Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de Cs.ExactasFMMP 002 - Fundamentos de Matematicas
GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD
1. Construyendo una tabla, demuestre el valor de los siguientes lımites
(a) limx→0
sinx
x= 1
(b) limx→1
x2 − 1
x− 1= 2
(c) limx→0
1− cosx
x2=
1
2
(d) limx→2
3x + 1 = 7
(e) limx→−1
x2 + 1
x= −2
2. Calcular los siguientes lımites
(a) limx→3
x2 − 9
x2 − x− 6. Sol: 6
5
(b) limx→0
√4 + x− 2
x. Sol:14
(c) limx→a
√x−√a
x− a. Sol: 1
2√a
(d) limh→0
√x + h−
√x
h. Sol: 1
2√x
(e) limx→7
2−√x− 3
x2 − 49. Sol:− 1
56
(f) limx→4
3−√
5 + x
1−√
5− x. Sol:−1
3
3. Analice si los siguientes lımites existen, dada la funcion
f(x) =
3x2 − 2
x− 1si x < −2
−5x
3si − 2 ≤ x ≤ 3
x + 1 si x > 3
(a) limx→−3
f(x). Sol:∃
(b) limx→−2
f(x). Sol: 6 ∃
(c) limx→3
f(x) . Sol:6 ∃
4. Determine si existe limx→1
f(x), donde
f(x) =
2−√x + 3
x− 1si x > 1
2x2 − 3
x2 + 3si x < 1
Sol: Existe y vale −14
5. Determine los valores de a y b de modo que los lımites limx→−2
f(x) y limx→2
f(x) existan, donde f(x) viene
dada por
f(x) =
x + 2a si x < −23ax + b si − 2 < x < 23x− 2b si x > 2
Sol:a = 25 ; b = 6
5
6. Determine si la siguiente funcion es continua en x = 0
f(x) =
x + 1 si x < 0
0 si x = 01−√x
1− xsi x > 0
Sol: Es discontinua.
7. Determine los valores de a y b de modo que la funcion
f(x) =
a(x3 − 1)
x + 1+ b si x < 1
2ax− 3 si 1 ≤ x ≤ 2b(x2 + 3x− 10)
x− 2si x > 2
sea continua en x = 1 y x = 2.
Sol: a = 95 ; b = 3
5 .
8. Determine los valores de b y c, de modo que
f(x) =
{x + 1 si 1 < x < 3x2 + bx + c si |x− 2| ≥ 1
sea continua en todo los reales.
Sol: b = −72 ; c = 3
5 .
9. Determine el valor de a ∈ R, de modo que la funcion
f(x) =
{x + 1 si x > 2−x2 + a si x ≤ 2
sea continua en todo R.
Sol: a = 7.
10. Sean x1 < x2 las raıces de la ecuacion x2−2ax+ b2 = 0, con a, b ∈ R+, y a > b. Calcular los siguienteslımites
(a) limb→a
x2 − x1√a− b
. Sol:√
8a
(b) limb→a
ax2 − b2
ax1 − b2. Sol: -1.
PROBLEMAS DE SOLEMNES.
11. Calcular
limx→0
√x2 + 16− 4
x2
12. Calcular el siguiente lımite:
limx→2
√7 + x− 3
x2 − 4
Sol:18
13. ¿Que valor debe tomar la constante a de modo que la funcion
f(x) =
x2 + x− 2
x− 1si x 6= 1
a si x = 1
sea discontinua en x = 1?
Sol: a 6= −3
14. Dada la funcion:
f(x) =
kx3 + 8k
3x + 6si x < −2
2− 3kx si x ≥ −2
Determine el valor de k ∈ R, de modo que la funcion sea continua en x = −2.
Sol: k = −1
15. Sea
f(x) =
x3 − 8
2− xsi x < 2
2a + 4 si x = 23bx + 6 si x > 2
Determinar el valor de a y b para que la funcion sea continua en x = 2.
Sol: a = −8; b = −3.
16. Sea
f(x) =
2x + 3a si x < −3x2 − 9
x− 3si − 3 ≤ x < 3
4bx− 3 si x ≥ 3
Determine el valor de a y b para que f(x) sea continua en x = −6 y x = 3.
Sol: a ∈ R; b = 34 .
17. Calcular los siguientes lımites
(a) limx→2
x2 − 4x + 4
(x2 − 4)(4x− 8). Sol: 1
16 .
(b) limx→−2
√x + 6− 2
x + 2. Sol: 1
4 .
(c) limx→1
1− x√5− x2 − 2
. Sol: 2.
(d) limx→−2
x3 + 4x2 + 4x
x2 − x− 6. Sol 0.
(e) limx→1
x4 − 1
2x2 − 3x + 1. Sol 4.
(f) limx→0
√1 + x2 − 1
x. Sol 0.
18. Analice la continuidad de la siguiente funcion
f(x) =
x si x < 1
−x2 + 4x− 2 si 1 ≤ x < 34− x si x ≥ 3
Determine ademas, en que puntos la grafica de f corta el eje OX.
Sol: La funcion es continua en todos los reales y corta al eje OX en x = 0 y x = 4.
19. Dada la funcion
g(x) =
x− 3
1−√
1− (x− 3)si x 6= 3
a si x = 3
Determinar el valor de a de modo que g(x) sea continua en x = 3.
Sol: a = 2.
20. (a) Calcular limx→0
√2− x−
√2
2x
(b) Encuentre el valor de c ∈ R, de modo que la funcion
f(x) =
{x2 + 2 x ≤ 0x + c x > 0
sea continua en todo R
21. (a) Calcular el siguiente lımite
limx→−2
x3 + 3x2 + 2x
x2 − x− 6
(b) Analizar la continuidad de la siguiente funcion en R
f(x) =
x2
2− 1
3x ≤ 0
2x
3− 2
30 < x ≤ 2
√x2 + 5− 3
x− 2x > 2
22. Dada la funcion
f(x) =
x2 − 3x + 2
x− 2si x < 2
5x− 7 si x ≥ 2
Analice la existencia de limx→2
f(x).
23. Considere las funciones f(x) = x2 − 2x− 3 y g(x) = x + 1
(a) Calcular limx→1
2f(x) + g(x)
f(x) · g(x)
(b) Determine limx→3
√g(x)− 2
x− 3
(c) Analizar la continuidad de la funcion
h(x) =
f(x)
g(x)x < −1
8x + 4 x ≥ −1
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