7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 1
TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
ECUACIONES DE LA RECTA
Para hallar la ecuacin de una recta en el espacio necesito:
Dos puntos
Un punto y su vector director
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector
v = (a,b,c).
Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como
vector
v =
AB= (x1- x0, y1 y0, z1 z0)
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) k R
Ecuaciones paramtricas:
+=
+=
+=
kczz
kbyy
kaxx
0
0
0
k R
Ecuacin continua:c
zz
b
yy
a
xx 000 =
=
Ecuacin implcita (como interseccin de dos planos):
=+++
=+++
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111
Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)
===
)2,1,1()1,0,1()3,1,2(PQPQ:Vector
)1,0,1(P:Punto
:r
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + .(1,1,-2) R
Ecuaciones parmetricas: R
21z
y
1x
=
=
+=
Ecuacin continua:2
1z
1
y
1
1x
+==
Ecuacin implcita:
=
=
+=+
=
1zx2
1yx
1z2x2
y1x
Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas:
a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos:
=
=
(3,2,2)P1t
(2,0,-1)P0t
2
1 Vector: (1,2,3)
b)
====
====
++++====
43z
y
1x
Puntos:
=
=
(2,-1,-1)P1
(1,0,3)P0
2
1 Vector (1,-1,-4)
c)3
2z4
1y2
1x ++++========++++ Puntos
= )2
1(0,3,-P0x
(-1,1,-2)P
2
1
Vector (2,4,3)
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 2
d)
====++++
====++++++++
4z3yx2
3zy2x
2150
3121
4312
3121
=+
=++
2zy5
3zy2x
=
=
=
+=
=
=
25z
y
75x
5223x
25z
y
)5,1,7(:Vector
)3,1,2(P
)2,0,5(P:Puntos
2
1
Nota: Otra forma de hallar el vector )5,1,7(
312
121
kji
=
ECUACIONES DE UN PLANO
Para hallar la ecuacin de un plano en el espacio necesito:
Tres puntos
Un punto y dos vectores directores
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y dos vectores
v 1= (a1,b1,c1),
v 2= (a2,b2,c2)
Si me dan tres puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2) Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0)
y como vectores
v 1=
AB = (x1- x0, y1 y0, z1 z0)
v 2=
AC = (x2- x0, y2 y0, z2 z0)
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + s.(a1,b1,c1) + t. (a1,b1,c1) s,t R
Ecuaciones paramtricas:
++=
++=
++=
210
210
210
tcc.szz
tbb.syy
taa.sxx
s,t R
Ecuacin implcita o general: Ax + By + Cz + D = 0
0
cba
cba
zzyyxx
222
111
000
=
Ax + By + Cz + D = 0
Vector normal =
n = (A,B,C) =
v 1x
v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores)Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuacin general del
plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D.
Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3)
==
==
)4,3,1(ACv
)4,2,2(ABv:Vectores
)1,1,0(A:Punto
:
2
1
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) s,t R
Ecuaciones paramtricas:
+=
++=
+=
t4s41z
t3s21y
ts2x
s,t R
Ecuacin implcita o general: Ax + By + Cz + D = 0
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 3
0
431
422
1z1yx
=
+
20x 12(y-1)+4(z+1) = 0 5x-3y+z+4=0
Ejemplo 4: Hallar dos punto, dos vectores y el vector normal
a) (x,y,z) = (1,2,3) + (4,5,6) +(1,0,3) Puntos:
== )6,2,2(P10,(1,2,3)P
2
1
Vectores:
== )5,6,15(vxvn
)3,0,1(v
)6,5,4(v
21
2
1
b)
====
====
++++++++====
3z
2y
21x
Puntos:
== )3,1,2(P10,
(1,0,3)P
2
1 Vectores:
==
)4,1,1(vxvn
)0,1,1(v
)1,2,2(v
21
2
1
c) x + 2y z = 4 z = x + 2y -4 Puntos: P(0,0,-4), Q(1,1,-1), R(1,0,-3) )1,2,1(n
Vectores:
==
==
)1,0,1(PRv
)3,1,1(PQv
2
1
Ejemplo 5 : Hallar la ecuacin del plano, cuyo vector normal es (1,2,3) y pasa por el punto (2,0,4)
014z3y2x14D0D3.42.02
0D3z2yx=++
==+++
=+++
EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS
Ejercicio 6 : Halla las ecuaciones paramtricas de los ejes de coordenadas
Eje OX R
0z
0y
x
)0,0,1(PP:Vector
)0,0,0(P:Pto
)0,0,1(P
)0,0,0(P
21
1
2
1
=
=
=
=
Eje OY R
0z
y
0x
)0,1,0(PP:Vector
)0,0,0(P:Pto
)0,1,0(P
)0,0,0(P
21
1
2
1
=
=
=
=
Eje OZ R
z
0y
0x
)1,0,0(PP:Vector
)0,0,0(P:Pto
)1,0,0(P
)0,0,0(P
21
1
2
1
=
=
=
=
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 4
Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y
B
0,
2
3,
2
5
r:
=
+=
)2,1,1(||1,21,
2110,2
23,3
25AB:Vector
)1,2,3(A:Punto
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + .(1,-1,-2) R
Ecuaciones parmetricas: R
21z
2y
3x
=
=
+=
Ecuacin continua:2
1z
1
2y
1
3x
=
=
+
Ecuacin implcita:
=+
=+
=+
=
5zx2
1yx
1z6x2
2y3x
Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1)
Mtodo: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta.
Recta que pasa por P y Q1
z
6
1y
3
3x
)1,6,3(PQ:Vector
)0,1,3(P:Punto=
=
=
Comprobamos si el punto R la cumple: 111
1
1
6
15
3
36===
=
Falso.
No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez.
Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela aleje OZ.
r:
)1,0,0(v)1,0,0(P
)0,0,0(POZejeVector
)5,2,4(A:Punto
2
1
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + .(0,0,1) R
Ecuaciones parmetricas: R
5z
2y
4x
+=
=
=
Ecuacin continua:1
5z
0
2y
0
4x =
=
+
Ecuacin implcita:
=
=+
02y
04x
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 5
Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al
vector )0,0,2(v),2,1,1(usiendo,vxu
r:
==
)1,2,0(||)2,4,0(
002
211
kji
vxu:Vector
)0,3,1(A:Punto
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + .(0,2,1) R
Ecuaciones parmetricas: R
z
23y
1x
=
+=
=
Ecuacin continua:1
z
2
3y
0
1x=
+=
Ecuacin implcita:
==
=+=
3z2y1x
z23y02x2
Ejercicio 11 :
a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos
====++++
====
2zy
0yx
Modo 1: Pasando a paramtricas: y = , x = , z = 2 - v(1,1,-1)
Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos )1,1,1(110011
kji
=
Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos.
b) Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta anterior
Modo 1: Directamente Ecuaciones parmetricas: R
2z
y
x
=
=
=
Modo 2:
===
)1,1,1(v:Vector2z0,y0,xx,aejemploporun valor,Dado:Punto R
2z
y
x
+=
=
=
Ejercicio 12 : Dada la recta z11y
2x
====
++++==== , exprsala como interseccin de dos planos.
=
=+
=
+=
0z2x
1y2x
z2x
1y2x
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 6
Ejercicio 13 : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos:
a) Determinado por el punto A(1,-3,2) y por los vectores )3,0,1(v),0,1,2(u Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (1,-3,2) + s.(2,1,0) + t.(-1,0,3) s,t R
Ecuaciones paramtricas:
+=
+=
+=
t32z
s3y
ts21x
s,t R
Ecuacin implcita o general: Ax + By + Cz + D = 0
0
301
012
2z3y1x
=
+
3(x 1) -6(y + 3) + (z 2) = 0 3x 6y + z - 23 = 0
b) Pasa por el punto P(2,-3,1) y cuyo vector normal es (5,-3,-4)
015z4y3x515D0D4.1-3.(-3)-5.2
0D4z-3y-5x=
==+
=+
c) Perpendicular a la recta3z
11y
2x ====
++++==== y que pasa por el punto (1,0,1)
: 05z3yx25D0D320Dz3yx2)3,1,2(vn
)1,0,1(P:Punto
r
=+==++=++
==
=
Ejercicio 14 : Halla las ecuaciones paramtricas e implcitas de los planos OXY, OYZ y OXZ
OXY
=
=
)0,1,0(PP
)0,0,1(PPVectores
)0,0,0(PuntoP
)0,1,0(P),0,0,1(P),0,0,0(P:Puntos
31
21
1
321
Ecuaciones paramtricas:
=
=
=
0z
ty
sx
s,t R
Ecuacin implcita o general: Ax + By + Cz + D = 0 0
010
001
zyx
= z = 0
Anlogamente: OYZ:
=
==
tz
sy0x
s,t R, x = 0
OXZ:
=
=
=
tz
0y
sx
s,t R, y = 0
Ejercicio 15 : Escribe las ecuaciones paramtricas de los planosa) z = 3 b) x = -1 c) y = 2
a)
=
=
=
3z
ty
sx
s,t R, b)
=
=
=
tz
sy
1x
s,t R, c)
=
=
=
tz
2y
sx
s,t R,
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 7
Ejercicio 16:a) Cul es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0)b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0)
r: r:
== )0,0,1(nv:Vector
)0,3,2(A:Punto
r
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + .(1,0,0) R
Ecuaciones parmetricas: R
0z
3y
2x
=
=
+=
Ecuacin continua:0
z
0
3y
1
2x=
=
Ecuacin implcita:
=
=
0z
03y
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOSPOSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan
Mtodo: Escribimos las ecuaciones paramtricas de cada una de ellas (con distinto parmetro), las
igualamos y resolvemos el sistema:
Sistema compatible determinado Existe una nica solucin Se cortan en un punto Secantes.
Sistema compatible indeterminado Existen infinitas soluciones Se cortan en infinitospuntos Coincidentes.
Sistema incompatible No existe solucin No se cortan Paralelas o se cruzan.o Hallar el vector director de cada una
o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas
o Si no son paralelos, las rectas se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Coincidentes Paralelos Secantes
Mtodo: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema:
Sistema compatible determinado No puede ser Sistema compatible indeterminado Existen infinitas soluciones Se cortan en infinitos
puntos Se cortan en un plano o en una rectao
Si hay un grado de libertad Un vector Se cortan en una recta Secanteso Si hay dos grados de libertad Dos vectores Se cortan en un plano Coincidentes
Sistema incompatible No existe solucin No se cortan Paralelos.
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 8
POSICIN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO
Recta Contenida en el plano Secantes Paralelos
Escribimos las ecuaciones paramtricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema:
Sistema compatible determinado Existe una nica solucin Se cortan en un punto Secantes.
Sistema compatible indeterminado Existen infinitas soluciones Se cortan en infinitospuntos Recta contenida en el plano.
Sistema incompatible No existe solucin No se cortan Paralelos.
POSICIN RELATIVA DE TRES PLANOS
Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelos
el otro secante el otro paralelo
Dos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2
Y el otro secante en una recta
Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema:
Sistema compatible determinado Existe una nica solucin Se cortan en un punto Sistema compatible indeterminado:
o Un grado de libertad: Se cortan en una recta
Dos planos coincidentes y el otro secante Los tres se cortan en una recta
o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano Coincidentes Sistema incompatible No existe solucin
o Dos coincidentes y el otro paralelo
o Tres paralelos
o Dos paralelos y el otro los corta
o Se cortan dos a dos en una recta
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 9
Ejemplo 17 : Estudiar la posicin relativa de las siguientes rectas:
a)
====
++++====
====
5z
2y
5x
:r s:
====
====
====
z
53y
32x
Vectores directores no paralelos, se Cruzan o se cortan
Resolvemos el sistema
=
=+=
3500
440
151
...
235
511
151
511
151
235
5
532
325
Rango A = 2, RangoA= 3 Sistema incompatible No existe solucin Se cruzan.
b)
====
++++====
====
5z
2y
53x
:r s:2z
2y4
101x
====
====
Vectores directores paralelos (paralelas o
coincidentes), tomamos un punto de r, (3,2,5) y comprobamos si cumple s:2
5
2
24
10
13=
=
No lo
cumple, por tanto , paralelas.
c) r:
====
++++====
====
tz
t53y
t32x
s: (x,y,z) = (1,0,5) + (-1,2,0) Vectores no paralelos, se Cruzan o se cortan
Resolvemos el sistema
===
=
=+
=
Cierto141152145t5t
2t53
1t32
Sistema compatible determinado Existe una nica solucin, se cortan en un punto
Hallar el punto de corte, como t = 5 P(-13,28,5)
d)
====
====
++++====
2z
3y
2x
:r s:22z
12y
13x
====
====
Vectores directores paralelos (paralelas o
coincidentes) Cogemos un punto de s(3,2,2) y comprobamos si cumple r:
=
=
=
=
=
+=
1
1
1
22
32
23
Si, por
tanto coincidentes.
Ejemplo 18 : Estudiar la posicin relativa de los siguientes planos.
a)
====++++++++
====++++
040z16y12x4
011z4y3x b)
====++++++++
====++++
03zy5x2
011z4y3x c)
====++++
====++++
022z8y6x2
011z4y3x
Dos modos: O resolviendo el sistema o comparando sus vectores normales
a)40
11
16
4
12
3
4
1 ==
= La ltima igualdad no se cumple, paralelos
b)3
11
1
4
5
3
2
1 ==
= Vectores normales no paralelos, se cortan en una recta.
Si nos piden la recta, resolvemos el sistema y obtenemos la recta en paramtricas.
c)22
11
8
4
6
3
2
1
==
= Se cumplen todas, coincidentes.
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 10
Ejemplo 19: Estudiar la posicin relativa entre la recta y el plano:
a) : x 3y+5z+11=0 r:
++++====
====
++++====
t64z
t1y
3t2x
a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuacin del plano:
-2t + 3 -3(1 t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 31t + 31 = 0 t = -1Sistema compatible determinado. Existe una solucin. Se cortan en un punto.Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2)
b) z4
2y23
2x====
++++====
-y + 2z - 1 =0
b) Pasamos la recta a paramtricas y sustituimos en la ecuacin del plano
-(2t-1) + 2t -1 = 0 0 = 0 Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones Recta contenida en el plano.
c)
====
++++====
++++====
t2z
2ty
1t4x
x + 2y z = 0
c) (4t + 1) + 2(-t + 2) 2t = 0 5 = 0 Sistema incompatible, no tiene solucin Paralelos
Ejemplo 20 : Estudiar la posicin relativa de estos tres planos:
a)
====++++++++
====++++
====++++
02zyx
01z2y3
03zy2x
a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una nica solucin
Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4)
b)
====++++
====++++====++++
04zyx3
02zyx03zyx2
b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado
de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres
en una recta.
c)
====++++++++
====++++
====++++
04z3y2x2
0z2yx3
01zyx
c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solucin. Comoninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaa)
d)
====++++++++
====++++++++
====++++++++
1zayx
aazyx2
1azyx
d) Como es un sistema con parmetros con el mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas,
hallamos el determinante: 2a,1a02a3a0
1a1
a12
1112 ===+=
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 11
CASO I: Si a = 1 Sistema3'RangoA
2RangoA
1000
1110
0111
1111
1112
0111
=
=
Incompatible
El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta.
CASO II: Si a = 2 Sistema
3IncogN
2'RangoA
2RangoA
0000
0010
1111
...
1121
2212
1111
=
==
Compatible
indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta.
CASO III: a { }2,1R |A| 0 Sistema compatible determinado Se cortan en un punto.Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en funcin de a.
REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVASEjercicio 21 : Estudia la posicin relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte,cuando sea posible:
a) r:4
1z2
2y3
1x ====
++++====
s:
32z
23y
12x
====
====
++++
Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:
+=+
+=
=+
2314
3222
213
15300
2180
313
15130
2180
313
134
522
313
3'RangoA
2RangoA
=
=Sistema
incompatible, no existe solucin, se Cruzan.
b) r: 2z2
1y11x
====
====
s:
25z
14y
44x
====
====
Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:
522
412
441
+=+
+=+
+=+
000
990
341
660
990
341
321
312
341
=
=
=
2IncogN
2'RangoA
2RangoA
Sistema
compatible determinado, existe una nica solucin, se cortan en un punto.
)3,3,0(P199
34
=
=
=
c) r:3
1z1y
2
x ++++======== s:
====++++
====
01zy3
01y2x
Vectores directores (2,1,3), )3,1,2(
130
021
kji
=
Paralelos, Paralelos o coincidentes.
Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s :
=++
=
0113
0120No pertenece a s por
tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas.
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
12/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 12
d) r:4z
3y
21x
========
s:
++++====
++++====
++++====
t84z
t63y
t43x
Vectores directores (2,3,4), (4,6,8) paralelos, por tanto paralelas o coincidentes.
Tomamos un punto de r: Pr(1,0,0) y comprobamos si pertenece a s:
=
=
=
+=
+=
+=
2/1t
2/1t
2/1t
t840
t630
t431
Si
pertenece a s por tanto son coincidentes.
Ejercicio 22 : Obtn el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte.
r: x = y = z a s:0
2z23y
31x2
====
++++====
Pasamos a paramtricas y resolvemos el sistema:
=+
=
+=
2a
322
13
7732
132=
=+
=
3a,1,1 === P(-1.-1.2)
Ejercicio 23 : Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:
r:
====
++++====
++++====
tz
t3y
t45x
s:n
3z
3
1y
m
x ++++====
====
Los vectores directores proporcionales:
=
=
==
3n
12m
n
1
3
1
m
4
Ejercicio 24 : Calcula m y n para que los planos: : mx + y 3z -1 = 0 : 2x + ny z 3 = 0sean paralelos. Pueden ser coincidentes?
Los vectores normales proporcionales:
==
==
6m3/1n
1
3
n
1
2
m
Para que sean coincidentes:3
1
1
3
3/1
1
2
6
== No son coincidentes.
Ejercicio 25 : Escribe la ecuacin del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (2,2,0) y (1,1,2)
Plano:
==
)2,1,1(AC)0,2,2(AB:Vectores
)0,0,0(A:Punto
0211022
0z0y0x
=
4x 4 y = 0 x y = 0
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 13
Ejercicio 26 : Determina la ecuacin del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta
3
4z
1
3y2x
====
====
P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3)
Plano:
=
=
)3,1,1(v
)2,2,0(PP:Vectores
)2,1,2(P:Punto
r
r 0311
220
2z1y2x
=
-4(x-2) + 2(y1) -2(z-2)=0
-4x + 2y - 2z + 10 = 0 -2x + y z + 5 = 0
Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r: 2zy2
1x========
s:
====
====
11y2x
5z2xson
paralelas y halla la ecuacin del plano que las contiene.
Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs=
021
201
kji
= (-4, -2, -2)
Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps(Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0))
Plano:
= )2,3,4(PP
)1,1,2(v:Vectores
)2,0,1(P:Punto
sr
r
r
0
234
112
2zy1x
=
(x 1) + 8y -10(z 2) = 0
x + 8y 10z + 19 = 0
Ejercicio 28 : Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)?
Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D Al plano
Plano:
=
=
)0,1,1(AC
)0,1,1(AB:Vectores
)0,0,1(A:Punto
011
011
zy1x
= 0 -2z = 0 z = 0 D no cumple que z = 0,
por tanto no son coplanarios.
Ejercicio 29 : Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es
paralelo a la recta
====
++++====
====
t32z
t2y
t3x
Plano:
=
)3,1,1(v
)2,2,3(AB:Vectores
)2,3,1(A:Punto
r
0
311
223
2z3y1x
=
-4(x1) -7(y3) (z2) = 0
-4x 7y z +27 = 0
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 14
Ejercicio 30 : Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta r:
====
====
++++====
z
1y
32x
y es paralelo
a: s:3
z
2
1y
5
3x
====
++++====
Plano:
)3,2,5(v
)1,1,3(v:Vectores
)0,1,2(P:Punto
s
r
r
0
325
113
z1y2x
=
+
(x 2) +14(y + 1) +11z = 0
x + 14y + 11z +12 = 0
Ejercicio 31 : Dado el plano : 2x 3y + z = 0 y la recta r:2
1z12y
11x ++++
====
====
, halla la
ecuacin del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano .
Plano:
)1,3,2(n
)2,1,1(v:Vectores
)1,2,1(P:Punto
r
r
0
132
211
1z2y1x
=
+
5(x 1) + 3.(y 2) (z + 1) = 0
5x + 3y z 12 = 0
Ejercicio 32 : Sea la recta r:
====++++
====++++
03zx2
0zyx3y el plano ax y + 4z 2 = 0
a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano.b) Existe algn valor de a para que r sea perpendicular al plano?
a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.n= 0)
vr=
102
113
kji
= (1, 5,2) vr.n= (1,5,2).(a,-1,4) = a 5 + 8 = 0 a = -3
b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos:4
2
1
5
a
1=
= . No existe.
Ejercicio 33 : Dados la recta r:
====
====++++
04zy
03z2xy el plano : x + 2y + 3z 1 = 0, halla la
ecuacin de una recta s contenida en el plano que pase por el punto P(2,1,-1) y seaperpendicular a r.
Recta s:
==
=
=
===
)3,5,1(
321
112
kji
xnv
)3,2,1(n
)1,1,2(
110
201
kji
vxnvv:Vector
)1,1,2(P:Punto
rrrs
3
1z
5
1y
1
2x +=
=
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 15
Ejercicio 34 : Halla la ecuacin de una recta que cumpla las condiciones siguientes:
1) Es paralela a la recta de ecuaciones: r:
====++++
====++++
5z3y
5z2x
2) Pasa por el punto de interseccin de la recta s con el plano :
s:
3
2z
2
3y
4
1x ++++====
++++====
: x y + z = 7
vr: z = , x = 5 - 2, y = 5 - 3vr(-2,-3,1)
Pr: s: )1,1,5(P1t5t57)2t3()3t2(1t4
2t3z
3t2y
1t4x
r ===++
=
=
+=
1
1z
3
1y
2
5x =
+=
Ejercicio 35 : Escribe la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1,-3,2) y B(0,1,1) y es
paralelo a la recta r:
====++++
====++++
03z3y2
01y2x3
Plano:
==
=
)2,3,2(||)6,9,6(
320
023
kji
v
)1,4,1(AB
:Vectores
)2,3,1(A:Punto
r
0
232
141
2z3y1x
=
+
5(x 1) + 4(y + 3) + 11(z 2) = 0 5x + 4y + 11z 15 = 0
Ejercicio 36 : Dados los planos mx + 2y 3z 1 = 0 y 2x 4y + 6z + 5 = 0, halla m para quesean: a) Paralelos b) Perpendiculares
a) Proporcionales:6
3
4
2
2
m =
= m = -1
b) Vectores normales perpendiculares: (m,2,-3).(2,-4,6) = 0 2m 8 -18 = 0 m = 13
Ejercicio 37 : Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular alplano que pasa por el origen y por los puntos B(1,1,1) y C(1,2,1).
Recta:
=+=
= )1,0,1(v:0zx0
121
111
zyx
:
)1,2,1(OC
)1,1,1(OB:Vectores
)0,0,0(O:Punto
:nv:Vector
)3,2,1(P:Punto
rr
1
3z
0
2y
1
1x =
=
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
16/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 16
Ejercicio 38 : Escribe la ecuacin del plano que contiene a la recta r:
====++++
====++++
0zyx2
01yxy es
paralelo a s:42z
3y
2x1
++++========
Plano:
)4,3,2(v
v:Vectores
P:Punto
s
r
r
Pasamos r a paramtricas: y = , x = 1 - , z = -2 + 2+ = 3- 2
)3,1,1(v
)2,0,1(P
r
r
Plano: 0
432
311
2zy1x
=
+
-13(x 1) -10y (z + 2) = 0 -13x 10y z +11 = 0
Ejercicio 39 : Indica qu condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano : ax + by +cz + d = 0 sea:a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXYc) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje Xe) No sea paralelo a ninguno de los ejes.
a) n|| noxy1
c
0
b
0
a== a = 0, b = 0
b) n.nOXY= 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 c = 0
c) n.vZ =0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 c = 0d) n|| vX
0
c
0
b
1
a== b = 0, c = 0
e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a 0, b 0, c 0
Autoevaluacin pg 181 del libro.
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 17
NGULOS
ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r1,r2) = cos (
v 1,
v 2) =
2
1
2
1
v.v
v.v
ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (1, 2) = cos(
n 1,
n 2) =2
1
2
1
n.n
n.n
NGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (r, ) = cos (
v r,
n ) =
r
r
n.v
n.v
Ejemplo 40 : Hallar el ngulo que forman las siguientes rectas:r:
1z
31y
53x
====
++++====
s:
====++++
====++++
05y2x
4z5y3x2
cos (r,s) = cos (vr, vs)
=
=
)7,5,10(||)7,5,10(
021
532
kji
v
)1,3,5(v
s
r
cos(vr,vs) =
74,0
174.35
58
4925100.1925
71550
|v|.|v|
v.v
sr
sr==
++++
+= = 41 59 35,79
Ejemplo 41 : Hallar el ngulo que forman los siguientes planos:1: x + 8y 4z = 0 2: 2x y + 3 = 0
cos (1,2) = cos (n1, n2) = 3,05.81
6
014.16641
82
|n|.|n|
n.n
21
21==
++++
=
= 72 39 14,16
Ejemplo 42 : Hallar el ngulo que forman la recta y el plano:r: (x,y,z) = (3,-1,1) + t.(2,5,-1) : 2x 5y +7z 11 = 0
sen (r,) = sen (vr, n) = 57,078.30
28
49254.1254
7254
|n|.|v|
n.v
r
r==
++++
=
= 35 22 5,54
Ejercicio 43 : Halla el valor de m para que r y s formen un ngulo de 90:
r:
====
====
====
t2z
ty
t52x
s:
====
====
++++====
mtz
t2y
t2x
vr.vs= 0 (-5,1,-1).(1,2,m) = 0 -5 + 2 m = 0 m = -3
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
18/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 18
Ejercicio 44 : Halla, en cada caso, el ngulo que forman la recta y el plano:
a) r:2z
43y
21x
====++++
====
++++ : x 2y z + 1 = 0
sen (r,) = sen (vr, n) = 16.24
12
141.4164
282
|n|.|v|
n.v
r
r==
++++
=
= 90
b) r: x = t; y = 1 + 2t; z = -2 : 2x y + z = 0
sen (r,) = sen (vr, n) = 0114.041
022
|n|.|v|
n.v
r
r=
++++
+=
= 0
c) r:1z
13y
21x
====
====
: x + z = 17
sen (r,) = sen (vr, n) = 87,02.6
3
101.114
12
|n|.|v|
n.v
r
r==
++++
+=
= 60
Ejercicio 45 : Calcula el ngulo que forman los dos planos siguientes:: z = 3 : x y + 2z + 4 = 0
cos (,) = cos (n, n) = 82,06.
2
411.100
200
|n|.|n|
n.n==
++++
++=
= 35 15 51,8
Ejercicio 46 : Hallar los tres ngulos de un tringulo cuyos vrtices son: A(0,0,0), B(1,2,1), C(3,1,1)
AB = (1,2,1), AC = (3,1,1), BC = (2,-1,0)
Cos (AB,AC) = 74,011.6
6
119.141
123
==++++
++= = 42 23 31,36
Cos (AB,BC) = 05.6
0
014.141
022==
++++
+= = 90
= 180 - 90 - 42 23 31,36 = 47 36 28,64
Ejercicio 47 : Hallar el ngulo que forma el plano : x 2y + z = 0 con cada uno de los ejescoordenados.
sen (OX,) = sen ((1,0,0), n) = 41,06
1
141.1
1
|n|.|v|
n.v
OX
OX==
++=
= 24 5 41,43
sen (OY,) = sen ((0,1,0), n) = 82,06
2
141.1
2
|n|.|v|
n.v
OY
OY==
++
=
= 54 44 8,2
sen (OZ,) = sen ((0,0,1), n) = 41,06
1
141.1
1
|n|.|v|
n.v
OZ
OZ==
++=
= 24 5 41,43
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
19/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 19
DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2)
d(A,B) = |
AB | = ( ) ( ) ( )2122
12
2
12 zzyyxx ++
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA
d(P,r) =
r
r
r
v
vxPP
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x0,y0,z0), : Ax + By + Cz + D = 0
d(P,) =222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
d(r,s) =[ ]
sr
srsr
x vv
PP,v,v
DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANOd(r, ) = d(Pr,)
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOSd(1, 2) = d(P1, 2)
Si222
21
2
1
CBA
'DD),(d0'DCzByAx:
0DCzByAx:
++
=
=+++=+++
Ejemplo 48 : Hallar la distancia entre los puntos P(1,2,0) y Q(2,-3,1)
d(P,Q) = u2,5u3.3271251)01()23()12(222 ===++=++
Ejemplo 49 : Halla la distancia del punto P(5,-1,6) y la recta r:
++++====
====
====
t5z
ty
t21x
= 1)-1,(-4,PPr
1)vr(-2,-1,Pr(1,0,5),:rPPrx vr= )6,6,0(
112
114
kji
=
d(P,r) =
r
r
r
v
vxPP
= u46,3u3.212114
36360===
++
++
Ejemplo 50 : Halla la distancia del punto P(1,2,3) al plano : 2x + 3y z =-7d(P,) = u21,3
14
12
194
732.31.2==
++
++
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
20/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 20
Ejemplo 51 : Halla la distancia entre las rectas r:
++++====
====
++++====
t28z
1y
t5x
s:
++++====
====
++++====
t45z
t3y
t34x
[ ] 9)]0162()2403[(
341
413
201
PP,v,v)3,4,1(PP
)4,1,3(v),5,3,4(P:s
)2,0,1(v),8,1,5(P:rsrsrsr
ss
rr=++++=
=
Vrx Vs= )1,2,2(
413
201
kji
=
d(r,s) =[ ]
sr
srsr
x vv
PP,v,v= u3
144
|9|=
++
Ejemplo 52: Halla la distancia entre la recta r:1
2z
2
1y
5
3x
++++====
====
y el plano : x 3y z + 6=0
d(r, ) = d(Pr,) = u41,211
8
191
6)2(1.33==
++
+
Ejemplo 53 : Halla la distancia entre dos planos: 1: x 5y + 2z 19 = 0, 2: 2x 10y + 4z = 0
1: 2x 10y + 4z 38 = 0 222
21
CBA
'DD),(d
++
= = 47,3
120
38
161004
038==
++
u
Ejercicio 54 : Halla la distancia que hay entre los puntos A(2,5,-2), B(-1,1,-2)
d(A,B) = u5250169)22()51()21(222 ==++=+++
Ejercicio 55 : Considera la recta r:
====++++
====
1zx
3yx
y el plano : x + y 2z = 1a) Halla las coordenadas del punto S donde se cortan r y Pasamos la recta a paramtricas y resolvemos el sistema: x = , y = + 3, z = 1 - + (+ 3) -2(1 - ) = 1 4= 0 = 0 S(0,3,1)b) Calcula la distancia del punto P(4,0,1) al punto S del apartado anterior.
d(P,S) = u5250916)11()03()40(222 ==++=++
Ejercicio 56 : Calcula la distancia entre el punto P(2,-3,1) y el plano : 3x 4z = 3
d(P,) = u2,05
1
1609
31.42.3==
++
Ejercicio 57 : Calcula la distancia entre el punto Q(2,-1,0) y el plano que contiene a P(2,0,4) y a r:
====
++++====
====
4z
t32y
t23x
Plano: 0
032
021
4zy2x
)0,3,2(v
)0,2,1()4,0,2()4,2,3(PP:Vectores
)4,0,2(P:Punto
r
r =
== 7(z 4) = 0 z-4=0
d(Q,) = u4100
40=
++
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
21/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 21
Ejercicio 58: Halla la distancia entre los siguientes pares de planos:a) 1: x 2y + 3 = 0 2: 2x 4y + 1 = 0
1: 2x 4y + 6 = 0 222
21
CBA
'DD),(d
++
= = u12,1
20
5
164
16==
+
b) 3x 2y + z 2 = 0
2: 2x y + z = -5
No son paralelos, se cortan 0),(d 21 =
Ejercicio 59 : Halla la distancia entre la recta r:
++++====
====
++++====
71z
3y
42x
y el plano : 3x 4y 3 = 0
d(r, ) = d(Pr,) = d((2,0,-1),3x-4y-3=0) = u6,05
3
0169
30.42.3==
++
Ejercicio 60 : Calcula la distancia que hay entre el punto P(3,1,6) y la recta r: x = 4 + 4; y = 2 +; z = -1 - 3
= (1,1,-7)PPr
)vr(4,1,-3,Pr(4,2,-1):rPPrx vr= )3,25,4(
314
711kji
=
d(P,r) =
r
r
r
v
vxPP
= u52526
650
9116
962516===
++
++
Ejercicio 61 : Halla la distancia entre las rectas r:
++++====
====
====
59z
310y
4x
s:
++++====
++++====
====
t4z
t91y
t122x
[ ] 800)]1804490()6606180[(
5112
1912
534
PP,v,v)5,11,2(PP)1,9,12(v),4,1,2(P:s
)5,3,4(v),9,10,0(P:rsrsrsr
ss
rr=+=
=
Vrx Vs= )0,64.48(
1912
534
kji
=
d(r,s) =[ ]
sr
srsr
x vv
PP,v,v= u10
80
800
40962304
|800|==
+
7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos
22/24
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 22
EJERCICIOS IMPORTANTES
Corta o se apoya
Ejercicio 62 : Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2,0,-1) y corta a las
rectas s1:1
1z12y
22x ++++
====
====
s2:
====++++
====++++++++
03z3y04yx
Ps1(2+2,-+2,-1), Ps2(z=,y=-3+3,x=-1-3)=(-1-3,-3+3,)
PPs1paralelo a PPs2133
2
33
2
+
=
+
+=
=
==+=+
=
=+
+=+
1
00)1(5055
6369
3322
636366
Si = 0 - 6=6 = -1 00
62
00 =
= cierto
r:0
1x
2
y
0
2x
)0,2,0(PP:Vector
)1,0,2(P:Punto
1s
+==
=
Ejercicio 63 : Halla la ecuacin de la recta que pasa por A(1,1,1), es paralela al plano : x y
+ z 3 = 0 y corta a la recta r:
====
====
3y
1x
APres perpendicular a n(Producto escalar cero): Pr(1,3,)
)1,1,1(n
)1,2,0(APr
APr.n= (0,2,-1).(1,-1,1) = 0 -2 + -1 = 0 = 3
r: 1z1y0
1x
)1,1,0(||)2,2,0(AP:Vector
)1,1,1(A:Punto
r
==
Ejercicio 64 : Halla la ecuacin de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta
perpendicularmente a la recta r:3z
21y
13x
====++++
====
PPrperpendicular a vr(Producto escalar nulo)
=
+=+=
)3,2,1(v
)13,2,1()1,1,2()3,12,3(PP
r
r
PPr.vr= 0 + 1 + 4+ 9- 3 = 0 14- 2 = 0 = 1/7
Recta:2
1z
1
1y
4
2x
)2,1,4(||)7/4,7/2,7/8(PP:Vector
)1,1,2(P:Punto
r
=
+=
=
Ejercicio 65 : Halla la recta perpendicular comn a las rectas:
r:2
3z1
1y0x ++++
====
==== s:3z
11y
11x
====
++++====
Recta r: Pr(0,+1,2-3) vr(0,1,2)
Recta s: Ps(+1,- -1,3) vs(1,-1,3)
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 23
V= vrx vs= )1,2,5(
311
210
kji
=
Pr.Psparalelo a v: 3/4455
1257
6462
105522
1
323
2
2
5
1=
=
=+
+=++
=+
+=
=
+
Recta:1
4z
2
3/1y
5
3/1x
)1,2,5(v:Vector
)4,3/1,3/1(P:Punto s
+=
=
+
=
Ejercicio 66 : Encuentra la recta que pasa por el punto P(1,0,-1) y corta a las rectas l1y l2de
ecuaciones: l1:
====++++
====++++
04zyx2
1zy2x3 l2:
++++====
====
++++====
t1z
ty
t3x
Pasamos l1a paramtricas:
==
=
=+
=++
97z55y
x
5yx5
1y2x3z
3150
1231
4121
1231
PPl1 paralelo a PPl2 8/7871t2
87
t
55
t2
1==
+
=
=
+
Recta:3
1z
1
y
3
1x
)3,1,3(||)8/15,8/5,8/15(PP:Vector
)1,0,1(P:Punto
1l
+==
Ejercicio 67 : Comprueba que las rectas: r:
====
++++========
tz
t5y 1x s:
====
++++====++++====
7z
t5y t37x se cruzan. Halla la
ecuacin de la recta perpendicular a ambas.
Comprobar que se cruzan: vr(0,1,1), vs(3,1,0) no son paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el
sistema:
=
=
=
=
+=+
+=
7t
12t
2s
7t
s5t5
s371
Sistema incompatible, no tiene solucin. Se cruzan.
Recta perpendicular comn: PrPsperpendicular a vr,vs
PrPs= (6+3s, -10+s-t, 7-t)
Vector perpendicular a vry a vsv = vrx vs= )3,3,1(
013
110
kji
=
PrPsparalelo a v 3
t7
3
ts10
1
s36
=
+=
+
=
=
=
=+
=+
+=
2t
1s
9s3t6
11s9t
t321t3s330
t7s918
Recta: 3
2z
3
3y
1
1x
)3,3,1(:Vector
)2,3,1(P:Punto r
+
=
=
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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 24
Proyeccin ortogonal
Ejercicio 68 : Calcula la proyeccin ortogonal de la recta r:
====
====
====
2z
y
1x
sobre el plano : 2x- 3y +
z + 1 = 0
[1] P = r : 2(-1-) 3(-) + 2+ 1 = 0 3= 1 = 1/3 P(-4/3, -1/3, 2/3)[2] Q un punto cualquiera de r (distinto de P): Q(-1,0,0)
[3] r
=
=
+=
==
tz
t3y
t21x
:'r)1,3,2(nv:Vector
)0,0,1(Q:Punto
'r
[4] Q = r : 2(-1+2t) 3(-3t) + t + 1 = 0 14t = 1 t = 1/14 Q(-12/14,-3/14,1/14)
[5] s es la recta que pasa por P y Q s:
=
)5,1,4(||)42/25,42/5,14/20('PQ:Vector
)3/2,3/1,3/4(P:Punto
S:
=
+=
+=
53
2z
3
1y
434x
R
Simtricos
Ejercicio 69 : Halla el punto simtrico de P(1,0,1) respecto del plano : x y + z = 1
[1] Calcular la recta r:
+=
=
+=
== t1z
ty
t1x
:r)1,1,1(nv:Vector
)1,0,1(P:Punto
r
[2] Calcular el punto C = r : 1+t (-t) + 1 + t = 1 3t = -1 t = -1/3 C(2/3,1/3,2/3)
[3] C es el punto medio de P y P:
++=
2
1z,
2
y,
2
1x
3
2,
3
1,
3
2P
3
1,
3
2,
3
1
Ejercicio 70 : Determina el punto simtrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r:
2
1z
2
3y
1
1x ++++====
====
++++
[1] Calcular el plano :
==
)2,2,1(vn:Vector
)7,1,3(A:Punto
r
x + 2y + 2z + D -3 + 2 14 + D = 0
D = 15 x + 2y + 2z + 15 = 0[2] Calcular el punto C = r : (t-1) + 2(2t+3) + 2(2t-1) + 15 = 0 9t = -18 t = -2 C(-3,-1,-5)
[3] C es el punto medio de A y A: ( )
=
2
5z,
2
1y,
2
3x5,1,3 A(-3,-3,-3)
MS EJERCICIOSLibro, pagina 206 a partir del 31
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