Captulo I: Fundamentos de Semiconductores
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Captulo I: Fundamentos de Semiconductores
1.1. El estado cristalino, redes cristalinas y crecimiento de
cristales en semiconductores
Desarrollo de los dispositivos semiconductores
Muchas tecnologas importantes de semiconductores han sido desarrolladas a
partir de procesos inventados algunas centurias atrs. Por ejemplo, el
proceso de litografa fue inventado en 1798; en este primer proceso, el
patrn, o imagen era grabado en piedra y transferido o impreso desde esta
placa a la superficie donde se deseba reproducir. En esta seccin,
consideraremos algunas tecnologas que fueron aplicadas en un principio en
el proceso de fabricacin de dispositivos semiconductores
Algunas tecnologas de semiconductores son listadas en la tabla 1 en orden
cronolgico.
En 1918, Czochralski desarroll una tcnica de crecimiento de monocristales
lquido-slido. El proceso de crecimiento de cristales de Czochralski es el ms
usado para la produccin de obleas de silicio (Si). Otra tcnica de
crecimiento fue desarrollada por Bridgman en 1925. La tcnica Bridgman ha
sido usada ampliamente para la obtencin del arseniuro de galio (GaAs) y
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compuestos cristalinos semiconductores. Sin embargo las propiedades del
semiconductor de silicio (Si) han sido ampliamente estudiadas desde 1940,
mientras que el estudio de los semiconductores compuestos ha sido mucho
despus. En 1952 Welker not que el GaAs y los compuestos relativos a las
columnas III-V de la tabla peridica de los elementos qumicos son
semiconductores. l predijo sus caractersticas y posteriormente las prob.
Desde entonces la tecnologa y dispositivos de los cristales semiconductores
compuestos han sido activamente estudiados.
La difusin de tomos de impureza en un semiconductor es importante en la
fabricacin de dispositivos. La teora bsica del proceso de difusin fue
considerada por Fick en 1855. La idea de usar tcnicas de difusin para
alterar el tipo de conductividad del silicio (Si) fue establecido y patentado por
Pfann, en 1952. En 1957, el antiguo proceso de litografa fue aplicado en la
fabricacin de dispositivos semiconductores por Andrus. l us polmeros
fotosensibles resistivos (fotorresistencias) para transferir patrones. La
litografa es la base tecnolgica para la industria de los semiconductores. El
crecimiento continuo de la industria ha sido resultado directo de la
implementacin de tcnicas litogrficas. La litografa es tambin un
importante factor econmico, ya que generalmente representa sobre el 35%
del costo de manufactura de un circuito integrado.
Tabla 1: Tecnologas clave de los semiconductores
Ao Tecnologa Autor(es)/inventor(es)
1918 Crecimiento de cristales de Czochralski Czochralski
1925 Crecimiento de cristales de Bridgman Bridgman
1952 Compuestos III-V Welker
1952 Difusin Pfann
1957 Foto resistencia litogrfica Andrus
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1957 Mscara de xido Frosch y Derrick
1957 Crecimiento epitaxial CVD Sheftal, Kokorish y Krasilov
1958 Implantacin de iones Shockley
1959 Circuitos integrados hbridos Kilby
1959 Circuitos integrados monolticos Noyce
1960 Proceso planar Hoerni
1963 CMOS Wanlass y Sah
1967 DRAM Denard
1969 Compuerta autoalineada de polisilicio Kerwin, Klein y Sarace
1969 MOCVD Manasevit y Simpson
1971 Gravado en seco Irving, Lemon y Bobos
1971 Crecimiento epitaxial con haz molecular Cho
1971 Microprocesador 4004 Hoff y otros
1982 Barrera aislante Rung, Momose y Nagakubo
1989 Pulido qumico y mecnico Davari y otros
1993 Interconectado de cobre Paraszczak y otros
El mtodo de la mscara de xido fue desarrollado por Frosch y Derrick en
1957. Ellos encontraron que una capa de xido evita la difusin de tomos
de impureza a travs de ella. En el mismo ao, el proceso de crecimiento
epitaxial basado en una tcnica qumica de deposicin de impurezas
vaporizadas fue desarrollado por Sheftal. Epitaxi viene de las palabras
griegas epi, que significa sobre, y taxis que significa arreglo, y describe una
tcnica de crecimiento de un cristal formando una delgada capa de material
semiconductor sobre la superficie de un cristal adquiriendo una estructura
reticular idntica a la del cristal base. Este mtodo es importante para la
implementacin de nuevos dispositivos.
En 1958, Shockley propuso el mtodo de implantacin de iones para dopar
los semiconductores. La implantacin de iones tiene la capacidad de
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controlar con precisin el nmero de tomos de impurezas dopantes. La
difusin y la implantacin de iones pueden complementarse una a la otra en
la impurificacin de semiconductores. Por ejemplo, el proceso de difusin
puede ser usado a altas temperaturas en procesos de fabricacin de uniones
profundas, mientras que la implantacin de iones puede ser usado a bajas
temperaturas en procesos de fabricacin de uniones poco profundas
En 1959, un circuito integrado (CI) rudimentario fue hecho por Kilby. ste
contena un transistor bipolar, tres resistores, y un capacitor, todo hecho de
germanio (Ge) y conectado con alambre laminado un circuito hbrido.
Tambin en1959, Noyce propuso el CI monoltico fabricando todos los
dispositivos en un solo sustrato semiconductor (monoltico significa una sola
piedra) y conectando los dispositivos con metalizado de aluminio. La Fig 1
muestra el primer CI monoltico de un circuito flip-flop que consta de seis
dispositivos. Las lneas de interconexin de aluminio fueron hechas con una
capa de aluminio previamente evaporado y gravada sobre las superficies de
xido usando las tcnicas de litografa. Este invento puso los fundamentos
para el rpido desarrollo de la industria de la microelectrnica
El proceso planar fue desarrollado por Hoerni en 1960. En este proceso,
una capa de xido es formada sobre la superficie del semiconductor base o
sustrato. Con la ayuda del proceso litogrfico, porciones de xido pueden ser
removidas y cortada en ventanas predeterminadas en l. Los tomos de
impureza se difundirn solamente sobre las superficies del semiconductor
expuestas libres de xido, dando como resultado una unin p-n.
Como la complejidad de los CIs se increment, tenemos que movernos de la
tecnologa NMOS (MOSFET canal n) a la CMOS (MOSFET complementario), lo
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cual implica a ambos NMOS y PMOS (MOSFET canal p) para formar
elementos lgicos.
Fig. 1 Primer circuito integrado monoltico. (Fotografa cortesa del Dr. G. Moore)
El concepto CMOS fue propuesto por Wanlass y Sah en 1963. Las ventajas
de la tecnologa CMOS es que los elementos lgicos consumen corriente
significativa slo durante la transicin de un estado a otro (por ejemplo de 0
a 1) y jala poca corriente entre transiciones (cuando se mantiene en 0 o 1),
por lo que el consumo de potencia es mnima. La tecnologa CMOS es la
tecnologa dominante para CIs avanzados. En 1967, un importante circuito
de dos elementos fue inventado por Dennard, la memoria dinmica de
acceso aleatorio (DRAM). Una celda de memoria contiene un MOSFET y un
capacitor que almacena carga. El MOSFET sirve como un interruptor para
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cargar o descargar el capacitor. Sin embargo la DRAM es voltil y consume
relativamente alta potencia.
Para mejorar el desempeo de los dispositivos fue propuesto el proceso de
autoalineado de compuerta en el polisilicio por Kerwin y otros en 1969. Este
proceso no solamente mejora la confiabilidad del dispositivo, sino que
tambin reduce las capacitancias parsitas. Tambin en 1969, el mtodo de
la deposicin de vapor qumico metalorgnico (MOCVD) fue desarrollado por
Manasevit y Simpson. Esta es una tcnica de crecimiento epitaxial de
cristales muy importante para semiconductores compuestos tales como el
GaAs.
Conforme las dimensiones de los dispositivos se fueron reduciendo, la tcnica
del gravado en seco se fue desarrollando para remplazar la tcnica de
gravado qumico mojado y ser aplicados en patrones de transferencia de
alta fidelidad. Esta tcnica fue iniciada por Irving y otros en 1971 usando una
mezcla de gas de CF4-O2 para gravar obleas de silicio. Otra tcnica
importante desarrollada en este mismo ao fue la del haz molecular para
crecimiento epitaxial hecha por Cho. Esta tcnica tiene la ventaja de tener un
control vertical casi perfecto en los compuestos y en la aplicacin de
impurezas en dimensiones atmicas. Es la tcnica responsable de la creacin
de numerosos dispositivos fotnicos y de efecto cuntico.
En 1971, el primer microprocesador fue fabricado por Hoff y otros. Ellos
pusieron toda la unidad central de proceso (CPU) de una computadora simple
en un chip o trozo de material semiconductor. Este fue un microprocesador
de cuatro bits (Intel 4004), mostrado en la Fig. 2 en un trozo de 3 mm x 4
mm que contiene 2300 MOSFETs. Este fue fabricado en canal p usando un
proceso
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de compuerta en polisilicio y dimensiones de 8 m de precisin. Este
microprocesador le produjo alrededor de $300,000.00 dlares en
computadoras
Fig. 2 El primer microprocesador. (Fotografa cortesa de Intel Corp.)
a la IBM a principio de los aos 60s. Este fue el mayor impacto para la
industria de los semiconductores. Actualmente los microprocesadores
constituyen uno de los ms grandes segmentos de la industria.
Desde principios de los aos 80s muchas nuevas tecnologas se han estado
desarrollando para satisfacer los requerimientos de miniaturizacin de los
dispositivos. Consideraremos tres tecnologas importantes: la de aislamiento
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por canalizacin, pulido qumico-mecnico, e interconexin de cobre. La
tecnologa de de aislamiento por canalizacin fue introducida por Rung y
otros en 1982 para aislar dispositivos CMOS. Esta aplicacin reemplaza
eventualmente todos los otros mtodos de aislamiento. En 1989, el mtodo
de pulido qumico-mecnico fue desarrollado por Davari y otros para obtener
una planarizacin global de los dielctricos entre capa y capa. Este es un
proceso clave para la metalizacin de multinivel. A dimensiones de
submicrones sucede el mecanismo de falla conocido como electromigracin,
el cual es el transporte de iones metlicos a travs de un conductor al paso
de una corriente elctrica. El aluminio ha sido usado desde el comiezo de los
aos 60s como el material de interconexin a pesar de que sufre
electromigracin a altas corrientes elctricas. La interconexin con cobre fue
introducida en 1993 por Paraszczak y otros, para reemplazar el aluminio y
aprovechar mejor el espacio con longitudes de hasta 100 nm
Tcnica bsica de crecimiento de cristales
Consideraremos cmo crece un cristal semiconductor, especficamente el
cristal de silicio debido a que el 95% de los materiales usados por la
industria electrnica es el silicio.
El material de partida para la obtencin de silicio es la cuarzita que es una
arena relativamente pura (SiO2). sta se mezcla con varias formas de carbn
lo cual permite que se pueda obtener silicio con un 98% de pureza:
SiC + SiO2 Si (slido) + SiO (gas) + CO (gas) (1)
El producto de silicio obtenido se hace reaccionar con cido clorhdrico
formando el triclorosilicato,
Si (slido) + 3 HCl (gas) SiHCl3 (gas) + H2 (gas) (2)
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el triclorosilicato es descompuesto usando una corriente elctrica dentro de
un ambiente controlado, produciendo silicio policristalino ultrapuro (es decir,
material de silicio que contiene diversas estructuras cristalinas con
diferentes tamaos y con orientacin diferente una de la otra).
SiHCl3 + H2 (gas) Si (slido) + 3 HCl (gas) (3)
El silicio policristalino est listo ahora para el proceso de crecimiento de
cristal.
El mtodo de crecimiento de cristal ms comn es la tcnica de Czochralski.
Fig. 3 Dibujo esquemtico simplificado del jalador de Czochralski. En sentido de las manecillas del reloj (CW), en
sentido contrario de las manecillas del reloj (CCW).
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La Fig. 3 muestra un dibujo esquemtico del jalador de cristal de Czochralski.
El crisol contiene el silicio policristalino el cual es calentado, ya sea por
induccin de radio frecuencia o por el mtodo de una resistencia trmica,
hasta llegar al punto de fusin del silicio (1412 C) el crisol rota durante el
crecimiento para prevenir la formacin de calor local o regiones fras, para
una mejor distribucin de la temperatura.
La atmsfera alrededor del aparato para hacer crecer el cristal o jalador de
cristal es controlada para prevenir la contaminacin del silicio fundido. El
argn es el gas a menudo usado para tener un ambiente adecuado. Cuando
la temperatura del silicio se ha estabilizado, un pedazo de silicio con una
orientacin deseada (por ejemplo, ), el cual es llamado cristal semilla,
es bajado por medio de la flecha porta semilla hasta el silicio fundido lo cual
es el punto de partida para el subsecuente crecimiento hasta obtener un
cristal mucho ms grande. Como la parte baja del cristal semilla empieza a
fundirse en el silicio fundido, el movimiento hacia abajo del bastn o flecha
cargadora se invierte hacia arriba. Como el cristal semilla es lentamente
jalado desde la fundicin, el silicio fundido adherido al cristal ms fro o
solidificado toma la estructura cristalina del cristal semilla, que le sirve de
patrn o plantilla. El cristal semilla es, por lo tanto, usado para iniciar el
crecimiento del lingote de silicio monocristalino con la orientacin correcta
del cristal. La flecha cargadora contina su movimiento hacia arriba
formando un cristal regular ms grande. El crecimiento del cristal termina
hasta que el silicio del crisol es totalmente vaciado. Por medio de un
cuidadoso control de la temperatura del crisol y la velocidad de rotacin del
crisol y de la flecha cargadora, el dimetro del lingote puede ser controlado
y mantenido con precisin
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1.2. Materiales semiconductores
Los materiales de estado slido pueden ser agrupados en tres clases
aislantes, semiconductores, y conductores. La Fig. 4 muestra los rangos de
conductividad elctrica (y la correspondiente resistividad =) asociada
con algunos de los materiales ms importantes de cada una de las tres
clases. Aislantes tales como cuarzo fundido y el vidrio tienen muy bajas
conductividades del orden de 10-18-10-8 S/cm; y conductores tales como el
aluminio y plata tienen muy altas conductividades, tpicamente de 104 a 106
S/cm. Los semiconductores tienen
Fig. 4 Rangos tpicos de conductividades para aislantes, semiconductores, y conductores.
conductividades entre los aislantes y los conductores. La conductividad de un
semiconductor es generalmente sensible a la temperatura, iluminacin,
campo magntico, y a la cantidad de tomos de impureza con que haya sido
impurificado (tpicamente, alrededor de 1 g a 1 g de tomos de impurezas
en 1 kg de material semiconductor). Esta sensibilidad en conductividad hace
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de los semiconductores uno de los materiales ms importantes para
aplicaciones electrnicas.
El estudio de los materiales semiconductores empez en los aos de 1900. Al
paso de los aos una gran cantidad de semiconductores han sido
investigados. La tabla 2 muestra una porcin de la tabla peridica de los
elementos qumicos relativa a los semiconductores. Los elementos
semiconductores que estn compuestos de una sola especie de tomos, tales
como el silicio (Si) y el germanio (Ge), pueden ser encontrados en la
columna IV. A principios de los aos 50s, el germanio fue el material
semiconductor ms usado. Desde principio de los aos 60s el silicio sustituy
prcticamente el germanio como material para la fabricacin de
semiconductores. La razn principal por la que ahora se usa silicio es que los
dispositivos de silicio exhiben mejores propiedades a temperatura ambiente,
y de que el dixido de silicio de alta calidad puede ser crecido trmicamente.
Hay tambin consideraciones econmicas. Los dispositivos
Tabla 2 Porcin de la Tabla Peridica Relativa a los
Semiconductores
Perido Columna II III IV V VI
2 B C N O
Boro Carbono Nitrgeno Oxgeno
3 Mg Al Si P S
Magnesio Aluminio Silicio Fsforo Asufre
4 Zn Ga Ge As Se
Zinc Galio Germanio Arsnico Selenio
5 Cd In Sn Sb Te
Cadmio Indio Tin Antimonio Teluro
6 Hg Pb
Mercurio Plomo
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de silicio graduado cuestan mucho menos que de cualquier otro material. El
silicio en la forma de slica y silicatos comprende un 23% de la corteza
terrestre, y es el segundo, despus del oxgeno en abundancia. Actualmente,
el silicio es uno de los elementos de la tabla peridica ms estudiados; y la
tecnologa de silicio es con mucho la ms avanzada de entre todas las
tecnologas de semiconductores.
En aos recientes a un nmero de semiconductores compuestos les han
encontrado aplicacin en varios dispositivos electrnicos. Los
semiconductores compuestos ms importantes de dos elementos y ms
estn listados en la tabla 3. Los compuestos binarios son una combinacin de
dos elementos de la tabla peridica. Por ejemplo, el arseniuro de galio
(GaAs) es un compuesto de las columnas III-V, respectivamente; es la
combinacin del galio (Ga) de la columna III y el arsnico de la columna V.
Adems de los compuestos binarios, los compuestos ternarios y cuaternarios
son fabricados para aplicaciones especiales. La aleacin semiconductora
AlxGa1-xAs, la cual contiene Al y Ga de la columna III y As de la columna V,
es un ejemplo de compuesto ternario, mientras que los compuestos
cuaternarios de la forma AxB1-xCyD1-y pueden ser obtenidos de combinacin
de varios semiconductores binarios y ternarios. Por ejemplo, GaP, InP, InAs
ms GaAs pueden ser combinados para obtener la aleacin semiconductora
GaxIn1-xAsyP1-y. Comparado con los semiconductores de elementos, la
preparacin de los semiconductores compuestos en un solo cristal
usualmente involucra procesos mucho ms complejos.
Muchos de los semiconductores compuestos tienen propiedades elctricas y
pticas diferentes al silicio. Estos semiconductores, especialmente el GaAs,
son usados principalmente en dispositivos electrnicos de alta velocidad y
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aplicaciones fotnicas. Sin embargo no se conoce ms acerca de la
tecnologa de los semiconductores compuestos que acerca del silicio, los
avances en la tecnologa del silicio han apoyado el progreso de la tecnologa
de los semiconductores compuestos. En este trabajo nos enfocaremos
principalmente con los dispositivos fsicos y en la tecnologa del
procesamiento del silicio y arseniuro de galio.
Los materiales semiconductores los estudiaremos como un solo cristal, esto
es, los tomos estn en arreglos peridicos en tres dimensiones. Los arreglos
peridicos de tomos en un cristal son llamados redes o retculas. En un
cristal, un tomo nunca se sale o se aleja de una posicin fija. La vibracin
trmica asociada a los tomos est centrada respecto a esta posicin. Para
un semiconductor dado, hay una celda unitaria que es representativa de su
propia retcula; por repeticin de la celda unitaria por todo el cristal se
genera la red entera.
Tabla 3 Materiales Semiconductores
Clasificacin general Semiconductor
Smbolo Nombre
Elemento Si Silicio
Ge Germanio
Compuestos binarios
IV-IV SiC Carbonato de silicio
III-V AlP Fosfato de aluminio
AlAs Arseniuro de aluminio
AlSb Antimonio de aluminio
GaN Nitruro de galio
GaP Fosfuro de galio
GaAs Arseniuro de galio
GaSb Antimonio de galio
InP Fosfuro de indio
InAs Arseniuro de indio
InSb Antimonio de indio
II-VI ZnO xido de zinc
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ZnS Sulfuro de zinc
ZnSe Selenuro de zinc
ZnTe Teluro de zinc
CdS Sulfuro de cadmio
CdSe Selenuro de cadmio
CdTe Teluro de cadmio
HgS Sulfuro de mercurio
IV-VI PbS Sulfuro de plomo
PbSe Selenuro de plomo
PbTe Teluro de plomo
Compuestos ternarios AlxGa1-xAs Arseniuro de galio aluminio
AlxIn1-xAs Arseniuro de indio aluminio
GaAs1-xPx Fosfuro de arsnico galio
GaIn1-xAs Arseniuro de indio galio
GaxIn1-xP Fosfuro de indio galio
Compuestos cuaternarios Alx Ga1-x Asy Sb1-y Antimonio de arsnico galio aluminio
Gax In1-x As1-y Py Fosfuro de arsnico indio galio
Estructuras bsicas cristalinas
Existen en la naturaleza siete formas cristalina fundamentales: cbica,
tetragonal, ortorrmbica, hexagonal, trigonal o rombohdrica, monoclnica, y
triclnica. De donde se derivan las 14 redes de Bravais: cbica simple (cs),
cbica centrada en el cuerpo (bcc), cbica centrada en la cara (fcc);
tetragonal simple, y tetragonal centrada en el cuerpo; ortorrmbica simple,
ortorrmbica centrada en la base, ortorrmbica centrada en el cuerpo, y
ortorrmbica centrada en la cara; hexagonal simple; trigonal simple;
monoclnica simple y monoclnica centrada en la base; y triclnica simple.
El enfoque de este trabajo est dirigido hacia el silicio monocristalino, y
algunos compuestos cristalinos semiconductores cuyas estructuras cristalinas
son de la familia de las cbicas.
En la Fig. 5 se muestran algunas celdas unitarias cristalinas bsicas. La Fig
5a muestra un cristal con estructura de cbica simple (cs); sta tiene un
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tomo en cada esquina de la red cbica, y cada tomo tiene seis tomos
equidistantes ms cercanos. La dimensin a es llamada constante reticular.
En la tabla peridica, solamente el polonio es cristalizado con una retcula
cbica simple. La Fig. 5b es un cristal con estructura de cbica centrada en el
cuerpo (bcc), que adems de los ocho tomos en las esquinas, de una cbica
simple, consta de un tomo centrado en el cubo. Los cristales que exhiben
una retcula bcc son el sodio y el tungsteno. La Fig. 5c muestra un cristal de
cbica centrada en la cara (fcc) que tiene un tomo centrado en cada una de
las seis caras del cubo adems de los ocho tomos de las esquinas. En este
caso, cada tomo tiene 12 tomos equidistantes ms cercanos. Un gran
nmero de elementos exhibe la forma de la retcula fcc, incluyendo el
aluminio, cobre, oro, y platino.
Fig. 5 Tres celdas unitarias cristalinas. ( a ) Cbica simple. (b ) Cbica centrada en el cuerpo. ( c ) Cbica
centrada en la cara.
La estructura diamante o diamantina
Los elementos semiconductores, silicio y germanio, tienen una estructura
reticular diamantina como se muestra en la Fig. 6a. Esta estructura forma
parte de la familia de los cristales fcc y puede ser vista o considerada como
dos subretculas interpenetradas, una en la otra, con una de las subretculas
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desplazada una de la otra por un cuarto de la distancia a lo largo de la
diagonal del cuerpo del cubo (por ejemplo 43a ). Si bien los dos conjuntos
de tomos son idnticos qumicamente las dos subretculas son diferentes
desde el punto de vista de las estructuras cristalinas al considerar sus
propias caractersticas. Esto puede ser visto en la Fig. 6a que si un tomo de
la esquina tiene un tomo ms cercano en direccin de la diagonal del
cuerpo, entonces ste no tiene un tomo ms en la direccin opuesta.
Consecuentemente, se requieren estos dos tomos en la celda unitaria. La
celda unitaria de una estructura reticular diamante es un tetrahedrn en la
cual cada uno de estos cuatro tomos est rodeado por otros cuatro tomos
equidistantes ms cercanos, uno en cada esquina (referidos a la esfera
conectada con barras obscuras en la figura).
Fig. 6 ( a ) Red o retcula diamante. (b ) Red zincblende
Muchos de los semiconductores compuestos de las columnas III-V (por
ejemplo el GaAs) tienen una retcula zincblende o zincblenda, mostrada en la
figura 5b, la cual es idntica a la retcula diamante excepto en que una de las
subretculas fcc tiene tomos de la columna III (Ga) y la otra tiene tomos
de la columna V (As).
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Planos de un cristal e ndices de Miller
En la Fig. 5b notamos que hay cuatro tomos en el plano ABCD y cinco el
plano ACEF (cuatro tomos en las esquinas y uno en el centro) y que el
espacio interatmico es diferente en cada uno de los dos planos. Por lo tanto
las propiedades del cristal respecto a cada plano son diferentes, y las
caractersticas elctricas del dispositivo adems de otras pueden depender
de la orientacin del cristal. Un mtodo conveniente de definir los varios
planos en un cristal es el uso de los ndices de Miller. Estos ndices son
obtenidos siguiendo los siguientes pasos:
1. Determinar las intercepciones del plano en los tres ejes cartesianos en
trminos de la constante reticular.
2. Tomar los recprocos de estos nmeros y hay qu reducirlos a tres
enteros guardando la misma relacin.
3. Encierre el resultado en un parntesis (hkl) como el ndice de Miller
para el plano.
1.3. Modelo de Enlace Covalente
Como ya fue estudiado en la seccin 1.2, cada tomo de la retcula
diamantina est rodeado de cuatro tomos equidistantes ms cercanos. La
Fig. 7a muestra las valencias o enlaces qumicos de esta red. Una forma
simple de representar el tetrahedrn es el diagrama de tomos con sus
enlaces en dos dimensiones, como se muestra en la Fig. 7b. Cada tomo
tiene cuatro electrones en su ltima rbita y cada tomo comparte estos
electrones de valencia con los cuatro tomos ms cercanos. Este
compartimiento de electrones es conocido como enlace covalente; cada par
de electrones constituye un enlace covalente. El enlace covalente ocurre
entre dos tomos del mismo elemento o entre dos tomos de elementos
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diferentes que tengan en su ltima capa electrnica la misma configuracin.
Cada electrn permanece igual cantidad de tiempo con cada ncleo. Sin
embargo, ambos electrones permanecen la mayor parte de su tiempo entre
los dos ncleos. La fuerza de atraccin ejercida por ambos ncleos sobre los
electrones mantiene a los dos tomos unidos.
El arseniuro de galio se cristaliza como una retcula zincblende, la cual
tambin tiene un enlace de tetrahedrn. La fuerza de mayor enlace en el
GaAs es
Fig. 7 (a ) Enlaces de un tetrahedrn. (b ) Representacin esquemtica en dos dimensiones de los enlaces de un tetrahedrn.
debido tambin al enlace covalente. Sin embargo, el arseniuro de galio tiene
una contribucin inica menor esto es una fuerza de atraccin electrosttica
entre cada in de Ga+ y sus cuatro iones ms cercanos de As-, o entre cada
in de As- y sus cuatro iones ms cercanos de Ga+. Electrnicamente, esto
significa que los pares de electrones de enlace consumen ligeramente ms
tiempo en el tomo de As que en el tomo de Ga.
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A bajas temperaturas, los electrones estn enlazados en su propia red a base
de tetrahedrones; consecuentemente, ellos no estn disponibles para la
conduccin; y son llamados electrones de valencia. A temperaturas ms
altas, las vibraciones trmicas pueden llegar a romper el enlace covalente.
Cuando el enlace es roto o parcialmente quebrado, resulta un electrn libre
que puede participar en la conduccin de corriente; llamado electrn de
conduccin. En la Fig. 8a se muestra que un electrn de valencia en el silicio
puede llegar a ser un electrn libre. Quedando una deficiencia de electrn en
el enlace covalente. Esta deficiencia puede ser detectada y ocupada por
alguno de los electrones de valencia ms cercanos, lo cual da como resultado
que la deficiencia cambie de lugar, desde la posicin A a la posicin B, segn
se muestra en la figura 8b. Por lo tanto podemos considerar esta deficiencia
como una partcula similar a un electrn. Esta partcula ficticia es llamada
hueco. La cual es portadora de carga positiva y si se le aplica un campo
elctrico se mueve bajo la influencia de l, en direccin opuesta a la de un
Fig. 8 Representacin bsica de enlaces del silicio intrnseco. ( a ) Enlace roto en la posicin A, resultando un
electrn y un hueco de conduccin. (b ) Un enlace roto en la posicin B.
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electrn. Por lo tanto, ambos el electrn y el hueco contribuyen a la corriente
elctrica total. El concepto de hueco es anlogo al de una burbuja en un
lquido. Aunque es el lquido el que realmente se mueve, es mucho ms fcil
hablar acerca del movimiento de la burbuja en direccin opuesta.
1.4. Materiales Intrnsecos, Materiales Extrsecos
Ahora derivaremos la concentracin de portadores de carga en condiciones
de equilibrio trmico, esto es, en condicin de estado estable a una
temperatura dada sin ninguna excitacin externa tal como luz, presin, o
campo elctrico. A una temperatura dada, como resultado de la continua
agitacin trmica y la excitacin de los electrones desde la banda de valencia
hasta la banda de conduccin se generan un nmero igual de huecos en la
banda de valencia (pares electrn-hueco). Un semiconductor intrnseco es
aquel en que la cantidad de impurezas que contiene es relativamente
pequea comparada con la cantidad de pares electrn-hueco generados
trmicamente. Por lo que se considera a un semiconductor intrnseco como
un cristal puro o prcticamente puro
Para obtener la densidad de electrones (es decir, el nmero de electrones
por unidad de volumen) en un semiconductor intrnseco, primero evaluamos
la densidad de electrones en un incremento de energa dE. La densidad n(E)
est dada por el producto de la densidad de estados N(E), esto es, la
densidad de estados energticos permitidos (considerando el spin
electrnico) por rango de energa por unidad de volumen y por la
probabilidad de ocupacin en este rango de energa F(E). Por lo tanto, la
densidad de electrones en la banda de conduccin est dada por la
integracin de N(E) F(E) dE desde la parte baja de la banda de conduccin
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(Ec que inicialmente es tomada E = 0 por simplicidad) a la parte alta de la
banda de conduccin Etop:
toptop EE
dEEFENdEEnn00
)()()( (4)
donde n est dada en cm-3, y N(E) en (cm3-eV)-1
En la seccin 1.6 se ver con ms detalle que para un semiconductor
intrnseco, el nmero de electrones por unidad de volumen en la banda de
conduccin es igual al nmero de huecos por unidad de volumen en la banda
de valencia, esto es, n = p = ni donde ni es la densidad intrnseca de
portadores de carga. Esta relacin de electrones y huecos es descrita en la
Fig. 15d. Note que el rea sombreada en la banda de conduccin es la misma
que la de la banda de valencia.
La densidad intrnseca de portadores de carga es obtenida a partir de las
Ecs. 16,17 y 19
2
innp (20)
kTENNn gVCi exp2
(21)
y
kTENNn gVCi 2exp (22)
As como tambin se ver en la seccin 1.7 que cuando un semiconductor es
dopado o contaminado con impurezas, el semiconductor se convierte en
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extrnseco y son introducidos niveles de energa por dichas impurezas. La
Fig. 16a muestra esquemticamente que si un tomo de silicio es
reemplazado (o sustituido) por un tomo de arsnico con cinco electrones de
valencia. El tomo de arsnico forma enlaces covalentes con sus cuatro
tomos de silicio ms cercanos. El quinto electrn tiene relativamente una
pequea energa de enlace con su tomo de arsnico y puede ser ionizado y
convertirse en un electrn de conduccin a temperaturas moderadas.
Decimos que estos electrones han sido donados a la banda de conduccin.
El tomo de arsnico es llamado donador y el silicio se convierte en un
semiconductor tipo n por la adicin de portadores de carga negativos
semiconductor extrnseco tipo n. Similarmente, la Fig. 16b muestra que
cuando un tomo de boro con tres electrones de valencia sustituye un tomo
de silicio, un electrn adicional es aceptado para completar cuatro
electrones covalentes en torno al boro, y as una carga positiva hueco es
creada en la banda de valencia. Este es un semiconductor tipo p, y el boro es
un aceptor tenemos ahora un semiconductor extrnseco tipo p.
1.5. Modelo de bandas de energa
Niveles de energa tomos aislados
En un tomo aislado, los electrones pueden tener niveles discretos de
energa. Por ejemplo, los niveles de energa de un tomo de hidrgeno
aislado estn dados por el modelo de Bohr:
2222
0
4
0 6.138 nnhqmEH eV (5)
donde m0 es la masa del electrn libre, q es la carga del electrn, eo es la
permitividad del espacio libre, h es la constante de Planck, n es un entero
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positivo llamado nmero cuntico principal. La cantidad eV (electrn volt) es
la unidad de energa correspondiente a la energa ganada por un electrn
cuando su potencial es incrementado por un volt. Y es igual al producto de q
(1.6 x 10-19 coulomb) y un volt, o 1.6 x 10-19 J. Las energas discretas son -
13.6 eV para el nivel energtico estado de reposo (n = 1), -3.4 eV para el
primer nivel energtico estado excitado (n = 2), etc. Estudios ms detallados
revelan que para nmeros cunticos principales ms altos (n 2), los
niveles de energa son compartidos de acuerdo a su nmero cuntico angular
(l = 0, 1, 2, ,n-1).
Ahora consideraremos dos tomos idnticos. Cuando ellos estn lejanos, los
niveles energticos asociados para un nmero cuntico principal (por
ejemplo, n = 1) tenemos un doble nivel degenerado, esto es, ambos tomos
tienen exactamente la misma energa. Cuando se acercan los tomos entre
s, los dobles niveles de energa degenerados se despliegan en dos niveles
energticos por la interaccin entre los dos tomos. Como un nmero N de
tomos aislados son unidos hasta formar un slido, las rbitas de los
electrones externos de diversos tomos se superponen interactuando entre s
con cada uno de ellos. Esta interaccin, incluyendo las fuerzas de atraccin y
repulsin entre tomos, causa un movimiento de los niveles de energa,
como en el caso de la interaccin de dos tomos. Por lo que, en vez de
generar dos niveles, se forman N niveles pero separados por pequeos
espacios. Cuando N es grande, el resultado es esencialmente una banda de
energa continua. Esta banda de N niveles se extiende a unos pocos eV
dependiendo de la distancia interatmica del cristal que se trate. La Fig. 9
muestra el efecto explicado anteriormente, donde el parmetro a representa
la distancia interatmica de equilibrio del cristal.
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Fig. 9 Separacin de un estado degenerado en una banda de energas permitidas.
En realidad la distribucin de los niveles de energa o separacin entre ellos
es mucho ms complicada. La figura 10 muestra un tomo de silicio aislado
que tiene 14 electrones. De los 14 electrones, 10 ocupan niveles energticos
ms profundos cuyo radio orbital es mucho ms pequeo que la separacin
interatmica en el cristal. Los cuatro electrones de valencia restantes estn
dbilmente enlazados relativamente y pueden ser involucrados en reacciones
qumicas. Es por ello que necesitamos considerar solamente la capa ms
externa (el nivel n = 3) para los electrones de valencia, dado que las otra
dos capas internas estn completamente llenas y fuertemente enlazados al
ncleo. La subcapa 3s (es decir, n = 3, y l = 0) tiene dos estados cunticos
asociados por tomo. Esta subcapa contendr dos electrones de valencia a T
= 0 K. La subcapa 3p (es decir, n = 3, y l = 1) tiene seis estados cunticos
asociados por tomo. Esta subcapa contendr los otros dos electrones de
valencia de un tomo individual de silicio
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Fig. 10 Representacin esquemtica de un tomo de silicio aislado
La Fig. 11 es un diagrama esquemtico de la formacin de de un cristal de
silicio de N tomos aislados. Cuando la distancia interatmica disminuye, las
subcapas 3s y 3p de lo N tomos de silicio interactuarn y se superpondrn.
A una distancia interatmica de equilibrio, las bandas otra vez se
desplegarn, con cuatro estados cunticos por tomo en la banda baja y
cuatro estados cunticos por tomo en la banda superior. A una temperatura
de cero absoluto, los electrones ocupan los estados energticos ms bajos,
as que todos los estados de la banda de abajo (la banda de valencia) estar
llena y todos los estados de la banda superior (la banda de conduccin)
estarn vacos. La parte baja de la banda de conduccin es llamado Ec, y la
parte alta de la banda de valencia es llamada Ev. La banda de energa Eg
entre la parte baja de la banda de conduccin y la parte alta de la banda de
valencia (Ec Ev) es el ancho de la banda prohibida, como se muestra en la
parte izquierda de la Fig. 11. Fsicamente, Eg es la energa requerida para
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romper un enlace en el semiconductor y liberar un electrn que pasa a la
banda de conduccin y deja un hueco en la banda de valencia.
Fig. 1 1 Formacin de las bandas de energa de un cristal con retcula diamante la cual es formada por tomos de
silicio aislados que fueron unidos.
Diagrama de Energa-Momento
La energa E de un electrn libre est dada por
0
2
2m
pE (6)
donde p es el momentum o cantidad de movimiento lineal y mo es la masa
del electrn libre. Si graficamos E vs. P, obtenemos una parbola como se
muestra en la Fig. 12. En un cristal semiconductor, un electrn en la banda
de conduccin es similar a un electrn libre en donde es relativamente libre
de moverse dentro del cristal. Sin embargo, debido al potencial peridico de
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los ncleos la Ec. 6 puede no ser totalmente vlida. Pero si queremos seguir
usando esta ecuacin remplazaremos la masa del electrn libre por una
masa efectiva mn (el subndice n se refiere a la carga negativa de un
electrn), esto es,
nm
pE
2
2
(7)
Fig. 1 2 La curva parablica para un electrn energa (E) vs momentum (p)
La masa efectiva del electrn depende de las propiedades del
semiconductor. Si tenemos una relacin energa-momento descrita por la Ec.
7, podemos obtener la masa efectiva a partir de la segunda derivada de E
con respecto de p:
1
2
2
0
dp
Edm (8)
por lo que podemos ver que a una parbola ms angosta corresponde una
segunda derivada ms grande y una masa efectiva ms pequea. Una
expresin similar puede ser escrita para los huecos (con masa efectiva mp
donde el sundice p se refiere a la carga positiva de un hueco). El concepto
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de masa efectiva es ampliamente aceptado debido a que los electrones y
huecos son tratados esencialmente como partculas clsicas cargadas.
La Fig. 13 muestra una relacin simplificada de energa-momento de un
semiconductor especial con una masa efectiva de sus electrones de mn =
0.25 mo en la banda de conduccin (la parbola superior) y una masa
efectiva de sus huecos en la banda de valencia (la parbola inferior). Note
que la energa de los electrones es medida hacia arriba y que la energa de
los huecos es medida hacia abajo. El espacio entre las dos parbolas en p =
0 es la banda prohibida Eg, mostrada previamente en la Fig. 11.
Realmente la relacin energa-momento (tambin llamado diagrama de
bandas de energa) para el silicio y el arseniuro de galio son mucho ms
complejas. Las cuales son mostradas en la Fig. 14 para dos cristales.
Notemos que las caractersticas generales de esta figura son similares a las
de la Fig. 13. Primero que todo, hay una banda prohibida Eg entre la parte
baja de la banda de conduccin y la parte alta de la banda de valencia.
Segundo, cerca del mnimo de la banda de conduccin o del mximo de la
banda de valencia, las curvas E-p son esencialmente parablicas. Para el
silicio, Fig. 14a, el mximo en la banda de valencia ocurre en p = 0, pero el
mnimo en la banda de conduccin ocurre en la direccin [100] en p = pc. Es
por esto que, en el silicio, cuando un electrn hace una transicin desde el
punto mximo de la banda de valencia al punto mnimo de la banda de
conduccin, no solamente requiere un cambio de energa (>Eg) sino que
tambin un cambio en el momentum (pc).
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Fig. 1 3 Un diagrama esquemtico de energa-momentum para un semiconductor con mn = 025 m0 y mp = mn
Para el arseniuro de galio, Fig. 14b, el mximo en la banda de valencia y el
mnimo en la banda de conduccin ocurre en el mismo momentum (p = 0).
As, un electrn puede hacer su transicin desde la banda de valencia a la
banda de conduccin sin un cambio de momentum
El arseniuro de galio es llamado semiconductor directo, por que no requiere
un cambio de momentum para la transicin de un electrn desde la banda de
valencia a la banda de conduccin. El silicio es llamado semiconductor
indirecto, porque un cambio de de momentum es requerido en una
transicin. Esta diferencia entre una estructura cristalina de banda directa e
indirecta es de consideracin y de suma importancia en el funcionamiento de
los diodos emisores de luz y los semiconductores lasers. Estos dispositivos
requieren semiconductores directos para una eficiente generacin de fotones.
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Fig. 1 4 Estructura de bandas de energa del Si y del GaAs. Los crculos ( ) indican huecos en la banda de valencia y los puntos () indican electrones en la banda de conduccin.
Podemos obtener la masa efectiva desde la Fig. 14 usando la Ec. 8. Por
ejemplo, para el arseniuro de galio en donde la banda de conduccin tiene la
forma de una parbola muy angosta, la masa efectiva es 0.063m0, y para el
silicio, con la banda de conduccin parablica ms ancha, la masa efectiva es
0.19m0.
Conduccin en metales, semiconductores, y aislantes
La enorme variacin de la conductividad elctrica de los metales,
semiconductores, y aislantes mostrada en la Fig. 4 puede ser explicada
cualitativamente en trminos de sus bandas de energa. Veremos que la
ocupacin de electrones de la banda ms alta o de las dos bandas ms altas
determina la conductividad de un slido. La Fig. 15 muestra los diagramas de
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bandas de energa de tres clases de slidos- metales, semiconductores, y
aislantes.
Fig. 1 5 Representacin esquemtica de las bandas de energa. )(a Un conductor con dos posibilidades (ambas, la
banda de conduccin parcialmente llena mostrada en la parte superior o las bandas traslapadas mostradas en la
porcin de abajo), )(b Un semiconductor, y )(c Un aislante.
1.6. Distribucin de Fermi-Dirac y Distribucin de Maxwell-
Boltzmann
La probabilidad de que un electrn ocupe un estado electrnico permitido
con energa E est dado por la funcin de distribucin de Fermi- Dirac, la
cual es tambin conocida como funcin de distribucin de Fermi
kTEE Fe
EF)(
1
1)(
(10)
Donde k es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta en
grados Kelvin, y EF es la energa del nivel Fermi. La energa Fermi es la
energa en la cual la probabilidad de ocupacin (de un estado energtico) por
un electrn es exactamente un medio. La distribucin de Fermi es ilustrada
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en la Fig. 16 para diferentes temperaturas. Note que F(E) es simtrica
respecto de la energa de Fermi EF. Para energas que estn 3kT por arriba o
por debajo de la energa de Fermi, el trmino exponencial de la Ec. 10 llega
a ser ms grande que 20 o ms pequeo que 0.05, respectivamente. La
funcin de distribucin de Fermi-Dirac pude por lo tanto ser aproximada a
expresiones ms simples:
F(E) = e-(E EF)/kT para (E - EF) > 3kT (11a)
y
F(E) = 1- e-(E EF)/kT para (E - EF) < - 3kT (11b)
la ecuacin 11b puede ser interpretada como la probabilidad de que un
hueco ocupe un estado con energa E.
La Fig. 17 muestra esquemticamente de izquierda a derecha el diagrama de
bandas, la densidad de estados N(E), la cual vara con E para una masa
efectiva del electrn dada, la funcin de distribucin de Fermi, y la
concentracin de portadores de carga para un semiconductor intrnseco. La
concentracin de portadores de carga puede ser obtenida grficamente de la
Fig. 17 usando Ec. 9; esto es, el producto N(E) de la Fig. 17b y F(E) de la
17c que da la curva n(E)-versus-E (curva superior) de la Fig. 17d. El rea
superior sombreada de la Fig. 17d corresponde a la densidad de electrones.
Hay un gran nmero de estados energticos permitidos en la banda de
conduccin. No obstante, para un semiconductor intrnseco no habr muchos
electrones en la banda de conduccin. Por lo que, la probabilidad de que un
electrn ocupe uno de estos estados es pequea. Hay tambin un gran
nmero de estados permitidos en la banda de valencia. Por el contrario, la
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mayora de stos estn ocupados por electrones. Por lo tanto, la probabilidad
de que un
Fig. 16 Funcin de distribucin de Fermi-Dirac F(E) vs (E - EF) para varias temperaturas
Fig. 1 7 Semiconductor intrseco. )(a Diagrama esquemtico de bandas. )(b Densidad de estados. ( c ) Funcin de
distribucin de Fermi.( d ) Concentracin de portadores de carga.
electrn ocupe uno de estos estados en la banda de valencia es muy cercana
a la unidad. Habr unos pocos estados electrnicos desocupados, esto es,
huecos, en la banda de valencia. Como puede verse, el nivel Fermi est
localizado en la parte media de la banda prohibida (es decir, EF est muchas
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veces kT por debajo de Ec). Sustituyendo la ltima ecuacin del apndice H
y la ecuacin 11a en la Ec. 4
dEkTEEEkTNn CC
exp2
0
2123
, (12)
Donde
232212 hkTmN nC para el Si (13a)
23222 hkTmn para el GaAs (13b)
Tomamos ETop como porque F(E) llega a ser muy pequea cuando (E - EC) >>
kT
Si hacemos kTEx , la Ec. 12 nos da
dxexkTENn xFC
021exp
2
. (14)
La integral de la Ec. 14 es de la forma estndar y es igual a 2 . Por lo que
nos queda
kTENn FC exp (15)
Si ahora nos referimos a la parte baja de la banda de conduccin como EC
en vez de E = 0. Obtenemos para la densidad de electrones en la banda de
conduccin
kTEENn FCC exp (16)
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Donde la NC definida en la Ec. 13 es la densidad efectiva de estados en
la banda de conduccin. A temperatura ambiente (300 K). NC es 2.86 x
1019 cm-3 para el silicio y 4.7 x 1017 cm-3 para el arseniuro de galio.
Similarmente puede ser obtenida la densidad de huecos p en la banda de
valencia
kTEENp VFV exp (17)
y
23222 hkTmN pV (18)
donde NV es la densidad efectiva de estados en la banda de valencia
para ambos semiconductores Si y GaAs. A temperatura ambiente NV es 2.66
x 1019 cm-3 para el silicio y 7.0 x 1018 cm-3 para el arseniuro de galio.
Para un semiconductor intrnseco, el nmero de electrones por unidad de
volumen en la banda de conduccin es igual al nmero de huecos por unidad
de volumen en la banda de valencia, esto es, n = p = ni donde ni es la
densidad intrnseca de portadores de carga. Esta relacin de electrones y
huecos es descrita en la Fig. 17d. Note que el rea sombreada en la banda
de conduccin es la misma que la de la banda de valencia.
1.7. Nivel de Fermi en Materiales Intrnsecos y Extrnsecos
El nivel Fermi para un semiconductor intrnseco es obtenido igualando la Ec.
16 y la Ec. 17:
CVVCiF NNkTEEEE ln2)(2 (19)
joelResaltado
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A temperatura ambiente, el segundo trmino es mucho menor que la banda
prohibida. De aqu que el nivel intrnseco de Fermi Ei de un semiconductor
intrnseco generalmente est muy cercano a la parte media de la banda
prohibida.
La densidad intrnseca de portadores de carga es obtenida a partir de las
Ecs. 16,17 y 19
2
innp (20)
kTENNn gVCi exp2
(21)
y
kTENNn gVCi 2exp (22)
donde VCg EEE .
Donadores y aceptores
Cuando un semiconductor es dopado o contaminado con impurezas, el
semiconductor se convierte en extrnseco y son introducidos niveles de
energa por dichas impurezas. La Fig. 18a muestra esquemticamente que si
un tomo de silicio es reemplazado (o sustituido) por un tomo de arsnico
con cinco electrones de valencia. El tomo de arsnico forma enlaces
covalentes con sus cuatro tomos de silicio ms cercanos. El quinto electrn
tiene relativamente una pequea energa de enlace con su tomo de arsnico
y puede ser ionizado y convertirse en un electrn de conduccin a
temperaturas moderadas. Decimos que estos electrones han sido donados
a la banda de conduccin. El tomo de arsnico es llamado donador y el
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silicio se convierte en un semiconductor tipo n por la adicin de portadores
de carga negativos semiconductor extrnseco tipo n. Similarmente, la Fig.
18b muestra que cuando un tomo de boro con tres electrones de valencia
sustituye un tomo de silicio, un electrn adicional es aceptado para
completar cuatro electrones covalentes en torno al boro, y as una carga
positiva hueco es creada en la banda de valencia. Este es un
semiconductor tipo p, y el boro es un aceptor tenemos ahora un
semiconductor extrnseco tipo p.
Podemos estimar la energa de ionizacin ED para los donadores
reemplazando m0 con la masa efectiva del electrn y tomando en
consideracin la permitividad del semiconductor es en el modelo del tomo
de hidrgeno de la Ec. 5:
Fig. 1 8 Dibujos esquemticos de enlaces para ( a ) Silicio tipo n con donador (arsnico) y (b ) Silicio tipo p con
aceptor (boro)
joelResaltado
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Hn
D
D Em
mE
0
2
0
(23)
La energa de ionizacin para los donadores medido desde el filo de la banda
de conduccin, calculado a partir de la Ec. 23 es 0.025 eV para el silicio y
0.007 eV para el arseniuro de galio. El clculo del nivel de ionizacin de los
aceptores respecto del tomo de hidrgeno es igual que para los donadores.
Consideramos la banda de valencia desocupada como una banda llena por un
hueco en un campo elctrico con fuerza de un aceptor con carga negativa. La
energa de ionizacin calculada, medida desde el filo de la banda de valencia,
es de 0.05 eV para el silicio y el arseniuro de galio.
Este modelo simple del tomo de hidrgeno no puede tomar en cuenta los
detalles de la energa de ionizacin, particularmente para los
semiconductores con niveles de impureza profundos (es decir, con energas
de ionizacin kT3 ). Sin embargo, los clculos hechos predicen
correctamente el orden de la magnitud de las energas de ionizacin
verdaderas para niveles de impureza superficiales. La Fig. 19 muestra las
medidas de la energa de ionizacin para varas impurezas en el silicio y en el
arseniuro de galio.8 Note que esto es posible para un solo tomo que tiene
muchos niveles; por ejemplo, el oxgeno en el silicio tiene dos
niveles donadores y dos niveles aceptores dentro de la banda de energa
prohibida.
Semiconductores no degenerados
En la discusin previa, hemos asumido que la concentracin de electrones y
huecos es mucho ms pequea que la densidad efectiva de estados en la
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Fig. 1 9 Energas de ionizacin dadas en (eV) para varias impurezas en Si y GaAs. Los niveles por abajo del centro
de la banda prohibida son niveles aceptores y estn medidos desde la parte alta de la banda de valencia y solamente
los indicados por D son niveles donadores. Los niveles por arriba de la lnea de centro de la banda prohibida son
niveles donadores y estn medidos desde la parte baja de la banda de conduccin y nicamente los indicados por A
son niveles aceptores.
banda de conduccin o en la banda de valencia, respectivamente. En otras
palabras, el nivel Fermi FE est no ms de kT3 por arriba de VE o no ms de
kT3 por debajo de CE . Para tales casos, el semiconductor es referido como
un semiconductor no degenerado.
Para donadores superficiales en el silicio y en el arseniuro de galio,
usualmente es suficiente la energa trmica para suplir la energa de
ionizacin DE en todas las impurezas donadoras a temperatura ambiente y
as proveer el mismo nmero de electrones en la banda de conduccin. Esta
condicin es llamada ionizacin completa. Bajo una condicin de ionizacin
completa, podemos escribir la densidad de electrones como
joelResaltado
joelResaltado
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DNn , (24)
donde DN es la concentracin de impurezas donadoras. La Fig. a20 , ilustra la
ionizacin completa donde el nivel de donadores DE es medido con respecto
de la parte baja de la banda de conduccin y tambin son mostrados igual
concentracin de electrones (los cuales son mviles) y los iones donadores
(los cuales estn inmviles). A partir de las Ecs. 16 y 24, obtenemos el nivel
Fermi en trminos de la densidad efectiva de estados CN y la concentracin
de donadores DN :
)ln( DCFC NNkTEE (25)
Similarmente, para aceptores superficiales como se muestra en la Fig. b20 , si
todos ellos estn completamente ionizados la concentracin de huecos es
ANp (26)
Donde AN es la concentracin de aceptores. Podemos obtener el nivel Fermi
correspondiente de las Ecs. 17 y 26:
Fig. 20 Representacin esquemtica de las bandas de energa de un semiconductor extrnseco con ( a ) donadores
ionizados y (b ) aceptores ionizados.
joelResaltado
joelResaltado
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)ln( AVVF NNkTEE (27)
De la Ec. 25 podemos ver que a una mayor concentracin de donadores,
disminuye la diferencia de energa )( FC EE , esto es, el nivel Fermi se
mover cerca de la parte baja de la banda de conduccin; entre ms sea la
concentracin de donadores, ms se acerca el nivel Fermi a CE .
Similarmente, entre mayor sea la concentracin de aceptores, el nivel Fermi
ms se acerca a la parte alta de la banda de valencia. La Fig. 21 ilustra el
procedimiento para obtener la concentracin de portadores de carga. Esta
figura es similar a la mostrada en la Fig 17. Pero ahora, el nivel Fermi est
ms cercano a la parte baja de la banda de conduccin, y la concentracin de
electrones (rea sombreada superior) es mucho ms grande que la
concentracin de huecos (rea sombreada inferior).
Fig. 21 Semiconductor tipo n. ( a ) Diagrama esquemtico de bandas (b ) Densidad de estados ( c ) funcin de
distribucin de Fermi ( d ) Concentracin de portadores de carga. Ntese que 2
innp .
Es muy usual expresar la densidad de electrones y huecos en trminos de la
concentracin de portadores de carga intrnsecos in y el nivel Fermi
joelResaltado
joelResaltado
joelResaltado
joelResaltado
joelResaltado
joelResaltado
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intrnseco iE ya que iE es frecuentemente usado como un nivel de referencia
en el estudio de semiconductores extrnsecos. De la Ec. 16 obtenemos
kTEENn FCC exp ,
kTEEkTEEN iFiCC )(exp)(exp ,
o
kTEEnn iFi )(exp , (28)
y similarmente,
kTEEnp Fii )(exp (29)
Note que el producto de n y p de las Ecs. 28 y 29 es igual a 2
in . Este
resultado es idntico al caso intrnseco, la Ec. 20. Esta Ec. Es llamada ley de
masa activa, la cual es vlida para ambos tipos de semiconductores
intrnsecos y extrnsecos bajo conduccin en equilibrio trmico. En un
semiconductor extrnseco, el nivel Fermi se mueve hacia la parte baja de la
banda de conduccin (tipo n) o hacia la parte alta de la banda de valencia
(tipo p). Cualquiera de los dos tipos de portadores de carga n o p dominar,
pero el producto de los dos tipos de portadores permanecer constante a una
temperatura dada.
EJEMPLO
Un lingote de silicio es dopado con 3.7 x 1016 tomos de arsnico/cm3.
Encontrar la concentracin de portadores de carga y el nivel Fermi a
temperatura ambiente (300 K).
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SOLUCIN A 300 K, podemos asumir que los tomos de impurezas
estn ionizados completamente. Tenemos
316107.3 cmxNn D
De la Ec. 20
3216292 1051.2107.3)1065.9( cmxxxNnp Di
El nivel Fermi medido desde la parte baja de la banda de conduccin
est dado por la Ec. 25
)ln( DCFC NNkTEE
eVxx 172.0107.31086.2ln0259.0 1619
El nivel Fermi medido desde el nivel intrnseco de Fermi est dado por
la Ec. 28
kTEEnn iFi )(exp ,
)ln( iDiF nNkTEE
eVxx 393.01065.9107.3ln0259.0 916
Estos resultados son observados en la Fig. 22.
Si ambas impurezas donadoras o aceptoras estn presentes
simultneamente, la impureza que est en mayor concentracin determina el
tipo de conductividad en el semiconductor. El nivel Fermi deber
autoajustarse para preservar la neutralidad de carga, esto es, las cargas
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negativas totales (electrones y aceptores ionizados) debern ser iguales a las
cargas positivas totales (huecos donadores ionizados). Bajo la condicin de
ionizacin completa, tenemos
DA NpNn , (30)
resolviendo las Ecs. 20 y 30 considerando la concentracin de electrones y
huecos equilibrada en un semiconductor tipo n :
224
21
iADAD nNNNNn , (31)
nin nnp2
(32)
El subndice n se refiere al semiconductor tipo n . Porque los electrones son
los portadores de carga dominantes, estos son llamados portadores de carga
Fig. 22 El diagrama de bandas muestra el nivel Fermi EF y el nivel intrnseco de Fermi Ei.
mayoritarios. Los huecos en el semiconductor tipo n son llamados portadores
de carga minoritarios. Similarmente, obtenemos la concentracin de huecos
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(portadores de carga mayoritarios) y electrones (portadores de carga
minoritarios) en un semiconductor tipo p :
224
21
iDADA nNNNNp (33)
pip pnn2
(34)
El subndice p se refiere al semiconductor tipo p .
1.8. Conductividad, Movilidad, Proceso de Difusin
Movilidad
Consideraremos una muestra de semiconductor tipo n con una concentracin
uniforme de donadores en equilibrio trmico. Como ya se estudi en
secciones anteriores la conduccin de electrones en un semiconductor en la
banda de conduccin es esencialmente por partculas libres, as que no estn
asociadas con alguna retcula partcula o localizacin de los donadores. La
influencia de la retcula del cristal est incorporada en la masa efectiva de los
electrones de conduccin, la cual difiere de la masa del electrn libre. Bajo
equilibrio trmico, el promedio de energa trmica de un electrn de
conduccin puede ser obtenido a partir del teorema de equiparacin de
energa, kT21 unidades de energa por grado de libertad, donde k es la
constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. En un
semiconductor los electrones tienen tres grados de libertad; ellos pueden
moverse en las tres dimensiones del espacio. Por lo tanto, la energa cintica
de los electrones est dada por
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kTvm thn2
3
2
1 2 (35)
donde nm es la masa efectiva de un electrn y thv es la velocidad trmica
promedio. A temperatura (300 K) la velocidad trmica promedio de los
electrones en la Ec. 35 es alrededor de 107 cm/s para el silicio y el arseniuro
de galio.
Es por esto que los electrones en un semiconductor estn movindose
rpidamente en todas direcciones. El movimiento trmico de un electrn
individual puede ser visualizado como una sucesin de movimientos
aleatorios y de colisiones con los tomos de la retcula, tomos de impureza,
y otros centros de dispersin, como se ilustra en la Fig. 23a. El movimiento
aleatorio de los electrones da un desplazamiento neto cero de un electrn en
un perodo de tiempo suficientemente largo. La distancia promedio entre
colisiones es llamada trayectoria media libre, y el tiempo promedio libre
entre colisiones es llamado tiempo medio libre c . Un valor tpico para la
trayectoria promedio libre es de 10-5 cm , c es alrededor de 1 ps (es decir,
svth125 1010 ).
Cuando es aplicado un pequeo campo elctrico E a una muestra de
semiconductor, cada electrn experimentar una fuerza qE debido al
campo y ser acelerado a lo largo del campo (en direccin opuesta al campo)
durante el tiempo entre colisiones. Por lo tanto, una componente de
velocidad adicional ser superpuesta sobre el movimiento trmico de los
electrones. Esta componente adicional es llamada velocidad de arrastre. El
desplazamiento combinado de un electrn del movimiento trmico aleatorio y
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la componente de arrastre es ilustrado en la Fig. 23b. Note que hay un
desplazamiento neto del electrn en direccin opuesta al campo aplicado.
Fig. 23 Trayectoria esquemtica de un electrn en un semiconductor. ( a ) Movimiento trmico aleatorio. (b ) Movimiento combinado debido a un movimiento trmico aleatorio y a un movimiento por un campo elctrico
aplicado.
Podemos obtener la velocidad de arrastre nv por la igualacin del
momentum (fuerza x tiempo) aplicado a un electrn durante el trayecto libre
entre colisiones y el momentum ganado por el electrn en el mismo perodo.
La igualacin es vlida porque en estado estable todo el momentum ganado
entre colisiones se pierde en la red al chocar. El momentum aplicado por el
campo elctrico a un electrn est dado por cqE , y el momentum ganado
es nnvm . Tenemos
nnC vmqE (36)
o
Em
qv
n
cn
(36a)
La ecuacin 36a establece que la velocidad de arrastre del electrn es
proporcional al campo elctrico aplicado. El factor de proporcionalidad
depende del tiempo medio libre y de la masa efectiva. El factor de
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proporcionalidad es llamado movilidad del electrn n en unidades de
sVcm 2 o
.n
c
nm
q (36)
as,
Ev nn (37)
La movilidad es un parmetro importante para el transporte de portadores
de carga porque sta describe cmo es de fuertemente influenciado el
movimiento de un electrn al aplicar un campo elctrico. Una expresin
similar puede ser escrita para los huecos en la banda de valencia:
Ev pp (38)
donde pv es la velocidad de arrastre de los huecos y p es la movilidad de
huecos. El signo negativo es quitado en la Ec. 38 porque los huecos son
arrastrados en la misma direccin del campo elctrico aplicado.
En la Ec. 36 la movilidad est relacionada directamente al tiempo medio
libre entre colisiones, el cual en su momento es determinado por varios
mecanismos de dispersin. Los dos mecanismos ms importantes son
dispersin por la retcula y dispersin por impurezas. La dispersin por
impurezas resulta de la vibracin trmica de los tomos de la red a cualquier
temperatura por encima del cero absoluto. Estas vibraciones provocan
disturbios en el potencial peridico de la red y la energa permitida es
transferida entre los portadores y la retcula. Como la vibracin de la red se
incrementa cuando la temperatura se incrementada, la dispersin por la red
llega a ser dominante a temperaturas altas; por lo que la movilidad decrece
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cuando la temperatura se incrementa. Un anlisis terico muestra que la
movilidad debido a la dispersin por red L decrecer en proporcin a 23T .
La dispersin por impurezas resulta cuando un portador de carga viaja cerca
de una impureza dopante (donador o aceptor). La trayectoria de los
portadores de carga ser deflectada por la interaccin las fuerzas de
Coulomb. La probabilidad de la dispersin por impurezas depende de la
concentracin total de impurezas ionizadas, esto es, la suma de la
concentracin de cargas negativas y positivas. Por lo que, a diferencia de la
dispersin por red, la dispersin por impurezas llega a ser insignificante a
altas temperaturas. A altas temperaturas, los portadores de carga se
mueven ms rpido; ellos pasan cerca del tomo de impureza por un tiempo
corto y son entonces menos efectivamente dispersados. Puede ser mostrado
tericamente que la movilidad debido a la dispersin por impurezas I vara
como TNT23 , donde TN es la concentracin total de impurezas.
La probabilidad de que una colisin tome lugar por unidad de tiempo es, c1 ,
que es la suma de las probabilidades de colisin debido a los varios
mecanismos de dispersin:
impurezacredcc ,,
111
(39)
IL
111 (40)
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EJEMPLO
Calcular el tiempo medio libre de un electrn que tiene una movilidad de
1000 sVcm 2 a 300 K; tambin calcular la trayectoria media libre. Asuma
que 026.0 mmn en estos clculos.
SOLUCIN De la Ec. 36, el tiempo medio libre est dado por
Cx
sVmxxkgxx
q
m nnc 19
2430
106.1
)101000()1091.026.0(
pssx 148.01048.1 13
La trayectoria media libre est dada por
)1048.11048.1)(10( 6137 cmxsxscmvl cth
nm8.14
Resistividad y Conductividad
Ahora consideraremos la conduccin en un material semiconductor
homogneo. La Fig. 25a muestra un semiconductor tipo n y su diagrama de
bandas de energa en equilibrio trmico. La Fig. 25b muestra el diagrama de
bandas correspondiente cuando un voltaje de polarizacin es aplicado en la
terminal derecha. Asumimos que los contactos de las terminales izquierda y
derecha son hmicos, esto es, hay una insignificante cada de voltaje en cada
uno de los contactos. Hemos mencionado previamente que cuando un campo
elctrico es aplicado a un semiconductor, cada electrn experimentar una
fuerza qE provocada por el campo. La fuerza es igual al menos gradiente
de energa potencial, esto es:
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Fig. 24 Movilidad y difusividad en el Si y el GaAs a 300 K como una funcin de la concentracin de impurezas.
qE -(gradiente de energa potencial del electrn)dx
dEC (41)
Hay que recordar que ya se ha establecido previamente que la parte baja de
la banda de conduccin CE corresponde a la energa potencial de un
electrn. Como estamos interesados en el gradiente de la energa potencial,
podemos usar cualquier parte del diagrama de bandas que sea paralela a CE
(por ejemplo, viF oEEE ,, , como se muestra en la Fig. 25b). Es conveniente
usar el nivel intrnseco de Fermi iE porque usaremos iE cuando
consideremos una unin np en siguiente captulo. Por lo tanto de la Ec. 41
tenemos
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Fig. 25 Proceso de conduccin en un semiconductor tipo n. ( a ) En equilibrio trmico y (b ) Bajo condicin de voltaje
dx
dE
qdx
dE
qE iC
11 (42)
Podemos definir una cantidad relativa como el potencial electrosttico
cuyo gradiente negativo es igual al campo elctrico:
dx
dE
(43)
Comparando Ecs. 42 y 43 tenemos
q
Ei (44)
la cual proporciona una relacin entre el potencial electrosttico y la energa
potencial de un electrn. Para un semiconductor homogneo como se
muestra en la Fig. 25b, la energa potencial iE decrece linealmente con la
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distancia; mientras que el campo elctrico es una constante en la direccin
de x negativa. Cuya magnitud es igual al voltaje aplicado dividido por la
longitud de la muestra.
Los electrones en la banda de conduccin se mueven hacia el lado derecho
como se observa en la Fig. 25b. La energa cintica corresponde a la
distancia desde el perfil de la banda (es decir, CE para los electrones).
Cuando un electrn sufre una colisin, pierde algo o toda su energa cintica
en la red hasta caer a su posicin de equilibrio trmica. Despus de que el
electrn ha perdido algo o toda su energa cintica, empezar otra vez a
moverse hacia la derecha, y el mismo proceso ser repetido muchas veces.
La conduccin por huecos puede ser visualizada de manera similar pero en
direccin opuesta.
El transporte de portadores de carga bajo la influencia de un campo elctrico
produce una corriente llamada corriente de arrastre. Consideremos una
muestra de semiconductor mostrada en la Fig. 26, la cual tiene una seccin
transversal de rea A , una longitud L y una concentracin de n
electrones 3cm . Supongamos que ahora aplicamos un campo elctrico E a la
muestra. La densidad de corriente nJ que fluye en la muestra puede ser
encontrada por la sumatoria del producto de la carga )( q de cada electrn
por su velocidad sobre todos los electrones por unidad de volumen n :
EqnqnvqvA
IJ nn
n
i
i
n
n 1
)( (45)
donde nI es la corriente debida a los electrones. Hemos empleado la Ec. 37
por la relacin entre nv y E .
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Un argumento similar se aplica a los huecos. Por lo ya hablado la carga de
los huecos es positiva, por lo que tenemos
EqpqpvJ ppp (46)
La corriente total que fluye en la muestra semiconductora debido al campo
elctrico aplicado E puede ser escrita como la suma de las componentes de
corriente de electrones y huecos:
EqpqnjJJ pnpn )( (47)
La cantidad en parntesis es conocida como conductividad:
)( pn pnq (48)
Las contribuciones de los electrones y huecos a la conductividad son
simplemente aditivas.
Fig. 26 Corriente de conduccin en una barra semiconductora uniformemente dopada con longitud L y con rea de
seccin transversal A.
La resistividad correspondiente del semiconductor, la cual es el recproco de
, est dada por
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pn pnq
11
(49)
Generalmente, en un semiconductor extrnseco, slo uno de los componentes
en la Ec. 47 o 48 es significativo porque la diferencia en magnitud es de
varios rdenes entre las dos densidades de portadores de carga. Es por esto
que la Ec. 49 se reduce a
nqn
1 (50)
para un semiconductor tipo n (donde n >> p ), y
pqp
1 (51b)
Para un semiconductor tipo p (donde p >> n )
Difusin de portadores de carga
Proceso de difusin
En la seccin precedente, consideramos la corriente de arrastre, esto es, el
transporte de portadores de carga cuando es aplicado un campo elctrico.
Otra componente importante de la corriente puede existir si hay una
variacin espacial
de la concentracin de portadores en el material semiconductor. El proceso
de difusin es la tendencia de los portadores de carga de moverse desde una
regin de alta concentracin a una regin de baja concentracin. Esta
componente de la corriente es llamada corriente de difusin.
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Para entender el proceso de difusin, debemos asumir una densidad de
Fig. 27 Concentracin de electrones versus distancia; l es la trayectoria media libre. La direccin de los electrones
y de la corriente fluyen como es indicados por las flechas.
electrones que vara en la direccin x , como se muestra en la Fig. 27. El
semiconductor est a temperatura uniforme, tal que el promedio de energa
trmica de los electrones no vara con x , solamente vara la densidad )(xn .
Consideremos el nmero de electrones que cruza el plano 0x por unidad de
tiempo y por unidad de rea. Debido a que a temperatura es finita, los
electrones tienen movimiento trmico aleatorio con una velocidad trmica thv
y una trayectoria media libre l (note que cthvl , donde c es tiempo medio
libre). Los electrones en lx , una de las trayectorias medias libres del lado
izquierdo, tienen la misma oportunidad de moverse hacia la derecha o hacia
la izquierda; y en un tiempo medio libre c , la mitad de ellos se movern a
travs del plano 0x . El porcentaje promedio de flujo de electrones por
unidad de rea 1F que cruza el plano 0x desde la izquierda es entonces
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th
c
vln
lln
F )(2
1)(
2
1
1
(52)
Similarmente, el porcentaje promedio de electrones que fluyen por unidad de
rea 2F en lx que cruzan el plano 0x desde la derecha es
thvlnF 2
12 (53)
El porcentaje neto de portadores de carga que fluyen de izquierda a derecha
es
.)()(2
121 lnlnvFFF th . (54)
Aproximando las densidades en lx a los dos primeros trminos de la serie
de Taylor, obtenemos
dx
dnln
dx
dnlnvF
th
)0()0(2
1
dx
dnD
dx
dnlv nth , (55)
donde lvD thn es llamado coeficiente de difusin o tambin llamada
difusividad. Ya que cada electrn porta una carga de q , el flujo de
portadores da como resultado la densidad de corriente
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dx
dnqDqFJ nn , (56)
La corriente de difusin es proporcional a la derivada de la densidad de
electrones. La corriente de difusin resulta del movimiento trmico aleatorio
de los portadores de carga de un gradiente de concentracin. Para una
densidad de electrones que crece con x , el gradiente es positivo, y los
electrones