7/21/2019 ecuaciones diferenciales
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6.4 solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales
Todo sistema de ecuaciones diferenciales puede representarse generalmente como
( )
( )
( )nnn
n
n
y y y x f dx
dy
y y y x f dxdy
y y y x f dx
dy
,...,,
,...,,
,...,,
21
2122
211
1
=
=
=
La solución de este sistema requiere de n condiciones iniciales conocidas para un valor inicial de x.
Una ecuación diferencial de orden superior puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de
primer orden.
Escriba la ecuación diferencial ordinaria yn! " f x, y, y’ , y´´ , ..., yn - 1!! como un sistema de ecuaciones de primer orden #aciendo las sustituciones
y1 = y, y2 = y’ , ..., yn = yn - 1!
Entonces$
y´ 1 = y2
y´ 2 = y3
y’ n " f x, y1, y2, y3, ..., yn !
es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias.
%or e&emplo, considere el problema de valor inicial.
y´´´ -' y’’ ( y’y = ) y )! " ) y´ )! " 1 y** )! " +1
espe&e en la ecuación diferencial, para su derivada de ma-or orden escribiendo y´´ * en trminos de x - de
sus derivadas de orden menor y´´´ " ' y´´ + y´y. /i #acemos las sustituciones
y1 = y y2 = y’ y3 = y´´
entonces
y´ 1 = y2
y´ 2 = y3
y3’ = ' y3 + y2 y1
con las condiciones iniciales
y1 )! " ) y2 )! " 1
y' )! " +1
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Ejemplo 6.5
0esolver el problema de valores en la frontera definido por la ecuación$
)2
2
=+ ydx
yd
si y)! " 1, y′ )! " 2 - calcular el valor de y1!.
nal3ticamente
Teorema.
/i la ecuación au5iliar m2 bm c " ) tiene las ra3ces comple&as s ± ti, entonces la solución general
de y′′ by′ cy " ) es y " e sx c1 cos tx c2 sen tx!”
En el e&emplo, para la ecuación au5iliar b " ) - c " 1 → m2 1 " ) → m " ± i
%or ello, s " ) - t " 1, - la solución general queda$
y " e)!5 c1 cos 1! x c2 sen 1! x!
y " c1 cos x c2 sen x
y′ " c2 cos x ( c1 sen x
/ustitu-endo las condiciones en la frontera
y)! " c1 cos )! c2 sen )! " 1 → c1 " 1
y′ )! " c2 cos )! ( c1 sen )! " 2 → c2 " 2
y " cos x 2sen x y(1) = cos (1) + 2sen (1) = 2.223244
Utili7ando el paquete Polymath, para x =1, y = 2.2232
8umricamente
Usando el mtodo de 0unge+9utta de segundo orden mtodo de 0alston! con h " ).:, y)! " 1, y′ )! " 2
)2
2
=+ ydx
yd
)1
1 =+
ydx
dy
dx
d
2
1 ydxdy =
1
2
1
2 ) y
dx
dy y
dx
dy−=→=+
Ecuaciones del mtodo$+
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y j, i+1 = y j, i + ( k 1, j + k 2, j ) h
k 1, j = f j ( x i , y1, i , y2, i ,..., yn, i );
k 2, j = f j ( x i + h, y1, i + h k 1, 1, y2, i + h k 1, 2,..., yn, i + h k 1, n,)
xi " ) y1, i " 1 y2, i " 2
k 1, 1 " f 1 ), 1, 2! " 2
k 1, 2 " f 2 ), 1, 2! " +1
xi h " ) ).:! " ).';:
y1, i h k 1, 1 " 1 ).:!2! " 1.;:
y2, i h k 1, 2 " 2 ).:!+1! " 1.62:
k 2, 1 " f 1 ).';:, 1.;:, 1.62:! " 1.62:k 2, 2 " f 2 ).';:, 1.;:, 1.62:! " +1.;:
y1 ).:! " 1 2! 1.62:! ).:!
" 1.<;:
y2 ).:! " 2 +1! +1.;:! ).:!
" 1.2:
xi " ).: y1, i " 1.<;: y2, i " 1.2:
k 1, 1 " f 1 ).:, 1.<;:, 1.2:! " 1.2:
k 1, 2 " f 2 ).:, 1.<;:, 1.2:! " +1.<;:
xi h " ).: ).:! " ).<;:
y1, i h k 1, 1 " 1.<;: ).:!1.2:!
" 2.'4';:
y2 , i h k 1, 2 " 1.2: ).:!+1.<;:!
" ).:46<;:
k 2, 1 " f 1 ).<;:, 2.'4';:, ).:46<;:! " ).:46<;:
k 2, 2 " f 2 ).<;:, 2.'4';:, ).:46<;:!
" +2.'4';:
y1 (1) =
1.875 + [( (1.25) + (0.546875)](0.5)
= 2.265625
y2 (1) =
1.25 + [ (-1.875) + (-2.34375)](0.5)
= 0.15625
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