3. Mecánica y dinámica celestes
• El movimiento de los astros– Ecuaciones del movimiento. Propiedades generales y leyes de
conservación. Ecuaciones de las órbitas. Leyes de Kepler. El problema de dos cuerpos
– Velocidad de escape. Agujeros negros
El movimiento de los astros
• Ley de la Gravitación Universal (Newton 1687) junto con segunda Ley de Newton: leyes de movimiento de los planetas y otros objetos
• En general, dos cuerpos: m1,m2, r = r1 - r2
F12=-Gm1m2/r2 r/r = m1 d2r1/dt2 (sobre 1 gracias a 2)
• Si m1<<m2 (p.ej., m planeta y Msol) d2r2/dt2 <<
SRI fijo con origen en m2 (Sol):
m d2r/dt2 = - α r/r3 , con α=G Msol m
• Hay que obtener r(t), dados r(t0) y dr/dt(t0): ODE
• Otra manera de obtener info: constantes del movto.
Constantes del movimiento• Constantes con el tiempo• Momento angular: L=m r × dr/dt
– dL/dt=m dr/dt × dr/dt + mr × d2r/dt2=mr × (−α/m r/r3)= 0: movimiento en plano ⊥ L ya que r⊥ L
– Módulo: 2ª ley de Kepler
• Vector de Runge-Lenz: e = dr/dt × L /α - r/r
• Energía: E=m (dr/dt)2/2 - α/r• 7 cantidades conservadas, pero
α2m(e2-1)=2EL2
→ 6 independientes
L
rdr/dt
θ e
Ecuaciones de las órbitas
• r ⋅ e=r e cos θ• r ⋅ e=L2/mα - r
r = L2/mα 1+ e cos θ
• Cónica• e:
– e=|e| excentricidad
e=0 circunferencia
0<e<1 elipse
e=1 parábola
e>1 hipérbola
– dirección: periastro
r(θ=0)= L2/mα (1+e)
L
rdr/dt
θ e
E<0: Órbitas cerradas
E≥0: Órbitas abiertas
e vector cte y en plano orbital (e⋅L=0): origen de medición de ángulo Θ
α2m(e2-1)=2EL2
Órbitas elípticas
• Periastro θ=0º
(perigeo, perihelio):– r=a(1-e) distancia mínima
• Apastro θ=180º
(apogeo, afelio):– r=a(1+e) distancia máxima
∀ θ=90º: r=p
F’ F
Y
b
a
eX
c
r
θ
pr = L2/mα 1+ e cos θ
p=L2/mα
a=p/|1-e2|=α /2|E|
• En ausencia de fuerzas externas, el centro de masas (CM) tiene mov. rectilíneo y uniforme
∀ µ d2r/dt2 = - α r/r3 , con α=G m1m2 µ= m1m2 /(m1+m2) masa reducida
• Las expresiones anteriores son válidas mutatis mutandis
• El mov. respecto CM son también cónicas
• a3/P2= α/4π2µ=G(m1+m2)/ 4π2 se puede obtener masa si a,P
El problema de dos cuerpos
Centro de masas
Más información
• Ecuación de Kepler (ecKepler.pdf, wikipedia)• Ángel Franco (Universidad del País Vasco):
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm• Orús, Català, Núñez (Universidad de Barcelona):
http://www.publicacions.ub.es/liberweb/astronomia_esferica