����#���$� �%�&���&�%��� �����
� ����#�[ ]
��
������
������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����
� ���������� ���������
� ������x2(y2 + 1
)+ y2 − 4 x y = 0
� �������������������� ���������������
� ������y2 + 1 = 0
� ���������������� �� ��!�� �����
� ������[ ]
������
����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��
� ���"#����� �����!����$%&�'(�����
� ���"#�m2 x4 + 2 bmx3 +(m2 − 4m+ b2 + 1
)x2+
+(2 bm− 4 b) x+ b2 = 0� ���")���������������
*�+)��+�,�*����������������������������-)�,�
� ���"��[m2 = 0, 2 bm = 0
]� ���""� ���� ��!��*�+)��+�,�*(�%,��
� ���""�[ ]
� ���".��(���/� �%����%( ��*�,��!��$%&�'(����� ����
� ���".�[ ]
��
������
������� �� ����� � ��� ����
� ���������� �������������������
�����������������
� ������
⎡⎢⎣x −3
2 −12
12
32
y [−332+1213 , 3
32−1213 ] [−
√11+45 ,
√11−45 ] [−
√11−45 ,
√11+45 ] [−3
32−1213 , 3
32+1213 ]
⎤⎥⎦
������
�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����
������ ��� ��� ���� ������� ����
� ������������������� ����
�� ���!��������"����� �������������
����� �� #�#����
$������%�������
� �����
�
�
���� �������� �������� � ��� �
C : y3 − 8 + x3 = 0
������� ������
�������� � ������� � ����� �� � ��������
������
������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��
� ����������� ����� �
������
����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������
� ���������������������������
� ������[x = 2]
� ���������������������������
� ������[y = 2]
������
�� ��� ���� � ������ � �������� ����� �� ������� y �� ������� � �� �� � ����� � ������������
���� ���������� � ����� ������� �� � ������� x�
� ������������������� ���
� ������
[y =
(√3 i−1) (8−x3)
13
2 , y = −(√3 i+1) (8−x3)
13
2 , y =(8− x3
) 1
3
]
��
������
���� ������ ��� � �� ������� ������ �� ������� �� ������� x�
� ����������� �� �������
� ������
[x =
(√3 i−1) (8−y3)
13
2 , x = −(√3 i+1) (8−y3)
13
2 , x =(8− y3
) 1
3
]
������
���� �� ������ � ��� �������� � ��� ���� � �� ���� �
� ���������� ������
� ������y3 − x3 + 8 = 0
� ��������� ������
� ������y3 − x3 − 8 = 0
� ���������� ����� �������
� ������y3 + x3 + 8 = 0
������
� � �� ���� �� ������ � ��� ����� �� �� ��� ��� ����� ���������
� ��������������� ���� ���
� ������y3 + x3 − 8 = 0
� ����!�"���#���$����� ��% ���������� � "����
� ����&�1 = 0
��
� ���������� �������� �����
� ������[ ]
������
������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����
� ������������ ������
� ������y3 + x3 − 8 = 0
� �������������������� ��!!����������
� ������1 = 0
� ����"����#��� �������� �����
� ����"�[ ]
������
����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��
� ������������ ������$%&�'(�����
� ������(m3 + 1
)x3 + 3 bm2 x2 + 3 b2mx+ b3 − 8 = 0
� ��������������������
)*��*�+�)��!!������������!!��������,��+�
� ����-�[m3 + 1 = 0, 3 bm2 = 0
]� ����.����������)*��*�+�)(�%+��
� ����.�[[b = 0,m = −1]]
��
� ���������� ��� �� �� �����������������������
� ������[y = −x]
������
������� �� ����� � ��� ����
� �������� ��!"�!��#$���$��"�%
�� & '������ � &�(��� ���
� ���)*�
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x y
−4 [2 91
3 ]
−2 [24
3 ]
32 [37
13
2 ]
52 [−61
13
2 ]
4 [−2 7 1
3 ]
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
������
�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����
������ ��� ��� ���� ������� ����
� ���)+� & , &���� ���'�(��
��' � ����& �� �����&�,�' ������� ���
����' �������*���*������
��!������!����%
��
� ������
�
��
��������
���������� � ������ ��� �������
��� ����� ��� ���
�� �� ����� ��� ��� � ��� ������� �� ��� ��� ��� ���� ��� �� ����� ��
�� ��� ��� �������� �� �� ������� �� �������� � ��� ���� ��� � ����� ���
������ �� ������� �� �������� �� ���� �� ����� ��� ���� � ��� � ��� ��
�� ������� ����� � � ����� ��� ��� � �� �� � �� ��� � � ����� �� ��
��������
������������ �� ��� ������ �� �� ����� ��� �� ���� ���� ����� �� ����
���� �� �� �� ������ ���� �� � ��������� � �� �� ��� ������ �� �� �����
��� ����� �� � ������� �� � ���� ���� ���� ��������� �� ���� �� �� � ���
������ ��� �� ������� ���� ���� ���� ��� ���� �� ���� �� �� �� ��� ���������
��� �� ���� ���� ��� ��� ������ ��� �� � ��� �� ������!� �� ������ ��� ��
���� � �� � �� ���� ���
��� �������� ����������
��� ���������� "����� �� ���� �� ��� ��� ������ �� �� ��� ����� �� �� ����
���� �� �� � ����� �� � ��� ����� ����� F1(−c; 0) ! F2(c; 0) �� �� ���� ���
���������� �� � a2� #��� ��� ������ �� �� ����� �� ����� ���� � ������
$�� %�&'�
�������� (�� M(x0, y0) � ���� ��) ���� � �� ��� ����� ��� ���� � ���� ������
��������
√(x0 + c)2 + y20
√(x0 − c)2 + y20 = a2
��
���� ���
√[(x0 + c)2 + y20] [(x0 − c)2 + y20] = a2√
c4 − 2c2x20 + x40 + 2c2y20 + 2x20y20 + y40 = a2√
c4 − 2c2(x20 − y20) + (x20 + y20)2 = a2
(x20 + y20)2 − 2c2(x20 − y20) = a4 − c4
���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������
(x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = a4 − c4 � �����
�� ����� �� ����� � ������� ���� � � ��� ������� � a c� !� ����� ��� �"� ��
�� �������� �#������� #����� ��� ��$��
�
��� ���������� %����� �� �������� �� ���� ��������� � ��� ������ &�� �� ��� ��'
�� � ��� ��������� � �� ������ � �� F1(−a; 0) F2(a; 0) �� ��� ����� � ����'
����� ���� � a2� (��� ���� ��������� � ������ �� ����� ��������� � ���� ����
��� ����� �%����� ������� �� �������� � �� ���������� ����������� ������
����� ���� ��� ���� �� ���� ���������� �� ����� � ���������
� ������� !�� M(x0, y0) �� ����� ���������� &�� �����#��� ��� ��� ������� � ��
��������
��
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
���
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
���
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
���
���� ��� ������� � (x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = a4 − c4� ��� �� ��� a > c ��� a = c � ��� a < c�
���� ���
��
���� ��� ���� ���
√(x0 + a)2 + y20
√(x0 − a)2 + y20 = a2√
[(x0 + a)2 + y20] [(x0 − a)2 + y20] = a2√a4 − 2a2x20 + x40 + 2a2y20 + 2x20y
20 + y40 = a2√
a4 − 2a2(x20 − y20) + (x20 + y20)2 = a2
(x20 + y20)2 = 2a2(x20 − y20)
���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������
(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) � �����
���� ����� ���� ���� ���� ��������� ���� �� ���� ���������� �� ����� � �������
������� �� ����������� c = a �� �� �������� ����� �� ������� � ������ � �� �� �����
!�� �� �� �������� ������
�
��� ���������� "����� �� �������� �� ���� ��������� � ��� ����� � ��� ������#
�������� ��$� �� �� � �� ����� � ���� ��� �� � ��� ������ !�� ����������� �� ��
%���� ���� ��� � ���%����� � �� %��� ��������� ���� � S �&� ��'��
�������� ���� (�������� �� �������� �� ��������% �� �%&�� ��� ������ ��)������� ����
������� ���������� �������������� ������� �� �������� ���� � �&� ��*��
+�� M(x0, y0) �� ����� ���������� !�� �����(��� ��� ��� ������� � �� ��������
� �� &��� ��* �� �����
��
AM = BM cscα �
MD = MC secα �
���� ���
AM = x0
√x20 + y20y0
�
MD = y0
√x20 + y20x0
�
���� �� �������� �� � �����
1
2AD ·OM = S
� ������1
2(AM +MD) ·OM = S �
��� �� ����������� AM � MD �� ��� ��� ������� ����� �������� �� ����� �
1
2
(x0
√x20 + y20y0
+ y0
√x20 + y20x0
)√x20 + y20 = S �
� ������ � ��������
(x20 + y20)2 = 2Sx0y0 �
���������� ���� �������� �� ������� �� �������� �� ���� ����� ���
(x2 + y2)2 = 2Sxy �
�� � ���� � ���� ���� ����� ��� �� ���� � �� �� ��� � �!�
�
��� ���������� "� � �� ���� x = 2r � ��� �� ���#� ����� � ��� r $�� ����
�� �� � ���� � ��� ����� O � �� �������� � �� ����� ��� �� ����� O �� ��
� ���� �� ��� $�� �� �� � �� �� ���#� ����� �� �� �� ����� B � � �� ���� ��
�� �� ����� C� �� �� �� �� � ��� �� ������� OM = BC %���� �&'� �� �� � ��
���� (� )� �� ������� �� ������� OM � �� ����� M ��� ��� ��� �� (� �����
�������� *���� �� �������� � �� �������
��
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
���� ���
���� ��� ���� ���
��
�������� ���� ��������� �� ����� � �������� � ����� � ���� ��������� ����
������� ������ � ���� ������� � ��� �� �� ����� ������ ����� �����
�� M(x0, y0) � �� � ��������� !�� ������� �� � ���� � ����" � � ��
�� �� ����� ��� � ��� �
CH = OH tanα "
BC = CH senα �
# �� �� � � ��� �� �� ���� ��� ����� ��� MNO
BC = OHsen2 α
cosα=
2ry20
x0√x20 + y20
.
$%��" �� � ����� ��� ������� � ������� � �� ������� � �������&�
OM = BC√x20 + y20 =
2ry20
x0√x20 + y20
(2r − x0)y20 = x30
�� ���� ��" �� ������� �" � ���� � �� ������� ��� ����� ��������
(2r − x)y2 = x3 �
�
��� ���������� � �� �� ����� x = a �a > 0� � � � ����� ���� ��� �� ������� a !��
��� �� �� ���� �� ���� ��� O � � �� �� �� � �� ����� ����' ���� �� �� � O
� %� ������ � ��� !�� ���� � �� ����� ���� ��� � �� �� � A � � �� ����� ����
� �� �� � B� (��� � �� � A � B � %� ������ ����� �������� � � �)�
Oy � Ox" �������&��� �� ����� ��*�� $� ����� �� ���" �� �� � M �� � ��������
�� ��� �����" ������� � � �+ �� ������� ���� � ������� ,����� � ������� �
�������� - ������ �� �� � ��������� M(x0, y0) !�� ������� �� � ���� �
���� ����� ��./�� 0 � ��
AB = MB secα = NH secα
��
���� ��� ���� ����
�� �������� �� ���� �� � ������ ������� BHO�
AB = (a− x0)
√a2 + y20a
� �����
�� � ������ �� �������� �� �������� ��� ���� �� ������ � ��� ��� �� ��
������ �� ��������� �� ������ � �� ��� ������ � �� ��� �������� � ��
� ��� ���� �� �� ���� �� ���
OB · AB = BH2 �
� ��� ������ �� ����� ��� ���������� ��������� �� ����� �� ��
(√a2 + y20
)((a− x0)
√a2 + y20a
)= y20 .
!� �� ������"����
x0(a2 + y20) = a3 �
��
���� ���� ���� ����
���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������
x(a2 + y2) = a3
�
��� ���������� ��� � �� ����� A(−a; 0) �� �� � a > 0 �� �� ����� � ��� �����
AB ���� ����� �� �� ���� � ����� �� �� �� ����� B �� ��� ����� � ���� ��������
BM � BN � ���� ������ b �b = �������� �� ���� �� ����� ��� ������ M � N
�������� ��� ����� ����� � ��������� ����� �� ���������
������� !���� ������ �� ����� ���������� M(x0, y0) "�� �����#��� ��� ��� �������
� �� ���� ���$� � �� ����� ��#�������� N �
�� ����� � �� �%&�� ���� ���$�
AP = a+ x0 ,
��� �� ����
AM =√(x0 + a)2 + y20 .
��
������
AB = a secα
�� ��� ������� �� ���� �� �������� ��� ������ MPA �� ������
AB = a
√(a+ x0)2 + y20
a+ x0.
������� ��� ������� ����� ����� �� ������� � ��� � ������� � ���� ���
AB ± b = AM
��� !�
AB − AM = ∓b
� ���"��� � ������
(AB − AM)2 = b2 .
���� �#�� ���� �� ��� � ������� ������ �"� �� �� ����
(a
√(a+ x0)2 + y20
a+ x0−
√(a+ x0)2 + y20
)2
= b2
�� $�� ������� �� ��������� ��� �
x20y20 + (x0 + a)2(x20 − b2) = 0 .
������� �� �������%���� �� �� ���� � �����&� ��� ���� ����� ����
x2y2 + (x+ a)2(x2 − b2) = 0 .
' ����� �� � �������� ������� �� ��� "����� �� a � b� (� �� �� ��� �)��� ��
�� ����� ��#���� �� ������ ������ ������
�
��� ���������� *���� �� ��� � A(−a; 0)� �� ����� a > 0� �� �%�� �� ���
AB ����� ���+�� �� �� ���� ���� ���� ��� ��� � B� �� � �%�� ���� ������ ��
BM � BN � ������ OB� �� ���� � ��� � ��� ��� �� M � N ��������� �� ���"�
���� ����������� ,��� �� �����&��
��
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
y
x
���
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
y
x
���
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
y
x
���
���� ���� ������� � x2y2+(x+ a)2(x2− b2) = 0� ��� �� ��� a > b� ��� a = b � ��� a < b�
���
���� ���� ���� ����
�������� ����������� � ��� � ���� ����� M(x0, y0) ��� �� ������ �� �����������
����� ����� ����� � � ��� � ���������� N �
�� ������� � ������ ����� ������
AP = a+ x0 ,
��� � ���
AM =√(x0 + a)2 + y20 .
����
AB = a secα
BM = OB = a tanα
�� �!���� ������� �� ���� � � ������� ��� ����� MPA �� �����
AB = a
√(a+ x0)2 + y20
a+ x0.
BM = ay0
a+ x0
���
�������� � � ����� ����� ����� � ������ �� � �� ������� �����
AM ± BM = AM
��� ���
AB − AM = ∓BM
� � ��� �� ��� ��
(AB − AM)2 = BM 2 .
!"� �� #������ ��� ������������ ����� �� � �����
(a
√(a+ x0)2 + y20
a+ x0−
√(a+ x0)2 + y20
)2
=
(a
y0a+ x0
)2
�� $� ����� ��������� ��� �
x20((x0 + a)2 + y20
)= a2y20
��������� �� ���%���� � ����� �� �����&� � ���� ����� ���
x2((x+ a)2 + y2
)= a2y2 .
�
��� ���������� ' � ��� �� ���# ���� ���� � 2a �a > 0� $� ���� �� �
� ��� ��� ���� O � � ������ �� ( Oy� )� � ����� O � "� � �%��
��� ��� $� �� �� � �� �� ���# ���� �� � � ����� B ����� ���*�+ � �� ����
� ����� ���� � ����� B� � "�� � �%�� ���� �������� ������ � BM � BN
������� �������� b� !� �� � �� ���� ��� ������ M � N �� ��� ��� �� ��
������ ������� �� ������ ,���� �� �����&��
����� �� -���� ��� � ����� � ��� � �� M(x0, y0) $� �����#�� ��� ���������
��� ����� ���.� � � ����� # ����� N �
) ��� � �� � ���� ����� ���.��
OB = 2a cosα
���
���� ���� ���� ����
� �������� �� ���� �� ��� ���� ���� ���� MPO ���������
OB = 2ax0√
x20 + y20.
������� ��� �� ���� ����� ����� �� ������� ������ � �������� ��������
OB ± b = OM
� � ��
OB −OM = ∓b
� ��� ��� � �����
(OB −OM)2 = b2 .
!"��� �#������ �� ����������� �������� � �� �������
(2a
x0√x20 + y20
−√x20 + y20
)2
= b2
�� $� ������ �� ��������� ��� �
(x20 + y20 − 2ax0)2 = b2(x20 + y20) .
���
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
y
x
���
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
yx
���
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
y
x
���
���� ���� ������� � (x2 + y2 − 2ax)2 = b2(x2 + y2)� ��� �� ��� a > b� ��� a = b � ���a < b�
���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������
(x2 + y2 − 2ax)2 = b2(x2 + y2) .
�� ����� �� ������� � ������ ���� � � ��� ������� � a � b� �� ����� ��� ��� ��
�� �������� ��������� ������ ���� !�"#$�
�
��� ���������� %� ������� � ������ 2a �� ����� � ������ &�� ��� �'������
����� ����� �� �� � �� ������ �� ��� ���� � ���� ��� ��� (����� �� �������� � ��
����������� � �� ���� M � �� ������ ������ ���� � �� ����� � ���� ��� �� ��
������� ��� !�")$� *� ����� M ������� ��� ����� ����� � ���� �� ����� �����
�� ������ +���� ������ �� ����� ���������� M(x0, y0) &�� ��������� ��� ��� �������
� �� ��� !�,-$� *�������
CM = OM tanα ,
MB = OM cotα .
. ������ � �� ������ �� �������� ��������� OHM
CM =√
x20 + y20y0x0
,
MB =√x20 + y20
x0y0
.
���
���� ���� ���� ���
�� ������� � ������ � � ��� ��� �� ������ ��� ���� � � �� ���� �� ���� ��
���
CM +MB = 2a .
� ������� �� ��� ��� �� ������� ���� ����� ���� �� ������√x20 + y20
y0x0
+√x20 + y20
x0y0
= 2a .
����� ������� ��
(x20 + y20)3 = 4a2x20y
20 .
�������� ���������� �� ������ � � � �� ��� ���� �������� �
(x2 + y2)3 = 4a2x2y2 .
�
���� ��������� ! ������� �� ������� a �� ����� �� ��� ��� ��� �"������
���� ������� ���� �� ������ � ��� �#�� �� ������� $��� % &'( )�� ��� �"���*
��� ��� ������� �� � ����� �� �� ������ ��� �#�� �������� ��� ��
������ �� � �� ���� P +��� � � � �� �� � ��,� ���� �� � ��� M �� �
������� ��� �#� ��� ���� P � ������� ��� ��,� ���� �� ��� ��������
���� �� -���������� �� ���� �������� M(x0, y0) ��� ����� � �� ��� ����
��� $��� % &&( ��� ��
���
���� ���� ���� ����
PQ = ST = x0 tanα ,
MQ = NR = y0 cotα .
�� �� ������� �������� PMR � ����� �� ������ ��������
PQ ·QR = MQ2 .
��������� �� �������� �� ������� � �������� �� ����� ��
QR = MN = y0 ,
��������
x0 tanα · y0 = y20 cot2 α ,
� ������
tan3 α =y0x0
;
� �������
tanα =y1/30
x1/30
. �����
��� ���� ������ ��� ������� �������� SOR ��������
senα =SO
a=
PR
a=
PQ+QR
a
���
�� ������
senα =x0
y1/30
x1/30
+ y0
a=
y1/30 (x
2/30 + y
2/30 )
a. ���
� ������ ��� �� �� �������� � �� ������� ������� ���
senα =y1/30√
x2/30 + y
2/30
���
���� ����� ������� � � � ���� �������
y1/30 (x
2/30 + y
2/30 )
a=
y1/30√
x2/30 + y
2/30
�� ��� ��� �������� �
x2/30 + y
2/30 = a2/3 .
����������� �������� ����� �� ������� �� �������� ��� ����� ����!�����
x2/3 + y2/3 = a2/3 .
�
���� ��������� �� �� ��� ������"������� �� ��#����� a �a > 0� ��� ���� ��� ��
������ �� ����������� O � �� �������� �� �$� Oy %���� �� ����� O �� &� ��� ���
�� ���� ��� ����� � �� ������"������� ���� �� �� ����� B� ����� �� ���� �� &� ��$���
��� ������������� BC �� �$� Ox %���� �� ����� C �� &� ��$��� ��� �������������
CM �� ���� OB %������ �� �������� �� �� ����������� ��� ����� M
�������� '����������� �� ����� ���������� M(x0, y0) ��� �����"��� ��� �����������
����� ���� (� )�������
OC = OM secα ,
CH = a−OC ,
BC = OC tanα .
���
���� ����
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4
y
x
���� ����
�� �� ������� �������� OBH � �����
OC · CH = BC2 .
� � ��� ���������� �� �������� �� ������� ��������
OC · (a−OC) = OC2 tan2 α,
� ������
a = sec3 α OM ;
�� �� ������ �� ������� �������� ONM �� ��
(x20 + y20)2 = ax30 .
����������� ������������� � ������� �� ������� ��� ��� ���������
(x2 + y2)2 = ax3 . ����
�
���� ���������� !� ������ ���������� � ���� �� ������ �� �"�����
� ��� ����� ���� �� ������ �� �� �#� �� ���������� � $�� �� �"����� ���
������ � %�� ������� ����� �������� � �� �#� ���������� %� �� ����� ������
�� �� ���� M � &����� �� ������� �� �� ���'������� �� M ����� �� ������ �
���� �� ���� �� �� ������ �� ����� � ������ ��� � a �a > 0 �
���
���� ����
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
y
x
���� ����
�������� ����������� � ��� � ���� ����� M(x0, y0) ��� �� ������ �� �����������
����� ����� ������ �� ������ �� � ������� ��� ����� AOB �� ����
tanα =y0x0
.
��� � �� ��� � �� � ������� ��� ����� OCA �� ������ ������ � ������ ��
�� ������ ���� �� ����
AC =√y20 − a2 ,
��� � ���� ��� �� �� !���� ��������
tanα =
√y20 − a2
a.
�������� �� ���� � �� !����� �� ������ ���� tanα �� ���� � �������
y0x0
=
√y20 − a2
a
� ��� ��� ����!� �1
x20+
1
y20=
1
a2.
������ �� �������"����� �� �� ���� � ������#� �� ���� ��� ����
1
x2+
1
y2=
1
a2. ���$�
�
���
���� ���� ���� ����
��� �������� �����
� ����������� � �� � ��������� �� ��������� � �� ������ ���������� �������
�� �� � �� ����� x = a �a > 0� � ��� �������������� � �� �� a/2 ��� ��� ��� ��
������ � ���� ��� � O � � �������� � �� ����� � �� � � �� ����� O � ��
����� � �� ���� ��� ����� � �� �������������� �� �� ����� A � � �� ����� � � ��
�� ����� B� �� � �� ����� A � B � ��� ����� � ����� �������� � �� ���
Oy � Ox �������!������ ��� � ������ �� C� "� �� ���� � �� ����� � ��
������� OM = BC �#��� $�%&�� �� ����� �� ���� !��'� �� ������� �� �������
OM � �� ����� M ����(� ��� ���!�� )����� �� ������� � ��� ���!��
%� �� � �� ����� x = 2a � ��� �������������� � �� �� a ��� ��� ��� �� ������ �
���� ��� � O � � �������� � �� ����� � �� � � �� ����� O � �� ����� � ��
���� ��� ����� � �� �������������� �� �� ����� A � � �� ����� � � �� �� �����
B� �� � �� ����� A � B � ��� ����� � ����� �������� � �� ��� Oy � Ox
�������!������ ��� � ������ �� C� "� �� ���� � �� ����� � �� �������
OM = AC �#��� $�%*�� �� ����� �� ���� !��'� �� ������� �� ������� OM � ��
����� M ����(� ��� ���!�� )����� �� ������� � ��� ���!��
$� �� � �� ����� x = r � ��� �������������� � �� �� r/2 ��� ��� ��� �� ������ �
���
���� ���� ���� ����
����������� O �� ������ � �� ���� ���� ����� �� ���� O �� �� ������ ��
��� ��� ���� � �� �������������� �� �� ���� B � �� ���� ���� �� �� ����
C �� �� �� �� ������� �� ������� MB = BC ����� ������ �� ����� �� ����
��!� �� ������� ��� ������� MB �� ���� M ������"� ��� ��� �� #����� ��
������$� �� ��� ��� ��
%� &� �� ��� �������������� �� ����� a ��� ���� ��� �� ������ �� ����������� O
�� ������ �� �'� Oy ����� �� ���� O �� �� ������ �� ��� ��� ���� � ��
�������������� ���� �� �� ���� B ����� B �� ���� ��� ������������� �� �'�
Oy� ��� ���� � ��� �� C� (� �� ��� �� �� ������� �� ������� OM = BC
����� ���)�� �� ����� �� ���� ��!� �� ������� ��� ������� OM �� ���� M
������"� ��� ��� �� #����� �� ������$� �� ��� ��� ��
*� &� �� ��� �������������� �� ����� a ��� ���� ��� �� ������ �� ����������� O
�� ������ �� �'� Oy ����� �� ���� O �� �� ������ �� ��� ��� ���� � ��
�������������� ���� �� �� ���� B ����� B �� ���� ��� ������������� �� �'�
Oy� ��� ���� � ��� �� C� (� �� ��� �� �� ������� �� ������� OM = OC
����� ���+�� �� ����� �� ���� ��!� �� ������� ��� ������� OM �� ���� M
������"� ��� ��� �� #����� �� ������$� �� ��� ��� ��
���
���� ���� ���� ����
�� �� �� �� ��� x = r � � � ��� ���� �� �� ����� r/2 ��� ���� ��� �� ����� ��
����� ���� O � �� � �� � � �� ��� ����� ����� �� �� � O �� �� ������ �
���� ��� ��� � �� ��� ���� �� � �� �� � B � � �� ��� ���� � �� �� �
C� � �� ���� �� �� ������ � ����� � CM = BC ����� ������ �� ����� ��
���� �� �� � M ����� � � � ��!�� "����� �� ����# �� ��� ��!��
$� �� �� �� ��� x = r � � � ��� ���� �� �� ����� r/2 ��� ���� ��� �� ����� ��
����� ���� O � �� � �� � � �� ��� ����� ����� �� �� � O �� �� ������ �
���� ��� ��� � �� ��� ���� �� � �� �� � B � � �� ��� ���� � �� �� �
C� %���� B �� �� ������ � � ��� �������� �� �&� Ox' ��� ��� � (�� � D�
� �� ���� �� �� ������ � ����� � CM = BD ����� ������ �� ����� �� ����
�� �� � M ����� � � � ��!�� "����� �� ����# �� ��� ��!��
)� �� �� � � ��� ���� �� �� ����� r ��� ���� ��� �� ����� �� ����� ���� O �
�� � �� � �� �&� Oy� ����� �� �� � O �� �� ������ � ���� ��� ��� � ��
��� ���� �� � �� �� � B� ����� B �� ���� � � ����� ������ �� �&� Oy' ���
��� � (�� � C� � �� ���� �� �� ������ � ����� � BM = BC ����� ���*��
�� ����� �� ����' !��+� �� �� ���� ��� ����� � BM � �� �� � M ����� � � �
��!�� "����� �� ����# �� ��� ��!��
,� �� �� � � ��� ���� �� �� ����� r ��� ���� ��� �� ����� �� ����� ���� O'
�� � �� � �� �&� Oy � ��� �� �&� Ox � �� �� � E� %���� �� �� � O ��
���
���� ���� ���� ����
�� ������� � ��� ��� ���� � �� �� ����� �� ���� � �� ���� B� ����� ��
���� �� �� �� ����� ��� ����� �� ���� �� �� ������� �� ������� CD//EB�
� �� ��� �� �� ��� ��� � ������� BM = CD ����� ������ �� ����� �� ����
��� � �� ������� ��� ������� BM �� ���� M ��� ��!� �� ����� "����� ��
� �� �# �� ���� �����
$%� &� �� �� �� ����� �� �� ����� r/2 ��� ���� ��� �� ����� �� ��������� O
�� ������ �� �'� Oy( ����� �� ���� O �� �� ������� � ��� ��� ���� � ��
�� ����� �� � �� ���� B( ����� B �� ����� �� �������� �� �'� Ox� ��!�� ��
��� �� �� ��� ��� �� ������� BM = OB ����� ���)�� �� ����� �� ���� ��� � ��
������� ��� ������� BM �� ���� M ��� ��!� �� ����� "����� �� � �� �#
�� ���� �����
$$� &� �� �� �� ����� �� �� ����� r ��� ���� ��� �� ����� �� ��������� O�
�� ������ �� �'� Oy ���� �� �'� Ox � D( ����� �� ���� O �� �� �������
� ��� ��� ���� � �� �� ����� �� � �� ���� B( ����� B �� ����� ��
������� ���� �� �'� Ox� ��� ���� � *��� � C� &�!�� �� ��� �� �� ��� ���
� ������� BM = BC + CD �+�� $,�� �� ����� �� ���� ��� � �� �������
��� ������� BM �� ���� M ��� ��!� �� ����� "����� �� � �� �# �� ����
�����
$,� - ������� �� ������� � �� ����� �� ����� ��� ��� �.������ ���/ ��������
���
���� ����
���� ���� ���� ����
���
���� ���� ���� ����
���� �� ������ � �� ��� �� ��� ������ ���� �� � ��� O �� ��� ����� �
�� � ����� � ��� �� �������� �� ������ ��� �� �� �� � �� ���� B� � ��
� �� �� ���� � ������ OC = CB� ���� �� ���� B � C � �� � �����
���� �� ����� � �� ��� Oy � Ox� ������������� ��� � �� �� � M �����
������ ���� �� ������! �� �� � ������ �� ��� ���� M �
"�� # ������ �� ������� a � ����� �� ��� � ��� � �$� ��� ��% ������
���� �� ������ � �� ��� �� ��� ������ ���� �� � ��� O �� ��� ����� �
�� � ����� � ��� �� �������� �� ������ ��� �� �� �� � �� ���� B� � ��
� �� �� ���� � ������ BC� ���� �� ���� B � C � �� � ����� ����
�� ����� � �� ��� Oy � Ox� ������������� ��� � �� �� �M ����������
�� �������� OC = CM ����� ���&�� ���� �� ������! �� �� � ������ �� ��� ����
M �
���
��������
������ �� ����� ������ ��� ��� ������
��� �������� �
�������� �� � ������� ��� ����� ���������� ����� ���� �� �������� � �������� �
������������� �� ������� ������ ����������� �� ��� �� �������� � �� � � !""#
� �� $��������� �� ��������� � �� ����%� � �� $��������� �� &������� '�������
�������� ���� ������� � (��� � ��� ���� ���� ��������� � %������� ������� ���
)� ������ ��� � *���������� ��� +�����, � � *���������� ����������,� �� ������
� �� ����� �� ��� ����� �� ������� ���������� -�� ��%� ��� ���.�� �������
� ��������
) �������� ����� ������� ������������ �� ����� �/� �.���0 � ���� ���
���1����� � �� � ��� ���2 �� ����� -�� �� ���% ��3��� B ������ �� ����
A� �� ���1��� A� �� ��+ �� ��������� B� 4��� �� ��+ ����� ��1���� �������
��. �� � ������ ������ �� �������� ����� &�� �� �������� � ���1��� ��������� �
��������� �� ������ ������� ����
)� ������ ����� ��������� �� ��� � �� �� �������� ����� �� ����� �1����
��������������� ��������
� �� ���� �� ��+ ����� �������� �.����� ���� ��������� �������������� ��� ��
�������� � ��������� �� ��������3��
) ���� ���.���� �� ���� ��� �� �������� ���� ���������� �� ����� ��� +����� �� �
���� -�� �� ���� � � ���� ����������� �� � �� ��������� ��� +������
������ ���� ���� �� �������� �� ������� �� ����� ����� ��� +������ 4��� ���� ��
� ������ ������ ��� ��� �����������2
��� �� �� ����� �� ��� ��� �� � �� �� ���� ����� ������ ��
��� �� �� ����� ����� ���������
���
���� ���
�� ������� ������� �� ���� ��� ���� �������� ������ ��������� �������� ��
�� ������ ��� ������ ��� ����������� ������� ���� � ������� � �� ��� �����
���� ���� �������� ��� �� �� �������
��� ������
��� �������� ������� �� �� ���� �������� �� ��� ����� ��� �� ������� �� ���
��������� � ��� ����� ����� F1(−c; 0) � F2(c; 0) �� ��� ������� �������� ����
� a2� ���� ���� ���������
�������� ��� �� �� ���� �������� ���� ��������� �� ����� ��� �����������
��� ���� � ������� �� ������� � ������ �� ��� ����� �� �������� �� ��� ��������
�� ��!
����� �� ��� �� �����
������ �����
a = 3 "���� a = 3 �� �� ���� � ����� � � ����
��������� �� �����
�
�
������ �
c = 4 "���� c = 4 �� �� ���� � ����� � � ����
��������� �� �����
�
�
������ �
���
������ �����
t = 0 ������� t = 0 �� � ����� �� ������� ����
�������� � �����
�
�
������ �
F1 = (−c, 0) ������� F�1 = (−c, 0) �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
F2 = (c, 0) ������� F�2 = (−c, 0) �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
A = (−6, 3) ������� A = (−6, 3) �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ � ����� �������
��� ���� ���� ���������� �� �����������
���� ���
���� ���
���
����� �� ���������
������ �����
������� �� ���� �� �� ���
�� �� �� ����� ����������
��� ������ t
��� ������ ����� �� ������ t� �� �� ��� � �
��������� � ���� �� ����� �� ����� ���������
�� ����� �����
��!�� �� ������ ������
������ �� �� �����"� ����
��
��� ���� �� ������ �� !���#���� ������ ���
���� ����� ��$�� ��� ���� �� ������ !�����%��
� �����%����� ������� � t� �� �� ��� �������
&���� ��� !������ ���'
0� ��� ' 12 � ����������'
0.01� �� �� �����"� �� ��
�����
������� ��� !������ ��� ��(��� ��������� ���
��!�� !������� �� ��� �������!�� ������� �� ���
����� ����� �����
������ �� ���� �� �� ����
�� �� ����� ����������
��� ����� �� ����� �
���� ���
���� ���
���
����� �� ��� �� ������
������ �����
������� ����� �� �� ��
�� ��
��� � � � ���� ����� �� �� �� �� �� �
��� ����� ����� ����� � �������� ��� ���� �
����� � � ������ � � !�� ����� ��"��
#��� � ������ A ���
����� Ai = i, i = 1, 240
$������ �� ������ 1 �� � ��� A1� % 2 ��
� ��� A2�& ��� ���������� % ���� ��� �
���� '� � ��� � (���� ��)���� �*
���� � ����� ������ ��� �� �+�& ����*
����� �������� !���� � �����& �����
� ��������� ������ �!���� ����� ����� ���
� � ��� A240 ����� ��",��
������� � ( ����� A +
(t,−A1/40) � � ��� B1
$������ = A+(t,−A1/40) � � ��� B1 �����
��""��
-������ ������ � ����*
�� � � � ���� ����������
� � ��� B1
��� ����� ��!� � ��� B1& � � ����� ��
�� �� �� �� & % ��� ��� ��!� � � ����
���������� ����� ��.��
$�������� � ����� �����
��� ���� % ������� � ��*
��� ������� �����& � �
���/� �����
��� ��!� �� ������ � ���0������ �������
���� % ������� ����� ����� ��1��
-�������� ����/� �
���� �0���� �� � ���
B1
2��� !���� ������� � � ���/� ����
��� ������� ����/� �3���� � ���� �����
��4��
������� ����� � �� � �
��� �������� � � ���*
/� �������
$������ � ( ����� (eˆ(−abs(Distancia
[B1, F51]Distancia[B1, F52] − aˆ2)))ˆ3 �
�� ������ � ������ � �� ����� �&
����� % ��� ����� ��6��
���
���� ���
���� ���
������ �����
������ �� ����� �� ����
�� �� ��� ����������
��� ���� �� ���� �
������ ��� ������ Bi
�� ��� �� ������
A + (t,−Ai/40)� ���
i = 2, 240
��������� �� ����� B1 � ����� ��� �� �� ���
��� � ����� �� �� ������ ����� ������ ��
���� �������� ��� ��� ���� ��������� ���
���� �� ���� ��� ������ ������ � ���������
����� ��� ! �� ����� ����� ������ � �� �����
B240 �"�� #�$%!�
���
���� ���
���� ���
���� ���
���� ����
���
���� ����
���� ����
����� �� ������� ��� �����
������ �����
������� �� ��������� ��
������ ��� � �� �� t
���� ����� ���� � �� �� t� � �� ���
����������� � ���� ���� ���� �� ����� ���
������ �������� ����� ������ ��� ����
� ����� � ������� �� ��� ����� �� � �����
����� � � � ��������� � � � �� ��� ��!����
�"#����� � �� ��� �������
����� �� � ���$� � %����� ��� ������� ��������� � ����� ��� &���� �����
�#�' �������� � ����� �� ���#�%� �� ����� �� $����� ������� ��� ���
������ ���������� a = 3 � c = 4 ����� ������ (� � ������� ��� �� ���� ��� ������
��������� � ��� �� ��� a �)� c� �� � �� �� ������� ��� ����� �����������
� �� ����� �� ������ � �� ����� �� �������� ����� ����� �� % ��� �� �������
���
c = 3 � ���������
�
�
������ �� ����� �� �������� � �� � �������� � ����� ����
� �� � � �� ������� ���� �������� �� � � ��������� ���������� �� �� �����
��������� a = 3 � c = 3� �� ���� ��� �� ��� �� ���������� �� ����� ��� ��� �
������
��� �������� �� �������! ������� �� �� �� � ��� 4 �"���� a ��� � ���#��
���� ����
���� ����
���� ����
�
���
��� �������� ��������� � ���� �� ����� � ��� ���� � ��� ����������
������� ��� � ���� � ��������� � ��� ���� �� �������� � � ������
�������� ��������� � �� �� ��������� ����� � S� ���������� ������
�������� ��� � �� ���� �� ����� ���� �������� �� �� �� ��� �����������
��� ��� � �� ����
��� ����� ��� ����������� ��� ����� � �� � ��!
��� �� ��� "� �� �� �� ��� � ������� ��� ���
������ A(x, 0) � B(0, y)� #�� ���� � �� �� ��
xy
2= S
$%��� &�'()� ��� �� xy = 2S� �� ���� �� ������� �� �����
A � �� ������ �� ����� B �������� � ��� ������!
��� � ��� ������ P (x, y)� �� ������� ��� �� *�������
xy = 2S� ���� ����
+� �������� � � ���,� ����� �� � ��*� �������� �� � � � � ���
�������� ��*�� �� ������ � ����� � ����-
����� �� ��� �� �����
������ �����
S = 6 .����� S = 6 � �� ���� � ����� � � ����
������ �� �����
�
�
������ �
/��� �� *������� xy =
2S
.����� x ∗ y = 2S � �� ���� � ����� � �
���� ������ �� �����
�
�
������ � 0�� �� ��!
��� ������ � ����� c � ���*� *��������
1��� � ���� O .�����O = Interseca[EjeX,EjeY ] � �� ��
��� � ����� � � ���� ������ �� �����
�
�
������ �
1��� � ����� P ��� ��
*�������
.����� P = Punto[c] � �� ���� � ����� �
� ���� ������ �� �����
�
�
������ �
���
���� ����
������ �����
������ �� ��� A �� �� ��
��� Ox
������ A = (x(P ), 0) � �� ����� �� �������
� ����� �������� �� �����
�
�
������ �
������ �� ��� B �� �� ��
��� Oy
������ B = (0, y(P )) � �� ����� �� �������
� ����� �������� �� �����
�
�
������ �
������ AB ������ ������[A,B] � �� ����� �� �����
�� � ����� �������� �� �����
�
�
������ � ��� ���
����� �� ����� �� ����� a � ����� �������
������ �� ���� ��� ����
��� O � ��� ������������
�� AB
������ ������������� [O, a] � �� ����� �� ��
����� � ����� �������� �� �����
�
�
������ � ��� ���
����� �� ����� �� ����� b � ����� �����
������ �� ��� M �� ��
�������� �� a �� b
������ M = ���������[a, b] � �� ����� �� ��
����� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
������ �� ������ OM ������ ������[O,M ] � �� ����� �� �����
�� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
�� ���� �� ������� OAB ������ �������[O,A,B] � �� ����� �� ��
����� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
���
���� ����
���� ���
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������ �� � ����� ����
� ���� b� � �� ����� c �
�� ������ a1� b1 � o
�� �� � ����� �� ���� ��� �� ��� ���� � �
��������� �� ��� ��� �� �� ������� �� ����
����� �� � ����� ��� ������ ���� ��� �� ���
����� ���������� ����� ����� ��� ��� ���
�� � ��� � !�"#$�
%����� �� �������� ��� ��������&�� ��� &�������� � � �� �������� ���� ��
� �������� �� ���� ���� �� '� ������ �� ������� � � ��� ����� ������ � �
�� ���� ������� � (����� ����� � �������� % ���������� �� �������� �� )���
��� �������� ����� ��������&���
���
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� �� ���� ������
���� �� ��� M
���� ����� �� �� ��� M � �� ����� �� ��
������ � ���� ���� �� �� ���� ������ ����
����� ������
������� �� ���� ��� � �
�����
���� ���� �� ���� ��� � � ����� � �� ���
�� ���������� ����� ����� ���� ���� �� ��
�� �� � �� �!"���� � � ���� ������
����� �� ��� �������
������ �����
#��� �� ��� M � ����$�
� �� ��$����
���� ���� �� ���M �� �� ����� ����� � ���
����� ��� �� ����� �������� �� ��$����
c�
%���$� � �&������ ��� ������� �� ��� �� �� � �� ��� '���� ����� �"�( �������)
�� �� ������ �� ��"��& �� ����� �� $���� ������ ��� �� ���� ���������
S = 6 ����� ������
���
���� ���� ���� ����
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� � ��� �����
������ �
��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ������
������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��
P �� � ����� �������� ��
������ �� �!������ �� ����� �� � ������� � ����� �� "�#�� #���� �$�% ����� &
����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��$��!� �� ����
���������� ���������' ���� � ���� ��������� S = 6 ����� ������
�
��� ������� (� �� � ����� x = 2r � � � ����� )��� ��� �� ����� r $�� ���� ��� �
����� �� ������ ���� O � �� �� �� �� � � �����* ����� � �� �� O �� #� ������� �
���� $�� ����� � � ����� )��� ��� ���� � � �� �� B � � � ����� ���� � � �� ��
C* � � �� #� ������� � ����� �� OM = BC� � ����� � ����' ���%� � � �����
�� ����� �� OM � � �� �� M ������� � � ����� ����� ������� +�������� �
���� ���������� �� � ������' ������ �� ,��,����
���
���� ����
�������� ���� �� �� ��� ���� ���� ��� ��������� �� ����� �� �����������
��� ��� � ������� �� ������ ������ �� ���� ���� �� ������� �� �� ����������
�����
����� �� ��� �� �����
������ �����
O = (0, 0) ����� O = (0, 0) �� � ���� � ����� � �
����� ������ � �����
�
�
������ �
r = 2 ����� r = 2 �� � ���� � ����� � � �����
������ � �����
�
�
������ �
�� � ��� x = 2r ����� x = 2r �� � ���� � ����� � � �����
������ � �����
�
�
������ � ���� �� !��!��
���� �� ����� a ���� ����
�� � �����"����� ��
��� r �� �� �� �� ��#
��� �� �������� � ��
������� � ���
����� �������������� [(r, 0), r] �� � ���� �
����� � � ����� ������ � �����
�
�
������ � ����
�� !��!�� ���� �� ����� c ���� �����#
"������
���
������ �����
������ �� ��� C �� �� ��
����
������ C = �����[a] � �� ����� ������
� ����� �������� �� �����
�
�
������ �
������ �� ��� C �� �� ��
����
������ C = �����[a] � �� ����� ������
� ����� �������� �� �����
�
�
������ �
������ �� ������ OC ������ � ���� [O,C] � �� ����� ������
� � ����� �������� �� �����
�
�
������ � ��� ���
����� �� ����� �� ����� b � ����� �������
�������� b �� c ������ B = �������[b, c] � �� ����� ���
���� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
����� �� ����� BC ������ BC = �����[B,C] � �� ����� ���
���� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
������ �� ������ OM =
BC
������ M = �������[O,BC] � �� �����
������ � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
����� �� �� ���� �� ��� ��
��� A
!��� �� �� �� �� ������ ����� ��� ��
� �� ��������� �� ����� ���" � �� ����� ���
������� ��� ��� �� �� �������� �� �
������ ����� �����#� ��� ���� $%��� &�'&(�
����� �� �� ���� �� ��� ��
����� BC
!��� �� �� �� �� ������ ����� ��� ��
� �� ��������� �� ����� �����" � �� ����� ���
������� ��� ��� �� �� �������� �� �
������ ����� �����#� ��� ���� $%��� &�'&(�
���
���� ����
���� ����
������ ���� � �� �� ���� � ���� ��� ���������� ��� ���������� � ���
��� ��������� ���� � ������ � ��� �� ��� �� ����� � �������� �� � ���
������ ���� � �� ����� �������� �� ����� �� � �������� � ��������� �
������ ��� ����� �� ����� �� �� �����������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� �� � ��� ������
���� �� ��� M
!��� ����� � ��� M � �� ����� �� ��
������ � ���� ���� �� � ��� ������ ����
"#��� $��%&�
������� � ��� ��� � �
�����
!��� �� � � ��� ��� � � ����� � �� ���
�� ���������� "#��� $�'&� (�� ��� � �
����� � �� �������� � ����� �����
���
����� �� ��� �� ����
������ �����
������ ��� ����� � ���
��� �� �� ����� C
�� ����� �� ����� C �� �� ����� ���� �
�� ������ ����� �� ����� ��� ����� � ���
��� ��
���� ���� ���� ����
������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������
��� �� ������ �� ������ � ��� ����� �������� ���������� ���� �� ����� ��������
r = 2 !�� "�#$%�
���
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� � ��� �����
������ �
��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ������
������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��
C �� � ����� �������� ��
������ �� �!������ �� ����� �� � ������� � ����� �� "�#�� #���� �$�% ����� &
����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��$��!� �� ����
���������� ���������' ���� � ���� ��������� r = 2 ����� ���(��
�
��� ������� )� �� � ����� x = a �a > 0� � � � ����� *��� ��� �� ��+����� a $��
���� ��� � ����� �� ������ ���� O � �� �� �� �� � � ����� ����, ����� � �� ��
O �� #� ������� � ���� $�� ����� � � ����� *��� ��� � � �� �� A � � � �����
���� � � �� �� B� ���� �� �� ��� A � B �� #� ������� ������ ������� � ��
�!�� Oy � Ox' ������������ ��� � ����� � ����' � �� ��M �� � ��������� �� �����
������' ������� � � % �� ����� ���� �� ������� -�������� � ���� ����������
�� � ���� �� ������' ������ �� .��.����
���� ���� /��� �� � ���� ���������� ���� ��" ���� �% ������ � � �� ��������
�� ���� � ����+�� / ������� � ������' � ���� ����' �� ������� � �� ������ ���
"�#��0
���
����� �� ��� �� �����
������ �����
O = (0, 0) ������� O = (0, 0) �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
a = 4 ������� a = 4 �� � ����� �� ������� ����
�������� � �����
�
�
������ �
������ � ����� x = a ������� x = a �� � ����� �� ������� ����
�������� � �����
�
�
������ � ���� ��� ��������
������ � ����� b � ����� ������
������ � �������������� ��
�������� a ��� ��� �� �
������ �� ����������� O
�� �������� � � �����
������� ���� ������[(a/2, 0), a/2] �� � ���
��� �� ������� ���� �������� � �����
�
�
������ �
���� ��� �������� ������ � ����� c � �����
���������������
������ � ���� B ����� �
�����
������� B = �����[b] �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
������ � �������� OB ���
��� � �����
������� ��������[O,B] �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
������� ��� c ��� d ������� A = ���������[c, d] �� � ����� �� ���
����� ���� �������� � �����
�
�
������ � ���� ���
�������� ������ �� ������ A1 A2 � �� ���
����� �� ������������ �����������
����� �� �� �� ������
������ �����
�������� ����������� �
���� A2
!�� ������� ����� � ���� A2 " ��� ����� �
�����" ��� ���� ����� �� y ����� �� � ������
# �� �$�� �" ����� ��� yB= 3%�
���
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������ �� � ���� �� ��� �
����� A1
��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �
� ��������� �� ����� ������ �� � � ��� �����
�� ��� �������� ������ �� � ���� �� �!�
"�������� � ����� A2 ��#
�� ���������� A
��� ������� ����� � ����� A2� �� � � ��� ���
���� ��� ���� ���������� � ������ ��������
� ������������ ������� A �� � ����� �� �������
$ �������� ��������� � ������
�
�
�%& �
����� �� ��� �������
������ �����
'����� � ����� ����� ���
������
��� ����� � ����� ����� �������� �� � �����
�� ������ ����� ����� �� (!�
)����� ����� � ����� B
��� ������ � �*� Ox
��� ����� � ����� B $ ���� ��� ����� � �*�
Ox� �� � � ��� �������
)����� ����� � ����� B
��� ������ � �*� Ox
��� ����� � ����� B $ ���� ��� ����� � �*�
Ox� �� � � ��� ������� +��� ��� ,��,����
������ � ����� e � ����� �������
)����� ����� � ����� A
��� ������ � �*� Oy
��� ����� � ����� A $ ���� ��� ����� � �*�
Oy� �� � � ��� ������� +��� ��� ,��,����
������ � ����� f � ����� �������
����� �� ���� �� ������
������ �����
-����� � ����� M .������ M = ����������[e, f ] �� � ����� ��
������� $ ���� ��������� � �����
�
�
������ �
���
���� ����
������ ���� ��� ����� ��� � ���� � ����� ��� ���������� ���� ����������
� ����� ��������� ���� � ������ � ��� ����� � ��������� � ������
��� ����� �� ������ ����� �����������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� �� ����� ������
���� �� ���� M
���� ����� � ���� M � �� ����� �� ��
������ � ���� ���� �� ����� ������ ����
!��� "��#$�
������� � ���� ��� � �
�����
���� ���� � ���� ��� � � ����� � �� ���
�� ���������� !��� "�%$� &�� ���� � �
������ � �� �������� � ����� ������
���
����� �� ��� �� ����
������ �����
������ ��� ����� � ���
��� �� �� ����� C
�� ����� �� ����� C �� �� ����� ���� �
�� ������ ����� �� ����� ��� ����� � ���
��� ��
������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������
��� �� ������ �� ������ � ��� ����� �������� ���������� ���� �� ����� ��������
a = 4 !�� "�#$%�
������� ������ �
����� �� ��� ����������
������ �����
&���� �� ����� �� ��
���������
�� ����� �� ����� �� �� ��������� �� �� ���
��� �� ������������ !�� "�#'%�
(��)�� �� ����� �������� �� ����� �� ����� M � ����� ����� �� �����
B �� �� ����� �� �������
������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� �������
����� �� �������� ��� �� �� ������ ����������% �� ������ �� ������ � ��� �����
�������� ���������� ���� �� ����� �������� a = 4 !�� "�'*%�
�
��� ������� ����� �� ����� A(−a; 0)� �� ����� a > 0� �� �� ���)��� ��� ����
AB� �� �� ���� � ����� ����� ��� ����� B� �� ��� ���)��� ���� ��������� BM �
BN �� ���� ������� b b = �����%� &� ���� �� ����� ��� ������ M � N �������
��� ����� ������� ������� +����)�� �� ����� �������� �� �� ������� ���)����
,��,�����
���
���� ���� ���� ���
�������� ���� �� �� ��� ���� ���� ��� ��������� �� ����� �� �����������
��� ��� � ������� �� ������ ������ �� ���� ���� �� ������� �� �� ����������
�����
����� �� ��� �� �����
������ �����
a = 2 ����� a = 2 �� � ���� � ����� � � �����
������ � �����
�
�
������ �
b = 3 ����� b = 3 �� � ���� � ����� � � �����
������ � �����
�
�
������ �
������� �� ��� Oy ����� Y = Recta[(0,−1), (0, 1)] �� � ����
� ����� � � ����� ������ � �����
�
�
������ �
���
������ �����
A = (−a, 0) ������� A = (−a, 0) �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
������ � ���� B ����� �
��� Oy
������� B = Punto[Y ] �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
������ � ����� ��� ���
�� �� ����� A B
������� r = Recta[A,B] �� � ����� �� �����
�� ���� �������� � �����
�
�
������ �
������ �� �����M1 M2
����� � ����� r
������� ��� ���������[B, b] �� � ����� �� ��
����� ���� �������� � �����
�
�
������ ����� ���
�������� ������ � ����� c � ���� ������������
����� ������������ ������� M = ���������[c, r]
�� � ����� �� ������� � �� � �������� �
�����
�
�
������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
!����� �� � ���� ��"#�� �
�������������� c
$�� ����� � ����� � ����� ������ ��� ���" �
� ��������� �� ���%� ��������������& �� � �����
����������� �'������ ������ �� � (��� )�*)��
+�������� � ����M1 ���
�� ��� ������ M
$�� �����%� ����� � ���� M1& �� � �����
����������& ���� ���������� � � ���� �����
���& � ������������ ������� M �� � ����� ��
������� #������� �������� � ������
�
�
�,- �
+�������� � ����M2 ���
�� N
$�� �����%� ����� � ���� M2& �� � �����
����������& ���� ���������� � � ���� �����
���& � ������������ ������� N �� � ����� ��
������� #������� �������� � ������
�
�
�,- �
���
������ ���� ��� ����� ���� ��� � ���� � ����� ��� ���������� ����
���������� � ����� ��������� ���� � ������ � ��� ����� � ���������
� ������ ��� ����� �� ������ ����� �����������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� �� ����� ������
���� � ��� ����� M �
N
��� ����� � ���� M � �� ����� �� ��
������ � ���� ���� �� ����� ������ ����
�� !� ������ � ������� ���� � ���� N "#���
���$%�
����� �� ��� �������
������ �����
&���� ����� ������ � �����
��� �� � ���� B
��� ���� � ���� B �� ����� ����� �
�� ������ ���� � ���� ����� ������ � �����
��� ��
'����� � ����� ��� ������ �������� ����� ��� ����� ����� ���( ��)
������ � ���� � ����� � �� ����� ��������� ��������� ���� ��� ������
����������� a = 2 � b = 3 "#��� ���*%�
���
���� ���� ���� ����
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� � ��� �����
������ �
��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ������
������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��
B �� � ����� �������� �� ������� �� �����
���� ���� � �� �� N �
!������ �� �"������ �� ����� �� � ������� � ����� �� #�$�� $���� �%�& ����� '
����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��%��"� �� ����
���������� ���������( ���� �� ������ ����������� a = 2 � b = 3 ����� ������
�
���
��� �������� ����� �� ��� A(−a; 0)� � ���� a > 0� �� � ������ � ����
AB� � �� ����� � ����� ����� ��� ��� B� �� � ������ ��� ������� BM �
BN � ������� � OB� �� ����� �� ����� ��� ���� M � N �������� �� ������ �������
����������� ���������� �� ����� ��������� �� �� ����������� �������� ���������
���� �� ��� �� � ����� ��������� ���� ������� �� ����� �� ���������
�� ����� � ���� �� �� ������� � ������� � ��� ����� �� �������� � ��� ��������
�� ��!
����� �� ��� �� �����
������ �����
O = (0, 0) ������ O = (0, 0) � �� ����� �� ������� �
����� �������� �� �����
�
�
������ �
a = 2 ������ a = 2 � �� ����� �� ������� � �����
�������� �� �����
�
�
������ �
��"���� �� �#� Oy ������ Y = Recta[(0,−1), (0, 1)] � �� �����
�� ������� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
A = (−a, 0) ������ A = (−a, 0) � �� ����� �� ������� �
����� �������� �� �����
�
�
������ �
$����� �� ��� B ����� ��
�#� Oy
������ B = Punto[Y ] � �� ����� �� �������
� ����� �������� �� �����
�
�
������ �
%����� �� ���� AB ������ r = Recta[A,B] � �� ����� �� ������
�� � ����� �������� �� �����
�
�
������ �
$����� ��� ����M1 �M2
����� �� ���� r
������ ��������������[B, b] � �� ����� �� ���
����� � ����� �������� �� �����
�
�
������ &�� "��
�������� ����� �� ����� c � ��� �����'���(
���)� *��������� ������ M = ���������[c, r]
� �� ����� �� ������� � �������� �������
�� �����
�
�
������ �
���
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������ �� � ���� �� ��� �
�������������� c
��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �
� ��������� �� ����� ��������������� �� � � ���
������ ��� �������� ������ �� � ���� �� �!�
������ �����
"�������� � #����M2 ��$
�� N
��� ������� ����� � #���� M2� �� � � ���
������ ��� ���� ���������� � �#���� ������
��� � ������������ ������� N �� � ����� ��
������� % �������� #�������� � ������
�
�
�&' �
(����� ���� �� �� �� ����� �)��#�� #������ �� #�������� ��� ���������� #���
�������� � ���� ����*����� ���� �� � ��������� �� *��� �)��#�� ( ������������
�� �������� �� ����� ��� ��������� ����� �����������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
(����� � �#���� ��� ��
������ �� �� #����� M %
N
��� ������� �� � #���� M �� � � ��� �����
�� ��� % ���� ��� �� � �#���� ��� �� ����
���� + #������ �� ������ #��� � #���� N �����
�� ,!�
���
����� �� ��� �� ����
������ �����
������ ��� ����� � ���
��� �� �� ����� B
�� ����� �� ����� B �� �� ����� ���� �
�� ������ ����� �� ����� ��� ����� � ���
��� ��
���� ���� ���� ����
������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������
��� �� ������ �� ������ � ��� ����� �������� ���������� ���� �� ����� ��������
a = 2 !�� "�##$�
���
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� � ��� �����
������ �
��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ������
������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��
B �� � ����� �������� �� ������� �� �����
���� ���� � �� �� N �
!������ �� �"������ �� ����� �� � ������� � ����� �� #�$�� $���� �%�& ����� '
����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��%��"� �� ����
���������� ���������( ���� ��� �� a = 2 ����� ������
�
��� ������� )� �� � � ����� *��� ��� �� ��+����� 2a �a > 0� %�� ���� ��� �
����� �� ������ ���� O � �� �� �� �� � �"� Oy� !���� � �� �� O �� $� �������
� � ����� %�� ����� � � ����� *��� ��� ���� � � �� �� B, � � �����( � ����
���� �� �� �� B( �� $� ������� � �� ����� ���( ������ � BM � BN �� � �����
�� ��� �� b� � ����� � �����( �� �� ��� M � N ������� � � �����( �����
��� �� �� ��� ��� -�������� � ���� ���������� �� � ��� �� �� ��� ��( ������ ��
.��.����
���� ���� /��� �� � ���� ���������� ���� ��# ���� �& ������ � � �� ��������
�� ���� � ����+�� / ������� � ������( � ���� ����( �� ������� � �� ������ ���
#�$��0
���
����� �� ��� �� �����
������ �����
O = (0, 0) ������� O = (0, 0) �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
a = 1.5 ������� a = 1.5 �� � ����� �� ������� ����
�������� � �����
�
�
������ �
b = 1.5 ������� b = 1.5 �� � ����� �� ������� ����
�������� � �����
�
�
������ �
������ � �������������� ��
�������� 2a �a > 0� ���
��� �� � ������ �� �����
������� O �� �������� �
��� Oy
������� ���� ������[(a, 0), a] �� � ����� ��
������� ���� �������� � �����
�
�
������ � ����
��� �������� ������ � ����� c � ��� � �������
���������
!����� � ���� B ����� �
��������������
������� B = �����[c] �� � ����� �� �������
���� �������� � �����
�
�
������ �
����� �� �� �� ������
������ �����
!�"�� � ���� B #���� ��� ����� � ���� B$ �� � ���� ������
$ ��� ����� � �����$ ������� � ���� B �����
� �������������� c � �� ���� �$ � � �������
(3, 0)��
���
����� �� ��� �� �����
������ �����
������ ��� ���� r �� ����
� � � � ��� � O � B
������ r = �����[O,B] �� �� ����� �� �����
� ���� ����� ��� �� �����
�
�
������ �
������ � � ��� �M1 �M2
� ��� �� ���� r
������ ���� �������[B, b] �� �� ����� �� �
����� � ���� ����� ��� �� �����
�
�
������ �� � ��
�� ����� ������ �� ���� d � ��� ������������
����� ����������� ������ M = ��������[d, r]
�� �� ����� �� ����� � � ���� � ����� ��� ��
�����
�
�
������ �
����� �� �� �� ���������
������ �����
���� �� �� ���� ��!"�� ��
�������������� d
#��� � ��� �� � �� � ����� ������ �� ��! �
�� �������� �� ���$� ��������������% �� �� �����
����������� �&� ��� ������� �� �� '��� (�)(��
*�� ����� �� ��� M1 � �
� ���������� M
#��� �����$ � ��� �� ��� M1% �� �� �����
����������% ���� ������� ��� �� ����� �����
���% � � ��������� ������ M �� �� ������� ��
������ � "������� ����� ��� �� � ���
�
�
�+, �
*�� ����� �� ��� M2 � �
� N
#��� �����$ � ��� �� ��� M2% �� �� �����
����������% ���� ������� ��� �� ����� �����
���% � � ��������� ������ N �� �� ������� ��
������ � "������� ����� ��� �� � ���
�
�
�+, �
���
������ ���� ��� ����� ����� ������ �� �� �� ���� ����� ����
��������� � ����� ��������� ���� � � ����� � �� ������ � �� �� �����
����� �� ���� �� ����� ���� ���� ������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� �� ����� ������
���� � �� �� �� M �
N
���� ����� � �� �� M � �� ����� �� ��
������ � ���� ���� �� ����� ������ ����
�� �� ����� ������ ���� � �� �� N � ���
!�"#$�
����� �� ��� �������
������ �����
%���� ����� ������ � �����
������ � �� �� B
���� ��� � �� �� B �� ����� ����� �
� ����� ���� � ���� ����� ������ � �����
������
&��� � ������ �� ����� � ������ ���� �� ���� ���� ���' ��(
���� ���� � ������ �� ����� ��������� �������� ���� �� �����
���������� a = 1.5 � b = 1.5 � ��� !�)*$�
���
���� ���� ���� ����
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������� � ��� �����
������ �
��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ������
������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��
B �� � ����� �������� �� ������� �� �����
���� ���� � �� �� N �
!������ �� �"������ �� ����� �� � ������� � ����� �� #�$�� $���� �%�& ����� '
����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��%��"� �� ����
���������� ���������( ���� ��� �� a = 1.5 � b = 1.5 ����� ���)��
�
��� ������� * ����� �� �� � ����� 2a �� ����� �� �� ��� %�� ��� �+������
���, �������� ���� � ������ � �� �"�� �� ������ ����� -��������( �� .��.���(
� ����������� �� � ��� M �� � ����� ������ �"��� �� ����� �� ������ ���� �
���
��������� ����� M ������� ��� ����� ��� � ���� �� ����� �����
�� ������ ��� �� �� ���� ���������� ���� �������� �� � ���� ��� ������������
��� ���� � �������
���� ���� �� �� ������������ ��� �������� ����� �
������� ��� �� �������� � �������� �� �������� ���
�� ������ A(x, 0) � B(0, y)� ��� ����� �� ����� ���
√x2 + y2 = 2a
!��� "�#$%� ���� ��� x2 + y2 = 4a2� � ����� � �������
� ����� A � � �� ��� � � ����� B ��������� �� �
�� ���� ��� �� � ���� ������ P (x, y)� ��� �������
����� � ������&������� x2 + y2 = 4a2� ���� ����
'� ������ � �� � �����&� �������� ���� � ���(� ���� � ���� �� ���� �� ��
���������� ��(�� ��� �������� � ������� � ������)
����� �� ��� �� �����
������ �����
a = 2 *������ a = 2 �� � ����� �� ������ � ����
��������� � �����
�
�
������ �
+����� � ������ O *������ O = ��������[EjeX,EjeY ] �� � ���
��� �� ������ � ���� ��������� � �����
�
�
������ �
,��-�� � ������&�������
x2 + y2 = 4a2*������ ��������������[O, 2a] �� � ����� ��
������ � ���� ��������� � �����
�
�
������ � .���
��� �������� ������ � ����� c � ��(� ������/
&��������
+����� � ����� P ����� �
������&�������
*������ P = ����[c] �� � ����� �� ������
� ���� ��������� � �����
�
�
������ �
���
����� �� ��� �� ����
������ �����
����� �� ��� P �� �� �� ����� �� ��� P � � �� ����� ����
�� �� ����� �� ���� �������� �� ��� P �����
�� �� ����� �� c ���� �������� � �� ���� ��
(2.86, 2.8)��
����� �� ����� �� ������
������ �����
��� �� �� ��� A ����� ��
��� Ox
������ A = (x(P ), 0) � �� ����� � �������
� ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
������ �����
��� �� �� ��� B ����� ��
��� Oy
������ B = (0, y(P )) � �� ����� � �������
� ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
������ AB ������ � �� ���[A,B] � �� ����� � ������
�� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ � ��� ��
!��!���� ����� �� ����� b � �� "� �������
������ �� ������� ����
�� O "� �� b
������ � �� �������[O, b] � �� ����� � ���
����� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ � ��� ��
!��!���� ����� �� ����� d � ��� �������#
������
��� �� �� ��� �� ���#
�� �� �� b � d
������ M = ��� �� �[b, d] � �� ����� � ���
����� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ � ��� ��
!��!���� ����� �� ����� d � ��� �������#
������
������ OM ������ � �� ���[O,M ] � �� ����� � ������
�� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
���
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������ �� � ���� �� ��� �
�������������� c � � ����� d
��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �
� ��������� �� � �������������� � �� � ������
��������������� �� � � ��� ������ ��� �����
���� ������ �� � ��� !�"!#�
$%���� ���� �� �� �� ����� �&����� ������� �� ��������� ��� ���������� ����
�������� � ���� ����'����� ���� �� � ��������� �� '��� �&����� $ ������������
�� �������� �� ��%�� ��� ��������� ����� �����������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
$����� � ������ ��� ��
������ �� ����� M
��� �����%� �� � ����� M �� � � ��� �����
�� ��� � ���� ��� �� � ������ ��� �� �������
��� !�"(#�
����� �� ��� �������
������ �����
)��� � ����� P ��� ����� � ����� P �� � � ��� ������ � ���
����� ���� � ����� ����������� � ���������
������ c�
���
���� ���� ���� ����
������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� ��������
��� �� ������ �� �������� �� ���� �������� ��������� ���� � �� �� ����� ��
a = 2 ����� ��� !�
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
"���� � ��#� �����
������ �
$ � ����� � ��#� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ��%�!�
&��'�� � ���� �������� $ � ����� � ���� M ( ���� ����� � ����
P �� � ����� �������� ��
������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� �������
���� ���� ��������� �� �� � ������� � �������! �� ������ �� �������� �� ����
�������� ��������� ���� ����� a = 2 ����� ���)!�
�
���
��� �������� �� ������� � ����� a �� � ��� � ������ � � � � �������
����� ��� �� � �� ����� �� �� ���� � �������� �� �� ������� �� ����
���� �� ��� ����� ������ ��������� � �� ���� ������ ����� � ������������
�� �� � �� P � ��� ������� �� �������� �� ��� ������ � �� ���� M � �� �������
�� ��� ����� �� � �� P �� �������� !��� ��� ������ �� ����� ���������
���� �� !��� �� � � ��� ���"���� � � �#������ �$ ����� �� ����� �����
�� ����� ������
���� ����� ��� ����� ����� �� ������� ���� �
� ���� � � �� ������� �� ������� �� � ������ ��
�� � ��� A(x, 0) B(0, y)� %�$ � ��� �� � ���� � �
√x2 + y2 = a
&'��� (�()*� ��� ��� x2 + y2 = a2� !� ����� �� �������
�� � �� A �� ����� �� � �� B ��������� �
��� ������� � �� � ��� P (x, y)� � � �������
���� �� ���� �+������� x2 + y2 = a2� ���� ����
, ������� �� �� �����+ ������� ���� � � ��� ����� �� �� ���� �� ���
��� ������ #���� � � �������� �� ����� � ��� ��-
����� �� ��� �� �����
������ �����
a = 2 .������ a = 2 �� �� ����� �� ������� � ��
�������� �� ������
�
�
������ �
/����� �� ���� �+�������
x2 + y2 = a2.������ ��������������[(0, 0), a] �� �� ����� ��
������� � �� �������� �� ������
�
�
������ � 0��
� � ������� ������ �� ��� � c � ���� ���� ��
+��������
1����� �� � �� P ���� ��
���� �+�������
.������ P = �����[c] �� �� ����� �� �������
� �� �������� �� ������
�
�
������ �
���
����� �� ��� �� ����
������ �����
����� �� ��� P �� �� �� ����� �� ��� P � � �� ����� ����
�� �� ����� �� ���� �������� �� ��� P �����
�� �� ����� �� c ���� �������� � �� ���� ��
(2.23, 2.01)��
����� �� ����� �� ������
������ �����
��� �� �� ��� A ����� ��
��� Ox
������ A = (x(P ), 0) � �� ����� � �������
� ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
��� �� �� ��� B ����� ��
��� Oy
������ B = (0, y(P )) � �� ����� � �������
� ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
������ �����
������ AB ������ � �� ���[A,B] � �� ����� � ������
�� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ � ��� ��
!��!���� ����� �� ����� b � �� "� �������
������ BP ������ � �� ���[B,P ] � �� ����� � �������
� ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
������ �� ������� ���� �
b �� ���� ��� P
������ � �� �������[P, b] � �� ����� � ���
����� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ � ��� ��
!��!���� ����� �� ����� f � �� "� �������#
�����
��� �� �� ��� M ������ M = ��� �� �[b, f ] � �� ����� � ���
����� � ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
������ PM ������ � �� ���[P,M ] � �� ����� � �������
� ����� �������� �� � ���
�
�
������ �
���
����� �� ��� ���� �����
������ �����
������ �� � ���� �� ��� �
�������������� c � � ����� f
��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �
� ��������� �� � �������������� � �� � ������
��������������� �� � � ��� ������ ��� �����
���� ������ �� � ��� !�"!#�
$%���� ���� �� �� �� ����� �&����� ������� �� ��������� ��� ���������� ����
�������� � ���� ����'����� ���� �� � ��������� �� '��� �&����� $ ������������
�� �������� �� ��%�� ��� ��������� ����� �����������
������� ��������
����� �� ��� ���� �����
������ �����
$����� � ������ ��� ��
������ �� ����� M
��� �����%� �� � ����� M �� � � ��� �����
�� ��� � ���� ��� �� � ������ ��� �� �������
��� !�"(#�
����� �� ��� �������
������ �����
)��� � ����� P ��� ����� � ����� P �� � � ��� ������ � ���
����� ���� � ����� ����������� � ���������
������ c�
���
���� ���� ���� ����
������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� ��������
��� �� ������ �� �������� �� ���� �������� ��������� ���� � �� �� ����� ��
a = 3 ����� ���� �
������� ������ �
����� �� ��� ���� �����
������ �����
!���� � ��"� �����
������ �
# � ����� � ��"� ����� ������ � �� � ���
��� �� ����������� ����� ��$% �
&��'�� � ���� �������� # � ����� � ���� M ( ���� ����� � ����
P �� � ����� �������� ��
������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� �������
���� ���� ��������� �� �� � ������� � ������� �� ������ �� �������� �� ����
�������� ��������� ���� ����� a = 3 ����� ���$ �
�
���
����������
���������� ������� �� ���� � �
��
��
��
��
��
��
���
��
��
��
���
���
���
���
��
��
���
���
��� ���
���������� ������� �� ���� � ���
�� (x2 + y2)3 = a2y4
�� x2(x2 + y2)3 = 4a2y6
�� x2(r − x) = y2(x+ r)
�� (x2 + y2)3 = 4a2x2y2
�� (x2 + y2)3 = 4a2x4
� x2(x− r) = y2(2r − x)
�� (x− r)2(x2 + y2)3 = r2x4y2
�� (x2+y2)(x2+y2−2rx)2 = 4r2x2y2
� x2 + y2 − 2rx− ry = 0
��� (x2 + y2)3 = 4r2x4
��� (x2+y2)(x2+y2−2rx) = 2ry(x+y)
���
�����������
��� ������� � ����� ����� ������ �� ������� ���������������
���� ������������������������
��� ����� !� ��" #� $�%�����& �� '�%��(�)� ����)(�*�� �# � � ��
� �� � +,-� .�/012�
�3� � +�#�� ��4���� *��&���% ����5��% '�%'���� 3� �������
���������������������������������������� ��� ��!������"
�6� � +�#�� ��4���� �&% ��� *%�%� ���7��*% $��� *���� ��$�& ��
��'���&� ��������������������� ������������� �������������
�8� ��9:���� *9����+� '�%��(�)� ����)(�*�� �# � � �� � :+�� �; , �
.�/1<2�
�0� $�=�� � >��� '�%��(�)� ����)(�*� *%� ��(?���(�*�� (�+ + #�
� ,��, ����� @�,���# #� * ��, �+� �� "��+ #�# ��, ��� #� $ ��� $��-�
.�<<12�
���
�������� �
�� ������ ����������
�� �� ��� ������ ��� �� ����� ���� ������ �� ������� �� ���� �� ��� ��
������ ��� ����� ����� ��� ������ ����������� �� ��� ������� ���� �������
��� ������ � �� ��� �� ����� ����� ���� ��������� ���� �� �������� �������
��� ������� ��� � �����
������
���������� �� ������ ����� ����� ���� �� ������ ������ ������ ��� �
� �� � ���� �� �������������������������� � �������������
������������� ���� �������������������������������
��
������
������ �� ������ �������
� ��� ��� ���� ��������������
���� ���� �� ������
�� �� �� !�����
���������������� ��������"���� ������������#�
�������$��� �� �������
������ ����� �� ��������%���&����#����
��
���
������
��������� �� ����� �������
� ���� ������� � ����������
�� ����������������
��������������������������� � ������
������������������������
������������������� � ����� �������������
�������
������������������������������������
��
������
��������� �� ����� ������� �����
� �� � ����������!����
�� ����������
�� �����������!��������� ���� �
��� ��� ������������ ����
�������"������� ���#��������� �$��
�������%����������������
�������������������������������������!���&��
��������������������������������������
�����"���������� ����������������%�����������
�
���
��������!�
��
���
������
��������� �� ����� ������
� ���� �������� �����
��������������������������������������������������������
����������������������������������� ��������
���������������������������������������������������
�� ��������������� ��������������� ����������
�� ������������������� ������
��������������� ��������������������������������
��������������� ���������������������������������
�������������� ������������������������������
����� �������������!���������
����� �������������!���������
�������������� ���������������������"�#���
��������$�����%&'('�
)����)*��
����+���!����������+��!���,��
�����������$*-���'������$����.�-���'���
�������'�����$*-����'�����$����.�-�����
����+)�����*���������������
�����+�����/��������������������������
��������������+������������������������
�����������!��������.*(�-���$*-�����
�����������!����$�������.0-�����
�����+����������������+����������
�����+����������������+����������
����!������$*-�������.0-����
����!������$*-�������.0-����
����+���� ���������+��!��� �����
����+�� �� ���������+������� ��������
��1
���
��� ������� �� � �� ����������
�� ������ ���������� ���� � ������� �� ���� ���� �� ������
� ���� �� ���� �� ��� ��������� � � ���� � ����������� ����� ���
������� � �� �� � ������ ����� ���
������
��������� �� ���� ����������� ������ ��� �� ������ �� �������� �� �� ��� ���� ��������� �����
�����
� �� � �������������� � ������������������� �!�������������
��� �!���������������������"#$%��������&
���
Buy your books fast and straightforward online - at one of world’s
fastest growing online book stores! Environmentally sound due to
Print-on-Demand technologies.
Buy your books online at
www.get-morebooks.com
¡Compre sus libros rápido y directo en internet, en una de las
librerías en línea con mayor crecimiento en el mundo! Producción
que protege el medio ambiente a través de las tecnologías de
impresión bajo demanda.
Compre sus libros online en
www.morebooks.esVDM Verlagsservicegesellschaft mbH
Heinrich-Böcking-Str. 6-8 Telefon: +49 681 3720 174 [email protected] - 66121 Saarbrücken Telefax: +49 681 3720 1749 www.vdm-vsg.de