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UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAs
EL CUERPQ DE LSCOMPLEJQS
GUN 15 ElEIII[IOS RESIIEITIIS
Ing. MARIO RAUL AZOCAR
1969
,fl UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE CIEN S FISICAS Y MATEMATICAS
*$9 W/
./If* Q QWuv
yy/IW %\/II~I;"IIL c:uERPo DE Los
c:cMPLEJos CON 75 EIERCICIOS RESUELTS
Ing. MARIO RAUL AZOCAR
1969
PROLOGO
El Algebra Abstracta, con la introduccin
de las Estructuras Algebrnicas, ha exigido una
actualizacin del tratamiento tradicional, de
muchos tpicos de Algebra Clsica.
Las presentes notas, redactadas en este
nuevo espritu, han sido especialmente prepara-
das para los alumnos de la Escuela de Ingeniera
de la Universidad Catlica de Chile.
Este trabajo no tiene pretensin ninguna
y l habr cumplido su finalidad fundamental, si
resulta de alguna utilidad a esa juventud capaz,
estudiosa y entusiasta, con la cual he tenido el
privilegio de convivir en las aulas, durante
muchos aos.
Mario Ral Azcar
Santiago, Mayo de 1969.
EL CUERPQ DE Los coMPLEJos
La nocin de cuerpo.
La idea de campo o cuerpo es un concep-
to fundamental del algebra, que trataremos de presentar me-
diante la introduccin de algunas definiciones.
DEF. l
Se llama operacin binaria en un conjunto no vaco:
S: {U, B] Yp 6] noao0}
a todo criterio (*) que asigne a cada par ordenado (d,B) de
elementos de S un nico elemento u a B de S.
Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto Z* de los n-
meros enteros positivos y para cada par ordenado (a,B) de
elementos de Z+, asignemos un elemento tambin de ZI, median-, ~
I
te el criterio siguiente:
DEF. 2
20
Llamaremos grupoide toda pareja (S, *) formada por
un conjunto no vaco S y una operacin binaria (*) defini-
da en
6 3....--...ss
vaco
ros y
S.
Una operacin binaria (*) definida en un conjunto no
S se dice conmutativa si
a * B = B * d V d G S ^ B G S
Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto Z de los ente-
consideremos en l, las dos operaciones siguientes:
d * G = d~B + 1 5 * 4 = 20 + 1 = 21
d r B = a - B 5 4 = 5 - 4 = 1
Entqnesfoomo el producto ordinario es conmutativoJU* _,,. -- - ,_
lo mismo zrre con la operacin (*) y como la resta no es
conmutativa la segunda operacin tampoco lo es. Asi tene~
m0S
DEF. 4
3.
vaco S, se dice asociativa si
(d * B) * Y = d * (B * ql V o Q S, B S, Y G S
Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto IR de los n-
meros reales y definamos en l las operaciones:
d * B = d + B + 5 3 * 4 = 3 + 4 + 5 = 12
d B = 2d - B 3 0 4 = 6 - 4 = 2
Haremos ver que (*) es asociativa, en efecto:
(a' B) w y = (a + B + 5) * Y = a + 3 + 5 + yp+ 5 = a+s+y+101 I
a * (B * Y) = af* (B + y + 5) = a + B + y^+ 5 + 5 = a+B+y+10
Contrariamente veamos que (0) no es asociativa
(G B) Y = (2a - B) Y = 4a - 26 - Y'
d = d 0 (26 - y) = 2d - 26 + 4y _;-s
W_O
`
WI' 1
DEFO 5 _` 4I,.
Un grupoide (S, *) tiene elemento identidad para la
operacin (*) si existe un elemento e S tal que:
d * e =4e * d = d V d S I
De acuerdo a esta definicin es inmediato que el gru~
poide ( R, +) admite al cero como elemento identidad, pues:
./I,
E' I v
4.
d + 0 = 0 + d = d V d IR
Contrariamente el grupoide (Z+, +) no tiene elemento
identidad o elemento neutro, pues el conjunto"Z+, de los
enteros positivos, no contiene al cero,
Tambin resulta inmediato que el grupoide Ilkf* )_tie
ne al unn.(1)cmo elemento neutro pues;
1 d = a - 1 = d V ^d JR
DEF. 6
Sea (S, *) un grupoide con elemento identidad e_dUn
elemento d de S se dice que tiene inverso bajo'la operacin
(*) si existe en S algn elemento d', tal que?
d * d' = d? * d = e
El grupoide (IR, +) tiene como elemento neutro al cero
y cada elemento de ZR, es decir cada nmero real tiene in"
verso bajo la operacin suma (+), pues sabemos que:
d + ( d) = (- d) + d = 0 V d 1
Similarmente el grupoide (EL n) tiene como elemento
identidad al uno (1) y cada elemento d # 0 tiene inverso
bajo la multiplicacin, ya que:
d ~ = - d = 1 V 0 # d IR
5.
' ' I 0 u *Veamos otro ejemplo. Tomemos arbitrariamente en el
conjunto ZR.- {0, l} un elemento d y consideremos el conjun~
to
s={akkez}
entonces el grupoide (S, -) es conmutativo, pues:
dm ' un = dn ~ dm A V d S, m ^ n 8 Z
este grupoide (S, ') tiene como elemento neutro, a, ya queO
' un ' d = a un = un V d 8 S^ n Z
finalmente todo elemento de S tiene inverso, en efecto:- _ Q
en ' d n = d n ~ un = d V d G S ^ n G Z
DEF. 7 _Sea (S, *, Q) un sistema algebraico formado por un
conjunto no.vacio S y dos operaciones binarias (*) y (0). LH
operacin (}'
6.
G - (B + Y) = G - B + G - Y
V G IR, B IR, Y IR
(B+Y) -oei=B-u+Y~
(A4) V a S 3 d' S tal que a + a'' _ . . -,_ f ='f_ -, ,_ -", ' -W- . _- -=. - W .___..- , ,
, ''('_-_.|.,. \- ~.Mv-
(Ml) d ' B = B ' d V d S,
(M2) (a - B) ' Y = a ' (B ' Y) V a 6 S,
(MG) H u G S, u # e, tal que: u - u = q. V d G S
(M4) V d $V$2%g ft*Y 3 dni S tal que la . u-1 e
(Dl) d ' (B + Y) = d ' B + d - Y V d S, B G S, Y
De acuerdo a esta definicin, tenemos que en todo cu -
tativos, asociativos, con elemento neutro para,cada operacin
(E) para la suma y (U) para la multiplicacin. Adems cada
elemento de ellos, tiene inverso en cada una de las opera-
ciones. Finalmente la multiplicacin es distributiva sobre
la suma. ~4f=jlg
Como ejemplos de campos podemos mencionar los siste-
mas (Q, +,~)I"y" (IR, +, -) donde Q es el conjunto de los
racionales y R el conjunto de los reales; ~
Terminaremos estas ideas mostrando que el sistema
(S, +, ), donde:.
I`S=={a+b\/-IaID/xb-G
en
B
B
1 .
QI
e s, Y e s
po (S, +, -) los grupoides (S, +) y (S - {e}, ~) son conmu-
8.
es un campo.'
Comencemos verificando que la suma de dos elementos
de S es un elemento de S, en efecto si: .
a = a + b VE- y B = ,+ d J;
tenemos: ,
d + B = (a + c) + (b + d) Vt GTSK ,
Adems los axiomas (A1) y (A2) son inmediatos y obvia-
mente el elemento neutro de la operacin suma, es s = 0 + 0 VE.
Finalmente el inverso de a = a + b\f es (-c) = -a - b VE:Y ,
Y Comprobemosahora los axiomas de multiplicacin, ha-
ciendo ver previamente que el producto de dos elementos de S
es un elemento de S. Para: _'
Y L\,a = a + kVG; y B = c+ d\[,~Y Y .
tenemos ,WT' -4- Y
oc ~ B = (a'+.bIV-)(c +d\/E) = (ac + 5 bd) + (ad + bc)\/-5_ S
Los ximas (M1) y (M2) son inmediatos y el elementoneutro para la multiplicacin es u = l 0\I5. Ahora dado
d = a + b\f ie, busquemos un elemento d-1 = x + y\I5
tal que: d ' d_1 =Iu =~1. Afirmamos que dicho elemento es:
9.
OL-1: 1 =a2-b\/-zza 2__2b 2V'`eSa+b\/a-sb a~sb a-sb
en efecto, tenemos que a 1 existe, ya que por hiptesis sien-
do a y b racionales no debe ocurrir que: az - 5b2 = 0, pues
si asi sucediera llegariamos a la afirmacin contradictoria:
%=\[- con aD^-b`ID
que establece igualdad entre un racional y un irracional.
Adems: A
OL 'OL-1 (a+b\/-) =1=1+0V;=
Finalmente no es dificil verificar el axioma (D1),
con lo cual queda probado que (S, +, -) es un cuerpo.
Y
El Cuerpo de los Complejos.
En este prrafo nos proponemos introducir el campo de
los nmeros complejos, cuerpo que es de fundamental importan-
cia en el estudio de la matemtica. I
DEF. 9
Llamaremos nmero complejo toda pareja ordenada (x, y)
de nmeros reales.
Dcada un
DEF. 10
parte r
imagina
G5 COI'I`
DEF. ll
diremos
Z =1
es refl
cin pr
10.
e acuerdo a esta definicin, son nmeros complejos,
o de los elementos del conjunto
_
11.
plejo opuesto de z, al nmero complejo: -z = (-x, - y).
DEF. 13
Llamaremos complejo nulo, al complejo (0, 0) = 6
Trataremos ahora de dar al conjunto de los nmeros
complejos la estructura de cuerpo.: Para ello es necesario
introducir dos operaciones binarias, suma (+) y producto
(-) de tal modo que ellas verifiquen las condiciones (A),
(M) y (D) expresadas en la definicin de cuerpo.
DEF. 14
Dados dos nmeros complejos zl = (xl, yl) y zz =
(x2, yz), llamaremos suma de ellos al nmero complejo:
zl + zz = (xl + x2 , yl + y2)
Teorema 1
(a). zl + zz = zz + zl
(b). (zl + zz) + z3 = zl + (zz + zz)
(c). z + 9 = z
(d). z + %(- z) = 6
12.
EQ.
Ia) zi * 22 = (X1 * X2' Yi * Y2) = (X2 + X1' Y2 * Y1=z2* zi
Ib)(Z + 22) + 23 = (xl + X2, yl + yz) + (X3 , Y3)
= (X1 * X2 + xa' Y1 + Y2 + Ya)
F---*W r*-*-1 _ += (xl + x2 + x3, yl + yz + y3) - z1+(z2 z3)
(c) z + 6 = (x, y) + (0, 0) = (x + O, y + 0) = (x, y) = z
(d) z + (-z) = (x, y) + (-x. -y) = (X - X, y - Y) = (0, 0) =
Corolario
i El grupoide (, +) es conmutativo (Al), asociativo
(A2), tiene elemento neutro (A3) y cada elemento z tiene
un inverso (-z) 6 (A4).
DEF. 15
Dado un complejo z = (x, y) # 9, llamaremos recproco
de l, al complejo:
z`1 = (____ , __ZX_)x + y x + y
13.
Continuando con la idea de dar al conjunto de los
nmeros complejos la estructura de cuerpo, introduzcamos
ahora la operacin producto (-)
DEF. 16
Dados dos complejos zl - (xl, yx) y zz = (x2,y2),
llamaremos producto de ellos, al complejo:
zi ` 22 = (X1 X2 ` Y1 Y2 ' X1 Y2 *'x2 Yi)Teorema 2
fa). zl ' zz = zz ' zl
(b). (zl . zz) . z3 = zl - (zz z3)
(c). z u = z siendo u = (1, 0)
(d). z -,z_1 = u V z # Q
QE.
(a). zl ' zz = (xl, yz) ' (X2, yz)
= (X1 X2 ` Y1 Y2 ' X1 Y2 + X2 Yi)
= (X2 X1 ' Y2 Y1 ' X2 Y1 + X1 Y2) = zz ' 21
14.
(b)' (zi ' zz) ` 23 = (X1 X2' Yi Y2 , Xi Y2 + X2 Yi)'(X3'Y3)
F"i__\= I Xi X2 " Yi Y2 X3 ` X1 Y2+ X2 Yi Y3'
r--_---- r------, X X " X 'I'1 2 Yi Y2 Y3 I 1 Y2 X2 Y1 X3)_ r------1 r------ (Xi X2 X3 ` Y2 Y3 ` Yi Y2 X3 + X2 Y3'
' X1 X2 Y3 + Y2 X3 * Yi X2 X3 Y2 Y3
= IX1' Yi) ' (X2 X3 ` Y2 Y3 ' X2Y3+ X3Y2I
= 21 ' (22 ' 23)
(c). z -u = (x, y) (1, 0) = (x - 0 , 0 + y) = (x, y) = Z
(d. iz.:-z`1 = (x, y - (----2- , -2-T-Y-x + y x + y
2 2= )=(10)=u
2 2 ' 2 2X + y x + y
Corolario
El grupoide ( - {9} , - ) es conmutativo (M1), aso-
ciativo (M2), tiene elemento neutro (M3)f Y cada elemento
z # 6 tiene un inverso z-1 6 (M4).
15.
Teorema 3
zl ~ (zz + 23) = 21 - zz + zl - z3
Dm.
zl- (zz + z3) = (xl, yl) (X2 + x3, y2 + y)
= (Xi X2 " Yi Y2 ' Xi Y2 * X2 Yi) I
(Xi X3 ` Yi Y3 ' Xi Y3 I X3 Yi)
= (XII yl)'(X2|' + (XII Yl)(X3r
= z ' z + z z1 2 l 3
Este teorema nos muestra que el producto de comple-
jos es distributivo sobre la suma.
IBEIL. 4
El conjunto de los nmeros complejos junto con las
operaciones suma (+) y producto (u) es un cuerpo.
Rifl-
La tesis propuesta es consecuencia inmediata de los
tres teoremas anteriores.
" (X1X2+ XiX3` YiY2" YiY3,XiY2) XiY3I *2Yi 3Yi)
16.
DEF. 17-__-
Un subconjunto no vaco S de un cuerpo (K, +, -) se
dice subcuerpo de K si y slo si (S, +, -) es cuerpo.
Teorema 5 mi \
El conjunto de los nmeros complejos de.la forma(x, 0) es un subcuerpo de .
Dm .
Mostraremos primero que la suma y el producto de dos
elementos del conjunto
0 a {z G I z = (x, 0) ^ x IR)
es tambin elemento de O. En efecto, tenemos4,, I
(X1, 0) + (X2, 0) = (xl + x2, 0 + O) = (xl + x2,'0)
(xl, 0) ' (X2, 0) = (x1x2+ 0, x10 + x20) = (xlxz, 0)
Ahora como todo nmero z de 0 es nmero de , nece-
sariamente los elementos de 0 verifican todas las propie-
dades (A), (M) y (D) contenidas en la definicin de cuerpo,. \
de aqu entonces que 0 es un subcuerpo del cuerpo de los
nmeros complejos.
17.
observacin
Entre el cuerpo (0, + , -) de los complejos de la
forma (x, 0) y el cuerpo (IR, +, -) de los nmeros reales,
se puede establecer una correspondencia biunvoca que haga
Qcrreponder a cada elemento de 0 un elemento de IB y re-cprocamente a cada elemento de :R un elemento de 0, enefecto, para ello basta asociar al complejo (x, 0) el nme-
ro real x y al nmero real x, el complejo (x, 0).
Enxestas condiciones los cuerpos (0, +, -) y (IR,
+, -)_tienen idntico comportamiento frente a la suma y al
producto (cuerpos isomorfos). Slo hay diferencia de nota-. .__ ~ _
cin, pues operando en el cuerpo 0, se tiene:
(x1,o + (X2, o = (xl + X2, o
j
18.
DEF. 18
Los nmeros complejos de la forma (x, 0), o sea de
componente imaginaria nula, sern iguales al real x, o sea
por
DEF
(x, 0) = x V x IR
De acuerdo a esta definicin tenemos que:1
9 = (0,0) = 0 y u = (1, 0) = 1
esta razn en lo sucesivo en lugar de escribir:
z + 6 = z pondremos z + 0 = z
Az - u = z pondremos z ~ 1 = z
. 19
Los nmeros complejos de la forma (0, y) se dirn
imaginarios y llamaremos unidad imaginaria al complejo:
TGO
1: (oa 1:)
rema 6
PE-
P(
19@
Adems como:
p(x. y) = (p, 0)'(x, y) = (X. y)(p, 0) = (X. y)p
queda aprobada la tesis propuesta.
Teorema 7
Em.-(x, y) = (x + 0 , 0 + y)
(xr
DEF. 20
(x, y) = x + iy
=(x,0)+(0
y)=x+(0,1)y=X+iy
,y)
Sea z = (x, y) un complejo no nulo y n un entero po-
sitivo, entonces:
TOI'ema.-
gm.
12
13
.4i
20 = 1 zl = Z zn+1 =
ai2=-i i3=-1 i4=
1-=
Corolar
20.
io.._.----u
i4n
Obser
Si n es nmero entero positivo, se tiene:
.4 +1 . I4 +2 .4 +3 .= 1 ; i n = i ; i n e -1 ; i n = -i
vacin
Sabemos que IR es un campo ordenado, es decir, en
R es posiblfdeiuir una relacin de orden, que se expresa
por el simbolo (
21.
Consideremos los nmeros i y 0. Obviamente se tiene ..Y-i H 0. Supongamos i < 0, entonces por axioma (03) tenemos:
' 1 + (- i) < 0 + (- 1) o sea 0 < - iku
De aqui por axioma (m4) resulta:
I - o < -i(-i e sea o < 12 - -1y aprovechando nuevamente el axioma (04) tenemos:
- 0(-1) < (-1)(-i) o seu 0 < i
-Asi hemos establecido, Y que 1 < 0 .implica 1 > 0 'y esta conolusin contradice el axioma (ml). -
En forma similar se puede probar que 0 < i implica0 1, de aqui entonces gue el campo es un campo no orde-!'lD.Ib1Q 0
Mdulo de un nmero complejo.
Q.221 I ,N ,
I Blmaae mdulo de un nmero complejo z 1 (x, y), al
nmero real no negativo:
` Iz|)- + /x2 + yz
Do esta definicin resulta inmediato quo:
22I
-__-.__-
R(z) [2] oseax;_f_.`/x2+y2
I (z) 5 |z| o sea y f Vxz + yz
Teorema 9
Pl.
z=0 siyslosi |z|=0
/
Si z =r 0 = (0, 0), obviamente se tiene |z| = 0. Re-
cprocamente supongamos que |z| = 0, entonces tenemos:
xz+y2=0 dedonde x=y=0
oseaz=(0,0)=0.
DEF. 22
Dado un nmero complejo z = (x, y), llmase complejo
conjugado de z, al nmero complejo z - (x, - y).
Teorema '1 0 l
PI".-
I-2| = IZI Y ll = Izl
I- zl =\/(|-lx)2 + (-y)2 = \/x2 + yz ='= |z|
121 =\/X2*
Teorema 11
EE-(a). z + z
(b)r 2 ' E
z ' E
Teorema 12
EQ.
(a) 21 + 2
-'
" 22
21 zz
'1 2
ggorema 13
(
(X2 + yz . o -
21 +
='
=
=
='
+ z = 2x z ' z =
xr Y) + (xr "Y) = (zx: 0) =
(x, y-(x. -y = (x2 + yz ,
-II -I _.-._-_---_ 9-
(xl + xl , -yl - yz)
(X1 *2' Y1 Y2 ' `*1 Yz `
(X1: " Yi) xzr Y2) =
'zi ' 22' = '31' '22'
1212
2x = 2R(z)
- xy + x )
~ 2x2 + yz = z|
zz Z1 * zz 21 zz 21 2
(x1.- yl) + (X2,-yz) = El + E2
.(*1 X2' Y1 Y2 ' *1 Y2 * X2 Y1)
X2
21 ' zz
y1
24.
QE.
'21 ' z22 = (21 ' zz) ` (21 ' zz)
= (21 ` zz) ` (51 ' E2)
= (zi - zl) - (zz ~ 22) = Izllz |z2|2
de donde tomando la raz cuadrada positiva se obtiene la
tesis: Izl - zz] = Izll |z2|
Corolario
21 ' zz = 0 con zl f 0 , implica zz = 0
En efecto zl - zz = 0 implica Izl - z2| = 0, es
decir |z1| |z2| = 0 y como |z1| f 0, resulta que |z2| =
de donde z2 = 0
Teorema 14
121 + 221 < 1211 + 1221E.
Izl + z2|2 = (21 + zz)-(21 + zz) = (zx + z2)'(1 + 22)
Izl + z2|2 = zl ' zl + zz - zz + 21 - zz + zz - zl
121 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 + (21-;2+
25.
Ahora la suma de un complejo y su conjugado es el
doble de la componente real del complejo, luego:
O Sea.
(z - E + ('"1 1) = za (2 ' `
(21-'2+
262
Teorema 16
gg.
(2 - z )
Teorema
Para todo 21 # 0 y zz # 0, se tiene que
_ -1 _ -1 _ -1(21 22) ' 21 22
1 = 21 22 = 21' 22 _ 21 _ 22f _2 _- _121- 221 12112 12212 1211 1221_ -1 _ ~1-- Z1 Z2
EE-
27.
Teorema 18
P11-
21 ` 21 =2(x1 ' 22' Y1 ` Y2)
zl = (zl - zz) + zz
(a) zl - zz = zl + (~z2) = (xl , yl) + (-x2, - yz)
(b) (z
21 ' 22 = (21 ` 22' Y1 " Y2)
Teorema 19
Dl-
(a) |2
112) 12
lzll _ Izl _ zz' S IZII + '22'
1 _ zz' = '21 + (_z2)| s '21' +'"z2| = '21' + 'zz'
1' = (21 ' 22) * 22
Aprovechando los resultados obtenidos en (a) y (b)
queda:
DEF
(X2
'21' _ '22' 5 IZ1 " 22' 'zi + 'zz'
. 24
Dados los complejos zl = (xl , yl) y zz =
, yz) f 0, llamaremos cuociente entre zl y zz, al pro-
1 ~ zz) + zz = zl + (~z2) + 22 = zl + [}~z2)+z]= zl
28.
ducto de zl por el recproco de zz. Designando este comple-
jo 21por E- , tendremos:2
il-.-Z-Z-1zz ` 1 2Teorema 20
22-
Z Z ZE2'-=l_"--1;-E VZ2750 Z0
2 2
21 ` 2 -1 -1 _ -1 -1 21-_--._-_ = (z - z) (z - z) = (z ' z) (z - z )= z - z =-zz ' z l 2 1 2 l 2 2
Teorema 21
QEZ 1 1 1 1E; = (21. 22 (_ (_ _
21 |212; = 122! V zz 0
|21|-_ 1 -_ ._ .-2-.-2-_.. ._ _.-._
1
Teorema 22
PE
_* . 1 _E-5) --- V Z2 0
.---_.-- _Z ----*~ _- -:* _ _ _ Z1 -1 1 1 _ 1(")= (21 ' 22 ) = 21 ' 22 = 21 ` (22) ` 5;2
29.
Teorema 23
1 _ -1 MZ-Z V Zfo
219.1 1 0 l - -='L"' =11,01~2 =-1-21=21
Corolario
Z1_ .iE; " 21 zz V 22 2 0
DEF. 25
Sea z = x + iy un complejo no nulo y n un entero po
sitivo, entonces:n
zqn = (x -1- y)n = EW + iy)' == (z"l)n
DEF. 26
Sea z = a + ib un complejo y n un entero positivo
llamaremos raz n-sima de z = a + ib, a todo complejo
(x + iy) tal que:
1 (x + iy) = 2 + ib
La raz n-sima de un complejo 2 = a + ib ser indi~
cada con cualquiera de las notaciones:1
l\/?=.9,/a+1b = 1a+1b1
30.
Forma trigonomtrica de un complejo.
Dado un complejo no nulo z = x + iy, teniendo pre-
sente que:
x$`/x2+y2=r y x2+y2=r
' 2 2-1 < ~ 5 1 -1 5 < 1 55 + = 1
r r
resulta:
Hx HP n, la raiz ser primitiva, pues
tendremos que..1 12
' IIIIIOI '
sern todas races de la unidad, siendo adems diferentes.
Supongamos primero que k y n'no son primos; entonces
tendrn un divisor comn d, tal que k = pd y n = qd, en
estas condiciones, tenemos:
39.
La suma de dos complejos variables al y zz dividida
por la diferencia de ellos da un imaginario puro. De-
muestre que los complejos 21 y zz se desplazan sobre
una circunferencia con centro en el origen.
Solucin
Sean los complejos 21 = (xl, x2) y zz = (x2, yz),
entonces:
a1V+ Z = (xl + x2) f 1(y1 yz)zl - 22 (xl - x2) + i(yl " yz)
:'11 1* a 1 (*12'*2,2'*(Y1?"'22 *W .(1`2 (?1Y2'2 - 2 (xl - X212 +1111 - y22y para que este complejo sea imaginario puro, debe ser:(
2 2x12 - x22 + yl - yz = 0 o sea x12 + ylz = x22 + yaa
resultado que nos muestra que |z1I = |z2|, o sea zi y
zz se desplazan sobre una misma circunferencia con centro
en el origen.
Un complejo z = x + iy se mueve sobre la recta3x + 4y + S = 0. Demostrar que el valor minimo de |z|
es uno.
40.
De todas slo wl y ws son races primitivas ya que
1 y 5 son primos con 6. Adems no es difcil verificar
que: `
3 _ 2 _ 3 _ _wz - l w3 - l W4 - l wo - 1
resultado que nos muestra que wo, wz, w3 y w4 no son rai-
ces primitivas.
DEF. 30
Dado un complejo z = a (cos a + i sen a) y un ra-
cional irreductible, la potencia de exponente racional de
un complejo se definir por: ,
zp/q = gd- con q > 0
De esta definicin resulta inmediato que
=-q` lap (CQS E_ + 1 sen
1] 2; 3] roolio qc
La expresin precedente nos muestra que z P/q tiene
q valores diferentes. El valor que se obtiene para k = 0
lo llamaremos valor principal.
41.
Representacin grfica del nmero complejo
El estudio del cuerpo de los complejos ha sido desa-
rrollado aritmticamente sin recurrir a ninguna representa-
cin geomtrica; sin embargo teniendo presente las aplicacio-
nes de este concepto, indicaremos dos representaciones gr-
ficas del nmero complejo, que son las que corrientemente
ms se usan.
Consideremos un plano y en l un sistema de ejes car-
tesiano ortogonal. Sabemos desde la geometra que todo pun-
to del plano, determina con referencia al sistema de ejes
elegido, dos nmeros reales x e y que son su abscisa y
su ordenada respectivamente. Recprocamente dados dos nme-
ros reales x e y se podr siempre individualizar un pun-
to de este plano y solamente uno, que tenga a x como abscisa
e y como ordenada
1
\1>)
Z
\\ Y
0 p acQu
Ahora como todo nmero compl
jo z = (x, y) es una pareja
ordenada de nmeros reales,
resulta que todo complejo
determina un punto del plano
que tenga a x como abscisa
e y como ordenada y recpro-
42.
camente todo punto (x, y) del plano determina un complejo
z = (x, y).
De acuerdo a estas ideas se acostumbra a tomar como
representacin geomtrica del complejo z = (x, y) al pun-
to (x, y) del plano. De aqu que trabajando con represen-
tacin geomtrica de complejos sern sinnimas las expre-
siones: nmero complejo y punto del plano. Adems lo co-
rriente entonces, ser expresar el complejo por una letra
mayscula, notacin habitual para designar puntos de un
plano.
Otra representacin grfica corriente para el com-
plejo z = (x, y) es el vector del plano xy cuyas proyeccio-
nes sobre los ejes sean precisamente los nmeros x e y.
Obviamente que para un complejo dado hay infinitos vectores
que cumplen tales condiciones, entonces en rigor el comple-
jo z = (x, y) queda representado, o quizs mejor an, repre-
senta a la clase de equivalencia de todos los vectores cuyas
proyecciones sobre los ejes coordenados son x e y en el
orden trivial, y con sentido del origen al punto (x, y)
43.
A = (x,y) = x + iy = z
AOA =\}x2 + yz = |z|
OM = x = |z| cos ay .
p MA = y = |z| sen ax 2 2-.-~ o1=argz=argA.
GD gt M\
La representacin vectorial de un complejo da una
natural expresin a la igualdad de complejos, en efecto
sabemos que zl, = (xl, yl) y z2 = (x2, yz) son iguales
si y slo si: xl = x2 e yl = yl, es decir si, geomtri-
camente hablando, los vectores correspondientes son de i-
gual magnitud, direccin y sentido.
Representacin grfica de la suma de dos complejos
I A = (al, az) = a1+1a2
A'+B = ' =B (bl, bz) b1+ib2
JB, 2- ,A+B - (a1+bl , a2+b2)
b A ~ A+B = 1a1+b1 + (a2+b2
f) '- |A+B|$ Al +lB|
44.
ZRepresentacin grfica da diferencia de dos gomplejos
I A
B
(1) Para tener el vector BA = A-B
A B = A + (- B)
A-B basta tomar el vector que
une el punto B con el punto A
_, 0 (2) La distancia
tos dados A y
-B por: IA-BI =
(3) IAI - IBI 4 IA - BI s IAI + IBIRepresentacinygrfica del producto de dos
entre dos pun-
B se expresa
IB-Al
complejos
A 2==A A = a(oos o1+ i sen o1)b(cos 6+ i sen)
45.
Producto por un complejo de mdulo uno.
I Si un complejo A = a cis u se mulA Cp'.)`Ptiplica por un complejo cis de
mdulo uno, el producto,
A cis = a(cos'E$+ i sen'H
muestra que el vector A rota enA
un ngulo en torno a su punto
4 \ inicial.
AL 1 A
Aut)
1 1 _n_- , o--r *ji
* \*"a
Particularmente para rotar un vector A en (+ n/2) bas-
tar multiplicarlo por i y para rotarlo en (- W/2) es sufi-
ciente multiplicarlo por (-i), pues sabemos que:
i = cos(/2) + i sen (U/2) -i = cos(- n/2) + i sen (- n/2)
46.
Representacin grfica del cuociente de dos complejos
A AA = a(coso1+ i ,seno1)=a cis
B = b(cos 8+ i senB)=b cisB _A..C--- cis (01 - B)
C=^B
47,
Angulo de dos trazos AB gy CD
C = argP1 \ (P/
X/ \\
~-Lil-unn-
) 1C s
6"Q
11s\\ \
\/5 \
1 B1
\/=< (AB, CD)
= (1-B
UU7 O3?
= arg (B-A) - arg (D-C
E - 6
arg (C - B)
arg (C - A)
C - Barg 6"-r
u _
48.
Expresin de un punto sobre una recta.
Trataremos de expresar mediante operaciones con n-
meros complejos el hecho que un punto P este sobre una rec
ta determinada por dos puntos A yl B.
B 12B
2 .
A A`\ ot \'
iz'\\\ >
49.
De aqu despejando P, se obtiene:
P = - con r e IR
Considerando que la suma de los coeficientes de A y B
es la unidad, en lo sucesivo para expresar que P es un pun-
to de la recta AB, usaremos una cualesquiera de las expre-
siones:
P = aA + BB con *+ b = 1, a e IR, b e IR
o bien
P = aA + (1 - a) B con a S IR.
Observacin 1
Si C est sobre la recta determinada por los puntos
A y B, ocurrir que siempre los puntos A, B y C sern coli-
neales y para que ello suceda es necesario y suficiente que:
C = aA + (1 - a) B con a G JR
o mejor, es necesario y suficiente que:
aA + (1 - a) B - C = 0 a IR
Ahora considerando que la suma de los coeficientes
de A, B y C es cero, podremos decir que: tres puntos A, B
y C son colineales si y slo si existen tres nmeros reales
50.
a, b y c, no todos nulos, de tal modo que:
aA + bB + cC = 0 con a + b + c = 0
Este teorema es de frecuente utilidad en las aplica-
ciones geomtricas de los complejos.
Observ` el 2acion
Sabemos que si un punto P est sobre la recta deter-
minada por los puntos A y B, el cuociente entre los complejos
^ (P - A) y (P - B) debe ser
(Tn) un nmero real. Particular-
2 mente si el punto P divide(n)'B al trazo AB de modo que:
=9l0 fl
tendremos que el cuociente entre los complejos AP = (P - A)
y PB = (B - P) ser precisamente dicho nmero real: m/n;
as entonces el punto P que divide al trazo AB en la razn
m : n est dado por:
a++ 5BU3P * A _ m _'B _ n 0 Sea. pOr PSi el punto P fuese el punto medio M del trazo AB,
tendremos que AM : MB = l : 1 y entonces dicho punto medio
51.
resulta dado por:
Vl\+
IIIM=_..._.__
Expresin de un punto de un plano
Suponemos un plano determinado por tres puntos A, B
y C no colineales y pretendemos expresar un punto cualquie-
ra P del plano en trminos de los puntos A, B y C conocidos.
C Unamos A con P y sea Q la12
interseccin de las rectas
GL AP y BC. Puesto que Q es un
punto de la recta BC, tenemos
A B Q=bB+(1-b)C
y como P es punto de la recta AQ resulta:
P = aA + (1 - a) Q = aA + (1 - a) bB + (1 - a)(1 - b) C
Considerando que la suma de los coeficientes de A, B y C es:
a + (1 - a) b + (1 - a) - b (1 - a) = 1
podemos decir que P es punto del plano determinado por los
puntos no colineales A, B y C si existen tres reales a, b
y c tales que:
P = aA + bB + cC con a + b + c = 1
EJERCICIOSRESUEL TOS
C 1 u
Solucin
Solucion
a c lar =
sqnRcIcIosg_gusLTos
(1 + i) / (1 + i )
S 5ll_~l, = lnwlw (1 + ) = _
Separar la parte real y la parte imaginaria del complejo
Z
= = 1
(1 1) (1
""3(1+l)
demostrar que
Solucin
-1-
d
+
(az + b2(2 + az)
- - + 5 + 0 1 +1
son reales, usando nmeros complejos
2 2d ) = ac - d) (ad + bc)
=
=
_...-
=
1- veo% 1- + 1) 8(1 + i)
(1 + 1 { 1 1 + 1)
a + ib)(a - ib)( + d)(c - 1
(a + ib)(c + id)(a - i c - id)
ac bd, ad + c) ac - b , -ad - c
ac b (ad + bc)2
2-I-
loq 21%Expresar en la forma a + ib el complejo z s 10" ~ 1*
Solucin
I-*IQ PP-
no---p-_.-,log
-7-v-:_-N I P-
Demostrar que los nicos elementos de cuyo cuadrado(-1) son i Y (-1),
Solucin
Sea Z = x + iy , tal que n
zz = (X2 - y2, 2
luego:
= 12-11+1 __ :+111 H- P-
Z 2 21 = -l, entonces:
=' (" 1,:
X2 - yz = -1 Zxy = 0
Resolviendo el sistema se encuentra: x = O , y =
as: z = (0, 1) = i y z
Determine una ecuacin de Segundo grado a coeficientes rea-
les, que admita la solucin
= (0, ml) = (-1)(0, 1)
1Z = (~,.7-,.,,.:.'._1:.1 + 1 +
,_. 4., 1. ,_ -1--,-
H +)~ H
1,
-.-
.3.`
Solucin
El complejo z se reduce a z = (2 + i) / 4 y si z es raiz
de la ecuacin, tambin lo es = (2 -ri) / 4 1`
Considerando que: z + 2 = 1 y z - 1= 5/16 la ecua-
cin buscada es: 16 x2 - 16 x + 5 = 0 1 ;
Determinar la parte real y la parte imaginaria del complet
jo: z = \/3 + 41 + \/3 ~ 41 f
Solucin H
22 = 3 + 41 + 3 ~ 41 + 2\/9 + 16 = s1+ 2\/252 =16
Asi; 2 = 4 0 bien 21 = (4, o y zz = (24, o)
Demostrar que si la ecuacin: zz + (a + bi) 2 + (c + di) =
tiene una raiz real, se verifica que: dz - abd + cbz = O
Solucin
Sea z = r una raz real de la ecuacin, entonces:
rz + (a + b r + (c + ia) =:o
Ahora, la nulidad de este complejo implica
r2 + ar + c = 0 y br + d = 0
4.
eliminando r entre estas dos igualdades, resulta:
d2~ab
5.
Dado el complejo z = (a, b) (0, O), determinar un com-
plejo w = (x, y), tal que z w1= 1
Solucin
De inmediato tenemos
z w = (a, b)-(x, y) = (ax - by, ay + bx) = (1, 0)
luego:
ax - by = 1 bx + ay = 0
Resolviendo el sistema, se encuentra
X= Y C0f1a2+b2#0a + b a + b
AS:
W=(a )= 1 (a -b)=-Z--_.1z12'1212 1212 ' 1212
Determinar todos los complejos z, tales que 23 = 1.
Solucin
De inmediato tenemos que: z3 = 1, implica
3 2 .z - 1 = 0 o sea (2 - 1)(z + z + 1) = 0
Resolviendo las ecuaciones _
_ 2z - 1 - 0 y z + z + l = 0
6.
se encuentra:
_ _ _ l _. _ _ 121-1 z2. -(1214/) 23- 2-(1+(/3)
Poniendo como es costumbre zz = w, se encuentra fcil-
mente que z3 = wz y que: 1 + w + wz = 0
Estas igualdades es aconsejable memorizarlas, pues ellas
son de frecuente empleo,
Si w es una raiz cbica compleja de la unidad, demostrar
que: (1 + w)(l + 2w)(l + 3w)(l + Sw) = 21
Solucin
Efectuando el producto en el primer miembro se obtiene:
A = 1 + 11w + 41w2 + 61w3 + 3ow4
A = (l + w + wz) + l0w + l0w2 + 30w2 (1 + w + wz) + 31w3
de donde recordando que w3 = 1 y 1 + w + wz = 0,
resulta:
A=1o(1+w+w2+21=21.
De anloga manera demostrar que:
411-w+w211+w-w2=4 11+w2 =4(2) (1 - W111 - w2(1 ~ w4)(1 - ws) = 9
2~` 1 + + =:
x - 1 x - w x - wz x3 - 1
7.
(43 (X + 2 + b1
8.
Solucin
Haciendo z3 = x, la ecuacin se reduce a x2 + 7x - 8 = 0,
cuyas races son x = 1 y x = -8
AS:
z3 = 1 implica zl = 1 ' zz == 1/2(-1+i \/3-) z3=1/2(-1-i \/.3-)
23 = -8 implica z = 2-%/- l y calculando%)- 1 se
tiene:
24 = -2 25 = 1 + i\- 26 = 1 - 1\];-
Determinar las races de la ecuacin x3 = -1, sabiendo
que las races de x3 = 1 son:p
1 _ 1xl = 1 x2 = - 5 (1 - i\) x3 = - 5 (1 + iyr)
Solucin
Haciendo x = -u, la ecuacin x3 = -1 se transforma en:
u3 = 1, asi las races pedidas son:
x1=-1 2
9.
Determinar las races de la ecuacin x3 = i, sabiendo
que las raices de x3 = 1 son:
_ __1 . _ 1 ,xl-1 X2- (11\/) X3--(1+\/)Solucin
. . _ 3 .Haciendo x = -iu, la ecuacin x = 1 se transforma en:u3 = 1, as las races pedidas son:
_ _ _ l ~ ~ _ L _xl - i x2 - 2 (JE + i) x3 - 2 ( V3-+ i)
Determinar las races de la ecuacin: x3 = - i
Si a es una raz compleja de la ecuacin zn - 1 = 0,
demuestre que:
1 + a + a2 + ..... + an_1 = 0
Soluci
Como a es raz de zn - l = 0, la igualdad
(1 + z + zz + ..... + zn_1)(z - 1) = zn - l
nos da
(1 + a + a2 + ..... + an_l)(a - 1) = 0
y puesto que a es nmero complejo, tenemos a # 1,
.S
1+a+a2+.....+an"1=0
Calcular: S = l + i + iz + i3 + ..... + in_1
Solucin
Fcilmente se encuentra que
S = 1 + 1 + 2 + . . . + '
0Designando con 4 la expresin "es mltiplo de 4", de-
bemos considerar los casos siguientes:
(a) Si
(b) Si
(c) Si
(d) Si
Calcular la suma
s = 1 + 21 + 312 + 413 + 514 + .:... + (4n1
Solucin
La suma S puede descomponerse en las siguientes sumas
parciales:
sz = 1 {2 + 6 + 1o + ..... + (4n-2)) = 2
~. 1- =
tenemos
tenemos
tenemos
tenemos
-'-
I-' I HH
S3I-2 I-*
l entonces S
i entonces S
-l entonces S
-i entonces S
10.
4n-1
sl = 1 + 5 + 9 + ..... + (4n - 3) = #1-QL3l ~ n
2)
110
S4 = i3 (4 + 8 + 12 + .... + 4n} = 1-5 n13
luego:
s=2"2;'*'2.A+?-11:-3.-112-2=-an-222
Determinar un complejo Z = (x, y) tal que:
zz = p + iq
Solucin
Por hiptesis tenemos (x + iy)2 = p + iq. De aqu igua-
lando partes reales e imaginarias se tiene:
X2-y2=P 2y=1Resolviendo este sistema se encuentra
X..-_- '2+22+=A y= 2+2:'=
8
Suponiendo q 0, como Zxy = q, resulta que (xy)
y q deben tener igual signo, entonces las raices cua-
dradas de (p + iq) son
A A + i BJp + iq = { cuando q > 0
-A - 1 B
www A * B\/p + iq 2 { cuando q < 0
Calcular:
-A + i B
12.
\/5-121 2 (3-21) \/3+41 = (2+1)
calcular 3 /-1728
Splucin
De inmediato
xK = 12 (cos
xl = 12 (cos
x2 = 12 (cos
x3 = 12 (cos
se tiene:
1
H3
W
+2k3
+ i sen %)
+ i sen H
+ i +2k k = Op lp 20
2; + i sen )
12 (--+%\/)=s+16(/3
- 12
=12(-5%--_?;\]_)=6-1e\/--
Sea k el mximo comn divisor de los enteros positivos
m y ne Demuestre que las races de xk = 1 son raices
de xm = l y xn = 1
13.
Solucin
Sea m = pk y n = qk. Si a es una raiz de la ecuacin
xk = 1, tenemos ak = 1, luego:
2"* = 221* - (2'P - 1 2 = 22'* - 12212 - 1Determine las raices comunes de las ecuaciones x15 I 1y x21 = 1.
_ 4 _ 3Calcular el mdulo del complejo z = (2 31) (1 21)
5 + 1 3
Solucin
|zI=I(2-s14(1-:PI = J_k(2-a14|((1-3|5+: 3 |s+ 3|
_ 4 3 4 3z = jz - 3% +)_)~_(_,j = (4 + 9) 8(1+ 1) _, 134
Dados los complejos z y w con |z| = 1, demostrar que
z +_w = 1l + z w
Solucin
De z- = |z]2 = 1, resulta z = 1/E,
entonces:
luego
(z + w/(1 + E w) = (1 + E w)/:(1 + E w) = 1/E
E
__--q--,-_ .__
asi:
I 1 + zz + w _
w
Sabiendo que: Iz I = |z I = .... = Iz I = 1, demostrar2 n1que:
_ 1 1 1|z1+z2+ooon+znI _ ooo+''r;'
Solucin
= |2| F
z + w = %.+ w = (1 + z W)/'
1
14.
Para todo complejo z se tiene |z| = |z|, luego
Izl + 22 + ..... + znl =d |z1 + zz + .... n
lzl + zz + ..... + znl = Izl + zz + ..... + znl (a
Considerando que por hiptesis Izjl = 1, para 3 = 1 2
..... n, resulta que:
_ _ 1- pu. + z I
- _ 2 _ _ - _ Lzj~z - Izjl - 1 implica zj _ zj
finalmente reemplazando (b) en (a), obtenemos
Izl + 22 + ...._zn| = .r--I- url+ fl
26.
2
15.
Demostrar que para todo par de complejos z y w se
tiene:
Iz + WI2 +[z - w|2 = 2 IzI2 + 2 |w|2
Solucin
z+w|2= (z-+w(_"`"z+w =
Adems:
|z1|2 + z2|2 = |2a|2 + % |z\/az-b2|2 = 2 |a|2+z|a2-b2|
, 17.
Solucin
Haciendo: p + q = a y p - q = b, resulta
p - (a + b)/ 2 , q = (a - b)/ 2 , pz ~ qz = Va b
Reemplazando estos valores en la igualdad dada se obtie-
ne la igualdad propuesta.
Si a es un complejo de mdulo menor que uno.
( Ial < 1), demostrar que:
|z`aI'1 - z
es menor, igual o mayor que 1, segn sea |z| menor,
igual o mayor que uno.
Solucin_...-_.--_.-_--_
|z - aI2 = (z - a)(z - a) = |z|2 - a - Ez + |a|2
Il - z|2 = (1 - 5 z)(1 - 'z) = 1 * a - Hz + |az|2
|z - a|2 - |1 - a z|2 =
l8Q
un~*. "Zu Q ~tonsiderando que (1 ~ Hai J y 11 - az] son positivos,
tenemos que el mdulo del primer miembro ser menor, igual
2o mayor que 1, eegn que sem memor igual o mayor que
uno
Si x es un nmero real tai que: ~ f x < 1, demostrar
que;
iz! = l + ix + izxz + 3x3 + U) W = --l--Q/1 + x2
Solucin
Aprovechando la expresin que nos d la suma de una serie
geomtrica, el mdulo pedido se expresa por;
z = (l - X2 + X4 - X6 + ,O03 + i (X ~ X3 + x5 - x7 + ...
_ 1 + X2 _ 1___gg = Witivi i 1 ___i_g N1 + X2 1 + X2 \ (1 + X292 Q/1 + x2
a
La ecuacin: X3 - 9x2 + 33x - 65 2 0 tiene una raz
compleja cuyo mdulo es 13, Determinar las tres races
de la ecuacin,
Solucin
Sea z = a + ib la raz compleja cuyo mdulo es 13,
entonces E 2 a - b tambin debe ser raz de la ecuacin.
19.
Finalmente la tercera raz debe ser necesariamente un
nmero real c. Aprovechando las propiedades de las ra-
ces de toda ecuacin algebraica tenemos
(a+b+(a-b+
de donde simplificando por cos a/2 que no es nulo, queda:
PP'|-
PP- SR
20.
d/2 1 + itz= r =r -1~_--T-,E con t=tg(a/2)
Si z + 1/z = 2 cos a, demostrar que: zn + 1/zn = 2 cos na
Solucin
La condicin dada se puede poner en la forma:
2 _z - 2z cos a + 1 - 0
de donde despejando z, se tiene:
z = cos a \/cosz a - l = cos a i sen afn' \
As entonces tomando nicamente el signo positivo resulta:
zn = cos na + 1 sen na
-n .z = cos na - 1 sen na
nde donde sumando queda: z + z n = 2 cos na.
nSea p(x) = kio ak xk un polinomio a coeficientes reales,
tal que p(z) = a + ib. Demuestre que p(z) = a - ib.
Solucin
De inmediato tenemos:
21.
p(z) = aO+ al E + a2(z2) + ..... + an (zn)
p( = O + lle + az z2+ ..;.. + an 2 = ) = a - lb
pues sabemos que el conjugado de un producto es igual
al producto de los conjugados y el conjugado de una suma
es igual a la suma de los conjugados.
De aqu se desprende que si una ecuacin a coeficientes
reales admite una raiz compleja z tambin admite como
raiz a E .
Determinar la parte real y la imaginaria de cada uno de
los complejos: _z =_Vi y w = 1/V i.
Solucin
Sea vq= z = (x, y), entonces:
1 = (o, 1) = (X2 - yz , zxyluego:
2 2 _2xy = 1 x - y - (x + y)(x - y) = 0
La primera de estas ecuaciones nos indica que x e y
deben tener el mismo signo, entonces de la segunda slo
se obtiene x = y. Asi tenemos:
22.
2xy = 2x2 = 2y2 = 1 x = y = 1/'V2
de donde:
= '=--1-1+--j= --12Z v. V? Q
_1__1_ \/':`=\/'5'(1-1): _1(1,_1)w _ V-- z -l+ i Z 2 v'
Demuestre que el producto de las n races de la ecuacin
xn = a es p = (-1)n+1 a. (a = positivo)
Solucin
Las n races de xn = a estn dadas por:
xk =-J'(cos + 1 sen ) k = 1, 2, 3,... (n-1),n
Haciendo'2a = a y observando que
w = cos 2+ i sen
es una raz n-sima de la unidad, tenemos:
p = xl ~ x2 ' x3 ... xn = (aw)(aw2)-(aw3)..... (awn)
n(n + 1)P _ an_ w1+2+3+.....+n _ a w"""`2""`
p = a cos(n + 1)n + i sen (n + 1) = a(-1)n+1
23.
Resolver la ecuacin:
( 2 ) (_ iifblljx = 21 + i 3
Solucin
Dando a los complejos forma polar, la ecuacin se reduce
a:
cos x + i sen 1 x + cos il x + i sen x = 23 3 3 3
y luego a
cos 5 x-cos 1 x + i sen 21 x-cos x = 1 + i-0- 2 6 i 2
de donde igualando partes reales e imaginarias queda:
cos 2%-x - cos % x = 1 sen ? x - cos % x = 0
Resolviendo este sistema se encuentra como nica solucin
x = 0.
Expresar en forma polar el complejo
z = (sen a - sen B) + i (cos d - cos B)
Solucin
Sea z = r (cos + i sen ), entonces:
24.
r2 = x2 + yz e (sen d ~ sen 6)2 + (cos d - cos B)2
r2 = 2 - 2 (sen d sen 6 + cos d cos B)
rz = 2 - 2 cos (d - B) = 2 {1 - cos (d - B)}
rz = 2 - 2 senz ~- r = 2 sen Q--
Adems:
= sen a ~ sen B Sen = cos a - sen Bcos 2 sen fu - )72 2 sen (a - B)72
o sea:
S2n+
'mws = 3 Cos (OL ;**'2-:n2(d leg _ B)/S2 = s ""'"`
Qn+
'msen _ ~2 sen (a2+s/%a._s?/d ~ B)/2 _ _sen _____
entonces:
QN+
IDz = 2 sen ~ (cos -- - i sen 2--)
Determinar mdulo y argumento del complejo
z = cos a + i sen d - 1
Solucin.
Sea z = r (cos + i sen ) = (cos a - 1) + i sen d
entonces:
25.
r cos = cos a - 1 r sen = sen d
elevando al cuadrado y sumando, resulta
r2 = (cos d - l)2 + senz a = 2(1 - cos d) = 4 senz %
Por otra parte eliminando r, se tiene:
- send 2 sen % cos % a Qtg='_-=*'"""'"'2"a""' = 't=*=g(*2')lcosd 2 sen 5
_ 2 = 1 2As. r - 2 sen 2 y 2 + 2
Demostrar que la suma de las races cbicas del complejo
z = 23 (1+ i)/T3-) es nula.
Solucin
Dando forma polar al complejo obtenemos:
z = 23 (1 + i V3) = 46 (cos % + i sen %)
de donde:
-/'=3\]4_s_ (cos 1-*-l + 1 sen +96k" k, = o, 1, 2
Llamando zl, zz y z3 las races, tenemos:
3 . n _3 . 7n _3 . 13zl =-g cis 5 zz-W cis -9- z3--\/E cis --
luego:
21 + 22 + 23
21 + Z2 + 23 =
21 + Z2 + Z3 =
Z1 + 22 + 23 =
Demostrar que: (1 +
Solucin
1 - (cis -) .9 q/46 cis %
)
JGzy(cis
3 .*Vaz-cis %
18
E.9
1 - (cis % I
+ cis
(1 + cis -6-"9-+ cis
36 v
26.
M2%-+ ci ti;4;
3 n1 7 cos Zn - i sen 2n,D " >21:ij'_ 21: 'V461 - cose- i sen?? CIS =
1)/'. + (1 - i\/? = 2" cos 931
Dando forma polar a los complejos zl = 1 + i\/3 y
zz = 1 - i V3, fcilmente se encuentra:
zl = 1 + i.V3 = 2 (cos % + i sen %)
_ _ i _ V n _ V 1zz-1 1)/3 2(cos isen3)
de donde:
(1 + iVP)n = 2 (cos 2; + i sen g)
(1-i\/15)-=2n (cosf-"--isen -)HW
Sumando estas igualdades se tiene la tesis.
Si x es nmero real y n entero positivo, resolver la e-
cuacin:
1 + ix n _fi*-> 1Solucin
l + ix /_ 2k . 2k..,...._.___. ze = ----+ ...-......1 lx l cos n 1 sen n k
kn . kn kv. - + - -lx cos n 1 sen 11 cos n +
27.
0,1,2,.. (n-1)
i sen 1.51n.m ,_ ._,Q _- _-) lx cos(- g) + i sen(~ g) cos ?
1 +1'-
4, 0 'ITL r 1 tg ?1 + ix = ___wWwm%__1 _ lx l ~ i tg g
As las races de la ecuacin propuesta son:
x = tg para k = 0, 1, 2, 3, ....,(n -
Determinar las raices de la ecuacin
(>
28.
Solucin
La ecuacin puede ponerse en la forma:
x + 1 n _ _(;;":"-1')-1 "-:--'\/-1-
. knX + 1 = 1 + 1 tg : x = ~ i cot lx - 1 1 . kw n"ltg
XX+
HD
y dando a k los valores: 0, 1, 2, 3, ...., (n - 1).
Si cos a + cos B + cos W = sen a + sen B + sen W = 0,
usando nmeros complejos demostrar que:
cos 3 d + cos 3 + cos 3 W = 3 cos (a + B + W)
een 3 u + sen 3 B + sen 3 W = 3 sen (d + B + W)
Solucin U
Aprovechando que:
x = cos d + cos B + cos W = 0 y = sen u + sen B + sen W =
resulta: x + iy = cis a + cis B + cis W = 0
Entonces elevando al cubo: - cis d = cis B + cis W
queda:
-cissa = cisae + 3(is s)2 cisw + aciss (
o bien:
cis 3d+
cis 3u+
cis 3a+
cis 3d+
Finalmente separando partes reales e imaginarias se obtie-
cis 3B+
cis 3B+
cis 3B+
cis 3B+
cis
cis
cis
cis
= -3cisB cisW (cisB + cis W)
nen las igualdades pedidas.
Si zl = cis d, zz = cis B, 23 = cis W, demostrar que
Solucin
2 1 1
Sin dificultad se encuentra:
zi = cos a + i sen a \/Z:
1 . 1 _2 = cos d ~ 1 sen a E -1 1
de donde
_ 91 E- E- _ 2 (cos 2 cos 2 +Z Z1 + 22 l
3W = 3 cis (a + B +
COS
COS
W)
(z1+z2)(z +z3)(z3+z ) = 8 z 'z2'z3 cos g cos cos -
E2
Q2
29.
3W = 3 cis (B + W) cis a
+ i sen
i sen
u Bsen 5 sen 5)
3W = -3cis(B+W)~(cisa+cisB+cisW cisa)
22
22
21 + zz zl + 22
\/.21 zz \/21 Z \/z1` zzEn forma similar se obtiene:
z + z _ z3 +
...'-
....l'.____..3..=2c0s__.-.[2-
vz1~ z3 2 \/z1 z3
Finalmente multiplicando miembro a miembro estas igualda-
= 2 cos 2-~
des se tiene la expresin pedida
zl w _= 2 cos
Usando nmeros complejos demostrar que:
sen 4d cos 3d = (cos 7d - cos Sa ~ 3cos 3a + 3 cos g)
Solucin
Tomando el complejo z = cis d
z = cos d
E = cos a
entonces:
2+
Z-v
Z 0
+
Z
E
E
i
i
Sen OL
sen d
2 cos
21 sen d
1 zn
Z
-nz
a z
Z
de mdulo uno, tenemos
+
cos na + i sen nd
cos nd - i sen nd
z
E
-nz
- 2 cos na
21 sen na
1
y de aqu que:
(2 i sen d)4 (2 cos d)3 = (z ~ )4 (z + z)
31.
- 3
= uz-
Solucin-__,...---..-.-.-._....
32.
Multiplicando S por i, y sumando queda:
C + i S
C + i S
C + i S
C + i S
C + i S
cis d + cis 2 a + ..... + cis n u
cis a (cis no - 1)efe OL i-r 1 Wcis d (cos no _i sen no - 1) i cos d +` sen a - 1'
ci_dj-2sen2(n d/2)+2i senjnjo/2)cosln_ag)}~2sen2 (d/2)+2i sen(d/2)cos(d/2)
23
nQlU9
Sen 1
n+D .I-' 5 4-(cos a + i sen
Sen _
Finalmente separando partes reales e imaginarios resultan
las igualdades propuestas. '
Demostrar que:
-_ S% sC = cos d + cos (u + B) +...+cos(a+n-1B)=--cos(ew)sen ' `
Seng BS = sen a + sen (a + B) +...+sen(d+n-lB)=-sen(o+n*)
Sen
33Q
Usando nmeros complejos demostrar que:
H 4Z (Q) cos (d + kB) = 2" cosn % cos (a + g)k=o W
Solucin
Desarrollando el primer miembro de la suma propuesta te-
nemos:
C = (3) cos a + () cos (u B) + .,. + (2) cos (a + n6)
Tomando la expresin S que se indica:
S = (3) sen d + () sen (a + B) +.... + (3) sen (d + nB)
multiplicando por i y sumando, se obtiene:
C + i S = (3) cis d + () cis (a + B) + ...+(2) ci$(d+nB)
C + i S ={(3) + () cis B +....+ (3) cis nB} cis a
C + i S = (1 + cis B)n cis d = 2n cosn % cis % cis d
C + i S = 2n cosn % {cos (d + %) + i sen (a + %)}
De aqu separando partes reales e imaginaria se tiene la
igualdad propuesta.
34.
uemostrar que en todo tringulo ABC en el cual0 < b < c, se tiene:
A Z (%)k_1 sen k d = sen Wk=1
Solucin
Consideremos las dos series geomtricas convergentes:
S = sen a + 2 sen 2 o + (%)2 sen 3 d + .......
C = cos a + 2 cos 2 a + (%)2 cos 3 d + ......,
De aqu se obtiene sin dificultad que:
C + i S _ c (cos d + i sen d) _ _Jls a= c - b cos a - ib sen d a cis (-B)
ya que en todo tringulo se tiene:
c ~ b cos d = a cos B y b sen G = a sen B
Finalmente considerando quezd +6 = n - W, se tiene:
C + i S = %%{cos (n - W) + i sen (W ~ W)}
y separando partes reales e imaginarias resulta la tesis
50. Si wl, wz, w3, ..... , wn son las races n-simas de launidad, demostrar que:
*``___;' ' ' * + ' "]-"""`;'=* + 0 o n n n + -"'-'*"'3'-'^'"""' 2
35I
n1 wlx 1 - wzx 1 - wnx 1 _ xn
Solucin
Si wj es una de las races n-simas de la unidad la p
gresin geomtrica de razn: xwj nos d:2 n-1 l ~ xw.n l -l_ _ x x _ x __ jj _~+-1-I-~ 24-...+ f-n
wjn wjn- wjn_ wj (l~xwj)wj 1 - xwj
Dando a j los valores 1, 2,
gl + + l +.......+wi wl wl
n-1 n-2 n-x x x
__ _W nll
3 1" " + - + ' ' +0 o o 1 c Q 0 0+ "'_'_" =2 3 wzn 1
W? W2 W2... --. _- _- _. ... .. -... ...
- n-2 n-xn 1 x x 3 1+ + +DIIOUCOO+ =2 3w w wn n n
Sumando estas igualdades miembro a miembro y observando
que la suma de cada columna del primer miembro es cero,
menos la ltima q
nw 1n
ue es n, resulta:
3 coco nu
-_
obtenemos
n1 - xl xwl
n1 xXW2
1 xnXW
fl
n 1 l 1n = (1 - x ) {1 *' + +oooo+-*i-__?-*_'}xwl l - xwz 1 M xwn
36.
Si w es una raz n-sima primitiva de la unidad demostrar
que:
1 wz wn'1 .n~+ W +:2 +.....+ n_1 = ._1 - x w - x w - x w - x l - x
Solucin
. nSi wl, wz, w3, ...., wn son las races de x = 1,
sabemos que:
l l l+ + i +.....+ = _1 - wlx 1 - wzx l - w3x 1 - wnx 1 _ xn
2 3 nSea wl = w, entonces: wz = w ; W3 = w ;....wn= wN yy
la igualdad anterior se expresa por: W
,..e,-~..l_:_ee,, tj: ...._ V 1 2 + + _ . , _ + =
1 - wx l ~ w x 1 - w x 1 - w x 1 - x
Amplificando la primera fraccin por wn_1, la segunda por
wn_2, la tercera por wn_3 y as sucesivamente se tiene:
n-l n-2w w w 1 _" 1 + 2 +oooo+__-_"+'-'_-' _'n- n-w - x w - x w - x l - x 1 - x
Si wl, wz, w3, ...., wn son las races n-simas de la ur
nidad y k un entero, calcular la suma:
37.
S = wlk + wzk + w3k + ....+ wnk
Solucin
Si k es mltiplo de n, ser de la forma k = pn donde
p es nmero entero, entonces para todo wj tenemos:
k P .wj = wjnp = (wjn) = 1 V j = l,2,3,....n
y en este caso la suma pedida es S = n
Consideremos ahora el caso en que k no es mltiplo de n.
Si d es una raiz primitiva de orden n de la unidad; las
dems raices sern: uz, a3, :... un
Entonces tendremos:
W 1: __ (yk azk _ ak _ _ ank _ ku - ak. " 1 U - ocaso _
j=l 3 l - a. nk n kAhora considerando que a = (a ) = 1, la suma pedida,
en este caso resulta ser: S = 0
Si dl, a2,....., an son las races de la ecuacin xn = a,
calcular la suma:
_ k k kS _ + + ooo +
Determine que curva debe recorrer el complejo z para
que w = (z + 1)/(z - 1) sea imaginario puro.
38.
Solucin
Sea z = x + iy, entonces:
:sf le 1 + ix, X2 :+12 - s- 25:1z ~ 1 x - 1 + iy (x - 1) + y
y para que este complejo sea imaginario puro debe Ber:
xz + yz - 1 = 0. Asi z debe recorrer una circunferenciacon centro en el origen y radio uno.
Sea a = a + ib un complejo fijo y z = x + ly un com-
plejo que recorra la recta y = mx + n.
Determinar que curva recorre el complejo w - o + z.
Solucin
Considerando que z = x + iy = x + i(mx + n), resulta quo:
u + iv = w = a + ib + x + i (mx + n)
de donde:
u = a + x v = mx + n + b
eliminando x entre estas dos igualdades, obtenemos
v = mu + (n + b - ma)
Ecuacin que nos indica que w = u + iv recorre una rec~
ta paralela a la recta y = mx + n.
39.
La suma de dos complejos variables al y zz dividida
por la diferencia de ellos da un imaginario puro. De-
muestre que los complejos 21 y zz se desplazan sobre
una circunferencia con centro en el origen.
Solucin
Sean los complejos 21 = (xl, x2) y zz = (x2, yz),
entonces:
21 + zz _ (xl + x2) t i(y1 + yz)21 "' 22 xl "" + '_
2 2 . , , 1: _* 1: (*12~==:,>+
40.
slssinSabemos que |z| , geomtricamente representa la distancia
de z al origen. Como z recorre la recta 3x+4y+5 = 0,
el nmero real |z| es la longitud del trazo que une el
punto z de la recta con el origen. Obviamente este tra-
zo |z| tendr longitud mnima cuando l sea la distancia
del origen (0,0) a la recta 3x + 4y + 5 = 0, as entonces;
mnimo |z| = ---- = 1V9 + 16
Un complejo z = x + iy se desplaza en el plano xy de
modo que |2z - 1] = |z - 2| , determinar que curva recorre.
elssisLa condicin impuesta se expresa por:
|(2x~ 1) +2y1 = |(x-2) +y1|
(zx 12 + 4y2 = (x ~ 22 + yzEfectuando las operaciones indicadas se obtiene:
x2 + yz = 1, resultado que nos indica que z recorre una
circunferencia con centro en el origen y radio uno.
41.
Determinar el lugar geomtrico de un complejo z = x + iyque verifica la condicin: |(l + i)z - (1 + 3i)| 5 1.
Solucin.
El complejo z es tal que el mdulo de:
w=
42.
22 e w ~ wz = (1 ~ W) w 2 zi cis ;
z3 = wz - 1 = wz ~ W3 R (W - wz) w = z2 cis
As zz es zi rotado en 120 y z3 es zz rotado en 120? ;
o sea zl, zz y z3 son los vrtices de un tringulo equi-
ltero.
Si w es una raiz cbica compleja de la unidad, demostrar
que el tringulo cuyos vrtices son: z, zw, zwz es equi-1
ltero.
Solucin
Como: 1, w y wz son las tres raices cbicas de la uni-
dad, los complejos: z, zw y zwz son las raices cbicas
del complejo m z3. Siendo z, zw y zwz raices cbi-
cas de un mismo complejo,ellas tienen todas el mismo mdu-
lo |z| = |zw| = |zw2| ; de aqui que los puntos z, zw,
y zw2 estn en una misma circunferencia con centro en el
origen y radio |z|.
Finalmente:
arg zw = arg z + 120 arg zw2 = arg z + 240
As el tringulo de vrtices: z, zw y zwz es un trin-
gulo equiltero.
43.
Los vrtices A, B y C de un tringulo se mueven de modo
que:
c-A__ ._E-~:-a---k1+1.k2-l-k
donde k es constante. Demostrar que el tringulo ABC
permanece semejante a si mismo.
Solucin
De la condicin dada resulta:
C-A C-A15":- = -:*% = |k|
igualdad que nos indica que la razn entre los lados AC
y BC es constante.
He la hiptesis tambin se tiene:
arg %-E--e arg (C - A) - arg (C ~ B) = arg k
o sea:
44.
Determinar que curva recorre w cuando z recorre la: . 2 2 2 2circunferencia x? + y = r O con r a .
Solucin
De la condicin dada, se obtiene:2 2
unx-I@-'2_.(. V=y--axI' I'
entonces:IU
JmN
45.
Solucin
La condicin w = zz + a, se expresa por:
u = x2 - yz - a v = 2xy
Tomando primero x2 + yz = 1 y eliminando x e y entre
las tres igualdades se obtiene:
(u+a2+v2=1
resultado que nos indica que en este caso el L.G. de w
es una circunferencia de radio uno y centro (-a, 0).
Finalmente si .z recorre la recta x ='y, se obtiene:
u = a y v = 2x2. Estas ecuaciones muestran que w
recorre una semirecta u = a, paralela al eje u con v
no negativo.
Los complejos* z y w verifican siempre la relacin:
W - (4 + -+_;Determinar el L.G. de w cuando z recorre
(a) La circunferencia: |z| = 1
(b) El eje de ordenadas.
Solucin
De la condicin dada se obtiene:
_ W ~ Q; + di) _ W - A AZ ' w ~ (4 + i) ` w - B con B
Ahora cuando |z| = 1, se obtiene:
_ w - A _ Iw - AI _zl-T"| " :T-" _I Iigualdad que nos indica que w recorre
trazo AB, pues ]w - A] = |w - B|
Finalmente cuando z recorre el eje de
gumento es (+ /2) o (- W/2), luego:
_ w - A _ +.I'g'Z--argq--_--B--"'
46.
-b-' ++ |,.a.
l
la simetral del
ordenadas su ar~
12
o sea los complejas w - A) y (w - B) son ortogonales
y entonces w recorre una circunferencia de dimetro AB.
Los complejos A y B son las races de la ecuacin:
22 - (e + 51) z + (8 + 261) = o
Determinar un complejo C = x + iy,_ de
tringulo ABC sea equiltero.
tal modo que el
Solucin
Resolviendo la ecuacin se encuentra A _ 6 + i y
B = 2 + 4i. Ahora como.el tringulo ABC es equiltero
tenemos ABI = |BC| = ICAI y considerando que
A212 =IBCI =
CAI -'=se obtiene el sistema
(x-s2+(y-12=2s x- 2+ - 2=
..Al2
_ 2gc B]
_- 2
-4+31|2 =
2 1(x 2) +(y 4)2 2(X - 6) +~ (Y-
que nos d las soluciones:
Clg-i\/+is+\/ c2=a-:;\/-3- -Q
Los cuatro nmeros complejos A, B, C y D son concclicos
Demostrar que el nmero (C - A) (D - ) / ( - ) ( -
es real.
Solucin
Como los puntos A, B, C y D son conciclicos se tiene
48U
DC < (ACB) = < (ADB)
O(3 U1? UKJ U1?rq __ = arg _-__
15 arg - arg g = 0
AO sea:
._ unC A D Aafgf-*=*""r*> = 0y esta igualdad es suficiente para afirmar que el nmero:
c-A_n-A = (c-A) (D-B)c-Bn-B (c-B(D-A)
es real, pues su argumento es nulo.
Los vrticcs opuestos A y C de un rombo ABCD estn
dados por las raices de la ecuacin zz ~ 6(1+i)z + 161 = 0.
Determinar una ecuacin de segundo grado que d los otros
dos vrtices.
Solucin
Las races de la ecuacin dada son A = 2 + 21 y
C = 2(2 + 21), de aqu que la diagonal AC es bisectriz
del primer cuadrante. Ahora como AC y BD se dimidian,
. D B.
~'\
6*) B ,___
las expresiones que dan B + D
49.
tenemos:
B + D = A + c = 6(1 + 1)
Por otra parte el produc-
to B ~ D debe ser imagi-
nario puro (ver fig.) lue-
go l debe ser de la forma
B - D = ai, donde a es
un real arbitrario. De
y B ~ D se obtiene la
ecuacin pedida: zz - 6(1 + i) z + ai = 0.
Para que el real (a) quede determinado es necesario dar
alguna condicin adicional, por ejemplo, que: 2AC = BD.
En un cuadrado ABCD, los vrtices opuestos A y C son
las races de la ecuacin: zz - (6 + 8i) z + (1 + 301) =
Determinar los otros dos vrtices.
SolucinJ C
A B
Resolviendo la ecuacin se
tiene:
A=4+1 c=2+71
De aqu se obtiene para
el punto medio
Entonces:
MA = A ~ M = 1 - 3i MC
y como MB = i MA y MD
MB=B--M=3+i MD
de donde: B = 6 + Si y D =
M de la diagonal
50.
AC, que M = 3 + 4i.
= C - M = -l + 3i
= i MC, resulta
= D - M = -3 - i
31
Sobre los lados de un cuadriltero ABCD se construyen
hacia el exterior tringulos rectngulos issceles: ABP,
BCQ, CDR y DAS. Demostrar que los trazos PR y QS son
iguales y perpendiculares.
glucin
El vector PA es el vec-
tor PB rotado positiva-
mente en 90, luego:
QC.
.DI Q ' A-P=(B-_)i
de aqu despejando E se
obtiene: P = ~-giA E; 1 1
ZP
De anloga manera resul-
ta:
70. A,
B Ci RQ S -*
510
1 1 1
entonces:
RP = P -
SQ = Q *
0 sea: (P - R) =
y PR | sQ.
BICIPIQ Y
Demostrar que los
__(A-c)-(B-miR": 1-1: '
(B 70) -B (C fr M1,S 1-1i(Q - S), lo cual implica IP - R|= IQ I
R son nmeros complejos tales que
1 1 1
A B C = 0
P Q R
tringulos ABC: y PQR son semejantes.
Solucin
De la condicin dada se obtiene sin dificultad que:
Esta igualdad de
|._:_2*.l= |B_"___IC BI IR" QI
c - A = R - PC - B R - Q
nmeros complejos implica
Pl y argg-_-5 = ars-EC B R Q
=9_.:...P.f_-. S=D"A1_- 1--:~;~
52.
y estas igualdades muestran que los tringulos ABC y
PQR tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido
entre ellos igual, lo que garantiza su semejanza.
Los complejos A, B y C son los vrtices de un tringu-
lo equiltero. Demuestre que 1
A2-9-B2-4-C2 = A-B+B'C+C'A
Solucin
C
A E
C-A_A-B=B-cB-A"c-B A-c
Tomando estas igualdades dos
y extremos, resulta:
C2-c-B-A-c+A-B=A2-A-c-B-A+B-c=B2-B-A-c-B+c-A=
-'_
a
B
C
A
Como el tringulo ABC
equiltero, tenemos:
C-A (B-A) cis (W/3)
A-B = (C-B) cis (n/3)
B-C (A-C) cis (U/3)
de donde:
cis (U/3)
dos y multiplicando medios
-A-B2-A2+A-B-B-C2-B2+B-c-c-A2-c2+c-A
GS
propuesta
se puede expresar por
Solucin
De donde sumando miembro a miembro se obtiene la igualdad
Demostrar que una circunferencia de centro C y radio r
= +
donde t es una variable real
P
= C + r cis = +
0O m me 'J
I'
IQ-9- xiu-
OO UIN9-- - i sen
propuesta
[\)-9-
ea CA = < (A =
siendo P un punto cual-
quiera de la circunfere -
Entonces
O = C
= OC + cis
O0 rn
meuna
+1.SI`1
J. SGD "
Finalmente haciendo tg(/2) = t se tiene la igualdad
H I-*D-'+
I-'P SR
54.
Si es variable , A y B complejos fijos, demostrari
que la circunferencia de dimetro AB se expresa por:
2P
Solucin-_-.--__-
= A(1 + cis ) + B(l - cis )
(2 Sea M el punto medio deldi t AB P'i me ro y un pun
3 to cualquiera de la cireun
'V ferencia , determinado por
4 el ngulo variable< (AMP) =
0 . Entonces:
OP = OM + MP = OM + MA CiS
P:-_.
P=
M + (A - M) cis
W + U3 W + U1--- + (A - ---) cis IQ \\)
2P =-A( 1 + cis ) + B(l - cis )
Dados los complejos A y B determinar un complejo C,
de tal modo que el tringulo ABC sea equiltero.
55.
Solucin
El complejo buscado C es
Q' tal que w
-0 | wiel_Z__L = 1
C-A =1f.5 arg B 3C _A Es decir el complejo
(C - A)/(C - B) tiene m-
dulo uno y argumento (n/3),
o sea:
-E-% = cos (W/3) + i sen (W/3) = c
De aqu despejando C, se tiene la solucin buscada:
_ A - dB""'="a"'Una comprobacin simple de este resultado se obtiene to- `
mando A -1; y B = 1 *ya que obviamente debe encontrarse
C=i\/_3- obien C=-i
Demostrar que en todo tringulo ABC se tiene:
a3 cos 36 + 3a2 b cos(d - 26) + 3ab3 cos(2c-B)+b3cos 3c= c3
56.
Solucin
Fcilmente se establece que en todo tringulo se tiene
x = b cos d + a cos B = c y = b sen d - a sen B
De qui elevando al cubo~el complejo: x + iy resulta:
(x + iy)3 = {b cis a + a cis (- 5)}3 = c36
0 sea:
3 3 . 2 2c = b cis 3a + 3b a cis(2c - B) + 3 ba cis(a - 25)
+ a3 cis (-33)
De donde igualando partes reales queda:
c3 = b3 cos 3a + 3b2 a cos(2a -B)5+=3ba2'cos(d 2B)
+ a3 cos 36
el_cuerpo_de_los_complejos
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