FACTORIZACION
Es el proceso que consiste en transformar un polinomio como producto
de dos o más factores. Así por ejemplo el polinomio 3a + 3b tiene al 3 como
factor común, entonces, por la propiedad distributiva se puede transformar así:
( )baba +=+ 333
Existen diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas.
MÉTODO 1: FACTOR COMUN
Para factorizar una expresión algebraica por el método del factor común, se
busca el máximo común divisor de los coeficientes y la parte literal común con
el menor exponente.
Ejemplos
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. xx 73 2 −
El factor común de la parte literal es X altera cada término se divide por x :
77;3
3 2
==x
xx
x
x
Ahora aplicando la propiedad distributiva tenemos:
( )7373 2 −=− xxxx
2. 432 20105 yyy +−
Se busca el máximo común divisor de los coeficientes
5 10 15 5
1 2 3
MCD ( ) 515,10,5 =
La parte literal común y con menor exponente es 2y , el factor común es
y2 ?
Ahora: yy
yy
y
y
y
y4
5
20;2
5
10;1
5
52
4
2
3
2
2
===
Ahora aplicando la propiedad distributiva la factorización queda finalmente:
( )22432 421520105 yyyyyy +−=+−
3. 322 153060 yxyyx +−
El factor común de la parte literal es y.
Se calcula el máximo común divisor de los coeficientes.
60 30 15 3
20 10 5 5
4 2 1
MCD ( ) 155315,30,60 =×=
El factor común es y15 .
Ahora: ;415
60 2
xy
yx = =y
xy
15
30 22
3
15
15;2 y
y
yxy =
Aplicando de nuevo la propiedad distributiva
( )2322 2415153060 yxyxyyxyyx +−=+−
TALLER
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas. Ejercicio 89 de Baldor:
1) aba +2 )( baa + 2) 2bb + )1( bb +
3) xx +2 ( )1+xb
4) 233 aa − ( )132 −aa
5) 43 4xx − ( )xx 413 −
6) 32 155 mm + ( )mm 315 2 +
7) bcab − ( )cab −
8) zxyx 22 + ( )zyz +2
9) 22 62 axxa + ( )xaax 32 +
10) mnm 128 2 − ( )nmm 324 −
11) 33 189 axa − ( )xaax 29 22 −
12) 3223 6015 dcdc + ( )dcdc 415 22 +
13) 2abcabc + ( )cabc +1
14) 4222 3624 yxxya − ( )222 3212 xyaxy −
15) 332 7035 mnm − ( )mnm 235 32 −
16) aaa ++ 23 ( )12 ++ aaa
17) 284 2 +− xx ( )2422 2 +− xx
18) yyy 52015 23 −+ ( )135 2 −+ xyyy
19) 223 axxaa +− ( )22 xaxaa +−
20) axaxxa 322 22 −+ ( )322 −+ xaax
21) 753 xxx −+ ( )423 1 xxX −+
22) 22 1444896 nmn +− ( )32 62424 nmn +−
23)222 685134 ayyax −+ ( )22 43217 yayxa −+
24) 4322 562814 xxyx +− ( )222 4214 xxyx +−
25) 222222222 ycaxcacba +− ( )22222 yxbca +−
26) 3223232 22011055 ymxnmxnm −+ ( )32332 4255 yxnxnm −+
27) xayxayxa 223223 1246293 −− ( )42331 222 −− yxaxyxa
28) 432 xxxx −+− ( )321 xxxx −+−
29) 2346 483 aaaa −+− ( )483 242 −+− aaaa
30) 2357 5151025 xxxx −+− ( )13255 352 −+− xxxx
31) 691215 32 xxxx −+− ( )32 3696 −+− xxxx
32) 3232 2415129 abbaaba −+− ( )322 85433 bbabaa −+−
33) 3424223 4024816 yxyxyxyx −−− ( )222 53128 yyxxyyx −−−
34) 4534232 48362412 nmnmnmnm +−+ ( )33222 432112 nmnmmnnm +−+
35) 2332232 20050150100 abccabcabcba −+− ( )403250 222 −+− cbbcababc
36) xxxxx +−+− 2345 ( )1234 +−+− xxxxx
37) 65432 6432 aaaaa +−+− ( )4322 64321 aaaaa +−+−
38) mabbxabaabba 22232 48563 ++−+ ( ) bmaxbaaab 48563 2 ++−+
39) 248121620 aaaaaa −+−+− ( )1261014182 −+−+− aaaaaa
Método 2: Factor común con agrupación de términos:
Es una aplicación del factor común a expresiones de términos pares mayores
que dos, de tal manera que los términos agrupados tengan algún factor común
y las expresiones dentro del paréntesis sean iguales. En caso que esto no
suceda la expresión no se puede factorizar por este método.
Ejemplos:
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. bzazbyay +++
Los dos primeros términos tienen el factor común y y los dos últimos tienen
como factor común z , por lo consiguiente se pueden agrupar de la siguiente
forma:
( ) ( )bzazbyay +++ ( ) ( )bazbay +++( )( )zyba ++
2. ywyxwx 2412168 −−+
La expresión tiene 4 términos y se puede agrupar de dos en dos, teniendo en
cuenta que el 2 y 4 término tienen en como factor común: w8 y el 1o y 3o
término tiene como factor común 4; por lo tanto.
ywyxwx 2412168 −−+ ( ) ( )ywxwyx 2416128 −+−
( ) ( )yxwyx 328324 −+−
( )( )wyx 8422 +−
( )( )wyx 21324 +−
3. bxbxx 393 23 +−−
La expresión tiene un número par de términos y se pueden agrupar el 1o y el 3o
término por que tienen el factor común x y el segundo y cuarto término por
que tienen el factor común b3 . Por lo tanto:
bxbxx 393 23 +−− ( ) ( )bbxxx 393 23 +−+−
( ) ( )13313 22 +−+− xbxx
( ) ( )13313 22 −−− xbxx
( )( )bxx 313 2 −−
TALLER No. 2
Factorizar las siguientes expresiones:
1) bxaxaba +++2 ( ) ( )bxaxaba +++2
( ) ( )baxabaa +++
( )( )xaba ++
2) bnanbmam −+− ( ) ( )bnanbmam −+−
( ) ( )banbam −+−
( )( )nmba +−
3) byaybxax 422 +−− ( ) ( )bybxayax 422 +−+−
( ) ( )yxbyxa 222 +−+−
( ) ( )yxbyxa 222 −−−
( )( )bayx 22 −−
4)222222 33 byyabxxa −+− ( ) ( )222222 33 bybxyaxa −−++
( ) ( )22222 3 yxbyxa +−+( )( )bayx 3222 −+
5) 44 3223 mxnxnm +−− ( ) ( )44 3223 mxnxnm +−+−
( ) ( )mnnnm 3223 4 +−+−( ) ( )mnnnm 3223 4 −−−( )( )4123 nnm −−
6) xaxax −+− 22 ( ) ( )xaaxx 222 −−++
( ) ( )xaxx −−++ 11 2
( ) ( )11 2 +−+ xaxx
( )( )21 axx −+
7) aaa 414 23 +−− ( ) ( )23 144 aaa −−++
( ) ( )22 114 aaa −−++( ) ( )1144 22 +−+ aaa
( )( )1412 −+ aa
8)222 yxyxx −−+ ( ) ( )222 yxyxx −−++
( ) ( )11 2 −−++ xyxx
( ) ( )11 2 +−+ xyxx
( )( )21 yxx −+
9)2222 3223 abyxyabx +−− ( ) ( )2222 2233 xyabyabx −−++
( ) ( )2222 23 yxyxab −−++( ) ( )2222 23 xyyxab +−+
( )( )2322 −+ abyx
10) axbba 623 22 −+− ( ) ( )xbbaxa 22 263 +−+−
( ) ( )xbxa 21213 2 +−+−( ) ( )xbxa 21213 2 −−−
( )( )2321 bax −−
11) xaax 2136 +++ ( ) ( )xaax 2136 +++
( ) ( )12123 +++ xxa
( )( )1312 ++ ax
12) amxbmbaxa 3344 23 −+− ( ) ( )amxbmbaxa 3344 23 −+−
( ) ( )xbmbxa −+− 34 2
( ) ( )bxmbxa −+− 34 2
( )( )mabx 34 2 −−
13) axaxx 393 23 +−− ( ) ( )axaxx 343 23 −−+−
( ) ( )axaxx 333 2 +−+−( ) ( )axaxx 333 2 −−−
( )( )133 2 −− xax
14) bxbyyaxa 61552 22 −+− ( ) ( )bxbyyaxa 21552 22 −+−
( ) ( )xybyxa 253522 −+−( ) ( )yxbyxa 523522 −−−
( )( )bayx 352 2 −−
15) 32222 22 xyzyxzyx +++ ( ) ( )22232 52 zyxzxyyx +++
( ) ( )222 2252 yxzyxxy ++−( )( )22 22 zxyyx +−
16) mxnxnm 142196 −+− ( ) ( )mxnxnm 142196 −+−
( ) ( )mnxnm 237323 −+−( ) ( )nmxnm 327323 −−−
( )( )xnm 7332 −−
17) xaynyaxn 222222 55 +−− ( ) ( )xayaynxn 222222 55 +−+−
( ) ( )xyayxn +−+− 2222 5
( ) ( )2222 5 yxayxn −+−( )( )222 5anyx +−
18) baba 33 +++1 ( ) ( )baba 331 +++
( ) ( )131 +++ aba
( )( )ba 311 ++
19) nmamnm 3124 23 −− ( ) ( )nmnmm 3124 23 +−+−
( ) ( )143142 +−+− mnmm
( ) ( )143142 −−− mnmm
( )( )nmm 314 2 −−
20) aybybxax 82520 +−− ( ) ( )bybxayax 25820 −−++
( ) ( )yxbyxa 255254 −−++( ) ( )yxbyxa 255254 +−+
( )( )bayx 5425 −+
21) 123 +++ aaa ( ) ( )123 +++ aaa
( )1)1(2 +++ aaa
( ) ( )11 2 +++ aa
22) ababxx 623 2 −+− ( ) ( )362 22 +−+−− abxxab ( ) ( )123122 +−+− ababx
( ) ( )123122 −−− ababx
( )( )312 2 −− xab
23) 222 7373 abaxxba −+− ( ) ( )bxabaxa 7733 22 −−++
24) 1222 −+−+− nmaanam
25) bayabxbyax 436223 ++−−− g
26) 22223 3933 babaabbaa −+−+−
27) 222223 6322 xynynzxznxx +−−+−
28) yxaxxyayaxyx 22223 323223 −−−++
29) xnxbaxnxbanba 42224232432 33 +−−+− =