ECUACIÓN CUADRÁTICA
La ecuación de segundo grado con una incógnita se denomina también ecuación cuadrática. En ella la incógnita figura en algún término elevada al cuadrado:
3x2 – 7 = 2x + 5
Su forma canónica es:
ax2 + bx + c = 0
Siendo “a ≠ 0” y “c” el término independiente.
Resolución
Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita hay que operar con ella para escribirla en su forma canónica:
Para ello vamos a utilizar un ejemplo:
3x2 – 5 + 3x = 2x + 2 - x2
a) Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda. Recordemos que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo:
3x2 – 5 + 3x - 2x - 2 + x2 = 0
b) Simplificamos y ordenamos lo términos de mayor a menor grado:
4x2 + x -7 = 0
Atención: si el coeficiente de x2 fuera negativo se multiplican los 2 miembros por -1 para convertirlo en positivo.
c) Se despeja la incógnita:
1ª solución:
2ª solución:
Aplicando esto al ejemplo anterior tendríamos:
1ª solución:
2ª solución:
d) Una vez calculadas las soluciones es importante verificar en la ecuación si hacen cumplir la igualdad. Esto nos permitirá detectar errores:
3x2 – 5 + 3x = 2x + 2 - x2
1ª solución: x1 = 1,2038
3*(1,2038)2 – 5 + 3*(1,2038) = 2*(1,2038) + 2 - (1,2038)2
2,96 = 2,96
2ª solución: x1 = -1,4538
3*(-1,4538)2 – 5 + 3*(-1,4538) = 2*(-1,4538) + 2 - (-1,4538)2
-3,02 = -3,02
Número de soluciones
En las ecuaciones de segundo grado con una incógnita puede haber:
2 soluciones: existen x1 y x2
1 solución: existen x1 y x2 pero son iguales
Ninguna solución: no se pueden calcular x1 y x2
Analizando el radicando podemos saber el número de soluciones:
a) si entonces el radicando es positivo y se puede resolver. En este supuesto la ecuación tiene 2 soluciones.
b) si entonces el radicando es cero por lo que también es cero. En este supuesto la ecuación tiene 1 solución.
c) si entonces el radicando es negativo y no se puede resolver en el conjunto de los números reales R . En este supuesto la ecuación no tiene solución.
Veamos algunos ejemplos:
1er ejemplo
7x2 + 3x + 3 = 3x2 + 5
Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:
7x2 + 3x + 3 - 3x2 – 5 = 0
Simplificamos:
4x2 + 3x - 2 = 0
Podemos calcular el número de soluciones que tiene esta ecuación:
Comparamos y 4ac
Luego por lo que esta ecuación tiene 2 soluciones.
Calculamos:
1ª solución: x1=
2ª solución: x2=
Podemos verificar como estas soluciones hacen cumplir la igualdad en la ecuación.
2º ejemplo
2x2 + 2 = - 4x
Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:
2x2 + 2 + 4x = 0
Ordenamos los términos:
2x2 + 4x + 2 = 0
Comparamos y 4ac
Luego por lo que esta ecuación tiene solo 1 solución.
Calculamos:
1ª solución: x1 =
2ª solución: x2 =
Vemos que las dos soluciones son idénticas.
Podemos verificar como estas soluciones hacen cumplir la igualdad en la ecuación.
3er ejemplo
7x2 - 2x + 5 = 2x2 - 5x + 2
Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:
7x2 - 2x + 5 - 2x2 + 5x - 2 = 0
Simplificamos:
5x2 + 3x + 3 = 0
Comparamos y 4ac
4ac = 4 * 5 * 3 = 60
Luego por lo que esta ecuación no tiene solución.
Vamos a comprobarlo:
1ª solución: x1 =
2ª solución: x2 =
En ambos casos no tiene solución por lo que no se pueden resolver estas operaciones.
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