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Fundamentacion (Seales y Sistemas II).
1 NUMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los nmeros complejos se define
como el conjunto R2 con la suma y el producto
complejo definido anteriormente. Es decir, C = (R2,+,*)
.
- Adicin de Complejos
Se define: (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d )
Ejemplo (2 , 3) + (3 , 8) = (2 + 3 , 3 + 8)
- Multiplicacin de Complejos
Se define: (a , b ) *(c , d ) = (a . c - b . d , a _.d + b
.c
Vamos a definir ahora los inversos para estas dos
operaciones:
- Inverso Aditivo (opuesto):
Dado (a , b ) su opuesto es: (a , - b )
Ejemplo: Entonces (2 , 5) su inverso (2 , - 5) .
Observar que:
(2 , 5) + (2 , - 5) = (0, 0)
- Sustraccin de complejos
La resta de dos complejos no es ms que sumar al
primero el opuesto del segundo
(a , b ) (c , d ) = (a , b ) + (c ,d ) = (a c , b d )
Ejemplo
(10 , 12) (8 , 15) = (10 , 12) + (8 , 15) = (2 , 3)
- Divisin de complejos
El cociente de dos complejos no es ms que multiplicar
al primero el inverso del segundo Siempre que ste no
sea nulo
Hasta ahora hemos considerado los nmeros complejos
expresados en forma de par ordenado vamos a ver otra
forma de expresar un nmero complejo. Llamemos
unidad imaginaria i = (0, 1) es fcil ver que:
(a , b ) = (a, 0) + (0, b ) = (a, 0) + (b, 0) * (0,1) = a +bi
Es fcil ver que i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (1, 0) =
1.
Importante: Para operar con nmeros complejos dados
en forma binmica se siguen las mismas reglas de las
operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i^2
= -1 .
Entonces
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i
y para la multiplicacin:
(a + bi ) (c + di ) = ac + adi + bic + bdi2
= ac bd + (ad + bc ) i
Con esta nueva notacin podemos escribir
C= {a +bi / a,b E R}
Dado un nmero complejo z = a +bi se llama parte real
de z al valor real Re(z ) = a y parte imaginaria al valor
real Im(z ) = b . Por lo tanto,
z = Re(z ) + i Im(z )
Si la parte real de un nmero complejo es cero se le
llama Imaginario puro y si es cero la parte imaginaria se
trata de un nmero real.
- Representacin grfica de nmeros
complejos
Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales, los nmeros complejos pueden
representarse mediante puntos de ese plano, haciendo
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corresponder a cada nmero complejo, un punto en el
plano.
El eje x lo llamaremos Eje Real y sobre l se
representa la parte real del numero.
Al eje y lo llamaremos Eje Imaginario y sobre l
representaremos la parte imaginaria
Ilustracin 1, representacin de un numero complejo
Siguiendo con el tema de la representacin grfica de un
complejo, otra manera es la que se llama Representacin
Vectorial. A cada punto del plano le corresponde un
Vector, de origen O y extremo Z, siendo O el origen de
las coordenadas.
A cada nmero complejo le corresponde un vector y a
cada vector le corresponde un complejo
- Conjugado de un nmero complejo
Dado el nmero complejo z = x + i y su conjugado es el nmero complejo z = x yi
Se verifican las siguientes propiedades:
- Mdulo y argumento
Dado: z = a +bi llamamos mdulo de Z al nmero
real positivo:
Ilustracin 2, modulo numero complejo
Y se expresa:
Interpretacin del mdulo como distancia: Si z, w C entonces z w representa la distancia entre z y w.
Ilustracin 3, El modulo como distancia
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Propiedades del mdulo: Si z,w .C
Por ultimo nos queda el argumento de un nmero
complejo que lo definimos como la medida del ngulo j
en radianes formado por el semieje positivo de las x y el
vector que representa al complejo
.
Es decir, el argumento del nmero complejo no nulo z =
x + yi es cualquier nmero j que verifique:
Como las funciones seno y coseno son peridicas de
periodo 2, el argumento de Z est definido salvo
mltiplos de 2 . Con otras palabras hay una infinidad
de argumentos de z, perodos cualesquiera de ellos
difiere en un mltiplo de 2. Si (-. ) se dice que
el argumento es principal.
Ilustracin 4, Argumento de un complejo.
Para poder obtener j de un nmero complejo dado en
forma binmica, tenemos que tener en cuenta el
cuadrante en el que se representa dicho nmero.
Dado: Z = x + yi su argumento se obtiene por :
Entonces (r , j) son las coordenadas polares de Z donde:
- Potencias y Races de un Nmero Complejo.
Potenciacin. Sea z un nmero complejo no nulo y n Z.
Llamaremos potencia n-sima de z y escribiremos z^n a:
Frmula de De Moivre.
Clculo de potencias. Si
es un nmero complejo no nulo y m Z, entonces:
Radicacin. Sea z un nmero complejo no nulo y n N.
Diremos que w C es una raz n-sima de z si:
Si z = 1, hablaremos de races n-simas de la unidad.
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- Clculo de races.
Consideremos un nmero complejo no nulo,
pretendemos encontrar un
nmero complejo tal que , esto
es:
Por tanto:
Como la funcin seno y coseno son funciones peridicas
(2), de los infinitos argumentos que existen bastar
considerar , es decir, los argumentos:
para construir las n races n-simas de z distintas:
Las n races n-simas de z residen en una circunferencia
centrada en el origen y de radio y determinan los vrtices de un polgono regular de n lados (n >3). [1].
2 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Tiene el mismo uso que en sistemas continuos:
Determinar la salida de un sistema (en estado
estacionario; cuando t ) cuando la entrada es una combinacin de sinusoides.
Alternativas a este mtodo son la convolucin y usar
Transformadas Z Y(z)=H(z)X(z) para,
posteriormente, aplicar transformadas inversas. De esta
forma se obtiene el trmino transitorio y estacionario
(para t0). Esta forma de clculo tiene una alta
complejidad.
De esta forma tenemos una forma mas sencilla de
determinar la salida de un sistema en ante cualquier
entrada en estado estacionario.
Supongamos que se se tiene un sistema L.T.I definido por la respuesta impulsional h(k) y queremos determinar
la salida de dicho sistema cuanto la entrada es la
exponencial compleja:
Aplicando convolucin:
Si se define la funcin compleja como:
Se tiene entonces:
Dado que es una funcin compleja se tiene:
La respuesta en frecuencia acta sobre la amplitud y la
fase de la seal.
La seal usada para obtener la respuesta en frecuencia
era no causal. Veamos qu ocurre con una exponencial
compleja causal.
Aplicando convolucin tenemos:
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Jugando con la ltima expresin podemos llegar a:
En la ltima expresin hay que destacar que el primer
trmino entre corchetes desaparece si el sistema es
estable BIBO (por qu?) cuando n. Esta situacin
se corresponde con el estado estacionario del sistema
por lo que en este estado slo es necesaria la respuesta
en frecuencia para determinar la salida del sistema.
De la expresin de la respuesta en frecuencia o de su
relacin con la Transformada Z se comprueba que es
peridica de periodo 2. Adems recordando nuestro
rango de trabajo con las frecuencias digitales slo habr
que evaluarla en el rango 0 w . Es decir, hay que
evaluar la Transformada Z slo en media circunferencia.
De la relacin con la Transformada Z es inmediato
obtener la siguiente relacin:
Donde:
A estas se les conoce como transformadas de Fourier en
tiempo discreto. [2].
El anlisis frecuencial slo determina el estado estacionario del sistema. Si se quiere determinar la
evolucin total (estacionario + transitorio) hay que
aplicar mtodos temporales o Transformada Z.
La DTFT tiene las mismas propiedades que la
Transformada Z (evidente por la relacin que existe
entre ellas). Para no repetir no se han expuesto aqu ya
que se tienen en el tema de Trasformada Z.
En el diseo de sistemas usando polos/ceros los polos
siempre se sitan en el interior de la circunferencia de
radio unidad (por qu?)
Teniendo libertad para los ceros; aunque es preferible
que tambin se siten en el interior (sistemas de fase
mnima).
Lo que tiene que quedar bien claro del tema es el significado y uso de una respuesta en frecuencia y lo que
supone en el anlisis de sistemas L.T.I. NO SE PUEDE
USAR SI LOS SISTEMAS NO SON L.T.I.
3 DIAGRAMAS DE BODE. Un Diagrama de Bode es una representacin grfica que
sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un
sistema. Normalmente consta de dos grficas separadas,
una que corresponde con la magnitud de dicha funcin y
otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del
cientfico que lo desarroll, Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada en el anlisis
de circuitos en electrnica, siendo fundamental para el
diseo y anlisis de filtros y amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el mdulo de
la funcin de transferencia (ganancia) en decibelios en
funcin de la frecuencia (o la frecuencia angular) en
escala logartmica. Se suele emplear en procesado de
seal para mostrar la respuesta en frecuencia de
un sistema lineal e invariante en el tiempo.
El diagrama de fase de Bode representa la fase de la funcin de transferencia en funcin de la frecuencia (o
frecuencia angular) en escala logartmica. Se puede dar
en grados o en radianes. Permite evaluar el
desplazamiento en fase de una seal a la salida del
sistema respecto a la entrada para una frecuencia
determinada. Por ejemplo, tenemos una seal Asin(t) a
la entrada del sistema y asumimos que el sistema atena
por un factor x y desplaza en fase . En este caso, la
salida del sistema ser (A/x) sin(t ). Generalmente,
este desfase es funcin de la frecuencia (= (f)); esta
dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas
elctricos esta fase deber estar acotada entre -90 y 90.
La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de
Bode no pueden por lo general cambiarse de forma
independiente: cambiar la ganancia implica cambiar
tambin desfase y viceversa. En sistemas de fase mnima
(aquellos que tanto su sistema inverso como ellos
mismos son causales y estables) se puede obtener uno a
partir del otro mediante la transformada de Hilbert.
Si la funcin de transferencia es una funcin racional,
entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilneos. Estas representaciones asintticas
son tiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo
http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fase_(onda)http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hendrik_Wade_Bode&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplificadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Decibeliohttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesado_de_se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesado_de_se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/wiki/Respuesta_en_frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_LTIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Hilbert
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una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se
pueden predecir incluso sin dibujar la grfica).
Esta aproximacin se puede hacer ms precisa
corrigiendo el valor de las frecuencias de corte
(diagrama de Bode corregido). [3]
- Construccin del Diagrama de Bode
Escala Vertical: ganancia (dB)=20 log|Vout/Vin|
Escala Horizontal: x = log f
Para construir la grfica de Bode, primero se debe
normalizar la ecuacin de la funcin de transferencia,
esto es, escribirla de forma tal que contenga:
Constantes.
Ceros en el origen.
Polos en el origen.
Ceros finitos
Polos Finitos
Cada uno de los trminos anteriores, debe expresarse
tal que cada trmino polo o cero contengan una ganancia
DC=0
As, la funcin de transferencia debe quedar escrita de la forma normalizada, por ejemplo:
Los polos y ceros cuadrticos conjugados requieren una
notacin diferente
En una forma ms general, una ecuacin de bode queda
como:
4 ONE BIT IN 12 ATOMS
Los ltimos estudios realizados por IBM has dado
grandes resultados, actualmente para poder almacenar
un bit se necesita aproximadamente un milln de
tomos, estos estudios demuestran que es posible
almacenar un bit en 12 tomos, una gran noticia, pues en
esta poca donde se intentan implementar grandes
tecnologas en tamaos cada vez ms pequeos seria un
avance grande en lo que a almacenamiento de
informacin se refiere.
Segn publica el sitio Techweekeurope.es, el hallazgo
est "jugando" con la Ley de Moore, que habla de
duplicar el nmero de transistores en un circuito
integrado cada dos aos, se dice que est jugando con
esta ley pues este hallazgo podra no solo duplicar el
nmero de transistores podra dar resultados muchsimo
mas altos, permitiendo tener procesadores y dispositivos
de almacenamiento mucho ms poderosos que los que se
tienen en la actualidad.
El responsable de la investigacin, Andreas Huiriche,
cree que el final de la ley est cerca y ese momento
llegara con el almacenamiento en un slo tomo. Al
hablar de esto estamos hablando ir al lmite de la
miniaturizacin lo cual cambiaria rpidamente la
tecnologa actual de manera drstica, la tecnologa
celular y los computadores actuales serian mucho ms
potentes pues se lograran mayores capacidades y
mejores velocidades.
Un disco duro convencional necesita una gigantesca
cantidad de tomos para guardar un nico bit. Pero lo
que han logrado Heinrich y su equipo es almacenar ese
mismo bit en apenas doce tomos. El equipamiento
necesario para este experimento y las condiciones para
el mismo son ciertamente extremos. En IBM utilizaron
un microscopio de efecto tnel para manipular una
estructura de doce tomos de hierro sobre un sustrato de
cobre, todo bajo una temperatura de un grado Kelvin. Lo
que define al estado del bit es el anti ferromagnetismo.
Un disco duro utiliza ferromagnetismo (alineamiento de
los espines), pero en el antiferromagnetismo, los espines de los tomos se encuentran en direcciones opuestas.
Cambia el espn de un tomo, y el resto le seguir. De
esta forma, en una posicin es 0, y cuando se cambia,
pasa a ser 1, tal y como el vdeo lo muestra.
Muchos han catalogado este como el final de la lay de
moore que aunque ya se estaba anticipando con el
cambio brusco de los tamaos y capacidades alcanzadas
en los ltimos aos. Segn Heinrich y su equipo aun
estn lejos de alcanzar una solucin practica a todos los
problemas que se presentan y que requiere aun entre 5 y
http://www.techweekeurope.es/noticias/ibm-lleva-el-almacenamiento-de-datos-a-niveles-atomicos-18246
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10 aos de trabajo para lograr hacer una especie de disco
antiferromagnetico que les permita usar este
almacenamiento por tomos, otro problema que se
presenta es que el almacenamiento es estable a 1 grado
kelvin y solo con pocas variaciones se generan cambios en los resultados, en estos momentos IBM calcula que
para lograr los mismos resultados a temperatura
ambiente es decir 25 grados celcius aproximadamente
requieren 150 atomos, muchos mas que los que se
esperaban, por lo tanto son problemas que se deben
resolver, por el momento parece que un plazo de 10
aos parece muy poco para resolver los problemas que
se encuentran en la investigacin, por el momento se
debe esperar a que IBM , Heinrich y su equipo logren
resolver los problemas que por el momento dejan a 149
tomos de su meta.
5 REFERENCIAS
[1] Gafohe. (s.f.). Recuperado el 9 de Febrero de 2013, de Bloque 1, Numeros Complejos: disponible en :
http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejos.pdf
[2] Soria, R. (2011). Recuperado el 9 de Febrero de 2013, de
respuesta en Frecuancia: disponible en : http://www.uv.es/~soriae/tema_4_pds.pdf
[3] Rodriguez, P. (23 de Enero de 2006). Diagramas de bode. Recuperado el 9 de febrero de 2009, de: http://www.ie.itcr.ac.cr/marin/lic/el3212/Diagramas%20de%20Bode.p
df
[4] UNAL. ( febrero de 2011). ASIGNATURAS, ACTIVIDADES
ACADMICAS Y CRDITOS, EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Recuperado el 9 de febrero de 2009, de: http://www.unal.edu.co/diracad/formatos/Cuadernillo%20asignaturas_febrero%2015%20de%202011_b.pdf
http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejos.pdfhttp://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejos.pdfhttp://www.uv.es/~soriae/tema_4_pds.pdf
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