Unitat 5:Expressions algebraiques
Llenguatge algebraic
Exemples d’expressions algèbriques
- Un nombre més quinze: - Deu menys el doble d’un nombre: - El quadrat d’un nombre més el seu doble: - La suma d’un nombre i el triple d’un altre:- La meitat d’un nombre: - Les tres quartes parts d’un nombre: - Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:
Exemples d’expressions algèbriques
- Un nombre més quinze: x + 15- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2
+ 2y- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a +
3b- La meitat d’un nombre: a/2- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x
Escull l’expressió algebraica en de cas
Valor numèricEl valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per nombres determinats.
3x + 1 Si x = 2 3 . 2 + 1 =7 Si x = 0 3 . 0 + 1 = 1 Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2
Si x = ½2
5
2
231
2
31
2
1.3
Troba els valors numèrics de:
Termes, coeficient i part literal
Anomenem terme o monomi d’una expressió algèbrica cada bloc de nombres i lletres separats pels signes de suma o resta
En aquesta expressió tenim 4 termes:
Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal
yxxxx 232 32
353
MonomisAnomenem grau d’un monomi a la suma dels exponents de la seva part literal
Operacions amb expressions algèbriques
Sumes i restes:La suma i la resta d’expressions algèbriques, només es poden sumar i restar els termes semblants Dos termes (dos monomis) són semblants si les seves parts literals són iguals
Procediment:- Es sumen o resten els coeficients dels termes
semblants.- Es deixa la mateixa part literal
2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a5x – 2x = 3x2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b
Sumes i restes de monomis
Operacions amb expressions algèbriques
La multiplicació o la divisió d’una expressió algèbrica sempre es pot efectuar encara que els termes no siguin semblants.Procediment:•Multiplicarem o dividirem els signes tenint en compte la regla dels signes•Multiplicarem o dividirem els coeficients•Multiplicarem o dividirem la part literal
– Recordatori: xm · xn = xm+n
– Recordatori: xm : xn = xm-n
Exemples de multiplicacions
3a · 4a =4x2: 2x=4x · 5y3 = -5x3 · 2x2= 2x · 3x4 · 10x3= 15xy2 · (-5y) = 10 y2 : 15 xy2 = 2 2
Solucions
3a · 4a = 12a2
4x2:2x= 2x1
4x · 5y3 = 20 xy3
-5x3 · 2x2= -10x5
2x · 3x4 · 10x3= 60x8
15xy2 · (-5y) = -75xy3
10 y2 : 15 xy2 = 20 x-1
2 2 30
Propietat distribuiva
Encara que no hi hagi el signe de multiplicació, quan tenim un nombre davant d’un parèntesis, està multiplicant als termes de dins els parèntesis.Exemples:
4 (x + 5y) = 4x + 20y
a (b + c) = a·b + a·ca (b - c) = a·b - a·c2x (3x +x) = 6x2 + 2x2
PolinomisLa suma de diversos monomis no semblants és un polinomi.
El grau més gran de tots els monomis s’anomena grau del polinomi. Exemple anterior : grau 3
Si un dels monomis o termes no té part literal s’anomena terme independent. Ex anterior: 9
Anomenem als polinomis amb una lletra majúscula i entre parèntèsis les variables. Ex anterior: P (x)
Suma i resta de polinomisPer sumar o restar dos monomis operem amb els monomis semblants
Exemple: P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 6 i Q(x) = 5x3 - 2x2 + 8x + 7
Suma de P(x) + T(x) Resta de P(x) - T(x)
Altres exemples
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 i Q(x) = 6x3 + 8x +3P(x) + Q(x)=
P(x) – Q(x)=
Exercicis de sumes i restes de polinomis
Multiplicació d’un polinomi
(5x+11)·(x3+2x2+4) = 5x4 + 10x3+20x+11x3+22x2+44 =5x4 +21x3 +22x2 +44
Exercicis de multiplicacions de
polinomis
Factor comúEl factor comú és l’inversa de la propietat distributiva
5·a +5·b = x + x2 = 3x +3y + 3z = 6bx + 6by =2x4 +12x3+18x=12x3 -3x=12x3 +12x2+3x-1=3z2 + 12 z -12=4xy4 +12xy3+24xy=
Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva
5·a +5·b = 5 · (a + b)x + x2 = x · (1 + x)3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)
6bx + 6by = 6b ( x + y)2x4 +12x3+18x= 2x ( x3 + 4x2 + 9)12x3 -3x= 3x (4x2 - 1)12x3 +12x2+3x-1= no puc
Productes notablesQuadrat d’una suma (a + b)2 DemoEl quadrat d’una suma és igual el quadrat del primer, més el quadrat del segon més el doble del primer pel segon
(a + b)2 = a2 + b2 + 2·a·b
Quadrat d’una diferència (a - b)2 DemoEl quadrat d’una diferència és igual el quadrat del primer, més el quadrat del segon menys el doble del primer pel segon
(a - b)2 = a2 + b2 - 2·a·b
Productes notablesSuma per diferència (a + b) · ( a – b)El producte d’una suma per diferència és igual al quadrat del primer menys el quadrat del segon.
(a + b) · ( a – b) = a2 - b2
Simplificació
Resolució d’equacions sense parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions Exemple: 3x + 1 = -x + 9
• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre costat els termes independents (termes sense x)– Per passar d’un costat a l’altra de la igualtat canviarem
els termes de signe
3x + 1 = -x + 93x + x = +9 - 1
• Reduïm els termes semblants4x = 8
• Aïllem la incògnitax = 8/4
• Obtenim el resultatx = 2
Exercicis
a) x + 3 = 5b) x – 4 = 8c) x – 12 -3 =10d) 2x + 6 = x + 10 e) 3x – 5 = 2x + 1
Enllaç per practicarUn cop tenim el resultat hem de fer la comprovació.
Resolució d’equacions amb parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:Exemple: 2(x – 2) + 3(x-3) = 2 – 2(2x -1) +13
• Suprimim els parèntesis2x – 4 + 3x - 9 = 2 – 4x + 2 +13
• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre costat els termes independents (termes sense x)
2x + 3x +4x = 2 + 2 +13 +4 + 9• Reduïm els termes semblants
9x = 30• Aïllem la incògnita
x = 30/9• Obtenim el resultat
x = 10/3
Resolució d’equacions amb denominadors
Passos a seguir per resoldre equacions amb fraccions:
Multipliquem els dos membres pel mínim comú múltiple dels dos denominadors m.c.m. (3, 4) =12
134
xx
12
12
1243
1243
123
12x
4
12
13
.124·12
x
x
xx
xx
x
xx
Resolució de problemesLectura atentade l'enunciat
En sumar 37 al doble d’un nombre, obtenim 97. De quin nombre es tracta?
Elecció de la incògnita
Nombre que no coneixem =x
Plantejament de l’equació
2 x + 37 = 97
Resolució de l’equació
2x= 97 – 372x = 60 x=60/2=30
Resposta El nombre és 30
Comprovació 2· 30 +37 = 60+37=90 Correcte!
Resolució de problemesLectura atentade l'enunciat
Un pare té 33 anys i el seu fill 8. Al cap de quants anys l’edat del pare serà el doble que la del seu fill?
Elecció de la incògnita
Anys que transcorren =xAra: pare=33 i fill=8Passat x anys: pare = 33 + x fill= 8 + x
Plantejament de l’equació
33 + x = 2 . (8 + x)
Resolució de l’equació
33 + x = 16 +2x-x = 16-33 x=17
Resposta Al cap de 17 anys
Comprovació 33+17=50 i 2·(8+17)= 2·25=50 Correcte!
Resolució de problemesLectura atentade l'enunciat
Un ciclista recorre la distància que separa dues ciutats en tres etapes. Primer recorre un terç del trajecte; en la segona, un quart i en la tercera, els 35 km restants. Quants km separen les dues ciutats?
Elecció de la incògnita
km totals entre les dues ciutats =x1ª etapa 1/3·x2ª etapa ¼·x3ª etapa 35 km
Plantejament de l’equació
Resolució de l’equació
Resposta 84km
Comprovació 1/·84+ ¼·84 +35 = 28+21+35= 84 Correcte!
xxx
xxx
·123543
·12
3543
Resolució de problemesLectura atentade l'enunciat
Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de 80km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120km/h. Quant es trobarà el cotxe i el camió?
Elecció de la incògnita
Temps que ha passat des que surt el cotxe fins que es troba el camió =xTemps camió 2·80 + 80xTemps cotxe 120x
Plantejament de l’equació
2·80 + 80x = 120x
Resolució de l’equació
160 + 80x=120X80x – 120x =-160-40x =-160 x = 4
Resposta 4 hores
Comprovació 2·80 + 80·4 =120·4 160+320=480 Correcte!
Top Related