PRIMER EXAMEN PARCIAL ELASTICIDAD CIV-308Determinar las tensiones y deformaciones en los siguientes problemas, sin tomar en cuenta el peso propio de las vigas:
PROBLEMA 1
CLCULO DE TENSIONESLa solucin propuesta por Ayri al sistema de ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad, en funcin de las tensiones, despreciando el peso propio de las mismas, es la siguiente:
Pero si:
Haciendo operaciones auxiliares:
Reemplazando (a), (b) y (c) en :
Esta ecuacin se cumple para cualquier valore de y, por tanto se debe cumplir que:
Integrando: Respecto de x:
Respecto de y:
La funcin queda:
Clculo de los esfuerzos en funcin de las constantes de integracin:
Condiciones de Borde: Para
De (1), agrupando e igualando a cero:
De (2), agrupando e igualando a cero:
Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (d), (e), (f) y (g):
____________________
____________________
Reemplazando los valores de en la ecuacin de :
Para y
Reemplazando el valor de en la ecuacin de P se tiene:
Despejando :
Reemplazando el valor de en la ecuacin de :
Sustituyendo los valores de las constantes en la ecuacin de :
Las constantes son irrelevantes y se las desprecia porque su valor no afecta en el resultado, entonces las tensiones en la viga sern:
CLCULO DE DEFORMACIONES- Por la ley de Hooke:
- Integrando las ecuaciones (3) y (4):
- Luego:
- Derivando respecto de , y respecto de :
- Reemplazando en la ecuacin de :
- Pero siendo:
- Igualamos ambas expresiones de :
En la anterior expresin tenemos dos polinomios, uno en funcin de y otro en funcin de , ambos son iguales si y solo si son iguales a una constante.
Entonces igualando miembro a miembro a la constante se tiene:
- Integrando las anteriores expresiones:
- Reemplazando y en las ecuaciones de y de se tiene:
- Para hallar las constantes de y nos damos las condiciones de borde (en el empotramiento):Si: y
- Reemplazando los valores de las constantes, se obtiene los valores de y :
La deformacin mxima en el volado de la viga ser:
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