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Leonhard Euler
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Introducción
Las funciones
trigonométricas son
funciones muy utilizadas
en las ciencias naturales
para analizar fenómenos
periódicos tales como:
movimiento ondulatorio,
corriente eléctrica
alterna, cuerdas
vibrantes, oscilación de
péndulos, ciclos
comerciales, movimiento periódico de los
planetas, ciclos biológicos, etc.
Las funciones trigonométricas fueron
sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes
habían dado expansiones en forma de serie para
las mismas.
0k
1k2
k
x!1k2
1xsen
Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y
sistemático a las funciones trigonométricas. La
periodicidad de estas funciones y la introducción
de la medida de los ángulos por radianes, fue
realizada por Euler en su Introductio in Analysis
Infinitorum en 1748.
Concepto: Las funciones trigonométricas son
funciones reales de variable real cuya variable
dependiente “y” es el valor obtenido al evaluar el
operador trigonométrico en un número real “x”
adecuado.
Ejemplos:
Función seno: senxy ; Rx .
Función tangente:
xtany ;
2
1k2Rx
xcosxsenxcoty 2 ; kRx
Dominio de una función
Es el conjunto de valores que admite la variable
independiente.
NOTACIÓN: Dom, D.
Sugerencias para calcular dominio
a) Para cociente:
xg
kxf ; k constante
Hacemos: 0xg .
Ejemplos: Calcular dominio
* xsecxf .
* xcscxf
Observación:
* ,xtan xsec están definidas para 2
1k2x
, Zk
* xcot , xcsc están definidas para kx ,
Zk .
b) Para radicación
n2 xgxf , Nn
Hacemos: 0xg
Ejemplos: Calcular el dominio
* senxxf
* xcos2
1xf ;
2,
2x
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Observación: Cuando queremos calcular el
dominio de una función tipo:
xg
1xf
Consideramos los Rx tales que 0xg .
Ejemplo: Calcular el dominio de:
senx21
1xg
; ,0x
Rango de una función
Es el conjunto de valores que toma la variable
dependiente.
NOTACIÓN: Ran, Im.
Sugerencias para calcular rango
Obtener el dominio de la función
Simplificar la regla de correspondencia
A partir del dominio construir la regla de correspondencia simplificada.
Ejemplos: Calcular rango
* x2senxsenxcosxf 2222 .
* xcos1
xcos1xh
2
Función par
f es una función par si:
xfxf Domfx,x
Gráficamente una función es par si es
simétrica respecto al eje Y.
Función impar
f es una función par si:
xfxf Domfx,x
Gráficamente una función impar es simétrica
respecto al origen de coordenadas.
Ejemplos: Indicar si es una función par e impar
* ( ) ( ( ))
* ( )
* ( )
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Función Creciente
f es una función creciente si para todo
tal que entonces
( ) ( )
Función Decreciente
f es una función creciente si para todo
tal que entonces
( ) ( )
En la figura se representa la gráfica de la función f
en el intervalo[ ] donde se puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
2.) Decreciente en los intervalos⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Observación:
* Sea ( ) [ ] una función creciente
entonces se tiene:
( ) ( ) ( )
* Sea ( ) [ ] una función
decreciente entonces se tiene:
( ) ( ) ( )
Ejemplos: Calcular el rango de la función
* ( ) ⟨
⟩
Función periódica
f es una función periódica si existe
tal que para todo se cumple:
( ) ( )
Gráficamente se repite cada cierto intervalo de
longitud T
Nota:
Sea ( ) ( )
Donde F. T :
Funciones Exponente Periodo
sen, cos,
sec, csc
Si es
impar
| |
Si es par
| |
tan, cot Para
cualquier
| |
T T T T
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Gráfica de las funciones trigonométricas
Grafica de la función seno
CARACTERISTICAS
Dominio: .
Rango: ( ) [ ]
Periodo:
Es una función impar
Es una función continua en su dominio.
Es una función creciente ⟨
⟩ y es decreciente
⟨
⟩, donde
Puntos de inflexión: nx ; Zn . (En
estos puntos hay un cambio de concavidad1)
Análisis gráfico de las funciones de la forma:
DCBxT.FAxf
Para graficar estas funciones vasta tener en
cuenta:
A>0 ampliación o reducción vertical
A<0 reflexión respecto al eje X
1 Se puede decir un cambio en la curvatura de la
gráfica de la función.
B>0 ampliación o reducción horizontal
B<0 reflexión respecto al eje Y
D desplazamiento vertical
C desplazamiento horizontal
FUNCIONES SINUSOIDALES
Son funciones relacionadas con las funciones
seno y coseno
DCBxcosAxf
DCBxAsenxf ,
o una combinación de ellas.
CARACTERÍSTICAS
Amplitud: A
Periodo de la función: T
El periodicidad de las funciones seno y coseno
juegan un rol importante en la obtención de las
gráficas de estas funciones.
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Cambio de fase o número de fase:
Desplazamiento horizontal
0 Desplazamiento horizontal hacia la
derecha.
0 Desplazamiento horizontal hacia la
izquierda.
Desplazamiento vertical: D
D>0 desplazamiento vertical hacia arriba.
D<0 desplazamiento vertical hacia abajo.
Ejemplos: Graficar:
a) ( )
b) ( ) (
)
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