UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA
FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y PETROQUIMICA
ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA
LIMITES, DERIVADAS E INTEGRALES
INFORME DE INFORMATICA APLICADA A LOS PROCESOS
ING. VICTOR ORE GALINDO
1EXPRESIONES SIMBOLICAS
1
El Toolbox de Matemática Simbólica, añade a MATLAB la capacidad de
realizarcálculos simbólicos basados en MAPLE V © soportando además
(The ExtendedSymbolic Math Toolbox) las librerías especializadas, y los
programas realizadospara este último. Entre otros, los principales tipos
de operaciones soportadosson los siguientes:
· Algebra simbólica: Derivación, integración y simplificación de
expresiones matemáticas.
· Algebra lineal exacta: Inversas, determinantes, auto valores y
formas canónicas de matrices simbólicas.
· Aritmética de precisión variable: Evaluación de expresiones
matemáticas con diversos grados de precisión.
· Resolución de ecuaciones: Resolución numérica y simbólica de
ecuaciones algebraicas y diferenciales.
· Funciones matemáticas especiales: Evaluación de la mayoría de
las funciones utilizadas en matemáticas aplicadas.
Existen dos versiones del mismo Toolbox. The Basic Symbolic Math
Toolbox es una colección de más de 50 funciones MATLAB las cuales
permiten acceder al14kernel de MAPLE utilizando la Sintaxis y el estilo
del lenguaje MATLAB. The Extended Symbolic Math Toolbox aumenta
esta funcionalidad incluyendo todas las características de programación
INTRODUCCI
2EXPRESIONES SIMBOLICAS
2
de MAPLE, y el acceso a los paquetes defunciones de más de veinte
campos de las matemáticas especiales aplicadas.
Crear y manipular variables simbólicas.
Simplificar expresiones matemáticas.
Resolución de ecuaciones empleando matemáticas simbólicas.
OBJETIVOS
3EXPRESIONES SIMBOLICAS
3
ALGEBRA SIMBOLICA:
La matemática simbólica se usa
regularmente en los problemas de, ingeniería y ciencias. Con
frecuencia es preferible manipular las ecuaciones simbólicas antes de
sustituir valores para las variables.
EXPRESIONES SIMBOLICAS:
Son expresiones matemáticas que contienen variables simbólicas. Una
vez que las variables simbólicas han sido creadas, estas se pueden
utilizar para crear expresiones simbólicas.
CREACION DE VARIABLES SIMBOLICAS:
Las variables simbólicas simples se pueden crear en dos formas. Por
ejemplo, para crear la variable simbólica x, escriba:
>> sym('x') o
>> syms x
Ambas técnicas hacen el carácter ‘x’ igual a la variable simbólica
x.
Donde “x” puede representar:
Una letra o una combinación de letras (sin espacios). Por
ejemplo: “s”, “yad”.
O una combinación de letras y dígitos que comience por
letra (sin espacios). Ejemplos “xh12”, “r2d2”.
Un número. Por ejemplo: “15” o “3”.
En los primeros dos casos (cuando la cadena es una letra o
una combinación de varias letras y números), el objeto
simbólico creado es una variable simbólica. En este caso
es conveniente (aunque no es necesario) dar al objeto el
EXPRESION
4EXPRESIONES SIMBOLICAS
4
mismo nombre que la cadena. Por ejemplo “s”y “yad” se
puede definir como variables simbólicas de la forma:
>> s=sym('s') Se crea el objeto simbólico s.
>> yad=sym('yad') Se crea el objeto simbólico yad.
El nombre del objeto simbólico puede ser diferente del
nombre de la variable. Por ejemplo:
>> h=sym('gamma')
h =Nombre del objeto.
Gamma Nombre de la variable.
La función sym también se puede usar para crear una
expresión entera o una ecuación entera. Por ejemplo,
>> E=sym('m*c^2') Crea una variable
simbolica llamada E
>>Ley_gas_ideal=sym('P*V=n*R*Temp') Crea una ecuación.
El comando sym es particularmente conveniente porque
se puede usar para crear multiples variables simbólicas al
mismo tiempo, como con el comando:
>> syms Q R T DO
CREACION DE EXPRESIONES SIMBOLICAS:
5EXPRESIONES SIMBOLICAS
5
Son expresiones matemáticas que contienen variables
simbólicas. La expresión simbólica de Matlab se usa
matemáticamente para factorizar, simplificar, determinar
soluciones, derivar, integrar, etc. La forma de crear una
expresión simbólica es:
Nombre de expresión = Expresión simbólica.
Ejemplo:
>> syms a b c x y % Define las variables simbólicas a,b,c,x
e y.
>> f=a*x^2+b*x+c % Crea la expresión simbólica ax2+bx+c.
y le asigna a f.
f = % Se visualiza la expresión simbólica, sin
sangrar.
a*x^2 + b*x + c
SUSTITUCION DE VARIABLES:
Ejemplo: Supongamos el polinomio f= ax2+bx+c se quiere
sustituir x por -1.
>> g=subs(f,x,-1)
1. Cree las siguientes variables simbólicas con el
comando sym o syms: x, a, b, c, d.
2. Verifique que las variables que creó en el ejercicio 1
se mencionan en la ventana del área de trabajo
(Workspace). Uselas para crear las siguientes
expresiones simbólicas.
SOLUCION:
6EXPRESIONES SIMBOLICAS
6
>> syms a b c d x
>> f=a*x^2+b*x+c
f =
a*x^2 + b*x + c
>> g=subs(f,x,-1)
g =
a - b + c
a. p1=x2-1
>> p1=x^2-1
p1 =
x^2 - 1
b. p3=a*x^2-1
>> p3=a*x^2-1
p3 =
a*x^2 - 1
c. p2=(x+1)2
>> p2=(x+1)^2 p2 =
(x + 1)^2
d. p4=a*x^2+b*x+c
>> p4=a*x^2+b*x+c
p4 =
a*x^2 + b*x + c
e. p5= a*x^3+b*x^2+c*x+d
>> p5=(a*x^3)+(b*x^2)+(c*x)+d
p5 =
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f. p6=sen(x)
>> p6=sin(x)
7EXPRESIONES SIMBOLICAS
7
p6 =
sin(x)
Recordemos que la función pretty permite ver la
expresión en la forma en que normalmente aparece en
los textos. Se utiliza como sigue:
pretty(p4)
>> pretty(p4)
2
a x + b x + c
3. Cree las siguientes expresiones simbólicas, con la
función sym:
>> syms X A B C
EX1=X2-1
>> EX1=X^2-1
EX1 =
X^2 - 1
EX2=(X-1)2
>> EX2=(X-1)^2
EX2 =
(X - 1)^2
EX3=AX2-1
>> EX3=A*X^2-1
8EXPRESIONES SIMBOLICAS
8
EX3 =
A*X^2 – 1
EX4=AX2+BX+C
>> EX1=A*X^2+B*X+C
EX1 =
A*X^2 + B*X + C
EX5= AX3+BX2+CX
>> EX5=A*X^3+B*X^2+C*X
EX5 =
A*X^3 + B*X^2 + C*X
EX6=senx
>> EX6=sin(x)
EX6 =
sin(x)
1. Cree las siguientes ecuaciones, con la función syms:
>> syms x a b c
a. X2=1
>> a=x^2-1
a =
x^2 - 1
b. (X+1)2=0
>> b=(x+1)^2-0
b =
(x + 1)^2
c. ax2=1
>> c=a*x^2-1
c =
x^2*(x^2 - 1) - 1
9EXPRESIONES SIMBOLICAS
9
d. ax2+bx+c=0
>> d=a*x^2+b*x+c-0
d =
x*(x + 1)^2 + 2*x^2*(x^2 - 1) - 1
e. ax3+bx2+cx+d=0
>> e=a*x^3+b*x^2+c*x+d-0
e =
x*(x + 1)^2 + 2*x^2*(x^2 - 1) + x^2*(x +
1)^2 + x^3*(x^2 - 1) + x*(x^2*(x^2 - 1) - 1) -
1
f. seno(X)=0
>> f=sin(x)-0
f =
sin(x)
2. A partir de los siguientes vectores crear expresiones
simbólicas con la función poly2sym:
A=[1,2,3,4]
>> A=poly2sym([1 2 3 4])
A =
x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4
f=[1 2 3]
>> f=poly2sym([1 2 3])
f =
x^2 + 2*x + 3
X=[-1,2,3;4,5]
>> X=poly2sym([-1 2 3 4 5])
X =
- x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 5
B=[1 2 3; 4 5 6]
10EXPRESIONES SIMBOLICAS
10
>> B=poly2sym([1 2 3 4 5 6])
B =
x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6
MODIFICACION DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS:
Las expresiones simbólicas pueden ser creadas por el usuario; o también
por Matlab como resultado de otras operaciones simbólicas.
FUNCIONES QUE SE USAN PARA MANIPULAR EXPRESIONES Y
ECUACIONES
collect(F
,s)
Reúne los términos con coeficientes comunes de F, si coloco “s” le aclaro
que variable quiero que reúna.
expand(
F)
Expande los productos de factores de la expresión o ecuación.
factor(F) Factoriza la expresión o ecuación.
simple(F
)
Determina la forma más sencilla de F con el menor número de términos.
simplify(
F)
Simplifica en concordancia con las reglas de simplificación.
pretty(F)Visualiza una expresión simbólica de forma parecida a como esta suele
escribirse realmente (forma algebraica.)
3. REALIZA LA OPERACIÓN INDICADA CON LA
AYUDA DE MATLAB:
>> syms X Y r s z a b t m n
a. P1=4X2+8X-5 factorizar
>> P1=4*X^2+8*X-5
P1 =
4*X^2 + 8*X - 5
>> factor(P1)
11EXPRESIONES SIMBOLICAS
11
ans =
(2*X + 5)*(2*X - 1)
b. P2=X5-2X3-X2Y3 factorizar
>> P2=X^5-2*X^3-X^2*Y^3
P2 =
X^5 - 2*X^3 - X^2*Y^3
>> factor(P2)
ans =
X^2*(X^3 - 2*X - Y^3)
c. P3=r8-S8 factorizar
>> P3=r^8-s^8
P3 =
r^8 - s^8
>> factor(P3)
ans =
(r - s)*(r + s)*(r^2 + s^2)*(r^4 + s^4)
d. P4=(x-y-z)(x+y+z) realiza el
producto
>> P4=(X-Y-z)*(X+Y+z)
P4 =
-(X + Y + z)*(Y - X + z)
>> expand(P4)
ans =
X^2 - Y^2 - 2*Y*z - z^2
e. P5=(4x7-xy5+6y2)(9x10+54x8y3+34y5)
simplifica
P5 =
(9*X^10 + 54*X^8*Y^3 + 34*Y^5)*(4*X^7 -
X*Y^5 + 6*Y^2)
>> simplify(P5)
ans =
12EXPRESIONES SIMBOLICAS
12
(9*X^10 + 54*X^8*Y^3 + 34*Y^5)*(4*X^7 -
X*Y^5 + 6*Y^2)
f. P6=(45X7-29y3)8 expand
>> P6=(45*X^7-29*Y^3)^8
P6 =
(45*X^7 - 29*Y^3)^8
>> expand(P6)
ans =
16815125390625*X^56 -
86691313125000*X^49*Y^3 +
195537072937500*X^42*Y^6 -
252025560675000*X^35*Y^9 +
203020590543750*X^28*Y^12 -
104668393347000*X^21*Y^15 +
33726482300700*X^14*Y^18 -
6209955471240*X^7*Y^21 +
500246412961*Y^24
g. P7=12a2-4ab-3ax2+bx2
factorizar
>> P7=12*a^2-4*a*b-3*a*x^2+b*x^2
P7 =
12*a^2 - 3*a*x^2 - 4*b*a + b*x^2
>> factor(P7)
ans =
(4*a - x^2)*(3*a - b)
h. P8=t5-t3-2t2+2t factorizar
>> P8=t^5-t^3-2*t^2+2*t
P8 =
t^5 - t^3 - 2*t^2 + 2*t
>> factor(P8)
13EXPRESIONES SIMBOLICAS
13
ans =
t*(t^2 + 2*t + 2)*(t - 1)^2
i. P9=(m+n)2-2m-2n-15
factorizar
>> P9=(m+n)^2-2*m-2*n-15
P9 =
(m + n)^2 - 2*n - 2*m - 15
>> factor(P9)
ans =
(m + n - 5)*(m + n + 3)
j. P10=(x^3+2*x+5,x,7) evalua
para x=7
>> x=7
x =
7
>> P10=(x^3+2*x+5)
P10 =
362
k. P11=b2
4 + ab
2
72 - a
3b5
32 - 1
9a2
factorizar
>> P11=(b^2./4)+(a*b^2./72)-(a^3*b^5./32)-
(1/9*a^2)
P11 =
- (a^3*b^5)/32 - a^2/9 + (a*b^2)/72 + b^2/4
>> factor(P11)
ans =
-(9*a^3*b^5 + 32*a^2 - 4*a*b^2 -
72*b^2)/288
l. P12=(x-2y+5z2)(x+2y+5z2)
simplificar
14EXPRESIONES SIMBOLICAS
14
>> P12=(X-2*Y+5*z^2)*(X+2*Y+5*z^2)
P12 =
(5*z^2 - 2*Y + 7)*(5*z^2 + 2*Y + 7)
>> simplify(P12)
ans =
- 4*Y^2 + 25*z^4 + 70*z^2 + 49
m. P13= 2a2−ab−3b2
am−2an+bm−2bn
simplificar
>> P13=(2*a^2-a*b-3*b^2)./(a*m-
2*a*n+b*m-2*b*n)
P13 =
-(- 2*a^2 + a*b + 3*b^2)/(a*m - 2*a*n + b*m
- 2*b*n)
>> simplify(P13)
ans =
(2*a - 3*b)/(m - 2*n)
n. P14=x
1+ x+ 2 x2
1−xsimplificar
>> P14=X./(1+X+((2*X^2)./(1-X)))
P14 =
X/(X - (2*X^2)/(X - 1) + 1)
>> simplify(P14)
ans =
(X + 1)/(X^2 + 1) - 1
o. P15=6 x2−5x−4x2−3 x−40
÷9 x2−16x−8
simplifica
>>
P15=((6*X^2-5*X-4)./(X^2-3*X-40))./((9*X^2-
16)./(X-8))
15EXPRESIONES SIMBOLICAS
15
P15 =
((X - 8)*(- 6*X^2 + 5*X + 4))/((9*X^2 - 16)*(-
X^2 + 3*X + 40))
>> simplify(P15)
ans =
9/(11*(X + 5)) - 5/(11*(3*X + 4))
p. y=2(x2+3)x2+6 x+9
expande
>> Y=((2*(X^2+3))./(X^2+6*X+9))
Y =
(2*X^2 + 6)/(X^2 + 6*X + 9)
>> expand(Y)
ans =
6/(X^2 + 6*X + 9) + (2*X^2)/(X^2 + 6*X +
9)
APLICACIONES EN LA SOLUCION DE ECUACIONES:
Los sistemas de ecuaciones se resuelven mediante la instrucción solve:
Solve(
F)
Resuelve ecuaciones; Sintaxis solve
(‘ecuacion’,’incognita’)
1. Para resolver ecuaciones no se requiere de toolbox de matemática
simbólica, por tanto nose trabaja con la función sym.
2. Con el comando solve se consigue resolver una ecuación con una
sola incógnita.
Ejemplo: Hallar los valores x ,y ,z en el siguiente sistema de
ecuaciones.
x+y=5
x-y=-1
16EXPRESIONES SIMBOLICAS
16
ez∗y=7.389
>> syms x y z
>> s=solve('x+y=5','x-y=-1','e^z*y=7.389')
s =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
z: [1x1 sym]
>> s=[s.x s.y s.z]
s =
[ 2.0, 3.0, 0.90138011913840086095621910271119/log(e)]
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Utilizando x6-
3x+2=x4-3
>> s=solve('x^6-3*x+2=x^4-3')
>> s=solve('x^6-3*x+2=x^4-3')
s =
0.35994649749890820934903867816622*i +
1.1588735640001902291072573105579
0.16138684769824712360456909778994 -
1.2241811519531001309829870439755*i
- 0.69565812924715883004032713435383*i -
1.3202604116984373527118264083478
1.2241811519531001309829870439755*i +
0.16138684769824712360456909778994
1.1588735640001902291072573105579 -
0.35994649749890820934903867816622*i
0.69565812924715883004032713435383*i -
1.3202604116984373527118264083478
17EXPRESIONES SIMBOLICAS
17
a) X4-5x+8=x2-30
>> a=solve('x^4-5*x+8=x^2-30')
a =
1.4724873819349124936081769210697*i +
1.8305898266220592604532018608948
1.8305898266220592604532018608948 -
1.4724873819349124936081769210697*i
1.8798667869577432124083702409602*i -
1.8305898266220592604532018608948
- 1.8798667869577432124083702409602*i -
1.8305898266220592604532018608948
b) X3+2x2-x+1=0
>> b=solve('x^3+2*x^2-x+1=0')
b =
-
7/(9*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3) - 2/3
7/(18*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) + (61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)/2 - 2/3 - (3^(1/2)*(7/(9*(61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3))*i)/2
7/(18*(61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3)) + (61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)/2 - 2/3 + (3^(1/2)*(7/(9*(61/54 -
29^(1/2)/6)^(1/3)) - (61/54 - 29^(1/2)/6)^(1/3))*i)/2
c) X+√25−x2=7
>> c=solve('x+sqrt(25-x^2)=7')
c =
3
4
18EXPRESIONES SIMBOLICAS
18
d) Sin(x)-x2+1=0, y comprobar la solución evaluando la
expresión con la presunta raíz.
>> d=solve('sin(x)-x^2+1')
d =
matrix([[-0.63673265080528201088799090383828]])
>> s=[s.x]
e) Resolver el siguiente sistema:
X+y=27
4x2+5y2=1620
>> syms x y
>> f=solve('x+y=27','4*x^2+5*y^2=1620')
f =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
>> f=[f.x f.y]
f =
[ 15, 12]
{4 x2+ y2=252 x+ y=7
>> syms x y
>> g=solve('4*x^2+y^2=25','2*x+y=7')
g =
x: [2x1 sym]
y: [2x1 sym]
>> g=[g.x g.y]
g =
[ 2, 3]
[ 3/2, 4]
19EXPRESIONES SIMBOLICAS
19
{ 3 x− y=752x+2 y=23
2
>> syms x y
>> h=solve('3*x-y=7','5/2*x+2*y=23/2')
h =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
>> h=[h.x h.y]
h =
[ 3, 2]
{ x+ y=11
(x−3)( y+2)=65xy
>> syms x y
>> i=solve('x+y=11','(x-3)*(y+2)=6/5*x*y')
i =
x: [2x1 sym]
y: [2x1 sym]
>> i=[i.x i.y]
i =
[ 2*61^(1/2) - 7, 18 - 2*61^(1/2)]
[ - 2*61^(1/2) - 7, 2*61^(1/2) + 18]
X+√25−x2=7>> syms x
>> j=solve('x+sqrt(25+x^2)=7')
j =
12/7
20EXPRESIONES SIMBOLICAS
20
3+ x2−16x−1
=5x2−21 x+22x2−3 x+2
>> syms x
>>
k=solve('3+((x^2-16)/(x-1))=((5*x^2-2*x+22)/(x^2-
3*x+2))')
k =
85/(9*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) +
(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3) + 4/3
4/3 - (262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)/2 -
85/(18*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3))
+ (3^(1/2)*(85/(9*(262/27 +
(27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -
((27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27 + 262/27)^(1/3))*i)/2
4/3 - (262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)/2 -
85/(18*(262/27 + (27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3))
- (3^(1/2)*(85/(9*(262/27 +
(27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27)^(1/3)) -
((27^(1/2)*20203^(1/2)*i)/27 + 262/27)^(1/3))*i)/2
X+√25−x2=7>> syms x
>> l=solve('x+sqrt(25-x^2)=7')
l =
3 4
PROBLEMA:
1) Un estudio presentado a inicios de enero del año 2014,
mostro que la población de peces en un lago se obtiene de
la formula F=1000(30+17t-t2), donde t es el tiempo en
años.
21EXPRESIONES SIMBOLICAS
21
Si la máxima cantidad de peces se proyecta para 8 años y
medio después del estudio, ¿cuántos peces tendrá el lago
en esta fecha?. ¿Cuál es la situación después de 18 años y
medio del estudio y que se podría afirmar 3 meses más
tarde de esta fecha?.
SOLCION:
F=1000(30+17t-t2) t=102 meses.
>> syms t
>> t=102
t =
102
>> F=1000*(30+17*t-t^2)
F =
-8640000
F=1000(30+17t-t2) t=225 meses.
>> syms t
>> t=225
t =
225
>> F=1000*(30+17*t-t^2)
F =
-46770000
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