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Instituto tecnolgico De CampecheIngeniera civil.

Trabajo #1TEMAS DE INVESTIGACIN CONCEPTUALUnidad IV- Tcnicas de muestreo y Distribuciones Muestrales

Nombre de la Alumno(a): Trejo Chi Eduardo GpeMaestro: Ramn Bocos PatrnMateria: Estadstica IGrupo: MC2

Fecha: 29 de ABRIL de 2015

Estadstica inferencialLos dos tipos de problemas que resuelven las tcnicas estadsticas son: estimacin y contraste de hiptesis. En ambos casos se trata de generalizar la informacin obtenida en una muestra a una poblacin. Estas tcnicas exigen que la muestra sea aleatoria. En la prctica rara vez se dispone de muestras aleatorias, por la tanto la situacin habitual es la que se esquematiza en la figura

Entre la muestra con la que se trabaja y la poblacin de inters, o poblacin diana, aparece la denominada poblacin de muestreo: poblacin (la mayor parte de las veces no definida con precisin) de la cual nuestra muestra es una muestra aleatoria. En consecuencia la generalizacin est amenazada por dos posibles tipos de errores: error aleatorio que es el que las tcnicas estadsticas permiten cuantificar y crticamente dependiente del tamao muestral, pero tambin de la variabilidad de la variable a estudiar y el error sistemtico que tiene que ver con la diferencia entre la poblacin de muestreo y la poblacin diana y que slo puede ser controlado por el diseo del estudio.Tamao muestralEl tamao muestral juega el mismo papel en estadstica que el aumento de la lente en microscopa: si no se ve una bacteria al microscopio, puede ocurrir que: - la preparacin no la contenga- el aumento de la lente sea insuficiente.Para decidir el aumento adecuado hay que tener una idea del tamao del objeto.Del mismo modo, para decidir el tamao muestral: i) en un problema de estimacin hay que tener una idea de la magnitud a estimar y del error aceptable. ii) en un contraste de hiptesis hay que saber el tamao del efecto que se quiere ver.Muestra:

La muestra es una parte de la poblacin, que es representativa de la misma. Entonces una muestra es una parte o un subconjunto de una poblacin seleccionado con la finalidad de analizar y obtener propiedades de esta.

Muestreo: es el procedimiento mediante el cual se obtiene una muestra

Algunas razones que justifican el uso del muestreo son:

1) naturaleza destructiva del proceso de investigacin

2) imposibilidad de revisar todos los elementos de la poblacin.

3) Costo: al obtener los datos de una pequea porcin del total.

4) tiempo: al considerar solo una parte del total, su recoleccin y resumen se har con mayor rapidez.

5) precisin: las posibilidades de usar personal mas capacitado y supervisar cuidadosamente el trabajo de campo y el procesamiento de la informacin

Seleccionar una muestra adecuada:

Para seleccionar una muestra se deben tomar en cuenta algunas consideraciones elegir el tamao de la muestra, lo cual depende no solo de la cantidad de informacin que se quiere conseguir, y el grado de certeza deseada, sino tambin del costo del muestreo y la seleccin de los elementos que la constituyen . Cualquiera sea el mtodo elegido, el requisito mas importante es que la muestra obtenida proporciona una imagen tan real como sea posible de aquella poblacin que se ha sometido al muestreo.

Ya visto esto, este es otra definicin del Muestreo:

Proceso de medicin de la informacin en solo una parte de la poblacin estadstica. Se define como el proceso de seleccionar un nmero de observaciones de un grupo

Tipos de muestreo

Existen dos mtodos para seleccionar muestra de poblaciones

Muestreo no aleatorio:

Es prctica comn seleccionar una muestra en forma intencional. De acuerdo a opiniones o criterios personales, fundamentalmente con el objeto de obtener informacin sin mucho costo.Ejemplo: si estamos estudiando el numero de personas que practican ftbol en una determinada regin del pas, tenemos que buscar especficamente a una persona que practique ftbol, es decir el proceso de elegir a quien se le aplica la encuesta no es aleatorio, a diferencia de que se pregunte que opina de la seleccin de ftbol de Venezuela, que la forma de elegir al encuestado si es aleatorio.

Para ser no aleatorio tiene que cumplir con estas caractersticas:

1) la muestra consiste en los elementos que estn mas a la mano.

2) se seleccionan un grupo de unidades tipo.

3) La muestra esta compuesta por voluntarios.

4) La muestra es restringidas a la parte de la poblacin que es fcilmente accesible.

Muestreo aleatorio:

En el cual todos los elementos de la poblacin tienen la oportunidad de ser escogidos para la muestra. Este procedimiento da a cada elemento de la poblacin una probabilidad de ser seleccionado. Dentro de este tipo se encuentran:

a) muestreo aleatorio simple:

Permite que cada muestra posible pueda ser elegida con la misma probabilidad. Por su parte cada elemento de la poblacin tiene la misma oportunidad igual de ser incluido en la muestra.

b) muestreo sistemtico:

En el cual los elementos que se muestrearan se seleccionan de la poblacin en un intervalo uniforme que se mide con respecto al tiempo, al orden o al espacio.

c) Muestreo estratificado:

Mtodo en el que la poblacin se divide en grupos homogneos, o estratos. Aqu la variabilidad dentro de cada grupo es pequea y entre los grupos es grande.

Muestreo por conglomerado:

Mtodo en el que la poblacin se divide en grupos o racimos de elementos, y luego se selecciona una muestra aleatoria de estos racimos. Aqu la variabilidad dentro de cada grupo es grande y entre los grupos es pequeo.METODOS DE MUESTREOEs el proceso por el cual se seleccionan los individuos que formarn una muestra.Para que se puedan obtener conclusiones fiables para la poblacin a partir de la muestra, es importante tanto su tamao como el modo en que han sido seleccionados los individuos que la componen.El tamao de la muestra depende de la precisin que se quiera conseguir en la estimacin que se realice a partir de ella. Para su determinacin se requieren tcnicas estadsticas superiores, pero resulta sorprendente cmo, con muestras notablemente pequeas, se pueden conseguir resultados suficientemente precisos. Por ejemplo, con muestras de unos pocos miles de personas se pueden estimar con muchsima precisin los resultados de unas votaciones en las que participarn decenas de millones de votantes.Para seleccionar los individuos de la muestra es fundamental proceder aleatoriamente, es decir, decidir al azar qu individuos de entre toda la poblacin forman parte de la muestra.Si se procede como si de un sorteo se tratara, eligiendo directamente de la poblacin sin ningn otro condicionante, el muestreo se llama aleatorio simple o irrestrictamente aleatorio.Cuando la poblacin se puede subdividir en clases (estratos) con caractersticas especiales, se puede muestrear de modo que el nmero de individuos de cada estrato en la muestra mantenga la proporcin que exista en la poblacin. Una vez fijado el nmero que corresponde a cada estrato, los individuos se designan aleatoriamente. Este tipo de muestreo se denomina aleatorio estratificado con asignacin proporcional.Las inferencias realizadas mediante muestras seleccionadas aleatoriamente estn sujetas a errores, llamados errores de muestreo, que estn controlados. Si la muestra est mal elegida no es significativa se producen errores sistemticos no controlados.MuestreoEl diseo de muestra o disea de encuesta especifica el mtodo de obtencin de la muestra.El diseo no especifica la forma de recolectar o medir los datos reales. Especifica nicamente el mtodo de recoleccin de los objetos que contienen la informacin requerida. Estos objetos se llaman elementos.Un elemento es un objeto del cual se toma una medicin.Los elementos pueden ocurrir individualmente o en grupos en la poblacin. Un grupo de elementos, como una familia o una caja de cerillos se llama unidad de muestreo.Las unidades de muestreo son colecciones disjuntas de elementos de la poblacin. En algunos casos una unidad muestral esta constituida por un solo elemento.Para seleccionar una muestra aleatoria de unidades de elementos mustrales, es necesaria una lista de todas las unidades mustrales contenidas en la poblacin. Esta lista se le denomina marco muestral.Un marco muetral es una lista de unidades mustrales.Sago y Error en el MuestreoSea el estimador muestral del parmetro poblacional. El error de estimacin es la diferencia absoluta - .Como Seleccionar Una Muetra AleatoriaAl seleccionar una muestra aleatoria de n mediciones de una poblacin infinita de N mediciones, si el muestreo se lleva a cabo de forma que todas las muestras posibles de tamao n tenga la misma probabilidad de ser seleccionadas, el muestreo se llama aleatorio y el resultado es una muestra aleatoria simple.Estimacin basada en una Muestra Aleatoria SimpleAl usar muestreo aleatorio simple para estimar la medida poblacional , se obtiene el siguiente estimador:Estimacin de la medida poblacional para un muestreo aleatorio simpleEstimador Varianza estimada del estimador:con Cotas para el error estimacin:Estimacin del Total Poblacional para una muetra aleatoria simpleEstimador: Varianza Estimada del Estimador:Cota para el Error de Estimacin:Estimacin de la proporcin poblacional para una muetra aleatoria simpleEstimadorVarianza estimado del estimador:con Cotas para el error de estimacin:En este caso y es l numero total de los elementos de la muestra que tienen determinada caracterstica.Muestreo Aleatorio EstratosfricoUna muetra aleatoria estratificada es una muetra aleatoria que se obtiene separando los elementos de la poblacin en grupos disjuntos, llamados estratos, y seleccionando una muetra aleatoria simple dentro de cada estrato.Afijacion de la Muetra para los Estratosi=1,2,....,Ldonde Ni es l numero de elementos del estrato i yes el tamao de la poblacin.Estimacin de la Media y la Varianza de Cada Estratoi=1,2,....,Ldonde yij es la j-sima observacin del estrato i.La varianza es un estimador de la correspondiente varianza del estrato .El estimador de la media poblacional , basado en un muestreo aleatorio estratificado.Estimacin de la Media Poblacional para una Muestra Aleatoria EstratificadaEstimadorVarianza estimada del estimador:Cotas para el error de estimacin:Estimador del total Poblacional para una Muestra Aleatoria EstratificadaEstimadorVarianza estimado del estimador:Cotas para error de estimacin:Estimacin de la Proporcin Poblacional para una Muestra Aleatoria EstratificadaEstimadorVarianza estimada del estimador:Cotas para error de estimacin:Muestreo por ConglomeradosUna muestra por conglomerados se obtiene seleccionando aleatoriamente un conjunto de m colecciones de elementos mustrales, llamados conglomerados, de la poblacin y posteriormente llevando a cabo un censo completo en cada uno de los conglomerados. Estimacin de la Media Poblacional en un Muestreo por ConglomeradosEstimador:Varianza estimada del estimador:Cotas para el error de estimacin:donde M es l numero de conglomerados en la poblacin y m es el numero de conglomerados en la muestra.Estimacin del Total Poblacional en un Muestreo por ConglomeradosEstimador:Varianza estimada del estimador:Cotas para el error de estimacin:Estimacin de la Proporcin Poblacional en un muestreo por ConglomeradosEstimador: Varianza estimada del estimador:Cotas para el error de estimacin:Cuando los tamaos de los conglomerados son iguales, es un buen estimador de la varianza real para cualquier numero m de conglomerados mustrales. Cuando los tamaos de los conglomerados no son iguales, es un buen estimador nicamente cuando m es grande, por ejemplo .Determinacin del Tamao de MuestraTamao de muestra para estimar en el muestreo aleatorio simplecon donde es la varianza poblacional, N es l numero de elementos de la poblacin, y B en la cota para el error de estimacin.Si N es grande, la formula del tamao de muestra se reduce.Tamao de muetra para estimar en un muestreo aleatorio simple cuando N es muy grandeCuando el objetivo es estimar el total poblacional , con una cota B para el error de estimacin, se debe sustituir en la formula del tamao.Tamao de muestra para la estimacin de n en un muestreo aleatorio estratificadoy donde y son, respectivamente la varianza y el tamao del i-simo estrato.El tamao de muestra necesario para estimar el total poblacional , con una cota para el error de estimacin, se obtiene sustituyendo en la ecuacin.Tamao de muestra para la estimacin de p para una muetra aleatoria estratificada cuando N es muy grandeMuestreo por ConglomeradosEn muestreo aleatorio estratificado primero se particiona la poblacin en estratos, y entonces se selecciona una muestra aleatoria de cada estrato. El procedimiento en el muestreo por conglomerados es al revs. Despus de dividir la poblacin en conglomerados se selecciona al azar algunos de ellos. Dentro de cada conglomerado escogido, se registran todos los elementos mustrales. En el muestreo aleatorio estratificado las unidades mustrales son los elementos individuales de la poblacin, mientras que en el muestreo por conglomerados las unidades mustrales son conglomerados de los elementos.Otros Diseos y Procedimientos de MuestreoMuestreo sistemticoPara obtener una muetra sistemtica, se elige aleatoriamente un elemento dentro de los primeros k elementos del marco muestral y posteriormente se selecciona en forma sucesiva el k-simo elemento que sigue al ultimo que se obtuvo.Estimadores de RaznEl estimador de razn es un sistema basado en la relacin existente entre dos variables y y x que se miden en el mismo conjunto de elementos. Como la regresin lineal el estimador de razn usa informacin sobre una variable x para estimar y .Muestreo por Conglomerados bi-etpicoEste se lleva acabo seleccionando una muetra aleatoria simple de conglomerados y posteriormente seleccionando una muetra aleatoria de elementos de cada uno de los conglomerados. Por lo tanto, cuando el tamao de los conglomerados es muy grande o cuando los elementos de un conglomerados son muy similares, el muestreo de dos etapas constituye una alternativa eficiente para el muestreo por conglomerados.Muestreo de respuesta aleatoriaEn el muestreo de poblaciones humanas, los resultados de la investigacin pueden distorsionarse a que algunos informantes se niegan a contestar todas las preguntas, o proporcionan informacin incorrecta. Para llevar a cabo encuestas relacionadas con tpicos delicados, se ha creado este sistema de muestreo, y requiere que la pregunta sobre el tema delicado se acompae de una pregunta inocua. El informante responde nicamente una de las dos preguntas seleccionadas al azar.

Objetivos de muestreo Introducir los conceptos elementales en esta parte de la asignatura.Tratar con muestras aleatorias y su distribucin muestral en ejemplos de tamaoreducido.Conocer la distribucin de la media muestral.Conocer los procedimientos usuales de inferencia paramtrica.

Teorema del Lmite centralSea X1, X2, ,Xn una muestra aleatoria extrada de una poblacin de parmetros y2. Si es la media muestral, entonces Z= ( -)/(/ n) es una variable normal estndar, siempre que n sea suficientemente grande (n 30).Nota 2:

Cuando la varianza poblacional es conocidaLa Distribucin muestral de la media muestral X, cuando la varianza poblacional ^2 es conocida, aplicando el Teorema del Lmite Central, ser normal con = y 2 = 2/n, segn la deduccin realizada lneas arriba. Luego N( ,2/n).Cuando la varianza poblacional es desconocidaSi la varianza poblacional es desconocida y la poblacin desde donde se extrae la muestra es normal, entonces la variable T=( - )/(s/n) t(n-1). Esto es, cuando la varianza poblacional no sea conocida, usaremos la distribucin t de Student para resolver el problema.

Distribucin de muestreoLas distribuciones de muestreo constituyen una pieza importante de estudio por varias razones. En la mayora de los casos, la viabilidad de un experimento dicta el tamao de la muestra. La distribucin de muestreo es la distribucin de probabilidad de una muestra de una poblacin en lugar de toda la poblacin.1Qu es el muestreo?2Conceptos bsicos2.1Grupo de muestra2.2Poblacin de la investigacin2.3Tamao de la muestra2.4Aleatoriedad3Muestreo3.1Muestreo estadsticoEn palabras ms simples, supongamos que de una determinada poblacin tomas todas las muestras posibles de tamao n y calculas una estadstica (por ejemplo, media) de todas las muestras. Si luego preparas una distribucin de probabilidad de esta estadstica, obtendrs una distribucin de muestreo.Las propiedades de la distribucin de muestreo pueden variar dependiendo de cun pequea sea la muestra en comparacin con la poblacin. Se supone que la poblacin se distribuye normalmente como generalmente sucede. Si el tamao de la muestra es lo suficientemente grande, la distribucin de muestreo tambin estar cerca de lo normal.Si ste es el caso, entonces la distribucin de muestreo puede ser totalmente determinada por dos valores: la media y la desviacin estndar. Estos dos parmetros son importantes para calcular la distribucin de muestreo si se nos da la distribucin normal de toda la poblacin.Distribucin de muestreo de la media y la desviacin estndarLa distribucin de muestreo de la media se obtiene tomando la estadstica bajo estudio de la muestra como la media. Calcular esto significa tomar todas las muestras posibles de tamao n de la poblacin de tamao N y luego trazar la distribucin de probabilidad. Se puede demostrar que la media de la distribucin de muestreo es, de hecho, la media de la poblacin.Sin embargo, la desviacin estndar es diferente para la distribucin de muestreo en comparacin con la poblacin. Si la poblacin es lo suficientemente grande, esto est dado por:

Donde es la desviacin estndar de la distribucin de la poblacin y x es la media de poblacin.Otras distribucionesEstas frmulas son vlidas nicamente cuando la poblacin se distribuye normalmente. Si ste no es el caso, entonces la media y la desviacin estndar de la distribucin de muestreo sern diferentes y dependern del tipo de distribucin de la poblacin.La distribucin normal es una de las distribuciones de probabilidad ms simples, por lo que es muy fcil de estudiar y analizar. Podemos encontrar fcilmente frmulas matemticas para las estadsticas de distribucin de muestreo que queremos encontrar.Sin embargo, cuando la distribucin no es normal, esto puede ser muy complicado y tales formulaciones matemticas sencillas podran ser difciles de encontrar o hasta imposibles en algunos casos. En estos casos, usamos mtodos aproximados porque encontrar el valor exacto implicar el estudio de cada muestra de tamao n tomada de la poblacin, lo que es muy difcil y requiere mucho tiempo.

Distribucin t de Student empleando Excel y Winstats

1) IntroduccinAl comenzar el siglo XX, un especialista en Estadstica de la Guinness Breweries en Irlanda llamado William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media cuando la fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les permita publicar el trabajo de investigacin bajo sus propios nombres, Gosset adopt el seudnimo de "Student". La distribucin que desarroll se conoce como la distribucin t de Student.Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente, entonces el siguiente estadstico tiene una distribucin t con n - 1 grados de libertad.

Esta expresin tiene la misma forma que el estadstico Z en la ecuacin para la distribucin muestral de la media con la excepcin de que S se usa para estimar la desconocida.Entre las principales propiedades de la distribucin t se tiene:En apariencia, la distribucin t es muy similar a la distribucin normal estandarizada. Ambas distribuciones tienen forma de campana. Sin embargo, la distribucin t tiene mayor rea en los extremos y menor en el centro, a diferencia de la distribucin normal. Puesto que el valor de es desconocido, y se emplea S para estimarlo, los valores t son ms variables que los valores Z.Los grados de libertad n - 1 estn directamente relacionados con el tamao de la muestra n. A medida que el tamao de la muestra y los grados de libertad se incrementan, S se vuelve una mejor estimacin de y la distribucin t gradualmente se acerca a la distribucin normal estandarizada hasta que ambas son virtualmente idnticas. Con una muestra de 120 o ms, S estima con la suficiente precisin como para que haya poca diferencia entre las distribuciones t y Z. Por esta razn, la mayora de los especialistas en estadstica usan Z en lugar de t cuando el tamao de la muestra es igual o mayor de 30.Como se estableci anteriormente, la distribucin t supone que la variable aleatoria X se distribuye normalmente. En la prctica, sin embargo, mientras el tamao de la muestra sea lo suficientemente grande y la poblacin no sea muy sesgada, la distribucin t servir para estimar la media poblacional cuando sea desconocida.Los grados de libertad de esta distribucin se calculan con la siguiente frmulan-1Donde n = tamao de la muestraEjemplo: Imagnese una clase con 40 sillas vacas, cada uno elige un asiento de los que estn vacos. Naturalmente el primer alumno podr elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y as el nmero ir disminuyendo hasta que llegue el ltimo alumno. En este punto no hay otra eleccin (grado de libertad) y aquel ltimo estudiante simplemente se sentar en la silla que queda. De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de libertad.Para leer en la tabla de la distribucin t se procede de la siguiente manera:

Usted encontrar los valores crticos de t para los grados de libertad adecuados en la tabla para la distribucin t. Las columnas de la tabla representan el rea de la cola superior de la distribucin t. Cada fila representa el valor t determinado para cada grado de libertad especfico. Por ejemplo, con 10 grados de libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un rea de 0,05) se encuentran en cada extremo de la distribucin. Buscando en la columna para un rea de la cola superior y en la fila correspondiente a 10 grados de libertad, se obtiene un valor crtico para t de 1.812. Puesto que t es una distribucin simtrica con una media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el valor para el rea de la cola inferior (0,05 inferior) sera -1.812. Un valor t de -1.812 significa que la probabilidad de que t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la figura).2) Ejemplos ilustrativos:2.1) Determinar el valor crtico de t con lectura en la tabla, Excel y Winstats en cada una de las siguientes condiciones paraSolucin:Con lectura en la tabla

O tambin el rea de una cola se calcula de la siguiente manera:

Calculando los grados de libertad se tiene:n-1=13-1=12

En la tabla con 12 grados de libertad y 0,025 de rea se obtiene un valor de t =2,1788, y por simetra es igual tambin a t = -2,1788b) Clic en Aceptar. En la ventana Argumentos de la funcin, en Probabilidad seleccionar B3, y en Grados de libertad seleccionar B6.

c) Clic en Aceptar. Los dems clculos se muestran en la siguiente figura:

Para resolver con Winstats se procede de la siguiente manera:a) Clic en Window y luego en Probability seleccionar Student t

b) Clic en Student t

c) Maximizar la ventana de la distribucin

d) Para cambiar el color del fondo, clic en Edit + Colors + Window background

e) Clic Window background. En la venta de background seleccionar el color deseado, que este caso se seleccion el color blanco. Luego clic en Close para cerrar la venta background.

f) Para editar lo grados de libertad, clic en Edit + Parameter...(Parmetros). Clic en Parmetros. En la casilla de la ventana input escribir 12. Clic en ok

g) Para calcular el valor crtico de t, clic en Calc + Probabilities. En la ventana Student calculations, en significanse escribir 0,025 y luego clic en critical x. Clic en close para cerrar la ventana Student calculations.

h) Para escribir textos, clic en Btns. Luego clic derecho en cualquier parte de la ventana y aparece la ventana edit text. En la casilla de la ventana edit text escribir el texto deseado.

i) Clic en ok de la ventana edit text. Luego arrastar con el mause el texto al lugar deseado

EL PRESENTE TEXTO ES SOLO UNA SELECCION DEL TRABAJO ORIGINAL.PARA CONSULTAR LA MONOGRAFIA COMPLETA SELECCIONAR LA OPCION DESCARGAR DEL

Leer ms: http://www.monografias.com/trabajos93/distribucion-t-student-empleando-excel-y-graph/distribucion-t-student-empleando-excel-y-graph.shtml#ixzz3YaYpihtT

Distribucin muestral de ProporcionesExisten ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporcin de artculos defectuosos o la proporcin de alumnos reprobados en la muestra. La distribucin muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribucin se genera de igual manera que la distribucin muestral de medias, a excepcin de que al extraer las muestras de la poblacin se calcula el estadstico proporcin (p=x/n en donde "x" es el nmero de xitos u observaciones de inters y "n" el tamao de la muestra) en lugar del estadsitico media.

Una poblacin binomial est estrechamente relacionada con la distribucin muestral de proporciones; una poblacin binomial es una coleccin de xitos y fracasos, mientras que una distribucin muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los nmeros posibles de xitos en un experimento binomial, y como consecuencia de esta relacin, las afirmaciones probabilsticas referentes a la proporcin muestral pueden evaluarse usando la aproximacin normal a la binomial, siempre que np5 y n(1-p) 5. Cualquier evento se puede convertir en una proporcin si se divide el nmero obtenido entre el nmero de intentos.Generacin de la Distribucin Muestral de ProporcionesSuponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artculos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artculos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribucin muestral de proporciones para el nmero de piezas defectuosas.Como se puede observar en este ejercicio la Proporcin de artculos defectuosos de esta poblacin es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote estn defectuosas.El nmero posible de muestras de tamao 5 a extraer de una poblacin de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:Artculos BuenosArtculos MalosProporcin de artculos defectuoso Nmero de maneras en las que se puede obtener la muestra

144/5=0.88C1*4C4=8

233/5=0.68C2*4C3=112

322/5=0.48C3*4C2=336

411/5=0.28C4*4C1=280

500/5=08C5*4C0=56

Total792

Para calcular la media de la distribucin muestral de proporciones se tendra que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporcin muestral y dividirla entre el nmero total de muestras. Esto es:

Como podemos observar la media de la distribucin muestral de proporciones es igual a la Proporcin de la poblacin. p = PTambin se puede calcular la desviacin estndar de la distribucin muestral de proporciones:La varianza de la distribucin binomial es 2= npq, por lo que la varianza de la distribucin muestral de proporciones es 2p =(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta frmula tenemos que:, este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de correccin para una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo:

La frmula que se utilizar para el clculo de probabilidad en una distribucin muestral de proporciones est basada en la aproximacin de la distribucin normal a la binomial . Esta frmula nos servir para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporcin en la muestra.

A esta frmula se le puede agregar el factor de correccin de si se cumple con las condiciones necesarias.Ejemplo:Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporcin de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.Solucin:Este ejercicio se puede solucionar por dos mtodos. El primero puede ser con la aproximacin de la distribucin normal a la binomial y el segundo utilizando la frmula de la distribucin muestral de proporciones. Aproximacin de la distribucin normal a la binomial:Datos:n=800 estudiantes p=0.60 x= (.55)(800) = 440 estudiantesp(x< 440) = ?Media= np= (800)(0.60)= 480

p(x< 440) = 0.0017. Este valor significa que existe una probabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos.

Distribucin Muestral de ProporcionesDatos:n=800 estudiantes P=0.60 p= 0.55p(p< 0.55) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido en el mtodo de la aproximacin de la distribucin normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de "z" nos da la misma probabilidad de 0.0017. Tambin se debe de tomar en cuenta que el factor de correccin de 0.5 se esta dividiendo entre el tamao de la muestra, ya que estamos hablando de una proporcin.La interpretacin en esta solucin, estara enfocada a la proporcin de la muestra, por lo que diramos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporcin de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%.Ejemplo:Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reaccin adversa a l, ms an, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reaccin. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporcin de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reaccin adversa, exceda el 4%.Resolverlo mediante la aproximacin de la normal a la binomial Resolverlo con la distribucin muestral de proporciones Aproximacin de la distribucin normal a la binomial: Datos:n=150 personas p=0.03 x= (0.04)(150) = 6 personasp(x>6) = ?Media = np= (150)(0.03)= 4.5

p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarn una reaccin adversa.Distribucin Muestral de Proporciones Datos:n=150 personas P=0.03 p= 0.04p(p>0.04) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretacin es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporcin mayor de 0.04 presentando una reaccin adversa.Ejemplo:Se sabe que la verdadera proporcin de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 60 tenga:Menos del 3% de los componentes defectuosos. Ms del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas. Solucin:Datos: n= 60 artculos P=0.04 p= 0.03p(p