ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS
CEPRE-UNI GEOMETRA 1
GEOMETRA
TRINGULOS
1. DEFINICIN:SiA,B yCson tres puntos nocolinealesentonces la uninde lossegmentosAB ,BC y AC sedenominatringuloysedenotacomoABC.
ABC AB BC AC D = /A,ByCsonpuntosnocolineales
1.1. VrticesyLados
Vrtices:Soncadaunode lospuntosA,ByC.
Lados:Sonlossegmentos AB, BCyAC.
1.2. ngulosdeunTringuloTodo tringulo determina tres ngulos.As el tringulo ABC determina losngulos ABC, BCA y BAC, los culesse denominan ngulos o ngulosinternosdeltringuloABC.
Unnguloexternodeuntringuloeselnguloadyacenteysuplementariode un ngulo del tringulo, es decir es cada uno de los ngulos quedeterminaunparlinealconunngulointernodeltringulo
Ejemplo: BCQ
1.3. InterioryexteriordeuntringuloEl interior de un tringulo es el conjunto de todos los puntos que soninteriores a cada uno de los ngulos del tringulo. El exterior de untringuloeselconjuntodetodoslospuntosquenoestnnieneltringuloniensuinterior.
A C
B
AC
B
Q
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1.4. PermetrodeltringuloEslasumadelaslongitudesdelostresladosdeltringuloyesdenotadacomo2p.
2p=a+b+c
Elsemipermetroesdenotadacomopyesiguala
a b cp
2 + +
=
2. CLASIFICACINDELOSTRINGULOS
2.1. SegnsusladosTringuloequilterosisustresladossoncongruentes.Tringuloisscelessislotienedosladoscongruentes.Tringuloescalenosiningnpardesusladossoncongruentes.
2.2. SegnsusngulosTringulorectngulo,sitieneunngulorecto.Tringulooblicungulo,sinotieneunngulorecto.Si los tres ngulosson agudos, se llama tringulo acutngulo, si unodesusngulosesobtuso,sellamatringuloobtusngulo.
A C
B
c a
b
Tringuloequiltero
Tringuloissceles
Tringuloescaleno
Tringuloacutngulo
Tringulorectngulo
Tringuloobtusngulo
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3. LNEASNOTABLES
3.1Al turaSegmento perpendicular a un lado del tringulo trazado desde el vrtice
opuestohasta larectaquecontieneadicho lado.ElOrtocentroeselpuntodeinterseccindelasalturas(odesusprolongaciones)deuntringulo.
3.2. MedianaSegmentocuyosextremossonunvrticedeltringuloyelpuntomediodellado opuesto. Se denomina Baricentro al punto de interseccin de lasmedianasdeuntringulo.
M:PuntomediodeAC .BM : medianarelativa
allado AC .
3.3. MediatrizRecta perpendicular a un lado del tringulo en su punto medio. SedenominaCircuncentroalpuntodeinterseccindelasmediatricesdelosladosdeuntringulo.
M:PuntomediodeAC . L :mediatrizdellado AC .
3.4. BisectrizinteriorSegmentodeunabisectrizdeunngulodeun tringulo, cuyosextremosson el vrtice del ngulo y un punto del lado opuesto. Se denominaIncentro al, punto de interseccin de las bisectrices interiores de untriangulo.
BH: alturarelativaalladoAC.
A CH
B
A
B
CH
M
B
CA
L B
CAM
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BD : bisectrizinteriorrelativaalladoAC .
3.5. BisectrizexteriorSegmento de una bisectriz de un ngulo externo de un tringulo cuyosextremossonelvrticedelnguloy unpuntode la rectaquecontieneallado opuesto. Se denomina Excentro al punto de interseccin de lasbisectricesdedosngulosexternosyunngulointernomideuntringulo.
BE : bisectrizexteriorrelativaaAC .
3. TEOREMASFUNDAMENTALES
3.1. TeoremadeladesigualdadtriangularEn todo tringulo la longitud de un lado es menor que la suma de laslongitudesdelosotrosdoslados.
a
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3.2. TeoremadecorrespondenciaEn todo tringulo al lado demayor longitud le corresponde el ngulo demayormedida.Elreciprocodesteteoremaesverdadero.
a>c >
3.3. TeoremadelasumadelasmedidasdelosngulosinternosLa sumade lasmedidas de los tres ngulos internos de un tringulo es180.
180 a + b + q =
3.4. TeoremadelnguloexternoLamedidadeunnguloexternodeuntringuloesigualalasumadelasmedidasdelosngulosinternosnoadyacentesalnguloexterno.
q = a + b
3.5. TeoremadelasumadelasmedidasdelosngulosexternosEn todo tringulo la suma de las medidas de los ngulos externosconsideradosunoporvrticees360.
360 a + b + q =
a
B
CA
ac
b
a
B
CA q
b
a
B
CA
q
b
a
B
CA q
b
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CONGRUENCIADETRINGULOS
Dos figurassoncongruentessitienenlamismaformayelmismotamao.Enelcasodelostringulossetienelasiguientedefinicin.
1. DEFINICIN:Dos tringulos son congruentes si sus lados y ngulos son respectivamentecongruentes, de tal modo que a lados congruentes le correspondan nguloscongruentesyviceversa.
EnlafiguralostringulosABCyDEFsoncongruentes,locualsedenotacomo:
ABC DEF D @ D
yseleetringuloABCcongruenteconeltringuloDEF.AB DE A D
ABC DEF BC EF B E
AC DF C F
@ @
D @ D @ @
@ @
Estanotacinnosoloexpresalacongruenciadelostringulossinoademscules la congruencia. Es decir, el orden de los vrtices establece unacorrespondenciaentreellos:A D B E y C F Deahqueesposibleestablecerunacorrespondenciaentresuslados.AB DE, BC EF y AC DF yentresusngulosinternosA D, B E y C F
OBSERVACIONES:
a) Si ABC DEF D @ D ,entonces ACB DFE D @ D .b) Si ABC DEF D @ D ,esfalsoque ABC DFE D @ D .c) La congruencia de tringulos es una relacin reflexiva, simtrica y
transitiva.
E
D F
c
b
a
B
A C
c
b
a
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2. POSTULADOYTEOREMASDELACONGRUENCIAParadeterminarlacongruenciadedostringulossloesnecesarioestablecerlacongruenciadetreselementosloscualesdebenestarenunordendeterminadoy por lo menos uno de ellos tiene que ser un lado. Se presenta el siguientepostulado.
2.1. Postulado (congruencia LAL): Si dos tringulos tienen ordenadamentecongruentesdosladosyelngulocomprendidoentrelosdoslados,entonceslostringulossoncongruentes.
Si:
AB DE
A D BAC EDF
AC DF
@
@ D @ D @
2.2. Teorema (congruencia ALA): Si dos tringulos tienen ordenadamentecongruentes un lado y los ngulos adyacentes a este lado, entonces lostringulossoncongruentes.
Si:A D
AC DF ACB DFE
C F
@
@ D @ D @
b
a
E
D Fb
B
A C
a
b
B
A C
E
D Fb
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DEMOSTRACIN:
. Supongamosque AB @ DE.
. SiAB>DE,seaQ AB talqueAQ DE @ .
. QAC EDF D @ D (LAL)m QCA m EFD = = b
. Estocontradiceelpostuladodelaconstruccindeunngulo,entoncesABnoesmayorqueDE
. SiAB
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DEMOSTRACIN:
. Por el postulado de la construccin de un nguloAG /m HAC m EDF $ = = q uuur
.. SeaH AG / AH DE @
uuur
CAH FDE D @ D CH EF @
. LostringulosBAHyBCHsonissceles m ABC m AHC =
. AHC ABC D @ D
ABC DEF \ D @ D
2.4. Corolario(congruenciaLLA)Sidostringulostienenordenadamentecongruentesdosladosyelnguloopuesto al mayor de stos dos lados, entonces los tringulos soncongruentes.
B
A C
H
G
q
c
c
b
a
a
b
E
D F q
c a
E
D F
ac
B
A C
ac
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SiAB DE
BC EF ABC DEFBC AB
A D
@ @ D @ D
> @
DEMOSTRACIN:
. DEF : D a > b
. Supongamosque AC @ DE
. Si AC DF < ,seaQ DF talque AC DQ @
. ( ) BAC EDQ LAL D @ D BC EQ =
. QEF D isscelesm EQF = b
. DEF D pornguloexterior b > a
. Locualesunaconcentracinconlaprimeraafirmacin.
. SiAC>DF,prosiguiendodelamismamaneraeneltringuloABCsellegaalamismacontradiccin.
. Porlotanto AC DE @ .
. PorelcasoLLLABC DEF D @ D
E
D F a
Q
b b
a Q
b
cc
b
B
A C a
a
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3.APLICACIONESDELACONGRUENCIADETRINGULOS
3.1 TeoremadelaMediatrizTodo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos delsegmento.
DEMOSTRACIN
L:mediatrizdeAB y P L " PDQAP=PB
AMP BMP(LAL) AP=PB
3.2. TeoremaEntodotringuloissceleslaalturarelativaalabase,estambinuna medianayuna bisectrizinterior.
DEMOSTRACIN
ABC D isscelesdebase ACyBHalturarelativaalabaseAC
PDQ BH :medianaybisectrizinterior.
AHB CHB(congruenciaLLAM) AH=HC(BHmediana)y
mABH=mCBH(BHbisectrizinterior)
3.3. TeoremadelabisectrizTodopuntodeunabisectrizdeunnguloequidistadelosladosdelngulo.
DEMOSTRACIN
OP bisectrizdel AOB yPOP
PDQ AP=PB
OQA OBQ(congruenciaALA) QA=QB
A C
a
B
a
H
M l l A B
P
L
a a
aa
l l
OQa
l
l
90 a 90 a
A
B
P a a
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3.4. TeoremadelospuntosmediosTodarectatrazadaporelpuntomediodeunladodeuntringuloparalelaaotrolado,intersectaaltercerladoensupuntomedio.
DEMOSTRACIN
BM=MAy L//AC PDQ BN=NC
Sea CQ MB m AMC=mMCQy
mQMC=mMCAMAC CQB(congruenciaALA)
AM=QC MNB QNC(congruenciaALA)
BN=NC
3.5. TeoremadelabasemediaEn todo tringulo una basemedia es paralela al tercer lado ysu longitud es lamitaddelalongituddedicholado.
DEMOSTRACIN
MN :basemedia
PDQ MN//AC yAC
MN2
=
SeaCQ MB m MBC=mNCQ= y
mAMC=mMCQ=+BMN CQN(congruenciaALA)
MN=NQ=ayCQ=MB AMC QCM(congruenciaLAL)
m ACM=mQMC= MN//AC yAC=MQ=2a
AC
MN2
=
3.6. Teoremadelamenormedianaeneltringulorectngulo
Obs:Elsegmentoqueunelospuntosmediosdedosladosdeun
tringulosedenominabasemedia.
2a
aa Q
+
A
B
C
M N
q b
q
b
b
l l
l
L
A
B
C
M N Q
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La longituddelamedianarelativaalahipotenusadeun tringulorectnguloesigualalamitaddelalongituddelahipotenusa.
DEMOSTRACIN
BM :medianarelativaaAC
PDQAC
BM2
=
SeaMN AByAM=MC BN=NC
TeoremadelaMediatriz BM=MC
AC
BM2
=
4.TRINGULOSRECTNGULOSNOTABLESSonaquellostringulosrectngulosqueconociendolamedidadeunodesus
ngulosagudosseconocetambinlaraznentrelaslongitudesdesuslados.
.TRINGULORECTNGULO .TRINGULORECTNGULONOTABLEDE45 NOTABLEDE30Y60
.TRINGULORECTNGULONOTABLEDE15Y75
.TRINGULOSRECTNGULOS(demedidasdengulosagudosaproximados)
DE37Y53 DE53/2
DE37/2
a2
45a
a45 a
a
a3
60
30
37/23a
a
37
53
3k
5k4k
h=a
53/2
2b
b
15
h
4a
a(62) a(6+2)
N
AM
C
B
l
l l
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PROBLEMASRESUELTOS
1 .EnuntringuloABCsetrazanlabisectrizinterior BMylaceviana CT,lascualesse
intersecanenR.SimMRC=2mRCMymRCB=mBAC,entoncesla mRCM
es
A)45 B)30 C)36D)50 E)42
Resolucin
MRC:pornguloexterior2 =+ (1)
ABC: +2+ + =180 2(+ )+ =180(2)
(1)en(2):2(2)+ =180
Porlotanto=36
2. EnelexteriordeuntringuloABCyrelativo AC seubicaelpunto.SiAB=AD,mBAC=50,mCAD=10ymACB=30,entonceslam ACDes.
A)16 B)20 C)10 D)15 E)25
Resolucin
AHB notable(30y60) AC=2AH=2
AHB ARD(LAL) mARD=90
TeoremadelaMediatrizAD=DC
ADC issceles
x=10
3. Enun tringulo isscelesABC,mABC=120,en AC seubicaelpuntoRysetrazanexteriormentelostringulosisscelesAPRyCQR.SimAPR=mRCQ=120,demuestrequemPBQ=60.
2
T
M
B
CA
R
R50 30
10
10
H
D
B
CA x
a
a a
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Demostracin.APRisscelesAR=a 3RQCisscelesRC=b 3ABCisscelesAB=BC=a+bAMPequilteroMP=aQNCequilteroQN=bPMB PRQ BNQ(LAL)
PB=BQ=PQ PBQequiltero
Porlotantom PBQ=60
4. EnelinteriordeuntringuloisscelesABC(AB=BC),seubicaelpuntoItalquemAIB=90yBC=2(IN).SiNeselpintomediodeACy laprolongacindeNIintersectaaBCenM,entonceslamNMCes
A)75 B)60 C)45 D)36 E)120
Resolucin
AIB IQ mediana IQ=AQ=QB=a
ABC QN BaseMedia QN=ay QN//BC
IQNequiltero mQNI=60
QN//BC x=60
5.Enuntringulo ABC(AB=BC)seubicaelpuntoTexterioryrelativoaCA,Mesel
puntomediode BC,AC= 2MT,mCBA=4mCAT ymATC=90.Entoncesla
mCAT es.
A)18 B)20 C)10 D)15 E)30
Resolucin ADCDLmediana
DL=b
ABC MLbasemedia ML AB yML=a
60
ax
a
a
a
a
Q
N
I
A C
B
M
a 3 b 3120
b
b
a
b
ba
a
a
a b
120
120
303030 30
M
N
B
C
PQ
RA
4
a
a
M
L
B
Cbbb2
902 902
a
2a
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mMLD=902
MLDnotable(45) a=b
ABC :equiltero4 =60=15
6. En el interior de un tringuloABCse ubicael puntoD, tal que AB=BC=AD,mABC=2BADymBCD=2mCAD.EntonceslamDACes
A)10B)30 C)18 D)20 E)40
Resolucin
DelafiguraABCissceles:mACD=AMCpornguloexterior:mBMC=2BCMissceles:MC=BC
MH=HB=aADCpornguloexterior:mADM=
AMDissceles DC=MB=2a ALB CHB(ALA)
DL=BH=a DLCnotable(30)
=30.(1)BHC:2+=90(2)De(1)y(2):
=10
PROBLEMASPROPUESTOS
1. Enlafigura,BP=QC.Hallex.
A)30
B)36
C)40
D)45
E)60
a
M
2a
a
a
2
2
B
D
CA L
H
x
C
B
20
40
40
A Q
P
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2. En un tringulo issceles ADB (BD = AD) se traza la ceviana AQ y en suprolongacin se ubica el punto C tal que BC = CD. Si mCBD = 11 ymQNI=38,entonceslamCQDes
A)41 B)36 C)46 D)48 E)52
3. EnelexteriordeuntringulorectnguloABCyrelativoa AC seubicaelpuntoD,tal que mADC = 90 y AD = AB + CD. Si AB = 10 u y mBAD = 60,entonceslalongituddeAC(enu)es
A)10 B)10 3 C)20 D)10 2 E)15
4. Se tieneun tringulo ABC, AB BC a = = ,dondea pertenece a los naturales, unarecta secante intersecta a los lados AB y BC en F y E respectivamente y a laprolongacin de AC en D, si la m ADF m ABC > , AD a = y EF 3 = . El mnimovalorenterodelalongituddelsegmentoDEes:
A)a4 B)a2 C)a1 D)a+1 E)a+2
5. Enlafigura,lostringulosABDyQBCsoncongruentes.EntonceslamedidadelnguloBACes
A)54
B)76
C)75
D)72
E)80
6.EnuntringuloABC,NesunpuntodeBC ,Mesunpuntode AC talqueAM=MN.Si
mACN=2mNBAymBAN=2mNAM,entonceslamedidadelngulo MNC es
A)30 B)36 C)40 D)45 E)60
7.EnuntringuloABC(AB=BC),mABC=100,ensuinteriorseubicael puntoMtalquemMAC=30ymMCA=20.Entoncesla mMBAes
A)18 B)20 C)10 D)15 E)30
8.EnuntringuloABC,enlaprolongacindelaceviana AQ seubicaelpuntoD.SimCBD=3mBCA=3mBDA,mBAC=2mBDA,AC=CDyQD=2AB+BQ,entonceslamedidadelnguloBDAes
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A)12 B)18 C)10 D)20 E)16
Bibliografa
1. Encyclopedia Britnica Inc., Benton, W., Publisher (1952). The thirteen Books ofEuclidselements.1stedition.EditorialEncyclopediaBritnica.TheUnitedStatesofAmerica.
2. Moise, E. (1964). Elementary Geometry. 1 edicin. Editorial Addison WesleypublishingcompanyInc.TheUnitedStatesofAmerica.
3. Helfgott,M.(1992).GeometraPlana.EditorialEscuelaActivaS.A.LimaPer4. Vega, F. (1961). MatemticaModerna 4. Editorial Colegio Militar Leoncio Prado.
LimaPer
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