ESTUDIODELAMODELIZACIÓNDELALOCALIZACIÓNDE
DEFORMACIONESENELHORMIGÓN
MásterUniversitarioenIngenieríadelasEstructuras,CimentacionesyMateriales.
UniversidadPolitécnicadeMadrid.
TrabajoFindeMáster.
Tutor:SergioBlancoIbáñez.Alumno:MiguelGarcíaMadero.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 2 -
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ÍNDICE
1.-EL FENÓMENO DE LA LOCALIZACIÓN DE DEFORMACIONES. ESTADO DEL ARTE. ..... 7
2.-MODELOS LOCALES DE DAÑO PARA EL HORMIGÓN ..................................................... 15
2.1 - Introducción. ................................................................................................................... 15
2.2 - Base termodinámica. ...................................................................................................... 15
2.3 - Caracterización de la evolución del daño. ...................................................................... 18
2.4 - Resumen de los parámetros del modelo de daño local. ................................................ 21
2.5 - Dependencia del tamaño de la malla y regularización del ablandamiento. ................... 22
2.6 – Influencia de la orientación de la malla en la propagación de la fisura ......................... 28
2.6.1. Análisis a flexión de una viga sin entalla. ................................................................. 29
2.6.2. Análisis a flexión de una viga con una entalla en la parte central. ........................... 32
3.-MODELOS NO LOCALES DE DAÑO PARA EL HORMIGÓN ............................................... 37
3.1. Introducción. ..................................................................................................................... 37
3.2. Formulación integral. ....................................................................................................... 38
3.3. Formulación gradiente explícito. ...................................................................................... 38
3.4. Formulación gradiente implícito. ...................................................................................... 38
3.5. Aplicación teórica de la formulación gradiente implícito al caso del ensayo uniaxial. ..... 39
3.6. Aplicación de la formulación gradiente implícito al ensayo de extensión uniaxial. ......... 44
3.6.1 Análisis de la independencia del tamaño de los elementos de malla. ...................... 44
3.6.2 Análisis de la influencia del parámetro l en la respuesta. ......................................... 48
3.6.3 Análisis de la influencia del parámetro m en la respuesta. ....................................... 51
3.6.4 Estudio de la disipación del modelo. ......................................................................... 52
3.7. Aplicación de la formulación gradiente implícito a una viga con una entalla en la parte
central. .................................................................................................................................... 55
ANEXO I. DEFINICIÓN DEL DOMINIO ELÁSTICO EN EL MODELO DE DAÑO LOCAL ........ 61
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................ 69
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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Zona elástica, zona de ablandamiento y zona de endurecimiento ................................ 8
Figura 2. Comportamiento frágil, dúctil y cuasi-frágil .................................................................... 8
Figura 3. Zonas características de una grieta ............................................................................... 9
Figura 4. Esquema de tensiones y deformaciones en la zona de proceso de fractura ................ 9
Figura 5. Descripción cinemática del modelo. Continuidad de los campos de desplazamientos y
deformaciones ............................................................................................................................. 13
Figura 6. Tensión principal σ1 ..................................................................................................... 17
Figura 7. Tensión principal σ2 ..................................................................................................... 18
Figura 8. Intersección del dominio elástico con el plano ε3 = 0 ................................................... 19
Figura 9. Corte del dominio elástico con el plano ε3 = 0 en función de la variable de daño ....... 20
Figura 10. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones .......................... 20
Figura 11. Superficie transversal y espesor del dominio de disipación ...................................... 25
Figura 12. Dominio de m en función de la densidad de energía volumétrica gf ......................... 26
Figura 13. Croquis de la viga utilizada en el ensayo uniaxial ..................................................... 26
Figura 14. Aplicación del modelo regularizado ........................................................................... 27
Figura 15. Aplicación del modelo no regularizado. ..................................................................... 28
Figura 16. Croquis de la viga sin entalla ..................................................................................... 29
Figura 17. Malla de la viga sin entalla ......................................................................................... 30
Figura 18. Evolución de la variable de daño en la viga sin entalla tras la simulación ................ 30
Figura 19. Deformada de la viga sin entalla tras la simulación ................................................... 31
Figura 20. Curva fuerza-desplazamiento para la viga sin entalla tras la simulación.
Comparación con el resultado experimental ............................................................................... 31
Figura 21. Croquis de la viga con una entalla ............................................................................. 32
Figura 22. Malla de la viga con una entalla ................................................................................. 33
Figura 23. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación
numérica - modelo local .............................................................................................................. 33
Figura 24. Deformada de la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo local ... 34
Figura 25. Curva fuerza-desplazamiento en la viga de una entalla tras la simulación - modelo
local ............................................................................................................................................. 35
Figura 26. Velocidad de deformación normalizada vs coordenada espacial normalizada.
Modelos local y no local .............................................................................................................. 43
Figura 27. Croquis de la viga empleada para reproducir el ensayo uniaxial - modelo no local . 44
Figura 28. Discretización con 11 elementos ............................................................................... 45
Figura 29. Discretización con 21 elementos ............................................................................... 45
Figura 30. Discretización con 31 elementos ............................................................................... 45
Figura 31. Discretización con 41 elementos ............................................................................... 46
Figura 32. Discretización con 51 elementos ............................................................................... 46
Figura 33. Fuerza - desplazamiento del extremo libre en función del refinamiento de la malla . 47
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Figura 34. Distribución de la variable de daño para la viga de 11 elementos ............................ 47
Figura 35. Distribución espacial de la variable de daño en función de la discretización ............ 48
Figura 36. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de l .............................. 49
Figura 37. Distribución espacial de la variable de daño en función de l ..................................... 50
Figura 38. Longitud de localización en función de l .................................................................... 51
Figura 39. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de la pendiente de
descarga m .................................................................................................................................. 51
Figure 40. Distribución espacial de la variable de daño en función de la pendiente de descarga
m .................................................................................................................................................. 52
Figura 41. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 31 elementos ....................... 53
Figura 42. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 51 elementos ....................... 53
Figura 43. Modelo no local. Relación m-l. ................................................................................... 54
Figura 44. Croquis de la viga con una entalla - modelo no local ................................................ 55
Figura 45. Malla hexaédrica de la viga con una entalla - modelo no local ................................. 56
Figura 46. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación
numérica - modelo no local. Malla hexaédrica ............................................................................ 57
Figura 47. Curva fuerza en el punto de carga - desplazamiento en la boca de la entalla .......... 58
Figura 48. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones .......................... 62
Figura 49. Dominio elástico. Puntos significativos ...................................................................... 66
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ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Datos de las vigas simuladas en el ensayo uniaxial ..................................................... 27
Tabla 2. Propiedades del material. Viga sin entallas - modelo local ........................................... 29
Tabla 3. Características del ensayo numérico. Viga sin entallas – modelo local ....................... 30
Tabla 4. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo local .................................... 32
Tabla 5. Características del ensayo numérico. Viga con una entalla - modelo local .................. 33
Tabla 6. Características del ensayo uniaxial numérico. Viga biapoyada - modelo no local ...... 44
Tabla 7. Estudio de la disipación del modelo no local ................................................................ 54
Tabla 8. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo no local ............................... 56
Tabla 9. Propiedades de la malla prismática rectangular ........................................................... 56
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1.‐ELFENÓMENODELALOCALIZACIÓNDEDEFORMACIONES.
ESTADODELARTE.
Entre los distintos sistemas de fallo de las estructuras sometidas a esfuerzos encontramos
el del ablandamiento del material de la misma, motivado por la localización de deformaciones
en un dominio espacial concreto de la estructura, de modo que, en lugar de haber un único
estado tensión-deformación homogéneo, aparece un estado inelástico en la zona de
localización de las deformaciones, permaneciendo el resto de la estructura en el dominio
elástico.
En general, en la punta de una grieta, distinguimos una zona caracterizada por tener un
comportamiento constitutivo no lineal y que concentra el reblandecimiento del material, lo que
conlleva una disminución en la resistencia de tensiones y un aumento de las deformaciones.
Rodeando a esta zona se encuentra otra caracterizada por experimentar un endurecimiento
que supone un mantenimiento o aumento en la resistencia de las tensiones con un aumento de
las deformaciones. Dependiendo del tamaño relativo de estas dos zonas y de la estructura,
podemos distinguir tres tipos de comportamiento distinto, según observamos en la Figura 1:
El primero de ellos, característico de los materiales frágiles, se caracteriza por un
tamaño despreciable de las zonas de reblandecimiento y endurecimiento respecto al
de la estructura, de modo que la fractura se concentra prácticamente en un punto en la
punta de la grieta. En este caso la relación tensión-deformación se mantiene lineal
hasta el momento del alcance de la tensión máxima, instante en el que se produce una
rotura frágil con rápida propagación de la fisura y la consiguiente pérdida de la
resistencia de tensiones sin deformación adicional. Este comportamiento se
corresponde con el indicado en la Figura 2 a.
El segundo tipo, característico de los materiales dúctiles, se caracteriza porque el
tamaño de la zona de endurecimiento es mucho mayor que el de la zona de
ablandamiento, además de tener dicha zona de endurecimiento un tamaño
considerable frente al de la estructura. En este caso, una vez alcanzada la tensión
máxima, el material es capaz de mantenerse resistiendo dicha tensión mientras sigue
deformándose en régimen no lineal, antes de que se produzca la propagación de la
fisura y la correspondiente pérdida de tensión, según observamos en la Figura 2 b.
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Finalmente, en el tercer caso, característico de los materiales cuasi-frágiles, la zona de
ablandamiento es considerablemente superior a la de endurecimiento y tiene un
tamaño considerable respecto al de la pieza o estructura. El comportamiento no lineal
se inicia antes de alcanzar la carga crítica, aumentando la tensión y la deformación
hasta llegar a dicha carga. Una vez alcanzada la carga crítica se produce la
localización de la fisura y comienza a disminuir la resistencia tensional
considerablemente si bien se sigue deformando el material. Este comportamiento se
corresponde con el indicado en la Figura 2 c.
Figura 1. Zona elástica, zona de ablandamiento y zona de endurecimiento
Figura 2. Comportamiento frágil, dúctil y cuasi-frágil
En relación a los materiales cuasi-frágiles, y concretamente en el caso del hormigón
(Gálvez & Cendón, 2002) distinguen tres zonas características en una grieta tipo, según
podemos observar en la Figura 3:
En la primera de las zonas, la zona fisurada, la fisura se encuentra abierta y el material
totalmente degradado, siendo incapaz de transmitir tensiones.
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En la segunda zona, denominada zona en proceso de fractura (con sus siglas en
inglés FPZ), el material ya ha alcanzado la tensión máxima resistente y por tanto ha
roto, pero todavía es capaz de transmitir tensiones gracias a la presencia de puentes
de material sano y a la superposición y distribución espacial de los áridos.
En la tercera y última zona, la zona sana, el material no ha sido sometido todavía a
tensiones que hayan alcanzado la tensión máxima.
Figura 3. Zonas características de una grieta
La zona en proceso de fractura (FPZ) se corresponde con la zona inelástica de
ablandamiento mencionada anteriormente y en los materiales cuasi-frágiles (hormigón, rocas,
mortero) adquiere un tamaño considerable frente al de la pieza o estructura y muy superior al
de la zona de endurecimiento, por lo que este comportamiento se corresponde con el tercer
tipo previamente indicado. En la Figura 4 se muestra el esquema de tensiones y deformaciones
típico de la zona en proceso de fractura:
Figura 4. Esquema de tensiones y deformaciones en la zona de proceso de fractura
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Para el estudio, caracterización y representación de los distintos comportamientos
materiales se han configurado distintos tipos de modelos según se busque reproducir un
comportamiento frágil, cuasi-frágil o dúctil.
Uno de los primeros modelos en utilizarse fue el basado en la mecánica de la fractura
elástica y lineal, con sus siglas en inglés LEFM (“Linear Elastic Fracture Mechanics”). Esta
formulación arroja buenos resultados solamente cuando las zonas de ablandamiento y
endurecimiento son pequeñas o despreciables en relación al tamaño de la pieza (materiales
frágiles). En este caso, como ya se ha comentado, la relación tensión-deformación se mantiene
lineal hasta la tensión pico, momento en el que se produce una rotura frágil que origina el fallo
inmediato (ninguna resistencia) sin aumento de las deformaciones. Este comportamiento es
característico de materiales como el vidrio y los materiales cerámicos.
Los modelos elastoplásticos se han venido utilizando para reproducir y estudiar el
comportamiento de los materiales dúctiles, en los que la zona de endurecimiento en la punta de
la grieta es considerable frente al tamaño de la pieza y muy superior al de la zona de
ablandamiento. Su comportamiento se corresponde con el segundo tipo mencionado
anteriormente.
En relación a los materiales cuasi-frágiles como el hormigón, se observó que la utilización
de la mecánica de la fractura elástica y lineal (LEFM) no arrojaba buenos resultados debido a
que despreciaba la zona de ablandamiento, cuyo comportamiento era necesario incorporar.
Podemos clasificar los modelos para representar el comportamiento de estos materiales
conforme a cuatro criterios distintos, siguiendo el orden indicado por (López, 2011):
1) En primer lugar, siguiendo la clasificación establecida por (Planas, y otros, 2003),
distinguimos dos tipos de modelos, según sea la ecuación constitutiva:
1. Por un lado encontramos los que describen la fractura a través de la fisura discreta
(Dugdale D. , 1960) y (Barenblatt, 1962). Se trata de modelos explícitos de
discontinuidades en los que la relación constitutiva dentro de la banda de
discontinuidad se modela mediante una ley cohesiva discreta tracción-salto (origen de
estas leyes cohesivas en los estudios de (Dugdale D. S., 1960) y (Barrenblatt, 1962)),
que complementa la ley tensión-deformación de la parte continua fuera de la banda de
localización, siendo discontinua la función que representa los desplazamientos a lo
largo de la superficie de fallo. Estudios posteriores acerca de las leyes cohesivas
tracción-salto fueron realizados por (Carol & Prat, 1990) y (Cervenka, 1996). A su vez,
dentro de estos modelos de fisura cohesiva discreta podemos distinguir dos subtipos:
Aquellos que usan técnicas de remallado, como el modelo de fisura cohesiva no
embebida (Steinmann, 1999) para hacer coincidir la discontinuidad con los
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lados de los elementos. Como ejemplo, (Ingraffea et al. 1999) aplican este
método para modelar el crecimiento de una fisura en análisis tridimensionales.
Aquellos que enriquecen el campo de desplazamientos (o deformaciones) para
que la discontinuidad pueda atravesar los elementos finitos sin necesidad de
recurrir al remallado, como el modelo de fisura cohesiva embebida (Dvorkin,
Cuitiño, & Gioia, 1990) y (Klisinski, Runesson, & Sture, 1991). El origen de esta
técnica de las discontinuidades embebidas tiene su origen en (Ortiz, Leroy, &
Ñeedleman, 1987). Siguiendo las indicaciones de (Jirasek, 2000), existen tres
grandes grupos dentro de la aproximación de las discontinuidades embebidas:
la simétrica estáticamente consistente (SOS), la simétrica cinemáticamente
consistente (KOS) y la no simétrica cinemática y estáticamente consistente
(SKON). Ésta última es la óptima de las tres debido a que es capaz tanto de
garantizar la continuidad de las tracciones como de representar la cinemática de
la discontinuidad dentro del elemento. La aproximación SKON apareció por
primera vez en (Dvorkin, Cuitiño, & Gioia, 1990) y (Klisinski, Runesson, &
Sture., 1991) donde se aplicaba la formulación a un tipo de elementos finitos
concretos. Posteriormente, (Simo & Oliver, 1993) y (Oliver, 1996) presentaron
una versión general de esta formulación para un elemento arbitrario.
2. Por otro lado encontramos los modelos basados en las formulaciones continuas de
tensión y deformación. Se trata de modelos implícitos de discontinuidades en los que se
define una única ley constitutiva de continuo tensión-deformación tanto para la zona de
localización como para el resto de la estructura. En este caso se introduce un
parámetro que indica la longitud característica de los elementos y que está relacionada
con el ancho de la zona de localización. Dentro de este grupo distinguimos dos nuevos
subtipos:
Aquellos modelos en los que la ecuación constitutiva se modifica de tal forma que
los efectos inelásticos se distribuyen uniformemente a través de la banda de
localización de espesor finito y la ley resultante relaciona las tensiones transmitidas
por la banda de localización con la deformación inelástica medida en dicha banda,
como el modelo de fisura difusa (Rashid, 1968).
Los denominados modelos del continuo enriquecido, que son capaces de
representar los elevados gradientes del campo de deformaciones y mantenerlos
continuos tras el inicio de la localización, gracias a técnicas de regularización a
partir de la longitud característica de los elementos, consiguiendo que el resultado
no dependa del tamaño de los elementos. Dentro de estos modelos regularizados
se incluyen, según (Jirásek, 2007), dos subtipos:
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Los basados en relaciones cinemáticas y ecuaciones de equilibrio. Ejemplos
son los continuos con microestructura de tipo Cosserat (Vardoulakis, 1989) y los
basados en la teoría del gradiente de las deformaciones o los continuos con
deformaciones no locales.
Los basados en ecuaciones constitutivas. En este tipo encontramos los modelos
no locales (Pjaudier-Cabot & Bazant, 1997) basados en formulación integral o
diferencial (de gradiente explícito e implícito) que se describen en la sección 3.
2) En segundo lugar, desde el punto de vista de los métodos de elementos finitos y
relacionado con la clasificación anterior, según (Gálvez & Cendón, 2002), podemos dividir
los modelos en dos tipos, los basados en la fisura discreta y los basados en la fisura
distribuida.
3) En tercer lugar, desde el enfoque de la cinemática que describe el modelo, observando la
clasificación establecida por (Jirásek, 2007) y (Blanco, 2006), distinguimos tres tipos en
función de la regularidad de los campos de desplazamientos y deformaciones:
1. Los basados en la cinemática de la discontinuidad fuerte, en los que la banda de
localización de las deformaciones tiene espesor nulo, de tal forma que se produce un
salto en el campo de desplazamientos y una singularidad en el campo de las
deformaciones, según observamos en la Figura 5 a.
2. Los basados en la cinemática de la discontinuidad débil, en los que la banda de
localización de las deformaciones presenta un espesor pequeño pero finito. En este
caso el campo de desplazamientos es continuo pero el campo de deformaciones es
discontinuo, tal y como podemos observar en la Figura 5 b.
3. Los basados en la cinemática de campos continuos, en los que tanto el campo de
desplazamientos como el campo de deformaciones son continuos, como vemos en la
Figura 5 c.
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Figura 5. Descripción cinemática del modelo. Continuidad de los campos de desplazamientos y
deformaciones
4) Por último establecemos una clasificación en función del valor que toman las variables
internas en el proceso de cálculo:
1. Modelos locales, en los que los valores de las variables internas en un punto
dependen únicamente de dicho punto. Presentan el importante inconveniente de que
los resultados dependen del tamaño de los elementos y de la orientación de los
mismos dentro de la malla.
2. Modelos no locales, en los que los valores que adoptan las variables internas en un
punto dependen del resto de puntos de la estructura o al menos de un subconjunto de
puntos de la misma. La no localidad puede introducirse bien mediante formulación
integral (formulación no local fuerte) o bien mediante formulación diferencial
(formulación no local débil en la que se aplica el laplaciano a la variable interna). Como
ya se ha citado previamente, los modelos no locales se explican más detalladamente
en la sección 3.
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2.‐MODELOSLOCALESDEDAÑOPARAELHORMIGÓN
2.1‐Introducción.
Los modelos de daño continuos han sido ampliamente utilizados (Simo & Ju, 1986) (J.C
Simo y J.W. Ju, 1986 ó J.Mazars, 1982) para el estudio de la degradación de los materiales
dúctiles mediante procesos de fatiga, fisuración, etc. y para materiales más cuasi-frágiles como
roca y hormigón. Dichos modelos se basan en la termodinámica de procesos irreversibles y
variables de estado internas. Cuando el material sea isótropo1 el modelo más sencillo consistirá
en representar el daño mediante una variable escalar, mientras que en el caso de anisotropía
será necesario representar la variable de daño mediante un tensor. La utilización de modelos y
formulaciones isotrópicos está muy extendida debido a su simplicidad, eficiencia y adaptación a
muchos casos de aplicación práctica.
Presentamos en este apartado el estudio de la fisuración del hormigón mediante un
modelo local, continuo, isótropo y basado en el dominio de las deformaciones. En este modelo
el daño se representa mediante la variable d, cuya interpretación física puede aproximarse a la
proporción de volumen degradado, tomando el valor cero cuando todavía no ha sufrido
fisuración alguna y uno cuando se encuentra totalmente fisurado. La principal característica de
este modelo es que permite representar la pérdida de rigidez conforme aumenta la tracción en
el hormigón, mientras que en un estado de compresión la rigidez se mantiene constante, es
decir, la rigidez del material depende de la historia de las deformaciones, manteniéndose
constante en un estado de compresión (cierre de la fisura) y disminuyendo conforme aumentan
las tracciones. Así pues, se debe tener en cuenta que este modelo está ideado para el estudio
de la fisuración del hormigón en tracción y por tanto no sirve para representar el
comportamiento no lineal de dicho material ante grandes esfuerzos de compresión. Además,
según se verá más adelante, la propagación de la fisura depende de la alineación y del tamaño
característico de la malla. Para abordar estos problemas introduciremos en el siguiente bloque
del trabajo un modelo de daño no local.
2.2‐Basetermodinámica.
El modelo utilizado ha sido el implementado en el código de elementos finitos Code-Aster
(Code_Aster, 2014). Un desarrollo más extenso de la teoría del modelo puede encontrarse en
(Hamon, 2013). Partimos del conocimiento del tensor de deformaciones ε expresado en la base
de sus direcciones principales y de la expresión general de la función de densidad de energía
elástica para un material isótropo lineal:
1 Isotropía: las propiedades físicas del cuerpo o material no dependen de la dirección espacial.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 16 -
2
10 2)( tr i
i2 [1],
siendo εi las deformaciones principales y {λ, µ} los parámetros de Lamé. En esta expresión
podemos observar dos términos, el primero representando una tracción-compresión
volumétrica mediante la traza del tensor de deformaciones y el segundo una suma que
representa la tracción-compresión en cada una de las direcciones principales.
Para representar la diferencia de comportamiento del material en compresión y tracción en
el régimen inelástico, introducimos la variable de daño ∈ 0,1 y la función de Heaviside2 en la
expresión anterior, de forma que el factor reductor del daño afecte sólo a la energía elástica
debida a la parte positiva de las deformaciones, resultando la siguiente expresión para la
función de densidad de energía del modelo:
2
1 2)( tr )([ trH )(d )( trH })]()()([{] 2
iiii HdH [2],
siendo la expresión del factor de reducción:
.1
1)(
d
dd
[3]
donde es un parámetro material.
Observamos que para compresión pura, es decir, εi < 0, la expresión resultante es
exactamente la de la densidad de energía elástica 0 , mientras que para tracción pura, εi > 0,
la expresión resultante es 0)( d .
Asumiendo que se trata de un proceso isotermo, estudiamos la desigualdad de Clausius-
Duham para deformaciones infinitesimales, aplicando el método de Coleman & Noll (Lubliner,
1976), y expresamos la disipación como sigue:
D 0: [4]
Desarrollando esta desigualdad obtenemos3:
ii
i{ )( tr )([ trH )(d )]( trH )]}()()([2 iii HdH
2
1[
)1(
12d
d
)()( 2 trHtr 0])(2 i
ii H [5]
2 H(x) = 0 si x < 0; H(x) = 1 si x ≥ 0 3 Si f(x) = u2(x) H(u(x)) entonces df/dt = 2 u(x) H(u(x)) du(x)/dt
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En esta desigualdad podemos identificar dos sumandos. El primero de ellos nos
proporciona la respuesta tensional y el segundo la disipación interna del modelo. En lo que al
campo tensional respecta, la ecuación que obtenemos es la siguiente:
i )( tr )([ trH )(d )]( trH )]}()()([2 iii HdH [6],
siendo la expresión de la disipación:
2
1[
)1(
12d
ddYD
)()( 2 trHtr 0])(2 i
ii H [7]
que para el caso particular de extensión uniaxial arroja la expresión:
dd
EdYD 2
22
)1(2)1(
)12)(1(
[8],
expresión que se utilizará posteriormente para regularizar el ablandamiento. Finalmente, la
expresión de la disipación nos permite definir “Y” como la fuerza termodinámicamente
conjugada de la variable de daño d:
2
1[
)1(
12dd
Y
)()( 2 trHtr ])(2i
ii H [9]
Para el caso particular de deformación plana (ε3=0), obtenemos gráficamente las
tensiones σ1 y σ2, como funciones dependientes de ε1 y ε2:
Figura 6. Tensión principal σ1
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Figura 7. Tensión principal σ2
Destacar que en los gráficos representados ya existe daño, (d≠0), pudiéndose observar el
distinto comportamiento en la zona de compresión y tracción (distinta pendiente),
Adicionalmente se observa que las tensiones obtenidas σ1 y σ2 son funciones continuas de
derivada discontinua en σ i=0. Los gráficos se han obtenido para unos valores λ=20,2 MPa,
µ=13,5 MPa y d=0,5.
2.3‐Caracterizacióndelaevolucióndeldaño.
El dominio elástico en el espacio de las deformaciones se define mediante el siguiente
criterio de fallo:
kYdg ),(
2
1[
)1(
12d
kd
)()( 2 trHtr 0])(2 kHi
ii [10]
Este criterio establece un dominio elástico utilizando un umbral “k” según la expresión:
)(10 trHtrkkk [11]
El modelo permite considerar el grado de confinamiento del hormigón. En el caso de que
no se desee tener en cuenta dicho grado de confinamiento, el parámetro k1 será cero. Según la
definición previa, para tr(ε)>0 (tracción) k=k0, mientras que para tr(ε)<0 (compresión) k>k0.
Según este criterio podemos clasificar los puntos del espacio de las deformaciones como:
• Pertenecientes al dominio elástico si g(ε,d) < 0.
• Pertenecientes al contorno del dominio elástico si g(ε,d) = 0.
• Puntos inadmisibles si g(ε,d) > 0.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 19 -
Debido a la presencia de la función de Heaviside en la expresión que define el dominio
elástico, dicha ecuación adopta diferentes formas en las distintas regiones del espacio de las
deformaciones, en función del signo de εi y tr(εi). En el anexo I se detallan estas regiones y la
expresión de la superficie que define el contorno del dominio elástico.
Las siguientes gráficas muestran la evolución del dominio elástico en el espacio de las
deformaciones principales en el problema de deformación plana (ε3=0) y para valores de la
variable de daño “d” de 0,0, 0,5 y 1,0. Se observa en primer lugar que conforme aumenta el
valor de la variable de daño aumenta el tamaño del dominio elástico. Observando la expresión
de g(ε,d) previamente definida, se nota que todos los pares de puntos (εi<0, εj<0) pertenecen al
dominio elástico (resultado esperado ya que para todo par εi<0, εj<0 obtenemos g(ε,d)=-k0<0).
La intersección del contorno del dominio elástico con el plano horizontal (ε3=0) viene definido
por dos rectas paralelas a los ejes coordenados y tres curvas de segundo grado cuyos puntos
característicos se pueden ver en las figuras adjuntas.
Figura 8. Intersección del dominio elástico con el plano ε3 = 0
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 20 -
Figura 9. Corte del dominio elástico con el plano ε3 = 0 en función de la variable de daño
En la Figura 10 se muestra el contorno definitivo del dominio elástico en tres dimensiones,
definido por trece superficies, cuyas expresiones y dominios se especifican, como se ha
comentado previamente, en el anexo I:
Figura 10. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 21 -
Las condiciones de carga-descarga pueden derivarse a partir de las condiciones de Kuhn-
Tucker:
0d ; 0),( dg ε ; 0),( dgd ε
Para el caso en el que 0d se debe imponer la condición de consistencia:
0),(),( 0 Si dgdgd εε
que nos permite obtener en integración cerrada el valor de la variable de daño d :
kYdg ),(
2
1[
)1(
12d
kd
)()( 2 trHtr 0])(2 kHi
ii
donde obtenemos finalmente:
}1])()()(2
1[
1{
1 22
i
ii HtrHtrk
d
εε [12]
2.4‐Resumendelosparámetrosdelmodelodedañolocal.
Por último vamos a resumir los parámetros del modelo de daño local usado, tal como se
indica en(Code_Aster, 2014) y (Hamon, 2013):
Módulo de elasticidad “E”.
Coeficiente de Piosson “ν”.
Coeficientes de Lamé:
i. )21)(1(
E
ii. )1(2
E
Resistencia a tracción simple “SYT”.
Resistencia a compresión simple “SYC”. En el caso de que no se considere el
grado de confinamiento, tenemos que:
2
2
2
21SYTSYC
En caso de que se quiera tener en cuenta el grado de confinamiento, la resistencia
a compresión simple será una entrada de datos independiente.
Pendiente decreciente de la curva tensión-deformación del ensayo uniaxial “m”,
cuya expresión es la siguiente4:
4 En el siguiente apartado se deduce esta expresión
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 22 -
)1(2)12(
)12(20
2
20
2
EGh
Ehm
f
m
E
)(10 εε trHtrkkk
1
21
2
1)(
22
0 ESYTk
SYC
EkSYCk
)21()21)(1(
)1(0
2
1
; en caso de que no se tenga en
cuenta el grado de confinamiento del hormigón, k1 = 0.
2.5‐Dependenciadeltamañodelamallayregularizacióndel
ablandamiento.
La regularización consiste en hacer independiente la energía disipada por el modelo
durante el ablandamiento del espesor del elemento finito que sufre los procesos inelásticos.
Para hacerlo, obligamos a que la disipación del modelo en el ensayo de extensión uniaxial
venga dada por el parámetro material Gf (densidad superficial de energía de fractura).
Para ello partimos de la ecuación [7] que representa la disipación del modelo:
2
1[
)1(
12d
ddYD
)()( 2 trHtr 0])(2 i
ii H
y la particularizamos para el caso de tensión uniaxial cuyo tensor de deformaciones tiene la
forma:
00
00
001
00
00
00
ε
obteniendo el siguiente valor para la disipación:
dd
EdYD 2
22
)1(2)1(
)12)(1(
A partir de la expresión anterior se deriva la fuerza termodinámicamente conjugada de la
variable de daño d para el caso de tracción uniaxial:
]212
[)1(
1]21
2[
)1(
1 2
22222
2
dd
Y [13]
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 23 -
Para los valores conocidos de los coeficientes de Lamé, µ y λ:
)21)(1(
E
)1(2
E
tenemos:
2
22
)1(2)1(
)12)(1(
dEY
[14]
expresándose finalmente la disipación como:
dd
EdYD 2
22
)1(2)1(
)12)(1(
[15]
Al tratarse de carga inelástica monótona sabemos que, siendo g la función de fluencia, se
cumple una vez abandonamos el dominio elástico:
0),( kYdg ε [16]
0),( Ydg ε [17]
Al ser k0 constante, podemos obtener su valor (tamaño inicial del dominio elástico)
particularizando [15] en el instante que empiezan los procesos inelásticos, esto es,
particularizando para ϵ=σ0/E y d=0, obteniendo:
EYkk
dE 2)1(
)12)(1( 20
2
0,/00
[18]
Obtenemos el valor de d a partir de las ecuaciones [15] y [17]:
02)1(
)12)(1(
)1(2)1(
)12)(1( 20
2
2
22
EdE
[19]
despejando obtenemos:
0
0
E
d [20]
Y de [16] obtenemos el valor de d :
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 24 -
0)1(
)1(3
d
ddYg
0)1( dd
0
0
011 E
E
dd
[21]
Por último, introduciendo [19] y [20] en la ecuación de la disipación [14]:
02
02
0
0
22
)1(2
)12)(1(
)1()1(2
)12)(1(
E
EED [22]
El trabajo disipado en todo el dominio con procesos inelásticos hasta que se agota el
material se expresa como:
dVm
dtdVWVV
)(
)1(2
)12()1(
)1(2
)12()1( 00
2
0
2
[23]
donde el parámetro m representa la pendiente de la curva tensión-deformación en la rama de
ablandamiento para el caso de extensión uniaxial. El objetivo de la regularización del
ablandamiento es poder definir este parámetro m en función del parámetro material densidad
superficial de energía de fractura y de un tamaño característico de la zona de procesamiento
de fractura. Este dominio donde tiene lugar la disipación puede caracterizarse mediante una
superficie transversal S y un espesor h (ver Figura 11).
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 25 -
Figura 11. Superficie transversal y espesor del dominio de disipación
Si imponemos que la energía disipada venga dada por el parámetro material Gf (densidad
de energía superficial de fractura), obtenemos:
SGShEm
mEW f
2
0
2
)1(2
)12(
[24]
donde hemos sustituido el valor de ɣ por:
m
E
Finalmente despejamos el valor buscado de la pendiente de la rama de descarga, m:
)1(2)12(
)12(20
2
20
2
EGh
Ehm
f
[25]
Si particularizamos la anterior expresión para un valor nulo del coeficiente de Poisson,
ν=0, obtenemos la expresión:
EGh
Ehm
f220
20
y si definimos gf=Gf/h como la densidad de energía por unidad de volumen, obtenemos:
Eg
Em
f220
20
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 26 -
El parámetro m toma sentido físico cuando se hace negativo, por lo que distinguimos los
siguientes valores en función de gf:
0;;2
20
mE
g f
Figura 12. Dominio de m en función de la densidad de energía volumétrica gf
Para comprobar el efecto de la regularización se ha simulado el ensayo de tracción
uniaxial sobre tres vigas (E1, E2 y E3) cuya geometría se muestra en la Figura 13 y cuyos
detalles se resumen en la Tabla 1.
Figura 13. Croquis de la viga utilizada en el ensayo uniaxial
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 27 -
Tabla 1. Datos de las vigas simuladas en el ensayo uniaxial
Especimen E (Mpa) ν σ0 (Mpa) L (mm) h (mm) Gf (N/mm) d0 (mm) df (mm) E1 24.000 0,18 2,8 1.000 200 1 0,12 0,71
E2 24.000 0,18 2,8 1.000 333 1 0,12 0,71
E3 24.000 0,18 2,8 1.000 500 1 0,12 0,71
El espesor e de las tres vigas es de 250mm y el canto c de 350mm. Igualmente, se ha
considerado, para las tres vigas, una resistencia máxima a tracción del hormigón de 2,8MPa y
una resistencia a compresión simple de 28Mpa. Para conseguir localizar el daño en la zona
central de la viga se ha modelizado como un material elástico la parte de la viga fuera de la
zona central de longitud h. Se han llevado a cabo 6 simulaciones para comparar el
comportamiento del modelo considerando o no la regularización.
Para las tres primeras simulaciones, en las que sí se ha tenido en cuenta la regularización,
observamos que las ramas de descarga fuerza-desplazamiento son coincidentes, es decir, el
comportamiento fuerza-desplazamiento no depende de la longitud de localización del daño “h”:
Figura 14. Aplicación del modelo regularizado
Mientras, para las tres siguientes simulaciones, en las que no se ha incorporado la
regularización, observamos que las gráficas de carga y descarga fuerza-desplazamiento no
son coincidentes, es decir, el comportamiento fuerza-desplazamiento en la rama de
ablandamiento depende del valor de h:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 28 -
Figura 15. Aplicación del modelo no regularizado.
2.6–Influenciadelaorientacióndelamallaenlapropagacióndela
fisura
Pasamos a continuación al estudio de la influencia de la orientación de la malla en la
propagación de la fisura en los modelos de daño locales. Para ello vamos a utilizar un modelo
que usa como método de continuación el algoritmo de control de desplazamientos y como
modelo material el modelo de daño local escalar (una única variable escalar para representar el
daño) sólo tracción explicado en los anteriores apartados.
El modelo material de daño escalar sólo tracción se caracteriza fundamentalmente por
utilizar una única variable escalar d para representar el daño, cuya evolución viene dada
exclusivamente por la parte positiva de las deformaciones (tracción), mientras que a
compresión el comportamiento es puramente elástico. La variable de daño d puede tener un
sentido físico aproximado a la proporción de volumen degradado, tomando el valor cero cuando
todavía no ha sufrido fisuración alguna y uno cuando se encuentra totalmente fisurado. Este
modelo material está pensado para modelizar fenómenos en los que el fallo del hormigón se
produce a tracción, por lo que no sirve, por ejemplo, para estudiar el comportamiento del
hormigón frente a grandes esfuerzos de compresión que sean los que provoquen el
agotamiento del material.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 29 -
2.6.1.Análisisaflexióndeunavigasinentalla.
Vamos a reproducir en este apartado, mediante simulación numérica, el ensayo
experimental presentado por (Elices, Guinea, Gómez, & Planas, 2002) consistente en someter
a flexión simple una viga biapoyada sin entallas mediante la aplicación de una carga vertical en
el centro del vano. La geometría y el esquema de cargas se detallan en la Figura 16. Las
propiedades del material, resumidas en la Tabla 2, han sido tomadas de (Elices, Guinea,
Gómez, & Planas, 2002).
Figura 16. Croquis de la viga sin entalla
Tabla 2. Propiedades del material. Viga sin entallas - modelo local
σ0 [MPa] E [MPa] Ν Gf [N/mm] 3,9 39.000 0,18 0,126
En la Figura 17 se observa la discretización de la geometría de la viga descrita mediante
una malla formada por elementos prismáticos lineales de base rectangular. Como puede
observarse, se ha mallado con un mayor número de elementos en la zona central ya que es
por donde ha de transcurrir la fisura. Además el objeto del ensayo es, entre otros, la
representación de la fuerza aplicada vs la diferencia de desplazamiento horizontal de los
puntos A y B separados inicialmente por L0=25 mm. En la Tabla 3 se resumen las principales
características de la malla.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 30 -
Tabla 3. Características del ensayo numérico. Viga sin entallas – modelo local
Nº nodos Nº elementos Tipo elementos Modelo material 3.388 2.700 Prismas rectangulares lineales Daño escalar sólo tracción
Figura 17. Malla de la viga sin entalla
En la simulación numérica obtenemos una propagación vertical de la fisura hasta casi la
fibra superior, conforme a la realidad. En la Figura 18 observamos la propagación de dicha
fisura mediante la representación de la variable de daño d, que toma valor 0 para el material no
dañado y valor 1 para el material completamente dañado.
Figura 18. Evolución de la variable de daño en la viga sin entalla tras la simulación
La deformada de la viga, en la que mostramos el módulo del vector de desplazamientos,
una vez se ha producido el fallo es la siguiente:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 31 -
Figura 19. Deformada de la viga sin entalla tras la simulación
En la Figura 20 se representa la fuerza aplicada vs la diferencia de desplazamiento de los
puntos en los extremos de la longitud L0. Como se puede observar, el hecho de haber
incorporado el concepto de la regularización nos permite obtener un modelo que es capaz de
aproximarse con bastante precisión a la realidad experimental (y al modelo utilizado por [M.
Elices et al, 2002]) con independencia del tamaño de la malla.
Figura 20. Curva fuerza-desplazamiento para la viga sin entalla tras la simulación. Comparación
con el resultado experimental
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 32 -
2.6.2.Análisisaflexióndeunavigaconunaentallaenlapartecentral.
En este apartado reproducimos mediante simulación numérica el ensayo experimental
presentado por (Arrea & Ingraffea, 1982) consistente en someter a flexión simple una viga con
una entalla en la parte central cuya geometría y esquema de cargas se detallan en la Figura
21. Las propiedades del material, resumidas en la Tabla 4, han sido tomadas de (Arrea &
Ingraffea, 1982).
Figura 21. Croquis de la viga con una entalla
Tabla 4. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo local
σ0 [MPa] E [MPa] ν Gf [N/mm] 2,8 24.000 0,18 0,1
En la Figura 22 se observa la discretización de la geometría de la viga descrita mediante
una malla formada por elementos cuya geometría es de hexaedros cuadráticos. Como puede
observarse, se ha mallado con un mayor número de elementos en la zona central para obtener
un mayor refinamiento y precisión de los resultados en la zona por la que teóricamente debería
discurrir la fisura. Además se han colocado unos tacos modelizados con material metálico para
distribuir la carga aplicada y que no fallen los elementos inmediatamente inferiores a la carga
debido a la concentración de la carga en dichos elementos. En la Tabla 5 se resumen las
principales características de la malla:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 33 -
Tabla 5. Características del ensayo numérico. Viga con una entalla - modelo local
Nº nodos Nº elementos Tipo elementos Modelo material 7.239 1.212 Hexaedros cuadráticos Daño escalar sólo tracción
Figura 22. Malla de la viga con una entalla
Los resultados experimentales indican que la fisura progresa desde la parte superior de la
entalla hasta la parte derecha de la línea de aplicación de la carga describiendo una curva que
arranca en la entalla con una pendiente cuasi-horizontal. Sin embargo, el hecho de usar un
modelo de daño local hace que la fisura no se propague por donde debería, debido al efecto de
la orientación de la malla, que le hace tender a propagarse verticalmente, tal y como vemos en
la Figura 23, en la que se representa la variable de daño, tomando valor 1 en los elementos
totalmente dañados hasta valor 0 en el material sin daño.
Figura 23. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo local
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 34 -
Mostramos a continuación el estado final de la viga deformada tras la simulación, donde
representamos el valor de la componente del desplazamiento horizontal:
Figura 24. Deformada de la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo local
Por último, mostramos la relación fuerza aplicada – desplazamiento horizontal de la boca
de la entalla en la Figura 25. En dicha figura comparamos el resultado numérico obtenido con
los resultados experimentales (Arrea & Ingraffea, 1982) y con los resultados numéricos de
(Blanco, 2006). Podemos observar que los resultados obtenidos con el modelo local se ajustan
lo suficiente a los resultados experimentales a pesar que la propagación de la fisura se desvía
de la real. El tamaño característico utilizado para regularizar el ablandamiento en este ensayo
ha sido de 40 mm, superior al tamaño característico de la malla (alrededor de 27 mm). Una
explicación a esta desviación puede ser que la regularización descrita está pensada para el
modo de fractura tipo I, mientras que este caso se corresponde realmente con un modo de
fractura mixto de los tipos I y II.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 35 -
Figura 25. Curva fuerza-desplazamiento en la viga de una entalla tras la simulación - modelo local
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 36 -
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 37 -
3.‐MODELOSNOLOCALESDEDAÑOPARAELHORMIGÓN
3.1.Introducción.
Hasta el momento hemos utilizado para analizar la fisuración del hormigón un modelo
local. Sin embargo, en estructuras sometidas a condiciones de carga más exigentes o
extremas, se producen grandes localizaciones de deformaciones en bandas estrechas y una
rápida evolución del daño, no siendo capaces dichos modelos de representar correctamente
este fenómeno físico. Además, el tensor de localización es singular para determinadas
direcciones, las ecuaciones diferenciales que rigen el problema mecánico pierden elipticidad y
por consiguiente la respuesta de los modelos locales no representa la realidad. Dos son los
problemas que presentan los modelos de daño local con ablandamiento: la dependencia del
tamaño de los elementos en la energía disipada por el modelo y la influencia que la orientación
de la malla tiene en la propagación de la zona dañada.
Para solucionar estos inconvenientes se han formulado modelos, como podemos leer en
(Jirásek, 2007), como los modelos de fisura cohesiva discreta, que admiten una importante
discontinuidad en el campo de desplazamientos, el modelo de fisura cohesiva difusa, que
localiza en una banda las deformaciones extremas, y los modelos regularizados, en los que
nos vamos a centrar, que están basados en la teoría de la continuidad e incorporan la longitud
característica evitando la localización de las deformaciones en un volumen pequeño. Dentro de
los modelos regularizados encontramos los modelos no locales, que habitualmente formulamos
a partir de un campo de desplazamientos continuo y diferenciable, permaneciendo el campo de
las deformaciones continuo. El fenómeno de la localización de deformaciones elevadas se sitúa
en bandas estrechas, con una transición continua a deformaciones muy inferiores en los
alrededores o proximidades de dichas bandas.
Podemos distinguir dos tipos de modelos regularizados. El primero de ellos es el
construido a partir de las relaciones cinemáticas y las ecuaciones de equilibrio, apareciendo a
su vez dos subtipos, los continuos con microestructura (como los basados en el gradiente de
las deformaciones) y los continuos con deformación no local (como los de elasticidad no local).
El segundo tipo es el basado en las ecuaciones constitutivas, que igualmente se divide en dos
subtipos, modelos de materiales con gradientes de las variables internas y modelos de
materiales con ponderaciones espaciales de las variables internas. Como veremos a
continuación, nuestro modelo se basa en el segundo tipo.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 38 -
3.2.Formulaciónintegral.
Siguiendo la exposición de (Jirásek, 2007), la formulación de los modelos no locales se
realiza fundamentalmente de tres maneras. La primera de ellas es la formulación integral, en la
que se asume que las tensiones en un punto dependen no solamente de las variables de
estado en dicho punto sino en general de los valores que toman dichas variables de estado en
todo el cuerpo, de forma que todos los puntos del dominio tienen influencia sobre el resto. De
ahí que la aproximación no local en este caso consista en reemplazar el valor de una
determinada variable de estado en un punto (modelo local) por otro valor correspondiente (no
local) que consiste en el compendio ponderado de valores que toma dicha variable de estado
en el resto de puntos del dominio del cuerpo en estudio, o al menos en un subconjunto del
mismo. Podemos expresarlo de la siguiente manera:
1
)](),([)(),()(i
ii
V
fxdfxxf [26]
Podemos aplicar esta formulación a nuestro problema calculando la variable de daño a
partir de la deformación equivalente no local.
3.3.Formulacióngradienteexplícito.
La segunda de ellas es la formulación de gradiente explícita, que consiste en definir la
deformación equivalente del modelo no local como suma de la deformación equivalente
correspondiente del modelo local más el término que caracteriza al modelo no local, el
laplaciano de dicha deformación equivalente local, multiplicada por el cuadrado de la longitud
característica, y que expresamos como vemos a continuación:
eqeqeq l 22 [27]
Podemos observar que con esta formulación sustituimos las interacciones espaciales que
nos proporciona la formulación integral por la incorporación de la influencia de la
microestructura a través de los gradientes u otros operadores diferenciales de las variables
internas en las ecuaciones constitutivas.
3.4.Formulacióngradienteimplícito.
Finalmente, la tercera formulación es la de gradiente implícito, que surge como solución a
las dificultades de implementación de la formulación de gradiente explícito, debido a la
presencia de los operadores diferenciales de orden dos. Como se puede observar, la
formulación implícita es muy parecida a la anterior salvo que el laplaciano se aplica a la
deformación equivalente no local (de ahí la denominación de esta formulación), añadiendo la
condición de contorno homogénea de Newmann, que dice que el producto de la normal a la
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 39 -
superficie del contorno del cuerpo en cuestión por el gradiente de la deformación equivalente
no local, es cero para toda la mencionada superficie:
eqeqeq l 22 [28]
0 eqn [29]
El problema de contorno planteado se puede expresar como una suma ponderada, al igual
que ocurría con la formulación integral, en la que la función de peso pasa a ser una función de
Green. A pesar de esta similitud formal, la implementación numérica es muy diferente.
Nosotros vamos a utilizar la formulación del gradiente implícito y vamos a reproducir un
ejemplo con solución analítica (Jirásek, 2007) para tener una visión más cercana y comprender
qué parámetros influyen en el tamaño de la zona de localización.
3.5.Aplicaciónteóricadelaformulacióngradienteimplícitoalcasodel
ensayouniaxial.
Reproduciendo el estudio teórico realizado por (Jirásek, 2007), consideramos una barra
homogénea de sección constante sometida a una elongación constante, sin tener en cuenta
fuerzas de inercia, por lo que el campo de tensiones es constante. El objetivo es estudiar bajo
qué condiciones el campo de deformaciones pasa a ser no uniforme y cómo son estas
soluciones del campo de deformaciones, analizar el instante en el que el campo de
deformaciones va a pasar a ser no uniforme, es decir, el instante en el que todavía es uniforme
pero la velocidad de deformación es no uniforme, y, finalmente, el tamaño de la zona de
localización de las deformaciones no uniformes.
Para el caso general partimos de las siguientes ecuaciones (siguiendo la nomenclatura
presentada en (Jirásek, 2007)):
Ley tensión-deformación:
εDσ e :)1( [30]
Ley de daño:
)(kg [31]
Condiciones de carga-descarga:
0)(),( kkf eq [32]
0k [33]
0),( kkf [34]
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 40 -
Para el caso unidimensional tenemos:
E)1( [35]
Si derivamos con respecto al tiempo:
EE )1( [36]
Dado que
kgdt
dk
dk
dg
dt
d [37]
y llamando Eu al módulo de descarga o secante a:
EEu )1( [38]
tenemos finalmente:
kgEEu [39]
Recordando que la variable interna k representa el nivel máximo de deformación
equivalente alcanzado previamente a lo largo de la historia del material, tenemos que:
k [40],
es decir,
k si 0
0k si 0
En la zona de daño la velocidad de deformación es positiva, por lo que en dicha zona:
)( gEEgEE uu [41]
Llamando Eed al módulo tangente:
gEEE ued [42]
podemos expresar la relación entre las velocidades de deformación y variación de tensión
como:
)()( ueduuedu EEEkEEE [43]
Hay que indicar que los módulos secante Eu y tangente Eed se toman como constantes
porque en el momento de la localización el campo de deformaciones es todavía uniforme y que
la variación de tensiones es independiente de la coordenada espacial. Dependiendo de los
signos de la velocidad de deformación y del módulo tangente, existen dos soluciones
uniformes:
0)( edE
x
[44]
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 41 -
para el caso de crecimiento uniforme del daño y
0)( uE
x
[45]
para el caso de descarga elástica uniforme.
Nos vamos a centrar ahora en la búsqueda de soluciones no uniformes que nos
proporciona la formulación no local. La solución más interesante es aquella que nos
proporciona un crecimiento del daño localizado en un intervalo Id de longitud Ld, rodeado por
zona con daño constante y descarga elástica uniforme. Podemos situar el origen de
coordenadas espacial en el centro del intervalo de localización, por lo que el mismo será el Id
=(-Ld /2, Ld /2), asumiendo una longitud total de la barra L lo suficientemente grande como para
que Id ϵ(-L/2, L/2), es decir, la zona de localización se sitúe por completo dentro de la barra, de
tal forma que fuera del intervalo Id la velocidad de deformación es negativa y la relación entre
las velocidades de deformación y variación de tensión se reduce a:
uE [46]
siendo la solución:
uEx
)( [47]
para todo x fuera del intervalo Id. En el caso de usar la formulación de gradiente implícito (ver
ecuación [27]):
eqeqeq l 22
que aplicada al caso unidimensional se reduce a:
2l [48]
2l [49]
Observaremos, como indicaremos a continuación, que dicha solución introducirá un factor
que depende de l. Si introducimos en la ecuación [43] la ecuación [49] obtenemos dos
ecuaciones, dependiendo de la zona espacial en la que nos encontremos:
)()( 2 xlExE ued [50]
en el caso de los puntos pertenecientes a Id y:
)()( 2 xlExE uu [51]
para los puntos que no pertenecen al intervalo Id.
La solución del campo de velocidades de deformación no local ha de ser, como hemos
impuesto, positiva dentro de Id y negativa fuera del mismo, por lo que, para cumplir con el
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 42 -
requisito de continuidad, hay que imponer en la frontera del intervalo
2,
2dd
d
LLI que el
campo de velocidades de deformación no local sea nulo, además de continuo y diferenciable.
Con estas premisas llegamos a la conclusión de que existe una solución no uniforme
solamente para Eed<0 con las siguientes expresiones, dependiendo de que los puntos
pertenezcan o no al intervalo Id:
l
L
E
E
l
x
E
E
Ex
d
u
ed
u
ed
ed
2cos
cos
1)( [52]
para los puntos pertenecientes al intervalo Id, y
l
xL
u
d
eE
x 2
2
1)( [53]
para los puntos que no pertenecen al intervalo de localización del daño Id.
Por su parte, el tamaño de la zona de localización, proporcional al parámetro l (que indica
el radio de influencia del entorno para un punto de Gauss o tamaño del entorno de un punto de
Gauss del que se tiene en cuenta su curvatura), tiene la siguiente expresión:
u
ed
ed
ud E
E
E
ElL arctan2 [54]
Obtenidos estos resultados, la velocidad de deformación local la obtenemos
inmediatamente a partir de la propia formulación del gradiente implícito (ecuación 49):
2l
Es decir, la velocidad de deformación con formulación local tendría la expresión:
u
ed
d
u
ed
u
ed
ed E
E
l
L
E
E
l
x
E
E
Ex 1
2cos
cos
1)(
[55]
para los puntos pertenecientes a Id y:
uEx
)( [56]
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 43 -
para los puntos que se encuentran fuera del intervalo Id.
Dibujamos las expresiones de la velocidad de deformación para las formulaciones local y
de gradiente implícito, para el caso particular edu EE y normalizando los valores dividiendo
las ordenadas por uE
y las abscisas por l según observamos en (Jirásek, 2007):
Figura 26. Velocidad de deformación normalizada vs coordenada espacial normalizada. Modelos
local y no local
Hemos trabajado suponiendo una barra infinitamente larga por simplicidad de la solución.
Para el caso de una barra real de longitud finita L, se ha de imponer la condición de contorno
de Neumann 0 en los extremos 2
Lx de la barra, obteniendo una solución que
depende de L pero con características similares a las obtenidas previamente. De la expresión
del tamaño de la zona de localización deducimos que para valores muy elevados del módulo
tangente la longitud de localización en la barra tiende a cero y que para valores tendentes a
cero del valor del módulo tangente, la longitud de localización tiende a infinito, resultados
apoyados por la experiencia y simulación numérica. Estos mismos resultados se obtienen con
la formulación integral pero con la formulación del gradiente explícito se obtiene igualmente que
cuando el módulo tangente tiende a cero la longitud de localización tiende a infinito pero
cuando el módulo tangente tiende a infinito la longitud de localización tiende a 2пl, es decir,
tiene un límite inferior, resultado no apoyado por la realidad experimental ni la simulación
numérica.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 44 -
3.6.Aplicacióndelaformulacióngradienteimplícitoalensayode
extensiónuniaxial.
En los siguientes apartados vamos a analizar los resultados del estudio del ensayo
uniaxial mediante un modelo de daño continuo no local basado en ecuaciones constitutivas con
formulación de gradiente implícito.
En primer lugar definimos la geometría de la viga objeto del ensayo numérico en la Figura
27. El material simulado es hormigón, con las propiedades indicadas en la Tabla 6:
Figura 27. Croquis de la viga empleada para reproducir el ensayo uniaxial - modelo no local
Tabla 6. Características del ensayo uniaxial numérico. Viga biapoyada - modelo no local
L [mm] e [mm] c [mm] σ0 [MPa] E [MPa] ν Gf [N/mm]
1000 250 350 2,8 24.000 0,18 0,1
3.6.1Análisisdelaindependenciadeltamañodeloselementosdemalla.
En primer lugar vamos a realizar la simulación sobre 5 vigas que tienen las mismas
características (indicadas anteriormente) salvo la discretización geométrica. Los valores
empleados para l y la pendiente de la rama de descarga han sido 30 y -300 MPa
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 45 -
respectivamente. Las mencionadas vigas se componen de 11, 21, 31, 41 y 51 elementos,
según se puede observar en las siguientes figuras:
Figura 28. Discretización con 11 elementos
Figura 29. Discretización con 21 elementos
Figura 30. Discretización con 31 elementos
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 46 -
Figura 31. Discretización con 41 elementos
Figura 32. Discretización con 51 elementos
A continuación presentamos las curvas fuerza aplicada – desplazamiento del extremo
móvil de la viga.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 47 -
Figura 33. Fuerza - desplazamiento del extremo libre en función del refinamiento de la malla
Observamos que hasta cierto punto el comportamiento es idéntico, independientemente
de la finura de la malla, y que conforme aumenta el refinamiento la tendencia es a converger a
un único resultado. Por tanto, se cumple que el error en la discretización tiende a cero cuando
el tamaño característico de la malla tiende a cero.
A continuación pasamos a presentar la distribución de la variable de daño a modo de
ejemplo en la viga de 11 elementos y la evolución de la variable de daño a lo largo de la viga
para las 5 discretizaciones utilizadas:
Figura 34. Distribución de la variable de daño para la viga de 11 elementos
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 48 -
Figura 35. Distribución espacial de la variable de daño en función de la discretización
Se observa cómo efectivamente la variable de daño adopta el valor 1 en la zona
completamente dañada, que es en la zona central, donde se concentra el daño, y se hace cero
en los extremos. Observamos que conforme aumenta el refinamiento de la malla la distribución
de la variable de daño tiende a coincidir. Se aprecian unos picos en el entorno del valor que
debería ser máximo e igual a 1 debidos a la extrapolación de la variable de daño que se realiza
en el post-proceso, siendo por tanto estos picos un error de extrapolación.
3.6.2Análisisdelainfluenciadelparámetrolenlarespuesta.
En este apartado vamos a ver cómo influye el coeficiente (l) del laplaciano de las
deformaciones mejoradas (no locales) en la respuesta numérica. Para ello vamos a trabajar
con una discretización constante (la malla de 31 elementos anteriormente presentada), un valor
de la pendiente de la rama de descarga de 300 MPa y vamos a simular 7 casos
correspondientes a los valores de l de 4, 5, 10, 20, 30, 40 y 50.
En primer lugar mostramos las curvas fuerza aplicada – desplazamiento del extremo móvil
de la viga.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 49 -
Figura 36. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de l
Observamos que a medida que aumenta el valor de l el modelo disipa más energía.
Además, para los casos l=40 y l=50 el modelo ha dejado de converger antes de llegar al
agotamiento del material, especialmente acentuado el caso l=40.
A continuación representamos la evolución de la variable de daño a lo largo de la viga
para los distintos valores de l:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 50 -
Figura 37. Distribución espacial de la variable de daño en función de l
Observamos que, como era de esperar siguiendo la formulación teórica (ver ecuación 54),
la longitud de la banda de localización Ld aumenta con el valor de l. Además para los valores
bajos de l (l=4 y l=5) aparecen anomalías en forma de valores negativos de la variable de daño,
cuyo valor siempre se encuentra entre 0 y 1, debido a la extrapolación que se hace en el post-
proceso, igual que ocurría anteriormente para algunas mallas para las que la variable de daño
superaba el valor 1. Como ya habíamos observado, para los casos l=40 y l=50 no se llega al
agotamiento del material. Podemos observar cómo efectivamente la variable de daño en estos
casos no alcanza el valor unidad, siendo especialmente visual el caso l=40 en el que la variable
de daño ha alcanzado un valor entre 0,80 y 0,85.
Podemos definir la longitud de localización Ld como la longitud del intervalo espacial en el
que la variable de daño d supera un cierto umbral. En la siguiente gráfica mostramos los
valores de Ld en función de l para los umbrales de 0,10, 0,15 y 0,30:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 51 -
Figura 38. Longitud de localización en función de l
3.6.3Análisisdelainfluenciadelparámetromenlarespuesta.
Pasamos a analizar en este apartado el impacto de la pendiente de la rama de descarga,
m, en los resultados de la simulación numérica. Para ello hemos trabajado con la malla de 31
elementos anteriormente descrita y con un valor constante del parámetro l de 10.
En primer lugar mostramos, como en los apartados anteriores, la relación fuerza aplicada
– desplazamiento del extremo móvil de la viga:
Figura 39. Curva fuerza - desplazamiento del extremo libre en función de la pendiente de descarga m
0
100
200
300
400
500
600
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Ld [m
m]
l
Longitud de localización
Ld-10% Ld-15% Ld-30%
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 52 -
Podemos apreciar que, conforme era de esperar, cuanto mayor es el valor absoluto de m
menor es la energía disipada por el modelo.
A continuación mostramos la evolución de la variable de daño para las distintas
simulaciones, observando que para el valor adoptado de l, la distribución del daño es
prácticamente independiente de m:
Figure 40. Distribución espacial de la variable de daño en función de la pendiente de descarga m
3.6.4Estudiodeladisipacióndelmodelo.
Como se visto en los apartados 3.6.2 y 3.6.3 la energía disipada por el modelo depende
de los valores asignados a los parámetros l (que influye en el tamaño del dominio donde tienen
lugar los procesos inelásticos) y m (que influye en la densidad volumétrica de energía de
disipación). En este apartado vamos a estudiar la disipación del modelo para distintos valores
de los parámetros {l,m} y vamos a buscar combinaciones de estos valores para los cuales el
material disipa una energía en el ensayo de extensión uniaxial dada por una densidad
superficial de energía de fractura de 1 N/mm2 (presentado en el apartado 2.5)
Mostramos en las siguientes gráficas la curva fuerza aplicada – desplazamiento del
extremo libre de la viga para los tres casos con modelo local regularizado (superpuestos) y
para varias configuraciones del modelo no local que disipan la misma energía (misma área bajo
la curva fuerza-desplazamiento) que el modelo local presentado en el apartado 2.5
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 53 -
Figura 41. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 31 elementos
Figura 42. Estudio de la disipación del modelo no local. Malla de 51 elementos
Observamos que el comportamiento elástico es exactamente el mismo para el modelo
local y el no local. Sin embargo, la introducción del término del laplaciano en la formulación no
local imprime cierta curvatura a la rama de ablandamiento. La Tabla 7 y la Figura 43 resumen
los valores obtenidos de los pares {l,m}.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 54 -
Tabla 7. Estudio de la disipación del modelo no local
discretización l m [Mpa] 31 0,5 -220
31 2,0 -222
31 20,0 -450
31 40,0 -810
51 0,5 -130
51 2,0 -137
51 20,0 -415
51 40,0 -820
Figura 43. Modelo no local. Relación m-l.
0
50
100
150
200
250
300
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Relación m‐l (banda 1 elemento)
31 elementos ‐ banda 1 elem 51 elementos ‐ banda 1 elem
|m|=120.1
|m|=72,9
l
m
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
15 20 25 30 35 40 45
Relación m‐l (banda > 1 elem)
31 elementos ‐ banda > 1 elem 51 elementos ‐ banda > 1 elem
m
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 55 -
Para el ensayo así reproducido y según vemos en la Figura 43 podemos sacar las
siguientes dos conclusiones:
Cuando la banda donde tienen lugar los procesos inelásticos coincide con el
elemento finito, la pendiente de la rama de ablandamiento en la ley tensión-
deformación uniaxial depende del tamaño del elemento y no del parámetro l
utilizado. Esta pendiente es aproximadamente el doble de la pendiente obtenida
con la regularización del modelo de daño local (m=-120.1 MPa para la
regularización con 31 elementos y m=-72.9 MPa para la regularización con 51
elementos).
Cuando la banda donde tienen lugar los procesos inelásticos ocupa más de un
elemento finito, la pendiente de la rama de ablandamiento en la ley tensión-
deformación uniaxial es indepeniente del tamaño del elemento y sí depende del
parámetro l utilizado. La relación entre m y l en este caso es lineal (a doble l, doble
m).
3.7.Aplicacióndelaformulacióngradienteimplícitoaunavigaconuna
entallaenlapartecentral.
Finalmente vamos a repetir la simulación de la viga con una entalla ya realizada en la
sección 2.6.2 (Arrea & Ingraffea, 1982) pero aplicando la formulación no local de gradiente
explícito que acabamos de estudiar. Recordemos la geometría y las características del
material:
Figura 44. Croquis de la viga con una entalla - modelo no local
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 56 -
Tabla 8. Propiedades del material. Viga con una entalla - modelo no local
σ0 [MPa] E [MPa] ν Gf [N/mm] m [Mpa] l 2,8 24.000 0,18 0,1 -2000 1
En este caso hemos realizado la simulación sobre la malla representada en la Figura 45.
La zona central se ha mallado con un mayor refinamiento para intentar obtener mayor precisión
en los resultados, ya que es la zona por la que teóricamente ha de transcurrir la fisura. Para
reducir el tiempo de cálculo el espesor asignado a la malla es la quinta parte del real, debido a
que en este caso los elementos son cuadráticos, por lo que el número de nodos es muy
elevado. En la Tabla 9 se resumen las principales características de la malla:
Figura 45. Malla hexaédrica de la viga con una entalla - modelo no local
Tabla 9. Propiedades de la malla prismática rectangular
Nº nodos Nº elementos Tipo elementos 7.239 1.212 Hexaedros cuadráticos
Como ya se ha dicho en la sección 2.6.2, la fisura transcurre en el ensayo real desde la
boca de la entalla hacia la derecha del taco sobre el que se aplica la carga de mayor valor
describiendo una curva que arranca en la entalla con una pendiente cuasi-horizontal. Como
podemos observar en la Figura 46 el modelo no local es capaz de reproducir correctamente la
propagación de la fisura. El motivo de usar la malla con prismas rectangulares es resaltar la
principal conclusión del trabajo: el modelo no local es capaz de reproducir fielmente la
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 57 -
propagación de la fisura, independientemente de la orientación de la malla (la malla de prismas
rectangulares invita a la propagación vertical y no oblicua).
Figura 46
Figura 46. Evolución de la variable de daño en la viga con una entalla tras la simulación numérica - modelo no local. Malla hexaédrica
Finalmente mostramos la curva fuerza aplicada – desplazamiento horizontal en la boca de
la entalla para la malla prismática rectangular (multiplicamos la fuerza obtenida por cinco ya
que la simulación numérica se ha realizado para una viga de espesor un quinto el real por
economía de tiempo de cálculo) y comparamos con el resultado experimental. Comparamos de
nuevo con (Arrea & Ingraffea, 1982) y (Blanco, 2006) y observamos que los resultados
numéricos se ajustan de forma bastante correcta a los obtenidos experimentalmente por (Arrea
& Ingraffea, 1982).
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 58 -
Figura 47. Curva fuerza en el punto de carga - desplazamiento en la boca de la entalla
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 59 -
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 60 -
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 61 -
ANEXOI.DEFINICIÓNDELDOMINIOELÁSTICOENELMODELODE
DAÑOLOCAL
En el presente anexo se detallan las expresiones que adopta la función que define el
dominio elástico en las distintas regiones del espacio de las deformaciones.
Recordando la expresión que define el dominio elástico:
0)()()(2
1
)1(
1),( 0
222
kHtrHtrd
dgi
ii
εεε
Llamando:
2)1(
1
dA
[57]
expresamos la superficie que define el contorno del dominio elástico como sigue:
0)()()()()(2
1),( 03
232
221
21321
2321
kHHHHAdg ε
Dividimos el espacio de las deformaciones en diferentes regiones en función del signo de
εi y de tr(ε), obteniendo las siguientes regiones y expresiones de g:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 62 -
Figura 48. Contorno del dominio elástico en el espacio de las deformaciones
Región 1:
ε1 > 0
ε2 > 0
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
322
21
2321
A
kdg ε [58]
Región 2:
ε1 > 0
ε2 < 0
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
32
12
321
A
kdg ε [59]
Región 3:
ε1 < 0
ε2 > 0
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 63 -
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
322
2321
A
kdg ε [60]
Región 4:
ε1 > 0
ε2 > 0
ε3 < 0
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
22
12
321
A
kdg ε [61]
Región 5:
ε1 < 0
ε2 < 0
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
32
321
A
kdg ε [62]
Región 6:
ε1 < 0
ε2 > 0
ε3 < 0
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
22
321
A
kdg ε [63]
Región 7:
ε1 > 0
ε2 < 0
ε3 < 0
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 64 -
ε1 + ε2 + ε3 > 0
0)(2
1),( 02
12
321
A
kdg ε [64]
Región 8:
ε1 > 0
ε2 < 0
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 < 0
0),( 023
21
A
kdg ε [65]
Región 9:
ε1 < 0
ε2 > 0
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 < 0
0),( 023
22
A
kdg ε [66]
Región 10:
ε1 > 0
ε2 > 0
ε3 < 0
ε1 + ε2 + ε3 < 0
0),( 022
21
A
kdg ε [67]
Región 11:
ε1 < 0
ε2 < 0
ε3 > 0
ε1 + ε2 + ε3 < 0
MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES
TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 65 -
A
k
A
kdg 0
302
3 0),( ε [68]
Región 12:
ε1 < 0
ε2 > 0
ε3 < 0
ε1 + ε2 + ε3 < 0
A
k
A
kdg 0
202
2 0),( ε [69]
Región 13:
ε1 > 0
ε2 < 0
ε3 < 0
ε1 + ε2 + ε3 < 0
A
k
A
kdg 0
102
1 0),( ε [70]
Por último, recordamos los puntos más característicos de este dominio. Debido a la
simetría de la ecuación, únicamente se indican los valores para la intersección del dominio con
el plano ε3 = 0:
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 66 -
Figura 49. Dominio elástico. Puntos significativos
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TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 67 -
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MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES
TRABAJO FIN DE MÁSTER. - 69 -
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