Ecuación cuadráticaEsto es una ecuación cuadrática:
(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)
La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee
lasDefiniciones básicas de Álgebra)
Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque
el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:En esta a=2, b=5 y c=3
Aquí hay una un poco más complicada:
¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"
b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:
El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
si es positivo, hay DOS soluciones
si es cero sólo hay UNA solución,
y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .
Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2aLos coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10Respuesta: x = -0.2 and -1(Comprobación:5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 05×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:
Disfrazadas Qué hacerEn forma esytándar
a, b y c
x2 = 3x -1Mueve todos los términos a la izquierda
x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla parêntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3 Desarrolla parêntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1
Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la
forma: .
Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de que cumplen con la
expresión, si es que existen.
g
Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera
forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle"
(ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).
Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza
Bruta").
Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones
cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por
simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación
cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje
horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización"
(Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como
multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los
valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).
Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se
encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").
El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula
General".
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real y
parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.
Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término se le llama discriminante.
tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9
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