Resistencia de Materiales I
ENSAYO DE TORSION Integrantes: Fausto Torres, Marlon Reyes, Adriana Guzhñay, Jorge Mejía, Jonathan Feijoo.
CURSO: Tercer Semestre Paralelo “B”
Resistencia de Materiales I 16 de diciembre de 2014
Ensayo de Torsión.
Introducción.
Para el estudio de la torsión iniciamos el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se distribuye uniformemente dentro de una sección. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla, y una vez deducidas las formulas, no hay más que sustituir en ellas los valores de los datos y nada más.
Para realizar un proceso más que general en casi todos los casos de distribución no uniforme de esfuerzos se puede resumir en los diferentes puntos:
1. En las deformaciones elásticas que produce determinado tipo de carga, y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de manera que sean compatibles con las deformaciones. Las cuales las podemos denominar ecuaciones de compatibilidad.
2. Para aplicar estas condiciones de Equilibrio en el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración se llaman Ecuaciones de equilibrio.
3. Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se ha de verificar las condiciones de frontera impuestas.
Para deducir las fórmulas de torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente.
1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de
la torsión.3. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una
sección permanece radial después de la torsión4. El Árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que
actúan en planos perpendiculares a sus ejes. 5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
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Deducción de las fórmulas de Torsión.-
En las siguientes figuras se mostraran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB en:
Para la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira en un cierto ángulo θ respecto de la sección en A. Para ello podemos representarlo de la siguiente manera:
Para realizar esta representación utilizaremos el árbol que está formando por innumerables rebanadas eliscoidales muy delgadas, donde todas ellas están perfectamente rígidas y unidas mediantes fibras elásticas.
En la rebanada dos sufrirá una rotación, resbalando sobre la uno hasta que la fibra elásticas que las unen se deformen y produzcan, al estirarse un par de resistencias que equilibre al par aplicado. En este momento las rebanadas uno y la dos actuaran como un conjunto único y rígido, trasmitiendo el par torsionante a la rebanada número tres; donde esta girara hasta que las fibras elásticas que la unen a dos desarrollen como antes un par de resistente igual al par aplicado, y así sucesivamente, propagándose la deformación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice AC es la línea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas infinitamente delgadas, puntos que antes de la deformación estaban sobre AB. Esta descripción de la deformación de TORSION en un árbol es puramente ideal. Ahora considerando una fibra cualquiera a una distancia “ρ” del eje del árbol. Por la hipótesis tres de la figura antes vista, el radio de dicha fibra gira también al mismo ángulo θ,
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produciéndose una deformación tangencial ∂, igual a DE. Donde esta longitud está dada por;
∂=DE=ρθ
Donde la distorsión es:
τ=Gγ=(GθL ) ρDonde esta expresión se suele llamar la ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas.
Para sintetizar el procedimiento dividiremos el árbol ejemplo de la figura anterior en dos secciones M-N perpendicular a su eje donde trazaremos el diagrama de cuerpo libre donde lo representaremos en la siguiente figura, donde el elemento diferencial de área de esta sección será:
∂ P=τ ∂ A
Ya que al ser diferencial puede admitir el esfuerzo cortante.
Al obtener esto y para cumplir las condiciones de equilibrio estático, aplicamos el ∑M=0, donde nos quiere decir que el par de torsor resistente ha de ser igual al momento de torsionante aplicado.
Donde el par de resistentes Tt es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales ∂ P:
T=T t=∫ ρ∂ P=∫ ρ(τ ∂ A )
Sustituyendo τ por la ecuación dada en la parte anterior
T=GθL ∫ ρ2∂ A
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Donde la ∫ ρ2∂ A=J , es el momento polar de inercia de la sección recta.
T=GθLJ
Que también puede ser:
θ=TLJG
Al expresar en θlas unidades apropiadas son en Radianes. Entonces al
sustituir el valor de GθL en la ecuación primera por su equivalente
TJ se
obtienes:
τ=TρJ
Que es la fórmula de Torsión, para calcular el máximo esfuerzo cortante, en la práctica se sustituye ρ por el radio r del árbol:
τ max=TrJ
Al haber aplicado la Ley de Hooke para llegar a esto los esfuerzo no deben sobrepasar el limite de proporcionalidad, y solo sirven la secciones circulas llenas o huecas.
Ahora cuando los valores del momento polar de inercia para secciones circulares adquieren las siguientes formas:
EjeMacizo τmax= 2Tπ r3
=16Tπ d3
EjeHueco τ max= 2TRπ (R4−r4)
= 16TDπ (D 4−d 4)
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x
DEFORMACIONES TORSIONALES
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al
eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las
dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de
él.
El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de
solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por
dos fenómenos:
1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la seccion transversal. Si estas
se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor
de la seccion.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa
que sucede siempre a menos que la seccion tenga simetría circular, aparecen
alabeosseccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no
sean planas.
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El alabeo de la seccion complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que
el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y
una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de
la seccion y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples
que el caso general.
En un caso más general, puede suceder que el plano del Momento, determinado por el
momento resultante de todos los momentos de las fuerzas de la izquierda con
respecto al centro de gravedad de la sección, no sea normal a ésta. Será posible
entonces, descomponer ese momento, uno contenido en un plano normal a la sección
que nos dará un momento flector(flexión normal y oblicua) y otro en el plano de la
sección que nos daráun momento torsor (o de torsión).
Cualquier vector colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico se
denomina torsor.
Consideremos las siguientes hipótesis:
_ Sobre el cilindro actúa un torsor puro (mismo momento torsor en cualquier sección),
y las secciones transversales analizadas están lejos de cambio de sección y lejos de
punto de aplicación de carga.
_ Secciones transversales plana y paralelas antes de aplicación del torsor permanecen
así después de torsión, y líneas de rectas permanecen rectas.
_ Se cumple la ley de Hooke
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Considérese un cilindro empotrado sometido a un momento torsor. Sobre un elemento
dx a una distancia L del eje X, el torsor provoca una deformación angular g tal que t =
G× g .
TORSIÓN DE SAINT-VENANT PURA
La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran
inercia torsional con cualquier forma de seccion, en esta simplificación se asume que
el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional
también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para
valores λT> 10, esto suele cumplirse en:
1. Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).
2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3. Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetria de revoluciónla teoría de Sant-Venant
además de un giro relativo de la seccion transversal respecto al eje baricentro predice
un alabeoseccional o curvatura de la seccion transversal. La teoría de Coulomb de
hecho es un casoparticular en el que el alabeo es cero, y por tanto solo existe giro.
El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que engeneral
aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, dado queaplicando el
principio de superposición de efectos, a partir del problema detorsión simple puede
llegarse a otros casos de torsión compuesta.
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TORSIÓN ALABEADA
Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada,
puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la
resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la
sección. En la teoría de la torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el
momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica
especialmente a piezas de pared delgada y se distinguen tres casos:
1) Sección abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.
2) Sección cerrada simple, en el que la sección transversal puede
aproximarse por una pequeña curva simple cerrada dotada de un cierto
espesor.
3) Sección multicelular, en el que la sección transversal no es simplemente
conexa pero aun así puede aproximarse por una curva no simple y un cierto
espesor.
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TORSIÓN SAINT-VENANT
La teoría de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional
con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado de
alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. Para
secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Saint-Venant además
de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje Bari céntrico predice un
alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de torsión de Saint-
Venant da buenas aproximaciones para valores λT > 10, esto suele cumplirse en:
1) Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma)
2) Secciones tubulares cerradas de pared delgada
3) Secciones multicelulares de pared delgada
TORSIÓN MIXTA
En una viga sometida a torsión, el momento externo en una sección es equilibrado por
las tensiones originadas por la torsión pura y las originadas por la tensión no uniforme.
Las primeras están presentes siempre y las segundas cuando la forma seccional
alabea y, o bien existe alguna restricción al albeo en alguna sección o el momento
torsor es variable a lo largo de la viga. Cuando existen los dos tipos de torsión decimos
que hay torsión mixta.
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SECCION CIRCULAR
Para esta sección es válida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica
experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La
hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen
planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de
la deformación, las secciones mantienen su forma.
Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones
relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los
ángulos mantienen su medida.
Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se
transforman en hélices.
A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la
compatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la
torsión simple y cuál es su distribución. Supongamos en primera instancia que
aparecen tensiones normales s. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser
así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma
variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas e variaran también
punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la
hipótesis de
Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana.
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En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen
únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un
sistema estáticamente equivalente al momento torsor
ESFUERZO DE TORSIÓN
Se define como la capacidad torsión de objetos en rotación alrededor de un eje fijo. En
otras palabras, es la multiplicación de la fuerza y la distancia más corta entre el punto
de aplicación de la fuerza y el eje fijo. De la definición, también se puede inferir que, el
par es una cantidad vectorial que tiene tanto la dirección como en magnitud. Sin
embargo, ya que está girando alrededor de un eje fijo de su dirección puede ser en
sentido horario o anti horario. Durante las explicaciones y ejemplos que dan la
dirección "+" si se gira hacia la derecha y "-" si se gira hacia la izquierda. El par se
muestra en la física con el símbolo "τ". Usted puede venir a través torsión con otro
nombre "momento". Ahora, examinemos dado imágenes una por una para entender
torsión en detalle.
¿Cómo podemos encontrar la
distancia más corta entre la fuerza
aplicada y el eje fijo?
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Todo lo que sabemos, la distancia
más corta entre dos puntos es la
recta que los une. En esta situación,
la distancia que une estos dos
puntos es la longitud del objeto.
Sentido del torsión es "+" porque la
fuerza hace girar el objeto en la dirección de las agujas del reloj. (Ignoramos el peso
del objeto n todas las situaciones indicadas anteriormente.)
Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de torsión como;
Τ = Fuerza aplicada. Distancia
En esta imagen, tenemos una situación diferente en el que se fija el objeto a la pared
con un ángulo con la horizontal. Dirección de la torsión en esta situación es "-" porque
la fuerza hace girar el objeto en dirección a la izquierda. Como antes hemos dicho que
necesitamos la distancia más corta entre la fuerza y el punto de inflexión. La línea de
puntos en la imagen muestra la distancia que se puede encontrar mediante el uso de
la trigonometría y la ecuación final de torsión llega a ser;
Τ = Fuerza aplicada. Distancia. SinΘ
Situación final muestra que, si la extensión de la fuerza está pasando en el eje de
rotación entonces ¿cuál sería el torque?
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Quiero explicar esta situación, dando otro ejemplo. Creo que va a abrir una puerta. Si
empujas la puerta como en el caso de la imagen dada más arriba, la puerta no se
mueve. Sin embargo, si se aplica una fuerza a la puerta como en las situaciones
primeras y la segunda da por encima de la puerta está abierta o cerrada. Lo que trato
de decir es que si se aplica la fuerza hasta el punto de inflexión luego no rotar el objeto
y no habrá torsión.
BIBLIOGRAFÍA:
Universidad de Santiago de Chile, APUNTES DE RESISTENCIA DE
MATERIALES, 2011, disponible en:
http://mecanica-usach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_3_arregla
ndo.pdf
Appold, Feirlerk, Reinhard, Schmidt; TECNOLOGÍA DE MATERIALES, 1985,
Ed. Reverté.
Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994, Harper
Row.
Biguri Zarraonandia Iñaki, TORSIÓN, disponible en:
http://ibiguridp3.wordpress.com/res/tor/
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Santo Domingo Santillana Jaime, TORSIÓN, 2008, Ed. E. P. S. Zamora,
disponible en: http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-
materiales-ingeniero-tecnico-en-obras-publicas/contenidos/%20Tema8-
Torsion.pdf
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