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Ecuacin Bsica del FlujoTransciente
Bajo las condiciones fluyentes en estado estabilizado, lacantidad fluido que entra en el sistema es igual como elque es desalojado. El fluido contenido en el medio porosocambia con el tiempo, en consecuencia las variables
adicionales que se tienen que se tendrn que tomar encuenta sern:
Ct : compresibilidad total
t : el tiempo. : la porosidad
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Ecuacin Bsica del Flujo TranscienteLa ecuacin matemtica del flujo transitorio se basa en lacombinacin de tres ecuaciones independientes que son:
a).- Ecuacin de la continuidad:Es el balance de materia que noscontabiliza cada lbm del fluido producido, inyectado o remanente en elreservorio.
b).- Ecuacin del Transporte:Bsicamente es la Ley de Darcy en
su forma diferencial, describe el caudal de flujo de fluido que sale oentra en el reservorio.
c).-Ecuacin de la Compresibilidad:Expresada en trminos de Vo , describiendo que los cambios de estos son funcin de la presin.
d).-Condiciones Iniciales y del Limite:La inicial requiere de unauna formulacin completa y una solucin de la ecuacin del flujotransciente, para el limite ser:
La formacin produce con un caudal constante en el wellbore
No existe flujo a travs del limite exterior, el reservorio se comportacomo si tuviera un tamao infinito (p.e. el r
e=).
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Ilustracin del Flujo Radial
(Volumen elemental introducido durante un intervalo de tiempot)(Volumen elemental desajolado durante un intervalo de
tiempot) = Acumulacin del caudal de la masa durante unintervalo de tiempo t
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. (1 1)
Asumiendo que:
ct: es pequea e independiente de la presion
k: es constante e isotropica
: es independiente de la presin. : es constante
t
p
k
c
r
pr
rr
t
1
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Ecuacin de la Difusividad
Asumiendo : QUE EL FLUJO ES RADIAL QUE EL RESERVORIO ES HOMOGENEO
- HORIZONTAL
- ESPESOR CONSTANTE EL FLUIDO SIGUE LA LEY DE DARCY.
HAY SOLAMENTE UNA SOLA FASE.
LA COMPRESIBILIDAD Y LA VISCOSIDAD SON CONSTANTES.
LOS EFECTOS GRAVITACIONALES NO SON TOMADOS EN CUENTA.
Este mtodo tambin puede aplicar a fluidos no ideales y reservoriosheterogneos con ciertas condiciones adicionales
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Ecuacion de la Difusividad para FlujoRadial
En forma similar puede desarrollarse para gases no ideales donde
z: es el factor de desviacin del gas
Para el flujo de o,g y w
Donde : la compresibilidad total del sistema ct
Ct =SoCo+ SgCg+ SwCw+ Cf
t= movilidad total
z
p
tk
c
r
pr
z
p
rr
t
000264.0
1
w
w
g
g
o
ot
kkk
. (1 2)
. (1 3)
. (1 4)
t
p
r
pr
z
p
rr t
000264.0
1
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Solucin de la Ecuacin de la Difusividadpara Reservorio con Limite Cilndrico
Se asume (1) qB es constante,(2) el rwesta al centro delreservorio cilndrico con re.
Donde por la eficiencia y la conveniencia seintroducen las variables adimensionales del reD& teD:
Donde nson las races de:
Donde J1& Y1son funciones de Bessel
neDnn
eDneD
eDiwf
JrJ
rJer
r
tD
hk
qBpp
tnD
2
1
2
1
2
2
1
2 2
4
3ln
22.141
w
eeD
r
rr
2
000264.0
wrc
ktt
t
eD
01
2
11
2
1 eDnnneDn rYJYrJ
. (1 5)
. (1 6)
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Solucin de la Ecuacin de la Difusividad para unReservorio cilndrico infinito con LineSource Well
Se asume que: (1) qB es constante,(2) el rwasumiendo el radio cero,(3) la
presin del reservorio es uniforme y (4) el drenaje esta en un rea infinita
Donde p es la presin (psi) a la distancia de r (f t) del pozo, al tiempo t (hrs.) y :
Es la Funcin Exponencial.Lasolucion tiene una buena aproximacin para:
Para tiempos muy pequeos de: 3.79x105ctrw2/k, el r es cero (y asumiendode que el pozo es la lnea de origen o sink). Para valores de x < 0.02 , Ei(-x)podr ser aproximada como:
Si 0.02
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Solucin de la Ecuacin de la Difusividad para unReservorio cilndrico infinito con LineSource Well
Hawkins puntualizo la presencia de dao o estimulacin de la zona cercana al pozo
,considero una zona alterada con permeabilidad uniforme (ks),de radio (rs) queocasiona una cada de presin:
Combinando las ecuaciones, tendremos la cada de presin total :p
Se define el factor de dao en la zona alterada:
Entonces para el drawdown tendremos: que:
w
ss
r
r
k
ks ln1
skt
rc
hk
qB
pp
wt
wfi 2
688.1ln6.70
2
. (1 12)
. (1 13)
. (1 14)
. (1 15)
1ln2.1411ln2.141
w
s
w
s
s
sr
r
kh
qB
r
r
hk
qBp
w
s
s
sr
r
k
k
kh
qBp ln12.141
w
s
s
wtwfi
s
t
iwfi
r
r
k
k
kt
rc
hk
qBpp
pkt
rcE
hk
qBpp
ln12688.1
ln6.70
9486.70
2
2
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Solucin de la Ecuacin de la Difusividad para unPseudosteady State Flow
Se asume que es valida para tiempos largos , so that the summation involvingexponentials y las funciones de Bessel es negligible; despues del tiempo(t >ctrw2/k )
O tambin
Ntese que durante este periodo encontramos , por la derivacin, ser:
Entonces el liquido llenado en el espacio poral es: (ft3) tendremos: hrV ep2
pt
wf
Vc
qB
t
p 234.0
4
3ln
22.141
2 eD
D
Diwf r
r
t
hk
qBpp
. (1 16)
. (1 17)
. (1 18)
. (1 19)
4
3ln
000527.02.141
2
w
e
et
iwfr
r
rc
kt
hk
qBpp
20744.0et
wf
rhcqB
tp
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Solucin de la Ecuacin de la Difusividad paraun Pseudosteady State Flow
El decremento de la presin (PiP) resultante de la remocion del qB (RB/D) delfluido en el tiempo t(hrs), es expresado a continuacin como:
Sustituyendo en la Eq. 1. 17
O tambin
)(
0744.0
)(
)24/(615.522 hrc
qBt
hrc
tqB
Vc
Vppi
etett
4
3ln2.141
)(
0744.0
)(
0744.022
w
e
etet
wfr
r
kh
qB
hrc
qBt
hrc
qBtpp
. (1 20)
. (1 21)
. (1 22)
4
3ln2.141
w
ewf
r
r
kh
qBpp
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Solucin de la Ecuacin de la Difusividad paraPseudosteady State Flow
Si incluimos el S para el calculo si se tiene daado o estimulado el pozo
Podemos determinar la permeabilidad kj
Con lo cual obtendremos:
El ndice de Productividad (PI)
4
3ln2.141
e
e
j
wfr
r
hk
qBpp
S
r
r
hk
qBpp
e
e
j
wf4
3ln2.141
S
r
rr
rk
k
w
e
w
e
j
4
3ln
4
3ln
sr
rB
hk
pp
qJ
w
e
j
wf
4
3ln2.141
Psr
r
kh
qBpp
w
ewf
4
3ln2.141
Sr
r
kh
qBpp
w
ewf
4
3ln2.141
. (1 23)
. (1 24)
. (1 25)
s
r
r
hrc
qBt
kh
qBpp
w
e
et
wfi4
3ln
)(
000527.02.141
2
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Ecuaciones de Flujo para Reservoriosde Geometra Generalizada
Los modelos para el flujo @ S-S de muchas formas en generalse tendr como:
Donde A = rea de drenaje (ft)CA= Factor de forma de un rea de drenaje especifico
El ndice de Productividad (PI):
s
rC
A
kh
qBpp
wA
wf4
306.10ln
2
12.141
2
SrC
AB
kh
pp
qJ
wA
wf
4
306.10ln
2
1
00708.0
2
. (1 26)
. (1 27)
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