GUÍA DE ESTUDIO
DERIVADA
FUNCIONES ESPECIALES.
INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO
Incremento de y:
Incremento de x:
La tasa de variación media de
La tasa de variación media es conocida también como:
La tasa de cambio promedio.
La razón de cambio promedio.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe
f ´(x0).
Notación:
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Derivada de una función potencial
Derivada de una función CONSTANTE
Teoremas fundamentales
Si f y g son funciones derivables y k, a, b y c son constantes entonces:
1. [k f(x)]´=k f´(x)2. [f(x) ± g(x)]´= f´(x) ± g´(x)3. [a f(x) ± b g(x)]´= a f´(x) ± b g´(x)4. Regla del producto [f(x).g(x)]´=f´(x).g(x)
+f(x).g´(x) 5. Regla del cociente
6. Regla de la Cadena (fg)´(x)=[f(g(x))]´=f´(g(x)).g´(x)
Observación
Función f(x) Derivada f´(x)ax Xln 1/x
Sen(x) Cos(x)Cos(x) -sen(x)
1DOCENTE
La representación gráfica de una función lineal es una recta
m: pendiente (grado de inclinación de la recta)
b: ordenada en el origen (cruce de la recta en el eje y).
Ejemplo: Grafique y=13x+1
Tabulamos sólo dos puntos
x y0 13 2
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
f ( x )=a x2+bx+ca ,b , c∈R ,a≠0
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola
Vértice:
CASO I: a>0
Df=R
R f=[k ,+∞ ⟩
Df=R
R f= ⟨−∞ , k ]
Ejemplo: Grafique y=x2+2 x+1
Solución: a=1 , b=2 , c=1
a>0: la parábola se abre hacia arriba
El vértice: V (h ,k )=h=−b2a
= −22(1)
=−1
2DOCENTE
x
y
h
kV
y
x
h
k Vy
x
x
y
(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)(3,2)
k=f (h )=f (−1 )=(−1)2+2 (−1 )+1=0
LA FUNCIÓN RAIZ CUADRADA
f ( x )=√x , R f=[0 , +∞ ⟩ Df=[0 , +∞ ⟩
x
y
Cómo graficar f ( x )=√x−h+k
Df=[h , +∞ ⟩, R f=[k , +∞ ⟩
FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
Se define por la unión de otras varias funciones.
Ejemplo: Determine la gráfica
f 1 ( x )=4 , x←1
f 2 ( x )=x2+3 ,0<x≤2
f 3 ( x )=−x , x>2
EN RESUMEN:
TRASLACIONES
Función Original: y=f ( x )
Traslación en el eje X: cambiamos x por x−h
Función Trasladada: y=f ( x−h )
Traslación en el eje Y: adicionamosk a y
Función Trasladada: y=f ( x )+k
Ejemplo: Sea la función: y¿ x2+4 x+1
Traslación 3 unidades en el eje X hacia la izquierda.
A la izquierda: h=−3
Función Trasladada:
y=f ( x— 3 )=f ( x+3 )
3DOCENTE
x
y
x
y
k
h
(h , k )
x
y
¿(x+3)2+4 (x+3)+1
REFLEXIONES:
Son simetrías axiales con respecto al eje X o al eje Y
Reflexión con respecto al eje X:
Funciónoriginal : y=f ( x )
Funciónreflejada y=−f (x )
Reflexión con respecto al eje Y:
Funciónoriginal : y=f ( x )
Funciónreflejada y=f (−x )
Ejemplo: Grafique la reflexión de la función
y=2x2−8 x+1 ,con respecto al eje X
Solución: Grafica de la función
Reflexión
y=−¿), y=−2x2+8 x−1
Referencia bibliográfica:
Stewart, James. Precálculo.
Larson. Precálculo.
4DOCENTE