Trigonometría
Identidades trigonométricas fundamentales
En matemát icas , las identidades trigonométr icas son igualdades que involucran razones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se considere. Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen razones trigonométricas.
TIPOS DE IDENTIDADES
Identidades por cociente
tan 6: s e n 0
COS0 cote;
cose sene
Identidades recíprocas
csc0 = >sen6csc6 = l sene
Identidades pitagóricas
sen 2 e + cos 2 e = l
sen 2 e =l -cos 2 6
• cos 2 6=l -sen 2 0
1 +tan 2 e=sec 2 e
• sec 2 6- tan 2 e =l
l+cot 2 G=csc 2 e
• c sc 2 0-co t 2 e =l
dentidades auxiliares
sen 4 e+cos 4 9= 1 -2sen 26cos 20
sen 6 e+cos 6 9=l - 3sen20cos2e
tan6+cote=sec0csc6
sec 26+csc 29=sec 26csc 2 e
sec0 = cose
->cos6sec6 = l
cote = >tan6cot6 = l t añe
Propiedad
Si asenG+£>cos6=c donde a2+b2=c2
entonces:
sen0 = — cos6 = — c ' c
266
Semestral UNI • Trigonometría
Problemas resueltos 1. Demuestre que
Si asenx+&cosx=c, además , a2+b2=c2
entonces se cumple que a b
senx = —, cosx = — c c
Demostración Del dato, tenemos que asenx+bcosx=c
—> asenx=c- í>cosx
Resolución
Dato: cot x -• Ha2
Elevamos ambos miembros al cuadrado: o 2 sen 2 x=c 2 -2bccosx+6 2 cos 2 x a 2 ( l -cos 2jr)=c 2-2&ccosAf+ft 2cos 2x a 2 = c 2 + ( o 2 + ¿ 3 2 ) c o s 2 x - 2 6 c c o s j f
Al reemplazar a2=c2-b2 y a2+b2=c2
tenemos c 2 -b 2 =c 2 +c 2 cos 2 j f - 2bccosx c2cos2x-2bccosx+b2=0 (ccosx- í>) 2 =0 -> ccosx=b
h2 ={í¿í Á^f 1/2
Luego
_ a b ah bh E = + = .,— +-frsenx ocosx ¿ j ^ 2 " Q 3 / ¿ 2
Luego, cosx = — c
Reemplazando el eos* en la igualdad asenx+fc>cosx=c se tiene que
a sen* = —
E = h\ + — b a
Si cotJf = 2/3
encuentre el valor de
la siguiente expresión
a b E = - - + -ftsenx acosx
del primer cuadrante.
siendo x un arco
UNI 95-1
E =
ab
3 „ 2 3 / .2
s3/2
N3/2 a¿ | ¿Ib
267
Semestral UNI • Trigonometría
Identidades trigonométricas de arcos compuestos
IDENTIDADES PARA LA SUMA DE DOS ARCOS
sen(a+9) =senacos9+cosasenG i
eos (a+6) \
=cosacosG - senasenB
tan(a + 6) = tan a + tan 9 1-tan retan 9
IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DE DOS ARCOS
sen(a - 9)=senacosG -cosasen9
cos(a - 9)=cosacos9+senasen9
t ana- tan9 = sen (a -9 ) eos a eos 9
PROPIEDAD
Si x es variable angular y a y b son constantes, entonces
asen x+ b eos x=Va2 + b2 sen( x + G)> donde
n b , i a sen i = , eos 9 = Va 2 +b2 ' Vo2 + ¿
Además, se cumple que
-\la2 + b2 <asenx + bcosx<<Ja2 +b2
TEOREMAS
IDENTIDADES AUXILIARES
sen (a+9)sen(a+0)=sen a - sen 9
cos(a+9)cos(a - 9)=cos 2 a - sen 2a
tana + tanG = sen(a + 9) eos a eos 9
Si A+B+C=nn, nsZ, entonces tanA+tanS+tanC=tanAtanfitanC
Si x + y + z = (2n + l)-,neZ, 2
entonces coL4+cotfi+cotC=cotAcotecotC
269
Academia César Vallejo ' Material Didáctico N.° 1
Problemas resueltos
1. Demuestre que si x es variable real y a y o constantes reales se cumple que
- V a 2 +b2 < asenx + bcosx < \¡a2 +b2
Demostración
Sea £ = a s e n x + b c o s x
-> £ ' -ocosx=asen\
Elevamos ambos miembros al cuadrado
£ 2 - 2 o £ c o s j c + b 2 c o s 2 x = a 2 s e n 2 x
£ 2 -2b£ , cosx+b 2 cos 2 A:=a 2 ( l -eos 2*)
Simplificando, tenemos la ecuación de 2.° grado:
( a 2 + b 2 ) c o s 2 x - 2 £ b c o s x + £ 2 - a 2 = = 0
Comox e R, entonces, cosx e R. Luego, la ecuación cuadrática tiene soluciones reales, es decir, el discriminante de la ecuación es mayor o igual a cero.
( - 2 £ b ) 2 - 4 ( a 2 + 6 2 ) ( £ 2 - a 2 ) > 0
E2b2-(a2+b2)(E2-a2)>0
E2b2-E2a2-E2b2+a\a2+b2) > 0
a 2 ( a 2 + b 2 ) - £ 2 a 2 > 0 -> E2<a2+b2.
:. - V a 2 + D 2 <E<-ja2+b2
2. A partir del gráfico, halle x.
2V3
Resolución Del gráfico, se observa que
• p = a + 3 0 ° x . _ x+7
tana = — ¡ = ) tanp = 2V3 2V3
| 5=a+30° -> t anp= tan (a+30° )
, „ tana + tan30° tanB =
l - t a n a t a n 3 0 ° x J _
x + 7 = 2 V 3 + V 3 2V3 j _
2V3 ){"J3
x + 7 = S(x + 2) 2V3 ~~ 6 - x
Simplificando, tenemos: x 2+7x-30=0.
.-. x=3
270
Academia César Vallejo - Material Didáctico N. 1
Identidades trigonométricas de arcos múltiples
IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE
eos 2 9 - sen 2 9
cos29 = < 2 c o s 2 9 - l
l - 2 s e n 2 9
sen29=2sen9 cos9
IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE
sen39=3sen6-4sen áe
cos39=4cos 39-3cos9
tan 39 = 3 t an9- t an 3 9
l - 3 t a n 2 9
Fórmulas de degradación
2cos 2 9=l+cos29 2sen 2 9=l-cos29
Triángulo del ángulo doble
l+ tan 2 9 2tan6
• sen 29 =
• eos 29 =
l + tan ¿ 8
l - t a n 2 9 l + tan 2 9
Identidades auxiliares
• cot9+tan9=2csc29
• cot9-tan9=2cot29
3 1 • sen 4 9 +eos 4 9 = - + -eos 49
4 4 • sen 6 9 + cos 6 9 = - + -cos49
8 8
Fórmulas de degradación
4cos ,39=3cos9+cos39
4sen í0=3sene-sen39
Identidades auxiliares
sen39=sen9(2cos29 +1)
cos39=cos9(2cos29 -1)
4sen9sen(60° - 9)sen(60°+9)=sen36
4cosecos(60 o -9)cos(60°+9)=cos39
tan9tan(60°-9)tan(60°+9)=tan39
Propiedad
V n G Z, donde x es variable real
se cumple que
1 < sen 2" x + eos 2" x < 1
272
Semestral UNI • Trigonometría
Transformaciones trigonométricas
DE SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO
Por identidades trigonométricas de
arcos compuestos
Para el seno se tiene:
sen(a+B)=senacosB+cosasenp
sen(a - p)=senacosp - cosasenp
Al sumar y restar el primer y segundo miembro obtenemos:
sen(a+p)+sen(a - p)=2senacosP
sen(a+p) - sen(a - P)=2cosasenp
Sea J4=a+p y B=a - p , entonces
A + B „ A-B <x = y B =
2 2
Reemplazando, en las expresiones, se tiene
senA + s e n ñ = 2sen — — eos 2 2
seny4-senfi = 2cos sen (A+B\
- sen { 2 ) { 2
. D „ ;A+B\eos/I-I-eos £¡ = 2 eos eos
2 2 .
. _ „ .A+B} (A-B" eos A- coso = -2 sen sen
2 2 ,
DE PRODUCTO DE DOS SENOS O COSENOS A SUMA O DIFERENCIA
2senxcosy=sen(x+y)+sen(x-y)
2cosxcosy=cos(x+y)+cos(A:-y)
2serurseny=cos(jr-y)-cos(;r+y)
De manera análoga se deduce que
Propiedades
Si A4-B+C=n, se cumple
* n A A B C sen A + senf í + senC = 4cos—eos—eos—
2 2 2
^ A A B C , eos A+cosñ + cosC = 4sen—sen—sen—+1
2 2 2
sen2A+sen2B+sen2C=4senAsen6senC
c o s 2 4 + c o s f í + c o s 2 C = - 4co&4cosflcosC-1
275
Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1
Problema resuelto Inr
senl — i ( p+u Demuestre que senx+sen(x + r ) + sen(x + 2r )+ . . .+sen(x+(n- l ) ' ' ) = ^2-r^sen —
sen(-) ^ 2
Donde
P: primer ángulo U: último ángulo n razón de la progresión n: número de términos
Demostración
Sea £=ser ix+sen(x+r)+sen(x+2r ) - r . . .+sen(x+(n- l ) ' " )
Multiplicamos por 2 sen^ j a ambos miembros
2£sen - =2senxsen - +2sen(x+r)sen - +...+2sen(x+(n-l)r)sen -
Cada término del segundo miembro lo transformaremos en una diferencia de cosenos.
2senxsen - =cos x-- |-cos 2 2 ' 7 2
2sen(x + r)sen| - | = cos -eos
2sen(x + 2r)sen¡ - | = cos -eos x + 5r
2sen (x+(n- l ) r ) sen | - | = cos x+\jt^~\r -eos x+\— r
Sumando todos los términos de manera vertical
2£sen' - ] = cosf x - - i - cosí x + í n - - | r l 2 j { 2 ) { { 2)
Transformando a producto:
^£sen í ^ | = ,2fsen x + | n--\r+\
2 2 sen
, n ( r
x+\ r - x — 2 2
2 s e n í ^ £ = 2 s e n í W + ( x + ( n - 1 W ^ ^ W
{2
Sea: P=x
Reemplazando
'nr
U=x+(n-\)r
£ = -sen l^
2 J í P + U ¿ '-sen
sen — 2
276