Movimiento en dos dimensiones
Nivelatorio de Fsica
ESPOL
Ing. Jos David Jimnez
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Continuacin
Contenido:
Movimiento circular
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular Existen muchos ejemplos de movimiento circular:
Discos de msica compactos, dvd, blu ray, discos duros
magnticos, rueda de la fortuna, rueda moscovita, etc.
El movimiento circular uniforme se refiere a movimiento a
rapidez constante.
En el movimiento circular se utilizan las coordenadas polares,
estas se especifican mediante una distancia r y un ngulo q.
q
r
O
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Longitud de arco La longitud de arco se define como:
Longitud de arco = (ngulo formado por el arco) x Radio
S = q x R
Qu es un radin ?
Donde el ngulo q se mide en radianes
1 radin es la medida del ngulo comprendido entre la
longitud del arco S cuando S mide exactamente la
longitud del radio de la circunferencia, es decir S = R
S = q x R
R = q x R
q = 1 radin Autor: Ing. Jos David Jimnez
Relacin entre grados y radianes
La longitud de arco S de una circunferencia completa se halla
por medio de la ecuacin del permetro:
S = 2 x R
Donde se puede concluir que q = 2 . Esto quiere decir
que una vuelta o revolucin que tiene 360 equivale a 2
radianes.
Calcular:
Cuntos grados tiene 1 radin ?
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular
En el movimiento alrededor de un crculo, r = R y solo q va
cambiando mientras transcurre el tiempo.
En un intervalo de tiempo t se realiza un desplazamiento
angular q
12
12
tttm
=
=
qqq
Rapidez angular media
q1
r1
O
r2
q2
En qu unidades se encuentra la
rapidez angular ?
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular
Es igual al lmite de la rapidez angular media cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero.
Rapidez angular instantnea
lim0
=
En un intervalo de tiempo t se recorre
un arco dado por
S = R q
q1
R
O
R
q2
S
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular
Recordemos que definimos la rapidez angular como
Entonces
V = R
t
=
q
= R
Para obtener la rapidez lineal o tangencial dividimos
la ecuacin anterior para t
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular
La velocidad angular media tiene la misma definicin que
la rapidez angular media al igual que la velocidad angular
instantnea tiene la misma definicin que la rapidez angular
instantnea.
Velocidad angular media e instantnea
q1
R
O
R
q2
S Pero hay que recordar que al hablar
de velocidades y ya no de rapideces
estamos tratando ahora con
cantidades vectoriales y no
escalares, por lo que hay q indicar
tambin su direccin.
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Direccin del vector velocidad
angular
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular
El vector velocidad V es siempre tangente a la trayectoria y
perpendicular al vector posicin R.
Vectorialmente la velocidad tangencial se define como el producto
cruz entre la velocidad angular y R
= Autor: Ing. Jos David Jimnez
Periodo y frecuencia
Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama
periodo ( T ) est dado por
222===
R
R
v
RT
La frecuencia es el recproco del periodo
f = 1/T = /2
La frecuencia es el nmero de revoluciones o vueltas que un objeto da en
un segundo, se mide en hertz (Hz)
Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.
T se mide en segundos
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Movimiento en una trayectoria
curva
La aceleracin se descompone en radial y tangencial.
La aceleracin radial se debe al cambio de direccin del vector velocidad.
La aceleracin tangencial proviene del cambio en la magnitud de la
velocidad.
at
a ar
ar a
at
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Aceleracin radial
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Aceleracin radial
r v
r v=
Los tringulos OPQ y ABC son ambos tringulos issceles con ngulos iguales. As,
de donde se obtiene
=
Para ngulos muy pequeos V |r| / t, vemos que: V t |r|
=
. t
=
2
r
r
r
r
var
2
22 .
===
Esta es llamada aceleracin centrpeta o radial.
O
P
Q
A
B C r
1
v
q
v(t+t)
v(t)
r(t+t)
r(t)
v(t) v(t+t) q
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Aceleracin radial
El subndice r indica que la aceleracin es radial.
Vectorialmente se escribir como
a rrv
r=
2
En donde es el vector unitario en la direccin del radio del crculo. Este vector cambia de direccin conforme la partcula se mueve en la trayectoria circular.
La aceleracin se puede expresar como
22
2
2
44
rfT
rar
==
r
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento circular uniforme
=
=
=
12
12
tttm
qqq Constante
tqq = 12
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Un conductor ajusta el control de crucero de su automvil y amarra el volante para que el vehculo viaje con rapidez uniforme de 15 m/s en un crculo con dimetro de 120 m a) Qu distancia angular recorre el coche en
4 minutos.
b) qu distancia lineal recorre en ese tiempo.
Ejemplo
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Ejemplo Calcule la rapidez angular, la rapidez, la frecuencia, el periodo y la
aceleracin correspondiente en un punto del ecuador de la tierra.
El periodo es 24 h o sea
T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s
La frecuencia es
f = 1/T = 1.16 x 105 Hz
El radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad es
v = 2R/T = (2)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/s
La rapidez angular es
= 2f = 2(1.16 x 105) = 7.3 x 105 Hz
La aceleracin es
a = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Ejemplo
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Ejemplo
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Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Hallar la velocidad ; angular, la velocidad lineal y la aceleracin centrpeta de: a) Un punto de su periferia. b) Un punto situado a 10 cm del centro. c) Cunto tiempo tardar el disco en girar
780? d) Y en efectuar 15 revoluciones?
Ejemplo
La velocidad angular no depende de la distancia que separa al punto considerado del centro del disco. Todos los puntos de un mismo radio del disco describen el mismo ngulo en el mismo tiempo.
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Continuacin
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Continuacin
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Tarea
El transbordador espacial sigue una rbita circular a 220 km de la superficie
terrestre y hace una revolucin alrededor de la Tierra cada 89 min. Calcule
la rapidez angular, la rapidez y la aceleracin.
av
rr=
2
Radio de la Tierra = 6.4 x 106 m
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MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO
Si una partcula se mueve en una trayectoria curva (no necesariamente circular) experimenta una aceleracin radial dada por
av
rr=
2
donde r es el radio de curvatura en el punto dado.
12
12
tttm
=
=
La aceleracin angular es el cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo.
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Continuacin
a a a r= = r tv
r
dv
dt
2
q
dt
dv
t
vat =
=
Ya que la rapidez angular cambia con respecto al tiempo, la rapidez tangencial tambin cambia por lo que aparece tambin una aceleracin producida por esta variacin de la rapidez tangencial
La aceleracin total se la determina mediante la suma vectorial de la acelaracin radial y la aceleracin tangencial
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Componentes radial y tangencial
de la aceleracin
O
at
ar
a
Aceleracin radial y tangencial
r
q
q
r
Vectores unitarios en
coordenadas polares
O
y son vectores unitarios en la direccin en que crece q y en la direccin radial.
q r
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Continuacin la magnitud de a es:
a a ar t= 2 21
2
Ecuaciones para el Movimiento circular Uniformemente Variado
= 0
= 0 1
22
2 = 02 2
Autor: Ing. Jos David Jimnez
Movimiento de un pndulo
ar
at
a
g q
f
r v 0
Una pelota unida al extremo de una cuerda de 0.50 m de longitud se balancea en un crculo vertical bajo la influencia de la gravedad. Cuando la cuerda forma un ngulo = 20 con la vertical, la pelota tiene una rapidez de 1.5 m/s.
a) Encuentre la magnitud de la componente radial de la aceleracin en ese instante.
b) La magnitud de la aceleracin tangencial cuando = 20
c) Encuentre la magnitud y direccin de la aceleracin total cuando = 20
Autor: Ing. Jos David Jimnez
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