UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
SEGUNDA
PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL
INFORME
CURSO : FÍSICA III
RESPONSABLE : JUAN CARLOS VILCA TISNADO
ASESOR : ING. CARLOS ALEJANDRO CACERES VARGAS
PUNO - PERU
2010
Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura
Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas
Informe No -2010-UNA-FICA
Al : Lic. Juan Carlos Benavides HuancaDirector de la Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas
De : Ing. Carlos Alejandro Caceres VargasAsunto : Informe de prácticas Pre-Profesionales.Fecha : Puno, 01 de Marzo del 2010
Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas realizadas por el estudiante JuanCarlos Vilca Tisnado, el cual detallo a continuación:
1. Mediante el MEMORANDO No -050-2009-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 4 de Marzo del2009, se me asigna al estudiante Juan Carlos Vilca Tisnado para que realice las prácticaspre-profesionales en la asignatura de FÍSICA III a mi cargo.
2. El estudiante realizo la practica pre-profesional a partir del 6 de Marzo del 2009 al 14 deJunio de 2009, por 02 horas semanales; acumulando un total de 30 horas académicas, queconsistió en desarrollar la parte practica de la asignatura de FÍSICA III, correspondiente al IIsemestre de la E.P. Ingeniería Electrónica.
3. Durante la realización de la practica pre-profesional el estudiante en mención, demostrómucha responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparación de sus sesiones,como durante su desenvolviésemos ante los estudiantes, y demás tareas asignadas.
4. Concluida la practica pre-profesional, el estudiante alcanzo los objetivos establecidos, sien-do así, solicito a Ud. Señor Director realizar los trámites necesarios para la expedición de larespectiva Resolución.
Es cuanto puedo informar a Ud. Señor Director para los fines consiguientes.
———————————————-Ing. Carlos Alejandro Caceres Vargas
CIP 72725
Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura
Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas
Informe No -2010-UNA-FICA
Al : Ing. Carlos Alejandro Caceres VargasDe : Juan Carlos Vilca TisnadoAsunto : Informe de prácticas Pre-Profesionales.Fecha : Puno, 26 de Febrero del 2010
Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas que realice, el cual detallo acontinuación:
1. Mediante el MEMORANDO No -050-200-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 4 de marzo del 2009,se me asigna como asesor para que realice las prácticas pre-profesionales en la asignaturade Física III a su cargo.
2. La realización de la practica pre-profesional fue en el escuela profesional de ingeniería Elec-trónica en la asignatura de Física III.
3. Los detalles de la practica pre-profesional se encuentran en la documentación adjunta a esteinforme.
Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.
————————————–Juan Carlos Vilca Tisnado
Código:022737
Presentación
Estas notas se originan por las prácticas pre-profesionales realizada enla escuela profesional de ingeniería electrónica de la Universidad AndinaNéstor Cáceres Velasquez del semestre académico 2009-I en la asignaturade Física III.
En el capitulo 1 muestro los datos de la institución donde realizo mis prác-ticas pre-profesionales, como también los datos de la asignatura desarrol-lado.
En el capitulo 2 y capitulo 3 muestro la justificación de mis prácticas pre-profesionales como también los objetivos.
En el capitulo 4 al capitulo 10 muestro los ejercicios resueltos en clases decada sección desarrollado.
En el capitulo 11 muestro la metodología que aplico en el desarrollo de misprácticas pre-profesionales.
En el capitulo 13, muestro la lista de estudiantes , como también la lista deasistencia.
Espero que este informe sirva como referencia para consultas sobre lostemas desarrollados.
♣ JUAN CARLOS VILCA TISNADO.
I
Índice general
Presentación I
Índice general II
1. Datos generales 11.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Datos de la Institución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Justificación 2
3. Objetivos 43.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Fuerza eléctrica 54.1. Carga puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4. Fuerza para una distribución discreta de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5. Fuerza para una distribución continua de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5. Campo eléctrico 185.1. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3. Campo eléctrico debido a una distribución discreta de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4. Campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5. Flujo del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.6. Flujo debido a una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II
ÍNDICE GENERAL III
5.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6. Potencial eléctrico 336.1. Potencial eléctrico en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2. Definición de voltio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3. Potencial eléctrico debido a una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4. Potencial debido a cargas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5. Potencial debido a una distribución continua de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6. Relación entre el potencial y el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7. Condensadores 467.1. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2. Condensadores de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3. Condensador cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4. Condensador esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.5. Asociación de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.5.1. Condensadores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.5.2. Condensadores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.6. Energía almacenada en un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8. Corriente eléctrico 638.1. La corriente (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.1.1. La densidad de corriente (~J ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2. Resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3. Resistividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.4. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.5. Conductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.6. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.7. Potenciómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.8. Resistencia en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.9. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10. Ley de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.10.1. Red eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10.2. Nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10.3. Malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.10.4. 1ra Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.10.5. 2da Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9. Campo magnético 879.1. Campo magnético o densidad de flujo de magnético (~B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.3. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.4. Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.5. Ley de Biot - Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Fisica III
ÍNDICE GENERAL IV
10.Inducción electromagnética 9610.1. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.2. Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.3. Autoinduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.4. Energía del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.Metodología 10311.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.2. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.Cronograma de Actividades 10412.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10412.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.Relación de Estudiantes y Asistencias 10513.1. Relación de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10513.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Bibliografía 107
Fisica III
CAPÍTULO 1
Datos generales
1.1. Datos Personales
Alumno Practicante : Juan Carlos Vilca TisnadoAsesor : Ing. Carlos Alejandro Caceres VargasAsignatura : Física IIIDuración : 30 horas
1.2. Datos de la Institución
Lugar : PunoInstitución : Universidad Andina Néstor Cáceres VelasquezEscuela Profesional : Ingeniería Electrónica
1.3. Datos de la Asignatura
Asignatura : Física IIINumero de Horas : 4T. (Teoría) + 2P. (prácticas) = 6 HorasAño Académico : 2009 - ISemestre : IIArea Curricular : GeneralCondición : Flexible
1
CAPÍTULO 2
Justificación
La practica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. de Cien-cias Físico Matemáticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social y de-sarrollo.
La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempeño do-cente, mediante la aplicación de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas desar-rolladas en la E.P. de Ciencias Físico Matemáticas.
La practica pre-profesional tiene sustento:
1ro En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias Físico Matemáticas 2001-2006en los reglamentos específicos que habla de las prácticas pre-profesionales en sus artículos40-48 señalan:
Art. 40
El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaciónde prácticas pre-profesionales en la formación de todos los estudiantes de la universidad.
Art. 41
Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas están obligados a realizarprácticas pre-profesionales pudiendo efectuarse después de haber logrado un mínimo de170 créditos.
Art. 42
Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas seránprácticas productivas y prácticas de investigación.
Art. 43
Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros de enseñanza denivel medio superior y universidades; prácticas en centros productivos, convenio, proyectos
2
2. Justificación 3
y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos.
Art. 44
Las prácticas de investigación se realizan en la U.N.A. bajo la dirección de un profesor des-ignado específicamente con este fin.
Art. 45
Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de un semestre académico.
Art. 46
Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas productivas y/o de investi-gación presentaran el informe a la institución donde se realizo y esta a su vez informarade su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remitirá a la comisión de prácticas preprofesionales para su aprobación o desaprobación.
Art. 47
En el caso de que la practica productiva y/o prácticas de investigación se realice en la Uni-versidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo, este asu vez informara su desarrollo a la Dirección de la Carrera para el visto bueno de la comisiónde prácticas Pre-profesionales.
Art. 48
Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos por la Comisiónde prácticas pre profesionales.
2do En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen académico y administrativo en su capit-ulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su articulo122 que señala:
Art. 122
La actividad académica en una Escuela Profesional comprende:
Formación general.
Formación básica profesional.
Formación profesional.
Investigación.
Orientación profesional.
Proyección y extension universitaria
Su diseño involucra la programación curricular teórico-practica de cada asignatura; proyec-tos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades deproyección y extension universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales. Concor.: Arts.10,12, 16 y ss. Ley 23733
Fisica III
CAPÍTULO 3
Objetivos
3.1. Objetivos Generales
Las prácticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en práctica los conocimientosadquiridos plasmándolo en la enseñanza universitaria.
3.2. Objetivos Específicos
Los objetivos específicos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignaturadesignada son:
Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria.
Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la práctica pre-profesional.
Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan.
Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.
4
CAPÍTULO 4
Fuerza eléctrica
4.1. Carga puntuales
Son aquellas cuyas dimensiones espaciales son muy pequeñas en comparación con cualquierotra longitud pertinente al problema en consideración.
4.2. Ley de Coulomb
La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e in-versamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas y su dirección es según la rectaque las une:
~F = K
qq ′
r 2
r
4.3. Principio de superposición
La fuerza existente entre dos cargas, no se modifica por la presencia de una tercera carga.
4.4. Fuerza para una distribución discreta de cargas
Si se tiene mas de dos cargas puntuales, la fuerza mutua, se determina aplicando el principiode superposición
5
4. Fuerza eléctrica 6
~F = K qo
n∑
i=1
qi
r 2i
ri
4.5. Fuerza para una distribución continua de carga
En este caso, se tiene que tomar un diferencial de carga de Q , hallar la fuerza entre esta y lacarga qo y después integrando:
~F = K qo
∫ Q
0
dQ
r 2
r
4.6. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO4. 1 En la figura se lanza una partícula de carga q y masa m en una trayectoria per-pendicular dirigida hacia el centro O de la linea que une dos partículas de cargas Q y masas mo
(mo >>m ) separados una distancia d = 4p
2. ¿A que distancia de O la fuerza sobre q es maxima?
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 7
SOLUCIÓN
Representando la partícula de masa m y carga eléctrica q
En la figura la magnitud de la fuerza eléctrica resulta sobre la carga q es:
F = 2kqq
(x 2+8)cosθ
F = 2kqQx
(x 2+8)3/2
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 8
Derivando esta expresión respecto de x , e igualando a cero, obtenemos:
d F
d x=
2kqQ
(x 2+8)5/2(8−2x 2) = 0
8−2x 2 = 0
x = 2m
EJERCICIO NO4. 2 En la figura el anillo de radio R = 30c m , masa densidad lineal de carga uniformeλ= 4×10−8C/m , esta en equilibrio en un plano horizontal, en la presencia de la esférica cargadaque se halla a una distancia d = 40c m del centro del anillo. Hallar la carga eléctrica de la esfera(k = 9×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
En la figura la fuerza eléctrica debido a los dos diferenciales de carga d q , sobre la esfera de cargaQ , esta dirigida verticalmente hacia abajo, y su magnitud es:
d FR = 2d F cosθ
d FR = 2kQd q
(d 2+R2)d
(d 2+R2)1/2
Tomemos dos diferenciales de carga d q simétricos respecto del centro del anillo.
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 9
Luego, la magnitud de la fuerza eléctrica resultante sobre la esfera cargada es:
FR =2kλQRd
(d 2+R2)3/2
∫ π
0
dθ
FR =2πλQRd
4πεo(d 2+R2)3/2
Como el anillo esta en equilibrio por la tercera ley de Newton esta fuerza eléctrica, debe ser igualal peso del anillo, esto es:
2πλQRd
4πεo(d 2+R2)3/2= m g
Q =4πεom g (d 2+R2)3/2
2πλRd
Q =(4×10−3)(10)[(4×10−1)+ (3×10−1)2]3/2
(2π)(9×109)(4×10−8)(3×10−1)(4×10−1)Q = 1,84×10−6C
EJERCICIO NO4. 3 En la figura, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre losfilamentos metálicos muy finos de longitud a = 10c m y 2a = 20c m , y densidad de carga lineal yuniforme λ= 2×10−5C/m (k = 9×109N m 2/C 2usar log)
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 10
SOLUCIÓN
Tomemos un diferencial de carga d q de longitud d y en el filamento vertical cargado negativa-mente.
En la figura la magnitud de la fuerza eléctrica sobre el diferencial de carga d q , debido al campoeléctrico creado por el filamento horizontal cargado es:
d F = E d q
d F =
λa
2πεoyp
y 2+a 2
!
(λd y )
F =λ2a
2πεo
∫ 2a
a
d y
yp
y 2+a 2
F =λ2a
2πεo
−1
alog
a +p
y 2+a 2
y
!
2a
a
F = −(2)(9×109)(2×10−5)2 log
1+p
5
2(1+p
2)
F = −1, 25N
EJERCICIO NO4. 4 En la figura, en el tubo horizontal de longitud l = 10c m se halla una bola concarga de Q = +6µC , y en sus extremos esferas fijas de cargas q1 = +9µC , q2 = +4µC . Hallar laposición de equilibrio de la bola.
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 11
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas que actúan sobre la carga puntual Q
En la figura como la bola de carga eléctrica Q se encuentra en equilibrio, se cumple que:
F1 = F2
kq1Q
(l −x )2= k
q2Q
x 2
q1
q2=
l
x−1
2
⇒l
x= 1+
p
q1/q2
x =p
q2p
q1+p
q2l =
p
4µÆ
9µ+p
4µ(25)
x = 10c m
EJERCICIO NO4. 5 En la figura , la esfera de masa m = 90g y carga eléctrica q se encuentra en equi-librio en la posición mostrada. La otra esferilla de carga 3q se encuentra fijo, el radio del casquete,dielectrico y liso, es R = 10c m . Hallar el valor de la carga q (g = 10m/s 2)
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas que actúan sobre la esferilla de la izquierda.
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 12
Con la normal (N ), fuerza eléctrica (F ) y peso (m g ) formemos el triángulo de fuerzas.
En la figura como a ángulos iguales le corresponden lados opuestos iguales, se cumples que:
F =m g
F = (90×10−3)(10) (1)
De otro lado, la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre las cargas q y 3q es:
F = k(q )(3q )(2R cosθ )2
F = 9q 21011 (2)
Igualando (1) con (2), obtenemos:9q 21011 = (90×10−3)
q = 10−6C
EJERCICIO NO4. 6 En la figura, Hallar el modulo de la fuerza eléctrica ejercida por un alambremuy fino de forma semicircular de radio R = 40c m y densidad de carga lineal uniforme λ =2 × 10−7C/m , sobre una carga puntual q = 6µC , ubicado en su centro de curvatura (k = 9 ×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
Representemos los campos eléctricos en el centro del anillo creado por dos diferenciales de cargasd q , tomados simétricamente en el anillo.
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 13
En la figura la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q , debido a los diferen-ciales de carga d q , ubicados simétricamente es:
d FR = qd FR
d FR = q (2d E cosθ )
FR = q
2kλRdθ
R2cosθ
F R =2kλq
R
∫ π/2
0
cosθdθ
FR =2kλq
R(sen)|π/20
FR =2kλq
R
Reemplazando datos:
FR =(2)(9×109)(2×10−7)(6×10−6)
(4×10−1)
FR = 54×10−3N
EJERCICIO NO4. 7 Un cubo de arista a = 3c m tiene una carga q = 2µC , en cada uno de sus vertices.Hallar la magnitud de la fuerza resultante en cualquier de uno de sus vertices k = 9×109N m 2/C 2
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas eléctricas que actúan sobre la carga ubicada en el vértice F debido alas otras cargas.
En la figura la expresión vectorial de cada una de las fuerzas representadas es:
~Fa = kq 2
2p
2a 2(i + j ); ~FB = k
q 2
a 2(i )
~FC = kq 2
3p
3a 3(i + j + k )
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 14
~FD = kq 2
2p
2a 2(i + k ); ~FE = k
q 2
a 2( j )
~FG = kq 2
2p
2a 2( j + k ); ~FH = k
q 2
a 2(k )
Luego la fuerza resultante y su magnitud sobre la carga ubicada en el vértice F son:
~F = ~FA + ~FB + ~FC + ~FD + ~FE + ~FG + ~FH
~F =q 2
4πεo
1+1p
2+
1
3p
3
(i + j + k )
F =p
3q 2
4πεoa 2
1+1p
2+
1
3p
3
F =p
3(9×109)(4×10−12)9×10−4
1+1p
2+
1
3p
3
F = 131,6N
EJERCICIO NO4. 8 Dos bolas de igual carga y masas de m = 180g , se suspenden de un mismo puntopor medio de hilos de longitud l = 20c m , separándose y formando entre los hilos un ángulo recto.Hallar el valor de la cargas de las bolas (g = 10m/s 2, k = 9×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
Las fuerzas que actúan sobre las bolas son. sus peso (W), la fuerza eléctrica (FE ), y la tension delos hilos (T), como muestra la figura.
En la figura como d = 2l senθ , la magnitud de la fuerza eléctrica entre las esferitas es:
FE =q 2
16πεol 2
1
sen2θ
sustituyendo FE en el triángulo de fuerzas tanθ = FE/m g y teniendo en cuenta que: θ = π/4obtenemos la carga q así:
tanθ =q 2
16πεom g l 2 sen2θ
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 15
q = (8πεol 2m g )1/2
q =
(2)(4×10−2)(180×10−3)(10)9×109
1/2
q = 4µC
EJERCICIO NO4. 9 En la figura, las cargas iguales a q = +2× 10−10C están unidas por ligas de lon-gitud normal L = 10c m , constante k = 900N /m y sabiendo que d << L. Hallar la distancia deseparación (d )(k = 9×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas que actúan sobre las cargas.
En la figura por condición de equilibrio, la fuerza de interacción eléctrica (FE ) entre las cargasq , debe ser igual a la componente vertical de las fuerza de recuperación de Hooke, es decir:
FE = 2Ty
FE = 2k∆x senθ (1)
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 16
La magnitud de la fuerza eléctrica y la deformación que experimenta los hilos son:
FE =1
4πεo
q 2
d 2(2)
∆x = [l 2+(d /2)2]1/2 (3)
siendo l la longitud de los hilos y d la distancia de separación de las esferitas cargadas.De otro lado de la figura se tiene que:
senθ =d /2
p
l 2+(d /2)2(4)
Luego, reemplazando (2), (3), (4) en (1) y operando se tiene:
1
4πεo
q 2
d 2= k d
1−1
(1+(d /2l )2)1/2
Como d << l , entonces (d /2l )2 → 0, así, usando la aproximación, (1+ z )n ≈ 1nz en la ecuaciónanterior, obtenemos la distancia d
q 2
4πεod 2=
k d 3
8l 2
d =
8q 2l 2/k 4πεo
1/5
d =
(8)(9×109)(2×10−10)(10−1)2/9×1021/5
d =
25×10−151/5
d = 0,2c m
EJERCICIO NO4. 10 En la figura siete cargas idénticas q =+4µC están mediadas iguales hilos elás-ticos Después de dejar las cargas libres, las longitudes de los hilos de l = 30c m Hallar la tensionde cada hilo (k = 9×109N m 2/C 2, e = 1,602×10−19C )
Fisica III
4. Fuerza eléctrica 17
SOLUCIÓN
Representemos todas las fuerzas que actúan sobre la carga ubicada en el vértice 6, del hexágonoregular de lado L.
Para que la carga 6 se encuentre en equilibrio, la suma de las componentes verticales de lastensiones de los hilos, deberá ser igual a la suma de las componentes verticales de las fuerzas, estoes:
2TY = F1,Y + F2,Y + F3,Y + F4,Y + F5,Y + F7,Y
donde TY son las componentes verticales de las tensiones en los hilos y Fi , Y son las componentesverticales de las fuerzas eléctricas ejercidas sobre la carga 6.
Reemplazando la forma de estas componentes, se tiene:
2T cos 30o =q 2
4πεo L2
0+1
6+p
3
8+
1
3+p
3
2+p
3
2
T =q 2
8πεo L2
9
4+p
3
3
T = 2, 26N
Fisica III
CAPÍTULO 5
Campo eléctrico
5.1. Campo eléctrico
Es un vector, sirve para describir un sistema de cargas.Sea una carga Q y a una distancia r , queremos hallar el valor del campo eléctrico en P
se define el campo eléctrico en P:
~Ep = lımqo→0
KQ
r 2r =
KQ
r 2r
5.2. Principio de superposición
También para el ~E se cumple el principio de superposición, es decir el campo eléctrico en unpunto debido a una carga, su valor no se altera por la presencia de otra carga vecina que se sumao se superpone al valor inicial.
5.3. Campo eléctrico debido a una distribución discreta de carga
Se tiene un conjunto de cargas discretas q1, q2, . . . queremos hallar el campo eléctrico en elpunto P. que están situado a una distribución r1, r2, . . . de las cargas dadas
18
5. Campo eléctrico 19
~E = Kn∑
i=1
qi
r 2i
ri
5.4. Campo eléctrico debido a una distribución continua de car-gas
Sea una carga Q distribuida sobre un cuerpo y queremos hallar el campo eléctrico a una dis-tancia de la carga en el punto P
~E = K
∫ Q
0
dQ
r 2r
Fisica III
5. Campo eléctrico 20
5.5. Flujo del campo eléctrico
El flujo total a través de la superficie cerrada S sera:
φ =n∑
i=1
~e ·∆~Si
φ =
∫
S
~E d ~S
5.6. Flujo debido a una carga puntual
Queremos hallar el numero de líneas que salen o llegan a una carga puntual.
dφ = ~E ·d ~S
φ =q
εo
El flujo es independiente del radio de la esfera.
5.7. Ley de Gauss
El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada S es proporcional a la carga neta encer-rada
∮
S
~E ·d ~a =q
εo
Siendo εo la constante de proporcionalidad la permitividad del vació
Fisica III
5. Campo eléctrico 21
5.8. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO5. 1 En la figura el electron de carga q = −1,6× 10−19C y masa m = 9,1× 10−31k g selanza vertical mente hacia arriba con rapidez inicial vo = 4m/s , en presencia del campo eléctricode magnitud E = 5×10−11N /C . Hallar el tiempo que demora en regresar al punto de partida.
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas que actúan sobre la carga q , cuando sube y baja, respectivamente:
En la figura cuando la carga sube la velocidad y la aceleración están en sentidos opuestos, y cuandobaja, tienen el mismo sentido, la magnitud de esta aceleración es:
a =m g −q E
m
Sustituyendo en la ecuación de posición la aceleración a y teniendo en cuenta que cuando elcuerpo llega al pido y = 0, obtenemos el tiempo así:
y = vot −1
2a t 2
0 = vot −1
2
m g −q E
m
t 2
t =2m vo
m g −q E
t =(2)(9,1×10−31)(4)
(9,1×10−31)(10)− (1,6×10−19)(5×10−11)t = 6,6s
Fisica III
5. Campo eléctrico 22
EJERCICIO NO5. 2 En la figura el ascensor sube con aceleración constante de a = 6m/s 2, la esferitatiene masa de m = 40g y carga de q = 6× 10−4C , la magnitud del campo eléctrico homogéneo esE = 800N /C . Hallar el valor del ángulo θ (k = 9×109N m 2/C 2, g = 10m/s 2)
SOLUCIÓN
1)Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera respecto de un observador ubicado en elpiso del ascensor, sistema de referencia no inercial.
2) Para nuestro observador la esferita estará en reposo relativo, este es:
∑
~F = 0
Luego, del triángulo de fuerzas, obtenemos el valor del ángulo θ , así:
Fisica III
5. Campo eléctrico 23
tanθ =q E
m (a + g )
θ = arctan
q E
m (a + g )
θ = arctan
(6×10−4)(800)(40×10−3)(6+10)
θ = 37o
EJERCICIO NO5. 3 En la figura en los vertices del triángulo equilátero, de lado a = 3m , se ubica trescargas positivas. Hallar el valor de n sabiendo que la magnitud del campo eléctrico resultante enel baricentro es Eo = 600N /C y q =+10−8C (k = 9×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
Representemos los campos eléctricos creados por cada una de las cargas en el baricentro
Fisica III
5. Campo eléctrico 24
En la figura en la vertical la magnitud del campo eléctrico en el baricentro es:
Eo = E1−2E cos 60o
Eo = E1−E
Eo =
kqn
r 2
−
kq
r 2
Eo = kq
r 2(n −1)
600 = 6×109 10−8
(p
3)3(n −1)
n = 21
EJERCICIO NO5. 4 En la figura en los vertices del trapecio se ubican cargas iguales a q = 1×10−9C .Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto medio de la base del trapecio (a = m , k =9×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
Representemos los campos eléctricos en el P, creados por +q y −q
Fisica III
5. Campo eléctrico 25
En la figura las magnitudes de estos campos eléctricos son:
E+ = kq
2a 2(1+ cosθ )(1)
E− = kq
2a 2(1− cosθ )(2)
Luego como ~E+ y ~E− forman ángulos rectos entonces la magnitud del campo eléctrico resultantees:
E 2 = E 2++E 2
−
E 2 = k 2 q 2
4a 2
1
(1+ cosθ )2+
1
(1− cosθ )2
E =
p2
2k
q
a 2cscθ
p
2 csc2θ −1
E =
p2
2k
q
a 2(2)p
(2)(4)−1
E =p
14kq
a 2
E =p
14(9×109)8×10−8
9×10−2
E = 29,9kN
C
EJERCICIO NO5. 5 En la figura a = 30c m , q = 8× 10−8C θ = 150o, hallar la intensidad del campoeléctrico en el punto P de la circunferencia.
Fisica III
5. Campo eléctrico 26
SOLUCIÓN
Representemos los campos eléctricos creados por cada una de las cargas en el punto medio de labase mayor del trapecio.
En la figura los campos creados por las cargas ubicados en los vertices C y D se anulan entresi, de modo que el campo resultante, sera la suma de las componentes verticales de los camposgenerados por las cargas ubicadas en los vertices A, B es decir:
ER = 2E sen 60o
ER = (2)
kq
a 2
p3
2
ER = (9×109 1×10−9
12)(p
3)
Er = 9p
3N
C
EJERCICIO NO5. 6 En la figura en los extremos de un diámetro de 10c m de longitud que pertenecea la base de un cono de altura 8c m se ubica cargas puntuales de 4× 10−12C cada una. Hallar lamagnitud del campo eléctrico resultante en el vértice del cono (k = 9×109N m 2/C 2)
Fisica III
5. Campo eléctrico 27
SOLUCIÓN
En la figura en el triángulo rectangular tenemos que:
cosα=h
p
a 2+h2
De otro lado, las magnitudes de los campos eléctricos en el vértice P del cono creados por cadauna de las cargas es:
E = kq
a 2+h2
Luego la magnitud del campo eléctrico resultante en el vértice P es:
ER = 2E cosα
ER = 2kqh
(a 2+h2)3/2
ER = (2)(9×109)4×10−12
(6×10−2)2+(8×10−2)23/2
ER = 72N /C
Fisica III
5. Campo eléctrico 28
EJERCICIO NO5. 7 En la figura el plano es infinito y de densidad de carga superficial uniforme σ=2× 10−7C/m 2, si una esferilla de masa m = 16,956g y carga q = 2× 10−5C se halla en equilibrioHallar el ángulo θ
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas que actúan sobre la esferilla, y con estas fuerzas formemos el triángulode fuerzas
Del triángulo rectangular de fuerzas, obtenemos el valor del ángulo así:
Ex =λk
R(senθ )|π/20
Fisica III
5. Campo eléctrico 29
tanθ =qσ
2εom g
tanθ =(2π)(9×109)(2×10−5)(2×10−7)
(16,956×10−3)(10)
θ = arctan
4
3
= 53o
EJERCICIO NO5. 8 En la figura los anillos muy finos idénticos de radio R = 10c m y densidad decarga lineales uniforme λ = 4× 10−10C , se hallan en planos perpendiculares entre si. Hallar lamagnitud del campo eléctrico en el punto P situado a la distancia d = 10c m de los centros de losanillos (k = 9×109N m 2/C 2)
SOLUCIÓN
Representemos los campos eléctricos en el punto P creados por cada una de las espiras cargadas
Fisica III
5. Campo eléctrico 30
En la figura cada anillo crea en el punto P un campo eléctrico de magnitud E y perpendicular entresi de modo que el campo eléctrico resultante en dicho punto es:
ER =p
2E
ER =
p2λRd
2εo(R2+d 2)3/2
ER =
p2λR2
2εo(2R2)3/2
EJERCICIO NO5. 9 Un electron penetra en un condensador de placa paralelas paralelamente a susplacas y a una distancia de 4c m de la placa positiva. ¿Que tiempo demora el electron en llegara una de las placas ? la magnitud del campo eléctrico uniforme entre las placas es E = 500N /C ,me = 9×10−28 g , e =−1,6×10−19C despreciar la gravedad
SOLUCIÓN
Cuando la carga de la partícula es negativa la fuerza y el campo ~E que actúa sobre ella son opuestos,como se aprecia en la figura.
En la dirección del eje Y , el electron se mueve hacia abajo, por lo que, su aceleración es:
a =−e E
me(1)
En la vertical, de la ecuación de posición del electron, obtenemos el tiempo (t ), así:
y = vot︸︷︷︸
0
+1
2a t 2
t = [2y /a ]1/2 (5.1)
Fisica III
5. Campo eléctrico 31
Finalmente de (1) en (5.1), obtenemos el tiempo que tarda el electron en llegar a la placa positiva:
t = [−2m y /e E ]1/2
t =
−(2)(9×10−31)(−4×10−2)(500)(1,6×10−19)
1/2
t = 30×10−9s
EJERCICIO NO5. 10 En la figura se muestra una esfera metálica A de cara q = −8× 10−4C y unaesfera B de caucho. si las dos esferas tienen la misma masa m = 50g , hallar la aceleración a m i n
para la cual las dos esferas están en contacto inminente (E=500N/C)
SOLUCIÓN
Representemos las fuerzas que actúan sobre las esferas A y B.
Aplicando a las esferas metálicas A y B la ecuación fundamental de la dinámica, tenemos:∑
Fx =m a
q ·E −T senθ =m a m i n (1)
T senθ =m a m i n (2)
De (2) y (1), eliminando la tension de la cuerda (T ), obtenemos la aceleración minima, a si:
q E −m a m i n =m a m i n
Fisica III
5. Campo eléctrico 32
a m i n =q E
2m=(8×10−4)(5×102)(2)(50×10−3)
a m i n = 4m
s 2
Fisica III
CAPÍTULO 6
Potencial eléctrico
6.1. Potencial eléctrico en un punto
Se toma el punto P a una gran distancia (∞) de toda carga y el potencial eléctrico Vp a estadistancia seda el valor de cero
VQ −Vp =WpQ
qo
Vp (∞) = 0, VQ =WQ
qo
entonces WQ es el trabajo que debe hacer el agente exterior para mover la carga de prueba qo delinfinito al punto Q .
6.2. Definición de voltio
Para trasladar una carga de un coulomb entre dos puntos cuya diferencia de potencial es deun voltio se requiere trabajo de un Joule
6.3. Potencial eléctrico debido a una carga puntual
Sea una carga puntual Q y dado un punto A, situado a una distancia rA de la carga hallaremosel potencial en A debido a la carga Q
33
6. Potencial eléctrico 34
V (r ) =Q
4πεor
6.4. Potencial debido a cargas discretas
Sea un conjunto de cargas puntuales q1, q2, q3, . . . se quiere hallar el potencial en el punto P.sea r1, r2, r3, . . . las distancias de las cargas qi al punto P
VP = Kn∑
i=1
qi
ri
Fisica III
6. Potencial eléctrico 35
6.5. Potencial debido a una distribución continua de carga
Sea un cuerpo que tiene una distribución de carga y se quiere hallar el potencial en el punto P.
V = K
∫ Q
0
dQ
r
6.6. Relación entre el potencial y el campo eléctrico
A partir del potencial, se puede conocer el campo eléctrico
~E =−
∂
∂ xi +
∂
∂ yj +
∂
∂ zk
V
~E =−∇V
6.7. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO6. 1 En la figura el bloque de 50g de masa y carga q =−50µC se abandona en la posi-ción A dentro de un campo eléctrico homogéneo de magnitud E = 6k V /m . Si no existe fricción,hallar la rapidez del bloque cuando pasa por B, además R = 2m y g = 10m/s 2
Fisica III
6. Potencial eléctrico 36
SOLUCIÓN
El bloque se mueve bajo la acción de dos campos uniformes el eléctrico y el gravitatorio perpen-diculares entre si:
Aplicando el primero de conservación de la energía a los puntos A y B, obtenemos la rapidezen el punto B, así:
E M A = E M B
m g R =q E R +1
2m v 2
(30×10−3)(10)(2) = (−50×10−6)(6×103)(2)+1
2(50×10−3)v 2
v = 4m/s
EJERCICIO NO6. 2 En la figura hallar el potencial en el punto que se halla a la distancia de r = 1c mde radio. Resolver el problema cuando se conoce
La densidad superficial de carga que es igual a 10−11C/m 2(εo = 8,85×10−12)
El potencial de la esfera, que es de 300V
Fisica III
6. Potencial eléctrico 37
SOLUCIÓN
I) Según teoría, el potencial creado por la esfera, a una distancia r (r >R), viene dado por:
V =Q
4πεor(1)
De otra parte la densidad de carga superficial de la esfera es:
σ=Q
4πR2(2)
Eliminando la carga Q entre (1) y (2), obtenemos el potencial en puntos de la esfera así:
V =σR2
εor
V =(10−7)(10−4)
(8,85×10−12)(10−1)V = 11,3Vol t ios
II) Em este caso, como se conoce el potencial de la esfera, que lo denominaremos Vo entoncesde la ecu. (1), la carga de la esfera es:
Q = 4πεoRVo (3)
Luego, sustituyendo (3) en (1), obtenemos la expresión del potencial para puntos fuera de la esfera:
V =
R
r
Vo =
10−2
10−1
(300)
V = 30Vol t ios
EJERCICIO NO6. 3 En la figura ¿Que trabajo se realiza al trasladar una carga puntual de 2× 10−8Cdesde el infinito hasta el punto situado a la distancia de 1c m de la superficie de una esfera de radioigual a 1c m con una densidad superficial de cargaσ= 10−9C/c m 2?(p = 10−12)
Fisica III
6. Potencial eléctrico 38
SOLUCIÓN
Representemos la carga eléctrica puntual qo que se traslada desde el infinito hasta el punto A.
El trabajo para traer la carga desde el infinito hasta el punto A, es igual a la diferencia de susenergías potenciales eléctricas en los puntos A y infinitos, respectivamente esto es:
W∞→A = EP,A −EP,∞
W∞→A = qoσR2
εor−0
W∞→A = (2×10−8)(10−13)(10−4)
(8,85×10−12)(2×10−2)W∞→A = 1,13×10−12 J
Fisica III
6. Potencial eléctrico 39
EJERCICIO NO6. 4 Dos gotas esféricas de mercurio de radio r = 3c m y 3p
37cm tiene cargas eléc-tricas iguales a q1 = (40/3)× 10−9C y q2 = 20× 10−9C Hallar el potencial eléctrico de gota esféricaresultante que se obtiene al unir las dos gotas.
SOLUCIÓN
Representemos las gotas de mercurio antes y después de su union.
La carga eléctrica de la gota esférica resultante es:
q =q+q2 ⇒ q =
100
3
10−9C
Igualando el volumen de la gota esférica resultante a la suma de los volúmenes de las gotas, obten-emos su radio así:
V =V1+V2
4
3πR3 =
4
3πR3
1 +4
3πR3
2
R = [33+( 3p
37)3]1/3
R = 4c m
Luego el potencial eléctrico de la gota esférica resultante es:
V = kq
R
V =
9×109 (100/3)10−9
4×10−2
V = 7,5k V
EJERCICIO NO6. 5 Hallar el trabajo necesario para suministrar cargas eléctrica uniforme a una es-fera de radio R = 10c m y esta adquiere una densidad de carga volumétrica uniforme igual aρo = 2×10−89C/m 3(k = 9×109N m 2/C 2, y p = 10−12)
SOLUCIÓN
Representemos una esfera de radio r y carga eléctrica q , rodeado por un cascaron esférico deespesor d r .
Fisica III
6. Potencial eléctrico 40
El trabajo necesario, es igual a la energía potencial eléctrica que adquiere la esfera, esto es:
W =U =
∫
dU
siendo q el trabajo realizado para traer un diferencial de carga d q desde el infinito, en presenciade la esfera de radio r y carga q , y distribuirlo en el cascaron esférico de radio r y espesor d r yespesor d r , así:
W =
∫
V (r )d q
W =
∫ R
0
kq
rρo4πr 2d r
W =
∫ R
0
k(4/3)πr 3ρo
rρo4πr 2d r
W =16π2ρ2
o k
3
∫ R
0
r 4d r
W =16π2ρ2
o R5
15(4πεo)
W =(16π2)(9×109)(2×10−8)2(10−1)5
15W ≈ 379×10−12
EJERCICIO NO6. 6 Cargas eléctricas de 1C cada una se ubica en los vertices de un triángulo equi-látero de 10c m de lado. Hallar la energía potencial de cada una de las cargas (T = 1012)
SOLUCIÓN
Representemos las cargas eléctricas puntuales situadas en los vertices del triángulo equilátero.
Fisica III
6. Potencial eléctrico 41
La energía potencial de cada una de las cargas es la misma, así, la energía potencial de la cargasituada en (A) es:
EP = kq 2
l+k
q 2
l
EP = (2)(9×109)
12
10−1
EP = 1,8×1011 J
EJERCICIO NO6. 7 en la figura la distancia entre las laminas paralelas planas es de 2c m y su diferen-cia de potencial de 120V . ¿Que rapidez adquiere un electron bajo la acción del campo al recorrer,según una linea de fuerza, la distancia de 3m m ? (q =−1,6×10−19C , m = 9,1×10−31k g )
SOLUCIÓN
Representemos la fuerza que actúa sobre el electron.
Fisica III
6. Potencial eléctrico 42
Como la fuerza eléctrica que actúa sobre el electron es F = e E = e (V /d ), entonces, la acel-eración que adquiere el electron debido a esta fuerza es:
a =F
m=
e V
md (1)
De otra parte, el electron recorre la distancia d , según la linea del campo de fuerza del campoeléctrico, con una aceleración de magnitud:
a =v 2
a d ′(2)
Igualando (1) con (2), obtenemos la rapidez que adquiere el electron:
v =
2e V
V
d
d ′
1/2
v =
(2)(1,6×10−19)(120)9,1×10−31
3
20
1/2
v = 2,52×106m/s
EJERCICIO NO6. 8 Un conductor cilíndrico muy largo de radio RA esta rodeado por un cilindrocoaxial hueco de radio RB . Los cilindros densidades de carga lineal uniforme iguales a λ y −λrespectivamente Hallar la diferencia de potencial entre los cilindros Ay B sabiendo que RB = 2RA yλ= 4×10−10C/m
SOLUCIÓN
Representemos los cilindros concéntricos A y B de radios RA , RB .
Como el campo eléctrico es radial, el gradiente del potencial eléctrico en coordinadas cilíndri-cas, se reduce a:
E =−d V
d r(1)
De otro lado, del teorema de Gauss, encontramos que la magnitud del campo eléctrico, para pun-tos ubicados entre los cilindros A y b es:
E =1
4πεo
λ
r(2)
Fisica III
6. Potencial eléctrico 43
De (2) en (1), e integrando para A < r <RB , se tiene:∫ VB
VA
d V ) = − f r a cλ2πεo
∫ RB
RA
1
rd r
V |VBVA= −
λ
2πεoln
RB
RA
VA B = (2)(9×109)(4×10−10) ln(2)
VA B = 4,99V
EJERCICIO NO6. 9 Dentro de un campo eléctrico uniforme de magnitud E = 5× 105N /C dirigidohorizontalmente hacia la derecha, gira con velocidad angular constante w = 6r a d /s en un planovertical describiendo una trayectoria circular, una esferita de masa m = 0,5k g y carga eléctricaq = 6,63µC unida a un hilo de longitud L = 0,5. Hallar la tension maxima en al hilo de seda (g =10m/s 2)
SOLUCIÓN
Representemos la trayectoria circular que describe la esfera cargada
1) De la ecuación fundamental de la dinámica lineal, hallemos la gravedad efectiva(g e f )
g e f = FR/m
g e f = [g 2+(q E/m )2]1/2
g e f =
102+
(6,63×10−6)(5×105)5×10−1
1/2
g e f ≈ 12m/s 2 (1)
2) La tension en el hilo sera maxima„ cuando la esfera pasa por la posición mas baja respecto delcampo efectivo, por consiguiente la tension T y el peso efectivo son colineales.
Fisica III
6. Potencial eléctrico 44
3) DE la ecuación fundamental de la dinámica circular, tenemos:∑
Fr =m a c
T −m g e f =m w 2L (2)
De (1) en (2), obtenemos la magnitud de la tension en la cuerda, así:
T = m g e f +m w 2L
T = (0,5)(12)+ (0,5)(6)2(0,5)
T = 15N
EJERCICIO NO6. 10 Un filamento de longitud a = 10c m se halla sobre el eje de simetría de un anillode radio R = 10c m , ambos tienen densidad de carga lineal uniforme λ= 2µC/m . Hallar la energíapotencial de interacción eléctrica del filamento cuyo extremo se ubica en el centro de anillo
SOLUCIÓN
Tomemos un diferencial de carga eléctrica d q en el filamento rectilineal.
Fisica III
6. Potencial eléctrico 45
En la figura la energía potencial del diferencial de carga d q , debido al potencial V creado porel anillo es:
d EP =V d q
d EP =
λR
2εo
p
y 2+R2
!
(λd y )
EP =λ2R
2εo
∫ a
0
d yp
y 2+R2
EP =λ2R
2εolog
y +p
y 2+R ‘2a
0
EP =λ2R
2εolog(1+
p2)
EP = (2π)(9×109)(2×10−6)2(10−1) log(1+p
2)
EP = 8,66×10−3 J
Fisica III
CAPÍTULO 7
Condensadores
7.1. Condensadores
Es el potencial de una esfera aislada de radio R y carga q es (+q )
V ′+ =K q
R=
q
4πεoR(7.1)
Para una esfera aislada de radio R y carga (−q ) el potencial de la esfera es:
V′
− =K (−q )4πεoR
(7.2)
para mostrar la diferencial de potencial entre dos esferas
V ′ =V ′+−V ′− =q
4πεoR−
−q
4πεoR
V ′ =q
2πεoR(7.3)
despejando tenemosq = (2πεoR)V ′ =C ′V ′ (7.4)
q =C ′V ′ (7.5)
donde C ′: constante llamada la capacitancia de las dos esferas, si acercamos las dos esferasentonces la distancia de las líneas de fuerza que salen o llegan a la otra carga se ve alterar tal comse indica.
46
7. Condensadores 47
En este caso el potencial V ′+ se reduce a V+ y V ′− aumenta a V− la deferencia de potencial es:
V =V+−V−
si q = C V , q = C ′V ′, como V ′ > V entonces C > C ′ queda definido, la capacitancia de una esferaaislada de radio "R .así
C =Q
V=
4πεo R
= 4πεoR
C = 4πεoR (7.6)
UNIDADES:
MKS: FARADAY(F ) =Coulomb
Voltios
CGS:c m =Stat Coulomd
Stat Voltio
1F = 9×1010c m
7.2. Condensadores de planos paralelos
Sea dos planos paralelos de area A y separados una distancia d a las cuales se le carga aplicandouna diferencial de potencial.
Fisica III
7. Condensadores 48
Luego como sabemos que:
C =q
V(7.7)
usando la Ley de Gauss, para encontrar q
∫
E dS =q
εo⇒ ES =
q
εo⇒ q = ESεo (7.8)
anteriormente sabemos queV = E d (7.9)
de (7.7), (7.8) y (7.9) tenemos
C =ESεo
E d=
Sεo
d(7.10)
C =Sεo
d(7.11)
7.3. Condensador cilíndrico
Consta de los cilindros concéntricos de radio a y b que poseen una carga (−Q) y (+Q), tal comoe indica en la figura
Por definición:
C =Q
Vb a=
2πεo L
ln(b/a )(7.12)
7.4. Condensador esféricos
Consta de dos esferas concéntricas de radios a y b , que poseen (+Q) y (−Q) tal como se indicaen la figura
Fisica III
7. Condensadores 49
Por definición
C =Q
Vab
C =4πεoab
b −a(7.13)
7.5. Asociación de condensadores
Hay dos formas básicas como los condensadores se asocian y son : SERIE y PARALELO
7.5.1. Condensadores en serie
Se asocia los conductores, se aplica una diferencial de potencia entre los puntos .a 2"b"se cargalos condensadores, por que estar en serie la carga es la misma en todo ellos
Vab =V1+V2+V3
=q
C1+
q
C2+
q
C3
Vab =q
1
C1+
1
C2+
1
C3
(7.14)
para encontrar el condensador equivalente del sistema
Fisica III
7. Condensadores 50
Vab =q
Ce q(7.15)
de (7.14) y (7.15) tenemos1
Ce q=
1
C1+
1
C2+
1
C3(7.16)
en general1
Ce q=∑ 1
Co(7.17)
7.5.2. Condensadores en paralelo
La carga distribuye en cada una de los condensadores
q = (C1+C2+C3)Vab (7.18)
para encontrar el condensador equivalente
Fisica III
7. Condensadores 51
q =Ce q
Vab(7.19)
de (7.18) y (7.20) tenemos
Ce q =C1+C2+C3 =∑
C i (7.20)
7.6. Energía almacenada en un conductor
para cargar un condensador se requiere una batería, el cual permite llevar la carga de bornenegativo al positivo, al inicio ambas placas están descargados y después llevamos cargas de unaplaca a la otra sea esta carga q ′, transportada en un tiempo t y la diferencial de potencial entre lasplacas sera
V ′ =q ′
C(7.21)
Si lavamos carga,los comunicamos una carga total Q el trabajo total sera:
W =
∫
d W =
∫ Q
0
q ′
C
d q ′ =Q2
2C(7.22)
También se puede usar la relación
W =1
2C V 2 (7.23)
7.7. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO7. 1 Una esfera conductora cargada de 2cm de radio se pone en contacto con otraesfera conductora de 5cm, de radio. Después de separar ambas esferas la mayor radio se energizacon 9000ergios ¿Que carga tenia la esfera inicialmente cargada?
SOLUCIÓN
Sea Q la carga de la esfera mas pequeña. entonces inicialmente:
Fisica III
7. Condensadores 52
La carga inicial del sistemas es: "Q". Luego se le pone en contacto,
La transformación de carga finaliza cuando ambas esfera alcanza igual potencial. Entonces alsepararlas la carga en cada una de ellas sera:
V1 =V2
kq1
r= k
q2
Rq1
q2=
r
R=
2
5(1)
Por conservación de la carga:q1+q2 =Q (2)
De (1) y (2):
q1 =2
7Q
q2 =5
7Q
Por datos la esfera de mayor radio se energiza con 9000regios, luego:
W2 =1
2
q2
C2
=1
2
(5Q/7)2
R
W2 =25
98
Q2
5
Q = 420s t −Cou l
Q = 1, 4×10−7cou l
EJERCICIO NO7. 2 Un condensador plano, cuyos placas tienen las dimensiones 25×25c m 2 y estánseparadas entre si por la diferencial de potencial V1 = 10V y desconectando de la fuente.
¿Cual sera la diferencial de potencial V2 si las placas se separan hasta la distancia d 2 = 5m m ?
Fisica III
7. Condensadores 53
SOLUCIÓN
La carga "Q"del condensador después de separar las placas no varia, por lo tanto:
Q =V1C1 =V2C2 = c t e
V1
εoA
d 1
=V2
εoA
d 2
Simplificando:
V2 =V1
d 2
d 1
= 10
5
0, 5
V2 = 100V
EJERCICIO NO7. 3 Determine la tension maxima que se puede aplicar a un capacitor 0, 2µF con unarea de sus lacas de 0, 3m 2. Entre sus placas tiene porcelana cuya constante dielectrica es 6 y surigidez dielectrica 7, 875K V /m m
SOLUCIÓN
La capacidad de un condensador esta dado por:
C = εoA
d= εεo
A
d
Para la porcelana: ε = 6 Reemplazando:
0, 2×10−6 = 6×8, 85×10−12
0, 3
d
d = 7, 97×10−5m = 0, 08m m
Además se sabe que la rigidez dielectrica (K) esta definido como
K =Vm a x
d
7, 875=Vm a x
0, 08
Vm a x = 630V
EJERCICIO NO7. 4 En la figura en el circuito eléctrico, la diferencia de potencial entre los extremosA y B es de 10Voltios. Hallar la carga acumulada en el condensador de capacidad 6µF
Fisica III
7. Condensadores 54
SOLUCIÓN
Los condensadores de capacidad 3µF y 6µF están conectados en serie, por consiguiente almace-na, igual, cantidad de carga q
Los condensadores de capacidad 2µF y 8µF están conectados en paralelo, por consiguientelas cargas acumuladas serán q y 4q , respectivamente
Analizando el condensador equivalente:
Q =VA BCe q
5q = (10V )(10µF )
q = 20µC
Luego la carga acumulada en cada placa, por el condensador de 6µF es de 20µC
EJERCICIO NO7. 5 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la carga acumulada en el condensadorde 3µF , sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es de 30Voltios.
SOLUCIÓN
Cuando dos condensadores están conectados en paralelo, las carga acumuladas son directamenteproporcionales a sus capacidades
Fisica III
7. Condensadores 55
Cuando dos condensadores están conectados en serie, todos los condensadores es serie alma-cenan igual, cantidad de carga independientemente de us capacidades.
Luego, la capacidad equivalente, Ce q = 2µF , almacena en cada placa una carga de magnitud3q
Q =VA BCe q
3q = (30V )(2µF ) = 60µC
q = 20µC
Finalmente, el condensador de 3µF almacena en cada placa una carga de magnitud 60µC
EJERCICIO NO7. 6 En la figura en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidadC = 6µF , hallar la capacidad equivalente entre a y b (µ= 10−6)
SOLUCIÓN
Los extremos de los cuatro condensadores, están conectados a puntos comunes, es decir, están enparalelo.
Luego, la capacidad equivalente del sistema de condensadores es:
Ce q = C +C +C +C
Ce q = 4C = (4)(6µ)
Ce q = 24µF
EJERCICIO NO7. 7 En la figura en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidadC = 40µF . Hallar la capacidad equivalente entre a y b.
Fisica III
7. Condensadores 56
SOLUCIÓN
Reduciendo el sistema inicial de condensadores, tenemos:
Ce q =5
8C =
5
8(40µF )
Ce q = 25µF
EJERCICIO NO7. 8 En la figura en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente en-tre a y b
SOLUCIÓN
Los extremos del condensador de 4µF de la derecha, están al mismo potencial, de modo que estecondensador se anula, así, el sistema de condensadores inicial, se reduce a:
Fisica III
7. Condensadores 57
1
Ce q=
1
4+
1
4+
2
4
Ce q = 1µF
EJERCICIO NO7. 9 En la figura en el circuito eléctrico V = 300Vol t ios , C = 4× 10−8F si se abre elinterruptor S1 y se cierra el S2, hallar la carga final de los condensadores de capacidad C y 2C
SOLUCIÓN
Sea q ′, q ′′ las cargas de los condensadores 1 y 2 cuando S1 esta abierto y S2 cerrado, entonces
1. Cuando S2 esta abierto y S1 cerrado, el condensador 1, adquiere una carga igual a:
q =V C (1)
Fisica III
7. Condensadores 58
2. Cuando S2 esta cerrado y S1 abierto, los extremos de los condensadores 1 y 2 están a la mismadiferencia de potencial, por lo mismo, se cumple:
q ′
C=
q ′′
2C(2)
Además por conservación de la carga, la total antes y después, es la misma:
q ′+q ′′ =q (3)
De (1) y (2) en (3), obtenemos la carga en el condensador 1 y 2:
q ′+2q ′′ =V C
q ′ =1
3V C =
1
3(300)(4×10−8) = 4×10−6C
q ′′ =2
3V C =
2
3(300)(4×10−8) = 8×10−6C
EJERCICIO NO7. 10 En la figura en el circuito eléctrico Vab = 12Vol t ios . Hallar la energía acumu-lada en el condensador de 3µF .
Fisica III
7. Condensadores 59
SOLUCIÓN
Reduciendo el sistema de condensadores inicial, tenemos:
En la figura la diferencia de potencial en los extremos del condensador de 3µF es:
Vb c =6
6+3(12) = 8Vol t ios
Luego, la energía almacenada en dicho condensador es:
E =1
2C V 2
b c =1
2(3µF )(8V )2
E = 96µJ
EJERCICIO NO7. 11 En la figura en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidadC = 4µF . Hallar la capacidad equivalente entre a y b .
SOLUCIÓN
Identificando los puntos (nudos) que están al mismo potencial así:
En la figura los tres condensadores que se ubican en el triángulo de vertices e-e-e, se anulan, demodo que el sistema inicial de condensadores, queda así:
Fisica III
7. Condensadores 60
Luego, la capacidad equivalente entre a y b es:
1
Ce q=
1
2C+
1
2C
Ce q =C = 4µF
EJERCICIO NO7. 12 En la figura en el circuito eléctrico, todos los condensadores tienen capacidadC = 6µF . Hallar la capacidad equivalente entre a y b
SOLUCIÓN
Reduciendo el sistema inicial de condensadores, se tiene
Fisica III
7. Condensadores 61
Ce q =5
2C = 15µF
EJERCICIO NO7. 13 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la carga del condensador de capaci-dad C = 10µF
SOLUCIÓN
Reduciendo el sistema de condensadores inicial, tenemos:
En la figura la diferencial de potencial entre los puntos x e y es:
Vx y =Vab
3
Vx y =600V
3= 200V
Fisica III
7. Condensadores 62
Luego, la carga en el condensador de 10µF sera igual a:
Q = (10µF )(200V )
Q = 2mC
Fisica III
CAPÍTULO 8
Corriente eléctrico
Los electrones libre en un conductor se mueven en forma irregular a igual que las moléculasde un gas encerrado.
Esta campo ~E actúa sobre los electrones libres y adquieren un movimiento en la dirección (−~E )este flujo de electrones se llama corriente eléctrica (i ) entonces se define.
i =q
t(8.1)
donde: q : carga constante, t : tiempo.Si el flujo de la carga es constante entonces se define
i =d q
d t(8.2)
8.1. La corriente (I)
Es una cantidad escalar macroscópica y propia de un conductor
8.1.1. La densidad de corriente (~J )
Si la corriente esta distribuida uniformemente a través de un conductor de sección transversalA. Luego.
J =i
A(8.3)
63
8. Corriente eléctrico 64
Si el flujo ~J es un punto cualquiera esta orientación en la dirección en que los portadores positivosde carga se moverán en esa parte la relación general entre ~J e i , para una superficie dado en unconductor es la siguiente el flujo vector ~J es i
i =
∫
~J d ~S (8.4)
Si n : es el numero de electrones por unidad de volumen
q = (n oAL)e (8.5)
El electron recorre:L =Vd t (8.6)
i =q
t(8.7)
de (8.5) y (8.6) y (8.7) tenemos
i =n oAL
L/Vd(8.8)
J =i
A= nqVd (8.9)
UNIDADES:i = Am p e r ios
[J ] = Am p e r ios/m 2
8.2. Resistencias
Todos los conductores ofrecen cierto resistencia al paso de la corriente a través de el
R =V
i(8.10)
Fisica III
8. Corriente eléctrico 65
8.3. Resistividad
Es una cantidad escalar y es una característica de un material para un material ISOTROPICO(cuyas propiedades eléctricas no varían con la dirección que se considera en el material). Luego
ρ =E
J(8.11)
8.4. Ley de Ohm
Aplicamos una diferencial de potencial variable entre los extremos de un alambre conductor.Luego para cada diferencial de potencial aplicada midamos la corriente (i ) y asemos un gráfica
de ella en función de V tal como se indica en la figura.
También la relación R = Vi
se conserva como la definición general de la resistencia de un con-ductor, sea que el conductor cumpla a no con la Ley de Ohm.
El equivalente microscópico de V =Ri es
E =ρ J (8.12)
8.5. Conductividad
Existe una analogía estrecha entre el flujo de carga debido a una diferencial de potencial es elflujo de calor a causa de un diferencial de temperatura.
Fisica III
8. Corriente eléctrico 66
Se define la conductividad como la inversa de la resistividad
σ=1
ρ(8.13)
8.6. Fuerza electromotriz
Se considera fuentes de voltajes (Fuentes electromotriz o fuente fem) aquellos que conviertanla energía química en energía eléctrica una fuente de "fem"debe ser capaz de hacer trabajos sobrelos portadores de carga que penetran en ella.
Para una carga (d q ) en un tiempo (d t ) entra a la fuente de fem (ε) en su extremo de bajapotencial y sale de ella en su extremo de elevado potencial.
La fuente debe hacer una cantidad de trabajo (d W ) sobre los portadores de carga positiva paraforzarlos a que vayan al punto de mayor potencial, luego la fuente fem (ε) se define
ε =d W
d q(8.14)
8.7. Potenciómetro
Es un instrumento que mide las fem de un generador sin que pase corriente por el usaremosel circuito de la figura.
Fisica III
8. Corriente eléctrico 67
Hay condiciones que debe cumplirVab = εx
Luego:i Rab =VC D
donde: C el contactoεx =Vc d
εx = i Rcb
8.8. Resistencia en serie
Son tres resistencia situadas en serie como se indica en la figura.
Vab =V1+V2+V3
Vab = I r1+ i R2+ i R3
Vab = i (R1+R2+R3) (8.15)
El sistema puede reducirse efectivamente a un resistor equivalente Re q y que satisface la relación
Vab = I Re q
Luego i (R1+R2+R3) = i Re q
Re q =R1+R2+R3 =3∑
i=1
Ri (8.16)
Fisica III
8. Corriente eléctrico 68
8.9. Resistencias en paralelo
Sea tres resistencias en paralelo, como se muestra en la figura.
comoi = I1+ i 2+ i 3
i =Vab
R1+
Vab
R2+
Vab
R3
i =
1
R1+
1
R2+
1
R3Vab
(8.17)
también el sistema puede reducirse en una resistencia equivalente
i =Vab
Re q
Luego
1
Re q=
3∑
i=1
Ri (8.18)
8.10. Ley de Kirchhoff
Antes definiremos algunos términos a ser usados en circuitos
8.10.1. Red eléctrica
Es la combinación de conductores y fem.
8.10.2. Nudos
Es un punto de la red en el cual se unes tres o mas conductores.
Fisica III
8. Corriente eléctrico 69
8.10.3. Malla
Es cualquier recorriendo del conductor cerrado. Ejemplo:
8.10.4. 1ra Ley
La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que concurren en un nudo cualquieraes nula
∑
i = 0(Conservacion de la carga)
8.10.5. 2da Ley
La suma algebraica de las fem en una malla cualquiera de uno rd es igual a la suma algebraicade los productos (i R) en la misma malla
∑
ε−∑
I R = 0
8.11. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO8. 1 Por un alambre de cobre de densidad ρ = 9,0g /c m 3, que tiene un electron deconducción por átomo y diámetro de su sección transversal D = 0,1c m pasa una corriente deintensidad i = 50A, hallar la velocidad media de los electrones de conducción (A = 63,54, q =−1,6×10−19C )
SOLUCIÓN
La intensidad de corriente (J ) en todos el alambre es la misma (homogeneidad del material) y esigual a:
J =i
A=
i
πR2
J =50
(π)(0, 05×10−2)2= 6, 37×7 A/m 2
El numero de electrones de conducción por unidad de volumen, viene dado por:
n =NA zρ
A
Fisica III
8. Corriente eléctrico 70
Siendo, NA numero de Avogadro, Z numero de electrones de conducción por átomo, A numero demasa atómica y ρ masa por unidad de volumen, evaluando:
n =(6, 023×1023)(1)(9)
63, 54= 8, 53×1022 eS
c m 3
n = 8, 53×1028eS/m3
Luego, la velocidad media de los electrones de conducción es:
vm =J
ne=
6, 37×7
(8, 53×28)(1, 602×10−19)
vm = 4, 66×10−3 m
s
EJERCICIO NO8. 2 Una unidad calefactor de potencia P = 500W , se diseña para que opere con unalinea de V = 115vol t ios ¿Cual es el puntaje en que decae el calor cedido cuando el voltaje de lalinea disminuye a V = 110vol t ios ? Supongase que no ocurre cambios en la resistencia
SOLUCIÓN
Evaluando la expresión de la potencia, obtenemos la resistencia del calefactor, así:
R =V 2
P=(115)2
500= 26, 45Ω
De otro lado, recordemos que la energía cedida a un dispositivo, viene dado por:
W = Pt =V 2
Rt
Evaluando esta expresión para V = 115V y V = 110V , respectivamente, tenemos:
W1 =(115)2
(26, 45)t = 500t J
W2 =(110)2
(26, 45)t = 457, 46t J
Luego, la variación del calor cedido en porcentaje es:
δ=|W1−W2|
W1(100)
δ= 8, 5 %
EJERCICIO NO8. 3 Un haz estacionario de partículas alfa (q = 2e ) que viaja con cinética constantede Ec = 20M e V transporta una corriente de intensidad i = 0,25,10−6A. Si el haz se lanza perpen-dicularmente a una superficie plana ¿Cuantas partículas alfa inciden sobre la superficie duranteel tiempo t = 3,0s ?
Fisica III
8. Corriente eléctrico 71
SOLUCIÓN
La carga eléctrica de la partícula alfa, viene dado por:
q = 2e = (2)(1, 6×10−19C )
q = 3, 2×10−19C
En el tiempo de T = 3s la carga total de las partículas alfa es:
Q = i t = (0, 25×10−6A)(3s )
Q = 0, 75×10−6C
Luego, el numero de partículas alfa que inciden sobre la superficie es:
n =Q
q
n =0, 75×10−6C
3, 2×10−19C
n = 2, 3×1012
EJERCICIO NO8. 4 Un haz estacionario de partículas alfa (q = 2e , q =−1,6× 10−19C ) que viaja conenergía cinética constante de EC = 20M e V transporta una corriente de intensidad i = 0,25 ×10−6A. Hallar el numero de partículas alfa, en un instante dado, en l = 20c m de longitud del haz.
SOLUCIÓN
La carga eléctrica de la partícula alfa es
q = 2e = (2)(1, 6×10−19)
q = 3, 2×10−19C
La velocidad se determina a partir de la energía cinética, así:
EC ,0 =1
2m v 2
o vo = [2EC ,0/m ]1/2
vo =
(2)(20×106)(1, 6×10−19)3, 1×10−31
1/2
vo = 4, 54×109m/s
El numero de partículas alfa por unidad de longitud es:
no =i
qvo=
(0,25×10−6)(3, 2×10−19)(4, 54×1019)
no = 172, 08particulas alfa
mLuego, en una longitud de 20cm, el numero de partículas alfa existe es:
n = l no = (0, 5)(172)
n = 0, 06×103
Fisica III
8. Corriente eléctrico 72
EJERCICIO NO8. 5 La densidad del aluminio es deρ = 2,7g /c m 3 y su masa atómica de M = 27g /mol ;cada átomo tiene tres electrones de conducción. por un alambre de aluminio de area transversalS = 1m m 2 de fluye una corriente de intensidad i = 10−3A, hallar la velocidad media de los elec-trones (q =−1,6×10−19C , µ= 10−6, NA = 6,023×1023)
SOLUCIÓN
El numero de electrones de conducción por unidad de volumen es:
n =NA zρ
A
siendo NA : numero de Avogadro, z : numero de electrones de conducción por átomo, A: numerode masa atómica y ρ: masa por unidad de volumen:
n =(6, 023×1023)(3)(2, 7)
27= 1, 8×1023 eS
c m 3
La velocidad media de deriva de los electrones de conducción es:
vm =i
ne A
vm =(10−3)
(1, 807×1023)(1, 602×10−9)(10−2)
vm = 3, 47×10−6 c m
s
EJERCICIO NO8. 6 Un calentador de inmersión de 350W opera en una linea de 120V , y se utilizapara elevar la temperatura de 250c m 3 de agua desde 27oC hasta el punto de ebullición. ¿En quetiempo hierve esta cantidad de agua? (ρ = 1000k g /m 3, ce = 4,186J k g oC )
SOLUCIÓN
Según el principio de conservación de la energía, se cumple:
Energia electrica consumida= Calor absorvido para hervir el agua
Pt =m ce∆T
Siendo P potencia, t tiempo, m masa, ce calor especifico y∆T variación de temperatura (T −To).
Ahora como, m =ρV , y despejando t :
t =ρV ce (T −To)
P
t =(103)(2, 5×10−4)(4186)(100−27)
350
t ≈ 218, 27≈ 3, 64m i n
EJERCICIO NO8. 7 En la figura toda la resistencia son iguales a R = 30Ω, hallar la resistencia equiv-alente entre a y b para este sistema de resistencia
Fisica III
8. Corriente eléctrico 73
SOLUCIÓN
Gracias a la simetría que presenta el sistema de resistencias, si desconectamos los conductores enel punto .O", las corrientes que pasan a través de las diagonales del cuadrado no se altera, quedandoel circuito inicial, como el que se muestra en la figura.
Reduciendo este circuit, se tiene el circuito inicial, como el que se muestra en la figura.
Luego, la resistencia equivalente es:
1
Re q=
1
2R/3+
1
8R/3
Re q =8
15R =
8
15(30)
Re q = 16Ω
Fisica III
8. Corriente eléctrico 74
EJERCICIO NO8. 8 La resistencia de un alambre de hierro es 5,9veces la de un alambre de cobrede las mismas dimensiones ¿Cual debe se el diámetro de un alambre de hierro para que tengala misma resistencia que un alambre de cobre de 0,12c m de diámetro si ambos tienen la mismalongitud?
SOLUCIÓN
En primer lugar, se tiene dos alambres de las mismas dimensiones, uno de hierro y otro de cobre,entonces sus resistencias iniciales, son:
ROF e =ρF el
A(1)
ROC u =ρC ul
A(2)
Dividiendo (1) entre (2), tenemos:ROF e
ROC u
=ρF e
ρC u= 5, 9
Ahora, se trata de dos alambres de igual resistencia y longitud, uno de hierro (Fe) y otro de cobre(Cu), entonces:
RF e =RC u
ρF el
πD2=ρC u
l
πd 2
D2 =[ρF e
ρC ud 2 ⇒ D =
p
5, 9(0, 12)
D = 0, 291c m
EJERCICIO NO8. 9 ¿A que temperatura se duplica la resistencia de un conductor de cobre con re-specto a su valor a 0oC , la dilatación lineal del cobre es α= 390×10−5,0C−1?
SOLUCIÓN
La resistencia en función de la temperatura, viene dado por:
R = Ro[1+α(T −To)]
2Ro = Ro[1+390×10−5T ]
T =1
390×10−5
T = 256, 4oC
EJERCICIO NO8. 10 En cierta region del espacio hay 2,108 partículas noblemente ionizados (cargapositiva) por centímetro cubico que se mueven hacia el norte con rapidez de v = 107c m/s . Hallarla magnitud de la densidad de corriente J
SOLUCIÓN
Dado que las partículas están noblemente ionizadas, la densidad de carga volumétrica, viene dadopor:
ρ = n2e = (2, 0×14)(2)(1, 6×10−19)
Fisica III
8. Corriente eléctrico 75
ρ = 6, 4×10−5C/m 3
siendo n el numero de partículas por unidad de volumen.Luego, la densidad de corriente debido a las partículas noblemente ionizadas es:
J = ρv
J = (6, 4×10−5C/m 3)(1, 0×5 m/s )
J = 6, 4A/m 2
EJERCICIO NO8. 11 En la figura en el circuito eléctrico la llave pasa de posición a a la posición b¿En cuanto cambia la lectura en el amperímetro ideal A?
SOLUCIÓN
Representemos a la llave en las posiciones a y b, respectivamente.1) llave en la posición a
Analizando el circuito en la posición a aplicamos la segunda ley de Kirchoff a la malla izquier-da.
ε =∑
i .R
6= 2i (1)+ i (2) ⇒ 6= 4i
i = 1,5A (1)
Analizando el circuito en la posición b aplicamos la segunda ley de Kirchoff a la malla izquierda.2) Llave en la posición b
Fisica III
8. Corriente eléctrico 76
ε =∑
i ′.R
6= (4i ′)(1)+)(3i ′)(2) ⇒ 6= 10i ′
i ′ = 0,6A (2)
Luego el cambio de lectura en el amperimetro es:
∆i = i − i ′ = 1,5A −0,6A
∆i = 0,9A
EJERCICIO NO8. 12 En la figura en cada arista del tetraedro se ubica una resistencia R = 120Ω, hal-lar la diferencia de potencial entre los vertices A y B del tetraedro, sabiendo que la intensidad decorriente que ingresa es i = 0, 2A
SOLUCIÓN
Ordenemos el circuito para observar mejor el arreglo puente:
Fisica III
8. Corriente eléctrico 77
Ya me el producto en cruz, es igual, los puntos C y D se cortocircuitan.
Recurriendo:
Así la resistencia equivalente del sistema es:
Re =R
2=
120
2= 60Ω
Luego, la diferencia de potencial entre los puntos A y B es:
VA B = i Re = (0,2)(60)
VA B = 12vol t ios
EJERCICIO NO8. 13 En la figura en el circuito eléctrico R1 = 12Ω, R2 = 6Ω, R3 = 4Ω, R4 = 22Ω, R5 = 5ΩR6 = 20Ω, R7 = 8Ω, la batería esta formada por tres pilas de resistencias internas ri = 1/3Ω, cadauna de ellas. Hallar la corriente eléctrica en la batería.
Fisica III
8. Corriente eléctrico 78
SOLUCIÓN
El voltaje total en la batería es igual a la suma de los voltajes de las tres pilas, es decir V = 9vol t iosy su resistencia interna total igual a ri = (3)(1/3) = 1Ω
Las resistencias R1, R1 y R3 están en paralelo, su resistencia equivalente es:
1
Re l=
1
R1+
1
R2+
1
R3
1
Re l=
1
12+
1
6+
1
4=
1
2
Re l = 2Ω
Las resistencias Re l y R4 están en serie, su resistencia equivalente es:
Re 2 =Re l +R4 = 2Ω+Ω22
Re 2 = 24Ω
Fisica III
8. Corriente eléctrico 79
Las resistencias R5 y R6 están en paralelo, sus resistencias equivalente es:
1
Re 3 = 1R5+ 1
R6
=1
5+
1
20=
1
4
Re 3 = 3Ω
Las resistencias Re 3 y R7 están en serie, su resistencia equivalente es:
Re 4 =Re 3+R7 = 4Ω+8Ω
Re 4 = 12Ω
Las resistencias Re 2 y Re 4 están en paralelo luego, la resistencia equivalente total es:
1
Re=
1
Re 2+
1
Re 4=
1
24+
1
12=
1
8
Re = 8Ω
Luego, de la figura obtenemos la intensidad de corriente en la batería, así:
i =V
ri +Re=
9
1+8
i = 1A
EJERCICIO NO8. 14 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la corriente que pasa por el conductorab
Fisica III
8. Corriente eléctrico 80
SOLUCIÓN
Asignemos arbitrariamente en sentidos horarios la circulación de las corriente eléctricas, en cadauna de las mallas.
Luego en la figura aplicando el método matricial, obtenemos:
i 1 =
10−15 −1025+15 14
15 −10−10 14
=
−5 −1040 14
15 −10−10 14
i 1 =−70+400
210−100=
330
110
i 1 = 3A
Del mismo modo, calculamos la intensidad de corriente i 2
i 2 =
15 10−15−10 25+15
15 −10−10 14
=
15 −5−10 40
15 −10−10 14
i 2 =600−50
210−100=
550
110
i 2 = 5A
Luego, la intensidad de corriente neta que pasa por el conductor ab es:
i ab = i 2− i 1 = 5A −3A
i ab = 2A
EJERCICIO NO8. 15 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la corriente que pasa por la rama b d
Fisica III
8. Corriente eléctrico 81
SOLUCIÓN
Asignemos arbitrariamente en sentido horario la circulación de las corrientes eléctricas, en cadauna de las mallas del circuito.
En la figura utilizando el método matricial, calculemos i 1
i 1 =
8 0 −12 5 −20 −2 9
7 0 −10 5 −2−1 −2 9
i 1 =8(45−4)−0(18−0)−1(−4−0)
7(45−4)−0(0−2)−1(0+5)
Fisica III
8. Corriente eléctrico 82
i 1 =166
141A
Del mismo modo, calculemos i 2:
i 2 =
7 8 −10 2 −2−1 0 9
7 0 −10 5 −2−1 −2 9
i 2 =7(18−0)−8(0−2)−1(0+2)7(45−4)−0(0−2)−1(0+5)
i 2 =70
141A
Luego, la intensidad de corriente neta que pasa por db es:
i b d = i 1− i 2
i b d =166
141−
70
141=
96
141
i b d =32
47A
EJERCICIO NO8. 16 La diferencia de potencial entre los terminales de una batería es de 8, 5V cuan-do por ella pasa una corriente de 3A desde el borde negativo al positivo. Cuando la corriente es de2A en sentido contrario, la diferencial de potencial se hace igual a 11V . Hallar la f .e .m . (ξ) de labatería
SOLUCIÓN
La diferencia de potencial entre dos puntos ay b de la rama de un circuito, viene dado por:
(±)Va −∑
n
Rn i +∑
m
(∓)εm +(∓Vb ) = 0
siendo n y m el numero de resistencias y baterías en la rama, respectivamente. Para i = 3A yVab = 8,5V , se tiene:
Vb − i ri + ε−Va = 0
ε−3ri = 8,5 (1)
Para, i = 2A y Vab = 11V , se tiene:Va − ε− i 2ri −Vb = 0
ε+2ri = 11 (2)
Fisica III
8. Corriente eléctrico 83
Restandolo (2) menos (1), obtenemos la resistencia interna ri :
2,5= 5ri
ri = 2,5/5= 0,5Ω (3)
Sustituyendo ri en (1), obtenemos la fuerza electromotriz (ε), así:
ε = 8,5+3r1 = 8,5+(3)(0,5)
ε = 10vol t ios
EJERCICIO NO8. 17 En la figura en el circuito mostrado, hallase la diferencia de potencial entre lospuntos a y b
SOLUCIÓN
Asignemos arbitrariamente los sentidos de circulación de las corrientes.
Aplicando la segunda Ley de Kiirchoff, a las mallas (I) y (II), tenemos:
∑
k
i j .Rk =∑
L
(±)εL
A la malla (I):1i 1+3(i 1+ i 2) = 8
Fisica III
8. Corriente eléctrico 84
4i 1+3i 2 = 8 (8.19)
A la malla "2":3(i 1+ i 2)+ (2+4)i 2 =−3
3i 1+9i 2 =−3 (2)
Resolviendo (8.19) y (2), obtenemos las intensidades de corriente i 1, i 2, así:
i ab = i 1+ i 2 = 3−4
3
i ab = 5/4A
Luego, la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos a y b es:
Vab = i ab Rab =
5
3
(3)
Vab = 5vol t ios
EJERCICIO NO8. 18 Una pila se conecta a una resistencia de 4Ω luego se reemplaza esta resistenciapor una de 9Ω disipando ambas resistencia la misma potencia. Hallar la resistencia interna de lapila.
SOLUCIÓN
Las intensidades de corriente cuando la pila esta conectada en serie a las resistencias de 4Ω y 9Ωson:
i 1 =ε
r +4y i 2 =
ε
r +9Luego, como las potencias disipadas por las resistencias de 4Ω y 9Ω es la misma entonces:
ε
r +4
2
(4) =
ε
r +9
2
(9)
2r +18= 3r +12
r = 6Ω
EJERCICIO NO8. 19 En la figura en el circuito, ε = 5V , r = 2Ω, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω. Si Ra = 0,1Ω. Hallarel error porcentual cometido al medir la corriente, sin considerar la resistencia interna, suponerque el voltímetro no esta conectado
Fisica III
8. Corriente eléctrico 85
SOLUCIÓN
Las intensidades de corriente que circulan por el amperimetro ideal (Ra = 0), y de resistenciainterna Ra 6= 0 son:
i =ε
R1+R2+ r, i ′ =
ε
R1+R2+RA + r
De otro lado, el error porcentual esta dado por la expresión:
Er =
i − i ′
i ′
(100 %)
Reemplazando las expresiones de las intensidades de corriente i , i ′ tenemos:
Er =
εR1+R2+r
− εR1+R2+RA+rε
R1+R2+RA+r
(100 %)
Er =
RA
R1+R2+ r
(100 %)
Er =
0,1
5+4+2
(100 %)
Er = 0,9 %
EJERCICIO NO8. 20 Dos alambres A y B de 40m de longitud y 0, 10m 2 de sección transversal, seconectan es serie. Entre los extremos del alambre compuesto se aplica un potencial de 60V . Lasresistencias de los alambres son de 40 y 20Ω respectivamente. Hallar la magnitud de los camposeléctricos en los alambres A y B.
SOLUCIÓN
La intensidad de corriente eléctrica, que circula por los alambres es:
i =V
R=
60V
60Ω= 1V
Así, los voltajes en cada uno de los alambres son:
VA = i RA = (1)(40) = 40V
Fisica III
8. Corriente eléctrico 86
VB = i RB = (1)(20) = 20V
Luego, la magnitud de los campos eléctricos, en los alambres A y B son:
EA =VA
l A=
40V
40m= 1
V
m
E B =VB
l B=
20V
40m=
1
2
V
m
Fisica III
CAPÍTULO 9
Campo magnético
9.1. Campo magnético o densidad de flujo de magnético (~B)
Para definir ~B , consideremos lo siguiente:
a) Una carga en movimiento
b) Una fuerza ~F (no gravitacional, no eléctrico) que actúa sobre la carga en movimiento.
Sea una carga positiva q , que se mueve con una velocidad ~v y si actúa una fuerza lateral ~F sobrela carga que se mueve, entonces diremos que en esa region existe un campo magnético ~B y quesatisface la relación:
~F =q (~v × ~B )
Unidades:MKS: [B]=[F/qv]
[B ] = Te s l a =W e b e r
m 2
9.2. Flujo magnético
Se toma una superficie cerrada S en una region donde existe un ~B . Consideremos un 4~S, de-spués de haber dividido la superficie en pequeñas superficies4S.
Efectuemos el producto escalar para hallar el flujo que atraviese esta superficie: ~B · 4~S comodeseamos hallar el flujo total, sumamos todas las contribuciones:
∑
~B · 4~S, pero como 4~S no esperpendicular a todos los puntos de la superficie que representa, entonces tenemos que dividir lasuperficie en mayor numero de secciones o hacer que4S tienda a cero en el limite, se tendrá:
lım4S→0
∑
4φ = lım4S→0
∑
~B ·4~S
87
9. Campo magnético 88
∮
dφ =
∮
S
~B .d
φ =
∮
S
~B .d ~S
dondeφ es el numero de líneas de campo en Webers o Maxwell.Como la fuerza magnética es siempre perpendicular a la dirección del movimiento, quiere de-
cir que(para campos magnéticos constantes), el trabajo hecho por esta fuerza sobre la partícula escero.
Luego un campo estático (generado por una corriente constante); no puede cambiar la energíacinética de una carga en movimiento solo puede desviarla lateralmente.
9.3. Fuerza de Lorentz
Cuando una partícula se mueve en una region donde hay un ~E y ~B (Supongamos perpendicu-lares), la fuerza total es la suma de la fuerza eléctrica (q ~E ) y la fuerza magnética q (~v × ~B ) ; es decir:~F =q (~E + ~v × ~B ) se indica en la figura
Fisica III
9. Campo magnético 89
9.4. Ley de Ampere
Cuando un alambre lleva una corriente I , usando la ley de Ampere, podemos hallar el campomagnético producido por I , bajo ciertas condiciones.
Sea una corriente que esta en el eje z . Consideremos una trayectoria cerrada C que encierra ala corriente, como se muestra en la figura.
Dividamos la trayectoria cerrada en segmentos diferenciables d l y efectuamos el productoescalar con el campo magnético ~B :
~B ·d~lSumemos estos productos, es decir integramos, es lo que se llama circulación del campo magnéti-co:∮
C~B ·d~l , tal como se hizo con el campo eléctrico y definimos diferencia de potencial, entre dos
puntos, fue necesario previamente definir la integral curvilínea del campo ~E . Luego:∮
C
~B ·d~l =∮
C
Bd l cosθ
Según el gráfico: d l cosθ = r dφ∮
C
Bd l cosθ =
∮
C
Br dφ (1)
se sabe que el campo magnético creado por una corriente I a una distancia r es:
B =µo I
2πr(2)
De (2) en (1):∮
C
Bd l cosθ =
∮
C
Br dφ =
∮
C
µo I
2πrr dφ =
µo I
2π
∮
C
dφ =µo I
2π(2π)
∮
C
~B ·d~l =µo I
Esta ultima expresión se conoce como la Ley de ampere y dice: "La corriente del campo magnéticoes proporcional a las corriente I , encerrada por la trayectoria C".
Esta Ley es útil para cierta simetría de las líneas del campo y (~B ·d~l ) sean fáciles de evaluar.Si la corriente I , figura esta fuere de la trayectoria cerrada C ′, se tiene lo siguiente:
Fisica III
9. Campo magnético 90
∮
C ′
~B ·d~l =µo I
2π
∮
C ′dα
∮
C ′
~B ·d~l =µo I
2π
∮ α2
α1
dα+
∫ α1
α2
dα
∮
C ′
~B ·d~l =µo I
2π[(α2−α1)+ (α1−α2)]
∮
C ′
~B ·d~l = 0
Esto quiere decir que las corrientes que no están encerrados por la trayectoria C ′, no con-tribuyen a la integral.
9.5. Ley de Biot - Savart
Sabemos que la Ley de Ampere se puede usar para calcular campos magnéticos solamente se lasimetría de la distribución de corriente es suficientemente completa para que sea fácil de evaluarla integral.
∮
C
~B ·d~l
Esta condición, limita la utilización de esta Ley de los problemas prácticos.En cambio la Ley de Biot - Savart, nos sirve para hallar el campo ~B producido por corrientes
en un punto cualquiera debido a una distribución arbitraria de corriente, tal como se indica en lafigura.
Fisica III
9. Campo magnético 91
Dividamos el alambre en porciones de longitudes d~l , que llevan una corriente i , la direccióndel d~l son tangentes al conductor.
Luego la inducción magnética d ~B en el punto P, asociada con el elemento de corriente, segúnla Ley de Biot - Savart es:
d ~Bp =µoi
4π·
d~l ×~rr 3
Luego el campo resultante en el punto P debido a todo el alambre sera:
~B =µoi
4p i
∫
d~l ×~rr 3
donde µo = 4π×10−7 W bA−m
se llama la permeabilidad magnética del vació.
9.6. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO9. 1 En la figura por el alambre en forma de L que esta dentro de un campo magnéti-co uniforme de magnitud B = 20T . circula una corriente de intensidad i = 6A además PQ = 3m yQR = 4m . Hallar la magnitud de la fuerza total sobre el alambre.
Fisica III
9. Campo magnético 92
SOLUCIÓN
Representemos la fuerza neta sobre el alambre en forma de L, así:
Calculo de la fuerza de Ampere usando la longitud efectiva entre los extremos del conductor:L e f = PR = 5m
F = i L e f B sen 90o
F = (6)(5)(20)(1)
F = 600N
EJERCICIO NO9. 2 Un proton de masa m = 1, 6×10−27k g y carga eléctrica q = 1, 6×10−19C se mueveen una trayectoria circular, dentro de un campo magnético uniforme de magnitud 2T . Hallar elperiodo de su movimiento (n = 10−9)
SOLUCIÓN
Representemos al proton describiendo la trayectoria circular así:
Fisica III
9. Campo magnético 93
En la figura la fuerza magnética (FM ) sobre el proton, es la fuerza centrípeta (FC ), esto es:
qv B sen 90o = mv 2
R
q B = m(2πR/T )
R
T =(2π)(1, 6×10−27)(1, 6×10−19)(2)
T = 31, 4×10−9s
EJERCICIO NO9. 3 En la figura las espiras idénticas de radio R =p
3/2m , conducen corriente deintensidad i = 2A, y se encuentra en planos que forman 60o entre si. Hallar la magnitud del campomagnético en el centro común de las espiras.
SOLUCIÓN
Representemos los campos magnéticos creados por cada una de las esperas, así:
En la figura la magnitud de los campos magnéticos, creados por cada una de las espiras es:
Fisica III
9. Campo magnético 94
B =µo
2
i
R
Luego, de la Ley de cosenos, la magnitud del campo magnético resultante en el punto O es:
BR = [B 2+ B 2−2B 2 cos 120o]1/2
BR = [2B 2+2B 2 sen 30o]1/2
BR =p
3B =p
3µoi
2R
BR =p
3µo
2
2p
3/2BR = 2µoT
EJERCICIO NO9. 4 Al campo magnético de la tierra en el Ecuador es horizontal en dirección Nortey su magnitud es aproximadamente B = 1, 0× 10−4W b/m 2. Hallar la magnitud de la fuerza sobreuna linea de transmisión del longitud l = 100m que conduce una corriente de intensidad i = 700Ade Oriente a Poniente.
SOLUCIÓN
La magnitud de la fuerza ejercida sobre la linea de transmisión es:
F = i l M senθ
F = (700)(100)(1, 0×10−4)(sen 90o)
F = 7N
EJERCICIO NO9. 5 El segmento de un conductor rectilineal con corriente tiene una longitud de30m . ¿A que distancia limite del mismo, para los puntos situados en la perpendicular trazada des-de su punto medio, el campo magnético se puede considerar como el campo magnético de unconductor rectilineal infinitamente largo recorrido por la corriente? El error tolerante no debe sermayor del 5 %
SOLUCIÓN
Representando los filamentos de longitud finita e infinita.
La magnitud del campo magnético, creado en P, por el filamento finito de longitud l es:
B1 =µoi
2πd
l /2p
(l /2)2+d 2
Fisica III
9. Campo magnético 95
La magnitud del campo magnético, creado en P, por el filamento de longitud infinita, es:
B2 =µo
2π
i
d
Luego, el error relativo tolerante al medir el campo magnético es:
δ=B2− B1
B2
5
100
µo i2πd
1− l
2p
d 2+(l /2)2
(µoi/2πd )
19
10=
lp
d 2+(l /2)2
100
361=
d 2+(l /2)2
l 2
d
l
2
=39
1444⇒ d =
39
1444
1/2
l
d = 4, 93c m
Fisica III
CAPÍTULO 10
Inducción electromagnética
10.1. Ley de Faraday
La Ley de inducción de Faraday dice: "La fuerza electromotriz inducida: ε en el circuito esigual al valor negativo de la rapidez con la cual esta cambiando el flujo que atraviesa el circuito",su expresión es:
ε =−
dφ
d t
(1)
En un campo magnético variable se induce una fem en cualquier circuito cerrado, la cual esigual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito.
Sea un campo magnético que varia con el tiempo, y se coloca una espira conductora, luegoel flujo varia a través de la espira circular y se producirá una fem inducida en la espira. Esta fem,moverá a los portadores de la carga, es decir induce una corriente, lo cual se debe interpretar comola acción de un campo eléctrico en que satisface la relación:
ε =
∮
C
~E ·d~l (2)
Este campo eléctrico es no electrostático, es decir su origen no se debe a cargas en reposo y tam-poco es conservativo, porque la expresión (2) es diferente de cero:
ε =−dφ
d t=
∮
C
~E ·d~l
=−d
d t
∫
~B ·d ~S =∮
C
~E ·d~l
Esta ultima expresión es la llamada ley de Faraday y Henry y significa: Ün campo magnético de-pendiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico ~E , tal que su circulación a lo
96
10. Inducción electromagnética 97
largo de un camino arbitrario cerrado C es igual a menos la derivada con respecto al tiempo delflujo magnético a través de una superficie limitada por el camino C; tal como se indica en la figura"
Es necesario agregar, algunas características de este campo eléctrico ~E .
a) Este campo ~E no esta relacionado con cargas, sino con flujos magnéticos cambiante.
b) Las líneas de este campo eléctrico ~E , pueden formar curvas cerradas.
c) Los campos ~E asociados con campos magnéticos cambiantes son no conservativos.
d) El potencial eléctrico, que se puede definir solo para una fuerza conservativa, no tiene ningúnsignificado para campos ~E producidos por inducción.
10.2. Ley de Lenz
Sirve para explicar la dirección de la corriente inducidas en una espira cerrada. esta Ley dice:"La corriente inducida aparece en un sentido tal que ese opone a la causa que la produce..En la Leyde Faraday, aparece el signo negativo, y sugiere esta oposición.
10.3. Autoinduccion
Sea un circuito que lleva una corriente I constante. Por la Ley de Ampere esta corriente gen-era un campo magnético, que es proporcional a la corriente que la genera Figura. Luego el flujomagnético a través del circuito, debido a su propio campo magnético, se llama flujo propia:φI
Luego:φI ∝ IφI = LI
Donde L: se llama autoinduccion del circuito, depende de la forma geométrica del conductor susunidades en el sistema MKS.
[L] =W e b e r s/Am p =He nr y
Ahora si la corriente I varia con el tiempo, el flujoφL a través del circuito también cambia y por laley de Faraday, se induce una femφL en el circuito.
Este caso es lo que se llama AUTOINDUCCION.
Fisica III
10. Inducción electromagnética 98
Luego: εL =−dφI
d t=− d
d t(LI )
εL =−Ld I
d tSe ha supuesto que la espira es rígida y no cambia con el tiempo. El signo menos significa que εL
se opone a la variación de la corriente.Luego cuando la corriente aumente (d I /d t ) es positiva y (εL) se opone a la corriente figura.Ahora si la corriente disminuye (d I /d t ) es negativa y (εL) actúa en el mismo sentido que la
corriente figura.
10.4. Energía del campo magnético
Sea el circuito que se indica en la figura .
La fem total aplicada al circuito es:
ε+ εL = ε− L(d I /d t )
Por la ley de Ohm:RI = ε− L(d I /d t ), ε =RI + L(d I /d t )
Multiplicando por I :E I =RI 2+ LI (d I /d t )
Luego I 2R , significa la energía consumida por unidad de tiempo.El termino LI (d I /d t ) es la energía que se emplea por unidad de tiempo para establecer la
corriente o su campo magnético.Luego el aumento de la energía magnética es:
dUB
d t= LI
d I
d t
Luego la energía magnética necesaria para aumentar la corriente es:
UB =
∫ I
0
LI d I =1
2LI 2 (1)
Luego para hallar la densidad de energía o energía por unidad de volumen del campo magnético,se puede hallar considerando el solenoide largo L que tiene n o de numeros de vueltas por longitudunitaria, en cuyo interior existe un campo magnético: B =µon oI
Fisica III
10. Inducción electromagnética 99
Se puede calcular la autoinduccion: L =µon oN Acomo n o =N /L
L =µo(n o)2LA
donde L: es la longitud del solenoide, reemplazando en la expresión (1):
UB =1
2LI 2 =
1
2(µon o2l A)
B
µon o
2
UB =1
2µoB 2(l A), donde (l A)
Es el volumen del interior del solenoide, luego la densidad de energía del campo magnético es:
µB =UB
v=
1
2µoB 2 (2)
Si queremos calcular la energía total almacenada en un volumen definido (V )usamos la expresión:
UB =1
2µo
∫
v
B 2d v
Esta a expresión (2), es análogo para la energía almacenada para un condensador:
U =1
2C V 2
Para un campo eléctrico:
µE =1
2εo E 2
10.5. Ejercicios resueltos
EJERCICIO NO10. 1 la figura el conductor rectilineal de longitud l = 10c m se desplaza con veloci-dad v = 15m/s perpendicularmente al campo magnético uniforme de B = 0,1T de inducción.Hallar el valor de la fuerza electromotriz (ξ) inducida en el conductor
Fisica III
10. Inducción electromagnética 100
SOLUCIÓN
Representemos a la barra después de haber recorrido una distancia "x "
La magnitud de la fuerza electromotriz (ξ) inducida, viene dado por:
ξ =∆Φ∆t=∆(Bl x )∆t
ξ = Bl
∆x
∆t
= Bl v
ξ = (0, 1)(10×10−2)(15)
ξ = 0, 15V
EJERCICIO NO10. 2 En la figura la barra delgada de 1m de longitud gira en un campo magnéticode magnitud B = 0, 05T , alrededor de un eje que por uno de sus extremos y es paralelo al campomagnético. Hallar el flujo de inducción magnética (Φ) que atraviesa la barra en cada vuelta.
SOLUCIÓN
El flujo de inducción magnética, que pasa a través de la barra en cada vuelta es:
Φ = BS = Bπl 2
Φ = (0, 05)(π)(12)
Φ = 0, 157W b
Fisica III
10. Inducción electromagnética 101
EJERCICIO NO10. 3 Se coloca una bobina de N = 200v u e l t a s de R = 0, 10m de radio perpendic-ular a un campo magnético uniforme de b = 0, 2T . Hallar el valor de la fuerza electromotriz (ξ)inducida en la bobina si en (0,1s) se duplica la magnitud del campo magnético
SOLUCIÓN
El valor de la fem (ξ) inducida en la bobina (sin signo), viene dado por:
ξ = N∆Φ∆t=N
Φ−Φo
t − to
ξ = N A
B − Bo
t − to
ξ = N (πR2)
2Bo − Bo
t − to
ξ = (200)(π0, 1×102)
(2)(0, 2)− (0, 2)0, 1−0
ξ = 4πvol t ios
EJERCICIO NO10. 4 Por un solenoide de excitación magnética H = 16 × 103A/m y longitud l =100c m , circula una corriente de intensidad i = 40A. Hallar el valor de la fuerza electromotriz (ξ)inducida en el solenoide si se ubica en un campo cuyo flujo magnético varia 600×10−8W e b e r /m 2
en cada segundo
SOLUCIÓN
El numero de vueltas (N) del solenoide hallemos de la formula de la excitación magnética, así:
H =i N
l⇒ N =
Hl
i
Luego, el valor de la fem (ξ) inducida en el solenoide es:
ξ = N
∆ΦB
∆t
=Hl
i
∆ΦB
∆t
ξ =16×103(1)
40(600×−8)
ξ = 2, 40×10−3V
EJERCICIO NO10. 5 Una espira circular conductora, de area A = 100c m 2 se halla en un magnéticouniforme de inducción igual a B = 1W b/m 2. El plano de la espira es perpendicular a la direccióndel campo magnético. Hallar valor medio de la fuerza electromotriz (ξ) de inducción que se creaen la espira si gira un ángulo de 180o en 0,01s
SOLUCIÓN
La fem (ξ) inducida en la espira, viene dado por la let de faraday:
ξ=−∆Φ∆t=−Φ−Φo
t − to
ξ=−BA
cosθ − cosθo
t − to
Fisica III
10. Inducción electromagnética 102
ξ=−(1)(100×10−4)
cosπ− cos 0
0, 01−0
ξ= 2vol t ios
Fisica III
CAPÍTULO 11
Metodología
11.1. Estrategias
El desarrollo del curso, se realiza utilizando la estrategia del aprendizaje significativo, brindan-do apoyo a los alumnos en la solución de los diferentes problemas que se les puede presentar.
11.2. Métodos
El método que se emplea para el desarrollo de las prácticas pre-profesionales es el inductivo ydeductivo
11.3. Medios y Materiales
Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son:
Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana.
Visual: empleo de pizarra, plumón y mota.
103
CAPÍTULO 12
Cronograma de Actividades
12.1. Temas
No Temas01 Fuerza eléctrica02 Campo eléctrico03 Potencial eléctrico04 Condensadores05 Corriente eléctrica06 Campo magnético e inducción magnética
12.2. Cronograma de Actividades
FechasMarzo Abril Mayo Junio
Temas 6 13 18 20 28 4 10 17 22 24 31 2 5 7 1401 ∗ ∗02 ∗ ∗03 ∗ ∗ ∗ ∗04 ∗ ∗ ∗05 ∗ ∗ ∗06 ∗ ∗ ∗
104
CAPÍTULO 13
Relación de Estudiantes y Asistencias
13.1. Relación de estudiantesNo CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES1 080661 AGUILAR AHUMADA, ADAN WILLY2 040662 ANCCORI PARIAPAZA, RENE3 081405 ANTONIO FLORES, DAWIZZ WILLIAM4 082281 APAZA CRUZ, DENNIS HERIBERTO5 082284 CACERES SONCCO, JOSUE LINO6 085390 CAHUANA COAQUIRA, HASSAN ROLDAN7 085399 CHOQUE CASTILLO, HOLGUER HELART8 082291 CHUQUIJA TITO, YAXON SANTIAGO9 082292 COAPAZA AGUILAR, HERNAN
10 082295 CONDORI MAYTA, JESUS ANGEL11 082698 CRUZ IBAÑEZ, CUOSET ELDER12 082681 FERNANDEZ MACEDO, MARCO ANTONIO13 085406 GOMEZ CRUZ, EBERTH SABINO14 083885 GUTIERREZ LLAVILLA, CRISP LEONOR15 082301 HUAYCANI HUAYCANI, JOEL EDWIN16 081238 HUMPIRI JILAPA, CESAR17 085413 ITUSACA AYALA, RENE ANGEL18 082306 LUQUE LUQUE, OMAR MILTON19 083888 MAYTA MAMANI, CARLOS RODOLFO20 980264 OLAGUIVEL MAMANI, ORLANDO ELARD21 083889 PAREDES RAMOS, CARLOS EDUARDO22 982171 PATRICIO TINTAYA, MILTON MANUEL23 084666 PAYVA AQUINO, RIBERT CRISTHIAN24 084667 PILCOMAMANI ARIAS, AMADOR25 082318 QUENTA YANAPA, AGUSTO FREDDY26 083891 QUISOCALA MOROCCO, SAMUEL27 085428 QUISPE BUSTINCIO, JHOVANY28 083892 QUISPE TECCE, ABEL
105
13. Relación de Estudiantes y Asistencias 106
13.2. Lista de Asistencia
Datos Marzo Abril Mayo JunioNo CODIGO 6 13 18 20 28 4 10 17 22 24 31 2 5 7 141 080661 • • • • • • • • • • • • • •2 080662 • • • • • • • • • • • • • •3 081405 • • • • • • • • • • • • • •4 082281 • • • • • • • • • • • • • •5 082284 • • • • • • • • • • • •6 085390 • • • • • • • • • • • •7 085399 • • • • • • • • • • • •8 082291 • • • • • • • • • • • •9 082292 • • • • • • • • • • • •
10 082295 • • • • • • • • • • • •11 082698 • • • • • • • • • • • •12 082681 • • • • • • • • • •13 085406 • • • • • • • • • • •14 083885 • • • • • • • • • • • • • • •15 082301 • • • • • • • • • • • • • • •16 081238 • • • • • • • • • • •17 085413 • • • • • • • • • • • •18 082306 • • • • • • • • • • • • • • •19 083888 • • • • • • • • • • • •20 080264 • • • • • • • • • • • •21 083889 • • • • • • • • • • • • • •22 082171 • • • • • • • • • • • •23 084666 • • • • • • • • • • • • •24 084667 • • • • • • • • • • • • • • •25 082318 • • • • • • • • • • • •26 083891 • • • • • • • • • • • • • • •27 085428 • • • • • • • • • • • • •28 083892 • • • • • • • • • • • • • •
Fisica III
Bibliografía
[1] Humberto Leyva Naveros, Electrmagnetismo Y magnetismo ,Editorial Moshera, Lima - Peru,2003
[2] R. A. Serway,Fisica Tomo II, Editorial McGraw-Hill,1982
[3] Regulo A. Sabrera Alvarado, Fisica III Teoria y problemas, Editorial Megabyte,Lima -Peru,2009
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