Espacio de Hilbert
Conceptos - Espacio producto interno - Desigualdad de Schwartz - Norma - Ángulo y ortogonalidad
Espacio producto interno
Espacio producto interno
Es un espacio vectorial con producto internoV
Producto internoEs una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Ejemplos
- , con
-
-
𝒞n (x, y) =n
∑i=1
xiyi
Espacio producto interno
Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Ejemplos
- , con
- sucesiones tal que converge,
con
-
𝒞n (x, y) =n
∑i=1
xiyi
l2, (xi)n
∑i=1
|xi |2
(x, y) =∞
∑i=1
xiyi
Espacio producto interno
Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Ejemplos
- , con
- sucesiones tal que converge,
con
- , con
𝒞n (x, y) =n
∑i=1
xiyi
l2, (xi)n
∑i=1
|xi |2
(x, y) =∞
∑i=1
xiyi
L2[a, b] ( f, g) = ∫b
af(x)g(x)dx
Espacio producto interno
Espacio producto interno
Desigualdad de Schwartz
-
- sin son linealmente dependientes
con del espacio producto interno
| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)
| (x, y) |2 = (x, x)(y, y)
x, y
Corolario de Schwartz
(x + y, x + y) ≤ (x, x) + (y, y)
Espacio producto interno
Norma
| |x | | = (x, x)
Desigualdad de Schwartz, otra vez
| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |
Luego…
−1 ≤(x, y)
| |x | | | |y | |≤ 1
| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)Recordemos…
Espacio producto interno
Norma
| |x | | = (x, x)
Desigualdad de Schwartz, otra vez
| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |
Ángulo
θ = cos−1 (x, y)| |x | | | |y | |
Espacio producto interno
Ortogonalidad x ⊥ y(x, y) = 0
EjemploEn con las funciones
y son ortogonales para
C[0,π], ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx
sin mx sin nx m ≠ n
Pitágoras: si x ⊥ y
| |x + y | |2 = | |x | |2 + | |y | |2| |x | | = (x, x)Recordar…
Actividad: verificar
Conceptos - Conjunto ortogonal - Base ortogonal - Espacio de Hilbert - Ortogonalización
Espacio de Hilbert
Conjunto ortogonalUn conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,
- siempre que
- Para cada
{xi}
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Veamos su importancia…
Espacio de HilbertConjunto ortogonal
- siempre que
- Para cada
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Dimensión finita: ⇒ l . i .
Sea un conjunto
ortogonal, y sea ,
luego, para cada
{x1, ⋯, xn} n
∑i=1
cixi = 0
j
(n
∑i=1
cixi, xj) = 0
n
∑i=1
ci(xi, xj) = 0
n
∑i=1
ciδi,j(xj, xj) = 0
cj(xj, xj) = 0 ⇒ cj | |xj | |2 = 0
⇒ cj = 0 ⇒ l . i .
Porque… xj ≠ 0
Espacio de Hilbert
Conjunto ortogonalUn conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,
- siempre que
- Para cada
{xi}
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Base ortogonalUna base ortogonal para un espacio producto interno es un conjunto ortogonal tal que para cualquier
existen escalares , tal que
S(en)
x ∈ S cnx =
∞
∑n=1
cnen
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una
base
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una
base
Espacio completoUn espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente
Sucesión de CauchyUna sucesión en un espacio normado es de Cauchy si
cuando
(xn)
| |xn − xm | | → 0 n, m → ∞
| |x | | = (x, x)
Recordar…
Espacio de HilbertConjunto ortogonal
- siempre que
- Para cada
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Base ortogonal
x =∞
∑n=1
cnen
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una
base
Espacio producto interno
Espacio vectorial con producto interno
V
Espacio completoUn espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente
Sucesión de CauchyUna sucesión en un espacio normado es de Cauchy si
cuando
(xn)
| |xn − xm | | → 0 n, m → ∞
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una base
Ejemplos
- con y base , no es un
espacio de Hilbert
-
C[0,π] ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx sin nx
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una base
Ejemplos
- con y base , no es un
espacio de Hilbert
- con es completo.
forman una base. Luego, es un espacio de Hilbert
C[0,π] ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx sin nx
L2[a, b] ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx sin
nπ(x − a)(b − a)
L2[a, b]
Espacio de Hilbert
Ortonormalización de Gram-SchmidtDada cualquier sucesión de elementos de un espacio producto interno, existe una sucesión ortogonal , tal que cada combinación lineal finita de es una combinación lineal de , y viceversa
( fn)(gn)
fn gn
Espacio de Hilbert
Construcción
- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones lineales de elementos precedentes
-
- , con tal que
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1 = F1
g2 = F2 + cg1 c (g2, g1) = 0 ⇒
0 = (g2, g1) = (F2, g1) + (cg1, g1) ⇒ c = −(F2, g1)(g1, g1)
Espacio de Hilbert
Construcción- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones
lineales de elementos precedentes
-
-
- con determinados a partir de
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1 = F1
g2 = F2 −(F2, g1)(g1, g1)
g1
g3 = F3 + dg2 + eg1 d, e (g3, g2) = (g3, g1) = 0
0 = (g3, g2) = (F3, g2) + d(g2, g2) + e(g1, g2) ⇒ d = −(F3, g2)(g2, g2)
0 = (g3, g1) = (F3, g1) + d(g2, g1) + e(g1, g1) ⇒ e = −(F3, g1)(g1, g1)
Espacio de Hilbert
Construcción- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones
lineales de elementos precedentes
-
-
-
-
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1 = F1
g2 = F2 −(F2, g1)(g1, g1)
g1
g3 = F3 −(F3, g2)(g2, g2)
g2 −(F3, g1)(g1, g1)
g1
⋯
⋮
Conceptos - Expansión ortogonal - Descomposición ortogonal
Espacio de Hilbert
TeoremaSea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale
(en)x
x =∞
∑n
cnen
(x, em) = (∑n
cnen, em) = ∑n
cn(en, em)
= ∑n
cnδn,m(em, em) = cm(em, em)
con…
⇒ cm =(x, em)(em, em)
Espacio de Hilbert
TeoremaSea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale
(en)x
x =∞
∑n
cnen
cn =(x, en)(en, en)
=(x, en)
| |en | |2
Coeficientes generalizados de Fourier
Espacio de Hilbert
Teorema sobre la mejor aproximación
Sea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno. Para cualquier , los coeficientes que minimizan
, son lo coeficiente generalizados de Fourier
{e1, ⋯, eN}x
| |x −N
∑n=1
cnen | |
cn = (x, en)Coeficientes generalizados de Fourier
con | |en | |2 = 1
Espacio de Hilbert
Teorema: desigualdad de BesselSi es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica
(en) | |en | |2 = 1x
con cn = (x, en)∞
∑n
|cn |2 ≤ | |x | |2
Espacio de Hilbert
Teorema: desigualdad de BesselSi es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica
(en) | |en | |2 = 1x
con cn = (x, en)∞
∑n
|cn |2 ≤ | |x | |2
Teorema: relación de ParsevalSea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno,
es una base sí y sólo sí para cada en el espacio se verifica,(en)
(en) x∞
∑n
|cn |2 = | |x | |2
Espacio de Hilbert
Teorema: Riesz-FischerSea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que
converge, entonces existe tal que
(en) H(en)∞
∑n
|cn |2 x ∈ H
con cn = (x, en)
x =∞
∑n
cnen
Espacio de Hilbert
Teorema: Riesz-FischerSea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que
converge, entonces existe tal que
(en) H(en)∞
∑n
|cn |2 x ∈ H
con cn = (x, en) x =∞
∑n
cnen
Isomorfo con l2sucesiones tal que converge, con (xi)
n
∑i=1
|xi |2
(x, y) =∞
∑i=1
xiyi Actividad: porqué y porqué no es cierto para espacios finitos?
Espacio de Hilbert
Complemento ortogonalSea cualquier sub conjunto de un espacio de Hilbert . El complemento ortogonal de es el conjunto
XH X
X⊥ = {x ∈ H : x ⊥ X}
Con espacio de HilbertX⊥
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E Hx ∈ H
x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥
Con…
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E Hx ∈ H
x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥
- siendo la proyección de sobre
- suma directa
y x E
H = E ⊕ E⊥
Con…
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E Hx ∈ H
x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥
- siendo la proyección de sobre
- suma directa
y x E
H = E ⊕ E⊥
Sobre las basesSi es base de , y es base de , entonces
es base para (en) E ( fn) E⊥
(en) ∪ ( fn) H
Con…
Fin final
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