7/24/2019 El Metodo de Cross. Estructuras Intraslacionales
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Antonio Vargas Yez
Arquitecto, profesor asociado
Curso 2012-13
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Hardy Cross, 1!-1!"
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#n este $%du&o, e& a&u$no aprender &os funda$entos de& $'todo de
Cross en e& caso de &as estructuras intras&aciona&es(
)e esta*&ecern &os criterios de signos a seguir a& referirnos a giros y
$o$entos(
)e deter$inar e& +a&or de &os $o$entos en &os etre$os articu&ados y
e$potrados $ediante &a ecuaci%n de& $o$ento en e& etre$o e$potrado(
eter$inare$os e& coeficiente de rigidez para &as *arras apoyadas-
e$potradas y +a&or de& giro en &os nudos(
.ina&$ente, a partir de &a definici%n de &a esencia de una estructura de
nudos r/gidos, deter$inare$os dos condiciones de co$pro*aci%n de&
c&cu&o efectuado(
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#& $'todo de Cross es un $'todo reiterati+o de aproi$aciones
sucesi+as $ediante e& cua&, *&oqueando e& giro en &os nudos de $anera
que se o*tengan e$potra$ientos perfectos y &i*erndo&os despu's, nos
aproi$a$os tanto co$o desea$os a &os +a&ores de &os $o$entos en &os
etre$os de &as *arras de &a estructura(
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Ante una estructura so$etida a un conunto
de acciones eternas
)e considera que &os nudos se encuentran
fios y sin posi*i&idad de giro(
#n estas circunstancias, los momentos de las
acciones exteriores aplicadas sore cada arraser!n los momentos sore "na arra con dosempotramientos per#ectossin posi*i&idad de giroa&guna(
El momento de empotramiento per#ecto s$lo aparecer! en las arras %"e
est& sometidas a acciones exteriores. Si el '(nc"lo es "n apo)o* elmomento corresponder! al de "na arra apo)ada-empotrada(
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)i ana&iza$os &a situaci%n que se genera en cada
nudo o*ser+a$os que cada uno de e&&os estar
afectado por e& $o$ento de e$potra$iento perfecto
de cada una de &as *arras que for$an e& nudo y estn
so$etidas a cargas eternas y e& $o$ento eterno
que act4e so*re '&(
e este $odo, so*re cada uno de &os nudos actuar un $o$ento su$a de &os
$o$entos eternos que act4an so*re '& y &os $o$entos de e$potra$iento perfecto
originados por &as *arras que &o for$an(
5a diferencia entre &os pri$eros y &a su$a de &os segundos constituir &o que
deno$inare$os co$o 6momento de desequilibrio, el momento que intenta hacer
girar al nudo. =
0
ijext
I
desq MMM
#& $o$ento de e$potra$iento
perfecto en e& nudo es igua& a&
$o$ento de e$potra$iento en
&a *arra con signo contrario(
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)i &i*era$os a8ora &os +/ncu&os
ficticios que 8a*/a$os considerado
en &os nudos y que i$ped/an su
giro, e& nudo girar o no en funci%n
de &os $o$entos ap&icados so*re
'&9 &os $o$entos de &os etre$os
de &as *arras 6de e$potra$iento
perfecto: y e& $o$ento eterno
que 8aya ap&icado so*re '&(
=
ij
ijij
KK
)ern a8ora &as *arras &asque se opongan a& $is$o(
ic8o de otra for$a, elmomento dedese%"ilirio resu&tante encada nudo se repartir!tendr que ser
equi&i*rado, entre cada"na de las arra %"e lo#orman en #"nci$n de loscoe#icientes de reparto,
ij
, de cada una de &as
*arras que for$an(
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Co$o 8a*/a$os +isto anterior$ente, un $o$ento
ap&icado en e& etre$o apoyado de una *arra
apoyada-e$potrada induce &a aparici%n de otro
$o$ento en e& etre$o e$potrado(
122 MM =
#n este punto, 8e$os ter$inado &a pri$era interacci%n de& $'todo de Cross(
A& &i*erar cada uno de &os nudos, se produce encada *arra que &o for$a &a situaci%n descrita9 una
*arra apoyada-e$potrada con un $o$ento
ap&icado en su etre$o apoyado que induce &a
for$aci%n de un $o$ento en e& etre$o
e$potrado(
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#& procedi$iento continua 8asta que e& grado de precisi%n en e& resu&tado es
suficiente( #n ese $o$ento no +o&+e$os a rea&izar &a tras$isi%n de &os $o$entos
de reparto que se originan a partir de &os $o$entos de desequi&i*rio de &os nudos(
El momento en cada
extremo de las arras esi+"al a la s"ma de todoslos momentos %"e ,an
aparecido en cadaextremo d"rante este
proceso9 e& $o$ento de
e$potra$iento perfectogenerado por &as cargas
eternas que act4an so*re
e&&a, &os $o$entos de
reparto y &os $o$entos de
tras$isi%n(
#& orden de $agnitud que $anea$os a& e+a&uar &os esfuerzos f&ectores de una
estructura son &os mT. Carece de sentido continuar e& proceso de c&cu&o cuando
&as aportaciones de una nue+a interacci%n no aportan $s de una d'ci$a de $B((
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=o$entos9
ositi+os9 sentido anti8orario
ositi+os9 sentido 8orario
#e$p&o9
ue podre$os o*tener de a&g4n for$u&ario9
#& criterio de signos es e& ya conocido, no de*iendo confundir&o con e& criterio de
signos de &os esfuerzos f&ectores(
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Diros9
ositi+os9 sentido anti8orario
Eegati+os9 sentido 8orario
#e$p&o9
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#& $o$ento en &os apoyos puede ca&cu&arse directa$ente a partir de una epresi%n
que deter$ina e& $o$ento en un etre$o e$potrado(
5a uni%n de un etre$o de una *arra de &a estructura a un e$potra$iento perfecto
supone &a uni%n de &a estructura, de& etre$os de esa *arra, a un e&e$ento de rigidez
infinita(0
21
2121 =
+=K
K=empK
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#cuaci%n de& $o$ento en e& etre$o
e$potrado
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)i ana&iza$os e& c&cu&o de& $o$ento en e& e$potra$iento o*tene$os9
...)(0
++++= IIIopII
op
I
op MMMMM ...)(0
++++= IIIopII
op
I
opopop MMMMM
...)(0
+++= IIIopII
op
I
opopop MMMMM
)(
00
opop MMMM ++=
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5uego, co$o e& o*eti+o de& $'todo de Cross es ca&cu&ar &os $o$entos en &os
etre$os de &as *arras, y a 'stos &os puedo conocer en e& caso de &os apoyos
e$potrados por $edio de &a ecuaci%n anterior, &o que 8ace$os es no considerareste apoyo en &a reso&uci%n de &a estructura en e& c&cu&o por Cross y &uego
deter$inar e& $o$ento ap&icando &a ecuaci%n(
Y para e& c&cu&o de &a estructura por Cross, e$peza$os por ca&cu&ar e& $o$entode e$potra$iento perfecto en e& etre$o opuesto a& e$potra$iento considerando
&a *arra co$o *ie$potrada(
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#n e& caso de que e& apoyo de &a estructura sea un apoyo si$p&e, &a rigidez de&
e&e$ento a& que se une se considera nu&a(
0=simpleapoyoK 1021
2121 =
+=K
K
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)i ana&iza$os e& +a&or de& $o$ento en e& apoyo o*tene$os9
e nue+o, co$o e& pri$er o*eti+o de& $'todo de Cross es deter$inar &os
$o$entos en &os etre$os de &as *arras y por definici%n, y co$o aca*a$os de
co$pro*ar, el momento en "n apo)o simple es cero, ignora$os este etre$oen su reso&uci%n(
ara e& c&cu&o de &os
$o$entos de e$potra$iento
perfecto, se considerar &a
*arra apoyada-e$potrada
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5a rigidez en de &as *arras depende de& tipo de apoyos de sus etre$os, y as/
co$o en e& caso de una *arra *ie$potrada es9
L
EI
K
4
=
#n e& caso de que &a *arra sea apoyada- e$potrada, es9
L
EIK
3=
EI
ML
3=
L
EI
EI
ML
MKart
3
3
==
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Conocidas &as &eyes de $o$entos f&ectores, &as &eyes de esfuerzos cortantes se
o*tiene a partir de &a re&aci%n entre &as dos &eyes de esfuerzos(
5as &eyes de esfuerzos ai&es se deter$inarn esta*&eciendo &a condici%n de
equi&i*rio en &os nudos entre &os esfuerzos cortantes y ai&es de &as *arras que
&&egan e&&os(
5os giros de &os nudos se ca&cu&an a partir de &as ecuaciones de estado de &a *arra
sustituyendo &os $o$entos por su +a&or(
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artiendo de &a ecuaci%n de estado de &a *arra9
)(0 opopKMM ++=
#n e& etre$o 19 )(0
opopKMM ++=
#n e& etre$o 29 )(
0
++=
opopopop KMM
=u&tip&icando &a segunda epresi%n por :
)(0 ++= opopopop KMM
)(0 ++= opopopop KMM
[ ]1
[ ]2
[ ]3
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artiendo de &a ecuaci%n de estado de &a *arra9
)(0 opopKMM ++=
#n e& etre$o 19 )(0
opopKMM ++= [ ]1
)(0
++= opopopop KMM [ ]3
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or &a definici%n de una estructura de nudos r/gidos, pode$os esta*&ecer doscondiciones de co$pro*aci%n de &a correcci%n de& c&cu&o efectuado9
or equi&i*rio de fuerzas en &os nudos, la s"ma de todos
los momentos aplicados en cada "no de los n"dos deeser cero
or &a definici%n de nudo r/gido* el +iro de los extremos detodas las arras %"e #orman cada n"do tiene %"e ser elmismo(
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