FUNCIÓN
PROPOSICIONAL
Y
CUANTIFICADORES
Autor: Luis Rolando Pacheco Huarotto
FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Una función proposicional es un enunciado abiertoP(x), en la que figura la variable “x” como sujeto uobjeto directo; la cual se convierte en unaproposición para cada especificación de “X”.
Ejemplos:a) P (x): X es impar
P ( - 4 ): - 4 es impar ( F ) P ( 5 ): 5 es impar ( V )
b) P ( x, y): X es divisor de Y
P ( -2,6): - 2 es divisor de 6 (V)
p (10,2): 10 es divisor de 2 ( F )
Nota.- Al conjunto de todos los valores convenidos para “x”, se denomina
DOMINIO DE LA VARIABLE.
c) P(x): x+1 < 9. Si x Є Z, entonces p(x) es una función proposicional
cuyo dominio son los Números enteros.
p (-2): -2 + 1 < 9 (V) P(10): 10 + 1 < 9 (F)
CUANTIFICADORES
Son expresiones “PARA TODO” o “ALGUNOS”, etc.; que
se anteponen a un enunciado abierto para convertirlo en
proposición. Estas proposiciones indican dos opciones:
que todos los elementos intervienen o que algunos
elementos intervienen.
Se utilizan en el lenguaje cotidiano y también en el
lenguaje matemático.
Ejemplos:
a) Todos los Iqueños son Peruanos
b) Algunos números enteros son naturales
c) Todas las ciudades son bellas
d) Algunas pruebas se quedaron en casa
Nota.- A través de la Cuantificación, también se pueden
crear proposiciones desde una función proposicional.
CLASES DE CUANTIFICADORESEntre ellos tenemos el Cuantificador Universal y el CuantificadorExistencial.
1.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Es una generalización de laConjunción. Por ello es Verdadero cuando todos los valores de“x” que pertenecen al Dominio de A son Verdaderos.
Se denota:
∀x ; p(x) Se lee: “Para Todo x”, “Para cada x”,
“Todos (as) las x”, “Todo (a) x”; etc.
2.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Es una generalización de laDisyunción Inclusiva. Por ello, es Verdadero cuando al menosun valor de “x” perteneciente al Dominio de A, es Verdadero.
Se denota;
∃ x / P (x) Se lee: “Existe al menos un x”, “Algunos x”,
“ Hay x”, “Existe un x”, etc.
EJEMPLOS:
1.- Formaliza las siguientes proposiciones:
a) Todo número natural , es mayor o igual que uno
R: ∀x Є N; x ≥ 1
b) Existe al menos un número entero, cuya raíz cuadrada es
un número irracional.
R: ∃ x Є Z / Є I
2.- Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes:
a) ∃ x ∈ A/ x+3 =10 ……………. Es ( F )
Porque, ningún número de A es una solución de x + 3 = 10
b) ∀ x ∈ A: x+3 < 10 ………….. Es ( V )
Porque, cualquier número de A cumple que x + 3 < 10.
NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES
La negación de cualquiera de los cuantificadores, se realizanegando la proposición p(x) y cambiando el cuantificadoruniversal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así:
~ [ ∀x ; p(x) ] Ξ ∃ x / ~ P (x)
~ [∃ x / P (x)] Ξ ∀x ; ~ p(x)
Ejemplos:1.- Simboliza y Niega las siguientes proposiciones:
a) Todos los números enteros son impares
Sea el Dominio Z y la función Proposicional p(x): x es un número
impar.
Simbolicamente: ∀x Є Z ; p(x)
Negamos: ~ [ ∀x Є Z ; p(x) ] Ξ ∃ x Є Z / ~ P (x)
Interpretamos: Existe al menos un número entero que no es impar
b) Algunos estudiantes aprobaron el examen
Simbolizamos: ∃ x / P (x)
Negamos: Todos los estudiantes noaprobaron el examen ( ∀x ; ~ p(x) )
c) Todos los gatos maullan : ∀x ; p(x)
Algunos gatos no maulla : ∃ x / ~ P (x)
d) Algunos triángulos son equiláteros
Todos los triángulos no son equiláteros
e) Todo número entero es negativo
Algunos números enteros no son negativos
EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Simboliza las proposiciones considerando como universo el
conjunto de estudiantes de tu aula.
a) Todos llegaron a tiempo
b) Algunos estudian
c) Hay pocos que son aplicados
d) Todos estudian aunque algunos no aprueban
2.- Sea A ⁼ { x/x Є N, x<10} y las funciones proposicionales P(x): x≤9, Q(x): x>9 y R(x): x<5
a) Utiliza Cuantificadores y convierte las funciones en proposiciones.
b) Determina su valor de verdad
3.- Expresa la negación de:
a) Algunos números primos no son impares
b) Todos los metales son buenos conductores de calor
c) El doble de todo número entero positivo es un número par
4.- Decodifica las notaciones y exprésalas en lenguaje verbal
a) ∀ x ∈ N: x+3 < 10 c) ∀ x ∈ Z: x ≥ 0
b) ∃ x ∈ Z/ 2x es par d) ∃ x ∈ N/ x ≤ 0
Docente: Luis Rolando Pacheco Huarotto
Top Related