UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2312Ene-Mar 2007

Practica 3 1

1. Demuestre que la serie∑∞

n=11

n(n+1) converge y determine su suma.

2. Muestre que∑∞

n=1(−1)n−1 diverge.

3. Muestre que∑∞

n=11

(n+2)(n+3) = 13 . (Sugerencia: use el ejercicio 1.)

4. Demuestre que la serie∑∞

n=1

(7

n(n+1) − 23n−1

)converge y determine su suma.

5. Encuentre una formula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando limn→∞ Sn.

a)∑∞

n=11

4n2−1

b)∑∞

n=1 ln( nn+1 )

c)∑∞

n=1−1

9n2+3n−2

d)∑∞

n=11√

n+1+√

n. (Sugerencia: racionalice el denominador).

6. Determine si la serie∑∞

n=115n + 1

n converge o diverge.

7. Demuestre o de un contraejemplo: “Si∑∞

n=1 an y∑∞

n=1 bn divergen, entonces∑∞

n=1(an + bn)diverge”.

8. Sea {an}n∈N la sucesion definida por an = arn−1, donde a y r son constantes. Se define lasucesion {Sn} por Sn = a1 + a2 + · · ·+ an.

i) Deducir la siguiente formula y demostrarla por induccion:

Sn =a− arn

1− r

ii) Demostrar que {Sn} converge si y solo si |r| < 1.

iii) Utilizar lo anterior para calcular

a) 12 + 1

4 + 18 + · · ·.

b) 13 + 1

9 + 127 + · · ·.

9. ¿Que esta mal en la siguiente “demostracion”de que la serie geometrica divergente∑∞

n=1(−1)n+1

tiene por suma 0.

∞∑n=1

(−1)n+1 = [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · ·+ [1 + (−1)] + · · ·

= 0 + 0 + · · ·+ 0 + · · · = 0

10. Determine si las siguientes series convergen o divergen.

a)∑∞

n=11

n√

e

b)∑∞

n=1

(5

n+2 − 5n+3

)

1Prof. Yamilet Quintana.

c)∑∞

n=1n

ln(n+1)

d)∑∞

n=1 ln(

2n7n−5

)

e)∑∞

n=1

[(32

)n +(

23

)n]

f)∑∞

n=1

(1

n(n+1) − 4n

)

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