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Eficiencia en la producción de bienes públicos: un
análisis de frontera estocástica para diferentes municipios
en Colombia
Proyecto de Grado en Pregrado de Ingeniería Industrial
Juan Pablo Díaz Pardo
Director
Camilo Andrés Franco de los Ríos
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Industrial
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Contenido
I. Resumen………………………………………………………………………………………… .pg.3
II. Introducción…………………………………………………………………………………….pg.4
III. Objetivos del proyecto………………………………………………………………………..pg.6
IV. Marco teórico………………………………………………………………………………….pg.7
1. Análisis de frontera estocástica en corte transversal.
2. Análisis de frontera estocástica en datos panel.
V. Revisión de la literatura relevante………………………………………………………….pg.11
VI. Metodología y descripción de los datos…………………………………………………...pg.14
3. Descripción de las variables.
4. Formulación del problema de optimización DEA con rendimientos variables a
escala (metodología DNP).
5. Frontera estocástica.
5.1 Especificación y descripción de los modelos.
5.2 Variables que afectan la media de la ineficiencia.
5.3 Variables que afectan el impacto de choques aleatorios.
VII. Resultados y análisis……………………………………………………………………….pg. 22
6. Estadísticas descriptivas.
7. Resultados de los modelos.
8.1 Clasificación de los municipios de acuerdo con los puntajes de eficiencia.
8.2 Análisis gráfico de los resultados.
9. Consideraciones finales.
VIII. Conclusiones……………………………………………………………………………….pg. 52
IX. Bibliografía…………………………………………………………………………………..pg. 55
X. Anexos…………………………………………………………………………………………pg. 58
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Resumen
El presente trabajo es una revisión metodológica de la eficiencia a nivel municipal para
Colombia en la producción bienes públicos (calidad educativa, régimen subsidiado y agua
potable) utilizando enfoques paramétricos y no-paramétricos. El aporte de este trabajo es la
implementación de diferentes modelos de tipo panel para medir la eficiencia en el largo plazo
de cada municipio y el efecto que han tenido las transferencias del gobierno y variables
geográficas y demográficas en la producción de estos bienes. El trabajo encuentra un
aumento en la eficiencia de recursos para calidad educativa, una caída en la eficiencia de
recursos para las afiliaciones dentro del régimen subsidiado y ningún cambio importante en
el acceso a agua potable. Estos resultados se pueden atribuir a temas de política pública y
regulación.
Palabras clave: eficiencia, frontera estocástica, calidad educativa, régimen subsidiado, agua
potable.
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Introducción
El análisis de bienes públicos como problema económico puede remontarse a Samuelson
(1954). Este autor consideraba que la provisión de bienes públicos era, por construcción, una
falla de mercado, dadas las características de no-rivalidad y no-exclusión propias de estos
bienes y las externalidades positivas que estos generan. Teniendo esto en cuenta, “el bien
público constituye el argumento central del intervencionismo estatal, ya que, en esta línea
argumental, el gobierno produciría la cantidad óptima del bien en cuestión que sería
financiado por todos a través de impuestos, con lo cual se internalizaría la externalidad.”
(Lynch, 1998, p. 205)
Si bien la literatura económica clásica sugiere que el principal problema de los bienes
públicos es la falla de mercado, es importante reconocer que existen otros problemas
asociados a la provisión y financiamiento de estos bienes. Algunos de estos podrían ser: ¿de
dónde obtener los recursos para financiar estos bienes? ¿cuál debería ser la asignación óptima
de estos bienes al interior de un país? ¿Cómo lograr un uso eficiente de los recursos públicos?
Teniendo en cuenta esta última problemática, el objetivo de este trabajo será entonces realizar
un análisis de eficiencia en la provisión de estos bienes para diferentes municipios en
Colombia, utilizando métodos paramétricos para su estimación.
El uso de técnicas paramétricas parte del supuesto de cada firma puede ser vista como una
función matemática que requiere de cierto nivel de insumos (x) para producir una cantidad
de producto (y). Esta manera de entender el comportamiento de las firmas y su amplio uso
dentro de la teoría económica se remonta a los modelos de equilibrio general competitivo de
Arrow-Debreu (1954). En lo que respecta a Colombia, es posible hacer un análisis de frontera
estocástica aplicado al problema de bienes públicos, pensando que cada municipio es una
firma que debe usar un vector de recursos para proveer a su población con servicios de
educación, salud, agua potable, infraestructura, entre otros. Este análisis responde a la
necesidad de cualquier Estado de hacer un uso eficiente de sus recursos, en conformidad con
los Planes Nacionales de Desarrollo y las leyes 617 de 2000 y 715 de 2001. Estas leyes buscan
el buen desempeño fiscal de las entidades territoriales y reglamentar el uso de los recursos
provenientes del Sistema General de Participaciones (SGP) y Sistema General de Regalías
(SGR).
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El trabajo está estructurado de la siguiente manera. En primer lugar, se realiza una
descripción de la metodología de frontera estocástica y la intuición detrás de la aplicación
empírica que se pretende utilizar para medir la eficiencia a nivel municipal. En segundo lugar,
se hace una comparación de los alcances teóricos de los modelos paramétricos y no
paramétricos, con el fin de explicar la relevancia del modelo escogido frente a estudios
previos del Departamento Nacional de Planeación. Una vez seleccionada la metodología, se
realiza una descripción de las variables utilizadas y la especificación de los modelos a
estimar. Con la estimación de diferentes modelos panel, es posible examinar cual ha sido la
dinámica a nivel municipal / departamental durante los últimos años y desarrollar posibles
hipótesis respecto a temas de política pública/regulación que sean consistentes con los
resultados obtenidos.
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Objetivos del proyecto
Objetivo General:
Realizar un análisis de eficiencia en la provisión de bienes públicos (educación, salud, agua
potable) utilizando la metodología de frontera estocástica para diferentes municipios en
Colombia.
Objetivos específicos:
1) Realizar una revisión metodológica de las estimaciones por vía paramétrica y no
paramétrica de la eficiencia a nivel municipal en Colombia.
2) Analizar la tendencia de los niveles de eficiencia dentro de los sectores estudiados,
con el fin de identificar temas de desigualdad a nivel departamental-municipal.
3) Atar los resultados de los modelos con temas de política pública, regulatorios y otros
hechos estilizados.
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Marco teórico
1. Análisis de frontera estocástica en corte transversal:
Los primeros modelos de frontera estocástica se remontan a finales de la década de 1970 con
los trabajos de Aigner, Lovell & Schmidt (1977) y Meeusen & van den Broeck (1977). En
general, la idea detrás de estos modelos econométricos es que existen i-firmas dentro de una
industria, las cuales producen una cantidad 𝑞𝑖 de acuerdo con una función de producción:
𝑞𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝛽) donde �⃗�𝑖 representa el vector de insumos utilizados por la i-ésima firma y 𝛽
representa la productividad marginal de cada factor utilizado en la producción. De acuerdo
con Kumbhakar y Lovell (2003), en un mundo donde la función de producción de cada firma
es determinística, cada una de estas produciría un nivel óptimo de cantidades 𝑞𝑖 dado �⃗�𝑖 , no
obstante, en el mundo real, cada firma posee algún grado de ineficiencia 𝜉𝑖 𝜖 (0,1] que no le
permite producir la totalidad del producto dado el vector de insumos �⃗�. Por lo que la cantidad
producida por cada firma será: 𝑞𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝛽)𝜉𝑖. En este caso, firmas con 𝜉𝑖 ≈ 1 serán más
eficientes en el uso de los recursos (inputs), en comparación con firmas con valores menores
de 𝜉𝑖. Adicionalmente, la producción de cada firma está sujeta a ciertos choques aleatorios
(𝑣𝑖) por fuera del control de cada una, por lo que la cantidad producida al incorporar estos
choques será: 𝑞𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝛽)𝜉𝑖 exp (𝑣𝑖).
Con el fin de linealizar la ecuación anterior, se aplica una transformación logarítmica en
ambos lados de la ecuación, teniendo así: ln(𝑞𝑖) = ln [𝑓(𝑥𝑖 ; 𝛽)] + ln (𝜉𝑖) + 𝑣𝑖. Asumiendo
que el vector de insumos �⃗� es de tamaño k, reemplazando 𝑢𝑖 = −ln (𝜉𝑖) y que la función de
producción es lineal en los logaritmos, se tiene la siguiente forma funcional para cada firma:
ln(𝑞𝑖) = ln (𝛽0) + ∑ 𝛽𝑗𝑘𝑗=1 ln(𝑥𝑖𝑗) + 𝑣𝑖 − 𝑢𝑖 (1.1)
ln(𝑞𝑖) = ln (𝛽0) + ∑ 𝛽𝑗𝑘𝑗=1 ln(𝑥𝑖𝑗) + 휀𝑖 (1.2)
Dentro de las ecuaciones 1.1 y 1.2, 𝛽0 representa la productividad total de los factores (PTF) y
𝛽𝑗 representa la elasticidad de cada factor dentro de la función de producción. Por otro lado,
𝑣𝑖 representa los choques aleatorios (exógenos) a los cuales está expuesta la firma y 𝑢𝑖
representa la ineficiencia de esta. Este último término entra restando dentro de la ecuación,
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debido a que el efecto de la ineficiencia es reducir el nivel de producto de la firma para un
nivel de insumos establecido. En conjunto, 𝑣𝑖 y 𝑢𝑖 explican toda la variación aleatoria (휀𝑖)
en el output observado de cada firma. Por último, es importante resaltar que algunos de los
supuestos del modelo de frontera son: i) El vector �⃗� es exógeno y por tanto independiente
del término aleatorio 휀𝑖. ii) 𝑣𝑖 y 𝑢𝑖 son independientes entre sí y no están correlacionados.
Tal como se puede observar, las ecuaciones 1.1 y 1.2 se reducen a una función de tipo Cobb-
Douglas después de aplicar una transformación logarítmica. Esta función, estudiada por los
economistas Charles Cobb y Paul Douglas a finales de la década de 1920 presenta una serie
de propiedades matemáticas deseables, las cuales hacen parte de los supuestos de una función
de producción neoclásica, tal como se describe a continuación. Otras especificaciones más
generales, pero menos utilizadas, incluyen la función trans-logarítmica.
i) La función de producción es creciente en los factores: 𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑖= 𝐹𝑥𝑖
(∙) ≥ 0. Por lo que dado
el vector de insumos �⃗�, un aumento en la cantidad disponible del insumo 𝑥𝑖, significará un
aumento en la cantidad (q) producida por la firma.
ii) La productividad marginal de los factores es decreciente: 𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝑖2 = 𝐹𝑥𝑖𝑥𝑖
(∙) ≤ 0. Si bien
la función de producción es creciente en los factores, el aporte marginal de la última unidad
del factor 𝑥𝑖 es cada vez menor conforme este aumenta.
iii) Los factores de producción son complementarios: Asumiendo que existen dos factores
de producción 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗 dentro del vector de insumos �⃗�, se dice que estos dos insumos son
complementarios si matemáticamente: 𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗= 𝐹𝑥𝑖𝑥𝑗
(∙) ≥ 0 ,𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖= 𝐹𝑥𝑗𝑥𝑖
(∙) ≥ 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗.
iv) Los factores de producción son necesarios: Asumiendo que existen dos factores de
producción 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗 dentro del vector de insumos �⃗�, se dice que estos necesarios en la medida
en que la firma no puede producir una cantidad (𝑞 > 0) cuando la cantidad disponible de
alguno de los insumos es igual a cero. Matemáticamente esto significa que: 𝐹(0, 𝑥𝑗) =
𝐹(𝑥𝑖, 0) = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗.
v) Hay rendimientos constantes a escala: Un aumento de 𝜏 (𝜏 > 0) unidades en la cantidad
de insumos disponibles �⃗�, representará un aumento proporcional de 𝜏 veces la capacidad
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productiva de la firma. Matemáticamente esto implica que la función de producción F es
homogénea de grado 1, por lo que: 𝐹(𝜏𝑥) = 𝜏𝐹(𝑥).
vi) Se cumplen las condiciones de Inada: Dadas las condiciones anteriores, cuando la
cantidad disponible del insumo 𝑥𝑖 tiende a cero, la productividad marginal del factor será
infinita, mientras que cuando esta cantidad tiende a infinito la productividad marginal de este
tenderá cero. Estas situaciones, llamadas condiciones de Inada se derivan de las propiedades
anteriores y garantizan que: 1) la firma tenga incentivos a producir (no solución de esquina)
y que 2) la firma no pueda crecer indefinidamente. Matemáticamente esto implica que:
limx𝑖→0
𝐹𝑥𝑖(∙) = ∞ , lim
x𝑖→∞𝐹𝑥𝑖
(∙) = 0.
Estas propiedades de la función de producción neoclásica son deseables en la medida en que
tienen sentido económico, no obstante, una de las principales limitaciones de esta función,
es que asume que la firma hace pleno uso del vector de insumos �⃗�, por lo que en este caso no
existiría desempleo de factores.
Una de las particularidades del análisis de frontera estocástica, es que es necesario hacer
algún supuesto sobre la distribución de la ineficiencia presente en cada firma, por lo que la
literatura relacionada propone las siguientes distribuciones para este componente del error
aleatorio:
i) Distribución exponencial: 𝑢𝑖 se distribuye exponencial e independiente con varianza 𝜎𝑢2.
ii) Semi-normal: 𝑢𝑖 se distribuye independiente y semi-normal ~ 𝑁+(0, 𝜎𝑢2).
iii) Normal truncada: 𝑢𝑖 se distribuye independiente con distribución normal
truncada ~ 𝑁+(𝜇, 𝜎𝑢2), tal que el punto de truncamiento sea 0.
2. Análisis de frontera estocástica en datos panel: Diversos autores han extendido el
modelo de frontera clásico, con el fin de ampliar el análisis de eficiencia a datos de tipo panel.
Entre los más importantes para el desarrollo de este trabajo están Battese-Coelli (1995). En
este caso, la función de producción después de la transformación logarítmica es de la forma:
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ln(𝑞𝑖𝑡) = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑗𝑘𝑗=1 ln(𝑥𝑖𝑗𝑡) + 𝑣𝑖𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 (2.1)
A diferencia del modelo anterior, esta especificación reconoce que hay un efecto en cada
periodo del tiempo sobre la cantidad producida de cada firma. Adicionalmente, el
componente de ineficiencia en cada periodo del tiempo se comporta bajo la siguiente
ecuación (2.2):
𝑢𝑖𝑡 = 𝑧𝑖𝑡𝛿 + 𝑤𝑖𝑡 (2.2)
Donde 𝑧𝑖𝑡 es el vector de variables explicativas que afectan la media de la ineficiencia y 𝑤𝑖𝑡
es una variable aleatoria que se distribuye normal truncada con media cero y varianza 𝜎2 tal
que el punto de truncamiento sea −𝑧𝑖𝑡𝛿 i.e. 𝑤𝑖𝑡 ≥ −𝑧𝑖𝑡𝛿.
Los parámetros del modelo de frontera estocástica son estimados simultáneamente por medio
del método de máxima verosimilitud. A continuación, se presenta la función de log-
verosimilitud (2.3) de acuerdo con Battese-Coelli (1993):
𝐿∗(𝜃∗; 𝑦) = −1
2(∑ 𝑇𝑖
𝑁𝑖=1 ){ln(2𝜋) + ln(𝜎2 + 𝜎𝑣
2)} −1
2∑ ∑ [
(𝑦𝑖𝑡−𝑥𝑖𝑡𝛽+𝑧𝑖𝑡𝛿)2
𝜎𝑣2+𝜎2 ]
𝑇𝑖𝑡=1
𝑁𝑖=1 −
∑ ∑ {ln[ϕ(𝑑𝑖𝑡)] − ln[𝜙(𝑑𝑖𝑡∗ )]}𝑇𝑖
𝑡=1𝑁𝑖=1 (2.3)
Una vez estimados los parámetros del modelo de frontera, la eficiencia técnica (TE) de
producción de la i-ésima firma en el periodo t es calculada de la siguiente manera (2.4):
𝑇𝐸𝑖𝑡 = 𝑒−𝑢𝑖𝑡 = 𝑒−𝑧𝑖𝑡𝛿−𝑤𝑖𝑡 (2.4)
Por último, otros autores que posteriormente han aportado trabajos relevantes dentro de la
literatura del análisis de frontera estocástica son: Greene (2005) con la metodología de
efectos fijos y aleatorios en datos panel y Karakaplan & Kutlu (2015) con la metodología de
variables instrumentales (IV) en corte transversal.
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Revisión de la literatura relevante
Actualmente existen diversas metodologías de frontera con el fin de medir la eficiencia de
forma empírica utilizando datos reales. Dentro de la literatura técnica estos métodos se
pueden clasificar como paramétricos y no paramétricos. Los más utilizados son el análisis de
frontera estocástica - stochastic frontier analyisis (SFA) y el análisis envolvente de datos -
data envelopment analyisis (DEA), los cuales son paramétricos y no-paramétricos
respectivamente. La principal diferencia entre ambos, es que el primero estima la frontera
óptima de producción de forma econométrica, mientras que el segundo método construye la
frontera a partir de un problema de optimización de programación lineal. La siguiente gráfica
ilustra de mejor manera la intuición detrás de cada método mencionado anteriormente e
incluye en la gráfica la estimación por medio de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).
Gráfica 1: Comparación de los modelos de frontera estocástica (SFA), análisis envolvente
de datos (DEA) y mínimos cuadrados ordinarios (MCO).
Fuente: Elaboración propia.
Tal como se puede observar en la gráfica 1, tanto los métodos paramétricos (SFA) como no-
paramétricos (DEA) miden la ineficiencia desde dos puntos de vista: el grado de producto
alcanzado o el nivel de insumos utilizados. El primero hace referencia a la distancia vertical
entre cualquier punto y la curva, mientras que el segundo hace referencia a la distancia
01
02
03
0O
utp
ut
0 5 10 15 20Input
MCO SFA
DMU DEA
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horizontal entre cualquier punto y la curva. Intuitivamente, estas distancias se pueden
interpretar respectivamente como ineficiencias, en la medida en que representan un nivel
menor de producto alcanzado dados los insumos utilizados, o análogamente, un nivel muy
alto de insumos empleados para una cantidad de producto dada. Siendo esta última la
principal similitud entre ambos métodos, la diferencia tangible entre ambos se encuentra en
la forma en que ambos plantean la curva eficiente. El SFA presenta una función cóncava
estimada de manera econométrica, mientras que el DEA construye una función a trozos
derivada de un problema de optimización lineal. Ambas metodologías presentan una serie de
ventajas y desventajas que deben ser contempladas con el fin de conocer el alcance práctico
de cada una de estas y sus respectivas limitaciones.
Una de las principales desventajas del enfoque paramétrico de acuerdo con Coelli et al.
(2005), es que el SFA debe asumir a priori una forma funcional especifica que determine la
relación entre input(s) y output. Comúnmente esta forma funcional puede ser una función
translog o Cobb-Douglas por sus propiedades matemáticas deseables, mientras que el DEA
no requiere de ningún supuesto acerca de la forma funcional. No obstante, una vez
especificada dicha forma funcional, el SFA permite desagregar el ruido aleatorio de la
eficiencia. Mientras que el DEA incorpora perturbaciones aleatorias dentro de los puntajes
de eficiencia [Cordeiro et al. (2012)]. Por lo que es posible concluir que los resultados de los
métodos no-paramétricos siempre van a estar sesgados por choques aleatorios fuera del
control de cada firma y que no pueden ser medidos bajo este enfoque. Por último, es posible
notar en la gráfica 1, que la curva DEA pasa necesariamente por todas las firmas que se
consideren eficientes, por lo que este análisis es altamente sensible al conjunto de firmas
seleccionadas.
Realizar esta distinción es fundamental, pues permite diferenciar este trabajo frente a estudios
previos realizados por parte del Departamento Nacional de Planeación (DNP). Esta entidad
se encarga cada año de reportar los resultados correspondientes al desempeño integral de los
municipios en Colombia, utilizando como metodología principal el análisis envolvente de
datos. De acuerdo con el documento “Metodología para la medición y análisis del desempeño
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municipal” publicado en 2005 por esta entidad: “la eficiencia busca determinar si el
municipio está optimizando la dotación de recursos humanos, financieros y físicos que tiene
disponibles para producir los servicios de salud, educación y agua potable, entre otros.”
(DNP, 2005, p.8) Por lo que el análisis de eficiencia realizado por el DNP también se enmarca
en la capacidad de cada municipio en proveer bienes públicos a su población.
Actualmente el DNP realiza el análisis DEA entorno los sectores de: 1) educación, 2) salud
y 3) agua potable. Donde los bienes públicos analizados respectivamente son: 1) matrícula
educativa urbana/rural y calidad educativa, 2) afiliaciones al régimen subsidiado y plan
ampliado de inmunizaciones, 3) calidad del agua y producción de agua & continuidad del
servicio. Con base a estos productos u outputs, el DNP selecciona el conjunto de insumos
relevantes para cada uno y luego calcula los puntajes de eficiencia de cada municipio para
cada bien producido. Luego de tener los puntajes en cada sector, la entidad calcula el índice
de eficiencia global (IEG) como el promedio simple del conjunto de puntajes de cada
municipio estudiado.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, el presente trabajo busca entonces realizar un análisis
de eficiencia para cada municipio en la provisión de bienes públicos por medio un análisis
de frontera estocástica (SFA), dadas las limitaciones teóricas que presenta la metodología
DEA y las ventajas relativas que presenta la estimación paramétrica de la eficiencia. En
síntesis, se espera que dicho enfoque complemente los análisis realizados por el
Departamento Nacional de Planeación y permita concluir sobre algún tipo de política
económica que lleve a una mejor asignación de recursos para mejorar el bienestar de los
municipios más vulnerables.
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Metodología y descripción de los datos
El panel de datos utilizado proviene del DNP, el cual recolecta la información suministrada
por los diferentes municipios a través del Sicep. Los datos y anexos correspondientes a los
años 2006-2012 son públicos y se encuentran disponibles en la página web de desempeño
integral del DNP. Para los años restantes 2013-2016, la entidad sólo reporta en su página los
resultados correspondientes al puntaje final de cada municipio, por lo que fue necesario
solicitar ante esta entidad los anexos correspondientes para esos años con el fin de tener una
base de datos más completa. En segundo lugar, se usaron los datos provenientes del panel
municipal del Centro de Estudios sobre Desarrollo Económico (CEDE) de la Universidad de
los Andes. Esta base de datos contiene información a nivel municipal de variables fiscales,
características generales, conflicto y violencia, salud, etc. que sirvieron para complementar
los datos provistos por el DNP.
Tal como se mencionó en la sección de revisión de literatura, el DNP contempla tres sectores
dentro de su análisis de eficiencia: educación, salud y agua potable. A continuación, se
muestran las variables de insumo/producto utilizadas para cada bien público estudiado y su
respectivo sector, de acuerdo con el documento Metodología para la medición y análisis del
desempeño municipal de 2005.
3. Descripción de las variables:
a. Educación: Maximización del producto.
(Producto 1) Matrícula educativa: Alumnos matriculados de preescolar a media en
establecimientos oficiales educativos (sin subsidios).
Insumo 1.1: Total docentes oficiales vinculados.
Insumo 1.2: Inversión en educación nómina y contratos con oferta privada para el último año
(millones de pesos).
Insumo 1.3: Espacio (m2) – Aula disponible en los establecimientos educativos oficiales.
(Producto 1) Alumnos matrículados = f(Docentes, , inversión educación, , espacio aulas)
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(Producto 2) Calidad educativa: Número de alumnos cuya calificación en el examen del
ICFES fue medio, superior y muy superior (IE oficiales).
Insumo 2.1: Número de docentes con escalafón mayor a grado seis y/o grado dos del nuevo
escalafón.
Insumo 2.2: Inversión en educación nómina y contratos con oferta privada para los últimos
tres años (millones de pesos).
(Producto 2) Calidad educativa = f(Docentes escalafón alto, , inversión educación)
b. Salud: Maximización del producto.
(Producto 3) Régimen subsidiado: Número de afiliados al Régimen Subsidiado (subsidios
parciales y plenos).
Insumo 3.1: Total de recursos destinados al Régimen Subsidiado con todas las fuentes (SGP,
Fosyga, rentas cedidas, recursos propios, etc.) distintos de gastos administrativos (millones
de pesos).
Insumo 3.2: Gastos servicios personales (nómina, aportes + órdenes de prestación de
servicios) destinados a las labores de focalización, aseguramiento e interventoría de los
contratos de Régimen Subsidiado (millones de pesos).
(Producto 3) Número de afiliados = f(recursos régimen subsidiado, , gastos servicios personales)
(Producto 4) Plan ampliado de inmunizaciones: Personas vacunadas con triple viral:
sarampión, rubéola y paperas.
Insumo 4.1: Inversión total provenientes de todas las fuentes, destinados al PAI (millones de
pesos).
Insumo 4.2: Cantidad de inmunobiológicos de triple viral suministrados por el ministerio de
protección social.
(Producto 4) Personas vacunadas = f(inversión PAI, , cantidad de inmunobiólogicos)
c. Agua potable: Minimización insumos (producto 5), maximización del producto (producto
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6).
(Producto 5.1) Aprovechamiento, cobertura y continuidad del servicio: Metros cúbicos de
agua producida (zona urbana y centros poblados).
(Producto 5.2) Aprovechamiento, cobertura y continuidad del servicio: Número de viviendas
conectadas al servicio de acueducto (zona urbana y centros poblados).
Insumo 5.1: Inversión total en agua potable y saneamiento básico para la prestación del
servicio de los últimos tres años (millones de pesos).
Insumo 5.2: Promedio mensual del número de horas de prestación del servicio de Acueducto
(zona urbana y centros poblados).
(Producto 5)1 Agua producida, , número de viviendas conectadas =
f(inversión agua potable, , horas de prestación)
(Producto 6) Índice de riesgo de calidad del agua (promedio – IRCA absoluto, re-escalado2).
Insumo 6.1: Inversión agua total de agua potable y saneamiento básico para la prestación del
servicio de los últimos tres años (millones de pesos).
Insumo 6.2: Número de pruebas realizadas respecto al número de pruebas que legalmente se
deberían realizar.
(Producto 6) Calidad del agua = f(inversión agua potable, , número de pruebas)
4. Formulación del problema de optimización DEA con rendimientos variables a escala
(metodología DNP):
De acuerdo con los informes de desempeño integral realizados por el DNP, la entidad utiliza
el software Frontier Analyst para la implementación de un modelo DEA con rendimientos
variables a escala (VRS). Como parte de este trabajo, fue necesario replicar los resultados
obtenidos por el DNP con el fin de: 1) verificar los resultados reportados por esta entidad 2)
1 Tal como se puede observar, la función de producción 5 es una función multi-producto. Adicionalmente,
esta es la única con enfoque de minimización de insumos. 2 Re-escalado significa que se toma el complemento del IRCA, por lo que un valor mayor representa mejor
calidad del agua.
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entender adecuadamente la metodología DEA utilizada dentro del marco de desempeño
municipal. Por este motivo, se realizó la programación matemática del modelo DEA con
VRS en el software de optimización Xpress-IVE.
Conjuntos:
M: Conjunto de municipios.
Y: Conjunto de outputs.
X: Conjunto de inputs.
Parámetros:
𝑣𝑦𝑚: Valor del output y 𝜖 Y del municipio m 𝜖 M.
𝑣𝑥𝑚: Valor del input x 𝜖 𝑋 del municipio m 𝜖 M.
Variables de decisión:
𝜆𝑚: Coeficientes DEA de cada municipio.
Tal como se mencionó anteriormente el DNP realiza el análisis DEA de acuerdo con dos
enfoques: maximización del producto o minimización de insumos, según corresponda a la
función de producción estudiada. Tal como se puede observar el problema de optimización
DEA tiene |M| variables de elección y (|X| × |M| + |Y| × |M|) restricciones con sus respectivas
variables de holgura (s).
i) Maximización del producto:
Función objetivo: 𝑴𝒂𝒙 𝝋
Restricciones:
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
= 𝟏
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
𝒗𝒙𝒎 ≤ 𝒗𝒙𝒎 ∀ 𝒙 ∈ 𝑿, 𝒎 ∈ 𝑴
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
𝒗𝒚𝒎 ≥ 𝝋𝒗𝒚𝒎 ∀ 𝒚 ∈ 𝒀, 𝒎 ∈ 𝑴
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
≥ 𝟎 ∀ 𝒎 ∈ 𝑴
ii) Minimización de insumos:
Función objetivo: 𝑴𝒊𝒏 𝜽
Restricciones:
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
= 𝟏
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
𝒗𝒙𝒎 ≤ 𝜽𝒗𝒙𝒎 ∀ 𝒙 ∈ 𝑿, 𝒎 ∈ 𝑴
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
𝒗𝒚𝒎 ≥ 𝒗𝒚𝒎 ∀ 𝒚 ∈ 𝒀, 𝒎 ∈ 𝑴
∑ 𝝀𝒎
𝒎∈𝑴
≥ 𝟎 ∀ 𝒎 ∈ 𝑴
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En el primer caso, la ineficiencia es medida como un déficit en el nivel de producto alcanzado
dada una cantidad de insumos, mientras que en el segundo caso, la ineficiencia es medida como
un superávit de recursos dado un nivel de producto. En ambos casos, tanto la función objetivo
como las restricciones del problema de optimización son muy parecidas, no obstante, la
interpretación de los resultados (coeficientes) obtenidos es distinta. En el caso de minimización,
los coeficientes (𝜃) están acotados dentro del rango: 𝜃 ∈ (0,1] mientras que para el enfoque de
maximización los coeficientes (𝜑) están acotados entre 𝜑 ∈ [1, ∞). Para interpretar correctamente
los resultados de este último, se utiliza el recíproco de los valores de la función objetivo. Una vez
obtenidos los resultados, se concluye que municipios con valores cercanos o iguales a unos son
más eficientes con relación a municipios con valores cercanos a cero. Una vez resuelto el problema
de optimización lineal se llegó a la conclusión de que los resultados reportados por el DNP para
los años 2012, 2015 y 2016 son totalmente consistentes con las bases de datos suministradas para
ese conjunto de años, pues los datos están disponibles para más de 1000 municipios. Para los otros
años, los resultados fueron parcialmente consistentes pues los datos sólo están disponibles para
una muestra entre 500-700 municipios, por lo que los puntajes de eficiencia difieren ligeramente.
En todo caso, es posible inferir que en una muestra completa para esos años el modelo estaría
correctamente implementado y sería consistente, al igual que los años en los cuales la información
estaba completa.
5. Frontera estocástica: Una de las desventajas del modelo DEA es que no contempla un análisis
de eficiencia a través del tiempo y solo permite datos de tipo transversal. Por este motivo lo que
se propone a continuación, es un análisis de frontera estocástica en datos de tipo panel, con el fin
de determinar qué municipios han sido eficientes en el largo plazo utilizando sus recursos. Esta
metodología complementa los estudios ya realizados por el DNP, ya que la estimación por vía
paramétrica permite desagregar la eficiencia del ruido aleatorio en cada observación, obteniendo
así una estimación insesgada de la verdadera eficiencia de cada municipio. Por último, otras de las
ventajas del SFA es que permite realizar un análisis econométrico: significancia global,
significancia individual, etc. Por lo que se podría corroborar estadísticamente si la selección de
variables es adecuada y adicionalmente proponer mejores maneras de medir la eficiencia.
A partir de la base de datos suministrada por el DNP y el panel municipal del CEDE, se
construyeron tres modelos de frontera estocástica para medir la eficiencia en los sectores de:
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calidad educativa, régimen subsidiado y agua potable. Los demás sectores como matrícula
educativa y plan ampliado de inmunizaciones (PAI) no pudieron desarrollarse pues en el primer
caso no se pudo llegar a un modelo que convergiera estadísticamente a través del método de
máxima verosimilitud y en el segundo caso la variable de inmunobiológicos se encontraba
incompleta, por lo que no se podía aplicar un análisis de tipo panel adecuado. Por ende, lo que se
expone a continuación, son una serie de modelos propuestos para medir la eficiencia en los sectores
descritos anteriormente y con una especificación distinta que permita aplicar el SFA en el horizonte
de tiempo más largo posible. Posteriormente en la sección de Resultados y Análisis se realiza una
prueba de especificación sobre los modelos escogidos de acuerdo con Pregibon (1979).
5.1 Especificación y descripción de los modelos:
a. Calidad educativa:
ln(𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠_𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑖𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1ln (𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠_𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑓ó𝑛𝑖𝑡) +
𝛽2ln (𝑆𝐺𝑃_𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛_𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑡) + 𝛽3ln (𝑚2_𝑎𝑢𝑙𝑎𝑖𝑡) + 𝑣𝑖𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 (3.1)
En este caso, la especificación del modelo es bastante similar a la del DNP. Con la excepción de
que se incluye la variable de metros cuadrados de aula y se reemplaza la inversión del gobierno
por el total de transferencias para educación correspondientes al SGP. Esto último se hizo con la
finalidad de tener una base de datos más completa y para más años.
b. Régimen subsidiado:
ln(𝑎𝑓𝑖𝑙𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠𝑖𝑡) = 𝛾0 + 𝛾1ln (𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛_𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡) + 𝛾2ln (𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠_𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠𝑖𝑡) +
𝛾3ln (𝑠𝑒𝑑𝑒𝑠𝑖𝑡) + 𝑣𝑖𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 (3.2)
En este caso, se tomó la misma especificación del modelo propuesto por el DNP y adicionalmente
se agregó la variable sedes. Esta última mide la cantidad de sedes de prestadoras de servicios de
salud pública existentes dentro del municipio.
20
c. Agua potable:
ln(𝑣𝑖𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠𝑖𝑡) = 𝜃0 + 𝜃1ln (𝑆𝐺𝑃_𝑎𝑔𝑢𝑎𝑖𝑡) + 𝜃2ln (𝑚3_𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑖𝑡) + 𝜃3ICA𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 (3.3)
Este caso se propuso un modelo cuya variable dependiente fuera el número de viviendas
conectadas. A diferencia de la especificación del DNP, la variable de m3 de agua producida se
toma como variable explicativa mas no explicada. Esto debido, a que la cantidad de agua producida
al interior del municipio sirva como insumo para los hogares. Adicionalmente se incorpora la
variable de índice de calidad de agua3 (ICA) como un insumo más, pues tiene sentido que la calidad
del agua afecte de manera positiva el acceso de las viviendas y viceversa. Por último, se tomaron
las transferencias del SGP para agua potable, con la finalidad de tener una base de datos más
completa y para más años.
5.2 Variables que afectan la media de la ineficiencia: Los modelos de frontera estocástica
permiten controlar por factores que hacen que cada unidad productiva, o en este caso, cada
municipio, sea más / menos ineficiente a la hora de producir cada bien público. Por este motivo,
se tomaron ciertas características geográficas y demográficas de cada municipio que podrían tener
un efecto sobre la eficiencia. En este caso, se tomaron las siguientes variables:
• Distancia a la capital: Distancia lineal a la capital del departamento (km).
• Índice de ruralidad: Relación entre la población rural y la población total.
Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑟𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑢𝑟𝑎𝑙
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
• Porcentaje de ingresos de transferencias: Peso relativo de los ingresos de transferencias sobre
el total de fuentes de financiación.
% 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 =𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Por lo tanto, el modelo propuesto para la media de la ineficiencia es:
3 O de manera análoga: IRCA re-escalado.
21
𝜇𝑖𝑡 = 𝛿0 + 𝛿1𝑖𝑛𝑔_𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝛿2𝑑𝑖𝑠_𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 + 𝛿3𝑖𝑛𝑑_𝑟𝑢𝑟𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 + 𝑤𝑖𝑡 (4.1)
El objetivo de incluir estas variables se sustenta en la hipótesis de que municipios más alejados de
la capital del departamento tienden a ser más ineficientes de facto. Esto debido a que tienen
desventajas geográficas que dificultan el acceso a servicios básicos tales como: energía eléctrica,
alcantarillado, carreteras, telecomunicaciones, etc, y por ende, se esperaría que fueran más
ineficientes. Por otro lado, la variable de índice de ruralidad pretende incorporar las brechas
existentes entre los municipios rurales y urbanos. Por lo que se esperaría que municipios rurales
sean más ineficientes que los municipios urbanos. Por último, también se quiere indagar acerca
del efecto que tienen las transferencias sobre la eficiencia. En teoría, se espera que este tipo de
políticas redistributivas contribuyan al desarrollo de los municipios, no obstante, la alta
dependencia de estos rubros puede afectar los incentivos que tiene cada administración para hacer
un buen uso de sus recursos. Por estos motivos, se pretende estudiar si la dependencia en las
transferencias tiene un efecto positivo (o negativo) sobre la eficiencia en los sectores de interés.
Cabe aclarar que, en el caso de agua potable, no se tomó el índice de ruralidad como variable
explicativa de la ineficiencia. Esto debido a que la naturaleza de las variables de viviendas
conectadas y m3 de agua producida, estaba únicamente para zona urbana y centros poblados.
5.3 Variables que afectan el impacto de choques aleatorios: Con el fin de introducir algún tipo
de heteroscedasticidad al modelo de frontera, se propone utilizar como variable de control, la
densidad poblacional de cada municipio. Esto con el fin de reconocer que la magnitud con la cual
los municipios se ven afectados por choques aleatorios no es igual si el municipio es pequeño a si
es grande. Se escogió la variable densidad, pues esta mide la relación entre la población total y el
área oficial del municipio en km2, y por tanto, permite caracterizar el tamaño de cada municipio
en función de sus pobladores y de su tamaño (área geográfica).
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Á𝑟𝑒𝑎 (𝑘𝑚2)
𝜎𝑖𝑡2 = 𝜌0 + 𝜌1𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑖𝑡 (4.2)
22
Resultados y Análisis
6. Estadísticas descriptivas: A continuación, se muestran los cuadros de estadística descriptiva
para las variables escogidas de los modelos propuestos en la sección anterior. La base de datos fue
previamente depurada por el DNP con el fin de tener datos completos y consistentes.
a. Educación:
Cuadro 1: Estadística descriptiva para el modelo de calidad educativa.
Variables Obs. Media Desv-est. Min Máx.
alumnos_calidad 8,670 209.6933 1243.223 1 42174
docentes_escalafon 8,672 194.1652 895.8394 0 30472
SGP_educacion 8,674 7.47e+09 5.65e+10 1.36e+07 1.67e+12
m2_aula 8,587 12063.95 67753.31 25 3449136
b. Salud:
Cuadro 2: Estadística descriptiva para el modelo de régimen subsidiado.
Variables Obs. Media Desv-est. Min Máx.
subsidiado 7,572 20243.44 67943.91 0 1681822
inversion_regimen 7,314 8218.166 30818.46 131 951328.1
gastos_servicios 4,814 1461.942 17183.65 .006 846462.3
sedes 4,997 3.909145 11.32749 1 248
c. Agua potable:
Cuadro 3: Estadística descriptiva para el modelo de agua potable.
Variables Obs. Media Desv-est Min. Máx
viviendas 6,221 9445.95 73776.28 32 2118177
m3_agua 6,179 4441325 4.39e+07 426 2.40e+09
SGP_agua 8,674 1.06e+09 3.41e+09 1.30e+08 1.18e+11
ica 8,509 .7592325 .2211947 0 1
Una vez expuesta la especificación de los modelos de frontera y los supuestos subyacentes sobre
las variables de eficiencia y heteroscedasticidad, se procede a estimar cada modelo panel. Esto con
23
el fin de estimar los puntajes de eficiencia de cada municipio y ver la tendencia que ha habido
durante los últimos años para cada sector.
Tal como lo indica la teoría económica, las variables de input deberían tener un signo positivo,
pues la función de producción debe ser creciente sobre los factores. Los estimadores de cada
variable, representan la elasticidad del factor sobre la variable de respuesta. El objetivo de hacer
estas estimaciones es analizar que variables tienen mayor impacto sobre el producto final y si las
variables escogidas para explicar la ineficiencia media tienen un impacto (o no) sobre los
municipios. Una vez interpretados los resultados, se procede a revisar los resultados obtenidos para
los puntajes de eficiencia. A continuación, se presentan los resultados de los modelos propuestos.
7. Resultados de los modelos:
a. Calidad educativa:
Tabla 1.1: Modelo SFA de calidad educativa.
(1) (2) (3) (4)
VARIABLES Frontier Mu Usigma Vsigma
ln_docentes_escalafon 0.324***
(0.0105)
ln_SGP_educaciontot 0.367***
(0.00774)
ln_m2_aula 0.155***
(0.0120)
indrural 1.141***
(0.183)
discapital 0.00728***
(0.000720)
ing_trans 0.0750***
(0.00789)
densidad -7.23e-05**
(2.90e-05)
Constant -5.368*** -7.916*** 0.236** -1.672***
(0.115) (0.921) (0.0958) (0.0433)
Observations 8,573 8,573 8,573 8,573
Number of Cod_muni 1,101 1,101 1,101 1,101
Standard errors in parentheses
*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1
24
El modelo de calidad educativa utiliza información proveniente de un panel desbalanceado de 1101
municipios a lo largo del periodo 2006-2016, con un valor promedio de 7.8 años de información
por municipio. Interpretando los resultados del modelo, es posible notar que las variables de input
tienen un signo positivo (consistente con la teoría económica) y altamente significativas. En ese
orden de ideas, se puede observar que la calidad educativa es altamente dependiente de las
transferencias en educación del SGP, lo cual tiene sentido, pues es la inversión total es el rubro
más importante en cualquier sector. En segundo lugar, es posible notar que el impacto de los
docentes de escalafón alto tiene una alta importancia en lo que corresponde a buenos resultados en
la prueba SABER, por encima de la cantidad de infraestructura educativa. Por lo que una buena
asignación de recursos en pro de la calidad educativa debería estar centrada en la formación de
docentes de calidad, con el fin de un buen desempeño en las pruebas de Estado.
Respecto a las variables de ineficiencia, se puede observar que todas estas son altamente
significativas y de signo positivo, por lo que es posible concluir que estas variables contribuyen a
que ciertos municipios sean más ineficientes en el uso de sus recursos. Observando la magnitud
de los coeficientes estimados, es posible observar que los municipios son más sensibles al índice
de ruralidad, después al porcentaje de transferencias, y por último, a la distancia de la capital del
departamento. El hecho de que estas variables hayan presentado estos resultados muestra que
municipios rurales y lejanos a la capital tienen una clara desventaja en términos de calidad
educativa, frente a los principales municipios del país. Esto muestra indicios de que la brecha en
términos de calidad educativa no se ha cerrado lo suficiente durante los últimos años y por el
contrario, puede que haya ha aumentado. Por último, municipios con una alta dependencia en las
transferencias, muestran pobres incentivos para el manejo de sus recursos. Por lo que una alta
cantidad de transferencias no ha sido beneficiosa para cerrar las brechas en términos de calidad
educativa.
25
Tabla 1.2: Estadística descriptiva para los puntajes de eficiencia (u1) del modelo de calidad
educativa.
Tal como se puede observar en tabla 1.2, los puntajes de eficiencia predichos (u1) están entre el
1% a 95.45% para los años estudiados. Este es uno de los temas más importante a la hora de revisar
el modelo, pues valores muy pequeños podrían indicar que el modelo no predice adecuadamente
los puntajes de eficiencia, pues los resultados correspondientes a estas observaciones estarían
asociados al ruido aleatorio y no al uso de inputs. En este orden de ideas, si se tomará el puntaje
mínimo predicho igual a 1%, se tendría que el 99% restante es igual a ruido aleatorio. Revisando
con más detalle los municipios que tuvieron puntajes demasiado bajos (<5%), fue posible observar
que estos municipios tenían un número relativamente estable de alumnos con calificación superior,
pero en un año cualquiera tuvieron una cantidad casi nula de estudiantes con puntajes altos para la
cantidad de docentes de calidad, infraestructura y recursos transferidos. Por lo que el modelo
interpreta estos resultados atípicos como ruido aleatorio en su mayoría. En el caso de educación
esto es plausible, pues hay factores no observables que pueden influir negativamente en los
puntajes finales obtenidos el día de la prueba; a pesar de que los recursos para calidad educativa
estuviesen disponibles durante ese año. A la hora de contrastar estos resultados con los informes
del DNP, es posible observar que la entidad también presenta unos resultados atípicos para ciertos
años. En síntesis, a pesar de que los puntajes correspondan a ruido aleatorio en un pequeño número
de observaciones, se concluye que esto es plausible, dado que pueden existir choques aleatorios
no observables en los que un número muy reducido de estudiantes tenga un puntaje superior en
relación con otros años.
Tomando por ejemplo el municipio con menor puntaje: 1.008%, predicho en la muestra de 2010
(Timbiquí, Cauca) y comparado con otro de los municipios con mayor puntaje: 90.492% (Cajicá,
Cundinamarca). Es posible entender la intuición detrás de los resultados obtenidos al realizar este
tipo de análisis comparativo entre municipios:
u1 8,573 61.04332 20.58974 1.00895 95.45261
Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
26
Gráfica 2.1: Gráfico de barras comparativo entre Cajicá y Timbiquí (1).
Fuente: Elaboración propia.
Gráfica 2.2: Gráfico de barras comparativo entre Cajicá y Timbiquí (2).
Fuente: Elaboración propia.
351 155
8634
1 125
11329
05
,00
01
0,0
00
CAJICA (CUNDINAMARCA) TIMBIQUI (CAUCA)
alumnos_calidad docentes_escalafón
m2_aula
7.6e+08
1.1e+09
05
.0e
+08
1.0
e+
09
me
an
of S
GP
_e
du
ca
cio
nto
t
CAJICA (CUNDINAMARCA) TIMBIQUI (CAUCA)
SGP_educación
27
Gráfica 2.3: Gráfico de barras comparativo entre Cajicá y Timbiquí (3).
Fuente: Elaboración propia.
Por último, se realiza una prueba de forma funcional con el fin de verificar si el modelo está
correctamente especificado. La prueba realizada es aplicable a cualquier modelo de ecuación única
de acuerdo con las ideas de Tukey (1949) y principalmente Pregibon (1979) y basa su hipótesis en
la significancia de �̂�2. Al realizar esta regresión auxiliar se determina si la variable �̂�2 es
estadísticamente significativa, en caso afirmativo, es posible concluir que hay evidencia para
afirmar que la forma funcional del modelo no es adecuada. Se realiza la prueba linktest en STATA
con el fin de verificar lo anterior:
Tabla 1.3: Test de forma funcional del modelo de calidad educativa.
Al observar el resultado de la tabla anterior es posible concluir que dada la significancia de �̂�2 hay
evidencia estadística para afirmar que el modelo tiene problemas de forma funcional. Una de las
posibles hipótesis con respecto a las variables que puedan generar el problema de especificación
tiene que ver con la variable de docentes de escalafón alto. Pues es posible que sea necesario
94.1642
17.4427
.384364
120.135
90.1998
.818401
05
01
00
150
CAJICA (CUNDINAMARCA) TIMBIQUI (CAUCA)
discapital ing_trans
indrural
28
incorporar dentro del modelo la información correspondiente a la cantidad de docentes que no son
de escalafón alto4, o bien, la proporción5 de docentes de escalafón alto sobre el total de docentes
vinculados al sector oficial. Otra razón plausible es el problema de variable omitida, pues puede
haber variables tales como: acceso a útiles escolares o alimentación escolar, que podrían ser
relevantes a la hora explicar el logro en calidad educativa. Por otro lado, con el fin de revisar
formas funcionales diferentes a la lineal, se proponen también formas cuadráticas dentro de las
variables explicativas. Por ejemplo, algunas especificaciones alternativas que permitan solucionar
el problema incluyen:
Forma funcional alternativa 1:
ln(𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠_𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑖𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1ln (𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠_𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑓ó𝑛𝑖𝑡) + 𝛽2ln (𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠_𝑛𝑜_𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑓ó𝑛𝑖𝑡) +
𝛽3ln (𝑆𝐺𝑃_𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛_𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑡) + 𝛽4ln (𝑚2_𝑎𝑢𝑙𝑎𝑖𝑡) + 𝛽5[ln (𝑚2_𝑎𝑢𝑙𝑎𝑖𝑡)]2 + 𝑣𝑖𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 (5.1)
Tabla 1.4: Modelo SFA de calidad educativa 2.
(1) (2) (3) (4)
VARIABLES Frontier Mu Usigma Vsigma
ln_docentes_escalafon 0.407***
(0.0110)
ln_docentes_noescalafon 0.147***
(0.00810)
ln_SGP_educaciontot 0.271***
(0.00990)
ln_m2_aula 0.202***
(0.0516)
ln_m2_aula2 -0.00666**
(0.00294)
indrural 1.106***
(0.174)
discapital 0.00760***
(0.000690)
ing_trans 0.0724***
(0.00704)
densidad -8.57e-05***
(2.82e-05)
Constant -4.239*** -7.637*** 0.238*** -1.812***
(0.310) (0.826) (0.0901) (0.0433)
Observations 8,317 8,317 8,317 8,317
Number of Cod_muni 1,101 1,101 1,101 1,101
Standard errors in parentheses
*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1
4 Forma funcional alternativa 1. 5 Forma funcional alternativa 2.
29
Se realiza nuevamente la prueba de Pregibon (1979) y se observa que no hay evidencia estadística
para rechazar la hipótesis nula.
Tabla 1.5: Test de forma funcional del modelo de calidad educativa
Forma funcional alternativa 2:
ln(𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠_𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑖𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛_𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑡 + 𝛽2ln (𝑆𝐺𝑃_𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛_𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑡) +
𝛽3[ln (𝑆𝐺𝑃_𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛_𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑡)]2 + 𝛽4ln (𝑚2_𝑎𝑢𝑙𝑎𝑖𝑡) + 𝑣𝑖𝑡 − 𝑢𝑖𝑡 (5.2)
Tabla 1.6: Modelo SFA de calidad educativa 3.
(1) (2) (3) (4)
VARIABLES Frontier Mu Usigma Vsigma
proporción 0.403***
(0.0315)
ln_SGP_educaciontot 1.743***
(0.0782)
ln_SGP_educaciontot2 -0.0287***
(0.00179)
ln_m2_aula 0.247***
(0.0117)
indrural 1.510***
(0.197)
discapital 0.00870***
(0.000744)
ing_trans 0.0712***
(0.00697)
densidad 0.000164***
(3.70e-05)
Constant -20.98*** -7.931*** 0.272*** -1.681***
(0.817) (0.849) (0.0902) (0.0423)
Observations 8,555 8,555 8,555 8,555
Number of Cod_muni 1,101 1,101 1,101 1,101
Standard errors in parentheses
*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1
30
Se realiza nuevamente la prueba de Pregibon (1979) y se observa que no hay evidencia estadística
para rechazar la hipótesis nula.
Tabla 1.7: Test de forma funcional del modelo de calidad educativa.
En síntesis, lo que se buscaba con este ejercicio era mostrar que es posible encontrar formas
funcionales que pasen el link test, no obstante, queda para discusión si realmente es necesario
utilizar este tipo de modelos más complejos. Pues el enfoque metodológico que planteaba el trabajo
al inicio y los objetivos del proyecto pretendían implementar un enfoque similar al del DNP. Por
otro lado, con mayor complejidad añadida, la intuición y el poder explicativo de cada variable
independiente puede llegar a ser discutible. Por último, en este caso se presentan dos modelos
alternativos, pero no es de particular interés para este trabajo encontrar todas las formas
funcionales posibles o determinar cuál es el mejor modelo de estos dos. Siendo así, los resultados
se limitarán a utilizar la especificación inicial, aunque se hace la salvedad respectiva como una
posible limitación del modelo escogido.
31
b. Régimen subsidiado:
Tabla 2.1: Modelo SFA para régimen subsidiado.
(1) (2) (3) (4)
VARIABLES Frontier Mu Usigma Vsigma
ln_inversion_regimen 0.769***
(0.00699)
ln_gastos_servicios 0.0363***
(0.00293)
ln_sedes 0.131***
(0.00773)
indrural 0.608***
(0.115)
discapital -0.000411
(0.000253)
ing_trans -0.00973***
(0.00157)
densidad 0.000154***
(3.63e-05)
Constant 2.783*** 0.450*** -2.545*** -2.234***
(0.0646) (0.0652) (0.229) (0.0634)
Observations 4,738 4,738 4,738 4,738
Number of Cod_muni 1,066 1,066 1,066 1,066
Standard errors in parentheses
*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1
El modelo de régimen subsidiado utiliza información proveniente de un panel desbalanceado de
1066 municipios a lo largo del periodo 2010-2015, con un valor promedio de 4.4 años de
información por municipio. Interpretando los resultados del modelo, es posible notar que las
variables de input tienen un signo positivo (consistente con la teoría económica) y altamente
significativas. En ese orden de ideas, se puede observar que la cantidad de afiliados al régimen
subsidiado es altamente dependiente a la cantidad de recursos invertidos en sector, lo cual tiene
sentido, pues es la inversión total es el rubro más importante en cualquier sector. En segundo lugar,
es posible notar que el impacto de las sedes prestadoras de servicios de salud pública tiene un
impacto mayor que los gastos en servicios destinados a las labores de focalización, aseguramiento
e interventoría de los contratos de régimen subsidiado. Por lo que el gobierno debería destinar una
mayor cantidad de recursos a la infraestructura de salud pública.
Respecto a las variables de ineficiencia, se puede observar que la variable de distancia a la capital
32
no es factor que influya estadísticamente sobre la ineficiencia. Mientras que las demás variables
(índice de ruralidad y porcentaje de transferencias) si son altamente significativas. En este sector,
se tiene un resultado interesante, pues muestra que las transferencias han tenido un efecto positivo
sobre el régimen subsidiado pues municipios con mayor dependencia en las trasferencias han
tenido incentivos para lograr un buen uso de sus recursos. No obstante, es posible notar que existe
evidencia estadística para sustentar que municipios rurales siguen teniendo dificultades en
términos de la cantidad de personas afiliadas al régimen subsidiado, dada la cantidad de recursos.
Tabla 2.2: Estadística descriptiva para los puntajes de eficiencia (u2) del modelo de régimen
subsidiado.
Tal como se puede observar en tabla 2.2, los puntajes de eficiencia predichos (u2) están entre el
42.67% a 97.52% para los años estudiados. Este es uno de los temas más importante a la hora de
revisar el modelo, pues valores muy pequeños podrían indicar que el modelo no predice
adecuadamente los puntajes de eficiencia, pues los resultados correspondientes a estas
observaciones estarían asociados al ruido aleatorio y no al uso de inputs. En este orden de ideas,
no hay evidencia para afirmar que el modelo presente problemas en sus estimaciones.
Se realiza la misma prueba link test de Pregibon (1979) con el fin de verificar problemas de forma
funcional:
Tabla 2.3: Test de forma funcional del modelo de régimen subsidiado.
Se concluye a partir de la prueba anterior que no existe evidencia estadística, bajo una significancia
del 5%, para afirmar que el modelo de régimen subsidiado tenga problemas de forma funcional.
u2 4,738 78.05578 9.126525 42.67461 97.52378
Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
33
c. Agua potable:
Tabla 3.1: Modelo SFA de agua potable.
(1) (2) (3) (4)
VARIABLES Frontier Mu Usigma Vsigma
ln_m3_agua 0.219***
(0.00657)
ln_SGP_agua 1.055***
(0.0159)
ica 0.340***
(0.0487)
discapital 0.00182***
(0.000192)
ing_trans 0.0175***
(0.000690)
densidad -7.53e-05**
(3.14e-05)
Constant -16.16*** -0.453*** -8.810 -0.557***
(0.307) (0.122) (9.762) (0.0197)
Observations 5,635 5,635 5,635 5,635
Number of Cod_muni 1,075 1,075 1,075 1,075
Standard errors in parentheses
*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1
El modelo de calidad del agua utiliza la información proveniente de un panel desbalanceado de
1075 municipios a lo largo del periodo 2010-2016, con un valor promedio de 5.2 años de
información por municipio. Interpretando los resultados del modelo, es posible notar que las
variables de input tienen un signo positivo (consistente con la teoría económica) y altamente
significativas. En ese orden de ideas, se puede observar que la cantidad de viviendas conectadas
es altamente dependiente de las transferencias de agua potable del SGP, lo cual tiene sentido, pues
es la inversión total es el rubro más importante en cualquier sector. En segundo lugar, es posible
notar que el impacto de la calidad del agua tiene una alta importancia en lo que corresponde al
número de viviendas conectadas, por encima de la cantidad de m3 de agua producida al interior
del municipio. Esto es importante, pues muestra que son más importantes las políticas relacionadas
con buena calidad del agua, más no la cantidad producida, en términos del bienestar de la
población.
Respecto a las variables de ineficiencia, se puede observar que todas estas son altamente
significativas y de signo positivo, por lo que es posible concluir que estas variables contribuyen a
34
que ciertos municipios sean más ineficientes en el uso de sus recursos. El hecho de que estas
variables hayan presentado estos resultados muestra que municipios lejanos a la capital tienen una
clara desventaja en términos del acceso a agua potable, frente a los principales municipios del país.
Esto muestra indicios de que la brecha en términos de acceso al agua no se ha cerrado en los
últimos años, sino que por el contrario puede que haya aumentado. Por último, municipios con una
alta dependencia en las transferencias, muestran pobres incentivos para el buen manejo de sus
recursos. Por lo que una alta cantidad de transferencias no ha sido beneficiosa para cerrar las
brechas en términos de acceso a agua potable.
Tabla 3.2: Estadística descriptiva para los puntajes de eficiencia (u3) del modelo de agua potable.
Tal como se puede observar en tabla 3.2, los puntajes de eficiencia predichos (u3) están entre el
16.02% a 99.96% para los años estudiados. Este es uno de los temas más importante a la hora de
revisar el modelo, pues valores muy pequeños podrían indicar que el modelo no predice
adecuadamente los puntajes de eficiencia, pues los resultados correspondientes a estas
observaciones estarían asociados al ruido aleatorio y no al uso de inputs. En este orden de ideas,
no hay evidencia para afirmar que el modelo presente problemas en sus estimaciones.
Se realiza la misma prueba link test de Pregibon (1979) con el fin de verificar problemas de forma
funcional:
Tabla 3.3: Test de forma funcional del modelo de agua potable.
Se concluye a partir de la prueba anterior que no existe evidencia estadística, bajo una significancia
del 5%, para afirmar que el modelo de agua potable tenga problemas de forma funcional.
u3 5,635 42.52734 15.8015 16.02844 99.96301
Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
35
8.1 Clasificación de los municipios de acuerdo con los puntajes de eficiencia: De acuerdo con
la metodología planteada por el DNP para clasificar los municipios de acuerdo con su puntaje de
eficiencia, existen 5 diferentes criterios de clasificación: crítico, bajo, medio, satisfactorio y
sobresaliente. En la siguiente tabla se muestran los rangos correspondientes a cada una de estas
clasificaciones.
Tabla 4: Rangos de clasificación de los municipios de acuerdo con sus puntajes de eficiencia.
Fuente: Departamento Nacional de Planeación (DNP).
A continuación, se muestra la evolución de las gráficas de frecuencia para cada sector estudiado.
Adicional a este análisis de frecuencias, se complementan los resultados obtenidos observando
cuáles han sido las dinámicas en algunas capitales departamentales a través del tiempo. Por último,
en la sección de anexos se encuentran las figuras a nivel departamental /municipal de los últimos
años. Esas figuras fueron elaboradas mediante el uso del programa de sistemas de información
geográfica ArcGIS.
Rango Clasificación
[0 - 40) Crítico
[40 - 60) Bajo
[60 - 70) Medio
[70 - 80) Satisfactorio
[80 - 100] Sobresaliente
36
a. Calidad educativa:
Gráfica 3.1: Clasificación de los municipios a través del tiempo para el sector de calidad
educativa.
Fuente: Elaboración propia.
Tal como se puede observar en la figura anterior, durante los años 2006 a 2008 el comportamiento
entre los municipios estudiados era más o menos homogéneo, no obstante, durante 2009 a 2013 se
puede observar que hay un aumento notable en la ineficiencia, pues los resultados obtenidos por
los estudiantes no reflejan la cantidad de recursos asignados por el gobierno. Durante los últimos
tres años (2014-2016) ha habido una notable mejoría en la eficiencia de calidad educativa, pues la
cantidad de municipios con puntajes sobresalientes y satisfactorios ha superado considerablemente
la cantidad de municipios con puntajes bajo y crítico.
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400 0 100 200 300 400
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
2006 2007 2008
2009 2010 2011
2012 2013 2014
2015 2016
frequency
37
b. Régimen subsidiado:
Gráfica 3.2: Clasificación de los municipios a través del tiempo para el sector de régimen
subsidiado.
Fuente: Elaboración propia.
Tal como se puede observar en la figura anterior, el sector de salud se caracteriza por no tener
municipios en estado crítico. Si bien esto muestra un uso favorable de recursos en términos
generales para este sector, se puede observar que la tendencia muestra un detrimento en la
eficiencia durante los últimos tres años. Por otro lado, cabe resaltar que la distribución de los
municipios se ha vuelto relativamente homogénea dentro de los diferentes rangos.
0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800
Sobresaliente
Satisfactorio
Medio
Bajo
Sobresaliente
Satisfactorio
Medio
Bajo
Sobresaliente
Satisfactorio
Medio
Bajo
Sobresaliente
Satisfactorio
Medio
Bajo
Sobresaliente
Satisfactorio
Medio
Bajo
Sobresaliente
Satisfactorio
Medio
Bajo
2010 2011 2012
2013 2014 2015
frequencyGraphs by Año
38
c. Agua potable:
Gráfica 3.3: Clasificación de los municipios a través del tiempo para el sector de agua potable.
Fuente: Elaboración propia.
Tal como se puede observar en la figura anterior, el sector de agua potable se caracteriza por ser
altamente ineficiente y no mostrar ninguna mejoría en la asignación de recursos durante el periodo
2010-2016. Adicionalmente, es posible concluir que no existen indicios que muestren que las
brechas a nivel municipal se estén cerrando pues hay municipios que mantienen la eficiencia a
través del tiempo, mientras que otros no han podido salir de estas trampas de pobreza. La gráfica
indica que los municipios podrían alcanzar un nivel de bienestar más alto para la cantidad de
recursos transferidos en infraestructura, calidad de agua, etc. Por lo que hay una alta desigualdad
dentro de este sector a simple vista.
8.2 Análisis gráfico de los resultados:
A continuación, se muestra la tendencia de las seis principales ciudades del país: Bogotá, Cali
(Valle del Cauca), Medellín (Antioquía), Barranquilla (Atlántico), Bucaramanga (Santander) y
Cartagena (Bolívar). Adicionalmente se realiza el mismo gráfico de tendencia para otras capitales
0 200 400 600 0 200 400 600
0 200 400 600
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
SobresalienteSatisfactorio
MedioBajo
Crítico
2010 2011 2012
2013 2014 2015
2016
frequency
39
departamentales: Leticia (Amazonas), Riohacha (La Guajira), Puerto Carreño (Vichada), Arauca
(Arauca), Mocoa (Putumayo), Florencia (Caquetá), Mitú (Vaupés). Esto con el fin de observar si
hay desigualdades importantes entre estas capitales departamentales y si dichas brechas se han
cerrado o por el contrario, ampliado.
a. Calidad educativa:
Gráfica 4.1: Tendencia de las principales ciudades del país en calidad educativa.
Fuente: Elaboración propia.
Tal como se puede observar a partir de la gráfica 6.1, algunas de las ciudades estudiadas comienzan
en niveles de eficiencia menores al 80%: Cartagena (satisfactorio), Barranquilla (Bajo-Medio) y
Cali (crítico-satisfactorio) durante el periodo 2006-2013 aproximadamente. Las demás ciudades:
Bogotá, Medellín y Bucaramanga muestran una senda mucho más estable superior al 80%
(sobresaliente). En ese orden de ideas, el patrón más importante que muestra la gráfica es una
convergencia en las principales ciudades del país en términos de los alcances de la calidad
educativa, pues a partir de 2014, los puntajes de todas las ciudades alcanzan niveles altos de
eficiencia.
40
Gráfica 4.2: Tendencia de otras capitales departamentales del país en calidad educativa.
Fuente: Elaboración propia.
Al comparar los resultados anteriores con la gráfica para otras capitales departamentales, es posible
notar que existe una brecha importante frente a las ciudades más importantes del país. En este caso,
sólo ciudades como Mocoa mantienen consistentemente un puntaje sobresaliente, mientras que las
demás ciudades tienen puntajes críticos-bajos: Riohacha, Florencia, Mitú y sólo Puerto Carreño,
Arauca y Leticia presentan puntajes medios-satisfactorios durante el periodo 2006-2013. Si bien a
partir de 2014 hay una tendencia que muestra un aumento en la eficiencia a niveles bajo-medios
de los municipios más vulnerables y un aumento a niveles sobresalientes de los municipios que
estaban en niveles medio-satisfactorios, es posible concluir que las brechas existentes en calidad
educativa no se están cerrando lo suficientemente rápido dada la cantidad de recursos que están
disponibles para estas entidades territoriales. Si se considera que estos municipios son las capitales
de los departamentos y que hay evidencia estadística para afirmar que los municipios más rurales
y alejados de la capital están predispuestos a ser más ineficientes, es razonable suponer que estos
se encontrarán en situaciones aún peores que las respectivas capitales de sus departamentos. En
ese orden de ideas, si bien las gráficas muestran que las brechas en materia de calidad educativa
se están cerrando, esta mejoría en desigualdad no se está cerrando lo suficientemente rápido. Los
demás municipios de estos departamentos no aspirarán a estar en mejores condiciones que las
capitales respectivas, dados los resultados del modelo.
41
b. Régimen subsidiado:
Gráfica 5.1: Tendencia de las principales ciudades del país en régimen subsidiado.
Fuente: Elaboración propia.
Tal como se puede observar a partir de la gráfica 7.1, el patrón que muestran todas las ciudades es
una caída acelerada en los niveles de eficiencia, especialmente en lo que concierne a Bogotá,
Bucaramanga, Cali. Mientras que las ciudades que menos se han visto afectadas son Barranquilla
y Cartagena. En término generales, lo que muestra la gráfica es que a principios de 2010, la
mayoría de las ciudades (a excepción de Medellín) presentaban puntajes sobresalientes de
eficiencia, pero que durante los siguientes 4 años, el manejo de recursos ha empeorado hasta llegar
a niveles medio-satisfactorios.
Gráfica 5.2: Tendencia de otras capitales departamentales del país en régimen subsidiado.
42
Al comparar los resultados anteriores con la gráfica para otras capitales departamentales, es posible
notar que la tendencia es la misma, pues existe una caída generalizada en los niveles de eficiencia.
Sin embargo, la gráfica revela un patrón interesante. Si bien es cierto que los niveles de eficiencia
han caído, el impacto que ha tenido este fenómeno es menor cuando se compara con los resultados
del gráfico anterior, pues en este caso, la mayoría de las ciudades que empezaron con puntajes
sobresalientes terminan en niveles sobresalientes o casi sobresalientes (a excepción de Puerto
Carreño). Dados los resultados que arroja el modelo, en los cuales se encontró que: 1) la variable
de distancia a la capital no era significativa y que 2) el efecto de las transferencias es positivo.
Resulta razonable suponer que la brecha existente entre estos departamentos se está cerrando; a
pesar de la tendencia negativa generalizada en este sector durante los últimos 4 años.
c. Agua potable:
Gráfica 6.1: Tendencia de las principales ciudades del país en agua potable.
Fuente: Elaboración propia.
Tal como lo muestra la gráfica 8.1, las ciudades de Bogotá y Medellín muestran un nivel excelente
de eficiencia (≈100%) que se mantiene constante a través del tiempo, mientras que las demás
ciudades (a excepción de Cartagena) presentan un comportamiento más volátil acotado entre
niveles satisfactorio y sobresaliente de eficiencia. La ciudad con peor comportamiento es
Cartagena, con valor medio de acceso a agua potable. En síntesis, las principales ciudades del país
tienen un nivel alto de bienestar en lo que concierne a agua potable.
43
Gráfica 6.2: Tendencia de otras capitales departamentales del país en agua potable.
Fuente: Elaboración propia.
Cuando se comparan los resultados de la gráfica 8.2 con los resultados anteriormente, es posible
concluir que existe una brecha importante entre las capitales departamentales. En este caso,
ninguna de las ciudades mostradas muestra un nivel sobresaliente y tampoco existe ninguna
tendencia que permita indicar una mejora generalizada en este sector, por el contrario, lo que se
ve realmente es una alta volatilidad en la cual la mayoría de las ciudades están en niveles críticos
o cercanos a críticos. Mientras que en segunda medida, ciudades como Leticia, Arauca y Puerto
Carreño se encuentran en valores medios. En ese orden de ideas y dados los resultados del modelo,
en el cual se mostró que existía evidencia estadística para afirmar que municipios más rurales,
alejados y altamente dependientes de las transferencias tienen predisposiciones a ser más
ineficientes; es razonable suponer que estas entidades territoriales se encontrarán en situaciones
aún peores que las respectivas capitales de sus departamentos. En conclusión, no hay ninguna
evidencia que permita concluir acerca de un acceso más equitativo a agua potable durante los
últimos 6 años. Por el contrario, lo que muestra el análisis realizado hasta el momento dentro de
este sector, es que no han ocurrido cambios significativos. Municipios sin acceso a agua potable
no han tenido mejoras en su bienestar con relación a las grandes ciudades del país.
44
9. Consideraciones finales:
a. Calidad educativa: El modelo de educación propuesto asocia la calidad educativa con puntajes
medio, superior y muy superior en los exámenes del ICFES, no obstante, existen otras métricas
que permiten evaluar la calidad educativa en Colombia. Siendo el estándar internacional entre
países, las pruebas PISA. De acuerdo con el Ministerio de Educación (2018): “la Organización
para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) reconoció a Colombia como el sexto
sistema educativo que más rápido está mejorando, entre los 72 que presentaron esta prueba.” Por
lo que eventualmente resultaría interesante comparar los avances en calidad educativa utilizando
métricas tanto nacionales como internacionales. Adicionalmente, ha habido un esfuerzo
importante por parte del Ministerio de Educación en conservar por lo menos el mismo nivel de
logro académico año a año. Tanto así que los resultados en las pruebas SABER 11 de 2017
mantuvieron el mismo nivel de logro que el año pasado (2016).
En materia de política pública de los últimos años, cabe destacar el programa “Ser Pilo Paga” por
parte del Gobierno Nacional en 2014, el cual busca incorporar a estudiantes con los puntajes más
altos en las pruebas de Estado en programas de educación superior de calidad. Este tipo de políticas
han servido como un incentivo importante para que estudiantes del sector oficial obtengan
resultados sobresalientes en estas pruebas. Lo cual podría explicar por qué los resultados muestran
una mejora significativa a partir de 2014. Con el cambio de gobierno, el programa de Ser Pilo Paga
será sustituido por el programa Generación-E, el cual tiene los mismos pilares que el programa
anterior, con la diferencia que aumentará los puntajes de admisión en las pruebas de Estado y
buscará un acceso más equitativo a la educación superior, tanto pública como privada. De acuerdo
con María Victoria Ángulo, ministra de educación: “una de las falencias de Ser Pilo Paga era su
poca presencia en las regiones, pues estaba enfocado en las ciudades capitales y en las cabeceras
municipales. Esta es una situación que Generación-E buscará remediar con un trabajo más
enfocado en las zonas rurales del país.” (El Tiempo, 2018).
Los resultados del trabajo muestran que efectivamente las brechas en materia de calidad educativa
se están cerrando lentamente, por lo que se ha mostrado que este tipo de políticas son altamente
efectivas en materia de incentivos para fomentar la calidad educativa. Si bien las brechas se están
cerrando, aún existe una importante disparidad regional en términos del logro educativo en las
45
pruebas de Estado, especialmente en la región del Pacifico6 (Chocó, Cauca, Valle del Cauca y
Nariño). Esto ha motivado al gobierno a impulsar semilleros de becarios para “Ser Pilo Paga”, con
el fin de aumentar el número de becarios en esta región del país. Pues a pesar de haber bajado el
umbral para acceder a las becas en esta región, el número de becarios sigue siendo mucho menor
comparado al de otras regiones del país (Mera, 2017).
Finalmente, la calidad educativa es una herramienta fundamental en temas de movilidad social,
aunque tal como lo plantea el programa de becarios a futuro, debe existir un esfuerzo por parte del
Estado en ofrecer las mismas oportunidades a las zonas rurales del país y regiones con dificultades
persistentes en materia de logro educativo. Pues como lo demostró el trabajo, estas entidades
territoriales poseen predisposiciones inherentes a ser más ineficientes que aquellas localizadas en
ciudades capitales y cabeceras municipales.
6 Véase la figura 2 en la sección de Anexos.
46
b. Régimen subsidiado: El análisis de frontera estocástica realizado en materia de afiliación a
régimen subsidiado, muestra una caída generalizada en los niveles de eficiencia durante los últimos
años, especialmente para Bogotá y Medellín. Al tener estos resultados, se podría llegar a pensar
que las tasas de cobertura han bajado durante los últimos años, no obstante, al observar la siguiente
gráfica es posible notar cómo ha sido la evolución en este sector durante los últimos 11 años para
régimen subsidiado (RS) y régimen contributivo (RC):
Gráfica 7: Evolución del número de afiliados al SGSSS7 por régimen (millones) y de la cobertura
(%).
Fuente: Estudio de sostenibilidad del aseguramiento en salud para el año 2017 - Ministerio de
Salud y Protección Social.
Al observar la gráfica anterior, es posible notar que el sistema de salud alcanza cifras de cobertura
universal técnica8, donde la mayoría de las personas afiliadas pertenecen al régimen subsidiado
con relación a aquellas dentro del régimen contributivo. De acuerdo con el estudio de
sostenibilidad del aseguramiento en salud para el año 2017: “Esta estructura de afiliación
7 Sistema General de Seguridad Social en Salud. 8 La cobertura técnica hace referencia a la proporción de la población que efectivamente es objeto de aseguramiento
en salud.
47
determina un reto y un desafío para la sostenibilidad financiera del sistema, en especial para los
recursos fiscales de cierre de financiación del RS, toda vez que el RC se autofinancia con los
recursos de la cotización.” (Cárdenas et al., 2016, p. 18). Con base a lo anterior y los resultados
expuestos hasta el momento, es posible afirmar que mantener tasas de cobertura tan altas tiene
importantes implicaciones sobre la sostenibilidad del sistema, y por ende, afectar el uso eficiente
de recursos en el sector salud. En síntesis, es posible argumentar que existe un trade-off entre
mantener tasas de cobertura tan altas y el uso eficiente de recursos, pues a nivel municipal (2010-
2015), ha existido una caída generalizada en los niveles de eficiencia, a pesar de que las tasas de
cobertura técnica no han bajado significativamente.
Si bien las tasas de cobertura no han caído significativamente durante los últimos años, lo que se
tiene es una serie de políticas en materia regulatoria para poder asegurar la sostenibilidad del
sistema. Cuando se entra en detalle en los informes del Ministerio de Salud y Protección Social se
puede observar que existe un esfuerzo importante por mejorar el flujo de recursos dentro del
sistema, particularmente, mediante la igualación de primas en las Unidades de Pago por Capitación
(UPC). “Dada la unificación de los planes de beneficios establecida en el Acuerdo 32 de 2012, el
Ministerio, en el modelo unificado para analizar la sostenibilidad financiera del aseguramiento en
salud, consideró la implementación de la igualación de primas de forma progresiva en un término
máximo de 3 años iniciando en el año 2013. (…) Sin embargo, la implementación gradual de la
igualación de primas a partir de 2013 incrementó el costo de manera importante para el Régimen
Subsidiado, el cual se ha venido asumiendo con las fuentes de financiación que se mencionaron
antes.” (Informe al Congreso de la República 2014-2015).
Este hecho podría explicar también, por qué ha habido una caída tan abrupta en la eficiencia de
ciudades como Bogotá y Medellín. Una posible hipótesis al respecto, es la implementación de la
Resolución 5968 del 2014. De acuerdo con el mismo informe mencionado anteriormente del
Sector Administrativo de Salud y Protección Social al Congreso de la República: “con la
Resolución 5968 del 2014, el Ministerio inició un plan piloto para Bogotá, Medellín, Cali y
Barranquilla, para igualar también los pagos que hace el Estado por los afiliados de los dos
regímenes.” Es decir, dicha resolución contempla la igualación de prima pura para la Unidad de
Pago por Capitación (UPC) del régimen subsidiado al contributivo durante dos años en estas
ciudades. Según el informe, estas ciudades deberán financiar dicha prueba piloto con recursos
48
propios o con aquellos contemplados dentro del numeral 5 del artículo 2 de la Ley 1608 de 2013.
Esta ley reglamenta la forma en la se toman medidas para mejorar la liquidez y el uso de algunos
recursos del sector salud, particularmente, dicho artículo reglamenta el uso de recursos de saldos
provenientes de las cuentas maestras. A continuación, se muestra con más detalle este aspecto
regulatorio:
Ley 1608 de 2013: Por medio de cual se adoptan medidas para mejorar la liquidez y el uso de
algunos recursos del sector salud.
Artículo 2°. Uso de los recursos de saldos de las cuentas maestras.
Numeral 5: Para financiar en los municipios y distritos categorías9 Especial, 1 y 2, pruebas piloto
que permitan hacer ajustes a la UPC del Régimen Subsidiado de Salud en la forma como lo
determine y reglamente el Ministerio de Salud y Protección Social.
Si bien los informes del Ministerio revelan que ha habido un aumento importante en el uso de
recursos para el régimen subsidiado durante los últimos años, el panorama que se tiene es positivo,
pues el número de afiliados no ha disminuido significativamente. Adicionalmente, los modelos no
muestran municipios con niveles críticos de eficiencia, a diferencia de los demás sectores
estudiados. Se concluye entonces que los niveles de eficiencia han caído, debido a que ha
aumentado el gasto en el sector, manteniendo relativamente fijas las tasas técnicas de cobertura.
No obstante, es probable que en el largo plazo se estabilice el uso de recursos, dadas las medidas
tomadas para mejorar la sostenibilidad de este y por tanto, una mejora en la eficiencia. Es
importante considerar que una de las principales barreras para lograr este objetivo, son las altas
tasas de informalidad dentro del mercado laboral colombiano; las cuales dificultan que un mayor
número de personas se afilien al régimen contributivo.
c. Agua potable: Los resultados del modelo de acceso a agua potable muestran que los municipios
no han visto mejora alguna en los niveles de acceso dada la cantidad de recursos invertidos en este
9 Los municipios en Colombia se clasifican en categorías de acuerdo con su número de habitantes y sus ingresos
corrientes de libre destinación (ICLD). Los municipios de categoría Especial, 1 y 2 son las tres clasificaciones más
altas de este esquema, debido a su alto número de habitantes e ICLD.
49
sector. Esta situación es preocupante dado que una mala calidad del agua está vinculada a más de
25 enfermedades graves, entre las cuales se encuentran: la hepatitis A, fiebre tifoidea/paratifoidea
y enfermedad diarreica aguda, de acuerdo con la Organización Mundial de la Salud (OMS). El
problema de acceso al agua no es problema de recursos hídricos, dado que Colombia posee una de
las reservas más grandes del mundo. Por el contrario, la falta de acceso es un tema directamente
asociado a una mala asignación de recursos, tal como lo muestran los resultados del modelo. De
acuerdo con el Viceministerio de agua y saneamiento básico, en Colombia no ha existido una
política pública constante durante los últimos 20 años, por lo que actualmente hay más de 3
millones de habitantes en el sector rural sin acceso a agua potable. (El Tiempo, 2015).
Para respaldar los resultados del trabajo, se tiene el comunicado de prensa no. 170 del 31 de agosto
de 2018 de la Contraloría General de la República (CGR) y la Auditoría de Desempeño que evaluó
el Programa Agua y Saneamiento para la Prosperidad – Planes Departamentales para el Manejo
Empresarial de los Servicios de Agua y Saneamiento PAP-PDA, en el período 2010-2017. De
acuerdo con estas fuentes:
“el programa no alcanzó los propósitos formulados en los Planes Nacionales de Desarrollo
2010-2014 y 2014 – 2018, en materia de aumento de cobertura, calidad y continuidad del
servicio público de agua potable y saneamiento básico. (…) en los resultados evaluados se
observó durante el periodo referido (2010-2017) que se tenían viabilizados proyectos de agua
potable y saneamiento básico por $4,6 billones, pese a contar con recursos por $5,7 billones.
De los $4,6 billones, los entes territoriales realizaron contratos por $3,8 billones, es decir,
que del total de recursos disponibles comprometieron realmente solo el 67%, situación
ocasionada por deficiencias técnicas en los diseños, en la gestión ambiental, en la
presentación y en la formulación de los proyectos, lo que obliga a la reformulación y por
ende genera demoras en la iniciación y ejecución de los proyectos. (…)
Según los resultados de la encuesta y los grupos focales realizados, la CGR observó que en
un número significativo de municipios (más de 300), que son prestadores directos del
servicio, existe alta rotación del nivel directivo, falta de capacitación del personal nuevo,
pérdida de la memoria institucional y de la gestión del conocimiento, intromisión política
partidista y politización en la administración territorial. Todos estos aspectos han generado
50
proyectos insuficientes e ineficientes, dado que se abandonan o no se ejecutan las iniciativas
de las anteriores administraciones, lo que ocasiona pérdida de las inversiones y
discontinuidad en la prestación del servicio.” (Comunicado de prensa no. 170, Contraloría
General de la República)
d. Sobre los supuestos del modelo de frontera estocástica: En la sección 7 se presentaron
los resultados de los modelos y hubo un esfuerzo por realizar pruebas estadísticas acerca de la
forma funcional de los mismos. Respecto a esto último, fue posible observar que los modelos
de acceso a agua potable y régimen subsidiado no presentaron problemas de acuerdo con el
criterio de Pregibon (1979), mientras que el modelo de calidad educativa sí. Otros supuestos
dentro del modelo de frontera incluyen supuestos acerca de la distribución subyacente de la
ineficiencia (u), la cual puede ser exponencial, semi-normal o normal truncada de acuerdo con
lo discutido en la sección 1. El modelo de frontera implementado bajo el marco de Battese &
Coelli (1995) asume que los puntajes de eficiencia estimados se distribuyen normal truncados.
Respecto a la validación de los supuestos correspondientes a la distribución de u, trabajos
recientes han tratado de establecer la metodología adecuada para hacer inferencia estadística
sobre la distribución subyacente de u bajo pruebas de bondad de ajuste sobre los puntajes
observados. Wang & Schmidt (2009) demuestran que la distribución observada de �̂� no
necesariamente es la misma que la distribución teórica de u. Por lo que realizar pruebas de
bondad de ajuste sobre los puntajes observados no necesariamente lleva a una correcta
interpretación sobre la distribución teórica subyacente. Esta dependerá en gran medida la
magnitud de 𝝈𝒗𝟐 y los autores concluyen que las distribuciones únicamente coinciden cuando
𝝈𝒗𝟐 → 𝟎 y que la distribución de �̂�𝒊 converge al punto de E(u) cuando 𝝈𝒗
𝟐 → ∞.
Posteriormente, Wang, Amsler & Schmidt (2011) proponen realizar pruebas de bondad de
ajuste de tipo Pearson 𝝌𝟐o Kolmogórov-Smirnov (KS) sobre 𝐸(𝑢𝑖|휀𝑖) para corregir este
problema, donde 휀𝑖 = 𝑢𝑖 − 𝑣𝑖. Las pruebas estadísticas proponen una hipótesis nula donde el
error compuesto 𝜺 tenga la distribución asociada a un 𝒗 normal y un 𝒖 semi-normal, o de
manera análoga, un 𝒗 normal y un 𝒖 exponencial para el caso de esta distribución. No obstante,
51
los autores no evalúan el caso para otras distribuciones posibles: “the remaining problem is the
power of these tests against plausible alternative distributions is somewhat low. Reasonable
power seems to require sample sizes and/or signal to noise ratios that are not commonly found
in empirical applications.” (Wang, Amsler & Schmidt, 2011, p.116) Por otro lado, los autores
admiten que los resultados de ese trabajo no son concluyentes, por lo que se necesitaría mayor
investigación a futuro en este tema, con el fin de establecer una metodología más robusta que
permita establecer la validez de pruebas de bondad de ajuste para este tipo de aplicaciones.
Teniendo esto en cuenta, el presente trabajo se ve limitado por la falta de un marco
metodológico robusto que permita validar los supuestos acerca de la distribución de u escogida
(normal truncada). Sin embargo, en investigaciones más avanzadas sobre el tema esto podría
llegar a ser relevante.
52
Conclusiones
El Plan Nacional de Desarrollo contempla reducir las brechas poblacionales y territoriales en la
provisión de servicios de calidad en salud, educación, servicios públicos, infraestructura y
conectividad. Para cumplir dicho objetivo, el Estado debe hacer un uso eficiente de los recursos
públicos y lograr una buena distribución de estos a lo largo del territorio. Actualmente, el
Departamento Nacional de Planeación utiliza la metodología DEA para medir la eficiencia de estos
recursos en la provisión de bienes públicos a nivel municipal. No obstante, el enfoque utilizado
por esta entidad presenta una serie de desventajas que no permiten realizar un análisis de largo
plazo a través del tiempo, ni una forma de validar el modelo estadísticamente. Por estos motivos,
el principal aporte de este trabajo es una revisión metodológica de las formas de medir la eficiencia
municipal en Colombia por métodos paramétricos y no paramétricos. Siendo el primero una buena
alternativa para complementar los resultados obtenidos por el DNP. Es importante recalcar, que el
objetivo del trabajo era realizar una aplicación empírica con el uso de datos reales, no obstante, en
investigaciones futuras más avanzadas, podría llegar a ser relevante un análisis aún más exhaustivo
de los supuestos y distribuciones subyacentes del modelo de frontera escogido.
En una etapa inicial, la idea era desarrollar diferentes modelos de frontera para todos los sectores
de interés estudiados por el DNP, no obstante, sólo se pudo llegar a tres modelos robustos que
permitieran estudiar los sectores de calidad educativa, afiliación a régimen subsidiado y acceso a
agua potable en el largo plazo. Al tener estos modelos, fue posible desarrollar hipótesis estadísticas
sobre la selección de variables que pueden tener impacto (o no) sobre las variables estudiadas, y
por otro lado, verificar si variables geográficas y demográficas tienen un impacto tangible sobre
la eficiencia de los municipios. Por último, se pretendía estudiar si la participación de las
transferencias afecta los incentivos que tienen estas entidades territoriales para lograr un uso
eficiente de los recursos disponibles. Finalmente se concluye que municipios rurales y más
alejados de la capital tienen una predisposición inherente a ser más ineficientes en lo que
corresponde a calidad educativa y agua potable, mientras que sólo la ruralidad afecta en términos
de las afiliaciones al régimen subsidiado. En lo que corresponde a las transferencias, estas afectan
negativamente los sectores de calidad educativa y agua potable mientras que tienen un efecto
positivo en las afiliaciones de régimen subsidiado.
53
Al tener información de tipo panel, fue posible extender el análisis de eficiencia a través del tiempo
y mirar las tendencias de los municipios en los últimos años. Observado los resultados de los
modelos, fue posible concluir que: 1) las brechas en materia de calidad educativa se están cerrando
lentamente, pues ha habido una mejora generalizada a partir de 2014. 2) las brechas en materia de
afiliaciones al régimen subsidiado se están cerrando debido a una caída generalizada en la
eficiencia de este sector, donde las ciudades principales del país se han visto más afectadas. 3) el
acceso de las viviendas a agua potable no ha visto ninguna mejoría tangible durante los últimos
años, pues existen municipios con niveles muy altos de acceso, mientras que la mayoría no han
visto mejoría alguna en este aspecto.
Estos resultados se explican respectivamente debido a políticas públicas como lo han sido Ser Pilo
Paga y eventualmente Generación-E, las cuales muestran que, si bien las brechas en materia de
calidad se han cerrado lentamente, existe un amplio potencial de mejora en este aspecto para los
próximos años. En lo que corresponde a régimen subsidiado, la caída en los niveles de eficiencia
podría asociarse a un aumento importante en el nivel de gasto de las entidades territoriales a raíz
de la senda de igualación de la UPC, manteniendo relativamente estables las tasas de cobertura
técnica. Por último, el acceso a agua potable no ha tenido buenos resultados durante los últimos,
ni probablemente los tendrá dentro de los Planes Nacionales de Desarrollo de 2018-2022. Pues
está comprobado que la ineficiencia en este sector obedece a temas estructurales de las
administraciones locales, mas no a la falta de recursos por parte del Estado.
Un análisis de frontera para trabajos futuros podría llegar a incorporar el efecto de variables de:
conflicto armado, cultivos ilícitos, desplazamiento o recientemente el índice de transparencia de
las entidades públicas (ITEP), para analizar los impactos de la violencia y corrupción dentro de la
eficiencia de las entidades territoriales. Estas son sólo algunas de las posibles aplicaciones y
muestra el amplio uso que se le podría dar a esta metodología. Finalmente, en pro de contribuir al
bienestar de los municipios más afectados, en la sección de anexos se presentan los resultados
dentro del mapa de Colombia. Estas figuras permiten identificar los municipios y respectivos
departamentos más vulnerables, pues consistentemente han tenido un desempeño subóptimo para
la cantidad de recursos asignados. En ese sentido, las entidades públicas deberían acompañar a
estas entidades territoriales y revisar en qué se están invirtiendo los recursos asignados, pues los
54
resultados muestran que dichos municipios deberían alcanzar un nivel más alto de producto final
dada la cantidad de insumos invertidos.
55
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Anexos
Representación de los resultados en el mapa de Colombia:
Figura 1: Resultados a nivel departamental/municipal para el sector de calidad educativa (2010).
Fuente: Elaboración propia.
59
Figura 2: Resultados a nivel departamental/municipal para el sector de calidad educativa (2016).
Fuente: Elaboración propia.
60
Figura 3: Resultados a nivel departamental/municipal para el sector de régimen subsidiado
(2010).
Fuente: Elaboración propia.
61
Figura 4: Resultados a nivel departamental/municipal para el sector de régimen subsidiado
(2015).
Fuente: Elaboración propia.
62
Figura 5: Resultados a nivel departamental/municipal para el sector de agua potable (2010).
Fuente: Elaboración propia.
63
Figura 6: Resultados a nivel departamental/municipal para el sector de agua potable (2016).
Fuente: Elaboración propia.
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