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Formulario Electromagnetismo
Elementos de Calculo III
Coordenadas cartesianas
x y = zy z = xz x = y
A = Ax x + Ay y + Az z
r = x x + y y + z z
dr = dx x + dy y + dz z
V = Vx
x +V
yy +
V
zz
A =
x y z
x
y
z
Ax Ay Az
A = Ax
x+
Ayy
+Azz
2V = 2V
x2+
2V
y2+
2V
y2
Coordenadas cilndricas
x = cos
y = sin
z = z
= cos x + sin y
= sin x + cos y = z z = z
= A = A + A + Az z
r = + z z
dr = d + d + dz z
V = V
+1
V
+
V
zz
A = 1
z
z
A A Az
A = 1
(A) +
1
A
+Azz
2V =
1
V
+
1
2
2V
2
+2V
z2
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Coordenadas esfericas
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
r = = r r =
A = Ar r + A + A
r = r r
dr = dr r + r d + r sin d
r = sin cos x + sin sin y + cos z
= cos cos x + cos sin y sin z =
sin x + cos y
V = Vr
r +1r
V
+1
r sin V
A = 1r2 sin
r r r sin
r
Ar rA r sin A
A = 1
r2
r
r2Ar
+
1
r sin
(sin A) +
1
r sin
A
2V = 1r2
r
r2
V
r
+
1
r2 sin
sin
V
+
1
r2 sin2
2V
2
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Elementos infinitesimales de Superficie, Volumen y Camino
crculo cilndro esferadS = d d dS = dz d dS = r2 sin dd
d = d dV = d d dz dV = r2 dr sin ddStotal = a
2 Smanto total = 2aL Stotal = 4a2
Vtotal = 2a2L Vtotal = 4/3a
3
dS
(a) Disco
dS
dV
(b) Cil ndro
dS
dV
(c) Esfera
Identidades vectoriales
A B = B AA B = B AA A = 0
A
B C
=
A B
CA
B C
=
A C
B
A B
C
Si A es paralelo a B entonces A B = 0Si A es perpendicular a B entonces A B = 0
() = + ( F) = F + F ( F) = () F + F
( A B) =
B
A
A
B + B
A
A
B
( A B) = B A
A
B
2 ( F) = ( F) 2 F
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() = 0 ( A) = 0
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Teoremas
Diferencial exacta
d = dr
BA
B
A
= BA
d = BA
dr
d = ddu (u) dr Si = (u) en que u = u(r) es un campo escalar
= ddu (u) Si = (u) en que u = u(r) es un campo escalar
Teorema de Stokes: Considera un camino ce-rrado que delimita una superficie orientada (segunregla de la mano derecha al recorrer el camino).
camino
A dr =
superficie
A
n dS
Teorema de la Divergencia: Considera unasuperficie cerrada que contiene un volumen
superficie
A n dS =
volumen
A dv
superficieA
dr
dr
A
dS
(d) Teorema de Stokes
dSA
A
(e) Teorema de la Divergencia
Fuerza Electrica y Campo Electrico
Fuerza Electrica
Fq1,q2 =Kq1 q2(r1r2)||r1r2||3
Ley de Coulomb: Fuerza sobre q1 debida a q2
K =1
40 9 109 [Nm2
/C2] Constante de fuerza0 =
14K = 8,85 1012 [C2/N/m2] permitividad dielectrica del vacio
e = 1,6 1019 [C] Quanto de CargaFq2,q1 = Fq2,q1 Principio de accion y reaccion
Fq0 = Fq0 ,q1 + Fq0,q2 + . . . + Fq0 ,qN Fuerza electrica total sobre q0
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Campo Electrico
E(r) = Fq0 (r)/q0 Campo electrico que siente carga de prueba q0F(r) = qE(r) Fuerza electrica que experimenta carga q en posicion rE(r) =
Ni=1
Kqi(rri)||rri||3
Campo en r por un sistema de cargas puntuales
Distribuciones continuas de carga
Densidades de Carga Elemento de carga asociado
Volumetrica: q(r) = lmv0
qv . dq
= q(r)dv
Lineal: (r) = lml0ql
. dq = (r)dl
Superficial: (r) = lms0qs . dq
= (r)ds
Campo Electrico generado por una distribucion contnua de carga
E(r) =
K dq(r r)||r r||3
Algunos casos particulares
Carga puntual q centrada en el origen. Campo en todo el espacio:
E =Kq
r2r (esfericas)
Carga puntual q centrada en posicion r0. Campo en todo el espacio:
E =Kq(r r0)||r r0||3
Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme 0. Campo en todo elespacio:
E =2K0
Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme0. Campo sobre su eje axial:
E(x = 0, y = 0, z) =
20 z|z|
z
z2 + a2
z
Plano infinito con densidad superficial uniforme 0 contenido en plano XY. Campo en todo elespacio:
E(x,y,z) =
20
z
|z| z
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Energia potencial y Potencial electrico
Fuerza electrica es conservativa (es decir satisface F = 0) luego existe campo scalar U tal que F = U.Por el teorema de Stokes
F dr = 0. La funcion U se denomina energia potencial electrica.
El Potencial Electrico V se define como
V = lmq0
U
q
en que q0 es la carga de prueba que experimenta la fuerza.
Se satisface
U = qV Energa Potencial ElectrostaticaU = qV
WBA =B
AF dr = BAU = qBAV
BAV =1q BAU = 1q WBA = 1q
BA
F dr = BA E drV(r) = V(r0)
r
r0E
dr por algun camino de r0 a r
V(r) =
Ni=1
Kqi||rri||
distribucion de cargas puntuales
V(r) =
K dq
||rr|| distribucion continua de cargas
Algunos casos particulares
Carga puntual q centrada en el origen. Potencial en todo el espacio:
V =Kq
r(esfericas)
Carga puntual q centrada en posicion r0. Potencial en todo el espacio:
V =Kq
||r r0||
Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme 0. Potencial en todo elespacio:
V = V0 2K0 ln
0
donde V0 = V(0) es potencial de referencia
Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme0. Potencial sobre su eje axial:
V(x = 0, y = 0, z) =
20|z| z2 + a2
Plano infinito con densidad superficial uniforme 0 contenido en plano XY. Potencial en todoel espacio:
V(x,y,z) = V0 20
|z|
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Expansion en serie de Taylor
f(x) = f(x0) +1
1! f(x)|x=x0 (x x0) +1
2! f(x)|x=x0 (x x0)2 +1
3! f(x)|x=x0 (x x0)3 + . . .
Algunas expansiones utiles para x 1
(1 + x)n = 1 + nx + 12n(n 1)x2 + . . .1 + x = (1 + x)1/2 = 1 + x/2 x2/8 + . . .
1/
1 + x = (1 + x)1/2 = 1 x/2 + 3x2/8 + . . .1/(
1 + x)3 = (1 + x)3/2 = 1 3x/2 + 15x2/8 + . . .
1/(1 x) = (1 x)1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .1/(1 + x) = (1 + x)1 = 1 x + x2 x3 + x4 + . . .
Dipolo electrico
Dos cargas con signos opuestos separadas por distanciaa pequena.
q
q
a
V(r, ) = Kqa cos r2 Potencial del dipolo en origen orientado segun kp = q a Momento dipolar
V = Kprr2 Campo de dipolo en origen, orientacio arbitraria
E = Kqar3
2cos r + sin
Campo de dipolo en origen orientado segun k
E = K3(pr)rpr3 Campo de dipolo en origen, orientacion arbitrariaF = 0 Fuerza sobre el dipolo por campo externo
= p E Torque sobre el dipolo por campo externo
Ley de Gauss o de la Divergencia del campo electrico
Flujo E del campo electrico sobre una superficie cerrada y orientada exteriormente es igual aQ0
(donde Qes la carga encerrada por el volumen definido por dicha superficie).
E E dS definicion de flujoQ dq= (r)dv = (r)dl = (r)dS carga encerrada
E dS = Q0 Ley de Gauss en forma integral E(r) = (r)0 Ley de Gauss en forma diferencial
(r) = 0 E Si conozco E puedo calcular densidad de carga
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Ecuacion de Poisson y Laplace
De la Ley de Gauss en forma diferencial y substituyendo E = V se obtiene la Ecuacion de Poisson parael potencial
2V = 0
(notar que si conozco el potencial puedo calcular la densidad de carga en cada punto r. Es decir (r) =02V(r)).En las regiones de densidad de carga nula se satisface la Ecuacion de Laplace:
2V = 0
que tiene solucion unica si se especifca el valor del potencial en el contorno o borde de la region donde estaecuacion tiene validez.
Materiales Conductores
En general metales. Cargas se mueven libremente. Fuerzas superficiales impiden que cargas escapen.
E = 0superf.
n
V = cte.
V = cte.
r( r )
E = 0conductor
F = 0 en conductor (equilibrio), luego E = 0 en conductorE = V = 0 en conductor, luego V = cte en conductor
Conductores son cuerpos equipotencialesE || n justo en exterior de la superficie E es a superficie conductora
Esup =0
n justo afuera de superficie conductora
= 0Esup n densidad en superficie conductora
TIERRA: material conductor a potencial cero.
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Condensadores
Sistema de dos conductores cargados con carga igual y contraria. Capacidad se define como
C QV
Condensador de placas planas. Area A separacion d entre placas:
A
d
C =A0
d
Condensador cilndrico. Radios interior a y exterior b y largo :
a
b
l
C =20
| ln(b/a)|
Condensador esferico de capas concentricas. Radios interior a y b:
a
b
C =40ba
|b a|
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Metodo de Imagenes
Se resuelve 2V = 0 via introducir cargas ficticias fuera de la region donde vale 2V = 0, con tal que lascargas ficticias reproduzcan el valor del potencial en la region donde se quiere conocer V.
Imagenes para casos particulares
Carga q a distancia d de plano conductor conectada a tierra:
+ + + + + + + + ++ + ++ +++ + ++ ++ ++
d
d
q
q
carga imagen
Carga q frente a esfera conductora de radio a conectada a tierra:
q q
d
d
aq = ad qd = a
2
d
Cable conductor delgado frente a tierra:
d
d
cable imagen
plano conductor
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Corriente Electrica
Densidades de corriente
Si las cargas se mueven con velocidad v:
densidad volumetrica de corriente J = qv.
densidad superficial de corriente K = v.
densidad lineal de corriente I = v.
Relacion entre corriente total I y densidad de corriente:
densidad volumetrica de corriente I =
J n dS.densidad superficial de corriente I =
K n d.
en ambos casos n se refiere a un vector unitario perpendicular a la superficie dS o al segmento de longitudd.
Ley de Ohm
Esta dada por: J = E. En que es la conductividad del medio. Establece que las corrientes se mueven enla direccion del campo.
Resistencia Electrica
Es una consecuencia de la ley de Ohm. Establece que a lo largo de un camino la caida de potencial esproporcional a la corriente que circula: V = R I. La resistencia R es la constante de proporcionalidad.
R = VI
= E drJ dS
Algunos ejemplos particulares
1. Resistencia de un cable recto de longitud y area A. Vale: R = A , en que =1 es la resistividad por
unidad de largo.
2. Resistencia de un cable coaxial de radio interior a, y radio exterior b, y largo total , en que la superficieexterior (conductora de radio b) esta a potencial V1 y la superficie interior (conductora de radio a)esta a potencial V2. Esta dada por: R =
2 ln
ba
Magnetostatica
Fuerza magnetica sobre una carga puntual q que se mueve con velocidad v
F = qv B
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Movimiento de una carga puntual en un campo B = B0z uniforme
Frecuencia de Larmor: w = qB0m
Radio de giro: R = vw =mvqB0
Fuerza magnetica sobre distribucion de corriente: F=d J B
Densidad lineal de corriente: d J = dq v = v d = I d, luego: F =
I B d, con I = v.Muchas veces conviene usar la combinacion: I d = Idr. Luego: F = I
dr B.
Densidad superficial de corriente: d J = dq v = v dS = K dS, luego: F =
K B dS, con K = v.
Densidad volumetrica de corriente: d J = dq v = qv dV = J dV, luego: F =
J B dV, con J = qv.
Torque magnetico sobre una distribucion de corriente: =r dF
Densidad lineal de corriente. Se tiene: dF =
I
B d luego: =
r (
I
B) d.
Muchas veces conviene usar la combinacion: I d = Idr. Luego: = I
r (dr B).
Densidad superficial de corriente. Se tiene: d F = K B dS luego: = r ( K B) dS.Densidad volumetrica de corriente. Se tiene: d F = J B dV luego: = r ( J B) dV.
Momento magnetico dipolar m
Espira cerrada de forma cualquiera: m = I12
r dr
Espira plana de area orientada A = A n. Se tiene: m = I A n.
Fuerza y Torque sobre espira cerrada en campo uniforme B0
Fuerza magnetica: F = 0
Torque magnetico: = m B0
Campo de induccion magnetica B(r) estatico
Permeabilidad magnetica del vaco: 0 = 4 107 [S.I.]Ley de Biot-Savart: B = 04
d J(rr )||rr ||3
Distribucion lineal de corriente d J = I d . Se tiene: B = 04I(rr ) d
||rr ||3
Distribucion superficial de corriente d J = K dS. Se tiene: B = 04 K(rr )dS
||rr ||3
Distribucion volumetrica de corriente d J = J dV . Se tiene: B = 04J(rr ) dV
||rr ||3
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Algunos casos particulares
1. Campo en todo el espacio de un cable recto infinito con corriente I = Iz.Esta dado por: B = 0I2 (cilndricas).
2. Campo sobre su eje axial, de un cable circular de radio a con corriente I = I.
Esta dado por:Beje =
0Ia2
2(z2+a2)2/3 (cilndricas).
3. Campo en torno a una distribucion superficial plana de corriente K.Esta dado por: B = 02
K n.El vector n corresponde a la normal exterior a la superficie en cada cara de la distribucion de corriente.
4. Campo de un solenoide orientado segun z y que lleva corriente superficial K = K. Esta dado por:
B =
0Kz en el interior del solenoide
0 afuera del solenoide
Ecuaciones de maxwell para los campos estaticos
E = q0
B = 0 E = 0 B = 0 J
Consecuencias: Potencial Electrico y Magnetico
De E = 0 sigue que existe V tal que E = V.De B = 0 sigue que existe A tal que B = A.
V(r) =1
40
dq
||r r ||A(r) =
04
d J
||r r ||
Ecuacion de Poisson para potencial magnetico vector A
2 A = 0 J
Vector potencial magnetico A y campo B asociado a una espira pequena, de momento magneti-
co m y que esta ubicada en el origen del sistema de coordenadas .
A =04
m rr3
B =04
(3m r)
r5r m
r3
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1. Medios materiales dielectricos y magneticos
1.1. Medios dielectricos
1.1.1. Dipolo (dos cargas q y q separadas en desplazamiento r)
1. Momento dipolar electrico: p = qr
2. Potencial electrico de dipolo en origen con orientacion arbitraria: Vdipolo =Kpr
r3
1.1.2. Polarizacion P
1. P dpdv (Polarizacion o momento dipolar electrico por unidad de volumen).2. pol. = P (Densidad volumetrica de carga de polarizacion).3. pol. = P n (Densidad superficial de carga de polarizacion).
1.1.3. Vector desplazamiento D
1. D = 0 E P2. D = libre (equivale a Ley de Gauss:
D dS = Qencerrada
libre).
1.1.4. Medio lineal, isotropo y homogeneo
1. P = E0 E (E es la susceptibilidad dielectrica del material)
2. = k = 1 + E (constante dielectrica del material)
3. D = E = r0 E (la constante se conoce como la permitividad dielectrical del material, r /0 laconstante relativa. A veces se anota k = ).
4. Condiciones de borde o frontera entre dos dielectricos de distinta constante:D2 n = D1 n + libre (componentes normales discontinuas)E2 t = E1 t (componentes tangenciales continuas)
1.2. Medios magneticos
1.3. Dipolo magnetico (loop de corriente con area A =r dr y corriente I)
1. Momento dipolar magnetico: m = I A
2. Vector potencial de dipolo magnetico en origen con orientacion arbitraria: Adipolo =04
mrr3
1.4. Magnetizacion M(r)
1. M d mdv (Magnetizacion o momento dipolar magnetico por unidad de volumen).2. Jmag. = M (Densidad volumetrica de corriente de magnetizacion).3. Kmag. = M n (Densidad superficial de corriente de magnetizacion).
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1.5. Vector campo magnetico H
1. H = 10B M
2. H = Jlibre (equivale a Ley circuital de Ampere:
H dr = Icruzalibre
).
1.6. Medio lineal, isotropo y homogeneo
1. M = M1
0B (M es la susceptibilidad magnetica del material)
2. 1r = 1 M3. H = 1
B = 1r0B (la constante es la permeabilidad magnetica del material, r /0 la constante
relativa.)
4. Condiciones de borde o frontera entre dos medios magneticos de distinta constante:
B2 n = B1 n (componentes normales continuas)H2 t = E1 t + Klibre (componentes tangenciales discontinuas)
2. Campos variables en el tiempo
2.1. Ley de Faraday-Lenz
Si hay flujo variable en el tiempo en una cierta superficie, se induce a lo largo del camino que delimita dichasuperficie una f.e.m. o caida de potencial = V que se relaciona con las variaciones del flujo magneticosobre la superficie que delimita dicho circuito (o camino). Se tiene:
= dBdt
donde B
(t)
B
dS y
E
dr. Las variaciones pueden ocurrir porque la superficie vara, el campovara o la orientacion de la superficie vara o cualquier emzcla de estas. la forma diferencial de esta ley es:
E = B
t
Circuito que se traslada. Una manera alternativa de calcular cuando el cable o circuito se traslada convelocidad v en cada punto, es:
= dBdt
=
(v B) dr
B
t dS
2.2. Corriente de desplazamiento
Para respetar la conservacion de carga en las ecuaciones de Maxwell se introduce un termino D
t (llamadocorriente de desplazamiento) en la expresion de la ley de Maxwell que corresponde a la ley circuital deAmpere:
B = 0( Jlibre + Dt
)
En medios no dielectricos se tiene JD Dt = 0 E
t .
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2.3. Resumen Ecuaciones de Maxwell en el vacio.
E = 10
q
E = B
t
B = 0 B = 0( J + 0
E
t)
mas la ecuacion de continuidad o conservacion de carga:
J = qt
3. Resumen Ecuaciones de Maxwell en medios materiales (linea-
les, isotropos y homogeneos).
Forma diferencial Forma integral
D = libreD dS = Qencerrada
libre
E = B
t
E dr = ddtB dS
B = 0
S1B dS =
S2B dS
H = Jlibre +Dt
H dr = Icruzalibre
en que:D = 0 E+ P = E
y
H=1
0B M=
1
B
mas la ecuacion de continuidad o conservacion de carga:
Jlibre = libre
t
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