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FACTORIZACIÓN La factorización es una operación, que permite escribir una expresión como producto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de tres tipos: numérico, literal o completo: es decir contiene los dos primeros casos. I.-FACTOR NÚUÉRICO:- Se busca el número más grande, que divida a todos los
coeficientes numéricos dados sin excepción. A este número, se le identifica como Máximo Común Divisor (MCD).
Identificar el MCD y factorizar: a) 15a+10b= b) 8m-12n= c) 16a-20x= d) 24y-18z= e) 32x+24m= f) 0,5x-0,1y= g) 0,25s+0,06t= h)1,5a-2,5b= i) 0,6m+0,8n= j) 75x+100y= k) 72m+ 48r= l) 120s-100k= II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que están contenidas en todos los términos dados; considerando el menor exponente dado, respectivamente. Identificar el factor literal y factorizar: a) 94 aa = b) 73 3xx = c) 32 54 mm = d) 274 hvh = e) 5293 nmnm = f) dxd 512 5 = g) yrr 87 76 = h) amma 533 = i) xx nn 26,0 = j) 3264 mm aa = k) 4,5g-2,7h= l)0,01a+0.02m=
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III.-FACTOR COMÚN: Se caracteriza por contener los dos casos anteriores en
forma simultánea, siendo generalmente el factor un monomio, pero también se dá el caso de polinomios:
1) Factor común monomio:
a) 364 xx = b) 33618 aax = c) 96 2820 aa = d) 95 6,04,0 xx = e) 432 7248 mnmn = f) 76 5,15,2 xx =
g) 24
512
94 xx = h) abba 2,0
518 43 =
i) 3924
41575,0 jhjh = j) 86
83125,0 pp =
k) 5
815
49 xxy = l) 1013
433
415 ss =
m) 32 862 xxx = n) 2
522
yx
yx nn
=
ñ) 925364 52 nnn aaa = o) ba
ba
ba 96 23
=
p) 36
278
916
81xx
= q) qmpmnm xxx
IV.-FACTORIZACIÓN CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES: En cada uno de los siguientes ejercicios, utilice las recomendaciones de
factorización, dadas anteriormente y una vez que las haya aplicado revise si el resultado obtenido, representa alguno de los productos notables antes vistos.
a) 1002 x = b) 100202 xx = c) 2961 aa =
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d) 26 9ba = e) 53106 24169 nmnm = f) 22 1478412 yxyx = g) 23323 12123 yaxyaxa = h) 247254 36 mm = i) 2462 6126 mamma =
j) 189 2040 xx = k) 65 36 xx =
l) baba 72 +12= m) 1582 nmnm = n) xx 9,04,0 3 = ñ) 35 1622 aa = o) xyyx 7512 3 = p) mnnm 2045 3 = q) abba 1805 3 = r) 25102 yy = s) 108624 2 hh = t) 2753 x = u) 6483 a = v) 635 12898 yxx =
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w) 23 20500 xyx =
y) 2
2
164y
xax =
z) 32 331 aaa = Soluciones:
I.-a)5(3a+2b) b)4(2m-3n) c)4(4a-5x) d)6(4y-3z)
e) 8(4x+3m) f) )51(
21 yx g) )
253
21(
21 ts h) )53
21 ba
ii.-a) )1( 54 aa b) )31( 43 xx c) )54(2 mm d) )1( 722 vhh
e) )1( 452 mnnm f) )512( 4 xdd g) )76(7 ryr h) )13( 42 maam
iii.-a) )32(2 2xx b) )2(18 2axa c) )75(4 36 aa d) )32(51 45 xx
e) )32(24 32 nmmn f) )35(21 6 xx g) )
53
91(4 22 xx h) )118(
51 32 baab
i) )51(43 524 jhjh j) )31(
81 26 pp k) )
253(
43 4xyx l) )57(
43 310 ss
m) )43(2 2xxx n) )1(32
yx
yx nn
ñ) )52( 41252 aaaa nnn
o) )96( 2 aaba p) )
3816
91(
91 36 xx q) )( qpnm xxxx
iv-a)(x+10)(x-10) b) 2)10( x c) 2)31( a d) )3)(3( 33 baba e) 253 )43( nm f) 2)72(3 yx g) 23 )2(3 yxa h) 23 )23(6 m
i) 22 )1(6 am j) )3)(6( 2020 xx k) )2)(3( 33 xx l)(a-b-3)(a-b-4)
m)(m+n+5)(m+n+3) n) )32)(32(101
xxx ñ) )9)(9(2 3 aaa
o)3xy(2x+5)(2x-5) p) )23)(23(5 mmmn q) )6)(6(5 aaab r) 2)5( y s)6(4h-9)(h+2) t) )51)(51(3 xx u) )41)((41(3 33 aa
v) )87)(87(2 333 yxyxx w)20x(5x+y)(5x-y) y) )21)(21(4ya
yax
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FRACCIONES ALGEBRAICAS
I.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Utilizando factorización y productos notables, reduzca a su más simple expresión:
a) yxyx
75502114
= Rp:
257
b) nmnm
48363627
= Rp:
43
c) 22
22
2 nmnmnm
= Rp:nmnm
d) xx
xx2
652
2
= Rp:
xx 3
e) 33
12
4
xx = Rp:
312 x
f) 16
1272
2
xxx = Rp:
43
xx
g)6523
2
2
xxxx = Rp:
31
xx
h) 43
3
1007525
xxx
= Rp:
x431
i) 454
252
2
aa
a = Rp:95
aa
j) 1525114
24
24
xxxx = Rp:
517
2
2
xx
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k)aaxax
axa209
162
222
= Rp:
5)4(
xxa
l) 122
3
xxxx = Rp:
1)1(
xxx
m) 22
33
baba
= Rp:
bababa
22
n) 14015542273
2
2
xxxx = Rp:
)4(5)2(3
xx
ñ) xx
xx2
652
2
= Rp:
xx 3
o) 18996
2
2
mmmm = Rp:
63
mm
p) ba
baba33
2 22
= Rp:
3ba
q) xxxxxx
44103
23
23
= Rp:
25
xx
r) 1
12
3
xx
x = Rp: 1x
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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplifique y reduzca a la más mínima expresión las siguientes fracciones algebraicas, revisando cuidadosamente cada numerador y denominador, detectando si es posible factorizarlos.
a) 1
155
1 32
x
xx
x = Rp: )1(3 2 xx
b) 11
112 22
x
xx
xx = Rp: 2)1( x
c) 1811107
158189
2
2
2
2
aaaa
aaaa = Rp:
96
aa
d) 543
936
223
2
xxx
xxxx = Rp:
)3(1xx
e) 672
23294
2
2
xxx
xx = Rp:
3232
xx
f) 931
127
2
2
3
3
xxaa
ax = Rp:
13
ax
g) 23
145
1279
652
2
2
2
2
2
xxx
xxxx
xxx = Rp:1
h) 2
2
2
2
2
422
24
82
464
xx
zpqx
xzqp = Rp: 28 zpq
i) xx
xxxxx
212
2412714
223
2
= Rp:
127
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j) 2764512
4541514
2
2
2
2
xxxx
xxxx = Rp:
51
xx
k) xx
xxx
xxx
xx51
822
2520
22
2
2
2
= Rp:x
l) 44
482162
2
2
23
2
2
2
xxxx
xxxx
xxx = Rp:
11x
m) 8232
15243
76107
2
23
2
2
2
2
aaaaa
aaaa
aaaa = Rp:
7)1(
aaa
n)222
5182122
3611
10281 23
22
2
aaa
aa
aa
aaa = Rp:
)6(4)9(
aaa
ñ)
xxxx
xx
xxxx
153328
1625
251020
2
23
2
2
2
2
Rp:4
)4(8
xxx
o)
384
126631 32
xx
aaa
aa = Rp:
)2(23xa
x
p) 5
2452056
4912 2
2
2
2
2
xxx
xxxx
xxx = Rp:
71x
q)3
1009310020
30727 2
23
2
2
4
x
xxxx
xxxx
xx = Rp:10
)3(
xxx
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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Procedimiento: 1º Determinar el mínimo común múltiplo algebraico; para ello
se debe considerar los siguientes pasos: a) Ubicar el mcm numérico b) Se obtiene el mcm literal como la letra repetida (o las),
pero con el mayor exponente dado c) Se identifica un representante de cada polinomio, pero
con el mayor exponente dado. 2º Se opera, con el mismo método que las fracciones
simples. 3º Se resuelven paréntesis y reducen términos semejantes,
reduciendo a la más simple expresión.
Resolver los siguientes ejercicios aplicando el procedimiento antes presentado, reduciéndolos lo más posible:
a) xxx 3
5276
2 = Rp: 261136
xx
b) 2
31
222
aa
aa
= Rp: 2143
aa
a
c) xy
xyxxy
yxx
2
22 2 = Rp:
xyx
d) 82
665
112
17222
ppppp
ppp = Rp:
42p
e) 253
126
712
3222
xxxxxx
x = Rp: 12
3x
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f) 1
532
32
222
xxxx
xxx = Rp:
17x
g) ax
xaa
xax
xa2
22
= Rp: ax
xa2
3 22
h)
42
22
32yy
yy Rp:
4102 y
i) 22
2
22 2102
25 xyyxyx
yxxy
= Rp: 22
2
255
yxx
j)
ba
baa 211 = Rp:
bab
k)
112
xxx
xx = Rp: 2
)2)(1(x
xx
l)
aa
a111 2 = Rp: a
1
FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPUESTAS
Desarrolle las siguientes fracciones, aplicando las propiedades de las 4 operaciones básicas de ellas. Conviene que trabajes el numerador y luego el denominador, buscando reducir y simplificar cada vez que puedas.
1)
yx
yx11
= 2)
441
22
2
y
yyy
=
3) xx
x
22
12 = 4)
yx
x
1
11
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5)
2
22
21
22
x
= 6)
x11
11
1
=
7)
11
11
1
2
2
aa
aaa = 8)
x
xx
11
1
=
9) 22
22
111xaxa
ax
xa
= 10)
2
49
123
123
1
x
xx
=
11) 33
22
22
11 yxyx
xy
xy
yx
= 12)
xx
x
xx
x1
11
11
1
=
13)
942
173
83
94
6 14)
4111
11
41
11
=
Respuestas:
1)xy 2)y+2 3) 2
1x
4) yx 5) 22x 6)x+1
7)-a-1 8)x-1 9)a+x 10) 2
4x
11)x 12) 3
2x
13) 1401275 14)
2412
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DESPEJE DE FÓRMULAS En todas las otras asignaturas, es común la presencia de fórmulas para conocer determinada variable. Te presentamos a continuación una técnica simple, que esperamos revises y compartas con tus compañeros y te ayuden a futuro en tu formación profesional. Insiste y organiza tu tiempo de trabajo.
Ejemplo: Despejar “r” en la fórmula )3(31 2 hrhV
1° Permutar o dar vuelta la igualdad, para que la incógnita quede a la izquierda de
ella. Vhrh )3(31 2
2° Eliminar fracciones sacando común denominador; en este caso es 3 Vhrh 3)3(2 3° Eliminar paréntesis, si es necesario Vhhr 33 32 4° Aislar el término que contiene la incógnita 32 33 hVrh 5° Despejar la letra o variable incógnita, en este caso “r”
2
3
33
hhVr
6° Es posible que el resultado se pueda expresar de otra forma equivalente
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32
hhVr
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.- Despeje la letra que se indica, usando el método propuesto u otro que le sea más conveniente:
a) MDD pe 2 "M" b) 22 hrS "r"
c) 1,045,0 3 DA "D" d) l
kd2
1cos "k"
e) N
LEGT "E" f)
EJQLF
3
"L"
g) 332Wd "W" h)
12
4hJ "h"
i) 2
dDL "D" j)
1000DNV
"N"
k) 3
34 rA "r" l) hrV 2
31 "r"
m) gET 2 "E" n) 2
21 mvA "v"
ñ) L
dD2
tg "d" o)
LdD
k
1 "D"
p) E
SRLD "R" q)
IPGLD
2
"L"
r) 22
4hdS "d" s) C
ktPDe 2
"k"
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t) APNLV )1(
"P" u) 21
6PP
Td
2" P "
v) AL
RW2
2
"A" w) hdS "h"
y) fc 5,0 "f" z) c
xc 1
"c"
A) f 2 "f" B) 1cossen 22 " cos "
C) 22 sectg1 " tg " D) 2
21 atv "t"
E) dLT 432 "L" F) bhA
21
"b"
II.- Las siguientes fórmulas específicas son utilizadas en otras disciplinas, y en
ellas se te pide, despejar la variable que se indica:
1) Area trapezoide 2
cHbhahHA "h"
2) Perímetro de una elipse 222 baP "a"
3) Volúmen pirámide truncada 21123AAAAhV "h"
4) Volúmen de una Cuña 6
2 bhcaV "h"
5) Superficie de un pistón 4
2DS “D”
6) Potencia efectiva de un motor 602 NRFP
“N”
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7) Potencia fiscal 6,0785,008,0. RDNfiscalP “R”
8) Cilindrada total ZLDVc 4
2 “D”
9) Peso de un volante 2VkTgP
“V”
10) Trabajo mecánico cos dFT “F” 11) Ec. del gas ideal PV=nRT “T” 12) largo de un rectángulo 22 adb “a” 13) Teorema de Euclides pqh 2 “p”
14) Teorema del seno sensen
ba “b”
15) Teorema del coseno bc
acb2
cos222
“a”
16) Área de un polígono regular de n lados 4
2)2(tg2
n
nnaA
“a”
17) Radio circunscrita a un triángulo A
cRsen2
“A”
18) Ángulo en una r
arcoAB “r”
19) Área triángulo dado 3 lados ))()(( csbsassA “a” (Teorema de Herón)
20) Radio círculo inscrito en un s
cbar
)(21
“a”
21) Flujo laminar 2
32mD
VLhpl
“D”
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22) Velocidad de un ventilador 2
2
1
2
1
NN
hh "" 1N
23) Pérdida de cabeza debido a la fricción gD
LfVh2
4 2
“L”
24) Número de Reynold Vd
Re “d”
25) La relación entre la temperatura F en la escala de Fahrenheit y la temperatura
C en la escala Celsius está dada por
3295
FC “F”
26) La resistencia total para dos resistencias 1R y 2R conectadas en paralelo, está
dada por
21
21
RRRRR
"" 1R
APLICACIONES DEL DESPEJE DE FÓRMULAS 1) Fuerza transmitida, al efectuar un ensayo en un casco de seguridad:
)(21 22 dDDDHBF ""d
F fuerza en kg. HB= dureza Brinell D= diámetro de la bolita de ensayo en mm d= diámetro de la impresión en mm. 2) Cálculo de impuestos, está dado por:
)( DCYtIM “Y” IM= monto de impuesto T= tasa del impuesto sobre la renta Y= ingresos C= costos D= depreciación
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3) Método de depreciación N
VRVADp “VA”
Dp depreciación en el período VA valor de adquisición VR valor de desecho N número de años de vida útil
4) Cantidad de dinero, después de un número cualquiera de años niCS )1( ""C
S= suma de dinero al finalizar el año n C= capital inicial i= tasa anual de interés que se paga sobre la cuenta n= número de años que el dinero queda en la cuenta 5) Beneficios netos anuales, de cada uno de los años de vida útil de un proyecto
ttt CBBN "" tB tBN beneficio neto en el año t tB beneficios brutos en el año t tC costos en el año t t 1,2,3,..T T= último año de la vida útil del proyecto
6) Sistema de poleas fija 1GF ""G
G carga suspendida rendimiento
7) Cálculo de conicidad: l
dDc ""d
dD diferencia de diámetros l altura del tronco del cono
8) Intensidad de corriente : RPI "" P
I= intensidad de corriente P=potencia R=resistencia
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9) Tasa de riesgo por días, efectivamente perdidos por accidentes y
enfermedades (Trap)
221 añoTRañoTRTrap
"2" añoTR
10) Ecuación de Torricelli: ghv 2 ""h
11) Velocidad de corte en el taladro 1000
DNVc
"" D
D=diámetro de la broca N= número de revoluciones por minuto
12) Resistencia eléctrica del conductor S
LPRc
"" L
P= resistencia específica del material del conductor L= longitud total del conductor S= sección del conductor
VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una vez aprendido el proceso que involucra trabajar con fórmulas, es necesario otorgarle valores a las variables, que te permitirán conocer el valor a la incógnita. Sé ordenado y riguroso, en el proceso de desarrollo de cada ejercicio y no olvides de compartir con tus compañeros.
1) Si a=3, b=5 determinar
bbaba
a
1
= Rp:-61
2) Si a=-31 determinar
aaa 21 23 = Rp:-27
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3) Si a=2, b=21 determinar
2
8ab = Rp: 1
4) Si a= -21 determinar
1
21
1
11
a
aa = Rp:23
5) Si a=2; b=31 ; c=
21 entonces
acb
caba
543 2 Rp: -
310
6) Si a=2; b=5; c=-3 entonces 2
2
abbc
ba Rp:-
21
7) Si 21x determinar 222 xx Rp: 24
8) Si a=-21 determinar
aa
a 2
1
Rp:
23
9) Si x=4; y=32 valorar
xyxy 23 Rp:
211
10) Si a=-21 ; b=-
43 valorar abba 223 Rp:-
128105
11) Si r=0,5m; h=2m valorar hrVc2
31 Rp:
12) Si r= 41 pulg, h=2 pulg, valorar hrV 2 Rp:
13) Si R=32 , M=
23 , valorar 2MR Rp:
14) Si 30 105 D , N=48 valorar
20
ND Rp:
15) Si 101R , 202R , 303R entonces 321
111RRR
Rp:
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16) Si kcq 2,11 ; kcq 8,12 ; r=0,25m entonces 221
rqqF
Rp:
17) Si P=3,625; g=0,02 entonces gP215,0 Rp:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE ESPECIALIDAD 1) En el período de un año, en una empresa se han producido 10 lesiones
incapacitantes y se trabajaron 200.000 H.H. a) Determinar, la tasa de frecuencia de lesiones incapacitantes por la fórmula
)(exp..106
estrabajadorosiciónHHHHntesincapacitalesionesdenTF
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GUIA N° 3 ALGEBRA - ISIC
Verónica Zamudio R./2012
Solución: 000.200exp
10
bajadoresosicióntraHH
ntesincapacitalesionesn 50
000.2001010 6
TF
b) Si a la empresa le significaron 45 dias perdidos. Determinar la tasa de
gravedad por la fórmula
)(exphom..000.000.1)(
trabajadasosicióndebrehorasHHDCDEPperdidosdiastotalTG
DEP= días efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes = 45 dias DC= días cargo imputados por invalidez permanente (tabla)= 150 dias
975000.200
10195 6
diasTG
2) Se tiene un cable de Cu de 40 metros de largo y 3,65 2mm y 3,65 2mm de
sección, sabiendo que la resistencia específica del cobre es 0,0179 mtmm 2 .
a) calcular la resistencia eléctrica del conductor mediante la fórmula
Solución: P=0,0179mtmm 2 .
SPLRc
L=40mt S= 3,65 2mm 2mm
196,065,3
400179,0Rc
b) Conocida la resistencia eléctrica del conductor, calcular la potencia perdida IRcPperdida , si la corriente que circula es de 225 amperes.
Solución: wattsPperdida 1,44225196,0
3) Calcular la cantidad de madera que hay en 75 tablas de igual medida, si se
sabe que el ancho es de 12”, el espesor de 3” y el largo es de 6,5 mt a través
de la fórmula 6,310
aeLNC
Solución: a= ancho del trozo del madera en “
e= espesor del trozo de madera en “ L= largo del trozo en pie N= número de trozos iguales
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"5,4876,310
755,6312
C
4) Calcular el número de revoluciones, para perforar un acero Cr-Ni con una broca de 12 mm de acero rápido, si la velocidad de corte es de 24 min
m . Use
la fórmula 1000
DNVc
para calcular N, sabiendo que:
D= diámetro de la broca N= número de revoluciones por min. Solución: despejamos primero “N” de la fórmula dada y luego la valoramos
rpmN 63768,37000.24
AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD "ÁLGEBRA EN LOS REALES"
A continuación, te proponemos una evaluación formativa a desarrollar en forma individual, para luego compartir dudas e impresiones con tus compañeros, asesorados por el profesor. Para sentirte que estas con los objetivos logrados para la siguiente unidad, de un total de 18 preguntas debes contestar correctamente a lo menos 14. En caso contrario, debes reforzar lo antes posible los contenidos respectivos.
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1) ¿Cuál de las siguientes expresiones, es un cuadrado de binomio y porqué?
a) 16129 2 xx b) 16249 2 xx c) 16249 2 xx
2) Calcular
111
aa
a= Rp:1+a
3) Simplificar; 158245
283242
4823512
2
2
2
2
2
2
xxxx
xxxx
xxxx = Rp:1
4) Si a=2, b=5, c=-3, calcular 2
2
abbc
ba Rp:-1/2
5) Reducir: 23
y
y
y
y
xy
yx Rp:
y
yx
6) ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? Justifica tu respuesta.
a) py
pxyxp 1 b)
yx
yp
yxp
c)
abbaba
111
7) Calcular;
x
x11
11 2
= Rp:
x11
8) ¿Cuál es el resultado de 2
11xx
?
a) 2
1
xx b) 21 xx c) 11 xx d)
xx 12
9) Si b
a 1 , 2bc entonces determina el valor de
acb ;
a) 2b b) 4b c) b d) b1 e) n.a.
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10) Si 2xp , 3 xq entonces el valor de pq es?
a) 5x b) 1b c) 5x d) x e) 2x 11) Calcular 21 1 xxx xxx Rp: xx xx
12) Sea 25
52x ;
1
25
52
y entonces 11 yx Rp:
2111
13) Si a=2, b=31 , c=
21 entonces
acb
caba 5
43 2 Rp:
310
14) Calcular; baba
baab
bab
baa
22
2 Rp: 1
15) Si 21
a , calcular 1
21
1
11
a
aa Rp:23
16) Reducir 104
1254
22
nnn Rp:
1041n
17) Si 000170,0 = n107,1 entonces el valor de n es; Rp: -4 18) Calcular área y perímetro de un rectángulo, cuyos lados son (2x+3) y (6x-1).
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