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323
Energía específica y momentaCapítulo VII
CAPITULO VII
ENERGIA ESPECIF ICA Y MOMENTA
7.1 Energía específica
La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del
tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de
referencia arbitrariamente escogido y se expresa así
Energía = z g
V y ++
2
2
α (7-1)
y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la
sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.
Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina
energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.
g
V y E
2
2
α += (7-2)
La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está
referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.
Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.
Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un
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Energía específica y momentaCapítulo VII
( )Q E y ,φ = (7-5)
Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de
cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.
Así, si aceptamos que el gasto es constante
( ) E y φ = (7-6)
Pero si la energía es constante,
( )Q y φ = (7-7)
7.2 Energía específica a gasto constante
Discusión de la curva y E −
La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el
eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,
tal como se ve en el Figura 7.2.
Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,
2
2
2 gA
Q y E +=
que evidentemente son
0=− y E ; 0= y
Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( y E = ) y por el eje de
abscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse
que tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al
fondo.
Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a
0=dy
dE
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Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva y E − )
Tirante
y
g 2
V 22
2 y R
I O
CRISIS
T ORRENT E
V cV < F <dE
dy0 < < 11
Q = CONSTANTEdE
= 0dy
2 g cV
2
yc
2 g
1V 2
y1
y2
E min
1V
g 2
2
y1= + = +
2 y2
2 g
V 2
E
TORRENTE RIO
y1
= + E y2 g
V 2
Energía Específica
F =V = cV 1 = 1 g
Q2 T
A3
F >V V > c
dE < 0
1 dy45º
E = y
= + E 2
V y g 2
y1
e son tirantes alternos
V
g 2
2
F > 1
y2
V 1
g 2
2
c
E E 1 2
( = )
> (flujo supercrítico) ( < ) y y1 c
y y( > )V V 1 c< (flujo subcrítico) F < 1
g 2 2 g
2
2 2
c
Si < no hay flujo posible del gasto E E Qmin
Q
g
T 2
< 13 A
A
2
g
Q> 13
T
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Energía específica y momentaCapítulo VII
y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene
dy
dA
gA
Q
dy
dE 3
2
1−= (7-8)
Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en la
figura
Para cada valor del tirante y , que es
variable, hay un valor del área A y un
valor del ancho superficial T . El área
es
( ) ( )∫ = y
dy yT y A
0
Al diferenciar esta expresión se llega a
TdydA =
Luego,
dy
dAT = (7-9)
Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.
Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérvese
en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas las
secciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene
3
2
1 gA
T Q
dy
dE
−= (7-10)
Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir
un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas
013
2
=−= gA
T Q
dy
dE
y
dy
T
A
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o bien,
T A
g Q
32
= ó 13
2
= gA
T Q (7-11)
que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.
Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse
adimensional al dividir ambos miembros por 5 L .
5
3
5
2
TL
A
gL
Q = (7-11a)
siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).
Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos
asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.
La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que
13
2
< gA
T Q
La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumple
que
13
2
> gA
T Q
El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)
13
2
= gA
T Q
La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.
De esta última ecuación se obtiene
T A g AQ =
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Energía específica y momentaCapítulo VII
El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,
T
Ad =
es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,
gd AQ =
o bien,
gd T A g V ==
que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina
velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).
cc gd T A g V == (7-12)
Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en
las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , c A y en lugar de T , cT , etc. Por comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de
A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.
Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidad
crítica sería
cc d g
V α
= (7-13)
De la ecuación 7-12, para 1=α , se obtiene que
22
2
cc d
g
V = (7-14)
Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad
del tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14
son absolutamente equivalentes.
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330
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a la
mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.
El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza por que la velocidad
siempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos
corresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor
que la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico.
De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que
g
V y E c
cmin2
2
+= (7-15)
Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre
tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.
Los tirantes1 y e
2 y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía
específica se denominan alternos.
Introducción del Número de Froude
Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.
El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las
fuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es
T A g
V
gd
V F == (7-16)
Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces
1==c
c
gd
gd F (7-17)
Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es
igual a 1.
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Energía específica y momentaCapítulo VII
En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froude
es menor que 1.
Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1.
Examinemos nuevamente la ecuación 7-10
3
2
1 gA
T Q
dy
dE −=
Al introducir AQV = se obtiene
T
A g
V
dy
dE 2
1−= (7-18)
Pero, (ec. 7-16)
T
A g
V F =
De donde,
21 F dy
dE −= (7-19)
Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,
0=dy
dE (7-20)
Condición que es precisamente de la energía mínima.
Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,
10 <<dy
dE (7-21)
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Propagación de una onda superficial
Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos
Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad
c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a
gyc = (7-22)
Siendo y la profundidad de la corriente.
Resulta evidente que la condición para
que un onda pueda remontar la corriente
es que su celeridad sea mayor que la
velocidad de la corriente.
En un torrente siempre se cumple que
la velocidad media de la corriente es
mayor que gy (sección rectangular).
De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar la
corriente.
En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.
En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta
permanece estacionaria, ( V c = ).
Ríos y torrentes
Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).
En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):
la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.
La conclusión que obtenemos es que la relación E
g V 22
describe el régimen de la corriente.
La relación E
g V 22
es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.
En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumenta
el tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en la
Figura 7.2a.
yV
c - V c + V
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Energía específica y momentaCapítulo VII
En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.
Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondo
que implican un cambio en la energía específica.
Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)
Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, han
sido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en forma
de resumen, sus principales características.
i) La curva y E − (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: unasuperior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.
ii) En un torrente,dy
dE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).
iii) La curva y E − tiene dos asíntotas que son y E = ; 0= y .
iv) La curva y E − tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,
0=dy
dE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.
El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominan
críticos.
v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la
curva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que se
caracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.
vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.
vii) En la zona superior de la curva y E − la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo
subcrítico).
En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujo
supercrítico).
viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisis
es 1.
ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.
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Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0>dy
dE .
En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica
0<dy
dE .
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante
Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la
forma siguiente
g
Q y x
32
2
32 =
Donde “ x” es la mitad del ancho superficial e “ y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de
energía.
Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,
2
T x =
g
V y
2
2
=
Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11
T
A
g
Q32
=
y
E
R I O
T O R R E N T E
" y
" E
" E y"
En un río las variaciones de
E e y son del mismo signo y
del mismo orden de magnitud.
En un torrente las variaciones de
E e y son de diferente signo y
de diferente orden de magnitud.45º
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Energía específica y momentaCapítulo VII
Siendo en este caso,
xT 2= gyQ
V Q A
2==
Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la
expresión propuesta.
Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.
7.3 Sección rectangular
Condiciones críticas
En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11
ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación
T
A g V c =
expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el
ancho superficial.
Tal como lo señalamos antes, para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es
c A y T es cT .
En una sección rectangular la relación T A (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,
cc gyV = (7-23)
que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato
22
2
cc y
g
V = (7-24)
Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de
velocidad es igual a la mitad del tirante crítico.
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Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
La energía que corresponde a las condiciones críticas es
g
V y E c
c2
2
+=
Este valor de la energía es el mínimo en la curva y E − , tal como se ve en la Figura 7.2.
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
E yc3
2= (7-25)
E g
V c3
1
2
2
= (7-26)
Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un
canal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de
presentar la ecuación 7-15.
Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando
que
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular
y E
c
c
31
E
3 E
2
2V
g 2
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c
c
y
q
A
QV ==
cc gyV =
q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión
corresponde al sistema métrico.
En general la energía específica de un canal rectangular es
g
V y E
2
2
+=
Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a
gy
V
y
E
21
2
+=
Introduciendo el número de Froude gyV F = se obtiene
21
2 F
y
E += (7-28)
Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,
y
E
dy
dE 2
3−= (7-29)
Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1= F esto significa condiciones críticas, y se
obtiene c y E 2
3= , tal como se demostró anteriormente.
Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por
oo
o3
2
32
467,0 q g q yc == (7-27)
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Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
0=dy
dE , obteniéndose también c y E
2
3= .
Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)
La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico
es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4
2
2
2 gy
q y E += (7-30)
Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico c y se obtiene
ccc y gy
q
y
y
y
E 2
2
2+=
Pero, en una sección rectangular
3
2
g
q yc =
ó lo que es lo mismo,
32
c gyq = (7-31)
Reemplazando se obtiene
2
2
2 y
y
y
y
y
E c
cc
+= (7-32)
que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente
2
2
3
1
3
2
y
y
y
y
E
E c
cmin
+= (7-32a)
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Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular
R I O
CRISIS
T ORRENT E
45º
E = yc y
y
E
c y
E
c y y
c
y
yc
y 2
22= +
yc E =
3
2
0 1 21,5 3
1
2
3
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Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Variación del gasto con el tirante a energía específica constante
El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.
Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7
( )Q y φ = , para energía constante
La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es
2
2
2 gy
q y E +=
De acá podemos despejar el gasto específico q
( ) y y E g q −= 2 (7-33)
Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un
valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto
máximo
0=dydq
( ) ( ) 02
12 2
1
2
1
=
−−−= −
y y E y E g dy
dq
De donde,
E y3
2=
Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.
Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un
canal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.
El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas
2
3
cccc by g gyby AV Q ===
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Energía específica y momentaCapítulo VII
Pero, en un canal rectangular E yc
3
2=
Luego,
b
Qq =
2
32
3
3
2 E g q
= (7-34)
En el sistema métrico
2
3
704,1 E q = (7-35)
Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica
dado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.
Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales
remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente con
una velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.
Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.
Entonces,
c - V = 2,2
c + V = 3
De donde,
c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s
A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que
g
c y
2
= = 0,69 m
El gasto es Q = AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s
Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1
y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse.
( F = 0,15).
Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la
onda se produce contra la corriente su velocidad es 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.
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342
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante
R I O
CRISIS
T O R R E N T E
= 1 F
R < 1 F
F <
1 T
= 0dy
dq
q = 2 g ( E - y) y
3
q = 1,704 E 2
qmax
q2V
2 g R
V c
2 g
2
V T
2 g
2
2
3c y = y
(sección rectangular)
y R
E
q
max
maxq < q
q = 1,704 E 23
(sección rectangular)
y
q
= (1 + 1 + ) y
T
T y
4
F R
2
8
F R
2 y R
y
y= (1 + 1 + )
8
T 4 F
T
2
F R T
2
Los subíndices R y T se
refieren a río y torrente
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343
Energía específica y momentaCapítulo VII
Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m 3/s/m. Presentar una tabla que
muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en
función del tirante (1,50 > y > 0,10 m).
Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular el
área, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.
Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación
7-27
3
2
g
q y
c = = 0,4673 m (0,47 aprox.)
En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6
y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23
cc gyV = = 2,14 m/s
La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de
1 m3/s/m en un canal rectangular.
( )7009,0
2
14,24673,0
2
=+ g
c y g V
c2
2 E (mínima)
Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento
(ríos y torrentes).
Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).
Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. (régimen
supercrítico).
Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.
Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos
a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor que
la crítica el régimen es subcrítico).
El número de Froude es menor que 1 y los valores dedy
dE son positivos, pero menores que 1.
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344
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que
la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores
dedy
dE son negativos.
Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son
tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.
En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.
En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.
Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.
En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a
1,05 m.
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3
yc
1 m
Tirantes alternos
R I O
CRISIS
TORRENTE
45º
E = y
y
E
c y
0 1,00 2,001,50 2,50
1,00
2,00
(m)
0,50
1,50
0,50
(0,20)
(1,46)
0,7009
1,48
(m)
2 g cV
2
0,4673 0,2336
q = 1 m /s/m3
0,17 (Número de Froude)0,18
0,32
0,69
1,001,26
1,94
3,57
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3 4 5
TABLA 7.1
EJEMPLO 7.3 (q = 1 m3/s/m)
y V g
V
2
2
E F dy
dE
1002
2
× E
g
V
c V c + V c − REGIM
1,50
1,46
1,00
0,60
0,67
0,68
1,00
1,67
0,023
0,024
0,051
0,142
1,523
1,484
1,051
0,742
0,17
0,18
0,32
0,69
0,971
0,968
0,898
0,524
1,5
1,6
4,9
19,1
3,83
3,78
3,13
2,42
4,50
4,46
4,13
4,09
3,16
3,10
2,13
0,75
RIO
Al disminuir el tirante
disminuye la energía
específica
10 <<dy
dE
REG
SUBC
V <
0,4673 2,14 0,2336 0,7009 1,00 0 33,3 2,14 4,28 0 CRISIS 0=dy
dE V =
0,40
0,30
0,20
0,10
2,50
3,33
5,00
10,00
0,319
0,567
1,276
5,102
0,719
0,867
1,476
5,202
1,26
1,94
3,57
10,10
-0,588
-2,764
-11,745
-101,01
44,4
65,4
86,4
98,1
1,98
1,71
1,40
0,99
4,48
5,04
6,40
10,99
-
-
-
-
TORRENTE
Al disminui r el tirante
aumenta la energía
específica
0<dy
dE
REG
SUPER
V >
y A = y
qV =
g
V y E
2
2
+= gy
V F =
y
E
dy
dE 23−= c
y
1 m
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346
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una
pequeña onda superficial.
En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de
otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.
Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y
2 y el
tirante crítico yc la siguiente relación
3
21
2
2
2
12
c y
y y
y y=
+
Solución. Por ser y1
e y2
tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica
g
V y
g
V y
22
2
2
2
2
1
1 +=+
Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene
2
2
2
22
1
2
122 gy
q y
gy
q y +=+
Pero en un canal rectangular
3
2
g q y
c =
Luego,
2
2
3
22
1
3
122 y
y y
y
y y cc +=+
Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a
3
21
2
2
2
12
c
y y y
y y
=+
En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía
específica). A modo de comprobación
( ) ( )1027,0
66,1
46,120,0222
=
que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.
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347
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.4 Sección parabólica
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o
la 7-12 que es su equivalente)
T
A g V c =
Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del
área del rectángulo circunscrito
T y A c32=
reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se
obtiene
cc gyV 3
2= (7-36)
o bien,
cc gyV 3
2=
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene
32
2
cc y
g
V = (7-37)
yc
T
A
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348
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la
definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene
E yc4
3= (7-38)
E g
V c4
1
2
2
= (7-39)
En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, en
condiciones críticas.
El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las
condiciones críticas.
Su expresión para un canal parabólico es
cc gyT yQ3
2
3
2=
A cV
2
3
2
12
3
3
2c yT g Q
= (7-40)
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene
T
Qq =
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico
2V
g 2
y E
c
c
41 E
4 E
3
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Energía específica y momentaCapítulo VII
2
3
2
12
3
3
2
c y g q
= (7-41)
De donde, en el sistema métrico
3
2
701,0 q yc = (7-42)
El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones
críticas
2
3
4
37039,1
= E q
2
3
1067,1 E q = (7-43)
Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es
4
1
2
1
4
1
4
1
1
64
27
g
Q
p y
c
= (7-44)
Considerar que la ecuación de la parábola es py x 22 =
Solución.
La expresión general para las condiciones
críticas viene dada por la ecuación 7-11
T
A
g
Q 32
=
Por ser una parábola el área es
T y Ac
3
2=
Por condición de parábola
( )
cc y
T
y
T
y
x p
82
2
2
222
===
c
2T
py= 2
c y( , )
y
T
x
2 x
y
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350
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
De donde,
c pyT 8=
cc py y A 8
3
2=
Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)
4
1
2
1
4
1
4
1
1
64
27
g
Q
p y
c
=
que es la expresión propuesta.
7.5 Sección triangular .
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o
la 7-12 que es su equivalente).
T
A g V c =
En el triángulo el área es
T y A c2
1=
Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se
obtiene
yc
T
A
1
z
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351
Energía específica y momentaCapítulo VII
cc
gyV 2
1= (7-45)
o bien,
cc gyV 2
1=
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene
42
2
cc y
g
V =
(7-46)
ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.
Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas
se obtiene
E yc5
4= (7-47)
E g
V c51
2
2
= (7-48)
ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en
condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular
yc
2 g
V 2
c
54
E E
5
1 E
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352
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.
cc gyT y AV Q21
21==
2
3
2
12
3
2
1c yT g Q
= (7-49)
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial T Qq =
2
3
2
12
3
2
1c y g q
=
de donde, en el sistema métrico
2
3
7920,0 E q = (7-50)
o bien,
3
2
9346,0 q yc = (7-51)
Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es
4,02,0
2
=
z
Q
g yc (7-52)
siendo z el talud.
Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico
en el sistema métrico es
4,0
7277,0 Q yc =Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en un
canal triangular.
La energía específica es
g
V y E
2
2
+=
De donde,
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353
Energía específica y momentaCapítulo VII
( ) y E g V −= 2
Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es
2 zy A =
Luego,
( ) y E g zy AV Q −== 22
Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego
0=dy
dQ
De acá se obtiene inmediatamente
E yc5
4=
verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las
condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para
energía constante.
Nota.
En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado ésta
por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.
Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquier
sistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazado
previamente el citado valor de la gravedad.
7.6 Sección trapecial
c
T
A1
z
b
y
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354
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)
T
A g V c =
En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones
( ) y zyb A +=
zybT 2+=
que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan
( )
c
ccc
zyb
y zyb g V
2++
= (7-53)
o bien,
c
c
cc gy
zyb
zybV
2++
=
Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad
crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.
Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si
b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad
crítica en una sección rectangular.
Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11
T
A
g
Q32
=
se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por
( ) g
Q
zyb
y zyb
c
cc
233
2=
++
(7-54)
Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe
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355
Energía específica y momentaCapítulo VII
recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponer
valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).
Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área
del trapecio de la siguiente manera
c yT b
A2
+=
valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da
cc yT
T b
g V 2
+= (7-55)
De donde,
E bT
T b
g
V c
++
=52
2
(7-56)
E bT
T yc +
=5
4(7-57)
Obsérvese que siempre se cumple
E E bT
T E
5
4
5
4
3
2 <+
<
c y : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)
Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en
condiciones críticas. (Se observa que es función del talud).
c y
E
E
g 2
2V c
b + T
4T
5T + b
5T + b E
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356
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida
a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.
La energía específica es
g
V y E
2
2
+=
La velocidad es
( ) y E g V −= 2
El gasto es
( ) ( ) y E g y zybQ −+= 2 (7-58)
La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)
0=dy
dQ
Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene
( ) 02435
2
=−−+ bE y zE b zy cc(7-59)
que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta
expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si
hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular.
Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a
z
b zEb E z b zE yc
10
9161634 222 +++−= (7-60)
Abaco de Ven Te Chow
Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) que
permite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un método
gráfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado
y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.
Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es
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357
Energía específica y momentaCapítulo VII
g
Q Z = (7-61)
Se entra al gráfico con el valor de5,2
b
Z y se obtiene el valor de
b
yc para cada valor del talud
z , (Figura 7.9).
Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la base
es de 0,50 m. El talud es 3.
Solución. Si partimos de la expresión general g
Q
T
A 23
= se tiene, luego de reemplazar el gasto, que
T A 2,103 =
Luego,
( ) ( )cccc
y y y zyb A 35,0 +=+=
c yT 65,0 +=
( ) ( )ccc
y y y 65,02,1035,032 +=+
Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo
el valor del tirante crítico yc= 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y
análisis, otros valores
2,5b
Z
b
y
z
c y
b
c
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3 5 8
Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)
0,0001 0,001 0,01 0,1 1432 5
100,001 0,01 0,1 1
2,5 D
Z
z =
z = z =
z =
z = 1,
0
z = 0, 5
z = 0
( r e c t a
n g u l a
r )
c i r c u
l a r
D y
y
b
1 z
(Secciones circulares)
(Secciones trapeciales)2,5b
Z
5 6 72 3 4 9 976432 5 976432 5 976432 5
z = 1, 5
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359
Energía específica y momentaCapítulo VII
A = 4,18 m2
V c
= 2,39 m/s
g
V y E c
c2
2
+= = 1,39 m
g
V c
2
2
= 0,29 m
Obsérvese que también se cumple quecc
gd V =
T
Ad
c = = 0,59 m 59,08,9 ×=
cV = 2,40 m/s
Se aprecia que E yc
79,0= valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a
este último, pues la figura es casi triangular.
También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.
Entonces,
19,3== g
Q Z 18
5,2 =
b
Z
De donde, (Figura 7.9),
2,2=b
yc y
c = 1,10 m
A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,
7-48 y 7-60.
0,29 m
1,10 m
0,50 m
31
21 % E
79 % E
Línea de energía
E = 1,39 m
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3 6 0 TABLA 7.2
SECCIONES CRITICAS (
g
V y E c
c
2
2
+= )
(Sistema métrico)
RECTANGULO PARABOLA TRIANGULO TR
E 3
2 E
4
3 E
5
4
T5
3
2
467,0 q 3
2
701,0 q 3
2
935,0 q 467,0TIRANTE CRITICO c y
2
14
1
1456,0 Q
p
5
2
728,0
z
Q
b zE 1634 +−
ENERGIA DE VELOCIDAD g
V c
2
2
E 3
1 E
4
1 E
5
1
T
T
5
VELOCIDAD CRITICA cV
c gy c gy816,0
c gy707,0 T
2
GASTO MAXIMO maxq 2
3
704,1 E 2
3
107,1 E 2
3
792,0 E 854,8
c y
= 2 x 2 py
T
1 z
T T
yc
yc
yc
q =Q
T
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361
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.7 Sección circular y otras secciones
Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas por
la ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos la
primera de ellas
T
A
g
Q32
=
En una sección circular el área es (ec.
6-37)
( )θ θ sen2
2
−=r
A
Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene
( )
2sen
cos1
θ
θ −== r
dy
dAT (7-62)
Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.
Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene
( )( )
( )( ) 2
sencos1
sen
82sen
cos1
sen
8
35362 θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
−−=
−−= r
r
r
g
Q
Haciendo2
Dr =
( )
( )θ
θ θ θ
cos1
2sensen
2
3
8
52
−
−
= D
g
Q (7-63)
Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a
Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir
D
#
yc
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362
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
2
sen2
2sen
cos1 θ
θ
θ =−
(7-64)
Luego,
( )2
5
2
1
2
3
4
2sen2
sen
2 D
g Q
−=
θ
θ θ (7-65)
En el sistema métrico
( ) 2
5
2
12
3
2sen
sen1383,0 DQ
−=
θ θ θ (7-66)
Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente
llena, la que hidráulicamente es un canal.
Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente
ángulo θ que da condiciones críticas.
El tirante crítico es
−=
2cos1
2
θ D yc (7-67)
La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función
( )θ φ =2
5
D
Q
(7-68)
El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico da
también las condiciones críticas para otros conductos abovedados.
El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) puede también emplearse.
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3 6 3 Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas
D/2
D D/2
D
y y y
31 2 4
D D/2
y
0 1 2 3 4 5
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
0
0,10
0,20
0,30
0,10 0,20
4
4
3
2
1
yc
D4 5
D
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364
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es de 1 m. Calcular
a) tirante crítico
b) velocidad crítica
c) energía mínima
d) ángulo en el centro
Solución. Vamos a usar la Figura 7.10
22
5 =
D
Qo
oo y
c = 0,81 m
A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente
−=
2cos1
2
θ D y
c
2cos1
5,0
81,0 θ −= θ = 256º 38’
θ = 4,4791 rad
El área es
( ) ( )9729,04791,42
25,0
2
2
+=−= θ θ senr
A
A = 0,6815 m2
Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7
D
y = 0,81,
2 D
A = 0,6815 o
oo A = 0,6815 m2
La velocidad crítica es
6815,0
2==
A
QV
c = 2,93 m/s oo
o
g
V c
2
2
= 0,44 m
La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m
Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow
g
Q Z = = 0,64 ;
2
5
D
Z = 0,64 o
oo y
c = 0,80 m
Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es
aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista
gráficos especialmente preparados.
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365
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.
Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede
conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.
En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un
régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento
y, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.
Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual
al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.
Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones
de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se
produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.
Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libre
mayor.
Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que una
condición de diseño sea
+≥
+c
cc
T
A y
g
V y
205,1
2
2
(7-69)
Cambiando la notación se podría escribir
+≥
205,1 c
c
d y E (7-70)
La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de la
velocidad normal. (Manning, Chezy, etc).
T A g V c =
n
S RV
2
1
3
2
=
Igualando ambas expresiones se obtiene
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366
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
T A g nS R c =
2
1
3
2
de donde,
3
4
2
R
n
T
A g S c = (7-71)
que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.
Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería
T
P
C
g S c 2
= (7-72)
En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al
ancho superficial, T P = .
entonces la ec. 7-72 queda reducida a
2C g S c =
pero,2
8
C
g f = , de donde,
f
g C
82 = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,
8
f S c = (7-73)
Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3
/s. La rugosidad es de0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?
Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es
cc gyV = (ec. 7-19)
Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe
ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico
y sea normal.
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367
Energía específica y momentaCapítulo VII
c
gyn
S R
=
2
1
3
2
De donde,
El tirante crítico es según la ec. 7-27
3
2
g
q y
c = = 0,92 m
El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene
( )( )3
4
2
3
4
2
46,0
018,092,08,9 ×== R
n gyS c
c = 0,0082
cS = 0,0082
Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.
Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,
cuyo tirante es igual al tirante crítico.
Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).
Ejemplo 7.9 En un canal de concreto
frotachado el gasto es de 3,86 m3/s. La
sección transversal es la mostrada en la
figura. Calcular: a) el tirante crítico y la
energía específica correspondiente, b) la
pendiente para que se establezca un flujo
crítico normal.
Solución.
a) La condición general de crisis es 5204,123
== g Q
T A
2
2
1
2
1cc
yT y A ==c
yT =
De donde,
88
563
c
c
c y
y
y
T
A==
c
T
A
45º
y
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368
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
8
5
c y
= 1,5204 ooo y
c= 1,648 ≈ 1,65 m
358,1
86,3==
A
QV
c = 2,84 m/s
g
V
2
2
= 0,412 ≈ 0,41 m
E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m
E 5
4
5
E (por ser sección triangular)
Podría emplearse la ecuación 7-52,
4,02,04,02,0
5,0
86,322
=
=
g z
Q
g y
c = 1,648 ≈ 1,65 m
siendo,
5,02
10
2
21 =+
=+
= z z
z
b) S es S c cuando la velocidad correspondiente es la crítica
n
S RV V c
c
2
1
3
2
==
2cc
y y P += = 3,9835 m
9835,3
3613,1==
P
A R = 0,3417 m
( )
015,0
3417,0
84,2
2
1
3
2
==c
c
S
V
Obteniéndose finalmente,
S c = 0,0076
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369
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )
En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica
correspondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,
una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).
Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés
práctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico.
Examinemos en primer lugar un canal rectangular.
En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)
3
4
2
R
n
T
A g S c =
Para un canal rectangular es
( )
3
1
3
4
3
4
2 2
c
cc
y
yb
b
gnS
+==
(7-74)
La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de0=c
c
dy
dS
Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene
c yb 6= (7-75)
de donde,
c y P 8= (7-76)
c yb
R
4
3
8
== (7-77)
que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente
límite LS .
Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a
3
1
2
3
8
b
gnS L = (7-78)
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370
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces
234C g S L = (7-79)
si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),2
8
C
g f = se llega a
6
f S L = (7-80)
El gasto que corresponde a la pendiente límite es
2
5
6 c y g Q = (7-81)
Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es
(ec. 7-71)
T A
P gnS c
3
1
3
4
2=
La pendiente límite se obtiene a partir de 0=c
c
dy
dS , teniendo en cuenta que
c y z b P 212 ++=
( ) cc y zyb A +=
c zybT 2+=
Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones
dy
dT
dy
dP
P
T
T A
34
2
−= (7-82)
que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en
esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 c y A = que es lo correcto para un canal
rectangular.
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371
Energía específica y momentaCapítulo VII
Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es
0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.
Solución. La pendiente límite S L, es decir la menor pendiente crítica posible es
(ec. 7-78)3
1
2
67,2
b
gnS
L = = 0,0038
Luego,
6
b y
c = = 0,40 m
g
q y
c
2
= oo
o 3
c
gyq
= = 0,792 m3/s/m
(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s
cc gyV = = 1,98 m/s
Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)
n
S RV
2
1
3
2
= = 1,98 m/s
n
RC
6
1
= = 58,4 m1/2/s
2
8
C
g f = = 0,0229
6
0229,0=
LS = 0,0038
7.10 Transiciones
Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la
superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio
puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo
ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del
canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el
estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es
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372
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos
secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
a g
V y
g
V y ++=+
22
2
2
2
2
1
1 (7-83)
siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminución
de la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse
la ecuación de continuidad.
Q AV AV == 2211
Si no existiera una grada de fondo, entonces 0=a . Si el ancho es constante y el cambio de
la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los
perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos.
La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica
significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Por
el contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y
una disminución en los torrentes.
El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)
Curva y E − para diferentes caudales
Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una
familia de curvas y E − . Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la
recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada
vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).
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373
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.11 Grada positiva en un río
Figura 7.12 Grada negativa en un río
1
2 g
V 2
1
yc
2V g 2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
q E 1 y
1 y
2
E 2
E 1
a
y
Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +11
V
g 2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2
Luego, E < E 2 1
Del gráfico de la energía específica y < y2 1
En un río una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
45º
E
1
y
y1
2 g
V 2
1
yc
2V
g 2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
q E
1
y2
y1
E 1
E 2
a
y
Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1V g 2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2
Luego, E > E 2 1
Del gráfico de la energía específica y > y2 1
En un río un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
45º
E
1
E y +2 g 2 2
2V 2
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374
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente
1
2 g
V 2
1
yc
2V
g 2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
q
E 1
y1 y
2
E 2
E 1
a
y
Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1V
g 2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2
Luego, E < E 2 1
Del gráfico de la energía específica y > y2 1
En un torrente una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
45º
E
1
y
1
2 g
V 2
1
yc
2V
g 2
2
y2
E 2
a
Línea de energía
q
E 1
y1
y2
E 1
E 2
a
y
Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1V
g 2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2
Luego, E > E 2 1
Del gráfico de la energía específica y < y2 1
En un torrente un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
45º
E
1
y
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375
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales
2 g
V 2
1
cV
g 2
2
yc
E min
a
Línea de energía
q
E
E min
E
a
y
Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max
sobre la grada debe ser mínima E = y +cV
g 2
2
El máximo valor de la grada, sin alterar
las condiciones aguas arriba, corresponde
a condiciones críticas (energía mínima).
45ºmax
V
2 g
22
1 y
y2
R I O
T O R R E N
T E
R I O
max
T ORRENT E
E
min c
y
45º
q < q < q E = y
V
2 g
2
E = y +
1q
min
q2
3q
1 2 3
pendiente = 2/3(canal rectangular)
E (1)
3
21
E (2)min
E (3)min
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376
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada
positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre
desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía
específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo
gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.
Solución.
Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,
respectivamente
25,02
45,22
80,22
2
2
1 ++=+ g
V
g
V
Por continuidad,
2,11411
1
Q
y
Q
A
QV ===
35,732
2Q
yQV ==
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene
Q = 13,64 m3/s
Efectuando las operaciones indicadas se tiene que
1V = 1,22 m/s;
2V = 1,86 m/s;
g
V
2
2
1 = 0,08 m;
g
V
2
2
2 = 0,18 m
4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m1
3 q = 4,55 m /s/m2
3
Línea de energía0,08 m
0,10 m
y = 1,28 mc2
2,45 m
2,63 m
0,25 m
c y = 1,06 m
1
2,88 m 2,80 m3Q = 13,64 m /s
45º
2,80 m
2,88 m
1,06 m
1,59 m
1,06 m 0,53 m
E
y
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377
Energía específica y momentaCapítulo VII
De donde,
g
V y E
2
2
111 += = 2,88 m
g
V y E
2
2
2
22 += = 2,63 m
Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos
1 F = 0,23 ;
2 F = 0,38 ;
1c y = 1,06 m ;
2c y = 1,28 m
Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.
El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es
1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es c y
2
3, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía
es
maxmin1a E E +=
2,88 = 1,92 +max
a
maxa = 0,96 m
La depresión de la superficie libre es 0,56 m
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía
específica
Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay un
cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,
y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.
En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la
caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a min E , (lo que ocurre teóricamente
sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).
Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de
energía.
Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico
que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre
el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la
suposición de una distribución hidrostática de presiones.
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378
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 veces
el tirante sobre la grada.
El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de c y3 a c y4 ,
aproximadamente, aguas arriba de la grada.
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
La segunda Ley del movimiento
de Newton dice que el cambio
de la cantidad de movimiento por
unidad de tiempo es igual a la
resultante de las fuerzas
exteriores.
Consideremos un canal con un
flujo permanente cualquiera y un
volumen de control limitado por dos secciones transversales 1 y
2, la superficie libre y el fondo
del canal, tal como se ve en la
Figura 7.18.
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)
entre las secciones 1 y 2 se obtiene
( ) f F Wsen P P V V Q −+−=− θ β β ρ
211122 (7-84)
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía
Específica
L
y1
y2
W sen#
P 1 P 2
Q
F f
1 2
Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación
de la Fuerza Específica.
y
E
yc
$ 3,5 yc
ENERGIAMINIMA
E min
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379
Energía específica y momentaCapítulo VII
expresión en la que: ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; V
velocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; f
F fuerza debida a la fricción; θ ángulo
que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W senθ componente del peso en la
dirección del escurrimiento; ‘’ y ’’ tirante.
En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es
válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente
variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada
una de ellas sea aplicable la ley hidrostática.
Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.
En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.
Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el
volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 == β β . Entonces la
ecuación 7-84 se reduce a
( ) 2112 P P V V Q −=−ρ (7-85)
La fuerza hidrostática P es A yγ , siendo y la profundidad del centro de gravedad.
Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos
reemplazos se llega a
22
2
2
11
1
2
A y gA
Q A y
gA
Q+=+ (7-86)
Como los dos miembros son análogos se puede escribir
A y gA
Q+
2
= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)
que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.
Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente
una fuerza por unidad de peso de agua.
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380
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
gA
Q2
es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y
por unidad de peso.
A y es la fuerza hidrostática por unidad de peso.
A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. E. ó M.)
El gráfico de la Fuerza Específica es
Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles1 y e
2 y . Los
tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.
En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo
( ) ( )0
..2
2
=+−=dy
A yd
dy
dA
gA
Q
dy
E F d
De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que
Figura 7.19 Fuerza Específica
R I O
TORRENTE
y2
F. E.Fuerza específica
(Momenta)
yc
y1
M
yTirante F. E. mínima
ec. 7-87
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381
Energía específica y momentaCapítulo VII
22
2d
g
V =
que se puede comparar con la ecuación 7-14.
Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a
condiciones críticas.
Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede
examinar un canal rectangular en el que
bqQ = ;11
by A = ;22
by A =
21
1
y y = ;
2
22
y y =
siendo b el ancho del canal.
Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas
simplificaciones a
( )2121
2
2
1 y y y y
g
q+= (7-88)
Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es
3
2
g
q yc =
valor que sustituido en 7-88 nos da
( )21213
21 y y y y yc += (7-89)
Siendo1 y e
2 y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).
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382
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
7.13 Salto hidráulico
El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.
f h E E +=21 ( ) ( )21 .... E F E F =
La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1 y e 2 y
son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1 E a 2 E .
Salto hidráulico en un canal rectangular
Partimos de la ecuación 7-88
( )2121
2
2
1 y y y y
g
q +=
Se divide ambos miembros por 3
1 y , y luego de algunas sustituciones se llega a
+=
1
2
1
2
1
2
1 12
1
y
y
y
y
gy
V
De donde,
+=
1
2
1
22
1 12
1
y
y
y
y F
Figura 7.20 Salto hidráulico
2 g
2 E
2V 2
y2
f h = (" E )
1-2
RIO
TORRENTE
S A L T O
1 y
g 2
2V 1
E 1
Línea de energía
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Energía específica y momentaCapítulo VII
De acá se obtiene una ecuación en1
2
y
y
02 2
1
1
2
2
1
2 =−+
F
y
y
y
y
Resolviendo esta ecuación se obtiene
( )1812
1 2
1
1
2 −+= F y
y(7-90)
Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los
tirantes conjugados1
2
y
y es función exclusiva del número de Froude incidente,
( )1
1
2 F y
yϕ =
Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.
Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es que
hay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.
El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas de
corriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el paso
violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.
El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la
velocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo que
se traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también la
incorporación de aire a la masa líquida.
El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.
Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas
simplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representación
esquemática, del modo como ocurren los fenómenos.
Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectos
de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promedio
temporal son en este caso de poca utilidad.
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384
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores
tan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la
estructura.
Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,
Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la
atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las
solicitaciones variables” .
Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuencia
y amplitud.
Tipos de salto
En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue los
siguientes tipos de salto
1= F Flujo crítico, no hay salto
7,11 << F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)
5,27,1 << F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña
5,45,2 << F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales
95,4 << F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)
9> F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)
Pérdida de energía en el salto
La perdida de energía en el salto hidráulico se define así
+−
+= g
V y
g
V yh
f 22
2
1
1
2
2
2 (7-91)
expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas
transformaciones a
( )
21
3
1221
4 y y
y y E E h E f
−=−==∆ (7-92)
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385
Energía específica y momentaCapítulo VII
Eficiencia
Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después
del salto y la que hay antes de él.
( )( )2
1
2
1
2
12
32
1
1
2
28
1418
F F
F F
E
E
++−+
=
(7-93)
La pérdida de energía relativa es
11
21 E
E
E
E ∆=− (7-93a)
Altura del salto ( ih )
La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto
( 12 y yhi −= )
Se demuestra fácilmente que
2
3812
1
2
1
1 +−+
= F
F
E
hi(7-94)
Longitud del salto ( L )
La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,
etc.). Aproximadamente se tiene que
( )129,6 y y L −= (7-95)
En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.
Oleaje
En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y
periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como S H a la altura
significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que
( )16
11
1
−= F y
H S (7-96)
Para 71 ≤ F
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386
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
Ejemplos de salto hidráulico
Línea de energía
g 2
V 12
y1
h = E - E f 1 2
g 2V
22
2 y
L
Canal
ColchónDispipador
Rápida
1 y 2
y
Vertedero Oleaje
yn
yn
yn
Línea de energía
y1a
y2
E
Compuerta
y1
yn y
S
Para vencer un desnivel se construye una
rápida. Al final de ella debe disiparse
la energía. El salto hidráulico actúa como
un disipador de energía
a)
b)
En un río se costruye una presa derivadora
(barraje) para elevar el nivel del agua
en época de estiaje. La energía se disipa
por medio de un salto hidráulico.
c)
Si en un canal se coloca una compuerta
que deja una abertura en la parte inferior
se produce aguas abajo un salto hidráulico.
En la figura se observa el llamado
salto hidráulico libre.
d)
Si el tirante normal aguas abajo es mayor
que y se produce el llamado salto
hidráulico ahogado.
2
( y es el tirante normal aguas abajo)n
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Energía específica y momentaCapítulo VII
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.
Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.
La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta
debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.
Sea a la abertura de la compuerta,c
c el coeficiente de contracción. Entonces ac yc
=2
. La
ecuación de la energía específica es
g
V y
g
V y
22
2
22
2
11 +=+
Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad
Q AV AV == 2211
Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.
Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta
f h g
V y
g
V y ++=+
22
2
22
2
11
En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.
La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las
Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo
Línea de energía
a y2
E
2
1
g 2
V V
2
g 22
y1
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388
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
condiciones de aguas abajo. Ellas son
a) No se forma salto
b) Se forma un salto libre
c) Se forma un salto sumergido (ahogado)
Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el
análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en
un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión
−+=
1
222
2
121 y y F
y y s
Siendo y s el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y
1 la abertura de la compuerta, y
2 el
tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F 2 el número de Froude aguas abajo del
salto. Despréciese la fricción en el canal.
Solución. Por continuidad,2211
yV yV = . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-
85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).
( )1221 V V Q P P −=− ρ
Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene
( ) ( )1222
2
2
2
2
1V V yV
g y y
s −=−
γ γ
Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a
( )12
2
22
2
2
121 V V
yV
g y y s −=
− γ γ
−=−
2
12
22
2
2
121V
V F
y
y s
Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.
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389
Energía específica y momentaCapítulo VII
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VII)
1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante
crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25
y 7-26.
2. Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debe
tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.
3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos
Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 %o ; n = 0,0125
Calcular
a) El tirante normal
b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme
c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b
Verificar que se cumple la ecuación 7-14.
4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes
valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para
q = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?
5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la
pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el
gasto sea de 6 m3/s?
Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él?
(¿río o torrente?) ¿Por qué?
6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedraen el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de las
ondas superficiales producidas.
7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos1 y e
2 y la siguiente
relación
2
22
1
2
2
2
1
++=
F
F
y
y
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390
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es
24,694
3
1
2
f
y
n
c
= ( g = 9,8 m/s2)
9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema
métrico, las siguientes ecuaciones
a) 2
3
13,3 cmax yq =
b) 2
1
2
1
56,213,3 mincc E yV ==
c) 3 27,0 maxmin q E =
d) 3 2467,0 maxc q y =
e) 3 214,2 maxc qV =
10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es la
ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.
11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es y x 16
2
=, la energía
específica mínima es 0,3611 21Q
12. Hallar el tirante crítico para el canal
mostrado en la figura. El gasto es
de 8 m3/s. ¿Cuál es la energía que
corresponde a las condiciones
críticas?. Demostrar que se
cumplen las ecuaciones 7-14, 7-56
y 7-57.
13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s y
conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para que pendiente
se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas
condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s. ¿Qué tipo de flujo se
establecerá?.
14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular la
pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la
energía cinética?. Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.
yc
45º 60º
2,20 m
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391
Energía específica y momentaCapítulo VII
15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal
mostrado en la figura para que se
produzca un movimiento uniforme
con el mínimo contenido de energía
para un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendo
que la rugosidad del contorno
corresponde a G = 0,46 en la fórmula
de Bazin?.
Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se
presentaría con la pendiente crítica calculada.
16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del
canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto
B es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.
Calcular
a) el tirante normal
b) el tirante crítico
c) la pendiente crítica
d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).
17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto
( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima
eficiencia hidráulica, hallar
a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía
b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s
18. Un canal trapecial revestido en concreto (C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s
a) establecer si este flujo es un río o un torrente
b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?
(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)
19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.
20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m3/s.
Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.
c
45º
3,00 m
y
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392
Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
21. Calcular la altura de río y de torrente que
podrían producirse en el canal cuya sección
aparece en la figura, para un gasto de 6,5 m3/
s y una energía específica de 3,14 m. Calcular
también para cada uno de los dos regímenes,
el número de Froude y el correspondiente
valor de dydE en la curva y E − . Dibujar
la curva y E − y verificar todos los valores
calculados, así como las condiciones críticas.
22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30
m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?.
23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es
(ec. 7-52)
4,02,0
2
=
z
Q
g yc
24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energía
específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es
máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?.
25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es
2,08883,1 QV c =
26. Para el canal mostrado
en la figura ¿Cuál es el
tirante crítico para un
gasto de 12 364 l/s?
¿Cuál debe ser el
coeficiente n de Kutter
pa ra que con una
pendiente de 0,0022 se
establezca un flujo
crítico normal?.
27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirante de
1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes,
el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado.
Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con
el ábaco de la Figura 7.10.
c
1 : 2
1,50 m 1 : 1
1 : 1
90º
y
1
1,00 m
0,25
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393
Energía específica y momentaCapítulo VII
28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m3/s
con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el
tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?.
29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y
torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que
++=
2
2 811
4 R
R
R
T
F
F
y
y
o bien,
gy
V F =
++=
2
2 811
4 T
T
T
R
F
F
y
y
R F yT F son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando
R F =T F =1?
30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, por
medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración.
El gasto es de 2,1 m3
/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil de
la superficie libre.
31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/
s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca un
régimen crítico.
32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máxima
sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas
arriba. El tirante normal es 2,50 m.
33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produce
un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay
después del resalto, hallar
a) tirante crítico
b) tirante antes del resalto
c) tirante después del resalto
d) la fuerza específica (momenta)
e) la energía disipada en el resalto
f) la potencia del resalto en HP
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Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales
34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación
de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante
después del salto y el gasto.
35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de
la energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.
36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se
produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son1 y e
2 y se cumple que
2
3812
1
2
1
1
12
+−+
=−
F
F
E
y y
siendo 1 E y 1 F la energía específica y el número de Froude antes del salto.
37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja en
el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es
de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerar
la fricción.
38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que
descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto.
Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular
a) el caudal b) la fuerza sobre la compuerta
c) la altura conjugada del resalto
d) la energía disipada
e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)
f) la altura y la eficiencia del salto
No considerar la fricción.
39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas
a) y E − para q = 5 m3/s/m
b) y E F −.. para q = 5 m3/s/m
c) yq − para E = 4 m
Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 ≤≤ y m
valores de y∆ = 0,50 m.