ÍndiceRecomendaciones didácticas para la enseñanza de la matemática .......................2Planificación basada en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) .............38Planificación basada en el Diseño Curricular de la Provincia de Buenos Aires .....47Planificación basada en el Diseño Curricular de la Ciudad de Buenos Aires .........63
GUÍADOCENTE
EDICIÓN ESPECIAL PARA DOCENTES
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En el mundo actual presenciamos un cambio revolucionario en las comunicaciones que modifica, a su vez, las relaciones entre las personas, y la relación de las personas con el conocimiento. Estamos inmersos en la sociedad de la información. Las nuevas tecnologías ocupan cada vez más lugar en el entorno cotidiano de los ciudadanos. Esto nos obliga a un nuevo posicionamiento en la educación y a preguntarnos: ¿qué debería enseñarse en la escuela? Según Luis Santaló, “La misión de los educadores es preparar a las nuevas genera-ciones para el mundo en que tendrán que vivir”.1
Es necesario formar niños que puedan interactuar en ese mundo al que se van a enfren-tar y del que nosotros sabemos muy poco. El entorno con el que ingresan a la escuela ha-brá cambiado cuando egresen de una manera que no podemos predecir. Nuestro objetivo como docentes es, entonces, formar alumnos autónomos, críticos, capaces de buscar es-
trategias propias, de formular conjeturas, de trabajar en equi-po, de equivocarse y de poder recomenzar a partir del error. En resumen, que estén preparados para enfrentar cualquier situa-ción que se les presente. En este sentido, fundamentalmente, estamos hablando de enseñarles a pensar. Pero ¿qué significa esto en Matemática?
¿Qué es enseñar Matemática?Según este enfoque, enseñar Matemática consiste en generar en el aula una actividad
de producción de conocimiento semejante al quehacer de los matemáticos; es decir que, a medida que los alumnos se apropian de los saberes, se apropian también de los modos de producir esos saberes. Los alumnos tienen que poder enfrentarse a las situaciones que se les presenten con las herramientas que poseen e intentar avanzar en la resolución de las situaciones usando esas herramientas.
Aprender un contenido significa mucho más que usarlo en el entorno de situaciones semejantes, es reconocer las situaciones para las cuales es útil, conocer los límites de su empleo, es decir, en qué condiciones se cumplen ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra técnica o a otro concepto, cómo se relacionan los conceptos entre sí, cuáles son las formas de representación más útiles para obtener información, cómo se controla la adecuación de la respuesta, cómo se recomienza desde el error.
Enseñar Matemática es comprometer a los alumnos a seguir un proceso de producción matemática. Las actividades que se desarrollan durante este proceso tienen el mismo sen-tido que las que realizan los matemáticos, y sabemos que ellos resuelven problemas. Por eso, en la enseñanza escolar se procura que el alumno descubra que la Matemática es una herramienta útil para interpretar y analizar fenómenos y situaciones de diversa naturaleza.
1 Luis A. Santaló, Conferencia inaugural del I Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Sevilla, España, septiembre de 1990.
Nuestro objetivo como docentes es, entonces, formar alumnos autónomos, críticos, capaces de buscar estrategias propias, de formular conjeturas, de trabajar en equipo, de equivocarse y de poder recomenzar a partir del error.
Introducción
RECOMENDACIONES DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
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En otras palabras, se propone que maestros y alumnos elaboren conceptos y procedimien-tos apropiados para resolver problemas.
Estudiar y aprender Matemática es, fundamentalmente, “hacer Matemática”, construirla, fabricarla y producirla como hacen los matemáticos. Cuando se les plantea un problema, en primera instancia no saben cuáles de todos los conocimientos y recursos les conviene usar, y deben seleccionarlos entre los muchos que están a su disposición. Esto es lo que propone-mos que hagan los alumnos.
Además, tenemos en cuenta que los saberes matemáticos se cons-truyen con la participación de todos, y a partir del debate y la confron-tación de las ideas de cada uno con las de los demás. Sin embargo:
“[…] no se trata de hacer que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemáticos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos.” 2
Los contenidos curriculares se presentan como secuencias didácticas, es decir, no es una lista de ejercicios, sino una sucesión de actividades pensadas para enseñar esos con-tenidos. Cada problema constituye un punto de apoyo para el siguiente y este, a su vez, permite retomar y avanzar, en algún sentido, desde el anterior.
¿A qué llamamos problema?Un problema es una situación que admite diversas estrategias de resolución, y esto
implica que no se resuelve inmediatamente aplicando un procedimiento ya conocido. Plantea cierta dificultad o resistencia de tal naturaleza que, para resolverlo, los alumnos deben tomar decisiones sobre qué procedimiento o qué conocimiento aplicar. Los alum-nos tienen que entender qué se les pide que averigüen para poder esbozar algún proyecto de resolución, aunque no sea el correcto.
Según esta definición, un problema puede tener o no un contexto externo al de la Matemática; también puede ser una situación interna de la disciplina, que pone en juego propiedades de las operaciones. Por otra parte, una ac-tividad puede ser un problema para un grupo de alum-nos y no serlo para otro grupo, esto depende de los co-nocimientos que posea cada uno.
En síntesis, un problema es cualquier situación que estimule a los que aprenden para que piensen estrate-gias, analicen las de sus compañeros y justifiquen sus procedimientos.
Nuestra responsabilidad como docentes es prepa-rar a los alumnos para que puedan enfrentar exitosa-mente los desafíos que se les presentarán en el futuro. La Matemática permite enseñarles a criticar, decidir, trabajar en equipo, y estos saberes los ayudarán a re-solver situaciones de toda índole, más allá de la ciencia particular.
2 B. Charlot, Conferencia de Cannes, 1986.
Un problema es cualquier situación que estimule a los que aprenden.
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Sumar y restar en Primer Ciclo
Aprender a sumar y restar es mucho más que aprender a hacer las cuentas. Es por ello que cuando hablamos de estrategias de cálculo no nos referimos a una única manera de resolver.
Estrategias de sumaAnalicemos distintas estrategias para resolver esta situación.
Nacho compró 42 caramelos y 37 chicles. ¿Cuántas golosinas compró Nacho?
Observen que, en estos casos, se ponen en juego diferentes estrategias de descompo-sición.
Nora, por ejemplo, intentó usar números redondos, por eso escribió el 42 como 39 + 3 para que el 37 se convirtiera en 40.
Es posible que Juan haya pensado en la misma descomposición que Silvia; sin embar-go, esta queda oculta en la cuenta. También podría pasar que Juan hubiera pensado 4 + 3 y 2 + 7. De esta manera, se pierde el valor posicional del sistema de numeración y no puede trasladar esta estrategia a otras cuentas. Esto solamente podríamos saberlo peguntándole qué pensó o proponiéndole que realice otra cuenta como 45 + 57.
Analicemos estas estrategias:
Silvia42 + 37
40 + 2 30 + 7
70 9
79
Nora42 + 37
39 + 3 37
40
79
Juan42+ 3779
Aldo
42 + 37
10 + 10 + 10 + 10 + 2 10 + 10 + 10 + 7
70 9
79
Silvia45 + 57
40 + 5 50 + 7
90 12
102
Nora45 + 57
5 + 52
50
102
Juan 45+ 57 912
Aldo
40 45 550
+ 57 7
90 12 102
NÚMEROS Y OPERACIONES
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Los procedimientos realizados en estos casos son muy similares a los de las cuen-tas anteriores. Sin embargo, a Juan su estrategia no le permitió resolver correcta-mente ninguna de las dos cuentas, ya que no sabía qué era lo que quería decir cada número de los colocados. Aldo pone de manifiesto que el 4 es un 40 y el 5 un 50 por lo que le resulta más claro terminar correctamente la resolución.
Puede observarse que, en los casos correctamente, resueltos no hay ningún tipo de traba que indique una dificultad diferente, salvo para Juan. La mala resolución de Juan se presenta porque le falta manejo del sistema de numeración.
En la puesta en común, es interesante analizar qué hizo y pedirle que explique su pensamiento, para que el debate no se centre en la idea que dio diferente, sin que puedan captar en qué se produce el error. Este tipo de debate permite no volver a cometer el mismo error.
Estrategias de restaAnalicemos algunas estrategias para resolver esta actividad.
1. Nacho tiene 25 años y su mamá tiene 57. ¿Cuántos años tenía la mamá cuando nació Nacho?
Para resolver el problema, es necesario calcular 57 – 25. Veamos algunas estrategias:
Sofía va retrocediendo la edad de Nacho hasta llegar al momento de su nacimiento. Descompone el 25 en 10 + 10 + 5 aunque no está tan claro que esté pensando de entrada que está realizando 57 – 25, sino que está retro-cediendo en el tiempo hasta el nacimiento de Nacho.
Valentina descompone los números en dieces y unos para que le queden cuentas sencillas de resolver.Estas descomposiciones son sencillas si la resta es sin dificultad, y es necesario buscar otras estrategias en el caso de dificultad.
Vicente descompone los números en dieces y unidades. Como tiene que restar, fue tachando lo que coincidía para luego fijarse en lo que sobraba.
Valentina57 – 25
50 + 7 20 + 5
30 2
32
Vicente 57 – 25 10 10 10 10 10 5 10 10 2 7 32
Sofía57 – 10 = 4747 – 10 = 3737 – 5 = 32
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Analicemos esta situación.
Matías tiene 14 años y su mamá tiene 41. ¿Cuántos años tenía la mamá cuando nació Matías?
Posiblemente, al trabajar este problema después del anterior muchos alumnos ya reco-nozcan que la cuenta que lo resuelve es 41 – 14. Es decir, es una resta de las que se deno-minan “con dificultad”. Veamos algunas estrategias.
Esta estrategia es similar a las que se realizaron cuando la cuenta no era “con dificultad”. Sin embargo, si Alan hubiera escrito 41 como 40 + 1, la descomposición sería correcta pero no útil para restar. Es por ello que escribe al 41 como 30 + 11.Para que estrategias de este tipo estén disponibles y sean utilizadas por los alumnos con naturalidad, es imprescindible que se habiliten diferentes descomposiciones y no solamente las conocidas con dieces y unos.Es decir que se descompone según la necesidad.
Observemos que, en este caso, la estrategia es análoga a la anterior salvo que, en lugar de escribirlo con flechas y una disposición horizontal, lo plantea en vertical y las flechas las saca de los números en el orden en el que los va a restar. Esta escritura se parece a la utilizada en el algoritmo tradicional.
Nuevamente, en esta estrategia se escribió el 14 como 4 + 10 y se resta sucesivamente.
Podemos concluir entonces que, si habilitamos distintas estrategias de resolución, de-jan de existir las sumas o restas con dificultad porque las estrategias de unas pueden usar-se para las otras.
Además, esto no se circunscribe a un tipo de números. Puede seguirse con estas estra-tegias aunque se traten de números con más cifras.
No hay un momento en que el algoritmo sea necesario para mostrar un avance cogniti-vo del alumno. Esa disposición no es más efectiva que otras. De todas maneras, si se llega a esa forma de trabajar, es imprescindible que sea a partir del análisis de las otras estrategias. Es necesario compararlas para que, en caso de no recordar algún paso, se pueda recurrir a otra estrategia. Por ejemplo, en el caso en el que sea necesario hacer 400 – 135, puede analizarse:
Resta primero 100 y luego analiza con números cercanos y restas fáciles.
Alan41 – 14
30 + 11 10 + 4
30 – 10 11 – 420 7
27
30 4 1 1 1 –
1 0 –
14 –
4 20 27 7
41 – 4 = 3737 – 10 = 27
400 – 135300 – 35200 + 50 + 50 – 35250 + 20 – 5250 + 15265
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Este procedimiento es mucho más sencillo que el de “pedir” de la cuenta vertical. Analicemos qué significa “pedir”.
400 tiene 0 unidades y 135 tiene 5 unidades. Como no se puede restar 5 unida-des a las 0, es necesario descomponer el 400 de otra manera. Si lo escribimos 400 = 390 + 10, estamos pidiendo 1 diez. Así, a las 40 decenas, se le saca una y quedan 39 decenas.
Esto es mucho más claro que la frase: “le pido y como no tiene, le pido al de al lado y queda 9”. Ese tipo de análisis tiene frases erróneas ya que no es que no tiene decenas porque tiene 40.
Muchas de las frases incluidas en los algoritmos son contradictorias con lo que sucede realmente y con las propiedades del sistema de numeración.
Los sentidos de la suma y la restaPara poder abordar los distintos sentidos de las operaciones, es necesario que
las incógnitas estén ubicadas en diferentes lugares y con las mismas magnitudes o distintas.
Problemas de medidasSon los problemas que involucran medidas de distintos tipos y en los que el resul-
tado involucra la misma medida que se tiene. Por ejemplo:
1. El lunes, Valeria puso en una caja 5 tapitas azules y 4 tapitas amarillas el martes. ¿Cuántas tapitas juntó?2. Valeria tiene en la caja 27 tapitas azules y 79 tapitas amarillas. ¿Cuántos tapitas hay en la caja?3. Valeria tiene 9 tapitas de las cuales 5 son azules y las otras amarillas. ¿Cuántos tapitas amarillas tiene?
Problemas como el 1, presentado desde los primeros días de la escolaridad, permiten estra-tegias de conteo o de dibujo que van forman-do lentamente el concepto de adición. En este caso se dan como datos dos medidas (cantidad de tapitas) y se pide otra medida. Algunos pro-cedimientos pueden ser:
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En estos procedimientos podemos observar distintos momentos de los alumnos. Todos los razonamientos son correctos y es necesario que permitamos que convivan en el aula.
Sin embargo, en el problema 2 las estrategias de dibujo, conteo o sobreconteo, son poco prácticas y los alumnos decidirían por sí solos buscar otras. Es decir, los números involucrados, permiten aceptar o rechazar las estrategias y no es el docente quien debe decidir por una u otra forma.
En el problema 3 se pueden utilizar las mismas estrategias que en los anteriores. Por lo general, los alumnos comienzan a formar el concepto de resta a partir del conteo, el dibujo o la suma. Veamos los procedimientos posibles.
Problemas de transformaciones
Es necesario presentar en el aula este otro tipo de problemas. Veamos ejemplos:
1. Sandra tenía 5 figuritas y ganó 6. ¿Cuántas figuritas tiene ahora?2. Sandra tenía 5 figuritas. Ganó algunas y ahora tiene 11. ¿Cuántas figuritas ganó?3. Sandra tenía algunas figuritas. Ganó 6 y ahora tiene 11. ¿Cuántas figuritas tenía?
Hay 9 tapitas.
\ \ \ \ \ \ \ \ \1 2 3 4 5 6 7 8 9Hay 9 tapitas.
5 + 4 = 9Son 9 tapitas.
Conté con los dedos: 5 tapitas que tenía, 6, 7, 8, 9.Son 9 tapitas.
\ \ \ \ \ \ \ \ \1 2 3 4 Son 4 amarillas.
9, 7, 6, 5Quedan 4 que no son azules, son amarillas
5 + 4 = 9Hay 4 tapitas amarillas.
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4. Sandra tenía 11 figuritas y perdió 2. ¿Cuántas figuritas tiene ahora?5. Sandra tenía 11 figuritas. Perdió algunas y ahora tiene 6. ¿Cuántas perdió?6. Sandra tenía algunas figuritas. Perdió 5 y ahora tiene 6 figuritas. ¿Cuántas figuritas tenía?
En estos problemas, si bien los números son parecidos, se presenta una posición inicial (cantidad de figuritas al comienzo), una transformación (ganar o perder), y una posición final (cantidad de figuritas al final). Si bien los problemas parecen similares y se resuelven con una cuenta parecida, la dificultad en ellos no lo es. Para los alum-nos no tienen el mismo nivel de dificultad, ya que en algunos problemas se busca la posición final, en otros la inicial, y en otros, lo que sucede en el intermedio (la trans-formación).
Por ejemplo, en el problema 5, se dan como datos la posición inicial y la final, y se requiere analizar cuántas perdió. No tiene el mismo nivel de dificultad del proble-ma 1, en el que se da la posición inicial y la transformación. Este problema es más sencillo, ya que alcanza con sobrecontar para tener la respuesta; en cambio en el 5, hay que ver cuánto se le saca o agrega al 11 para tener 6, es decir: primero hay que definir si es menos o más que al principio y luego cuánto. Por eso, es necesario tener presente que debemos generar discusiones y problemas de todo tipo.
Con esto no estamos sugiriendo que les proponga un problema “tipo” y les diga cómo resolverlo, sino que, en distintos momentos, presente varios problemas que apunten a todos los aspectos y que así, sean los alumnos los que comiencen a gene-rar su propio concepto.
Otros problemas de transformaciones son los que involucran más de una trans-formación. Veamos los siguientes ejemplos:
1. Julieta tiene 7 cartas. En la primera ronda del partido, gana 4 cartas y después gana 2. ¿Cuántas cartas tiene al final?2. Julieta tiene 7 cartas. En la primera ronda del partido, gana 4 cartas y después pierde 3. ¿Cuántas cartas tiene al final?3. Julieta tiene 7 cartas. En la primera ronda, gana algunas y en la segunda pierde 5. Al final se queda con 5. ¿Qué pasó en la primera ronda?
Problemas de estados relativos
Los problemas de estados relativos involucran variables relativas a otras.
1. Pedro le debe $20 a Juana. Le devolvió $8. ¿Cuánto le debe todavía?2. Pedro le debe $20 a Juana y Juana le debe $12 a Pedro? ¿Quién le debe a quién y cuánto?
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1. Observá la grilla de números y escribí, en cada caso, el camino más corto para llegar de un número a otro.
Primer número Camino Segundo número
28 59
76 44
35 62
2. Escribí las cuentas que hacés, usando los caminos que escribiste.
1. Escribí cómo podés usar cada cálculo para resolver 87 – 39. Explicá cómo lo usás.
a. 90 – 40 b. 87 – 40 c. 80 – 40
2. Escribí cómo podés hacer para resolver los cálculos con una calculadora en la que no funciona la tecla 5 .
a. 125 – 45 b. 155 + 55 c. 255 – 45 d. 555 + 145
1. En un torneo de tiro al blanco, Juan tenía 147 puntos. Tiró 3 dardos más y ahora tiene 250 puntos. Escribí, si hay, por lo menos 3 formas de haber ganado esos puntos en las 3 partidas.
2. Juana colecciona figuritas de princesas. Tenía 188 figuritas y le regalan un sobre con unas cuantas más.
a. Si ahora tiene 248 figuritas, ¿cuántas figuritas tenía el sobre que le dieron?
b. 15 figuritas de las que le regalaron son repetidas. ¿Cuántas figuritas nuevas sin repertir tiene?
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PROPUESTAS
CALCULADORA
El uso de la calculadora en el aula es recomendable, ya que si tenemos en claro para qué y con qué objetivo didáctico la utilizamos, es una herramienta eficaz para el aprendi-zaje. Para comenzar a trabajar con ella, se puede presentar su imagen junto a problemas sencillos. Por ejemplo:
1. Marta tenía 5 figuritas y su mamá le regaló 6 más. a. Rodeen las teclas que deben apretar en la calculadora para calcular cuántas figuritas tiene ahora.b. Copien, en el orden correspondiente, las teclas que deben apretar para resolver el problema.c. Usen la calculadora y resuelvan lo que plantearon en la consigna a. ¿Les dio lo que esperaban?
Es probable que los alumnos hayan visto en alguna oportunidad los signos + y – por lo que, aunque no los hayan usado en el aula, los reconocerán con facilidad. Sin embargo, no pasará lo mismo con el signo =. Con la calculadora es imprescindible apretar la tecla = para que aparezca el resultado del cálculo en el visor.
Es importante tener presente que la calculadora no resuelve por el chico. La calculado-ra realiza lo que el alumno le marca que haga.
Para abordar los conceptos de descomposiciones numéricas se pueden proponer acti-vidades como esta:
2. María debe resolver las siguientes cuentas en una calculadora que no funciona la tecla 2 . Escriban cómo puede hacer para resolverlas. a. 22 + 12 b. 128 – 42
En la actividad anterior, se trata de pensar en descomposiciones adecuadas para no usar la tecla del 2. Por ejemplo, para resolver 22 + 12 se puede resolver de la siguiente ma-nera: 15 + 7 + 9 + 3. Para calcular 128 – 42, se puede hacer 118 + 10 – 43 + 1.
Para trabajar acerca de los conceptos de descomposiciones numéricas y del valor posi-cional de las cifras, se pueden proponer estas actividades:
3. Laura tenía que poner en la calculadora el número 345 pero puso 355. ¿Qué cuenta tiene que hacer para que aparezca lo que necesita sin borrar?4. Si en el visor de la calculadora está el número 436.a. Escriban la cuenta que tienen que hacer para que aparezca un 0 en lugar del 3.b. Escriban la cuenta que tienen que hacer para que aparezca un 7 en lugar del 4.
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LA MULTIPLICACIÓN
En el Primer Ciclo el objetivo es la construcción del concepto de multiplicación relacio-nado, fundamentalmente, con situaciones de proporcionalidad. Esta construcción se inicia en primer año con el planteo de problemas de proporcionalidad que remitan a situaciones sencillas. Por ejemplo, podríamos presentar situaciones de este tipo:
1. Luli tiene 16 flores y quiere repartirlas en partes iguales en 3 floreros. ¿Cuántas flores pondrá en cada florero? ¿Le sobra alguna?
2. a. Pablo tiene 3 floreros, y quiere poner 6 flores en cada uno. ¿Cuántas flores necesita?
b. Si quiere preparar otro florero, ¿cuántas flores necesita en total?
En primer año es esperable que los chicos recurran al dibujo y ponerlo en el texto facili-ta que recurran a la estrategia. Para que los niños adquieran un concepto, es indispensable que el mismo se ponga en discusión con otros, en este caso con una situación de reparto. En otras palabras, si se analizan problemas de multiplicación, es necesario que en la se-cuencia aparezcan problemas que no lo sean.
En segundo año, la construcción de su sentido implica tanto la resolución de proble-mas que permiten comprender qué situaciones pueden resolverse por medio de la multi-plicación y cuáles no, como producir escrituras del tipo a × b.
En tercer año se plantea la construcción y el dominio del algoritmo, y el conocimiento y uso de sus propiedades.
Es preciso que en el momento de presentar problemas de multiplicación, los chicos hayan tenido suficiente práctica en la resolución de problemas aditivos como para que puedan recuperar las estrategias que utilizaron y emplearlas. El objetivo de plantear estas situaciones a niños que aún no conocen la multiplicación es realizar un trabajo colectivo de análisis y reflexión. Luego de la resolución se comparan los resultados y los procedi-mientos, y se analizan los posibles errores. Esto les permitirá avanzar en la comprensión de los enunciados, en las estrategias de resolución y, paulatinamente, en la comprensión de la operación.
La finalidad es que los niños comiencen a establecer los puntos de contacto y las dife-rencias entre los “problemas de suma” y los “problemas de multiplicación”. Es común escu-char a los niños decir: “se suma muchas veces el mismo número”, “no hay que sumar dos números distintos.” Analicemos este ejemplo:
Un gato tiene 4 patas. ¿Cuántas patas tienen 5 gatos?
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Algunos niños pueden decir “Están el 4 y el 5, pero no los sumo”, “el 5 me dice cuántas veces sumo 4”.
Pida a los alumnos que inventen problemas que se resuelvan con la cuenta 4 + 5. Escri-ba las propuestas en el pizarrón para que comparen los textos de los problemas inventa-dos con el del problema inicial. Los chicos notarán que la cantidad total de patas también puede resolverse con una suma, y que la suma correcta es: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y no 4 + 5. A partir de aquí podrán comprobar que no siempre se suman los números escritos en el enunciado.
El campo de problemas que habrán de abordarse involucran relaciones de proporcio-nalidad (isomorfismo de las medidas), y dentro de ellos los que presentan organizaciones rectangulares, y sencillos casos de combinatoria (productos de medidas). Veamos algunos ejemplos:
1. Un paquete tiene 6 figuritas. ¿Cuántas figuritas tienen 4 paquetes?2. Decidí cuántos azulejos hay en esta pared, sin contarlos uno por uno.
3. Ana hace almohadones con tela roja o verde. Les pone puntilla azul, amarilla o blanca. ¿Cuántos almohadones diferentes puede fabricar?4. Pablo preparó empanadas y puso 24 en cada bandeja. Si tenía 6 bandejas, ¿cuántas empanadas preparó?5. a. Luli tiene 3 cajitas. En cada una guarda15 ganchitos y, además, tiene 8 ganchitos sueltos. ¿Cuántos ganchitos tiene?b. Si la abuela le regala 10 ganchitos más, ¿podrá armar otra cajita con 15 ganchitos?
El primer problema refiere a la proporcionalidad directa. Analicemos algunas estrate-gias del problema 2:
Ana: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 Pedro: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 Sol : 7 × 5 = 35
Observemos que Ana cuenta las filas y Pedro, las columnas. En cambio Sol ya incorporó estrategias de multiplicación. Si bien todas las estrategias son correctas, es esperable que, a partir del trabajo realizado y del aumento de la cantidad de azulejos, con uno de los nú-meros de dos cifras, por ejemplo 12 × 7 encuentren en la multiplicación un procedimiento más económico que la suma.
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En el problema 3, los chicos pueden usar una tabla (que será necesario sugerir, dado que es poco probable que dispongan de esta representación). En este caso, para hacer ex-plícitas las variables, se puede realizar una lectura de la misma: “un almohadón rojo, ¿qué colores de puntilla puede tener?” También pueden usar un diagrama de árbol.
Los números involucrados en el problema 4 se abordan en tercer año. El tipo de nume-ración usada en los problemas es una variable didáctica. Situaciones similares con distintos tipos de números pueden tener distinto grado de dificultad. Las siguientes son algunas estrategias que pueden usar los alumnos.
Si bien los alumnos ya pueden haber incorporado el cálculo de multiplicación, es pro-bable que al extender los números, recurran a estrategias anteriores, como la de Juan. Alan, aunque puede usar una cuenta, necesita confirmar el cálculo con un dibujo. Micaela piensa el problema como de reparto y usa incorrectamente estrategias de división. Lucas resuelve la cuenta, pero incorrectamente hace 12 + 2 = 16 y no tiene herramientas de control.
Tela roja Tela verdePuntilla blanca Puntilla blanca
Puntilla roja Puntilla roja
Puntilla amarilla Puntilla amarilla
Juan24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 144Tenía 144 empanadas.
Alan
224
6144
Pedro
224
6144
Lucas
24 6164
Micaela
Yo usé dibujos.Tenía 4 empanadas en cada bandeja.
Tenía 144 empanadas.
Tenía 144 empanadas.
Tenía 164 empanadas.
Marta
24 ∏ 6 = 144
Tenía 144 empanadas.
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En el problema 5, que también se presenta en tercer año, se suman situaciones en las que hace falta más de un paso o más de una operación para llegar a la respuesta.
Recursos de cálculo
El sentido de las operaciones no depende solamente de los problemas que permiten resolver, sino que, al mismo tiempo, se construye en el terreno de los recursos de cálculo. Esto es así porque el calcular se rige por propiedades relacionadas con la naturaleza de los números, con las reglas del sistema posicional decimal y con las propiedades de la opera-ción en sí misma.
El cálculo mental En segundo año, al comenzar con las multiplicaciones, se trabaja especialmente con
cálculo mental. En el aula deben presentarse diversas situaciones que permitan aprender a elegir entre un cálculo mental o cálculo pensado, lo cual no excluye el uso de lápiz y papel, un cálculo exacto, uno aproximado o el uso de la calculadora. El contexto, la pregunta y los números tienen un papel importante en esta elección. Por ejemplo, los chicos deben considerar el contexto del problema para determinar si es necesario un cálculo exacto o uno aproximado; según “la forma” de los números que aparecen deben decidir si utilizan un cálculo mental o algorítmico y, según el tamaño de los números, considerar el uso de la calculadora.
Existen varias maneras de calcular y cada chico elige teniendo en cuenta sus conoci-mientos sobre numeración y sobre las operaciones. El docente debe estimularlos para que desarrollen procedimientos propios de cálculo, articulados con la operación a tratar y no con un algoritmo preestablecido. A esto se refiere el cálculo mental.
El cálculo mental es una práctica relevante para construir el sentido del sistema de nu-meración y las operaciones, y una vía de acceso para la comprensión y construcción de los algoritmos debido a que la reflexión se centra en el significado de los cálculos intermedios. Además, las actividades de cálculo mental favorecen la aparición y el uso de relaciones y propiedades de los números y las operaciones, que serán reconocidas y formuladas, fun-damentalmente, en el Segundo Ciclo.
Un objetivo fundamental es sistematizar un conjunto de resultados. Los niños deben construir progresivamente un repertorio de multiplicaciones que estarán disponibles en la memoria con el fin de ser utilizados para encontrar nuevos resultados y así, cuando aprendan el algoritmo, tener algún control del mismo. Pero esta memorización no debe ser mecánica, debe apoyarse en la construcción e identificación previa de relaciones y re-gularidades.
Sin embargo, no alcanza con proponer los cálculos y dar como consigna que los re-suelvan mentalmente; es necesario que estos se planteen como objeto de reflexión, ya que con el cuestionamiento del docente y la reflexión conjunta favorecen la aparición y el tratamiento de relaciones y propiedades de números y operaciones. Si el docente con-sidera que sus alumnos no cuentan con las estrategias previas necesarias para encarar el contenido que se propone en tercer año, es preciso que las trabaje.
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El cálculo mental necesita apoyarse en cálculos memorizados y en otras estrategias: redondeo, descomposición aditiva y/o multiplicativa de números, y uso de propiedades. A continuación les presentamos algunas propuestas para tener en cuenta.
• Repertorio multiplicativo -Exploración de algunas relaciones en la tabla pitagórica.-Productos de la tabla pitagórica.-Multiplicación por 10, por 100, por 1.000 encontrando regularidades.-Multiplicación de redondos por 1 dígito.
• Resolución de cálculos apoyándose en otros ya resueltos y en las propiedades de los números y las operaciones.-Uso de cálculos conocidos para resolver otros.-Uso de diferentes descomposiciones de los números para resolver multiplicaciones.-Uso del resultado de multiplicaciones conocidas para resolver otras.Algunas actividades pueden ser:
1. Observen la tabla pitagórica y respondan las preguntas:a. Para completar la columna del 4, ¿qué fila te ayuda?b. ¿Qué columna podés completar usando las columnas del 2 y del 3?c. Para completar la columna del 4, ¿qué columna te ayuda? 2. Escribí todos los cálculos de la tabla que den estos resultados.
25 = 60 = 12 =
Cálculo aproximadoCon estos cálculos se trabajarán situaciones que permitan:• explorar las estrategias de cálculo aproximado intercambiando ideas acerca de la ra-zonabilidad de los resultados;• resolver problemas en los que es suficiente el uso del cálculo aproximado;• usar cálculos mentales conocidos para estimar resultados de multiplicaciones de “nú-meros redondos”.
El tratamiento de los algoritmosDesde la postura tradicional, en las clases, los algoritmos se siguen desarrollando como
rutinas que deben ser mecanizados por los niños por medio de la resolución de cuentas.Sin embargo, la naturaleza de los algoritmos de las operaciones es un proceso de cons-
trucción racional que se apoya en aprendizajes sobre la numeración y las operaciones. Esto significa la comprensión conceptual del algoritmo, cuya ventaja fundamental es la reduc-ción de errores. Por ejemplo, ante la resolución de la multiplicación 34 × 6, muchos chicos cometen el error de olvidar “llevarse el 2”, y obtienen como resultado 184, y se pierde de vista que el 2 refiere a 2 decenas. No se observa el número en su totalidad, ni se considera el valor relativo de las cifras. El algoritmo convencional es la síntesis (que no deja al des-cubierto las razones de cada paso) de un conjunto de operaciones que se apoyan en las regularidades numéricas y las propiedades de las operaciones. Entonces, es importante
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generar en el aula las condiciones necesarias y suficientes para el proceso de construcción de los algoritmos que recuperen los procedimientos de los chicos.
A partir de tercer año se plantea la construcción y el dominio del algoritmo de la multi-plicación, el conocimiento y uso de sus propiedades.
Es importante resaltar que los algoritmos no deben convertirse en la única manera de resolver una cuenta, sino que deben ser una estrategia más, y esta estrategia no debe tapar las otras. Por ejemplo, para resolver 58 × 9 debe seguir siendo más sencillo resolver 58 × 10 y al resultado restarle 58, que resolver una cuenta con el algoritmo tradicional.
En segundo año los chicos resolvieron problemas multiplicativos, se generaron espa-cios de reflexión y discusión sobre los procedimientos empleados en la resolución y sobre las estrategias de cálculo que implican productos. Los chicos de tercero año deben ser capaces de resolver situaciones del tipo 14 × 6, aunque no conozcan el algoritmo. Esto será posible gracias al trabajo sostenido en el uso de estrategias de cálculo mental. Analicemos esas estrategias:
Proponga comparar los procedimientos analizando similitudes y diferencias. Pregunte, por ejemplo,”¿Qué es el 2 chiquito que está sobre el 1 en la cuenta de Ana?” Concluya que Lucía y Juan hacen la misma cuenta, pero escrita de otra manera. Ana también descom-pone los números de la misma manera pero resuelve mentalmente 60 + 24 poniendo el 2 del 20 arriba. Luego se puede solicitar a los chicos que resuelvan estos cálculos usando el procedimiento que prefieran.
18 × 6 = 48 × 4 = 39 × 7 = 37 × 5 = 25 × 6 =
Se espera que los chicos avancen en procedimientos similares a los dos primeros, y que al complejizar las cantidades involucradas recurran al algoritmo convencional.
En el algoritmo convencional se multiplican los números según su valor posicional, usando las tablas de multiplicar, y no se explicitan las multiplicaciones reales, por lo que a los 8 años un chico puede aprender el mecanismo, pero no tiene el manejo del sistema como para deducir qué es lo que está haciendo. Por eso, en primer año proponemos tra-bajar el sentido de la multiplicación a partir de problemas, avanzar en segundo año con la construcción de las tablas de proporcionalidad y las estrategias de cálculo, y en tercer año, continuar especialmente con los recursos de cálculo mental, para que el algoritmo sea construido sobre bases sólidas de manejo del sistema y de las propiedades de las ope-raciones.
Juan
10 × 6 = 604 × 6 = 2460 + 24 = 84
Lucía 14
× 6
6 × 10 606 × 4
+ 24
84
Ana
214× 684
×
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1. Luciano y Laura completan un álbum de figuritas. Luciano pega 9 figuritas y Laura, 5. ¿Cuántas figuritas pegan en total? ¿Cómo te diste cuenta?
2. Luli está armando bolsitas con 4 caramelos cada una para regalar a sus 3 primas. ¿Cuántos caramelos necesita?
3. Marcela tiene 10 figuritas para pegar en su álbum. Ya pegó 8. ¿Cuántas le falta pegar?
4. Horacio tiene 14 caramelos para repartir entre sus 4 amigos. Si le da la misma cantidad a cada uno, ¿cuántos caramelos recibe cada amigo? ¿Le sobran caramelos?
1. Gerardo está organizando sus libros de cuentos en 7 estantes. En cada estante coloca 7 cuentos. ¿Cuántos libros de cuentos tiene?
2. En un estante, Juan tiene 12 libros de cuentos y 4 libros de Matemática. ¿Cuántos libros tiene en el estante?
3. En el quiosco de la escuela venden bolsitas de bombones. Cada bolsita trae 5 bombones. Completá esta tabla.
Número de bolsitas 1 2 3 4 5
Cantidad de bombones
1. En la cerrajería del barrio tienen un tablero de 4 filas y en cada una hay 15 llaves. ¿Cuántas llaves hay en el tablero?
2. Marcela tiene 6 pulseras y 3 anillos. ¿Cuántos conjuntos diferentes puede armar?
3. Laura trajo 20 diccionarios para repartir entre sus compañeros. Si le quedan 5, ¿cuántos diccionarios repartió?
4. Enzo tiene 26 figuritas y le quiere dar 6 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos les puede dar la misma cantidad de figuritas?
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PROPUESTASDE EVALUACIONES
PROPUESTAS
CALCULADORA
Cuando los alumnos están aprendiendo a hacer cálculos, no pensamos en darles una calculadora para resolverlos, ya que suponemos que anularía el proceso que intentamos construir. Sin embargo, esta herramienta es útil para explorar propiedades del sistema de numeración.
La calculadora permite, entonces, evaluar y considerar algunas propiedades de las ope-raciones y los números. Por eso, su uso favorece el pensamiento crítico siempre que en las actividades predomine este criterio. Por ejemplo:
1. En una calculadora no funciona la tecla + . Decidí cuáles de estas cuentas podés resolver con ella y escribí cómo lo harías. a. 2 + 2 + 2 + 2 = b. 5 + 5 + 6 + 7 = c. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =
2. En una calculadora no funciona la tecla 3 . Escribí cómo podés hacer para resolver 325 × 8.
En la primera actividad, recomendada para Primer Ciclo, se pone de manifiesto que, para usar el signo × es necesario que los números que se suman sean iguales; por eso pue-den resolver a. y c. con una multiplicación, pero no b.
La segunda actividad, recomendada para Segundo ciclo, permite analizar las propieda-des de la multiplicación. Por ejemplo, como el primer número tiene un 3, hay que descom-ponerlo para hacer la cuenta. Hay muchas maneras de hacerlo, entre ellas:
325 × 8 = (150 + 150 + 25) × 8 = 150 × 8 + 150 × 8 + 25 × 8
Es decir, la propiedad distributiva se pone al servicio del uso de la calculadora.
El uso de las TICEn Internet hay muchos juegos que permiten recuperar el cálculo mental. Sin embargo,
es imprescindible que sea el docente quien recomiende qué juego usar. Uno de ellos es el de la página http://www.juegos.com/juego/multiplication.html, cuyo objetivo es que los chicos memoricen las tablas de multiplicar.
Si presenta este juego, recuerde que memorizar las tablas no es recitarlas. Por ejemplo, a veces cuando se le pregunta a un niño cuánto es 7 × 8, comienza 7 × 1, 7 × 2… hasta llegar a la respuesta; si en ese momento se le pregunta cuánto es 8 × 7, co-mienza 8 × 1, 8 × 2… sin tener en cuenta que la respuesta es la misma. Ese niño no memo-rizó las tablas, solo las recita.
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Antes de comenzar a analizar el sentido de la división es imprescindible destacar que los problemas de división pueden ser resueltos por distintos procedimientos y operaciones. El do-minio del algoritmo no garantiza reconocer dónde usarlo; es solo un recurso de cálculo que los chicos deben aprender pero no es el único posible. Cuando los chicos relacionan un cálculo con una palabra, por ejemplo: “es de dividir porque dice repartir”, no razonan sobre dicho concepto.
Para que el concepto de dividir sea internalizado y aprehendido es necesario generar en el aula instancias de reflexión y validación acerca de las razones por las que una manera de resolver un problema funciona. El concepto de dividir es complejo, y por eso su apren-dizaje lleva varios años de la escolaridad.
Para que los alumnos adquieran el sentido de un concepto es necesario que determi-nen en qué casos ese concepto es útil y que comprendan también los límites de su utiliza-ción. Si se les presentan actividades todas iguales, no necesitarán tomar ninguna decisión sino que aplicarán, mecánicamente, una estrategia.
Las primeras aproximaciones al concepto de dividir comienzan desde los primeros años de la escuela, a partir de dibujos y esquemas que en años posteriores se convertirán en operaciones.
Veamos un ejemplo:
Juan tiene 10 chupetines para compartir entre él y su mejor amigo. ¿Cuántos chupetines puede recibir cada uno?
Es probable que los chicos respondan que se reparten 5 chupetines a cada uno. Pero el enunciado del texto no dice que el reparto debe ser equitativo. Es decir, ¿por qué los dos deben recibir la misma cantidad de chupetines?
Uno de los aspectos clave de la enseñanza de la matemática radica en la resolución de problemas, entendiendo por problema, como ya se dijo anteriormente, un enunciado que presenta una situación que, en principio, los alumnos no saben resolver, que admite el uso de diversas estrategias y lleva a la discusión y el análisis. Es decir, el problema debe promover una discusión; en este caso, sobre las posibles maneras de repartir.
Analicemos algunas estrategias de resolución de los alumnos, del problema planteado.
LA DIVISIÓN
Pablo
Le doy 6 a uno y 4 a otro.
Le doy 5 a cada uno.
Juana
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Es muy valioso que los chicos conversen, estimulados y orientados por el docente, acer-ca de que el reparto puede hacerse de distintas maneras. Es posible que algunos alumnos digan que la resolución de Pablo no es justa porque uno se lleva más que el otro. Ante esta respuesta, se puede releer el texto para analizar si el reparto debe ser equitativo. Pregunte por ejemplo: ¿Hay una sola manera de repartir?, ¿qué se puede agregar al enunciado para que el reparto tenga que ser equitativo?
Observe que, de esta manera, no solo se comienza a construir el concepto de repartir, sino que, además, se pone en juego algo fundamental, que es enseñar a los niños a resol-ver problemas. Esto implica varios pasos: leer enunciados, revisarlos, transformarlos, ela-borar estrategias de resolución, ponerlas en práctica, discutir sobre lo hecho y, finalmente, sistematizar lo aprendido.
Estrategias de resolución
En el apartado anterior dijimos que los problemas que involucran el concepto de divi-sión, como reparto o partición, pueden plantearse desde los primeros años de la escolari-dad. Los niños, según su nivel de madurez, propondrán diversas estrategias de resolución. Por ejemplo:
Tengo 28 caramelos y los quiero repartir, en partes iguales, entre 7 chicos. ¿Cuántos caramelos le doy a cada uno?
Este problema es un ejemplo de reparto equitativo. Así lo resolvieron alumnas de primero.
En este caso podemos observar que Julieta dibujó primero todos los caramelos y, luego, los tachó a medida que los puso uno a uno en las bolsas.
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En todos los casos, las alumnas hicieron esquemas, es decir, representaron gráficamen-te la situación con los recursos propios de cada una. Julieta necesita dibujar primero todos los caramelos y ponerlos uno a uno en las bolsas. Representa la situación a partir de recur-sos que tiene disponibles. Malena realiza una representación similar a la de Julieta. Sin em-bargo, ella no necesita tachar los caramelos, le alcanza con ir ubicándolos con flechas en las bolsas. En la representación de Maia, en cambio, advertimos un proceso de abstracción respecto de los procedimientos de sus compañeras, porque ella no dibujó primero todos los caramelos y luego los ubicó en las bolsas, sino que representó los caramelos dentro de las bolsas, de manera sintética, menos realista.
De estos análisis se desprende que, para conocer las estrategias que siguen los chicos, no solo importa lo que ellos dicen, sino todo lo que podemos inferir observando sus traba-jos. Si analizamos las soluciones que propusieron, para este mismo problema, chicos más grandes, encontraremos representaciones como la siguiente:
En este caso, Maia representó un esquema de la situación.
Malena
Maia
Aquí observamos que Malena ubicó los caramelos por medio de flechas en las bolsas sin necesidad de tacharlos.
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Podemos observar que Soledad (8 años) no hace la cuenta de dividir. Sin embargo, su respuesta muestra un proceso de abstracción y proximidad al concepto de división.
Por otra parte, no todos los problemas de división requieren el mismo tipo de razona-miento. Consideremos este ejemplo:
Lucas tiene 15 autos y quiere poner 2 en cada caja. ¿Cuántas cajas necesita?
En este caso, debe hacer el reparto en partes iguales (dado que pone 2 autos por caja). Sin embargo, el enunciado incluye un aspecto diferente de los anteriores. Esto se debe a que, por ejemplo, en el problema anterior, se conocían la cantidad total de caramelos y la cantidad de niños, y había que averiguar cuántos caramelos le correspondían a cada uno de ellos. Es decir, la variable de lo que había que averiguar era la misma. En este problema, en cambio, se conoce la cantidad total de autitos y los que se ubican en cada caja, y lo que hay que averiguar es la cantidad de cajas. Es decir, en este problema, la variable que hay que averiguar es distinta de la que se tiene. Esto les exige a los chicos razonar de otra ma-nera y es un aspecto fundamental de la operación matemática que conviene tener presente.
Analicemos algunas estrategias para resolver este problema.
Martín
Observemos que Martín necesitó representar toda la situación dibujando los autos en las cajas. Los dibujos o esquemas son siempre un camino para aproximarse a la situación que se les plantea. Mauro representó lo mismo que Martín pero pudo hacer un razonamiento más abstracto poniendo números y proponiendo sumas. Mauro
SOLEDAD
28 CARAMELOS1 CARAMELO POR BOLSA USÉ 7 CARAMELOS2 CARAMELOS POR BOLSA USÉ 14 CARAMELOS3 CARAMELOS POR BOLSA USÉ 21 CARAMELOS4 CARAMELOS POR BOLSA USÉ 28 CARAMELOS
TENGO QUE PONER 4 CARAMELOS POR BOLSA.
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Es posible que en las aulas haya chapitas, porotos, palitos y otros objetos pequeños que los niños pueden usar. Pero, conviene recordar que no por manipular esos objetos sabrán resolver las situaciones. Estos materiales por sí solos no generan el conocimiento y si los niños se apegan demasiado a ellos, les costará mucho despegarse luego.
Proponer a los alumnos este tipo de problemas y estas maneras de resolverlos desde los primeros años de la escolaridad, les permite aprender a elaborar estrategias propias de resolución y comenzar a construir el sentido de la división.
Antes de las cuentas de dividirHay algunas nociones básicas que favorecen el aprendizaje de las cuentas de dividir. Por
ejemplo, es necesario que los chicos se familiaricen con la tabla pitagórica. Esto no significa que la sepan de memoria, sino que la usen como síntesis de operaciones de multiplicación. También deberían conocer las propiedades de la multiplicación por la unidad seguida de ceros.
¿Cómo enseñar a realizar la cuenta de dividir?Para enseñar a resolver la cuenta de dividir, a partir de 3º año, es necesario retomar
algunos aspectos que los chicos analizaron en los dos primeros. También hay que tener en cuenta que, si ya están acostumbrados a usar varias estrategias y no necesitan una cuenta, no la harán. Sería conveniente preguntarse, por ejemplo: ¿es necesario escribir una cuenta de dividir para resolver 8 : 4?
Es cierto que, cuando se les propone que operen con números de varias cifras, los chi-cos necesitan usar las cuentas como formas más económicas de resolver los cálculos. En-tonces, ¿cómo enseñar a realizar una cuenta de dividir?
Proponga la siguiente actividad:
Pida a los chicos que, en pequeños grupos, propongan estrategias de solución. Acérque-se a los grupos para observar las propuestas pero no opine sobre lo que hacen. Solo aclare, si es necesario, dudas acerca del enunciado. Luego, proponga que los integrantes de cada grupo escriban, en un papel afiche, los pasos que siguieron para resolver el problema.
Algunas estrategias que presenten pueden ser:
En un restaurante tienen 54 sillas para ubicar alrededor de las mesas. En cada mesa pondrán 4 sillas. ¿Cuántas mesas necesitan?
Mariela
Ana Juan
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Cuando los chicos terminen de escribir, pegue los afiches en el pizarrón. Pídales que encuentren una manera de decidir si el problema está bien resuelto sin hacer nuevamente las cuentas. El objetivo es procurar que reconozcan que la cantidad total de mesas multi-plicada por 4 sillas en cada una y sumada a las sillas que sobran debería dar lo mismo que la cantidad total de sillas.
Con este análisis se conceptualizan dos campos: por un lado, remite al algoritmo de la división de Euclides (dividendo = cociente × divisor + resto) y, por el otro, genera en los chicos instrumentos de control y validación de lo que hacen. Por su parte, la generación y el uso constante de dichos instrumentos ayudan a formar estudiantes cada vez más autó-nomos e independientes.
Pida luego que expliquen las estrategias erróneas. Analizar los errores es parte fun-damental de la intervención didáctica. El error no debe ser considerado como falta de comprensión o de estudio. Por el contrario, en el proceso de aprendizaje, el error es valioso y necesario porque, como objeto de debate, permite que los alumnos lo conozcan, lo analicen y lo reconozcan como estrategia inadecuada y, en consecuencia, no vuelvan a cometerlo.
Una vez que revisaron las soluciones propuestas comente que cualquiera de las estrategias adecuadas también puede escribirse de otra manera. Muéstreles cómo es posible hacerlo.
Comente lo que aparece en los globos y pregunte cuál es la diferencia entre lo que usted escribió en el pizarrón y lo que ellos hicieron.
Concluya que ambas maneras son correctas, solo que lo escribieron de distinto modo.Escriba algunos procedimientos empleados por los chicos en forma de cuenta de di-
vidir, luego dígales que esa cuenta se llama cuenta de dividir y diga también los nombres de las partes que la componen: dividendo, divisor, cociente y resto. A continuación, pida que resuelvan las actividades de la ficha titulada “Guardar en cajas” de las maneras que les parezcan adecuadas y, luego, sugiera que escriban la resolución en forma de cuenta como lo mostró anteriormente.
Observe que una estrategia sencilla para acercarse al resultado es multiplicar por la unidad seguida de ceros. Es cierto que el procedimiento de Juan que multiplicó por 5 para llegar a 20 mesas es correcto y es sencillo; sin embargo, las multiplicaciones por la unidad seguida de ceros son siempre más sencillas.
54 sillas
20 sillas
20
4
4
34
14
10
2 sillas(sobran)
64
–
–
–
–
–
+
4 sillas5 mesas5 mesas
1 mesa1 mesa
13 mesas
1 mesa
Ubico 4 sillas en una mesa más. Mequedan 10 sillas para ubicar.
Ubico 4 sillas en una mesa más. Me quedan 6 sillas para poner.
Ubico 4 sillas en una mesa más. Me quedan 2 sillas que no me alcanzan
para poner una mesa más.
Ubico otras 20 sillas en 5 mesas. Quedan todavía 14 para ubicar.
Ubiqué 20 sillas en 5 mesas.Quedan 34 sillas para ubicar.
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1. Ana tiene 15 caramelos y quiere darle 5 caramelos a Martín y 6 a Darío. ¿Le alcanzan los caramelos? ¿Le sobran o le faltan? ¿Cuántos?
2. a. Escribí dos formas de repartir 59 figuritas entre 3 chicos.b. ¿Pueden recibir todos los chicos la misma cantidad de figuritas? ¿Por qué?
3. Ana quiere repartir 25 figuritas entre 4 chicos. A todos les da la misma cantidad. ¿Le sobran figuritas? ¿Cuántas?
1. Flor quiere guardar 45 autitos en cajas. En cada caja pondrá 2 autitos. ¿Cuántas cajas necesita? ¿Cómo te das cuenta?
2. En el aula de Alan hay 54 chicos. Para su cumpleaños de 7 años, Alan trajo 165 caramelos para repartir. ¿Alcanza para darle 3 a cada chico? ¿Cómo te das cuenta?
3. En una camioneta entran 8 personas sentadas. ¿Cuántas camionetas se necesitan para trasladar 40 personas?
1. Carlos tiene 56 sillas para ubicar alrededor de las mesas. En cada mesa pondrá 4 sillas. ¿Cuántas mesas tiene que comprar?
2. a. Usá la tabla pitagórica para escribir divisiones en las que 9 sea el cociente. Escribí qué mirás en la tabla.b. Usá la tabla pitagórica para escribir divisiones que tengan a 24 por dividendo. Escribí qué mirás en la tabla.
3. Franco tiene que entregar 50 cajas. En su camión entran, como máximo, 12 cajas.a. ¿Cuál es la mínima cantidad de viajes que debe realizar? b. ¿Puede llevar más cajas sin aumentar los viajes? ¿Cómo te das cuenta?
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CALCULADORA
La calculadora está presente en todos lados. La vemos en el mercado, en los celulares, es una herramienta más en las actividades cotidianas. Por lo tanto, debe estar en el aula. La pregunta es, ¿para qué usamos la calculadora en el aula?
Su uso no reemplaza los aprendizajes que deben realizar los alumnos sobre las estrate-gias de cálculo, sino que es una herramienta eficaz para investigar las relaciones entre los números y las operaciones. No proponemos que la empleen para corregir las cuentas, sino para que reflexionen sobre lo que hacen.
La calculadora permite evaluar y considerar algunas propiedades de las operaciones y los números. Por eso, su uso favorece el pensamiento crítico siempre que en las activida-des predomine este criterio.
Por ejemplo:
Encontrar el resto de la división de 3.258 por 123 con la calculadora.
Esta actividad sin la calculadora es simplemente hacer una cuenta y mostrar el nú-mero que queda en la ubicación del resto. No es una actividad interesante. Sin embar-go, si se resuelve con la calculadora, la cuenta da un número decimal: 26,487808488… Es necesario extraer el número entero 26. Analizar luego que 123 entra 26 ve-ces en 3.258 y que 26 × 123 = 3.198. Por lo tanto, para calcular el resto hay que hacer 3.258 – 3.198 = 60.
En este tipo de problemas, la calculadora permite evaluar el algoritmo de la división planteado anteriormente.
Es posible hacer ensayos sin tener que preo-cuparse por los cálculos. Para que estos ensayos sean útiles es necesario que los alumnos escri-ban primero el cálculo que quieren hacer, las teclas que usarán y, luego, anoten el resultado obtenido. Esto les permitirá, en la puesta en co-mún, analizar los posibles errores cometidos y saber si esos errores fueron de interpretación o por pulsar mal las teclas.
La calculadora sirve para argumentar, validar y deducir propiedades. Con esos objetivos de-bemos usarla en el aula.
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GEOMETRÍA
Diversas actividades forman parte de las propuestas de enseñanza de geometría en Primer ciclo, entre ellas: juegos de recorridos, descripciones de las posiciones de un obje-to, adivinanzas, copias de figuras, mediciones, estimaciones, etc. Cada actividad tiene un objetivo determinado; no pretendemos lo mismo con una actividad de medición, que con una de reconocimiento de formas, que con una de ubicación y orientación en el espacio.
Analicemos el siguiente problema.
1. Escriban, en cada caso, qué figura es.a. b.
2. Decidan, en los casos anteriores, qué figura es más grande.3
3. ¿Cuáles son las similitudes y las diferencias entre estas figuras?
Es muy probable que los alumnos de los primeros años reconozcan el primer triángulo como un triángulo rectángulo. Sin embargo, no todos reconocerán el triángulo rectángulo en el segundo caso y algunos llegarán a sostener que es acutángulo.
Con respecto a las figuras que aparecen en b., en muchas ocasiones los chicos recono-cen que la primera es un cuadrado, pero dicen que la segunda es un rombo (sin embargo los dos tienen sus cuatro lados congruentes4 y sus ángulos interiores rectos, por lo tanto son cuadrados).
En ambos casos es la misma figura rotada, lo que cambió en una y otra es la posición, pero no se alteran las propiedades. Aquello que llamamos cuadrado o triángulo es una figura que cumple con ciertas propiedades y no una imagen en particular. Entonces, por un lado deben poder describir las posiciones y, por otro, reconocer la forma por sus pro-piedades.
Respecto de la actividad 2., si comprendieron que son las mismas figuras rotadas, con-cluirán que no solo se ha conservado la forma, sino que también se ha conservado el ta-maño.
Al analizar la actividad 3. podemos concluir que ambas tienen 4 ángulos rectos. El rec-tángulo tiene 2 pares de lados iguales y el cuadrado tiene los 4 lados iguales. Podemos definir entonces al rectángulo como el cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos y al cuadra-do como el cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos y 4 lados iguales. Como el cuadrado verifica las características de un rectángulo, entonces el cuadrado es un rectángulo.
3 De la misma medida.4 En el Segundo Ciclo se podrá incluir los cuadrados como casos particulares de rectángulos.
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Para desempeñarnos en nuestros entornos espaciales debemos tener en cuenta qué forma poseen los objetos que nos rodean, cuán grandes o pequeños son y dónde están ubicados. Por ello, en Primer ciclo, cuando nos referimos a la enseñanza del bloque de geometría pensamos en tres contenidos: ubicación y orientación en el espacio, forma y medida.
Ubicación y orientación en el espacio
Para lograr que los alumnos se apropien de este contenido, se les proponen actividades con estas finalidades:
• dar las referencias necesarias para ubicar la posición de un objeto o de una persona;• dar un conjunto de instrucciones que permitan desplazarse desde un lugar a otro.Lo que se espera de las clases de geometría no son los posicionamientos en sí mismos.
Otras áreas de enseñanza abarcan esta instancia; por ejemplo, en Educación Física los chi-cos ubican objetos con respectos a ellos, se desplazan y cambian su posición relativa se-gún el lugar de los objetos. Pero lo realizan con su propio cuerpo. Lo que aportan las clases de geometría es la representación tanto de las posiciones relativas como de los cambios y desplazamientos.
Las formasDebemos tener en cuenta la gran diversidad de formas. Por ejemplo:
Tanto las líneas, como las llamadas figuras planas, como así también los llamados cuer-pos geométricos son formas y, en general, la geometría las denomina figuras. En lo que difieren es en la cantidad de dimensiones que poseen. Por ejemplo, la semirrecta es uni-dimensional, el hexágono es bidimensional y el cubo es tridimensional, dado que poseen una, dos y tres dimensiones respectivamente.
De las figuras a los cuerpos o de los cuerpos a las figurasHistóricamente, las secuencias en la enseñanza de la geometría planteaban dos gran-
des recorridos. Uno era ir de los cuerpos a las figuras planas y el otro, ir del punto a la recta, de la recta a la figura plana y de la figura plana al cuerpo.
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Para apoyar el primero se apelaba a las etapas evolutivas descriptas por la psicología de la inteligencia. Según Jean Piaget, entre los 6 y los 12 años los individuos se encuentran en la etapa de pensamiento concreto. Como debían respetarse estas etapas y como se veía en los cuerpos algo manipulable, entonces se recomendaba comenzar por estos y, por medio de la impresión de huellas, las proyecciones de luces y sombras, etc., se transitaba del cuerpo a la figura.
La segunda postura recuperaba la lógica de una de las obras cumbres de la humanidad Los Elementos de Euclides, escrita hacia el 300 a. C. y cuyos destinatarios eran otros mate-máticos. Euclides recuperó los teoremas existentes y los completó; por esa razón se consi-dera que su obra es el primer cuerpo de conocimiento matemático de total consistencia. Es tal la dimensión de la obra de Euclides, que la geometría que estudiamos en las escuelas recibe el nombre de Geometría Euclídea.
Al comienzo de Los Elementos, Euclides comenta que todos tienen idea de qué es un punto, una recta y un plano. Por supuesto que no se refería a todas las personas, sino a todos matemáticos de su época. En la actualidad estas tres entidades se consideran “entes geométricos fundamentales”. Detrás de la referencia de Euclides se encuentra la idea de transitar de lo simple a lo complejo. Pero sabemos que lo que es simple para un matemá-tico no tiene por qué serlo para un individuo no experto, y mucho menos si ese individuo tiene seis o siete años.
En la actualidad, las secuencias didácticas no están centradas en ninguna de las dos posturas. Es relevante todo lo que nos rodea, es importante lo concreto, pero no porque se aprende al observar lo que nos rodea, sino porque se aprende por hacerse buenas pregun-tas acerca de lo que nos rodea.
Es cierto que en muchas oportunidades las secuencias didácticas van de lo más simple a lo más complejo, pero en otras debemos trasgredir ese principio para lograr ingresar en alguna lógica determinada, justamente porque lo simple y evidente suele diferir entre los matemáticos y los no matemáticos. La noción de punto no significa lo mismo cuando es vértice de una figura, que cuando es un punto de alguno de los lados, o cuando es un punto interior de la figura.
Es fundamental que los chicos puedan caracterizar las formas según sus propiedades. Para ello apelamos a diversos recursos como adivinanzas de figuras, copias, etcétera. Por ejemplo, en Primero se puede presentar la siguiente actividad.
Pinten con rojo los triángulos.
Las producciones con esta actividad suelen ser diversas. Según las investigaciones, los triángulos que los alumnos identifican claramente son los equiláteros; más adelante reco-nocen los isósceles acutángulos y, por último, los escalenos obtusángulos.
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Si se pregunta si hay que pintar al escaleno obtusángulo, algunos chicos sostendrán que sí y otros dirán que no, y entre los últimos pueden estar los que pintaron los isósceles acutángulos. Sostienen la postura diciendo, por ejemplo, “Lo que pasa es que este (refirién-dose al isósceles acutángulo) es más triángulo que este (el escaleno obtusángulo).
Está claro que uno no puede ser más triángulo que otro; o es triángulo o no lo es. Pero para los chicos el triángulo aún no es una figura. Para ellos es un dibujo, y el dibujo que más identifica a los triángulos es el del equilátero. Como el isósceles acutángulo es más parecido al equilátero que el escaleno obtusángulo, “es más triángulo”.
A esta postura se opone la de otros chicos que argumentarán que los escalenos obtus-ángulos también tienen “tres puntas”, por lo tanto también son triángulos. Si en el debate se acepta la condición de que los triángulos tienen “tres puntas”, este habrá dejado de ser un dibujo para ser un polígono de tres vértices.
En este debate aprenden todos: quienes no reconocían todos los triángulos aprenden las propiedades que los definen; quienes los reconocían aprenden a elaborar argumentos para defender sus ideas. Oportunamente, el docente informará que esas puntas se llaman vértices, que en Matemática se identifican con mayúsculas en imprenta, etcétera. Estas convenciones no deben obstaculizar la elaboración de argumentos con los que los chicos defiendan las propias posturas.
Veamos ahora la siguiente actividad.
¿Es posible armar un cubo?
Las respuestas esperables de los niños son: no se puede porque queda sin tapa o por-que le falta un costado.
La finalidad de la actividad no es recortar y pegar convirtiéndola en algo fáctico, sino que es una actividad anticipatoria. Permite reflexionar acerca de cuántas caras tiene un cubo. Así como los alumnos pueden contar los vértices de un polígono para asignar al mis-mo la condición de triángulo, también pueden contar las caras para asignar la condición de cubo. Por eso suelen responder que no se puede armar, pues quedaría sin tapa o le faltaría un costado.
El aprendizaje en geometría no depende de la cantidad de dimensiones de la figura, sino de ingresar en cierta lógica en la que las entidades geométricas participan.
Según lo que propongamos, será lo que consideren a futuro los chicos sobre qué es hacer geometría: observar con atención y tener precisión en los trazados o sostener buenos debates de ideas frente a los compañeros.
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Copiá este dibujo.
1. Pablo y Juana juegan a adivinar figuras.
¿Puede Pablo adivinar cuál fue la figura que eligió Juana? ¿Qué pregunta le puede hacer para estar seguro?
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1. ¿Qué instrucciones le darías a un compañero para dibujar cada figura?
2. Redactá una adivinanza para cada figura.
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Pienso en una figura que tiene 4 lados iguales.
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LA MEDIDA
En el transcurso de la escuela primaria, el tratamiento de la medida recorre desde las primeras connotaciones de las magnitudes hasta la actividad de medición propiamente dicha y las relaciones de proporcionalidad directa.
En Primer Ciclo suelen enseñarse solo algunas medidas, fundamentalmente longitud. Sin embargo, desde el primer año se puede abordar la enseñanza de todas las magnitudes, respetando las particularidades de cada una de ellas.
Es conveniente tener en cuenta, en una primera instancia, que los chicos deben iniciar el contacto con los atributos de una magnitud. Por ejemplo: largo, ancho, alto, bajo, cer-ca, lejos para la longitud; liviano o pesado para el peso; pronto, tarde, temprano para el tiempo. Estos atributos son asignados a aquello que se puede medir: es muy pesado o es muy liviano; está muy cerca o muy lejos; es muy cortito o muy largo; soy bajo o soy alto. También posibilitarán argumentar acerca de la validez al comparar: “es más pesado que…”; “está más lejos que…”; “es más corto que…”
Permiten, asimismo, ordenar en forma creciente o decreciente. Por ejemplo, si conside-ramos el atributo corto o largo, podemos ordenar los lápices de la cartuchera de menor a mayor o de mayor a menor, de acuerdo con la consigna que les propongamos.
Una distinción que es necesario considerar es que no es lo mismo distinguir el más grande o el más chico que ordenar en forma creciente o decreciente. Si bien este proceder se emplea al elaborar los ordenamientos, no son idénticos. Analicemos esta actividad:
Elijan el lápiz más largo de la cartuchera.
Los chicos toman el lápiz que consideran más largo y lo comparan con cada uno de los otros lápices. Si alguno de ellos resulta más largo, lo canjeará y no necesitará comparar el nuevo lápiz con los anteriores. Esto pone en evidencia la condición “transitiva” de la rela-ción “es más largo que”. Como el nuevo lápiz es más largo que el primero considerado, y este a su vez es más largo que todos los que lo preceden en la comparación, el nuevo lápiz es más largo que todos esos lápices.
Otras actividades para Primer Ciclo hacen referencia a medir objetos con otros objetos. Estas medidas suelen mencionarse como no convencionales debido a que no pertenecen a las medidas acordadas por gran parte de la humanidad.
De todas maneras, el uso de estas medidas debe generar la necesidad de acuerdo.
¿Cuántas sillas estiman que entran en el frente del salón? ¿Cuántos escritorios? ¿Y bibliotecas?
Es importante que la actividad de medir se combine con las estimaciones de la mag-nitud. Al preguntar cuántas sillas estiman que entrarán en el frente del salón están anti-cipando una posible medida. Luego, se pueden colocar las sillas y reflexionar acerca de cuán lejanos o cercanos estamos con respecto al valor mensurado. En este caso surgirá la necesidad de acuerdo. Cuando decimos que el frente del salón equivale a 25 sillas, debe-mos aclarar de qué sillas estamos hablando. No entran en el frente la misma cantidad de la silla que usa el maestro, que las que usan los chicos. Estas medidas resultan ser, en cierto modo, convencionales. Esa necesidad de acuerdo para que todos evaluemos la distancia
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con los mismos objetos demanda una convención. Lo que ocurre es que esa convención está restringida a quienes hemos generado ese acuerdo. En este punto, necesitamos que el acuerdo exceda las paredes del salón.
Si les preguntamos a los padres cuántas sillas entran en uno de los ambientes de la casa, será necesario que cuenten con una expresión de la medida de las sillas que les per-mita evaluar la longitud. No podrán preguntarse cuántas sillas entran si solo les decimos “de esas que tenemos en la escuela”; necesitarán alguna de las medidas “legales”, aquellas que pertenecen al SIMELA.5
Es fundamental proponer actividades en las que los atributos se desprendan de los ob-jetos. Esto se logra con objetos grandes y pesados que no puedan desplazarse para indicar cuántos entran. Por ejemplo, si en vez de preguntarnos por la cantidad de sillas que entran en el frente del salón, nos preguntamos acerca de la cantidad de bibliotecas que entran, ya no podremos poner una al lado de otra hasta completar el frente del salón. Para hacerlo, tendremos que cortar piolines o cintas de papel del ancho de la biblioteca e ir colocándo-los uno tras otro hasta completar el frente del salón. Esos piolines no son la totalidad de la biblioteca. Del objeto biblioteca hemos desprendido su atributo “ancho”. Luego, podremos afirmar que en el frente del salón entran 12 bibliotecas dado que habrán entrado 12 pioli-nes con la longitud del ancho de la biblioteca.
Así como podemos evaluar el frene del salón en anchos de bibliotecas, también lo po-demos hacer con las medidas del SIMELA. Se podrá contar con piolines o cintas de papel de un metro de longitud y completar el frente del salón.
En el momento de medir, un aspecto importante a tener en cuenta es cómo poner la regla. Es esperable que, para medir, muchos alumnos hagan lo mismo que en la figura.
Esto ocurre porque para los chicos el primer número es el 1. Es necesario trabajar y dis-cutir para que pongan la regla en 0 para medir.
Muchos ejemplos que hicimos con medidas de longitud pueden pensarse también para medidas de peso o capacidad. Por ejemplo:
a. ¿Qué es más pesado, el elefante o la hormiga?b. Si necesito transportar mucha agua, ¿me conviene llevar un bidón o un vaso? ¿Por qué?
5 El Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA) se establece por la Ley Nº 19.511 de 1972 que adopta como unidades de medidas las del Sistema Internacional de Medidas (SI).
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1. Medí estas tiras con tu dedo pulgar y anotá la medida.
2. Medí las tiras con la regla.
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3. ¿Obtuviste la misma respuesta en los problemas 1 y 2? ¿Por qué te parece que ocurre eso?
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1. Pintá siguiendo las instrucciones.a. Con rojo todas las varillas que miden 2 cm de largo.b. Con azul todas las varillas que miden 5 cm de largo.c. Con verde todas las varillas que miden 8 cm de largo.
1. Dibujá un lápiz que mida 5 cm.
2. Dibujá un lápiz que mida 10 cm.
3. El albañil tiene que hacer una pared de 1 m de largo. Ya construyó 75 cm. ¿Cuánto le falta construir? ¿Cómo te das cuenta?
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 38
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ión.
Val
or p
osic
iona
l: co
m-
pone
r y d
esco
mpo
ner n
úmer
os e
n fo
rma
aditi
va.
• Val
or p
osic
iona
l. Co
mpo
sici
ón a
ditiv
a de
un
núm
ero
de 4
cifr
as.
• Reg
istra
r dat
os e
n ta
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.
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de lo
s nú
mer
os n
atur
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a
travé
s de
su
desi
gnac
ión
oral
y re
pres
enta
ción
esc
rita.
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de la
org
aniz
ació
n de
cim
al d
el
sist
ema
de n
umer
ació
n.
10-1
1• E
stru
ctur
a ad
itiva
de
un n
úmer
o de
4 c
ifras
. Es
critu
ras
equi
vale
ntes
.• N
umer
ació
n ha
sta
1.00
0. R
egul
arid
ad. E
ncua
-dr
amie
nto
y or
den.
12-1
3, fi
chas
1-
2En
rela
ción
con
el n
úmer
o y
las
oper
acio
nes:
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de la
s op
erac
ione
s de
adi
ción
y s
ustra
cció
n; re
aliz
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álcu
los
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sum
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esta
s ad
ecua
ndo
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ituac
ión
y a
los
núm
eros
invo
lucr
ados
; us
ar p
rogr
esiv
amen
te re
sulta
dos
de c
álcu
los
mem
oriz
ados
.
• Rep
erto
rio a
ditiv
o y
sust
ract
ivo
con
núm
eros
de
3 ci
fras
. Rep
aso.
• La
conf
ianz
a en
las
prop
ias
posi
bilid
ades
par
a re
solv
er
prob
lem
as y
form
ular
se in
terr
ogan
tes.
• La
disp
osic
ión
para
def
ende
r sus
pro
pios
pun
tos
de
vist
a, c
onsi
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r ide
as y
opi
nion
es d
e ot
ros,
deb
atirl
as y
el
abor
ar c
oncl
usio
nes.
• La
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de la
val
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de
afirm
acio
nes
prop
ias
y aj
enas
.• L
a id
entif
icac
ión
de d
atos
e in
cógn
itas
en p
robl
emas
ar
itmét
icos
.
14-1
5En
rela
ción
con
la g
eom
etría
y e
l esp
acio
:• E
l rec
onoc
imie
nto
y us
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rela
cion
es
espa
cial
es e
n es
paci
os e
xplo
rabl
es o
que
pu
edan
ser
exp
lora
dos
efec
tivam
ente
en
la re
solu
ción
de
situ
acio
nes
prob
lem
átic
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que
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n us
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laci
ones
esp
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les
al
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grá
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ctos
y p
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s de
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y p
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nas,
pa
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istin
tas
rela
cion
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refe
renc
ias.
• Esp
acio
. Int
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pos
icio
nes.
Com
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ar
posi
cion
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reco
rrid
os.
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de re
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ones
esp
acia
les
en la
re
solu
ción
de
prob
lem
as e
n es
paci
os e
xplo
rabl
es o
que
pu
edan
ser
exp
lora
dos
efec
tivam
ente
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 39
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n lo
s N
úcle
os d
e Ap
rend
izaj
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riorit
ario
s (N
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Uni
dad
Pági
nas
Núc
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ndiz
ajes
pri
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s (N
AP)
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sSi
tuac
ione
s de
ens
eñan
za d
e lo
s N
AP
prop
uest
as e
n el
áre
a2
19-2
0-21
-30
En re
laci
ón c
on e
l núm
ero
y la
s op
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ione
s:• E
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onoc
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nto
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es,
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repr
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scrit
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de
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del s
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ma
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en s
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eros
nat
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cua
tro y
más
ci-
fras
a tr
avés
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esig
naci
ón o
ral y
repr
esen
taci
ón
escr
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l com
para
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es y
núm
eros
; ide
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regu
larid
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en
la s
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po
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s si
gnifi
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eros
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s, c
uatro
y m
ás
cifr
as y
al o
pera
r con
ello
s.
• Reg
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idad
es e
ntre
1.0
00 y
5.0
00. R
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tar n
úmer
os e
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rect
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mér
ica.
• El r
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ocim
ient
o y
uso
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s nú
mer
os n
atur
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travé
s de
su
desi
gnac
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oral
y re
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enta
ción
esc
rita.
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de la
org
aniz
ació
n de
cim
al d
el
sist
ema
de n
umer
ació
n.
22-2
3En
rela
ción
con
el n
úmer
o y
las
oper
acio
nes:
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de la
s op
erac
ione
s de
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-ci
ón y
sus
tracc
ión,
con
dis
tinto
s si
gnifi
cado
s.• E
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regu
ntas
o e
nunc
iado
s de
pro
blem
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gist
rar y
org
aniz
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atos
en
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grá
ficos
sen
cillo
s a
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dis
tinta
s in
form
acio
nes.
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ient
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la in
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ació
n. A
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lisis
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la in
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ació
n co
nten
ida
en e
l en
unci
ado.
• La
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ianz
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las
prop
ias
posi
bilid
ades
par
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solv
er
prob
lem
as y
form
ular
se in
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tes.
• La
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osic
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pios
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tos
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as y
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nion
es d
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ros,
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atirl
as y
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abor
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usio
nes.
• La
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tific
ació
n de
dat
os e
incó
gnita
s en
pro
blem
as
aritm
étic
os.
24-2
5-30
En re
laci
ón c
on e
l núm
ero
y la
s op
erac
ione
s:• E
l rec
onoc
imie
nto
y us
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las
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nes
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ión
y su
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sign
ifica
dos,
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los
proc
edim
ient
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s co
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s al
gorit
mos
usu
ales
; exp
lora
r rel
acio
nes
num
éric
as
y re
glas
de
cálc
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de s
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y re
stas
y a
rgum
enta
r so
bre
su v
alid
ez.
• Aná
lisis
de
proc
edim
ient
os p
ara
sum
ar
y re
star
.• L
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nfia
nza
en la
s pr
opia
s po
sibi
lidad
es p
ara
reso
lver
pr
oble
mas
y fo
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inte
rrog
ante
s.• L
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spos
ició
n pa
ra d
efen
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s de
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con
side
rar i
deas
y o
pini
ones
de
otro
s, d
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irlas
y
elab
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con
clus
ione
s.• L
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y e
scrit
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ltado
s y
proc
edi-
mie
ntos
util
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os p
ara
reso
lver
pro
blem
as a
ritm
étic
os.
• La
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de
afirm
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nes
prop
ias
y aj
enas
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icac
ión
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cógn
itas
en p
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emas
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itmét
icos
.• L
a ut
iliza
ción
, com
para
ción
y a
nális
is d
e di
stin
tos
proc
edim
ient
os.
26, fi
cha
4En
rela
ción
con
el n
úmer
o y
las
oper
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nes:
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ient
o y
uso
de la
s op
erac
ione
s de
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sus
tracc
ión
con
dist
into
s si
gnifi
cado
s; re
aliz
ar
cálc
ulos
de
sum
as y
rest
as, a
decu
ando
el t
ipo
de
cálc
ulo
a la
situ
ació
n y
a lo
s nú
mer
os in
volu
crad
os.
• Usa
r pro
gres
ivam
ente
resu
ltado
s de
cál
culo
s m
emo-
rizad
os.
• Res
olve
r pro
blem
as: d
iver
sos
sent
idos
de
la s
uma
y la
rest
a.• L
a co
nfia
nza
en la
s pr
opia
s po
sibi
lidad
es p
ara
reso
lver
pr
oble
mas
y fo
rmul
arse
inte
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ante
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na c
once
pció
n de
mat
emát
ica
segú
n la
cua
l los
resu
l-ta
dos
que
se o
btie
nen
son
cons
ecue
ncia
nec
esar
ia d
e la
ap
licac
ión
de c
iert
as re
laci
ones
.• L
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terp
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ción
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ión
pres
enta
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n fo
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oral
o e
scrit
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xtos
, tab
las,
dib
ujos
, grá
ficos
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a id
entif
icac
ión
de d
atos
e in
cógn
itas
en p
robl
emas
ar
itmét
icos
.• E
l rec
onoc
imie
nto
y us
o de
las
oper
acio
nes
con
dist
in-
tos
sign
ifica
dos.
27, fi
cha
3• C
álcu
lo m
enta
l de
sum
as y
rest
as.
28-2
9-30
En re
laci
ón c
on la
geo
met
ría y
el e
spac
io:
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de re
laci
ones
esp
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les
en
espa
cios
exp
lora
bles
o q
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ueda
n se
r exp
lora
dos
efec
tivam
ente
en
la re
solu
ción
de
situ
acio
nes
prob
le-
mát
icas
que
requ
iera
n us
ar re
laci
ones
esp
acia
les
al
inte
rpre
tar y
des
crib
ir en
form
a or
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grá
fica
traye
ctos
y
posi
cion
es d
e ob
jeto
s y
pers
onas
par
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stin
tas
rela
cion
es y
refe
renc
ias.
• Int
erpr
etar
y re
pres
enta
r pla
nos
y re
corr
idos
.• E
l rec
onoc
imie
nto
y us
o de
rela
cion
es e
spac
iale
s en
la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
en
espa
cios
exp
lora
bles
o q
ue
pued
an s
er e
xplo
rado
s ef
ectiv
amen
te.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 40
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n lo
s N
úcle
os d
e Ap
rend
izaj
es P
riorit
ario
s (N
AP)
Uni
dad
Pági
nas
Núc
leos
de
apre
ndiz
ajes
pr
iori
tari
os (N
AP)
abo
rdad
osC
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nido
sSi
tuac
ione
s de
ens
eñan
za d
e lo
s N
AP
prop
uest
as e
n el
áre
a3
33-3
4-44
, fic
ha 5
En re
laci
ón c
on e
l núm
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y la
s op
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ione
s:• E
l rec
onoc
imie
nto
y us
o de
las
oper
acio
nes
de a
dici
ón y
sus
tracc
ión,
en
situ
acio
nes
prob
lem
átic
as q
ue re
quie
ran
usar
las
oper
a-ci
ones
de
adic
ión,
sus
tracc
ión,
con
dis
tinto
s si
gnifi
cado
s.
• Pro
blem
as q
ue in
volu
cran
div
er-
sos
sent
idos
de
la s
uma
y de
la
rest
a en
el c
onte
xto
del d
iner
o.
• La
inte
rpre
taci
ón d
e in
form
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n pr
esen
tada
en
form
a or
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esc
rita
(con
text
os, t
abla
s, d
ibuj
os, g
ráfic
os).
• La
com
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sulta
dos
y pr
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imie
ntos
util
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dos
para
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lver
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blem
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ritm
étic
os.
• La
com
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ción
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as y
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nális
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de
las
resp
uest
as p
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ción
a la
si
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plan
tead
a.• L
a ex
plor
ació
n de
la v
alid
ez d
e af
irmac
ione
s pr
opia
s y
ajen
as.
35-3
6-37
En re
laci
ón c
on e
l núm
ero
y la
s op
erac
ione
s:• E
l rec
onoc
imie
nto
y us
o de
las
oper
acio
nes
de a
dici
ón y
sus
tracc
ión,
con
dis
tinto
s si
gni-
ficad
os; r
ealiz
ar c
álcu
los
de s
umas
, res
tas,
us
ar p
rogr
esiv
amen
te re
sulta
dos
de c
álcu
los
mem
oriz
ados
.
• Est
imac
ión
de re
sulta
dos.
• Cál
culo
men
tal c
on n
úmer
os d
e 4
cifr
as.
• For
mas
de
sum
ar y
de
rest
ar.
• Una
con
cepc
ión
de m
atem
átic
a se
gún
la c
ual l
os re
sulta
dos
que
se o
btie
nen
son
cons
ecue
ncia
nec
esar
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apl
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ión
de c
iert
as
rela
cion
es.
• La
disp
osic
ión
para
def
ende
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pro
pios
pun
tos
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ista
, con
side
rar
idea
s y
opin
ione
s de
otro
s, d
ebat
irlas
y e
labo
rar c
oncl
usio
nes.
• La
inte
rpre
taci
ón d
e in
form
ació
n pr
esen
tada
en
form
a or
al o
esc
rita
(con
text
os, t
abla
s, d
ibuj
os, g
ráfic
os).
• La
com
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de re
sulta
dos
y pr
oced
imie
ntos
util
i-za
dos
para
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pro
blem
as a
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étic
os.
• La
com
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resp
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tuac
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plor
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n de
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s pr
opia
s y
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as.
• El r
econ
ocim
ient
o y
uso
de la
s op
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ione
s co
n di
stin
tos
sign
ifica
-do
s en
la re
solu
ción
de
prob
lem
as.
• La
utili
zaci
ón, c
ompa
raci
ón y
aná
lisis
de
dist
into
s pr
oced
imie
ntos
pa
ra c
alcu
lar e
n fo
rma
exac
ta y
apr
oxim
ada.
38-3
9-40
-41-
44, fi
cha
6En
rela
ción
con
el n
úmer
o y
las
oper
acio
nes:
• Rea
lizar
cál
culo
s de
sum
as y
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tiplic
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cuan
do e
l tip
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eros
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y
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ulan
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s pr
oced
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ntos
per
sona
les
con
los
algo
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os u
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m
ultip
licac
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rpre
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atos
en
tabl
as.
• Pro
blem
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e pr
opor
cion
alid
ad
dire
cta:
uso
de
tabl
as.
• Uso
de
la ta
bla
pita
góric
a.• U
so d
e la
tabl
a pi
tagó
rica
para
re
solv
er p
robl
emas
.
• Una
con
cepc
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de m
atem
átic
a se
gún
la c
ual l
os re
sulta
dos
que
se o
btie
nen
son
cons
ecue
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rar
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ione
s de
otro
s, d
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nes.
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n pr
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form
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os, t
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• La
iden
tific
ació
n de
dat
os e
incó
gnita
s en
pro
blem
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ritm
étic
os.
42-4
3-44
En re
laci
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geo
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nes
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as.
• Geo
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terís
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las
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as.
• La
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dat
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os.
• El r
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e di
stin
tas
cara
c-te
rístic
as m
atem
átic
as.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 41
Mat
etub
ers
3 - P
lani
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da e
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447
-48-
49-
58En
rela
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• El r
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• El r
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s co
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stin
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dos
en
la re
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as.
50-5
1-58
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s nu
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icas
y re
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y ar
gum
enta
r sob
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u va
lidez
.
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m
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s pr
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ntos
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52-5
3-54
-55-
58,
ficha
7
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terr
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y op
inio
nes
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deb
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as y
ela
bora
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clus
ione
s.• L
a in
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reta
ción
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info
rmac
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enta
da e
n fo
rma
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scrit
a (c
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text
os, t
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ibuj
os, g
ráfic
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• La
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dos
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pro
blem
as a
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os.
• La
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de
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, com
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os p
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ular
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form
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imad
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56-5
7,
ficha
8,
reco
rtab
le
127
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ístic
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• Geo
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ría. F
igur
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Cara
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ístic
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gulo
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.
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s en
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blem
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• El r
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geom
étric
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par
tir d
e di
stin
tas
cara
cter
ís-
ticas
mat
emát
icas
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 42
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
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AP
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61-6
2-63
-72,
fic
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9-10
En re
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ón c
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s:• U
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s.
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cero
s.• C
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enta
l. Us
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la c
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lado
ra.
64-6
5-72
En re
laci
ón c
on e
l núm
ero
y la
s op
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ione
s:• U
sar l
as o
pera
cion
es d
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n, s
ustra
cció
n,
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n y
divi
sión
con
dis
tinto
s si
gnifi
cado
s;
real
izar
cál
culo
s de
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s, m
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nes
y di
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de c
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lo a
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n y
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s nú
mer
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dib
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, grá
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y e
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tos
utili
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s pa
ra re
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mét
icos
.• L
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mpa
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e pr
oced
imie
ntos
util
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lver
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mas
y e
l aná
lisis
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la v
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la s
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ión
plan
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entif
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en p
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s en
la re
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ción
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as.
• La
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zaci
ón, c
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raci
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aná
lisis
de
dist
into
s pr
oced
i-m
ient
os p
ara
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ular
en
form
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acta
y a
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a.
66-6
7• F
orm
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e m
ultip
licar
y d
ivid
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sis
de a
lgor
itmos
.
68-6
9En
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ción
con
el n
úmer
o y
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nes:
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la s
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icio
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n co
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sign
ifica
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una,
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, tre
s, c
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y m
ás c
ifras
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llos.
• Rea
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s de
sum
as y
rest
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el
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de
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a la
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n y
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s nú
mer
os
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lucr
ados
.• U
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rogr
esiv
amen
te re
sulta
dos
de c
álcu
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mem
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ados
(inc
luye
ndo
los
prod
ucto
s bá
sico
s)
y la
s pr
opie
dade
s de
la a
dici
ón y
la m
ultip
licac
ión
para
reso
lver
otro
s.
• Est
imar
resu
ltado
s y
just
ifica
r.• U
so d
e la
cal
cula
dora
par
a at
ende
r al
valo
r pos
icio
nal d
e ca
da c
ifra.
• Una
con
cepc
ión
de m
atem
átic
a se
gún
la c
ual l
os re
sul-
tado
s qu
e se
obt
iene
n so
n co
nsec
uenc
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eces
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la
aplic
ació
n de
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cion
es.
• La
disp
osic
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para
def
ende
r sus
pro
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de v
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, co
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mas
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stin
tos
proc
edi-
mie
ntos
par
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exac
ta y
apr
oxim
ada.
70-7
1-72
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laci
ón c
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geo
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ría y
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rístic
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• El r
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ocim
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icac
ión
de d
atos
e in
cógn
itas
en p
robl
emas
ge
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ricos
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 43
Mat
etub
ers
3 - P
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s de
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s.
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tas
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75-7
6-77
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Com
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ción
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ros,
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ntos
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las
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in-
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ción
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stin
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proc
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mie
ntos
par
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exac
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apr
oxim
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79-8
6• C
álcu
lo m
enta
l. Pr
opie
dade
s de
la m
ultip
lica-
ción
y d
e la
div
isió
n.
80-8
1-82
-83
-86
• For
mas
de
mul
tiplic
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erfe
ccio
nar a
lgor
itmos
.O
pera
cion
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s. L
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ción
por
pro
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os p
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dir.
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i-za
ción
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.• P
robl
emas
de
divi
sión
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aniz
ar d
atos
en
lista
s.
84-8
5-86
, fic
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2En
rela
ción
con
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n de
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un
med
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.
• La
dife
renc
iaci
ón d
e di
stin
tas
mag
nitu
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y la
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bora
-ci
ón d
e es
trate
gias
de
med
ició
n co
n di
stin
tas
unid
ades
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 44
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
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úcle
os d
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s de
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eñan
za d
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s N
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prop
uest
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a7
89-9
0,
ficha
14
En re
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y la
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cion
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ifica
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ión.
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nion
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usio
nes.
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ción
con
el n
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las
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acio
nes:
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raci
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caci
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isió
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n di
stin
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sign
ifica
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ez d
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s po
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plan
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pro
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form
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form
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s, d
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proc
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ados
par
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emas
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mét
icos
.
92-9
3-10
0,
ficha
13
• Cál
culo
men
tal d
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mas
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stas
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m
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94-9
5-10
0En
rela
ción
con
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y
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tar s
obre
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valid
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• Reg
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cillo
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ani-
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 45
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105,
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107-
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114
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 46
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114
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 47
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10-1
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 48
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112
-13-
16,
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2O
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rar l
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s.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 49
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21-
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tes,
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s de
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dos:
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rma-
ción
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n-ci
ado.
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s en
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n si
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s qu
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cren
un
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nece
sario
s e
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cesa
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• Sum
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licen
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rest
en e
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nes
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en
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exto
s va
riado
s, a
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s m
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os e
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rmin
os d
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sida
d, p
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enci
a y
cant
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cion
es.
• Pro
pici
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mas
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sum
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es, e
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o c
ombi
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que
pue
den
real
izar
se p
ara
resp
onde
rla.
• Dis
cutir
y a
naliz
ar c
olec
tivam
ente
las
dife
rent
es e
stra
-te
gias
de
reso
luci
ón.
24-2
5Es
trate
gias
de
cálc
ulo
para
su
mas
y re
stas
:• A
nális
is d
e pr
oced
imie
ntos
pa
ra s
umar
y re
star
.
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gias
de
cálc
ulo
de s
uma
y re
sta,
de
acue
rdo
con
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ituac
ión
y lo
s nú
mer
os in
volu
crad
os.
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icen
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rate
gias
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cálc
ulo
pert
inen
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a la
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n da
da,
para
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rest
ar.
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amen
te, e
n fu
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n de
la p
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enci
a de
los
cálc
ulos
, dis
tinto
s pr
oced
imie
ntos
de
reso
luci
ón,
just
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ndo
y va
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us re
spue
stas
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naliz
ar c
olec
tivam
ente
y c
ompa
rar l
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álcu
los
para
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su
clas
ifica
ción
en
fáci
les
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fícile
s, c
onti-
nuan
do a
sí la
con
stru
cció
n de
l rep
erto
rio a
ditiv
o.
26-3
0,
ficha
4Si
tuac
ione
s de
sum
a y
rest
a qu
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plic
an v
ario
s cá
lcul
os y
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dim
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os:
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s se
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sum
a y
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a.
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y re
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en v
ario
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ient
os.
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rest
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icen
e in
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rete
n pe
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nent
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a.
• Pro
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ad re
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terp
reta
ción
de
los
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sos
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s cá
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iscu
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olec
tivam
ente
las
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inta
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enar
los
cálc
ulos
invo
lucr
ados
sin
per
der c
ontro
l de
l sig
nific
ado
de lo
s m
ism
os.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 50
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
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Aire
s
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Pági
nas
Con
teni
dos
Mod
os d
e co
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r
Indi
cado
res
de a
vanc
eLu
ego
del a
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aje
del
área
es
espe
rabl
e qu
e lo
s es
tudi
ante
s:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
227
-30,
fic
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Cálc
ulo
men
tal d
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mas
y
rest
as.
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sum
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rest
as.
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cál
culo
men
tal p
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orio
de
cálc
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fáci
les.
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ione
s qu
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quie
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álcu
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xact
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culo
men
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algo
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y co
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ra, p
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que
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nos
pued
an s
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cion
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l re
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cál
culo
más
per
tinen
te.
• Pro
pici
ar s
ituac
ione
s de
reco
noci
mie
nto,
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par
te d
e lo
s al
umno
s, d
e cá
lcul
os d
e su
ma
y re
sta
que
les
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cile
s y
difíc
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plia
ndo
el re
pert
orio
de
cálc
ulo.
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opo
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idad
es e
n la
s qu
e se
use
el r
esul
tado
nu
mér
ico
de u
n cá
lcul
o fá
cil o
con
ocid
o pa
ra re
solv
er
otro
s cá
lcul
os n
uevo
s.• R
efle
xion
ar c
olec
tivam
ente
sob
re la
s di
fere
ntes
est
ra-
tegi
as p
uest
as e
n ju
ego
y co
mpa
rar a
sí la
var
ieda
d de
cá
lcul
os e
n lo
s qu
e pu
eden
apo
yars
e pa
ra re
solv
er.
• Pro
mov
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com
posi
ción
de
núm
eros
de
dos,
tres
y
cuat
ro c
ifras
par
a re
solv
er c
álcu
los
de s
uma
y re
sta
y su
dis
cusi
ón y
refle
xión
col
ectiv
a.• A
naliz
ar y
com
para
r col
ectiv
amen
te la
s di
fere
ntes
de
scom
posi
cion
es q
ue lo
s al
umno
s pr
esen
ten.
• Pro
pici
ar e
l uso
de
esto
s pr
oced
imie
ntos
de
cálc
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men
tal c
on la
inte
nció
n de
tene
r un
may
or c
ontro
l de
los
cálc
ulos
alg
orítm
icos
.
28-2
9-30
Com
unic
ació
n de
pos
icio
nes
y de
spla
zam
ient
os:
• Int
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etar
y re
pres
enta
r pl
anos
y re
corr
idos
.
• Ela
bora
r una
repr
esen
taci
ón
plan
a de
l esp
acio
reco
rrid
o.• I
nter
pret
ar in
stru
ccio
nes
escr
i-ta
s so
bre
reco
rrid
os.
• Le
er p
lano
s/cr
oqui
s de
lu
gare
s co
noci
dos,
don
de s
e re
pres
enta
n re
corr
idos
.• L
eer p
lano
s de
luga
res
de
inte
rés.
• Ela
bore
n di
bujo
s o
gráf
icos
par
a in
dica
r rec
orrid
os e
n es
paci
os
cada
vez
más
am
plio
s.• D
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n in
stru
ccio
nes
para
real
i-za
r rec
orrid
os y
pro
gres
ivam
ente
av
ance
n en
su
escr
itura
, hac
iend
o lo
s aj
uste
s ne
cesa
rios
para
mej
o-ra
r la
calid
ad d
e la
s in
dica
cion
es.
• Int
erpr
eten
reco
rrid
os re
pres
en-
tado
s en
pla
nos
com
o m
edio
s pa
ra o
rient
arse
en
dife
rent
es
espa
cios
.• L
ean
plan
os, i
nter
pret
ando
al
guna
s re
fere
ncia
s.• U
tilic
en lo
s pl
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par
a re
aliz
ar
un re
corr
ido
de u
n lu
gar d
e in
teré
s.
• Pla
ntea
r pro
blem
as q
ue re
quie
ran
elab
orar
dib
ujos
o
gráf
icos
que
per
mita
n re
cord
ar u
n re
corr
ido
real
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o.• P
ropo
ner p
robl
emas
en
los
que
los
alum
nos
dict
en u
n in
stru
ctiv
o qu
e in
form
e so
bre
un re
corr
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suge
rido.
• Pro
pici
ar e
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lisis
de
la p
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enci
a de
un
dibu
jo o
te
xto
sobr
e un
reco
rrid
o pa
ra u
bica
rse
en e
l esp
acio
.• P
ropo
ner t
area
s de
“aju
stes
” a lo
s di
bujo
s o
text
os
prod
ucid
os d
e m
aner
a qu
e se
an m
ás c
laro
s o
más
pr
ecis
os.
• Pro
mov
er la
inte
rpre
taci
ón d
e di
stin
tos
reco
rrid
os q
ue
pued
en s
er re
aliz
ados
a p
artir
de
un fo
lleto
de
un lu
gar
de in
teré
s.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 51
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
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s
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Mod
os d
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espe
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e qu
e lo
s es
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ante
s:
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acio
nes
de e
nseñ
anza
333
-34,
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ha 5
Ope
raci
ones
de
sum
a y
rest
a qu
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cran
dis
tinto
s se
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os:
• Pro
blem
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volu
cran
di
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os s
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os d
e la
sum
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rest
a en
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del
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• Res
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r pro
blem
as q
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-cr
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l sen
tido
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la u
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ent
re d
os c
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ades
.• E
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stra
tegi
as p
ropi
as
que
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lucr
en la
sum
a en
el
sent
ido
de a
greg
ar u
na c
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ad
a ot
ra.
• Res
olve
r pro
blem
as q
ue in
volu
-cr
en a
la re
sta
en e
l sen
tido
de
quita
r una
can
tidad
de
otra
.• E
labo
rar e
stra
tegi
as p
ropi
as
y co
mpa
rarla
s co
n la
s de
los
pare
s en
dis
tinta
s si
tuac
ione
s de
sum
a y
rest
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esol
ver l
as d
istin
tas
situ
acio
-ne
s, re
cono
cien
do lo
s cá
lcul
os
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inen
tes.
• Res
uelv
an p
robl
emas
de
sum
a y
rest
a.• R
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icen
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gias
pro
pias
pa
ra s
umar
o re
star
, por
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e di
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roce
dim
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os, r
econ
o-ci
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al c
álcu
lo d
e su
ma
y re
sta
com
o he
rram
ient
a ad
ecua
da p
ara
reso
lver
est
e tip
o de
pro
blem
as.
• Pro
pici
ar la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
de
sum
a y
rest
a pr
omov
iend
o la
reut
iliza
ción
y e
l aná
lisis
de
dive
rsas
es
trate
gias
de
reso
luci
ón e
n el
con
text
o de
l din
ero.
• Pro
pone
r pro
blem
as q
ue e
xige
n ar
mar
y d
esar
mar
nú
mer
os e
n un
os, d
iece
s, c
iene
s y
mile
s de
ntro
del
co
ntex
to m
onet
ario
.• A
naliz
ar c
olec
tivam
ente
las
sem
ejan
zas
y di
fere
n-ci
as e
n lo
s pr
oced
imie
ntos
de
sum
a y
rest
a, a
sí c
omo
la c
onve
nien
cia
de re
aliz
ar lo
s cá
lcul
os d
e su
ma
y re
sta
com
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rram
ient
as a
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par
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te ti
po d
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oble
mas
.• P
ropi
ciar
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ción
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es m
odos
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lver
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rmiti
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ión
de e
stra
tegi
as d
e cá
lcul
o m
ás a
vanz
adas
por
par
te d
e to
dos
los
alum
nos.
35-3
6-37
Uso
de la
cal
cula
dora
. Pro
-bl
emas
de
sum
a y
rest
a co
n si
gnifi
cado
s m
ás c
ompl
ejos
:• E
stim
ació
n de
resu
ltado
s.• C
álcu
lo m
enta
l con
núm
eros
de
4 c
ifras
.• F
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as d
e su
mar
y d
e re
star
.
• Usa
r la
calc
ulad
ora
para
re-
solv
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los
y pr
oble
mas
de
sum
a y
rest
a.• U
sar l
a ca
lcul
ador
a pa
ra v
erifi
-ca
r res
ulta
dos.
• Exp
lora
r pro
blem
as d
e su
ma
y re
sta
que
invo
lucr
en o
tros
sign
ifica
dos
más
com
plej
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tas
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nes
por
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io
de d
iver
sos
proc
edim
ient
os.
• Use
n co
n ef
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ncia
la c
alcu
-la
dora
par
a re
solv
er c
álcu
los,
pr
oble
mas
de
sum
a y
rest
a y
verif
icar
resu
ltado
s.• R
esue
lvan
pro
blem
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y re
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ngan
que
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terp
reta
r situ
acio
nes
más
co
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.
• Pro
pici
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l uso
de
la c
alcu
lado
ra, c
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de
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anen
te, p
ara
la re
solu
ción
de
cálc
ulos
y
prob
lem
as.
• Fom
enta
r la
auto
nom
ía p
ara
verif
icar
los
resu
ltado
s ob
teni
dos
por m
edio
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estra
tegi
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lcul
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enta
l, es
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y al
gorít
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o.• P
rom
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el u
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cula
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prob
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as e
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el e
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iado
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ción
del
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pro
piam
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di
cho.
• Res
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sum
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volu
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uno
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ario
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os, a
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os
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izan
.• P
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ción
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as e
n lo
s qu
e el
uso
de
la s
uma
y la
rest
a no
sea
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dent
e pa
ra la
reso
luci
ón,
sino
que
requ
iera
de
la e
xplo
raci
ón d
e di
stin
tas
estra
te-
gias
por
par
te d
e lo
s al
umno
s.• P
ropo
ner s
ituac
ione
s en
las
que
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que
cal
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tanc
ia e
ntre
dos
núm
eros
y h
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tar t
odos
los
proc
edim
ient
os p
osib
les
para
reso
lver
las,
dis
cutie
ndo
cole
ctiv
amen
te la
eco
nom
ía d
el u
so d
e la
rest
a pa
ra
este
tipo
de
prob
lem
as.
• Dis
cutir
col
ectiv
amen
te lo
s di
stin
tos
proc
edim
ient
os,
anal
izan
do la
per
tinen
cia
y ec
onom
ía d
e la
s es
trate
gias
de
reso
luci
ón p
uest
as e
n ju
ego
por l
os a
lum
nos.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 52
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
enos
Aire
s
Uni
dad
Pági
nas
Con
teni
dos
Mod
os d
e co
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r
Indi
cado
res
de a
vanc
eLu
ego
del a
bord
aje
del
área
es
espe
rabl
e qu
e lo
s es
tudi
ante
s:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
338
-39-
44M
ultip
licac
ión:
pro
blem
as q
ue
invo
lucr
an d
istin
tos
sent
idos
:• O
rgan
izar
, lee
r e in
terp
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r da
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. Pro
blem
as
de p
ropo
rcio
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a:
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de ta
blas
.
• Res
olve
r pro
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volu
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s pr
opor
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.• R
esol
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robl
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que
invo
lu-
cran
org
aniz
acio
nes
rect
angu
-la
res.
• Ana
lizar
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tinto
s pr
oced
i-m
ient
os y
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cion
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po d
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oble
mas
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uelv
an p
robl
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prop
orci
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• Res
uelv
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s pr
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iten
reso
lver
est
e tip
o de
pr
oble
mas
.
• Pro
pone
r dife
rent
es ti
pos
de p
robl
emas
que
se
resu
el-
ven
con
la m
ultip
licac
ión,
a p
artir
de
escr
itura
s m
ulti-
plic
ativ
as p
ropu
esta
s in
icia
lmen
te p
or e
l doc
ente
, par
a ec
onom
izar
las
estra
tegi
as u
tiliz
adas
en
un c
omie
nzo
por l
os a
lum
nos
y ba
sada
s en
la s
uma.
• Pro
pici
ar la
refle
xión
col
ectiv
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bre
dife
rent
es e
stra
-te
gias
, pos
ible
s cá
lcul
os, m
odos
de
repr
esen
taci
ón y
la
rela
ción
ent
re lo
s nú
mer
os q
ue in
terv
iene
n en
est
e tip
o de
pro
blem
as.
• Pro
pone
r pro
blem
as d
e se
ries
prop
orci
onal
es q
ue
invo
lucr
an c
antid
ades
que
se
repi
ten.
• Pro
pici
ar la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
con
org
aniz
acio
-ne
s re
ctan
gula
res
en q
ue lo
s el
emen
tos
se p
rese
ntan
or
gani
zado
s en
fila
s y
colu
mna
s.• D
iscu
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olec
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la re
solu
ción
de
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tipo
de
prob
lem
as, p
ropi
cian
do e
l ava
nce
de la
s es
critu
ras
mul
tiplic
ativ
as d
uran
te la
mis
ma.
40-4
1-44
, fic
ha 6
Estra
tegi
as d
e cá
lcul
o m
enta
l pa
ra m
ultip
licac
ione
s y
divi
-si
ones
:• U
so d
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tabl
a pi
tagó
rica.
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de
la ta
bla
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.
• Con
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ir pr
ogre
siva
men
te
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lcul
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enta
l a
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l aná
lisis
de
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prod
uc-
tos
de la
tabl
a pi
tagó
rica.
• Util
izan
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gias
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men
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mul
tiplic
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ivis
ione
s.• U
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tabl
a pi
tagó
rica
para
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lizar
regu
larid
ades
y
prop
ieda
des
de la
mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
.
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ecer
situ
acio
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de tr
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n la
tabl
a pi
tagó
rica
anal
izan
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gula
ridad
es y
pro
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ades
de
la m
ultip
li-ca
ción
y la
div
isió
n.• P
ropo
ner s
ituac
ione
s pa
ra c
onst
ruir
un re
pert
orio
de
cálc
ulo
de m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón.
42-4
3-44
Figu
ras
geom
étric
as (c
ónca
-va
s y
conv
exas
).Ca
ract
erís
ticas
. Lad
os c
urvo
s y
rect
os:
• Geo
met
ría. R
econ
ocim
ient
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figu
ras
por s
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arac
terís
-tic
as.
• Pro
blem
as p
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iden
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ar y
no
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as c
arac
terís
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s de
las
figur
as.
• Des
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uras
.• E
labo
rar m
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para
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ti-fic
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gura
s.• D
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enci
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sufic
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e la
s de
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cio-
nes/
men
saje
s el
abor
ados
par
a ca
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eriz
ar la
s fig
uras
.
• Des
crib
an fi
gura
s a
part
ir de
su
s ca
ract
erís
ticas
, ide
ntifi
cand
o el
nom
bre
de la
s fig
uras
más
us
uale
s.• E
labo
ren
men
saje
s pa
ra id
en-
tific
ar fi
gura
s, a
pela
ndo
a su
s ca
ract
erís
ticas
.• A
pele
n a
las
cara
cter
ístic
as
geom
étric
as d
e la
s fig
uras
par
a di
stin
guirl
as u
nas
de o
tras
sin
re-
curr
ir a
cual
idad
es c
omo
el c
olor
, m
ater
ial o
tam
año.
• Util
icen
voc
abul
ario
ade
cuad
o pa
ra re
ferir
se a
esa
s ca
ract
erís
-tic
as.
• Ofr
ecer
div
erso
s pr
oble
mas
que
invo
lucr
en e
l rec
o-no
cim
ient
o de
las
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as, d
entro
de
una
cole
cció
n lo
su
ficie
ntem
ente
var
iada
(cua
drad
os, r
ectá
ngul
os, t
rián-
gulo
s, p
entá
gono
s, ro
mbo
s, a
lgun
as c
on la
dos
curv
os,
circ
unfe
renc
ias,
etc
.), a
poyá
ndos
e en
alg
unas
de
sus
cara
cter
ístic
as (l
ados
rect
os o
cur
vos,
can
tidad
de
la-
dos
y de
vér
tices
, dia
gona
les
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jada
s, p
unto
s m
edio
s de
los
lado
s, la
dos
para
lelo
s y
perp
endi
cula
res,
etc
.),
iden
tific
ando
el n
ombr
e de
las
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as m
ás u
sual
es.
• Pro
pone
r pro
blem
as e
n qu
e lo
s al
umno
s de
ban
elab
o-ra
r men
saje
s (e
n fo
rma
oral
y/o
esc
rita)
que
per
mita
n a
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iden
tific
ar u
na fi
gura
a p
artir
de
sus
cara
cter
ístic
as.
• Pro
mov
er e
l aná
lisis
de
los
erro
res
com
etid
os a
l ela
-bo
rar u
n m
ensa
je y
/o d
escr
ibir
una
figur
a.• G
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ar in
terc
ambi
os p
ara
anal
izar
la p
ertin
enci
a y
sufic
ienc
ia d
e lo
s da
tos
dado
s al
ela
bora
r un
men
saje
y/
o de
scrib
ir un
a fig
ura.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 53
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
enos
Aire
s
Uni
dad
Pági
nas
Con
teni
dos
Mod
os d
e co
noce
r
Indi
cado
res
de a
vanc
eLu
ego
del a
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aje
del
área
es
espe
rabl
e qu
e lo
s es
tudi
ante
s:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
447
-48-
49-
58N
úmer
os h
asta
el 1
0.00
0.Va
lor d
e la
s ci
fras
segú
n la
po-
sici
ón q
ue o
cupa
en
el n
úmer
o (u
nos,
die
ces,
cie
nes
y m
iles)
:• N
umer
ació
n: v
alor
pos
icio
-na
l. O
rden
ar y
leer
núm
eros
ha
sta
10.0
00. C
álcu
lo m
enta
l. Us
o de
la c
alcu
lado
ra.
• Lee
r, es
crib
ir y
orde
nar n
úme-
ros
hast
a 10
.000
.• A
naliz
ar e
l val
or d
e la
cifr
a se
gún
la p
osic
ión
que
ocup
a (u
nos,
die
ces,
cie
nes,
mile
s).
• Lea
n, e
scrib
an y
ord
enen
núm
e-ro
s ha
sta
10.0
00.
• Res
uelv
an p
robl
emas
que
invo
-lu
cren
arm
ar y
des
arm
ar n
úmer
os
en u
nos,
die
ces,
cie
nes
y m
iles.
• Pro
pici
ar la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
que
per
mita
n a
los
estu
dian
tes
exte
nder
las
regu
larid
ades
est
udia
das
para
los
prim
eros
1.0
00 n
úmer
os, a
un
cam
po n
umér
ico
may
or.
• Pro
pone
r pro
blem
as q
ue e
xija
n le
er, e
scrib
ir y
orde
nar
núm
eros
de
esta
ser
ie, a
verig
uar a
nter
iore
s y
sigu
ien-
tes,
usa
r esc
alas
o s
erie
s, g
rilla
s, re
ctas
num
éric
as,
jueg
os d
e ad
ivin
ació
n.• R
ecup
erar
y p
oner
a d
ispo
sici
ón d
e lo
s al
umno
s in
form
ació
n so
bre
la e
scrit
ura
y le
ctur
a de
núm
eros
re
dond
os (m
il, d
os m
il, tr
es m
il, e
tc.)
com
o ap
oyo
para
re
cons
trui
r el n
ombr
e y
escr
itura
de
otro
s nú
mer
os.
• Pro
mov
er s
ituac
ione
s en
las
que
se tr
abaj
en s
imul
tá-
neam
ente
los
diez
mil
núm
eros
par
a es
tabl
ecer
rela
cio-
nes
entre
las
dife
rent
es p
arte
s de
la s
erie
, sin
ava
nzar
ne
cesa
riam
ente
en
orde
n (d
el m
il al
dos
mil,
del
dos
mil
al tr
es m
il, e
tc.).
• Pro
pone
r pro
blem
as q
ue e
xige
n ar
mar
y d
esar
mar
nú
mer
os e
n un
os, d
iece
s, c
iene
s y
mile
s de
ntro
del
co
ntex
to m
onet
ario
.• P
ropo
ner s
ituac
ione
s qu
e im
pliq
uen
trans
form
ar c
ifras
de
un
núm
ero,
util
izan
do la
cal
cula
dora
com
o so
port
e y
anal
izan
do c
ómo
se tr
ansf
orm
an la
s ci
fras
.• D
iscu
tir c
olec
tivam
ente
dife
rent
es e
stra
tegi
as p
ara
desa
rmar
los
núm
eros
en
unos
, die
ces,
cie
nes
y m
iles.
50-5
1M
ultip
licac
ión:
pro
blem
as q
ue
invo
lucr
an d
istin
tos
sent
idos
:• M
ultip
licac
ión.
Res
oluc
ión
de p
robl
emas
de
orga
niza
ción
re
ctan
gula
r.• A
nális
is d
e pr
oced
imie
ntos
. Co
nstr
ucci
ón d
e re
pert
orio
m
ultip
licat
ivo.
• Res
olve
r pro
blem
as q
ue in
volu
-cr
an s
erie
s pr
opor
cion
ales
.• R
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ver p
robl
emas
que
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-lu
cran
org
aniz
acio
nes
rect
an-
gula
res.
• Ana
lizar
dis
tinto
s pr
oced
i-m
ient
os y
rela
cion
arlo
s co
n lo
s cá
lcul
os q
ue p
erm
iten
reso
lver
es
te ti
po d
e pr
oble
mas
.
• Res
uelv
an p
robl
emas
que
invo
-lu
cren
ser
ies
prop
orci
onal
es.
• Res
uelv
an p
robl
emas
que
invo
-lu
cren
org
aniz
acio
nes
rect
angu
-la
res.
• Rel
acio
nen
los
dist
into
s pr
oce-
dim
ient
os c
on lo
s cá
lcul
os q
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perm
itan
reso
lver
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e tip
o de
pr
oble
mas
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r pro
blem
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lucr
an c
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que
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repi
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pici
ar la
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luci
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e pr
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org
aniz
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-ne
s re
ctan
gula
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en q
ue lo
s el
emen
tos
se p
rese
ntan
or
gani
zado
s en
fila
s y
colu
mna
s.• D
iscu
tir c
olec
tivam
ente
la re
solu
ción
de
este
tipo
de
prob
lem
as, p
ropi
cian
do e
l ava
nce
de la
s es
critu
ras
mul
tiplic
ativ
as d
uran
te la
mis
ma.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 54
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
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Aire
s
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teni
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Mod
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r
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vanc
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bord
aje
del
área
es
espe
rabl
e qu
e lo
s es
tudi
ante
s:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
452
-53-
54-
58, fi
cha
7M
ultip
licac
ión
y di
visi
ón:
• Res
oluc
ión
de p
robl
emas
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repa
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est
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• Pro
blem
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angu
lar y
div
isió
n.
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min
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do d
e re
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os y
par
ticio
nes
equi
ta-
tivas
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esol
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emas
que
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-lu
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acio
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res.
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opor
cion
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.• U
sar m
arca
s, d
ibuj
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úmer
os,
sum
as, r
esta
s re
itera
das
o m
ul-
tiplic
acio
nes
para
reso
lver
est
e tip
o de
situ
acio
nes
y re
cono
cer
post
erio
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te a
la d
ivis
ión
com
o un
a po
sibi
lidad
eco
nó-
mic
a pa
ra re
solv
er e
ste
tipo
de
prob
lem
as.
• Exp
licita
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rela
cion
es
dent
ro d
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div
isió
n a
part
ir de
av
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uar c
uánt
o so
bra
lueg
o de
sa
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uánt
as v
eces
ent
ra u
na
cant
idad
den
tro d
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ra.
• Res
uelv
an s
ituac
ione
s qu
e in
volu
cren
repa
rtos
y p
artic
io-
nes
equi
tativ
as, o
rgan
izac
ione
s re
ctan
gula
res
y se
ries
prop
orci
o-na
les,
est
able
cien
do re
laci
ones
en
tre la
mul
tiplic
ació
n y
la d
ivi-
sión
en
las
dist
inta
s re
solu
cion
es.
• Ana
licen
el r
esto
de
una
divi
sión
en
func
ión
de c
uánt
o so
bra,
una
ve
z he
cha
la p
artic
ión,
par
a am
-pl
iar e
l sig
nific
ado
de la
div
isió
n.
• Pro
pone
r la
reso
luci
ón d
e un
a va
rieda
d de
pro
blem
as
en q
ue lo
s al
umno
s ut
ilice
n di
bujo
s, s
umas
, res
tas
reite
rada
s o
mul
tiplic
acio
nes
para
ave
rigua
r el r
esul
tado
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un
repa
rto
equi
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o.• P
ropo
ner s
ituac
ione
s qu
e in
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org
aniz
acio
nes
rect
angu
lare
s en
que
la in
cógn
ita s
ea la
can
tidad
de
elem
ento
s de
una
fila
, par
a pr
opic
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en u
na in
stan
cia
cole
ctiv
a po
ster
ior,
la d
iscu
sión
sob
re e
l uso
de
la d
ivi-
sión
par
a re
solv
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l pro
blem
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ropo
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a re
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volu
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n qu
e la
incó
gnita
sea
el v
alor
de
la u
nida
d, p
ara
prop
icia
r, en
un
mom
ento
de
disc
usió
n co
lect
iva
post
erio
r, la
rela
ción
ent
re lo
s pr
oced
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s pr
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xion
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sob
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on la
m
ultip
licac
ión
y la
div
isió
n.• P
lant
ear p
robl
emas
que
pro
pong
an a
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vece
s en
tra u
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entro
de
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y c
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o so
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o de
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par
tició
n.• P
ropi
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la d
iscu
sión
col
ectiv
a ex
plic
itand
o la
s re
laci
ones
ent
re la
sum
a, re
sta
y m
ultip
licac
ión
con
la
divi
sión
par
a re
solv
er e
ste
tipo
de p
robl
emas
.• D
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tivam
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pro
cedi
mie
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s de
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o-ne
s, e
xplic
itand
o la
con
veni
enci
a de
usa
r uno
s u
otro
s.
55-5
8Es
trate
gias
de
cálc
ulo
men
tal
para
mul
tiplic
acio
nes
y di
vi-
sion
es:
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orio
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cálc
ulo
de m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón.
56-5
7,
ficha
8,
reco
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le
127
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s, re
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gulo
s y
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gulo
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mod
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ción
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 55
Mat
etub
ers
3 - P
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-62-
63-
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9-
10.
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es.
64-6
5-72
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cion
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pera
cion
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ient
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form
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acio
nes
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.
66-6
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n si
tuac
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s qu
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cren
un
anál
isis
de
dato
s ne
cesa
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e in
nece
sario
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nes
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ione
s.
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sión
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que
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e la
info
r-m
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inen
te.
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enta
r la
disc
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n co
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rmac
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naliz
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ente
las
dife
rent
es e
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gias
de
reso
luci
ón.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 56
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
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Curr
icul
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área
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s es
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s:
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nes
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nseñ
anza
568
-72
Cálc
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estim
ativ
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mul
tipli-
caci
ón y
div
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n:• E
stim
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sulta
dos
y ju
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s y
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y d
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resu
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s de
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tipli-
caci
ones
y d
ivis
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s.• R
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y c
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resu
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sin
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r el c
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lo e
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útil
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s.• O
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ción
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cál
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• Pro
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sion
es q
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ás g
rand
es.
70-7
1-72
Pris
mas
y p
irám
ides
de
dist
in-
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 57
Mat
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 58
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 59
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14
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13
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 60
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 61
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Con
teni
dos
Mod
os d
e co
noce
r
Indi
cado
res
de a
vanc
eLu
ego
del a
bord
aje
del
área
es
espe
rabl
e qu
e lo
s es
tudi
ante
s:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
810
3N
úmer
os d
e di
vers
a ca
ntid
ad
de c
ifras
.• E
xplo
rar l
as re
gula
ridad
es,
en la
ser
ie o
ral y
esc
rita,
en
núm
eros
de
dive
rsa
cant
idad
de
cifr
as.
• Dis
cutir
col
ectiv
amen
te la
s re
laci
ones
ent
re la
lect
ura
y la
es
critu
ra d
e nú
mer
os d
e di
vers
a ca
ntid
ad d
e ci
fras
.
• Ela
bore
n re
laci
ones
ent
re la
le
ctur
a de
los
núm
eros
y s
u es
critu
ra.
• Pro
pici
ar e
l int
erca
mbi
o de
idea
s en
tre lo
s al
umno
s ac
erca
de
cóm
o cr
een
que
se ll
amar
án o
esc
ribirá
n nú
-m
eros
de
dive
rsa
cant
idad
de
cifr
as. D
iscu
tir c
olec
tiva-
men
te la
s re
laci
ones
que
los
alum
nos
elab
oran
ace
rca
de c
ómo
se le
en y
se
escr
iben
los
núm
eros
pro
pues
tos.
• Pro
mov
er la
com
para
ción
de
núm
eros
esc
ritos
par
a el
abor
ar c
riter
ios
sobr
e ca
ntid
ad d
e ci
fras
, ord
en, e
tc.
104-
105-
114,
pr
oyec
to
117-
118,
re
cort
a-bl
es
119-
121-
123-
125
Prob
lem
as q
ue in
volu
cran
las
cuat
ro o
pera
cion
es:
• Pro
blem
as c
on la
s cu
atro
op
erac
ione
s.
• Res
olve
r pro
blem
as c
on v
ario
s pa
sos
que
impl
ican
sum
ar,
rest
ar, d
ivid
ir y
mul
tiplic
ar.
• Int
erpr
etar
y o
rgan
izar
la in
-fo
rmac
ión
de d
ifere
ntes
mod
os
para
reso
lver
en
dist
into
s pa
sos.
• Res
uelv
an p
robl
emas
que
invo
-lu
cren
las
cuat
ro o
pera
cion
es.
• Int
erpr
eten
la in
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ació
n qu
e pr
ovee
el p
robl
ema.
• Org
anic
en la
info
rmac
ión
del
prob
lem
a.
• Pro
pici
ar la
dis
cusi
ón c
olec
tiva
que
habi
lite
a la
circ
u-la
ción
de
la v
arie
dad
de p
roce
dim
ient
os d
e re
solu
ción
y
a la
s di
stin
tas
form
as e
n qu
e pu
eden
ord
enar
se lo
s cá
lcul
os.
• Aju
star
el r
eper
torio
invo
lucr
ado
en la
s op
erac
ione
s a
núm
eros
de
uso
soci
al.
106-
114
Valo
r de
las
cifra
s se
gún
la p
o-si
ción
que
ocu
pa e
n el
núm
ero
(uno
s, d
iece
s, c
iene
s y
mile
s).
• Cál
culo
men
tal:
estim
ar
un c
ocie
nte.
Lee
r y e
scrib
ir nú
mer
os d
e 4
cifr
as.
• Ana
lizar
el v
alor
de
la c
ifra
segú
n la
pos
ició
n qu
e oc
upa
(uno
s, d
iece
s, c
iene
s, m
iles)
.
• Res
uelv
an p
robl
emas
que
invo
-lu
cran
arm
ar y
des
arm
ar n
úmer
os
en u
nos,
die
ces,
cie
nes
y m
iles.
• Pro
pici
ar s
ituac
ione
s en
las
que
se p
ueda
n di
scut
ir la
s re
laci
ones
ent
re e
l val
or p
osic
iona
l y la
mul
tiplic
ació
n po
r la
unid
ad s
egui
da d
e ce
ros.
• Dis
cutir
col
ectiv
amen
te d
ifere
ntes
est
rate
gias
par
a de
sarm
ar lo
s nú
mer
os e
n un
os, d
iece
s, c
iene
s y
mile
s.
107-
108-
109,
ficha
s 15
y
16
Situ
acio
nes
de m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón e
n co
ntex
tos
varia
dos:
• Dup
licar
, trip
licar
, cua
drup
li-ca
r un
valo
r. Ca
lcul
ar m
itade
s,
cuar
tas
part
es. C
orre
gir
cuen
tas.
• Pro
porc
iona
lidad
: pro
blem
as
de m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón.
• Org
aniz
ació
n re
ctan
gula
r. Us
ar p
ropi
edad
es p
ara
reso
l-ve
r div
isio
nes
y m
ultip
lica-
cion
es.
• Res
olve
r pro
blem
as d
e m
ulti-
plic
ació
n y
divi
sión
en
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acio
-ne
s qu
e pr
esen
tan
los
dato
s en
co
ntex
tos
varia
dos.
• Res
olve
r pro
blem
as d
e m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón e
n si
tuac
ione
s qu
e in
volu
cren
un
anál
isis
de
dato
s ne
cesa
rios
e in
nece
sario
s.• R
esol
ver p
robl
emas
de
mul
ti-pl
icac
ión
y di
visi
ón e
n si
tuac
io-
nes
en la
s qu
e se
ana
licen
la
pert
inen
cia
de la
s pr
egun
tas
y la
can
tidad
de
solu
cion
es d
el
prob
lem
a.
• Res
uelv
an p
robl
emas
de
mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
en
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acio
nes
que
pres
enta
n da
tos
en c
onte
xtos
var
iado
s, a
naliz
an-
do lo
s m
ism
os e
n té
rmin
os d
e ne
cesi
dad,
per
tinen
cia
y ca
ntid
ad
de s
oluc
ione
s.
• Pro
pici
ar la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
de
mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
en
que
los
dato
s se
pre
sent
en e
n im
ágen
es,
enun
ciad
os, c
uadr
os d
e do
ble
entra
da, l
ista
s, g
ráfic
os o
co
mbi
naci
ones
de
esto
s.• A
naliz
ar c
olec
tivam
ente
la in
terp
reta
ción
de
la in
for-
mac
ión
de m
aner
a pe
rtin
ente
.• F
omen
tar l
a di
scus
ión
cole
ctiv
a so
bre
la s
elec
ción
y
orga
niza
ción
más
con
veni
ente
de
la in
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ació
n en
fu
nció
n de
l pro
blem
a.• P
ropo
ner s
ituac
ione
s en
las
que
los
estu
dian
tes
inve
n-te
n pr
egun
tas
que
pued
an re
spon
ders
e co
n lo
s da
tos
de u
n en
unci
ado
dado
o h
acie
ndo
cálc
ulos
con
est
os.
• Ana
lizar
situ
acio
nes
que
perm
iten
una,
nin
guna
o
muc
has
solu
cion
es.
• Pro
mov
er la
refle
xión
sob
re la
s re
laci
ones
ent
re la
pr
egun
ta d
e un
pro
blem
a y
los
cálc
ulos
que
pue
den
real
izar
se p
ara
resp
onde
rla.
• Dis
cutir
y a
naliz
ar c
olec
tivam
ente
las
dife
rent
es e
stra
-te
gias
de
reso
luci
ón.
• Pro
mov
er e
l uso
de
calc
ulad
ora.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 62
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
enos
Aire
s
Uni
dad
Pági
nas
Con
teni
dos
Mod
os d
e co
noce
r
Indi
cado
res
de a
vanc
eLu
ego
del a
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aje
del
área
es
espe
rabl
e qu
e lo
s es
tudi
ante
s:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
811
0-11
1Un
idad
es d
e m
edid
a de
long
i-tu
d, c
apac
idad
y p
eso:
• Uni
dade
s de
med
idas
de
tiem
po.
• Med
ida:
cap
acid
ad, p
eso,
lo
ngitu
d y
tiem
po.
• Res
olve
r pro
blem
as q
ue im
pli-
quen
la m
edic
ión
de lo
ngitu
des
usan
do e
l met
ro, e
l cen
tímet
ro y
el
milí
met
ro c
omo
unid
ades
de
med
ida.
• Util
izar
la re
gla
y ci
ntas
mé-
tric
as p
ara
med
ir lo
ngitu
des
y co
noce
r la
equi
vale
ncia
ent
re
met
ro y
cen
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ro.
• Exp
lora
r dis
tinta
s un
idad
es d
e m
edid
a e
inst
rum
ento
s de
uso
so
cial
par
a la
med
ició
n de
long
i-tu
des,
cap
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ades
y p
esos
.• R
esol
ver p
robl
emas
que
im-
pliq
uen
usar
med
ios
y cu
arto
s ki
los
y m
edio
s y
cuar
tos
litro
s.• L
eer l
a ho
ra e
n di
fere
ntes
tip
os d
e re
loje
s y
calc
ular
las
dura
cion
es.
• Usa
r exp
resi
ones
co
mo
1 __ 2 h
ora,
1 __ 4 d
e ho
ra y
3 __ 4 d
e ho
ra.
• Com
pare
n lo
ngitu
des,
cap
acid
a-de
s y
peso
s ut
iliza
ndo
med
idas
co
nven
cion
ales
de
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frec
uent
e.• C
orro
bore
n re
sulta
dos
obte
-ni
dos
a tra
vés
de c
álcu
los
con
inst
rum
ento
s de
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ida
conv
e-ni
ente
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sen
núm
eros
frac
cion
ario
s co
tidia
nos
(med
ios
y cu
arto
s) a
l tra
baja
r con
med
idas
con
venc
io-
nale
s.• U
sen
el re
loj p
ara
leer
la h
ora,
ub
icar
se e
n el
tiem
po y
cal
cula
r du
raci
ones
de
tiem
pos.
• Pre
sent
ar p
robl
emas
que
impl
ique
n co
mpa
rar o
de
term
inar
long
itude
s us
ando
dife
rent
es ti
pos
de re
glas
y
cint
as m
étric
as.
• Im
puls
ar m
edic
ione
s ef
ectiv
as e
inte
rpre
taci
ón d
e m
edid
as d
adas
.• P
rese
ntar
med
ios
de in
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ació
n en
que
se
pued
a ap
reci
ar la
equ
ival
enci
a en
tre m
etro
s, c
entím
etro
s y
milí
met
ros
com
o as
í tam
bién
exp
resi
ones
com
o 1,
25 m
etro
s o
1,50
met
ros.
• Pla
ntea
r situ
acio
nes
para
que
pue
dan
cono
cer d
ifere
n-te
s un
idad
es d
e m
edid
a e
inst
rum
ento
s (m
etro
o re
gla)
de
uso
soc
ial.
• Pro
pone
r situ
acio
nes
en la
s qu
e de
ban
com
para
r o
calc
ular
med
idas
de
vario
s ar
tícul
os y
lueg
o pu
edan
co
rrob
orar
la re
spue
sta
obte
nida
util
izan
do e
l ins
tru-
men
to a
decu
ado.
• Pla
ntea
r situ
acio
nes
en la
s qu
e pu
edan
exp
lora
r med
i-da
s de
dis
tanc
ias
supe
riore
s al
met
ro.
• Pla
ntea
r pro
blem
as q
ue im
pliq
uen
estim
ar m
edid
as
de lo
ngitu
d, p
eso
y ca
paci
dad
y de
term
inar
la u
nida
d de
m
edid
a m
as c
onve
nien
te.
• Pre
sent
ar p
robl
emas
que
exi
jan
dete
rmin
ar la
con
ve-
nien
cia
de u
sar u
nas
u ot
ras
unid
ades
de
med
ida
segú
n la
mag
nitu
d de
l obj
eto
a m
edir.
• Pro
pone
r situ
acio
nes
que
dem
ande
n re
curr
ir a
expr
e-si
ones
frac
cion
aria
s ( 1 __
2 met
ro, 1 __
4 kilo
gram
o, 3 __
4 litro
).• G
ener
ar in
stan
cias
que
impu
lsen
a le
er la
hor
a en
re
loje
s de
agu
ja.
• Pre
sent
ar p
robl
emas
que
exi
jan
dete
rmin
ar la
dis
tan-
cia
entre
dos
hor
ario
s.
112-
114
Cuad
rado
s, re
ctán
gulo
s y
trián
gulo
s. C
arac
terís
ticas
.Si
mili
tude
s y
dife
renc
ias:
• Geo
met
ría. P
ropi
edad
es
del r
ectá
ngul
o, c
uadr
ado
y tr
iáng
ulo.
• Con
stru
ir fig
uras
que
con
ten-
gan
cuad
rado
s y
rect
ángu
los,
ut
iliza
ndo
hoja
s cu
adric
ulad
as
com
o m
edio
par
a an
aliz
ar a
lgu-
nas
de s
us c
arac
terís
ticas
.• U
sar l
a re
gla
y la
esc
uadr
a pa
ra
cons
trui
r y/o
cop
iar c
uadr
ados
y
rect
ángu
los
en h
ojas
cua
dric
u-la
das.
• Int
erpr
etar
men
saje
s qu
e re
fiera
n a
las
cara
cter
ístic
as d
e cu
adra
dos
y/o
rect
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los
en
térm
inos
de
long
itud
de la
dos
para
repr
oduc
ir di
bujo
s qu
e lo
s co
nten
gan.
• Con
stru
yan
dibu
jos
que
con-
teng
an c
uadr
ados
y re
ctán
gulo
s pr
esen
tado
s en
hoj
as c
uadr
icu-
lada
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tilic
en la
regl
a gr
adua
da p
ara
trasl
adar
la m
edid
a de
los
lado
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tilic
en la
noc
ión
de á
ngul
o re
cto
de m
aner
a in
tuiti
va p
ara
cara
cter
izar
alg
unas
figu
ras.
• Ofr
ecer
pro
blem
as q
ue d
eman
den
copi
ar d
ibuj
os q
ue
cont
enga
n cu
adra
dos
y re
ctán
gulo
s (c
on o
sin
dia
gona
-le
s) y
triá
ngul
os re
ctán
gulo
s o
isós
cele
s (s
in n
ombr
ar-
los)
o c
ombi
naci
ones
de
esta
s fig
uras
pre
sent
adas
en
hoj
as c
uadr
icul
adas
faci
litan
do e
l uso
de
la re
gla
grad
uada
y la
esc
uadr
a.
113
Unid
ades
de
med
ida
de
long
itud:
• Med
idas
de
long
itud.
Uso
de
la re
gla.
• Util
izar
la re
gla
para
med
ir lo
ngitu
des.
• Cor
robo
ren
resu
ltado
s ob
te-
nido
s a
travé
s de
cál
culo
s co
n in
stru
men
tos
de m
edid
a co
nve-
nien
tes.
• Pre
sent
ar p
robl
emas
en
los
que
se p
ueda
usa
r la
regl
a pa
ra c
onst
rucc
ione
s ge
omét
ricas
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 63
Mat
etub
ers
3 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Ciu
dad
de B
ueno
s Ai
res
Uni
dad
Pági
nas
Con
teni
dos
Eje:
Núm
eros
y o
pera
cion
esEj
e: E
spac
ios
y fo
rmas
15
Uso
soci
al d
e lo
s nú
mer
os.
• Util
izac
ión
de u
nida
des
de ti
empo
, día
, sem
ana,
mes
, año
pa
ra u
bica
r aco
ntec
imie
ntos
.
6Re
solv
er p
robl
emas
del
cam
po a
ditiv
o.• R
esol
ució
n de
pro
blem
as d
e ad
ició
n co
n di
fere
ntes
sig
nific
ados
.
7-16
Expl
orac
ión
de p
robl
emas
de
prop
orci
o-na
lidad
a tr
avés
de
la s
uma
o la
rest
a re
itera
da.
• Res
oluc
ión
de p
robl
emas
de
mul
tiplic
ació
n qu
e in
volu
cren
rela
cion
es d
e pr
opor
cion
alid
ad
med
iant
e di
fere
ntes
pro
cedi
mie
ntos
.
8-9
Sist
ema
de n
umer
ació
n. V
alor
pos
icio
nal:
com
pone
r y d
esco
mpo
ner n
úmer
os e
n fo
rma
aditi
va.
Valo
r pos
icio
nal.
Com
posi
ción
adi
tiva
de
un n
úmer
o de
4 c
ifras
. Reg
istra
r dat
os e
n ta
blas
.
• Ide
ntifi
caci
ón d
e re
gula
ridad
es p
ara
inte
rpre
-ta
r, pr
oduc
ir y
com
para
r esc
ritur
as n
umér
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 66
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 67
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 68
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 69
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 70
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