FUNCIONES INVERSAS
Función uno-a-uno
Cada valor de la
función en R
corresponde a
exactamente un
elemento en D .
Los valores del
campo de valores no
se comparten.
Prueba de la línea horizontal
• Esta prueba dice que una función f es uno-a-
uno si cada línea horizontal interseca la gráfica
de f en no más de un punto.
Aquí f NO
uno-a-uno.
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:
• Construir la gráfica de
f…
• Luego realizar la
prueba de la línea
horizontal.
• f es uno-a-uno …
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.
• Construir la gráfica de f…
• Luego realizar la prueba
de la línea horizontal.
• g NO es uno-a-uno, ya que
existe al menos una línea
horizontal que interseca la
gráfica de g en dos puntos.
Funciones crecientes/decrecientes
• Una función que es creciente en
todo su dominio es uno-a-uno;
• Una función que es decreciente en
todo su dominio es uno-a-uno;
Funciones Inversas• Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R,
y = f(x), entonces
podemos definir una función g de R a Dmediante la regla x = g(y) .
• El diagrama muestra que g invierte la correspondencia definida por f :
• Llamaremos g la función inversa de f y escribimos 𝑔 = 𝑓−1(𝑥) .
Teorema sobre funciones inversas
• Sea f una función uno-a-uno con dominio D yrango R .
• Si g es una función con dominio R y rango D , entonces g es la función inversa de f si y solo sise cumple lo siguiente :
– g(f(x)) = x para todo x en D
– f(g(y)) = x para todo y en R
• A la función g que es la inversa de f, le designamos la notación f -1 (x).
Ejemplo• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :
1. Verificar si f(x) es uno a uno.Esta es una función linear. Su pendiente es positiva.
Por lo tanto, f es creciente en todo su dominio y es una función uno-a-uno.
2. Invertimos variablesx = 3y - 5
3. Resolvemos la ecuación para y:x + 5 = 3y𝑥+5
3= 𝑦
𝑦 =𝑥+5
3o 𝑓−1(𝑥) =
𝑥+5
3
Ejemplo (cont)4. Verificaciones usando composición:
𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 5
3f(x) = 3x - 5
Graficas de f -1
• Como una funcion y su inversa intercambian
su dominio y rango,
– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo
si…
– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .
• Las gráficas de f(x) y f -1(x) son reflexiones
sobre la recta y = x.
Ejemplo: Trace las gráficas def(x) = 3x - 5 𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 5
3
x f-1 (x)x f(x)-3-2-10123
x f(x)-3 -14-2 -11-1 -80 -51 -22 13 4
x f-1 (x)-14 -3-11 -2-8 -1-5 0-2 11 24 3
Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe,
• D: [-3, ∞) ; R: [0, ∞)
• f(x) es creciente en todo sudominio, por lo tanto tieneinversa
𝑦 = 𝑥 + 3
x= 𝑦 + 3
x2 = y + 3
y = x2 – 3
f-1 (x) = x2 – 3; D: [0, ∞); R: [-3, ∞)
para f(x) = 𝑥 + 3
Ejemplo: Dado que f es una función uno-a-uno, hallar f -1 (x). Indicar su domino y campo de valores.
• Solución:𝒇−𝟏 𝒙 =
−𝟒𝒙 − 𝟓
𝟕𝒙 − 𝟐
Dom: 𝒇−𝟏 𝒙
𝑥 𝑥 ≠27
Rango:
𝑥 𝑥 ≠ −47
Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.
Dominio:
Rango:
Dominio:[-7,9]
Rango: [-1, 3]
X Y
-7
0
1
2
9
X Y
-7 3
0 2
1 1
2 0
9 -1
Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.
Dominio f-1(x):
Rango f-1(x):
X Y
-7
0
1
2
9
Dominio f-1(x): [-1, 3]
Rango f-1(x): [-7,9]
X Y
3 -7
2 0
1 1
0 2
-1 9
Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.
Dominio f-1(x): [9, -7]
Rango f-1(x): [-1,3]
X Y
3 -7
2 0
1 1
0 2
-1 9
Ejemplo: Determine, si f y g son inversas.
𝑓 𝑥 =2
𝑥3 + 1g 𝑥 =
3 2−𝑥
𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 =2
3 2 − 𝑥𝑥
3
+ 1
𝑓 𝑔 𝑥 =2
2 − 𝑥𝑥 + 1
𝑓 𝑔 𝑥 =2
2 − 𝑥 + 𝑥𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 =2
2𝑥
= 2𝑥
2= 𝑥
𝑔 𝑓 𝑥 =3 2 −
2𝑥3 + 12
𝑥3 + 1
𝑔 𝑓 𝑥 =32 𝑥3 + 1 − 2
𝑥3 + 12
𝑥3 + 1
𝑔 𝑓 𝑥 =32𝑥3 + 2 − 2𝑥3 + 12
𝑥3 + 1
𝑔 𝑓 𝑥 =3 2𝑥3
𝑥3 + 1∗𝑥3 + 1
2=
3𝑥3 = 𝑥
Si, son inversas.
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