FÍSICA IGRADO
Ingeniería Mecánica
Prof. Norge Cruz Hernández
Tema 4. Dinámica de los sistemas de partículas. Sólido rígido.
Tema 4. Dinámica de los sistemas de partículas. Sólido rígido. (6h)
4.1 Introducción.
4.2 Concepto de Sólido Rígido.
4.3 Cinemática del Sólido Rígido.
4.4 Centro de masas. Cálculo del centro de masas.
4.5 Ecuación fundamental de la traslación de un sólido rígido.
4.6 Momento lineal de un sistema de partículas. Aplicación al Sólido Rígido.
4.7 Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje.
Tema 4. Dinámica de los sistemas de partículas. Sólido rígido.
4.8 Momento angular de un sistema de partículas: Sólido Rígido. Momento de Inercia.
4.9 Propiedades y cálculo del Momento de inercia.
4.10 Ecuación fundamental de la rotación de un Sólido Rígido.
4.11 Reacciones en los soportes y conexiones de un Sólido Rígido.
4.12 Caso particular: Estática. Condiciones de equilibrio.
4.13 Energía cinética de un Sólido Rígido.
4.14 Teorema de conservación de la Energía mecánica de un Sólido Rígido.
BibliografíaClases de teoría:- Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman ISBN: 970-26-0511-3, Ed. 9 y 11.- Mecánica Vectorial para Ingenieros. Vol. 1 y 2. Beer y Johnston. McGraw-Hill, Madrid, 1998.
Clases de problemas:-Problemas de Física General, I. E. Irodov- Problemas de Física, Burbano, Burbano, Gracia.- Problemas de Física General, V. Volkenshtein - Problemas de Física, S. Kósel- Problemas seleccionados de la Física Elemental, B. B. Bújovtsev, V.
D. Krívchenkov, G. Ya. Miákishev, I. M. Saráeva.
Libros de consulta:- Resolución de problemas de física, V.M. Kirílov.
4.4 Centro de masas. Cálculo del centro de masas.
Supongamos que tenemos varios puntos con masas m1, m2, m3, .. mn que se encuentran en las posiciones r1, r2, r3, … rn. El centro de masa de este sistema de partículas se define como el vector:
ni
ii
ni
iii
CM
m
rmR
1
1
La velocidad del centro de masa se calcula derivando con respecto al tiempo:
ni
ii
ni
iii
CM
m
vmV
1
1
Calcular el centro de masas del siguiente sistema de partículas.
ni
ii
ni
iii
CM
m
rmR
1
1
2
1
2
1
ˆ
k
kk
k
kkk
CM
m
ixmR
imm
xmxmRCM ˆ
21
2211
21
22
mm
xmxCM
Calcular el centro de masas de una barra homogénea de longitud a.
ni
ii
ni
iii
CM
m
rmR
1
1
im
xmR nk
kk
nk
kkk
CMˆ
1
1
nk
kk
nk
kkk
CM
m
xmx
1
1
a
m dxdm
a
a
CM
dx
dxx
x
0
0
a
axCM
2
21
axCM 2
1
Calcular el centro de masas de dos cuerpos que sus centros de masas se encuentran separados a la distancia a.
O
z
x
y
vercmR
rojcmR
ni
ii
ni
iii
CM
m
rmR
1
1
rojver
rojver
ni
iroji
ni
iveri
ni
irojiroji
ni
iveriveri
CM
mm
rmrmR
11
11
O
z
x
y
vercmR
rojcmR
rojver
rojver
ni
iroji
ni
iveri
ni
irojiroji
ni
iveriveri
CM
mm
rmrmR
11
11
rojver
ni
irojiroji
ni
iveriveri
CM mm
rmrmR
rojver
11
rojni
irojiroji
rojcmroj rmRm
1
verni
iveriveri
vercmver rmRm
1
rojver
rojcmroj
vercmver
CM mm
RmRmR
La velocidad del centro de masa se calcula derivando con respecto al tiempo:
ni
ii
ni
iii
CM
m
vmV
1
1
ni
iiCMCM ppVM
1
derivamos en ambos miembros
ni
iiiCM amaM
1
ni
iiCM FaM
1
El movimiento del centro de masas puede ser estudiado como el resultado de la resultante de todas las fuerzas externas aplicadas al sistema de partículas.
ni
iiextCM FaM
1
Fuerzas equivalentes: Dos fuerzas que producen el mismo efecto sobre un sólido rígido, se dice que son fuerzas equivalentes.
Principio de transmisibilidad: Si una fuerza F aplicada en un punto de un sólido se sustituye por otra fuerza F´ de igual módulo, dirección, sentido y línea de acción pero distinto punto de aplicación, las condiciones de equilibrio o movimiento del sólido en cuestión se mantendrán inalteradas. F y F´ serán fuerzas mecánicamente equivalentes.
Vectores deslizantes
4.7 Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje.
Según el principio de transmisibilidad, que se deduce del estudio de la dinámica del sólido rígido, la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción.
x
y
O
r
P
F
F
||F Fr
momento de fuerza
),sin( FrFr
)sin( Fr
)sin( rF
r
lF
l
brazo de la fuerza
Reformulación del principio de transmisibilidad:
Dos fuerzas son mecánicamente equivalentes, sí y sólo si son iguales (mismo módulo, dirección y sentido) y además sus momentos con respecto a un punto O son también iguales.
FF
,equivalentes
FF
OO
Teorema de VarignonDado un sistema de fuerzas concurrentes:
nFFFR
...21
nR ...21
Momento de un par
x
z
OA
y
F
F
FF
R
R
La aplicación de estas fuerzas no produce traslación del cuerpo, solamente producirá rotación.
FRFR
FRFR
FRR
sinFRR
sinRRd
d
brazo del par
momento del par
El momento del par no depende del origen O, solamente de la posición relativa de los puntos de aplicación. Para cualquier otro punto de referencia el momento del par es el mismo.
Dos pares de fuerzas tienen el mismo momento si tienen el mismo valor Fd y están el mismo plano ó en planos paralelos. Además, también deben tener el mismo sentido de giro.
Los pares de fuerzas con el mimo momento son pares mecánicamente equivalentes.
pares mecánicamente equivalentes
Descomposición de una fuerza en una fuerza en otro punto cualquiera y un par.
Se les llama sistema fuerza-par y por convenio se considera aplicado en el punto O.
El sistema fuerza-par se puede trasladar a otro punto.
FrO
FrsO
OO Fs
Multiplicamos a ambos lados por el vector: ss
s
s
s
sOO
El campo de momentos con respecto a los distintos puntos del espacio es equiproyectivo.
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