ECUACIONES DIFERENCIALES MATEMÁTICAS AVANZADAS I
LIC. EDGAR GERARDO MATA ORTIZ
ITZEL JOSELINN FLORES LUNA
7° ”A” T.M
ECUACIONES DIFERENCIALES • CONCEPTOS BÁSICOS:
ES UNA EXPRESIÓN QUE INVOLUCRA A UNA FUNCIÓN DESCONOCIDA Y SUS DERIVADAS POR EJEMPLO:
Y + Y´ = 0
• CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.
ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL.
• ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
EL ORDEN DE LA DERIVADA MÁXIMO QUE APARECE EN LA ECUACIÓN:
Y´ SIGNIFICA DERIVADA DE Y.
Y¨ SIGNIFICA SEGUNDA DERIVADA.
• SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:
LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN UNA FUNCIÓN DESCONOCIDA “Y” Y LA VARIABLE INDEPENDIENTE “X” DEFINIDA EN UN INTERVALO Y ES UNA FUNCIÓN Y QUE SATISFACE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA TODOS LOS VALORES DE X EN EL INTERVALO DADO.
Y¨+ 4Y = 0
SOLUCIÓN:
Y= SEN2X + COS2X
Y´ = 2COS2X – 2SEN2X
Y¨= 2 (-SEN2X)(2) – 2 (COS2X)(2)
Y¨= - 4SEN2X – 4COS2X
COMPROBACIÓN Y¨+4Y = 0
- 4SEN2X – 4COS2X+ 4 (SEN2X+COS2X) = 0
- -4SEN2X – 4COS2X + 4SEN2X + 4COS2X = 0
• Y¨ + 4Y = 0
Y= 5SEN2X + 3COS2X
Y´= 5(COS2X)(2) + 3(-SEN2X) (2)
Y´= 10(COS2X) – 6SEN2X
Y¨= - 20SEN2X – 12COS2X
COMPROBACIÓN: Y¨ + 4Y = 0
Y= - 20SEN2X – 12COS2X + 4 (5SEN2X + 3COS2X)
Y= -20SEN2X – 12COS2X + 20SEN2X + 12COS2X = 0
ESTAS DOS SOLUCIONES SE LLAMAN SOLUCIONES PARTICULARES, PERO LO QUE GENERALMENTE SE OBTIENE ES LA SOLUCIÓN GENERAL:
Y = C1 SEN2X + C2 COS2X
• COMPROBAR SI ES LA SOLUCIÓN QUE:
Y= X2 – 1 ES SOLUCIÓN DE (Y´)4 + Y2 = - 1
Y´= 2X
NO ES LA SOLUCIÓN : (2X)4 + ( X2 – 1 )2 = - 1
Y´+ Y2 = 0 - + ( )2 = 0
Y = = X -1 - + = 0
Y´= - 1X-2
Y=
• Y = E2X
SOLUCIÓN : Y¨ + Y´- 6Y = 0
Y´= 2 E2X
Y¨ = 4 E2X
COMPROBACIÓN :
4 E2X + 2 E2X - 6(E2X) = 0
6 – 6 = 0
• Y = E-2X + E3X
SOLUCIÓN: Y¨ - Y´ - 6Y = 0
Y´= -2 E-2X + 3E3X
Y¨ = 4 E-2X + 9 E3X
COMPROBACIÓN:
-4 E-2X + 9 E3X – (- 2 E-2X + 3 E3X )- 6(E-2X + E3X )
6 E-2X + 6 E3X - 6 E-2X - 6 E3X = 0
• Y = X2 + EX + E-2X
SOLUCIÓN : Y¨ + Y´- 2Y = 2(1+ X - X2 )
Y´= 2X + EX + (-2E-2X )
Y¨ = 2 + EX + 4E-2X
COMPROBACIÓN:
2 + EX + 4E-2X + 2X + EX + (-2E-2X ) – 2 (X2 + EX + E-
2X )
2(1+ X - X2 ) = 2(1+ X - X2 ) 2 X2 - 2 EX - 2 E-2X
• Y = C1 E2X + C2 (XE2X)
SOLUCIÓN : Y¨ - 4Y´ + 4Y = 0
Y´= 2 C1 E2X + 2 C2 XE2X + C2E2X
Y¨= 4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 2 C2E2X + 2C2E2X
COMPROBACIÓN :
4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 2 C2E2X + 2C2E2X - 4(2 C1 E2X + 2 C2
XE2X + C2E2X ) + 4 (C1 E2X + C2 (XE2X)) = 0
4 C1 E2X - 8 C1 E2X + 4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 4 C2 XE2X
- 8 C2 XE2X - 4 C2E2X - 4 C2E2X = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES
• ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES:
=
APLICANDO ANTI-LOGARITMO
• COMPROBACIÓN:
SUSTITUYENDO:
2
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
= =
NO ES POSIBLE SEPARAR LAS VARIABLES, POR LO QUE ES NECESARIO BUSCAR OTRO MÉTODO.
FORMULA : =
•
=4
Si es una ecuación diferencial exacta por que :
es igual a =4
1.-
= =
NO ES EXACTA PORQUE: = NO ES IGUAL =
• SIN EMBARGO, A VECES ES POSIBLE ENCONTRAR UN FACTOR ( QUE LLAMAMOS FACTOR INTEGRANTE), EL CUAL AL MULTIPLICARSE POR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LA CONVIERTE EN EXACTA. PARA ENCONTRAR ESTE FACTOR INTEGRANTE PODEMOS UTILIZAR LA SIGUIENTE FORMULA:
• = ENCONTRAR FACTOR INTEGRANTE
• AHORA UTILIZAREMOS ESTE RESULTADO PARA OBTENER EL FACTOR INTEGRANTE POR MEDIO DE LA EXPRESIÓN:
AHORA MULTIPLICAREMOS LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORIGINAL POR ESTE FACTOR INTEGRANTE, Y EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIÓN SERÁ UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTAS.
=
• A CONTINUACIÓN APLICAMOS EL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS:
INTEGRAMOS:
• SOLO FALTA DETERMINAR EL VALOR G(Y).
• PARA DETERMINAR EL VALOR G(Y) DERIVAMOS LA FUNCIÓN F ENCONTRADA RESPECTO A Y.
ESTE RESULTADO SE IGUALA CON N
SIMPLIFICANDO:
• - =0
• SI =0 ENTONCES
• POR LO TANTO LA FUNCIÓN BUSCADA ES :
• Y LA SOLUCIÓN SE OBTIENE IGUALANDO ESTA FUNCIÓN A UNA CONSTANTE C2:
MULTIPLICANDO POR 12
• 2.-
NO SON EXACTAS POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA PARA ENCONTRAR EL FACTOR INTEGRANTE:
=
=
• = 0 = 1
• INTEGRAMOS :
=3
DETERMINAR :
=
== =0
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