7/23/2019 Ecuaciones Exponenciales Quinto
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COLEGIO Juan Vlez de Crdova - 2015 - Prof. !on"#en$%ue &r$a'(&)E(*)IC&5+ &,OG& /+ 5 - /CI/ EPO/E/CI&L LOG&3)(IC& - EC&CIO/E4
POTENCIACIN:
Ejercicio 1: Transformar cada una de las siguientes expresiones en una sola potenciaa) =+12.4 xx b) =+ 322 8.16 xx
c) = 9.3 x d) =+ xxx 125.25.5 322
e) =+328
4x
x
f) =
x
x
81
27 23
g) =+ 2425 32.416 xxx
1
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Ejercicio 2 !esol"er a) ( ) =5213 b) ( ) =4
335 c) ( )( ) =5
634
#. xx
d) ( ) ( )( ) =56
3423.. xxx e) ( )( ) =
23342.2 f) ( ) =
1$1
2
54
3
ECUACIONES EXPONENCIALES:%on a&uellas ecuaciones &ue contienen la inc'gnita en alg(n exponente.
bser"en algunos e*emplos de c'mo se pueden resol"er
+* 1 1$24 , 8 . 2 x
+* 2 3 x
- 3 2+x
, 3
1$
+* 3x
x
3
42
255
1
.5 =
x2.22 31$ = 3
1$3.33 2 =+ xx ( ) ( ) xx 32421
.2
1
55.5 =
x+= 31$ 22 ( )3
1$31.3 2 =+x xx 6422
1
55 =+
1$ , 3 - x3
1$1$.3 =x
2
1 2x - 4 , 6 x
x , 7 1$3
1$3 =x
2
1- 4 , 6 x - 2 x
3
13 =x x8
2
9=
x , 1 x=16
9
Ejercicio 3 !esol"er las siguientes ecuaciones / comprobar las soluciones obtenidas
a)4
14 =x g) 39 1 =+x m) 422 =+ xx
b) 82 1 =+x 0) 12.4 1 =+xx n)2
333.
2
1=+ xx
c) 273.9 =x i) $3
13.27 2 =+x o) $
25
655 1 =+ +xx
d)x
x
2
3
127
= *) 42.8 =x p)4
922 3 =+ +xx
e) xx 21 42 =+ ) xx 332 93.27 =+ &) $13 13 =x
f) 8132 =x l)16
12 1 =+ x r)
4
19222 13 =++ + xxx
Ejercicio 4:allar x en las siguientes ecuaciones
a) $142.522 =+ xx e) 32$24 31 =+ ++ xx
b) $255.745.3 2 = xx
f) 9$39 21 =+ + xx
c) $377.57.2 12 =+ +xx g) 1446.336 12 =+ xx
2
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d) 82.82.5 212 = + xx 0) 432.34.5 13 = + xx
FUNCIN EXPONENCIAL+s toda funci'n del tipo fx) , . a x +xponente real
oeficiente de la funci'n ase de la funci'n +s un n real $ +s un n real positi"o
onsideremos la funci'n / , 2 x
x 3 2 1 $ 1 2 3
/ , 2 x
nalicemos la funci'n
:ominio Todos los !
;magen ! +
eros >>>>>
rdenada al origen 1?na caracter@stica e"idente de esta cur"a es la rapideA con la &ue crece. ese crecimiento
"ertiginoso se lo llama crecimiento exponenci!.uando x tiende a = la cur"a se aproxima cada "eA mBs al e*e x= pero nunca llega a tocarlo.
Cor eso la recta de ecuaci'n " # $es decir= el e*e x) es su %&ntot 'ori(ont!.
onsideremos a0ora= en un mismo grBfico= las funciones fx) , 2 x = gx) , 3 x = 0x) , 4 x
x 3 2 1 $ 1 2 3
/ , 3 x
x 3 2 1 $ 1 2 3
/ , 4 x
DEuF tienen en com(nG
Tienen :ominio ,>>>
Tienen ;magen >>>>..
H >)
Tienen as@ntota 0oriAontal= &ue es el e*e>>.
DEuF diferencia obser"anG >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
onsideremos las funciones fx) , 2 x / tx) ,x
2
1
x 3 2 1 $ 1 2 3
/ , I) x
:ominio>>>>>>..
;magen>>>>>>>
eros>>>>>>>.. rdenada al origen >>>..
s@ntota>>>>>>>>>..
DEuF diferencia obser"anG.......................................................................................................
3
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onsideremos a0ora rx) , 3 . 2 x = sx) , 3 . 2 x
x 3 2 1 $ 1 2 3
/ , 3. 2 x
x 3 2 1 $ 1 2 3
/ , 3.2x
:ominio>>>>>>..
;magen>>>>>>>
eros>>>>>>>..
rdenada al origen >>>..
s@ntota>>>>>>>>>..
DEuF diferencia obser"anG.......................................................................................................>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
onclusiones
medida &ue la base JcreceK= la cur"a se JcierraK cada "eA mBs
%i a L 1= la cur"a es creciente. %i a M 1= la cur"a es decreciente.
Nas cur"as &ue corresponden a funciones exponenciales de bases rec@procas= son simFtricas
con respecto al e*e /
Nas cur"as &ue corresponden a funciones exponenciales &ue tienen igual base / coeficientes
opuestos= son simFtricas con respecto al e*e x.
Ejercicio ) Oraficar / analiAar las siguientes funciones exponenciales
fx) , 2 . 5 x
gx) , I . 3 x
0x) , 2 . 4 x
*x) , 2 x
x) , P . 3 x
Ejercicio * DCor&uF la base debe ser un n real positi"oG DEuF pasa si a , 1G
E+E,CICIOS -E ,EPASO
1) 13 12 =X ! I) 2) 1684.2 23 = xxx ! 5)
3) 633.53.2 =+ xxx ! $) 4)27
1
3
1.9.3
32
=
xx !
3
16)
5) $2562
423
1
=+
x
x
! 4) 6) 13.39 12 =++ xxx ! 3Q2)
7) $242
1.5
2
1 1
=+
+xx
! 4) 8) $12.32 =+ xx ! 2)
9) 162932 =+ xx ! 2) 1$) 9$93 =+ xx ! 2 )
11) 25$$55 212 = ++ xx ! 2) 12) 2112
44
1
2
1.4 =
xx
! 1Q3)
13) $39 42 = + xx ! 8) 14) 442.3 = xx ! 2)
15)1272.
312.5 21 = + xx ! 1) 16) $3
93 1
52
= ++
x
x
! 2)
17) 5=244 1 =+ xx ! I ) 18)x
x
=5
1.55 ! 2Q3)
4
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LO.A,IT/OS-EFINICIN -E LO.A,IT/O:
Cor e*emplo R log 2 16 , 4 R log 39
1, 2
por&ue 2 4 , 16 ) por&ue 39
12 = )
CASOS PA,TICULA,ES:
=bblog ...........................................
=
Slog bb
>>>>........................
=1logb >>>>>>>>>>... =bblog
>>>>>>>>>...
=
bb
1log >>>>>>>>>>. =b
blog >>>>>>>>>>
Ejercicio 0:alcular
a) log4 64 , b) log381 , c) log 27
13 , d) logI 1 ,
e) log1$1$$$ , f) log =4
12 g) log
=232
1 0) log =128
1
2
1
i) log1$$=$1, *) log =4
2
1 ) log =81
1
3
1 l) log =125
15
m) logaaS , n) log =32
12 ) log
=22
1 o) log1255,
LO.A,IT/OS -ECI/ALES LO.A,IT/OS NATU,ALES:
%i la base del logaritmo es 1$se llama !oritmo ecim!/ se puede escribir logsin indicar la base.
5
aes la base del logaritmo / debeser real= positi"o= / distinto de 1
bes el argumento del logaritmo /
debe ser real positi"o
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%i la base es el n(mero ee, 2=718>.)= se denomina !oritmo ntr!o !oritmo neperino/ seescribe ln. %e denomina JneperianoK en 0onor a Uo0n >>>>>>>>. e) ln 2=5 ,>>>>>>>>>>>..b) log 98 ,>>>>>>>>>. f) ln 25 ,>>>>>>>>>>>>
c) log 98$ ,>>>>>>>>> g) ln 25$ ,>>>>>>>>>>>.
d) log 98$$ ,>>>>>>>>. 0) ln 25$$ ,>>>>>>>>>>>
Ejercicio 6:alcular mentalmentea) log 1$ , b) log $=$$1, c) log =3 1$$
d) ln e , e) ln =e f) ln =
e
1
Ejercicio 1$:plicar la definici'n de logaritmo para resol"er las siguientes ecuaciones
a) log 3 x , 4 b) log x=
2
12 c) log 3 x-2) , 2
d) 2 . log4x , 4 e) log122x6) - 3 , 3 f) 3.log 3 xS 8 , 14
P,OPIE-A-ES -E LOS LO.A,IT/OS:
Ejercicio 11:!esol"er aplicando las propiedades de logaritmos
6
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a) log 2 8 . 32) , b) log 3 =
81
9.27 c) log =5464 d) log ( ) =
53
3 81
Ejercicio 12: plicar el cambio de base con"eniente para poder operar con calculadora / resol"era) log 2 18 , b) log 3 1$$ , c) log 2 256 , d) log 3 5 ,
ECUACIONES LO.A,7T/ICASNas ecuaciones logar@tmicas son las &ue tienen la inc'gnita en el argumento de alg(n logaritmo.
Cara resol"erlas= debemos tener presente &ue
%iempre &ue sea posible= con"iene agrupar los logaritmos en uno solo= para lo cual se aplican
las propiedades.
Cara despe*ar una inc'gnita contenida en el argumento= se aplica la definici'n de logaritmo.
%'lo existen logaritmos de n(meros positi"os= por lo cual deben descartarse como soluciones
los "alores &ue no "erifi&uen la ecuaci'n original.
+* 1 log 2 x-1) , 3 +* 2 log 2 x-7) log 2 x-1) , 4 +* 3 2. log 5 x - log 5 8x) , 3
2# , x-1 41
7log
2 =++
x
x
log 5 xS - log 5 8x) , 3
2# 1, x1
72
4
++
=x
x
log 5 xS . 8 x ) , 3
7 , x 2 4 x-1) , x-7 log 5 8 x#) , 3
16 x - 16 , x -7 5# , 8 x#
15 x , 9 8
125
, x#
x , 3Q5 x , 2=5
7
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Ejercicio 13:!esol"er las siguientes ecuaciones
a) 2$ logxS 15 ) , $ b) 2. log 7 x log 7 x-6) , 3.log 7 2
c) log 3 x - log 9 x-1) , I .log 3 x d) 5 235.1$ 12
=
+ xx
e) 3 21=x f) 4 28. 123 =+ xx
Ejercicio 14:!esol"er las siguientes ecuaciones / "erificar los resultados obtenidos
a) log =27x 3 b) log x log 3 , 2
c) log2
1 x-5) , 2 d) log 2 8.x) - log 2 4.xS) , 8
e) log x log 17 , $ f) log 5 x-12) log 5 x-3) , 1
g) log 8 32x) , $ 0) log x8) - log x2) , log 8x)
i) log 3 x , 5 .log 3 2 *) 2. log x , 1 - log x $=9)
) 3. log x log 32 , log
2
xl) log x-1) log x1) , log 2
m) log x2) - logx-3) , log 6 n) log 2 x1) , 6 log 2 3x-1)
o) log 6 x1) , 3 log 6 5x-1)
FUNCIN LO.A,7T/ICA
+s toda funci'n del tipo / , log a x %e leeK logaritmo en base a= de xK) a es la base x es el JrgumentoK
+s un n real positi"o +s un n real positi"o
:efinici'n de Nogaritmo
log ab , c V a c , b +* log 2 8 , 3 por&ue 2# , 8
J+ncontrar el logaritmo de un n es encontrar el exponente al &ue se debe ele"ar la base= paraobtener el argumentoK
+* log 2 8 , 3 por&ue 2# , 8 Q log 3 9 , 2 por&ue 3S , 9
bser"aciones
+l logaritmo= en cual&uier base= de un n negati"o no existe
+l logaritmo= en cual&uier base= de $= no existe
+l logaritmo= en cual&uier base= de 1= es $
+l logaritmo mas usado es el de base 1$= / no colocamos la base cuando lo escribimos. +s el
(nico logaritmo &ue puede realiAarse con calculadora. +* log 1$$ , 2 "erificalo)
8
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onsideremos la funci'n / , log 2 x
x W I 1 2 4 8
/ , log x
:ominio ! +
;magen !
eros orta al e*e x en 1H$)
rdenada al origen no tiene
s@ntota Xertical x , $ es decir el e*e /)
DEuF obser"as con respecto a la funci'n exponencial / , 2 x G...............................................
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
onsideremos= en un mismo grBfico= las siguientes funciones
x P I 1 2 3 4 5
/ , log x
/ , log x
/ , log x
/ , log x
aracter@sticas comunes
:ominio >>..
;magen >>>.
ortan el e*e x en el punto >H>.)
>>>> &ue es el e*e>>>.
DEuF diferencias obser"BsG.....................................................................................................
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
onsideremos a0ora las siguientes funciones logar@tmicas
x P I 1 2 3 4 5
/ , log x
/ , log x2)
/ , log x-1)
;magen>>>>>>>>>>>>>>>..
eros>>>>>>>>>>>>>>>>. rdenada al origen>>>>>>>>>>>
:ominio>>>>>>>>>>>>>>>
s@ntota>>>>>>>>>>>>>>....
onclusiones
Na Yunci'n Nogar@tmica es la in"ersa de la Yunci'n +xponencial
%i a L 1= la funci'n es creciente. %i a M 1= la funci'n es decreciente.
%i las bases son rec@procas= los grBficos son simFtricos con respecto al e*e x.
%i sumamos o restamos un n al argumento= la cur"a se desplaAa en forma 0oriAontal
Ejercicio 1) Oraficar / analiAar las siguientes funciones logar@tmicas fx) , log x gx) , log x3) 0x) , log x-2)
9
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+U+!;;% :+ !+C%
1) ln xS - ln2
5=x ! e) 2) log 5 x log125 25 x) , $ ! 5)
3) log 2 x log 8 x , 1 ! 8 ) 4) log 25 xS 2 log 5 x , 8$ !
5
1)
5) logx-1) , log 1$ - log x8) ! 9) 6) log 36 - log 6 , 3 ! 6)
7) 2. log x , 1 - log x $=9) ! 9 / 1) 8)5 213 =X ! $=476)
9) 3. log x log 32 , log xQ2) ! 4) 1$) log x-1) log x1) , log 2 ! 3)
11) 2)23log
log=
xx
! 1 / 4Q9 ) 12) 21 =xe ! 1=693)
13) log 12 2x 6) - 3 , 3 ! 7Q2) 14) 3 .log 3 xS 8 , 14 ! 3)
15) 4 log xS x - 4 ) , 3 ! 3 / 2) 16) log 3 xS4) - 2 12 4 = ! 5 )
17) x , S5=1.3=1 43 ! 1=458) 18) 1$ 715 =x
19) log 3 x - log 7log 39 =+ xx ! 9) 2$) ln x1) - ln x-3) , ln xS-5) ! 4)
21) log 4 x - 3.log 4 x , 2 ! 2) 22) log 3 - log 6 log 2 , 2 ! 3)
23) ln x ln x - ln xS , I ! 1=221) 24) log 8log#log 24
2
1 =+ xx
25) logx-3) - log2x1) , log 2.xS-4) ! 11Q5)
1$
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