Función de Primer Grado
¿Cómo resolvemos un problema?
El proceso de resolución de problemas requiere capacidad de transferir experiencias pasadas a situaciones nuevas, para lo cual es necesario:
Analizar la nueva situación.
Determinar relaciones.
Seleccionar, entre los principios y conceptos conocidos, aquellos que sirven para resolverlas.
Aplicar convenientemente estos conceptos y principios.
CONCEBIR un plan: que permita, con los recursos disponibles, encontrar la solución al problema.
EJECUTAR el plan.
EXAMINAR la solución obtenida.
ELABORAR CONCLUSIONES: la solución que se acepta o rechaza permite llegar a una conclusión, la que resuelve el problema y determina el comienzo de una nueva investigación.
COMPRENDER el problema: establecer datos, incógnitas, saber distinguir lo importante de lo superfluo.
La función como modelo
Una pileta de lona contiene 300 litros de agua. Se comenzó a vaciar a razón de 15 litros de agua por minuto.
a) Encuentre la ley que describe la cantidad de agua que permanece en la pileta.
b) Grafique la función.
c) ¿En cuánto tiempo se vaciará la pileta?
d) ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando a la pileta le quedan 120 litros?
0
12
3
4
300
300–15.1= 285300–15.2= 270
300–15.3= 255
300–15.4= 240....
t
.....
300–15.t
300–15.1= 285300–15.2= 270
300–15.3= 255
300–15.4= 240
Volumentiempo
V(t) = 300 – 15.t
t x
V(x) = 300 – 15.x
0
12
3
4
300
270
255
240.... .....
285
Volumentiempo
+1 –15
+1 –15
–15 1
∆y ∆x
=
+2
–30
–30 2
=
+2
–30
= –15
pendiente m = –15
(0, 300) ∈ recta ordenada al origen h = 300
∆y ∆x
–15 1
= = –15
c) ¿En cuánto tiempo se vaciará la pileta?
V(x) = 300 – 15.x
300 – 15.x = 0
300 = 15.x
300 15
= x ⇒ x = 20
A los 20 minutos la pileta estará vacía.
x = 20 cero o raíz de la función.
d) ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando a la pileta le quedan 120 litros?
V(x) = 300 – 15.x
120 = 300 – 15.x
120 – 300 = –15.x
–180 –15
= x ⇒ x = 12
A los 12 minutos a la pileta le quedarán 120 litros.
12
120 P(12, 120)
P(12, 120) ∈ recta
V(x) = 300 – 15.x
Definición: f: R R x mx + h
pendiente
f: R R / y = mx + ho bien:
ordenada al origen
f: R R / y = mx + h
Representación gráfica: una recta
∆y ∆x
m = P(0, h)
f: R R / y = mx + h
(m ∈ R, h ∈ R)
Represente: 3 2
y = x + 4
3 2
h = 4
m =∆y ∆x
=
+2
+3
P(0, 4) ∈ recta
Si m > 0
y = mx + hes creciente
Represente: –4 3
y = x + 7
–4 3
h = 7
m =∆y ∆x
=
+3
– 4
P(0, 7) ∈ recta
Si m < 0y = mx + h
es decreciente
Represente: 5 4
y = x
5 4
h = 0
m = ∆y ∆x
=
+4
+5
P(0, 0) ∈ recta
Si h = 0, m ≠0
y = mx
Función de proporcionalidad
directa
Represente: y = 6
h = 6
∆y ∆x
=
P(0, 6) ∈ recta
Si m = 0y = h
Función constante
m = 0
Sea la función y = 2x + 1 h = 1m = 2,
A(–3, –5) B(–2, –3)
C(0, 1) D(2, 5)
A(–3,–5)
B(–2,–3)
C(0, 1)
D(2, 5) y2 – y1
x2 – x1= 2
y2 – y1
x2 – x1
= m
P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2)
Sea la función y = mx + h
y2 – y1
x2 – x1
m =
P1(x1 , y1) ∈ recta
P2(x2 , y2) ∈ recta
⇒ y1 = mx1 + h
⇒ y2 = mx2 + h
y2 – y1 = mx2 – mx1
y2 – y1 = m.(x2 – x1)
Si x2 ≠ x1 ⇒
x2 – x1
y2 – y1
α
α
y2 – y1
x2 – x1
m = P2
P1
x1 x2
y2
y1
x2 – x1
y2 – y1
x2 – x1
tg α =
tg α = m
Si P1(x1, y1) ∈ recta y m es la pendiente:
P1(x1, y1)
y – y1 = m.(x – x1)
si P2(x2, y2) ∈ recta
P2(x2, y2)
y – y1 = .(x – x1)y2 – y1
x2 – x1
y – y1
y2 – y1
= x – x1
x2 – x1
y2 – y1
x2 – x1
m =
x2 ≠ x1
y2 ≠ y1
Forma explícita: y = mx + h
Forma punto–pendiente: y – y1 = m.(x – x1)
Forma simétrica: y – y1
y2 – y1
= x – x1
x2 – x1
Forma general o implícita: ax +by + c = 0
x2 ≠ x1
y2 ≠ y1
α1α2
y = m1x + h1y = m2x + h2
m1 = m2
α1 = α2
tg α1 = tg α2
Rectas paralelas
3 2
m1 =
3 2
y = x + 4
–2 3
m2 =
–2 3
y = x + 7
Rectas perpendiculares
–1 m2
m1 =
m1 . m2 = –1
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