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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
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Ejercicios de Aplicación de la derivada con rectas tangentes y normales
1) Dadas las funciones ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=−=2
1)(1)( xSenxyxxf πϕ Hallar )1(´)1(´
fϕ
0(1)f´(1)´
0´(1)2π
cos2π
´(1)2xπ
cos2π
(x)´2π
2xπ
cos(x)´
1(1)f´1f´(x)
=
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=⇒−=
ϕ
ϕϕϕϕ
2) ¿Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la curva 2xxy −= en el punto cuya abscisa es x = 0?
45ºθ(1)arctgθ1θtg0xpara2x.1θtgθtgtgm
2x1m2x1y´ tg
=⇒=⇒=⇒=−=⇒=
−=⇒−=
3) ¿Qué ángulos forman con el eje de Abscisas, al cortarse con este en el origen de coordenadas las sinusoides xSybexSenya 2)) == ?
,4363ºθtg(2)Arcθ2θtgCos(0)2tgθ
Cos(2x)2θtgCos(2x)2tgmCos(2x)2y´(2x)Senyb)
45ºθ(1)arctgθ1θtg0Cosθtg0x(0,0)ptox;Cosθtgxcosy´xSenya)
=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=
=⇒ =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
4) ¿Qué ángulo forma con el eje de abscisas al cortarse con éste en el origen de coordenadas la tangentoide xtgy = ?
º451)0(22 =⇒=⇒=⇒=⇒= θθθθ tgSectgxSectgxtgy
5) Determinar el coeficiente angular de la tangente a la curva 0733 =−−+ xyyx en el punto (1,2). (Definimos mtg= k coeficiente angular)
yxxyyxyyyyx +−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⇒=−−+ 2323´0´´2323
111
12)2(3
22)1(323
23´)2,1(.
23
23´
−=⇒
−
+−=⇒
−−
+−===⇒
−−
+−= kk
xx
yxktgmyPtoSust
yx
yxy
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6) Determine el valor de la primera derivada de la función ( )ax
0
Be1IxI −+
=)( en
X=0, Donde 0I , B y A son constantes.
( ) ( )AxAxAx eABBeIxIBeIxI −−−−
− −+−=′⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=
21
1)(1)( 00
( ) ( ) ( )220
0
2Ax
Ax
B1
ABI(0)I´
Be1
eABI(0)I´
Be1
eABII´(x) 000
+=⇒
+=⇒
+=
−
−
7) Hallar el punto de la curva 211x
y+
= cuya ecuación de la recta tangente es
paralela al eje oy.
( ) ( )1:1)0(0:
)1,0(1)0(001
21
2´
:existe 0y si ox, eje al paralela es tag recta La
22
=⇒+−=
⇒=⇒=⇒=+
−⇒+
−=
=′
yLxyL
pfxxx
xx
y
tgtg
8) Encontrar el punto de la parábola 4123 2 ++= xxy cuya recta tangente forma
un ángulo 4π
con el eje x.
,0)61
p(041
61
261
361
y61
x126x
1dxdy
14π
TgTg θdxdy
Pero,2;6xdxdy
41
2x3xy
2
2
−⇒=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒−=⇒=+
=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=+=⇒++=
9) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva 153 2 +−= xxy en el punto (2,3).
775)2(6)2(56 =⇒=−=′⇒−=′ mfxy 10) Sea T la tangente a la parábola y = x2 en (3,9). Hallar el punto en que T corta al eje y.
9.- en y eje el corta T90969)3(6:6)3´(2´
⇒−=⇒=⇒−=⇒+−==⇒=
yxsixyxyLyxy
tg
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11) Una recta que pasa por el punto (0, 54) es tangente a la curva 3xy = Hallar el punto de tangencia.
)27,3(32754)3(3)()(
54)()(),(54)(
)(54)54,0()(Re:
32323
11
−−⇒−=⇒−=⇒+=⇒=′⇒=
+′=⇒+′=
′=−⇒∈⇒−=−⇒
tg
tgtgtg
ptoaaaaaaafaaf
aafaftgptoesbapsixxfy
xxfylpxxmyyTgctalsea
12) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si: a) f(x)= x2-3x+2 b) f(x)= x3-6x+5
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=⇒=−=
=′
41
,23
:41
229
49
23
23
032)´()
0)(
esPtoElfxxxfa
xfsihorizontalestgLa
)524,2(52452622)2(2
2063)´() 2
++−=+−=⇒=
±=⇒=−=
PtofxSi
xxxfb
13) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si:
xxxfb
xxxfa
−=
−=
4)();
9)()
{ }9)9(
90)´(
)9(9
)9(9)´()
2
22
−∈∀≠−
⇔=
−=
−+−
=
IRxx
xf
xxxxxfa
Luego, f no tiene tangentes horizontales.
{ }40)4(
4)4(
4)´() 22 −∈∀≠−
=−
+−= IRx
xxxxxfb
Luego, f no tiene tangentes horizontales.
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14) Hallar los puntos en que las tangentes a la curva 202123443 +−+= xxxy sean paralelas al eje de abscisas.
( ) ( )
2 23 2´ 12 12 24 ´ 12 2 12 2
( ) 0
20 12 2 12 0 0
2 2 0 2 1 0
2 0 2; 1 0 1.
(0) 20
y x x x y x x x m x x xtgtg m Como son paralelas al eje de las abscisas f xtg
x x x x x
x x x x
x x x xSust en la funciónf pto
θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − ⇒ = + − ⇒ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
′= =
⎛ ⎞= + − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − = ⇒ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = ⇒ = − − = ⇒ =
= ⇒ (0, 20); ( 2) 12 ( 2,12); (1) 3 (1, 3)f pto f pto− = ⇒ − = − ⇒ −
15) Demostrar que las curvas 02325 =−+− yxyxy y 02352 =++ yxxy se interceptan en ángulo recto en el origen.
Nota: Para que dos curvas se intercepten en ángulo recto en un punto se debe
cumplir que 2
11
mm −= siendo m1 y m2 las pendientes de las curvas en el punto
considerado; por parte:
02́222́
2322́5
01́32233451́2
=−−+−
=−−++
yxxyyyy
yyxxxy
52
)0,0(´2;
25
)0,0(´2
2235
22´2;
322
223345´1
=−==
−+
+=
−
+−=
yy
xy
yxy
yx
yxxy
16) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertical si:
22)();2)1()() 3 2 +−=+−= xxfbxxfa
La gráfica tiene tangente verticales en x = a si f´(a) no existe.
a) Dom. (f) = IR 3 13
2)´(−
=x
xf
Si x =1 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =1 la gráfica de f tiene una tangente vertical.
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[[ +∞−= ,2)() fDomb 22
1)´(+
−=x
xf
Si x =-2 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =2 la gráfica de f tiene tangente vertical. 17) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertical si:
xxfbxxfa =−= )()36)() 2 La gráfica tiene tangente vertical en x =a si f´(a) no existe.
[ ]22 36
)(362
2)´(6,6)()
x
xxf
x
xxffDoma
−=′⇒
−−=⇒−=
Si 6±=x entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en 6±=x la gráfica de f tiene una tangente vertical.
[[ +∞= ,0)() fDomb x
xf2
1)´( =
Si x =0 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto en x = 0 la gráfica de f tiene una tangente vertical. 18) Determine los puntos en los cuales la recta tangente a: 32 34 +−= xxy es horizontal. La tangente es horizontal si y´(x) = 0
)1621
,32
(1621
23
)3,0(30
23
00)64(064´ 223
ptoyxptoyx
xxxxxxy
=⇒==⇒=
=∨=⇒=−⇒=−=
19) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 342 23 −−+= xxxy en el Punto (-2,5)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 1 1 1
22 2´ 3 4 4 3 4 4 ( 2) 3 2 4 2 4 2 0
5 0
2 0
y y m x x R y y x x Rtg tg Nmtg
y x x m x x m mtg tg tgy Rtgx RN
− = − − = − −
= + − ⇒ = + − ⇒ − = − + − − ⇒ − =
− =
+ =
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20) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola xy = en el punto cuya abscisa es 4=x
41
42
1
2
1
2
1´ =⇒=⇒=⇒= tgtgtg mm
xm
xy
Sustituimos el valor de 4=x en la parábola para saber el punto de contacto:
( )
( ) ( ) 01844424
411
2:
044484441
2:
)2,4(24
=−+⇒−−=−⇒−−=−
=+−⇒−=−⇒−=−
=⇒=
yxxyxyNR
yxxyxytgR
Pyy to
21) Determine el punto P de la gráfica de 4x2y −= , para el que su recta Tangente pase por el origen.
( ) )2,4(24)4(244242
4242:
42)0(
42
10
42
1'42
2Ptoyyxxxxx
x
xxIgualamos
x
xyx
xy
xyxy
=→−==⇒=−⇒=−
−=−
−=⇒−
−=−⇒
−=⇒−=
22) Sea 4910)( 2 −+= xxxf encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva
en el punto ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
59,
51 .
522
13:59
513
1359
51
13:
59
51
139620
51
´920)´(
−=⇒−−=⇒−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒+=
xyLxyxyL
ffxxf
23) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva )87()2( 235 −+−= xxxxy en el punto (-1, -2).
1311211112)1(1111)1´()2)(114()87)(65(´ 35224
−−=⇒−−−=⇒−+−=−=−⇒−++−+−=
xyxyxyyxxxxxxxy
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24) En que punto la recta tangente a 32 23 +−= xxy en (2,3); corta al eje y.
)5,0(5054)2(434)2(43 2
−⇒−=⇒=−=⇒−=−⇒=′⇒−=′
cpyxxyxyyxxy
25) Usando derivada encontrar el vértice de la parábola .842 −+= xxy En el vértice de la parábola, la recta tangente a la gráfica tiene pendiente cero.
Luego, el vértice de la parábola es (-2,-12).
26) Escribir la ecuación de la recta tangente y de la normal a la hipérbola x
y 1=
en el punto cuya abscisa es 21
−=x .
44
:41
44:2214:4
21´1´ 2
−=⇒=
−−=⇒−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⇒−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒−=
xyLm
xyLxyLyx
y
NN
tg
12)2(8)2(4)2()2(
20420´2
−=−−−+−=−
−=⇒=+⇒=
yy
xxy
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27) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 3 1−= xy en
el Punto (1,0).
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) N
tg
tgtg
Rxxxyxy
Ryxy
mmx
yxy
0110110110
010113
1)1(13
1´131´
3 23 2
3/2
=−⇒+−=⇒−−=−∞⇒−∞−
=−
=⇒−∞=−
∞=⇒−
==−
=⇒−= −
28) Hallar el punto en que la recta tangente al gráfico de 4)( 3 += xxf en (1,5) se intercepta con ella nuevamente.
235)1(3:5)1(;3)1´(3)´(
(1,5) punto elen f a tangenteRecta2 +=⇒+−=⇒==⇒= xyxYLffxxf
Intersección de f con L
210)1)(2)(1(0)2()1(023423 233
−==⇒=−+−=−+−⇒=+−⇒+=+
xyxxxxxxxxxxx
4)2(2 −=−⇒−= fxSi ; Luego, el punto es (-2, -4)
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29) En que punto de la curva: 22 xxyx −=+ la recta tangente a la curva es bisectriz del primer cuadrante.
xdxdy
xdxdy
xxxyx 4121222 −=⇒−=+⇒−=+
Sea (a, (a)) el punto de la curva, donde la tangente es bisectriz del primer cuadrante. Sea xyL =: , la recta tangente a la curva (ya que, L divide en dos ángulos iguales, el primer cuadrante) entonces 0141 =⇒=− aa
Luego, 0020)0( 2 =−=y Por lo tanto, el punto es (0,0)
30) Probar que la recta tangente a: xxxy ++−= 24 2 en (1,2) es también tangente a la curva en otro punto; encontrar dicho punto. Recta tangente: 1)1´(144´ 3 =⇒++−= yxxy Luego, la recta tangente a la curva en el punto (1,2) es: L: 1:2)1( +=⇔+−= xyLxy Intersección de la recta con la curva:
)0,1(01)2,1(21110)1(01221 2222424
−=⇒−==⇒=±=⇒=⇒=−⇒=−+−⇒++−=+
tgtg pyxpyxxxxxxxxxx
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31) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 3y x= − que es perpendicular a la recta .0436 =−− yx
( )( )
[ ]
( )
1/ 2
2 2
1 13 ´ 3 ´2 2 3
6 3 4 0 2 4 / 3 21
21 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 4
2 2 313 4 3 1 (4,1)2
11 4 2 22
recta
y x y x yx
x y y x m
Como es perpendicular a la recta tg mtg
x x x x xx
Sust x en la ec y x y y y Pto m
y x y x
−= − ⇒ = − ⇒ =−
− − = ⇒ = − ⇒ =
−⇒ =
− ⎡ ⎤/ /= ⇒− − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ =⎣ ⎦−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −
− = − − ⇒ − =− + 4 2 6 0x y Rtg⇒ + − =
32) Hallar la ecuación de la recta tangente y una ecuación de la recta normal a la
curva ( ) 3/416−= xy que es perpendicular a la recta 021
38
=−+ xy
38
83
163
83031660
63616
=⇒−=⇒+−=⇒=−+⇒=−+
tgrecta mmxyyxxy
( ) ( ) [ ] ( )[ ]( )
( )
( ) N
tg
Ryxxyxy
Ryxxyxy
pyyxx
xxtmyxy
0200837231288248316
0144381928483243816
)16,24(16162424168
1621634
38´16
34´
3/4
33/133/13/1
=−+⇒+−=−⇒−−
=−
=+−⇒−=−⇒−=−
⇒=⇒−=⇒=⇒−=
−=⇒−=⇒=⇒−=
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33) Calcular la ecuación de la recta tangente y una ecuación de la recta normal
a la curva x
y 1= , que es paralela a la recta 062 =−+ yx .
( ) ( ) Ntg
tcta
RyxxyRyxxy
Ptoyx
yxxxx
mmxyxyyxx
yx
y
0121210321211
)1,1(:1111222
121
213
226062
2
1´1
33
3
Re3
=−−⇒−=−=−+⇒−−=−
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−=−⇒−=−⇒
=−=⇒+−
=⇒+−
=⇒=−+−⇒=
34) ¿En qué punto la tg a la parábola 372 +−= xxy es paralela a la recta 035 =−+ yx ?
)3,1(3.1275725
)(535035
7272´
Re
−⇒−=⇒=⇒=+−⇒−=−
=⇒−=⇒+−=⇒=−+
−=⇒−=
ptoySustxxx
paralelasMmmxyyx
xtgmxy
ctatgrecta
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35) Determine los puntos en la curva 31)(
++
=xx
xf donde la recta normal es
paralela a la recta de la ecuación 529 =+ yx y determine la ecuación de la recta tangente en dichos puntos.
921
92:
35)6(
92)6´(
35,6
31
92:
31)0(
92)0(
31,0
35,6
35)6(6
31,0
31)0(0
600)6(
9969)3(29
2)3((//)
)´(1
129
25
29529
)3(2)´(
)3(13)´(
222
22
+=⇒=−=−⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
+=⇒==′⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⇒=−⇒−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=⇒=
−==⇒=+
=++⇒=+⇒−=+
−⇒=−
=
⇒−
=⇒−
=⇒+−
=⇒=+
+=⇒
+−−+
=
xyLfyfpara
xyLfyfpara
pfxSipfxSi
xvxxx
xxxxmxf
m
mmmxyyx
xxf
xxxxf
rectan
tgnrecta
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36) Determine el o los puntos donde la gráfica de la relación 54622 +−=+ yxyx tiene tangentes paralelas a la recta 4+= xy .
xyyx
yxy
xmmsi
mxyycony
xdxdy
xdxdyy
dxdy
dxdyyxyxyx
tgrecta
recta
−=⇒=−
+=−⇒=+
−⇒=
=⇒+=−≠+
−=
−=+⇒−=+⇒+−=+
1222
4226142
26recta la a paralela es l
14 242
26
26)42(4622546
tg
22
1165)5,6(:
101)1,0(:)5,6(56;)1,0(10
600)6(20122
5446215)1(46)1(
546 x)-1(x, punto el
2
2222
22
+=⇒−=+⇒−
+=⇒−=−⇒−−=⇒==⇒=
=∨=⇒=−⇒=−
++−=+−+⇒+−−=−+
+−=+∈
xyxypR
xyxypRpyxpyx
xxxxxx
xxxxxxxxx
yxyx
tg
tg
toto
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37) ¿En qué punto de la curva 32 2xy = la tangente es perpendicular a la recta 0234 =+− yx ?
( )( )
32124)
81(
43
161
161,
81
161
2561
2561
5122
812.
8/100812
1624212232
343:(*)
431;
34
3240234:
(*)2
3233´26´6´22
3
3
43222
3233
2
3
23
222232
+−=⇒−
−=+⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
±=⇒±=⇒±=⇒±=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±=
=∧=⇒=−
=⇒=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⇒=−⇒=
−
−=⇒−==⇒
+=⇒=+−
=⇒±=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
xyxyPto
yyyyySust
xxxx
xxxxxxx
xeclaenSust
mmmmxyyxL
x
xmxyyxm
yxy
yxyxyyxy
tgrectatgrecta
tgtg
32524)
81(
43
161
161,
81 +−
=⇒−−
=−⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ xyxyPto
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38) Determine la ecuación de la tangente a la curva yxyx −=+ cuya pendiente es .21
1698
815
21
83
.83,
815
23
.49
2332
324122412)12(2
21
1212
´21
1212
´´12
`1
−=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−
==⇒=−⇒−=+
=+⇒=+⇒=+
=+−+⇒++=−+⇒++=−+⇒
=++
−+=⇒=⇒
++
−+=⇒−=
++
xyxy
yxyxyxyxcurvalaDe
yxyxyx
yxyxyxyxyxyx
yxyx
ymyxyx
yyyx
ytg
39) Determine la ecuación de la tangente y la normal a la curva xyyx −=+2
sabiendo que la normal en x = 3 es de pendiente .21
−
( )
( ) ( ) 749192932192
932
221
3.12
2´
2
2
=⇒=+⇒−+=++⇒=−+
++
=⇒−==⇒−+
++=
yyyyy
y
mmxparayx
yxxy tgn
( )
( ) .2
173
21
7:.
,12327:
+−=⇒−−=−
+=⇒−=−
xyxyL
xyxyL
N
tg
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40) Determine si la recta tangente a la curva 13642 232 +−=+− xxxy en el punto
(2, -1) es una de las normales a la curva xxy 312 −=− .
12
62.82.6)1,2(
2686
686213642
22
2232
−=−
−−=−⇒
−−=
−=+−⇒+−=+−
dxdy
yxx
dxdy
xxdxdy
yxxxy
luego, la recta tangente a la curva 13642 232 +−=+− xxxy es:
1:;1)2(: 11 +−=−−−= xyLxyL tgtg
3:1)2(:
134)2(323231
22
2
−=⇒−−=
=−=⇒−=⇒−=−⇒−=−
xyLxyLdx
dyxdxdyx
dxdyxxy
tgtg
Luego: tgtg LL 21 ⊥ , ya que el producto de sus pendientes es -1. Por lo tanto, L1tg es
normal a la curva xxy 312 −−=−
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41) Calcule la pendiente de la recta Tangente a la curva Ovalos de Cassini
( ) 4222222 bxa4ayx =−++ en el punto ( )22, , cuando a = 2 y 6b =
( )( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )
52
)2(522
22
252
252
2104
24016
2408064
)10(24)10(864
22224
)2(2)2()2(42)2(8
448'
48'22
08'222
222
2222
222
2222
2222222
2222
−=⇒
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⇒
−=⇒
−=⇒
−=⇒
−=
−=⇒
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
=⇒++
++−=
++−=++
=−+++
TgTg
TgTgTgTg
TgTg
mm
mmmmm
mmayxy
ayxxxay
ayxxxayyayx
xayyxayx
42) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva
2yb
xa
mm
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
en el punto (a, b).
2 ln
' '
' ' ''
' 0
mm m
m
m m
mm
a b aSea z aplicar Lnz mLna mLnxx y x
z m a mzz x x x
b w ny b mySea w Lnw mLnb mLny wy w y y y
a m my b mSustituirx x y y
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= ⇒ = − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
'
' ' ' '
m
m
m m
m m
a my x xy b
y
a m a m mby bbx x a a ay PtoTg y y y
m abb mmby
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
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( )
( )
( )
1 1
2 21 1
2 2 2 22 2
: ( )
2 2
1: ( )
tg Tg
NTg
bL y y m x x y b x a ay ab bx baa
bay bx ba ba ay bx ba y x aa
aL y y x x y b x a by b ax am b
ax a b a b aby ax a b y y xb b a
− = − ⇒ − = − − ⇒ − = − +
= − + + ⇒ = − + ⇒ = − −
− = − − ⇒ − = − ⇒ − = −
⎛ ⎞− + −= − + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
43) Determine las ecuaciones de la recta Tangente y de la recta normal a la
curva xsenxey x += − en el origen.
2xy)1x(x
Tgm1
1yy:NL
2xy)1x(xTgm1yy:tgL
2tgmy'1sen(0)cos(0)(0,0)tgP
1cosy'1cos
)()(
0ey'
senxxexesenxey'xsenxey xxxx
−=⇒−=−
=⇒−=−
==⇒−⇒
=→
++−++−=
=
⇒+= −−−−
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44) Determine la ecuación de la recta Tangente a la curva xxy =)cos( en el
punto ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
32
21 π, .
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]πππππ
ππππππ
ππππππ
ππππ
ππ
π
πππ
23323
343
323
34
323
323
34
32
33
32
33
34
32
33
33
32
33
33
34
32
36)33(4
3)33(
34
21
3)33(4
32
3)33(4
'
43
333
'
43
331
'
23
21
23
321
'
321
3321
'3
2,21
)()(1
'
1)(')(1')()(cos
+++−
=⇒++++−
=
++++−
=⇒+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−=⇒+
++
+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−=−⇒=
+−=⇒
−−
=
−−=⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=
=−−⇒=+−⇒=
xyxy
xyxy
xyxy
xymyy
yysen
senyTgPto
yxsenxyxseny
y
xysenxyyxysenyxyyxsenxxy
Tg
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45) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva )(ln xxy = que es paralela a la recta 0332 =+− yx .
( ) ( )2
5ln
25ln2ln23
32
1)ln(1
32
1)ln(111)ln(
2/52/52/52/5
ln 25
25
−−−− −=⇒=
=⇒=⇒−
=⇒+=−
=+
−⇒=⇒⇒=
+−
=⇒−=⇒=+=′
−−
eyeeey
xxx
xmmLlaaparalelaesestaperom
xm
mmmxy
x
rectaNNrecta
Ntg
Ntg
( ) ( )
( ) ( ) 2/52/52/52/52/5
2/52/52/5
619
32
25
32
25
1251
25
1ln1
−−−−−
−−−
−=⇒−−=⇒−−+−
−=
−−+
−=
exyeexyeexy
eexe
y
46) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas que pasan por el punto
(-1,-2) y son tangentes a la curva 31
+−
=xx
y .
2
2
2
2
2
2
2211
22
)3(1482
)3(1812244
)3()3(2)1(4
2)3()1(4)1(
)3(42)(
)3(4
)3()1()3(
31
+−−−
=⇒+
−−−+=⇒
++−+
=
−+
+=⇒+
+=+⇒−=−
+=′⇒
+−−+
=′⇒+−
=
xxxy
xxxxy
xxxy
xxyx
xyxxMyy
xy
xxxy
xxy
tg
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Se iguala con la curva dada
1451451452
142102
56102
)11()1(410010
01110148233
1482)3()1()3(
148231
21
222
22
2
−−=⇒+−=⇒±−=
±−=⇒
±−=⇒
−±−=
=++⇒−−−=−−+
−−−=+−⇒+
−−−=
+−
/
xxx
xxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxx
Ahora calculamos las pendientes y las rectas:
2)142(
)1(4)142(
)1(42
)142(4
)3145(4
2)142(
)1(4)1()142(
42
)142(4
)3145(4
)3(4
22
2222
22
21212
−−−
+=⇒
−−
+=+
−−=⇒
+−−=
−+−
+=⇒+
−=+
+−=⇒
++−=⇒
+=
xyxy
mm
xyxy
mmx
mtg
47) Demuestre que la curva xxy 25 += , no tienen tangentes horizontales.
tgmxyxxy =+=′⇒+= 252 45
Representa una expresión general para las pendientes de todas las rectas tangentes a la curva. Si suponemos la existencia de tangentes horizontales debería cumplirse que
0)( =′ xf
ℜ∃/−=⇒−=⇒−=⇒=+ / / 444 444
52
52
52025 xxxx
La curva no tiene tangentes horizontales.
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48) Encuentre los puntos del círculo 122 =+ yx para los que la pendiente de la recta tangente vale -2.
xyyxym
yxyyyxyx tg =⇒−=−⇒−=′=⇒
−=′⇒=′+⇒=+ 222022122
51
5115141)2( 222222 ±=⇒=⇒=⇒=+⇒=+ yyyyyyy
Sustituyendo en la ecuación xy =2
552
51,
52
52
552
51,
52
52
+−=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
−−=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
xyPtox
xyPtox
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49) Calcular la ecuación de la recta tangente a la parábola pxy 22 = en el punto
de su gráfica ),( 00 yxP .
20000
200
00000
0
000
2
)()(
),(
22222
ypxpxyypxpxyyy
pxpxyyyxxypyy
ypMyxpuntoelen
ypy
ypypyypxy
tg
+−=⇒−=−
−=−⇒−=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒=
=′⇒=′⇒=
2000 ypxpxyy +−=
Pero la parábola en el Pto
.)Re.(22),(
00
00002000
TgctaEcpxpxyypxpxpxyypxyesyx
+=+−=⇒=
50) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva xy xy 242 = en el punto (4, 2).
( )( )
( )2ln2142ln41)2,4(
,4ln24
2ln12´)2(ln22)4(ln442 2
++
=⇒
++
=⇒+=′+′
tgtg
y
xxxyy
mp
yyxyxyyyy
( ) ( ) ( )( ) .
2ln21442ln41
42ln2142ln41
2:+
++=⇒−
++
=−x
yxyLtg
51) Calcular la ecuación de la recta tangente a una elipse 12
2
2
2
=+by
ax
en el
punto de su gráfica ),( 00 yxP .
tgmya
xbyya
xbyyyaxb
bayyaxb
byy
ax
by
ax
=−
=′⇒//−
=′=′+
=′+
⇒=′
+⇒=+
2
2
2
222
22
22
222
2
2
2
22022
0220221
Ecuación de la recta tangente:
02
20
0011 ),()(yabx
myxPtoxxmyy tg−
=⇒⇒−=−
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2
20
2
20
20
20
22
20
2
22
220
22
20
220
2
20
2220
200
2220
20
20
20
2
02
002
00
2
20
0 )()()(
by
ax
axx
byy
baya
babx
babxx
bayya
yabxxbxyyabxxbxyayya
xxxabyyyaxxyabx
yy
+=+⇒/
/+/
/=
/
/+
/
/
+=+⇒+−=−
−−=−⇒−−
=−
/
/
Pero; en el ),( 00 yxP la elipse es 12
20
2
20 =+
by
ax
Entonces: 120
20 =+
axx
byy Ecuación de la recta Tg a la elipse.
52) Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la curva kyx =+ en
el punto .169,
161 22 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ kk
.8
1331
161
31
169:
,413
1613
169:
.31,3
161
169
´022
1
222
222
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−
=⇒−=−=
−=⇒=′
+
kxykxkyL
kxykxkyL
mk
km
psustalxy
yy
yx
N
tg
Ntg
tg
53) Encuentre la abscisa al origen de la recta tangente a la curva nxy = en el
punto ),( 00 yxP 1
0−=′ nnxy , en el punto nxyyx 0000 ),( =⇒
nnnn
n
xxxnxyxxnxyy
xxnxyy
001
001
00
01
00
)()(
)(
+−=⇒−=−
−=−−−
−
La abscisa en el origen significa que 0=y
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⇒≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=⇒−=⇒−=⇒−
−=−
−=−⇒+−=
/
//
−−
−−
nnxxxpara
nxx
nx
xxxnxx
xxnx
xxx
xx
xx
nxx
xxxxxnx
n
n
n
n
n
n
n
nnn
1011
)(0
000
000
0
001
0
001
0
00
10
0000
10
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54) Demuestre que ninguna recta puede ser tangente a la curva 2xy = en dos puntos diferentes. Suponemos que existe una recta tangente a la curva en dos puntos diferentes
),(),( 111000 yxPyyxP se debe demostrar que .10 xx =
Para :0P
)1.()(2)(2
;)(22200000
20
2000000
´0
Ecxxxxyxxxxy
xyperoxxxyyxy
+−=⇒−=−
=−=−⇒=
Para :1P
)2.()(2)(2
)(22211111
21
1111´1
Ecxxxxyxxxxy
xxxyyxy
+−=⇒−=−
−=−⇒=
Las ecuaciones de las tangentes y de la curva son satisfechas por ambos puntos.
012
01
2010
21
20010
21
0)(
02)(2
xxxx
xxxxxxxxx
=⇒=−
=+−⇒+−=
Ninguna recta Tg a la curva lo es en dos puntos diferentes, cualquier recta Tg, solo lo es un punto.
55) Hallar la ecuación de la parábola Cbxxy ++= 2 , que es tangente a la recta )1,1(ptoelenyx = .
121011
.1211
2)1()1(2)1()1,1(tan
22´
+−=
=⇒+=⇒++=
−=⇒+=⇒=⇒=
+=⇒+==
+=⇒+=
xxy
ccbcbparábolalaentgdeptoSust
bbmxyrectalaDe
bmbmptoelencurvalaagenteesxyrectalaComo
bxmbxy
recta
tgtg
tg
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56) Determine los valores de las constantes a, b y c en la ecuación de la curva cbxaxy ++= 2 si ésta pasa por (1,0) y además la recta 84 −−= xy es tangente
en ella (-1, -4).
57) Determinar los puntos de la curva 542 22 +−+= xxxy en que la tangente es horizontal. La tangente es horizontal si y´(a) = 0
2 2´ 3 4 4 (́ ) 0 3 4 4 0
4 16 48 4 8 2 26 6 3
y x x y a a a
a a
= + − ⇒ = ⇔ + − =
− ± + − ±= = = ⇒ = −
Si 27595
324
322
32
32
32 23
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= yentoncesa
Si 135)2(4)2(2)2()2(2 23 =+−−−+−=−−= yentoncesa
Los puntos son )13,2(,2759,
32
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
58) Determine , tal que la recta 35 −= xy sea tangente a la curva
baxxy =−− 3 en el punto (1,2)
5235,2,3:
Ec-4b-2a-1en x curva la a tangentees dada recta la Como4m8--4xyDe 2)(4)1()1()1(
0)1()1()1()(
23
recta
22
122
−+=⇒−===
=+⇒=−=⇒=⇒+=′
−=+−⇒+−+−=−
=++⇒++=⇒++=
xxycbaecuacionesdeSistema
baxxfEccbacbaf
Eccbacbafcbxaxxf
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12;
12)1(2)2,1(
25353´1.3´03´
3
33
223
−=−−
=⇒−−⇒=−−
=⇒=+⇒=+=⇒=+=⇒=−−⇒=−−
xxyLuego
bbaxxycurvalaenpuntoelSustituir
aamayxSustaxyaxybaxxy
recta
59) Determine , , tal que las curvas cxbxybxaxy ++=+=− 6,532 32 tengan una recta tangente común en el punto (1, -1)
63´63´6)
34´34´34´532)23
2
+=⇒+=⇒++=
+=⇒+=⇒=−⇒+=−
bybxycxbxyii
baybaxybaxybxaxyi
Luego: Las derivadas deben ser iguales y el punto (1, -1) pertenece a las curvas
cxbxybxaxy ++=+=− 6,532 32
4733761
3633236236235321
23463463
3
2
1
−=⇒−=+−⇒−=⇒−=+⇒++=−
−=⇒=−−⇒=⇒=−−⇒=−−⇒+=−−
=⇒=⇒+=+
ccbsicbeccb
bbasiababecba
aaecbab
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60) Determinar un punto ),( baP en la curva de ecuación 112
−−
=xxy , tal que la recta
tangente a la curva en dicho punto forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de área 25/2 con a>1.
( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒==⇒=
==⇒−±
=⇒=+−⇒−=++−−
=−
+−−⇒=
−+−−
⇒=⇔=
−−−+
=⇒=
+−−=⇒=⇒−−
+−−
−=
−−
=⇒−
−=⇒⇒−
=−
+−−=
4,23;4
32)3,2(;32
23,2
448497067255122
5)1(
)1()12(25)1(
)1()12(25225
2:
)1()1()12(0
)1()12(0112)(
)1(1:
112)(),(;
)1(1)´(),(
)1(1
)1(1222´)
22
2
2
2
2
222
PbaSiPbaSi
aaaaaaaaaa
aaaa
aaaaxyxytriángulodelárea
aaaayxsi
aaaxysiaaax
ayL
aabayenbap
aaybap
xxxxyi
tg
61) Usando derivada muestre que en una línea circunferencia de centro (h, k) y radio (r) 222 )()( rkyhx =−+− , la recta tangente en el punto (a, b) con (h, k). Solución:
Sea L la recta que une (a, b) con (h, k), entonces khxhakbyL +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
= )(: .
a.- Si b=k entonces las rectas tangentes en el punto (a, k) son perpendiculares al eje x. Pero, (a, k) pertenece a la circunferencia, entonces:
rhahrarkkha −=+=⇒=−+− ;)()( 222 Luego, x=r + h, x=h-r son perpendiculares y a la recta L: y=k, tangente a la circunferencia. b.- Si b ≠ k
2 2 2( ) ( ) 2( ) 2( ) 0
( , )
dyx h y k r x h y kdx
dy x h dy a b a hdx y k dx b k
− + − = ⇒ − + − =
− −= − ⇒ = −
− −
Luego, la recta tangente a la circunferencia en el punto (a, b) es:
baxkbhay +−
−−
−= )(
Es perpendicular a L ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−−
−−
− 1.hakb
kbha
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62) Determine el valor de la constante C en la ecuación
,)1()1(ln 3 cxyxy =−+++ sabiendo que la recta tangente a dicha curva en
1+= ex tiene pendiente ( ).
31
++−
=eem
Derivando la ecuación de la curva se obtiene ( )
( ) ( )411+−
+−=
yxyxy y
sustituyendo de acuerdo a la información suministrada, queda
( ) ( )( ) ,
31
411
++
−=+
++−ee
yeye
Cuya solución es y = e – 1.
Haciendo ahora las correspondientes sustituciones de los valores de x, y
en la ecuación dada .42 += eC
63) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación ba
bxay
−+=
22
si la curva tiene tangentes horizontales en .311 =−= yyx
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0.0;1,1113113
130130031
10101
101
)(0´´
22
2222222
31
91
23122
91
2222222
222
22
2222
2
2
2
2
=⇒=±=⇒=⇒+±=−⇒+=−
+=⇒=+−⇒=+
+−⇒==
+=⇒=+−⇒=+
+−⇒=−=
=⇒−
−−=⇒
−+
−=
babaaaaa
aabaaba
aabmyxsust
aabaaba
aabmyxsust
eshorizontalTgmxax
xaaxbyxa
bxay
tg
tg
tg
pero ambos valores carecen de sentido, pues tendríamos y = 0.
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64) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación
,2cos xbxsenay += sabiendo que la recta 23
=y es tangente a ella en .6π
=x
Al evaluar en 6π
=x , la ecuación dada, queda a + b = 3. Derivando y
usando el hecho de que la tangente tiene pendiente cero, se tiene: .0222cos´ =−⇒−= baxsenbxay
Resolvamos ahora el sistema .1,202
3==⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−=+
baba
ba
65) Determine los valores de las constantes a y b en la ecuación
0933 =−+ xybyax si la recta normal en (2,1) está dada por .013154 =−+ yx
Sustituyendo las coordenadas del punto de tangencia en la ecuación de la curva
obtenemos .188 =+ ba De la ecuación de las normal se desprende que la
pendiente de la tangente es .45
Derivando implícitamente la ecuación de la curva
dada y usando las coordenadas del citado punto
.4251645
643
643´ =+⇒=
−−
⇒−
−= ba
ba
bay Resolviendo el sistema
correspondiente a las dos ecuaciones obtenidas, resulta a = b = 2. 66) Determine los valores de a, b, y c en la ecuación cbxaxy 23 ++= , usando los hechos de que la recta y = 2x es tangente a ella en el punto (1,2) y la curva pasa por el (-1,6).
3 2 2 2
1
2 3
4
' 3 2 2 ' 2 2 3 2(1,2) 2 3 2
. 2 61 2 2 3 2 2 3 2
3.(2 ) 6 3 3 3
4 3
rectay ax bx c y ax bx como m y ax bxptoTg a b EcSustituir los puntos dados en la curva a b c Ec a b c EcDelasecuaciones y a b a b
a b c a b c
b c Ec
= + + ⇒ = + = ⇒ = ⇒ = +
⇒ = += + + = − + +
= + = +− = + + ⇒ − = − − −
− =− −
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5
2 3 2 4 56 2 .( 4 3 ) 8 2 68 2 2 8 2 2 8 2 2
0 4 04 2
De las ecuaciones y a b c De las ecuaciones ya b c b c b cb c Ec b c b c
c cb a
= + += − + + − = − − ⇒ − = − −= + = + = +
= − ⇒ == = −
67) Determine los valores de las constantes a, b, c y d si la curva
dcxbxaxy +++= 23 pasa por los puntos (1,2) y (2,2); además la recta 043 =−− yx , es tangente a ella en el punto (0,-4).
223
123
2)1()1()1(2)2,1(
.2482)2()2()2(2)2,2(
EcdcbadcbaPto
EcdcbadcbaPto
dadacurvalaenpuntoslosSustituir
+++=⇒+++=⇒
+++=⇒+++=⇒
Derivar cbxaxy ++= 23' 2 de la recta dada buscamos la pendiente:
343043 =⇒−=→=−− mxyyx
Sustituir en la derivada cbxax ++= 233 la curva es Tg a recta en x =0, entonces
3)0(2)0(33 2 =⇒++= ccba sustituir en el )4,0( −Pto en la curva:
633331241244)3(4048048
3124320482482464824)3(2482
4)0()0()0(4
4
43
42
31
23
=⇒=+−⇒=+−=⇒−=−=−−=+−
=+⇒=+
=+⇒−+=→−++==+⇒++=⇒−++=⇒−++=
−=⇒+++=−
bbbaEclaenSustaabbababa
EcyEclasDeEcbababaEclaDe
EcbabababaEclaDeddcba
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68) Determine el valor de la constante a en la ecuación de la curva axay −−= 2
sabiendo que la recta 045453 =−−+ yx es tangente a ella en el punto de abscisa x = 3.
( )
49)3(43949595)(9
535353)('
53
45
35
543)('2
2)('
222222
2222
2
22
=⇒=⇒==⇒=−⇒=−
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⇒−=−−⇒
−
−=
−⇒=
−=
+=⇒+
=−
−=⇒−
−=
aaxperoaxaxxxax
xaxxaxax
xxfm
xyxyrectalaDeax
xxfax
xxf
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69) La recta 02 =−+ yx , es tangente en el punto (1,1) a la curva de ecuación
.0bxyayx 55 =−+ Determine los valores de las constantes a y b.
20)1)(1()1)(1(1:
155)1,1(55
551)('1202
55'0'550)'(55
44
4
4
4
44444
=⇒=−+
=⇒+−=+−⇒⇒+−=+−
−+−
=−⇒=−=⇒+−=⇒=−+
−+−
=⇒=−−′+⇒=+−′+
bbcurvalaenadevalorelypelsust
abbaPSustbyxbxay
bxaybyxxfmxyyxrectalaDe
bxaybyxybxybyyayxxyybyayx
tg
tg
70) Encontrar el valor de “a” en la curva 3
3
++
=ax
axy . Sabiendo que la recta
tangente a la curva en 1=x es paralela a la recta .022 =+− xy
.6
10810002
409103
09182122921812292)3(2
)3(922
)3(9221
)3(9222
)3(92´
)3(93´
)3()()3(3´
22
222222
2
2
2
2
2
223
2
222
2
2322
2
32
posibleadeValora
acbbaa
aaaaaaaaaaa
aaa
aaaxen
axaxaxmm
max
xaaxyax
aaxxaxyax
aaxaxxy
tgrecta
tg
∃/⇒−±1−
⇒−±−
⇒=++
=−+−++⇒++−=++⇒++−=+
+++−
=⇒+
−+=⇒=
+−+
=⇒==
=+
+−=⇒
+−−+
=⇒+
+−+=
71). Encontrar el valor de “a” en la curva 2
2
2
2
xaa
xa
y−
+= ; para que la recta
tangente en 1=x sea horizontal.
)(2;00)2(02121)1(1)1(22
0)1(
2210)(
220
)(22´))2()((2´)(
222222
2
22
22
2
3
2
22
2
3
22223212222
adeValoresaaaaaaaaaaaa
aaaxen
xaxa
xam
xaxa
xayxxaaxayxaaxay
tg
==⇒=−⇒=−⇒+−=⇒−=⇒−=
⇒=−
+−⇒==−
+−⇒=
−+
−=⇒−−−+−=⇒−+= −−−−
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72) Determine el valor de la constante C en la ecuación ( ) xce y −=−1ln , sabiendo que la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene
pendiente .21
−=m
( )
3c3cLn(1)3c1)Ln(23c1Ln2eLn:EclaenSust
Ln2yLn2yLne2ye
2y2eyeye12yeye
ye121y'
21m
,ye
ye1y'ye1y'ye11ye
y'ye1
=⇒−=⇒−=−⇒−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=→=→=
=+−→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−⇒
−=−⇒=−=
−=→−=→−=
−⇒⇒−=−
pero
mlaCalcularxcLn tgye
73) Determine el valor de la constante c en la ecuación xcsenxxy cos++= si se sabe que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1.
1cos
coscoscoscos1' 011
=⇒=⇒=→⇒
−+= =⇒−=⇒−+=⇒
CTgmPeroTgxCCx
senxxCxCxxy senxsenxsenxCsenxC
θ
74) Determine el valor de la constante K en la ecuación klyyxx =−+− )1(4)1(ln 22
Si la recta tangente a dicha curva en x = e, tiene pendiente .2em −= .
[ ] [ ]
( ) ( )2
222
22
22
2242
'
42
4441122)1(24)1(4'
0'4)1('42)1(20')1('42)1(2
LnxxLnyeemy
LnyLnxxy
LnyLnxxyxLnxxLnyy
yLnyyxLnxxy
yyLnyyxxxLnxx
−=−⇒−
==
−=′⇒
+−+−−
=′⇒−−−=+−
=+−++−⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+−
( )
222222222
2
2
54)12(4)12()1(4)1(
2848484
8)4()(2(2)4(
eeeeeeeeeee
eeeeee
kkkkLnLn
yLnyLnyLnyLny
LnyLnLnyexComo
=⇒=+⇒=−+−⇒=−+−
=⇒=⇒=⇒=→−
=
−=−⇒−=−⇒=
−
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75) La recta 12
−=πy , es tangente a la curva xbsenxaxy cos++= en el punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −1
2,
2ππ . Determine los valores de las constantes a y b.
12
122
cos22
12
122
cos2
1cos
cos10)(0cos1)('
−=⇒=−−⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=−
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=⇒−=−
−+=⇒=⇒−+=
aasena
curvalaenSust
senbxaxsenxbxa
senxbxahorizontalrectamsenxbxaxf
ππππππ
πππ
76) Hallar las ecuaciones de las tangentes a 52169 22 =+ yx que sean paralelas a
la recta 189 =− yx .
18 9 9 1 918 32 ´ 0 ´ ´32 16 8 8
9 9 1 2 28 16 8 16
tgx x xx yy y y y my y
x x y x x yy y
− − −+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
/ −/⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
Sustituyendo en la ecuación 52169 22 =+ yx
( ) ( )2 2 2 2 2 2 29 2 16 52 9 4 16 52 36 16 52 52 52
1 2 2 ( 2,1) (2, 1)
y y y y y y y
y Sustituyendo en x y x Pto Pto
− + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =
= ± = − ⇒ = ± − −
0268918988)2(891
)1,2(
0268918988)2(891
)1,2(
=−−⇒−=+⇒−=+
−
=+−⇒+=−⇒+=−
−
yxxyxy
Pto
yxxyxy
Pto
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77) Hallar los puntos de las tangentes horizontales y verticales de
27164 22 =++ yxyx
( ) ( )( )
( )yxyxy
yxyxyyxyxy
yyxyyxyyxyyx
1622´
162222´42324´
0´32´4420´32´)(42
++−
=++/−
=−−=+=
=+++⇒=+++
Tangentes Horizontales 0´=⇒ y
( ) ( ) yxyxyxyxyx
=−⇒−−⇒=+−⇒++−
=2
20216220
Los puntos de intersección de la recta 2xy = con la curva dada son los puntos de
Tg .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−±=⇒±=⇒=
=+−⇒=+−⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+
23,3
23,33
327273
2742274
162
4272
162
4
212
2222
22
2
PtoPtoxxx
xxxxxxxxxx
Tangentes verticales. Hacemos el denominador igual a cero para la primera derivada.
( )
( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=⇒−=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⇒
±=⇒±=⇒±=⇒=⇒=⇒
=−⇒=+−⇒=+−+−
−=⇒−=⇒=+⇒++−
=
43,6
43,66
4386
438
43
169
4827
48272748
273280271632642716848
816201621622´
21
22
2222222
PPxxxx
yyyyy
yyyyyyyyy
yxyxyxyxyxy
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59).Calcule el valor de K en la ecuación Κ+−= xxy 85 2 sabiendo que la recta 12 −= xy es tangente a ella.
4)1(8)1(5)1,1(11)1(2
181022810'2 =Κ⇒Κ+−⇒⇒=⇒−=⇒
=⇒−=⇒=⇒−=
sustPyyrectalaenSust
xxmxy
tg
recta
Por favor a los lectores espero su valiosa colaboración, en la revisión de los mismos y hacerme llegar las sugerencias y correcciones necesarias a las direcciones electrónicas publicadas.
Gracias.
Dámaso Rojas
Octubre 2007
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