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de Ingeniera Industrial, encontrars contenido actualizado, programas tiles, libros
imprescindibles, ejercicios resueltos y distintos formatos que desarrollados por
expertos buscan brindarte soporte siendo conscientes de la dura labor del Ingeniero
y del estudiante de Ingeniera Industrial.
Investigacin de Operaciones
Administracin de Inventarios
Diseo y Distribucin en Planta
Estudio del Trabajo
Estudio de Tiempos
Pronstico de Ventas
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/administraci%C3%B3n-de-inventarios/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/dise%C3%B1o-y-distribuci%C3%B3n-en-planta/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/estudio-del-trabajo/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/estudio-de-tiempos/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/pron%C3%B3stico-de-ventas/El propsito de la Investigacin de Operaciones consiste en preparar al profesional
para decidir entre diferentes medios o mtodos disponibles para realizar todo
objetivo que se proponga, de modo que se alcance un resultado en relacin a un
cierto criterio de optimizacin. Ciertamente, fundndose en la experiencia y la
intuicin es como cada uno de nosotros asume las decisiones que implica la vida
profesional o personal. Sin embargo, algunas decisiones merecen un estudio ms
profundo, en razn de sus consecuencias y de la complejidad del contexto,
hacindose imprescindible un sustento metodolgico para la toma de decisiones, el
cual puede hallarse en los procedimientos propios de la investigacin operativa.
Podra verse que uno de los primeros ejemplos histricos del uso de la investigacin
operacional es la misin confiada a Arqumedes por Hiern, tirano de Siracusa, de
aplicar los mejores medios y mtodos para defender a la ciudad contra los ataques y
el sitio de los romanos. Pero la investigacin operacional slo se ha beneficiado de
una aplicacin sistemtica en ocasin de la segunda Guerra Mundial, principalmente
en la conduccin de las grandes operaciones
militares. La investigacin operacional utiliza, en gran medida, a los ordenadores, y
la invencin y comercializacin de estas mquinas fueron la condicin primordial de
su desarrollo en el dominio civil y especialmente en la economa de empresa. Por
una feliz coincidencia, slo en nuestra poca los problemas de gestin de las
grandes empresas se han convertido en irremediablemente complejos. Si bien es
indispensable, para el tcnico en investigacin de operacional, el estudiar los
problemas generales que se presentan y los algoritmos clsicos que permiten
resolverlos, debe estar tambin totalmente persuadido de que las situaciones
prcticas que encontrar sern mucho ms complicadas y que deber emprender
una tarea original para dar satisfaccin al encargado de tomar decisiones
ofrecindole la posibilidad de optimizar segn su propio criterio. Es necesario, pues,
en funcin de las motivaciones del responsable de la decisin que plantea un
problema, identificar los fenmenos a estudiar mediante un anlisis profundo de la
situacin. Este anlisis se funda sobre la observacin de la situacin real, mediante
conversaciones con los hombres que participan en ella directamente y mediante
acopio de datos estadsticos o provisionales (resultantes de encuestas, de medidas
o de estudios tcnicos).
La investigacin de operaciones puede definirse como un mtodo cientfico de
resolucin de problemas, la cual brinda las herramientas suficientes para que con
base en abstracciones de la realidad se puedan generar y resolver modelos
matemticos con el objetivo de elaborar un anlisis y concluir de los mismos para as
poder sustentar cuantitativamente las decisiones que se tomen respecto a la
situacin problema.
Bryan Antonio Salazar Lpez
Otra de las muchas definiciones que de la investigacin de operaciones se
encuentran es la siguiente:
"La Investigacin de Operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del
mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o
sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de
toda organizacin."
Ackoff, R. L. y Sasieni M. W. Fundamentals of Operations Research, John Wiley & Sons,1968.
do
matemtico. Aunque la solucin del modelo matemtico establece una base para
tomar una decisin, se deben tener en cuenta factores intangibles o no
cuantificables, por ejemplo el comportamiento humano, para poder llegar a una
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
javascript:;TAHA, Hamdy. Investigacin de Operaciones. Pearson, 2004.
COMO ABORDAR UN PROBLEMA REAL DE OPTIMIZACIN? La Optimizacin puede considerarse como la bsqueda de la mejor solucin
(solucin ptima) de un problema. El trmino mejor aqu depende del contexto en el
que se trabaje. Por ejemplo, en un contexto operativo atinente a las utilidades la
optimizacin del sistema constituye la maximizacin de los resultados, todo lo
contrario a los costos o las distancias, casos en los cuales la optimizacin
depender de la minimizacin de los resultados
Bryan Antonio Salazar Lpez
MODELIZACIN Un modelo es una abstraccin o una representacin de la realidad o un concepto o
una idea con el que se pretende aumentar su comprensin, hacer predicciones y/o
controlar/analizar un sistema. Cuando el sistema no existe, sirve para definir la
estructura ideal de ese sistema futuro indicando las relaciones funcionales entre sus
elementos. En la actualidad un modelo se define como un constructo basado en
nuestras propias percepciones pasadas y actuales; la anterior representacin puede
ser holista o reduccionista.
Los modelos se pueden clasificar segn su grado de abstraccin en:
- Modelos Abstractos (no fsicos)
- Modelos Concretos (fsicos)
Y se pueden clasificar igualmente si son matemticos en:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
javascript:;- Estticos
- Dinmicos
- Determinsticos
- Estocsticos
Francisco Chediak - Ingeniero Industrial
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(69,64,61))
javascript:;La Programacin Lineal corresponde a un algoritmo a travs del cual se resuelven
situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para
aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y
costosos), aumentando as los beneficios. El objetivo primordial de laProgramacin
Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias
variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales),
optimizando una funcin objetivo tambin lineal.
Los resultados y el proceso de optimizacin se convierten en un respaldo
cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las
que sera importante tener en cuenta diversos criterios administrativos como:
Los hechos
La experiencia
La intuicin
La autoridad
COMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL? El primer paso para la resolucin de un problema de programacin lineal consiste en
la identificacin de los elementos bsicos de un modelo matemtico, estos son:
Funcin Objetivo
Variables
Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinacin de los mismos, para lo cual
proponemos seguir la siguiente metodologa:
LA FUNCIN OBJETIVO La funcin objetivo tiene una estrecha relacin con la pregunta general que se desea
responder. S en un modelo resultasen distintas preguntas, la funcin objetivo se
relacionara con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. As
por ejemplo, si en una situacin se desean minimizar los costos, es muy probable
que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en
lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
LAS VARIABLES DE DECISIN Similar a la relacin que existe entre objetivos especficos y objetivo general se
comportan las variables de decisin respecto a la funcin objetivo, puesto que estas
se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta
fundamental. Las variables de decisin son en teora factores controlables del
sistema que se est modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores
posibles, de los cuales se precisa conocer su valor ptimo, que contribuya con la
consecucin del objetivo de la funcin general del problema.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
LAS RESTRICCIONES Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programacin lineal, nos
referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las
variables de decisin. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso
hipottico en el que decidiramos darle un valor infinito a nuestras variables de
decisin, por ejemplo, qu pasara s en un problema que precisa maximizar sus
utilidades en un sistema de produccin de calzado decidiramos producir una
cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgiran mltiples
interrogantes, como por ejemplo:
Con cunta materia prima cuento para producirlos?
Con cunta mano de obra cuento para fabricarlos?
Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?
Podra mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?
Puedo financiar tal empresa?
Pues bueno, entonces habramos descubierto que nuestro sistema presenta una
serie de limitantes, tanto fsicas, como de contexto, de tal manera que los valores
que en un momento dado podran tomar nuestras variables de decisin se
encuentran condicionados por una serie de restricciones.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
EJEMPLO DE RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL EL PROBLEMA La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad
Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72
27 gr de c.
be
El problema se recomienda leer en ms de una ocasin para facilitar el
reconocimiento de las variables, adems es muy recomendable la elaboracin
de tablas o matrices que faciliten una mayor comprensin del mismo.
PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA" Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.
Y la formulacin es:
PASO 2: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIN Basndonos en la formulacin del problema nuestras variables de decisin
son:
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
PASO 3: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas estn
dadas por capacidad, disponibilidad, proporcin, no negatividad entre otras.
De disponibilidad de materia prima:
De no negatividad
PASO 4: DETERMINAR LA FUNCIN OBJETIVO En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del
problema para de esta forma determinar si es de Maximizacin o Minimizacin.
En este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es
Maximizar.
Funcin Objetivo
PASO 5: RESOLVER EL MODELO UTILIZANDO SOFTWARE O MTODOS MANUALES A menudo los problemas de programacin lineal estn constituidos por innumerables
variables, lo cual dificulta su resolucin manual, es por esto que se recurre a
software especializado, como es el caso de WinQSB, TORA, Lingo o para modelos
menos complejos se hace til la herramienta Solver de Excel.
El anterior ejercicio fue resuelto mediante Solver - Excel, y su resultado fue:
Bryan Salazar Lpez
En Descargas y Multimedia podrn encontrar diversos ejercicios de prctica, dado
que es esta la nica garanta de aprendizaje. Cada ejercicio de programacin lineal
trae consigo nuevos retos que requerirn de destreza matemtica para su
resolucin.
Descargas y Multimedia
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-tora/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-lingo/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/descargas-y-multimedia/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/descargas-y-multimedia/javascript:;WINQSB es un paquete de herramientas muy verstil que permite el anlisis y
resolucin de modelos matemticos, problemas administrativos, de produccin,
proyectos, inventarios, transporte, entre muchos otros. Ofrece una interfaz bsica
pero amigable, y es la aplicacin por excelencia utilizada por profesionales
de Ingeniera Industrial y reas administrativas para la resolucin de sus modelos
de programacin lineal, continua o entera.
ACERCA DE LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING
"Linear and integer programming " es el mdulo de WinQSB creado con el fin de
resolver problemas de programacin lineal y programacin lineal entera. Un
problema de programacin lineal implica una funcin objetivo lineal, un nmero
limitado de restricciones lineales, y una serie de variables que pueden ser acotadas
con valores limitados.
SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON WINQSB El primer paso para resolver un problema de programacin lineal (PL) consiste en el
modelamiento matemtico, y es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera
Industrial debe desarrollar su mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un
problema de PL se encuentran en el mdulo de programacin lineal.
El PROBLEMA
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero
y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas
bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?
EL MODELO MATEMTICO
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaracin de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y
En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que ya
hayamos desarrollado. Una vez demos clic en "Nuevo Problema (New Problem)" se
abrir un men emergente que nos permitir ingresar los parmetros bsicos del
problema:
El programa requiere que se definan las especificaciones del problema, que incluye
el nombre de problema, el nmero de variables, el nmero de restricciones, el
criterio de la funcin objetivo, los tipos de variable por defecto, y el formato de
entrada de datos, ya sea en forma de matriz o en forma de modelo normal . El
nombre de problema, los nombres de variables, nombres de restriccin, el nmero
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
de variables, nmero de restricciones , el criterio de la funcin objetivo, tipos de
variables, y la entrada de datos formato se pueden modificar mediante el men
Formato y men Editar una vez se haya abierto el modelo.
Para el problema que estamos abordando es necesario que ingresemos los
siguientes parmetros:
Nmero de variables: 2 (x , y )
Nmero de restricciones: 2 (Disponibilidad de Aluminio y Acero)
Funcin Objetivo: Maximizar (Utilidades)
Tipos de variables por defecto: Enteras no negativas (Sern bicicletas, unidades
enteras)
Formato de entrada: Matriz (Recomendado)
Una vez se registren los parmetros y al dar clic en el botn OK, se mostrar
la siguiente ventana, en aras de utilizar las mismas variables que en el modelo,
mostraremos el mtodo de renombrar las variables:
Desde el men EDIT, tambin podremos modificar el nombre de las restricciones, tal
como se aprecia en la siguiente imagen:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
La interfaz para ingresar los valores que controlan el problema es la siguiente:
En ella hemos registrado los datos que controlan nuestro problema de estudio. El
siguiente paso, consiste en resolver el problema, para ello damos clic en el botn
"Solve and Analize": Este comando resuelve el problema . Si se especifica alguna
variable como un entero o binario, el programa utilizar automticamente el mtodo
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
de Branch and Bound (Rama y Cotas) para resolver el problema. El mtodo
simplex modificado es utilizado para resolver problemas de programacin lineal
continua.
Esta opcin mostrar automticamente un tabulado resumen de la solucin si el
problema tiene una solucin ptima, mostrar la inviabilidad de anlisis si el
problema no es factible, o mostrar si el anlisis no acotacin si el problema no est
acotado en funcin objetivo o valores de las variables.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/Este mensaje nos indica que el problema ha sido resuelto, y que existe una solucin
ptima que ha sido encontrada. Al dar clic en Aceptar, nos llevar al cuadro resumen
de la solucin:
Interpretar cada uno de los valores del cuadro solucin, es cuan o ms importante
que obtener la solucin ptima, dado que de dicha interpretacin podremos extraer
un buen anlisis de sensibilidad:
Solution value: Valor solucin, es el valor que toman las variables de decisin en
nuestra solucin ptima, en este caso nos indica que se debern producir 20
bicicletas tipo paseo y 30 bicicletas tipo montaa.
Unit Cost or Profit: El costo unitario o contribucin es el valor que les fue asignado
a las variables por nosotros en la funcin objetivo.
Total Contribution: Es la contribucin total a la solucin objetivo, es el producto del
valor solucin * costo unitario o contribucin.
Basic Status: Despus de que el problema se resuelve , esto representa si la
variable es una variable de base, en el lmite inferior, o en el lmite superior en
la tabla simplex final.
Allowable MIN, MAX C(j): Para un coeficiente de la funcin objetivo en particular.
Este es el rango en que la base actual de la solucin sigue siendo la misma.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este
caso la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000
Left Hand Side: Del lado izquierdo, es el valor que toma la ecuacin de cada
restriccin luego de reemplazar las variables que la componen por los valores
solucin. Por ejemplo, la ecuacin de la restriccin de Acero que es x + 2y
modelo y las restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a las que afecte la
frmula de la celda objetivo, lo cual lo constituyen en una herramienta adecuada
para solucionar problemas de programacin lineal, y programacin lineal entera.
ALGORITMOS Y MTODOS UTILIZADOS POR SOLVER La herramienta Microsoft Excel Solver utiliza el cdigo de optimizacin no lineal
(GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la
Universidad Allan Waren (Cleveland).
Los problemas lineales y enteros utilizan el Mtodo Simplex con lmites en las
variables y el mtodo de ramificacin y lmite (mtodo de branch and bound),
implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc. El mtodo de
branch and bound corresponde al mismo mtodo utilizado por WinQSB para la
solucin de problemas de programacin lineal entera y/o que utilicen variables
binarias.
CMO HABILITAR EL COMPLEMENTO SOLVER DE EXCEL? Aqu se encuentra la explicacin acerca de cmo habilitar este complemento para
las versiones de Microsoft Excel 2007 (izquierda) y 2010 (derecha).
Mtodo para Microsoft Excel 2007: El primer paso consiste en dirigirse al botn de
"Office", y seleccionar la opcin "Opciones de Excel":
Luego, se abrir una ventana emergente de "Opciones de Excel", en ella vamos a la
opcin "Complementos" (ubicada en la barra lateral izquierda). Ya en complementos,
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/javascript:;nos dirigimos a la opcin "Administrar: Complementos de Excel" y damos clic en
botn "IR":
Luego se abrir una pequea ventana emergente, en ella se podrn observar varios
complementos junto con una casilla de verificacin cada uno. Activamos la casilla de
verificacin de Solver y damos clic en "Aceptar":
Mtodo para Microsoft Excel 2010: El primer paso consiste en dirigirse a la pestaa
"Archivo", dirigirse a la opcin "Ayuda" y seleccionar la opcin "Opciones":
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
javascript:;Luego, se abrir una ventana emergente de "Opciones de Excel", en ella vamos a la
opcin "Complementos" (ubicada en la barra lateral izquierda). Ya en complementos,
nos dirigimos a la opcin "Administrar: Complementos de Excel" y damos clic en
botn "IR":
Luego se abrir una pequea ventana emergente, en ella se podrn observar varios
complementos junto con una casilla de verificacin cada uno. Activamos la casilla de
verificacin de Solver y damos clic en "Aceptar":
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
javascript:;javascript:;Una vez se ha habilitado el complemento, para ambas versiones, Solver se ubicar
en la pestaa de "Datos".
SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON SOLVER Al igual que para cualquier otro mtodo de resolucin, el primer paso para resolver
un problema de programacin lineal (PL) consiste en el modelamiento matemtico, y
es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera Industrial debe desarrollar su
mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se
encuentran en el mdulo de programacin lineal. Sin embargo, dada la interfaz de
Excel, el modelamiento se hace ms simple, siempre y cuando nos caractericemos
por organizar muy bien la informacin.
El PROBLEMA Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero
y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas
bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?
EL MODELO MATEMTICO
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaracin de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y
El siguiente paso corresponde a registrar la informacin en la plantilla, de acuerdo a
los datos que tenemos en el problema:
El siguiente paso consiste en formular la
plantilla, para ello debemos considerar qu pasara si cambiaran las variables de
decisin?... Pues, en caso tal de que las variables sufrieran cambios se alterara la
contribucin total, y el inventario de recursos. Por ello, debemos formular en
consecuencia:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
javascript:;javascript:;Ahora que ya tenemos nuestra plantilla formulada, el siguiente paso consiste en
utilizar Solver para resolver el modelo, para ello, vamos a la pestaa Datos (En
cualquier versin de Office), y seleccionamos el complemento Solver:
Una vez iniciemos Solver se abrir una ventana emergente llamada "Parmetros de
Solver", en ella como primera medida seleccionaremos nuestra celda objetivo
(Contribucin Total) y seleccionaremos el criterio Maximizar:
El siguiente paso, es indicarle a Solver que debe alcanzar el mximo valor para la
celda objetivo mediante la variacin de las siguientes celdas (Cambiando las
celdas), es decir, le indicaremos cuales son las variables de decisin:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
javascript:;El siguiente paso consiste en asignarle las restricciones a las que el modelo est
sujeto, las cuales son restricciones de disponibilidad de recursos:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Lo que nos muestra la imagen anterior es la forma de indicarle la restriccin a
Solver, para que el inventario usado sea menor o igual al inventario disponible. De
igual forma debe hacerse para el recurso de Aluminio.
La siguiente restriccin es la de no negatividad, es decir, que las variables de
decisin no puedan tomar valores menores que cero.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Si quisiramos resolver el modelo tal cual como est pudisemos hacerlo, y
obtendramos quiz una respuesta que distara de su aplicacin prctica, dado que
es probable que la respuesta nos de variables continuas, y en la prctica vender 0,6
bicicletas es un poco complicado. Por tal razn, agregaremos una restriccin que
hace que el ejercicio se resuelva mediante programacin lineal entera, indicando
que las variables de decisin deban ser enteras:
Hecho esto, damos clic en Aceptar y en Resolver... Podemos observar como las
variables de decisin, las restricciones (inventario usado) y la contribucin total
(celda objetivo) han tomado valores, estos son los valores ptimos segn el modelo
formulado. Ahora nos aparecer un cuadro de dilogo que nos preguntar si
deseamos utilizar la solucin de Solver y unos informes que debemos seleccionar
para obtener una tabla resumen de la respuesta y un anlisis de sensibilidad que se
insertarn como hojas al archivo de Excel:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
El informe de sensibilidad arrojado por Solver es mucho ms bsico que el que nos
puede proporcionar WinQSB, sin embargo destacamos la informacin referente al
"Multiplicador de Lagrange" que corresponde al "Shadow Price de WinQSB"
conocido como el precio sombra, es decir, el cambio marginal de la funcin objetivo
cuando el valor del lado derecho de la restriccin aumenta en una unidad, en este
caso, por cada kg de Acero adicional que dispongamos, la funcin objetivo
aumentara en $ 1250.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
Este mismo ejercicio fue resuelto con WinQSB y TORA arrojando iguales resultados,
el archivo de Excel utilizado para esta demostracin se adjuntar a continuacin
para su descarga:
Cmo resolver ejercicios de programacin lineal en Solver - Vdeo
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Colorpersonalizado(RGB(17,17,17))
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-tora/El software TORA de optimizacin es un programa basado en Windows que tiene
por objeto usarse con muchas de las tcnicas presentadas en el libro Investigacin
de Operaciones de TAHA . TORA es una aplicacin muy simple, con una interfaz
grfica de baja calidad. Una de las ventajas de TORA es que puede utilizarse en
procesadores de 32 y 64 bits, hoy por hoy su principal desventaja es que deber
ajustarse la configuracin de pantalla para adecuarse a sus ajustes de presentacin
de 800 x 600 y 1024 x 768 pixeles. Se recomienda el segundo ajuste, porque
produce una distribucin ms proporcionada de la pantalla.
SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON TORA
Al igual que para cualquier otro mtodo de resolucin, el primer paso para resolver
un problema de programacin lineal (PL) consiste en el modelamiento matemtico, y
es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera Industrial debe desarrollar su
mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se
encuentran en el mdulo de programacin lineal.
El PROBLEMA Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero
y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas
bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?
EL MODELO MATEMTICO
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaracin de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir
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Aluminio:
x + 2y
El siguiente paso consiste en completar la informacin solicitada en la nueva
ventana, correspondiente al nombre del problema, la cantidad de variables y
restricciones:
Una vez consignada la informacin anterior, y luego de teclear ENTER, nos mostrar
la siguiente interfaz, en la cual debemos consignar la informacin del modelo, se
trata de un formato tipo matricial muy similar al utilizado por WinQSB:
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/javascript:;javascript:;Una vez completa la informacin de la matriz, procedemos a resolver el modelo,
presionando el botn SOLVE. Una vez hagamos esto nos mostrar un men en el
que podemos modificar el formato numrico de la solucin. Luego de esto, nos
mostrar un men emergente en el que podemos elegir el tipo de solucin que
queremos visualizar, se encuentra la solucin grfica y la algebraica, elegimos la
algebraica en este caso y seleccionamos que se nos muestre el tabulado final:
En el tabulado solucin podemos observar como la funcin objetivo toma el mismo
valor obtenido con los programas de solucin de Solver y WinQSB. A partir de este
tabulado podemos efectuar un anlisis de sensibilidad teniendo en cuenta que:
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http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/javascript:;Objective Value: Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este caso
la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000.
Value: El valor que toman las variables de decisin.
Obj Val Contrib: Es la contribucin unitaria de las variables de decisin en la
funcin objetivo.
Slack-/Surplus+: Cuando la restriccin en cuestin tiene el operador =, corresponde a un
exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la
restriccin de mnimo uso.
Min and Max Obj Coeff: Para un coeficiente de la funcin objetivo en particular.
Este es el rango en que la base actual de la solucin sigue siendo la misma.
Dual price: Llamado en WinQSB como Shadow Price, y en Solver como
Multiplicador de Lagrange, corresponde al cambio marginal de la funcin objetivo
cuando el valor del lado derecho de la restriccin aumenta en una unidad. En
nuestro ejemplo sera as: por cada kg de acero adicional que tengamos disponible,
la funcin objetivo aumentar en $1250.
Con formato: Fuente:(Predeterminado) Arial, 12 pto, Colorde fuente: Marrn
javascript:;LINGO es una herramienta diseada para construir y resolver modelos de
optimizacin matemtica. LINGO proporciona un paquete integrado que incluye un
potente lenguaje para expresar modelos de optimizacin, un ambiente con todas las
funciones para los problemas de construccin y edicin, y un conjunto de
solucionadores rpidos incorporados, capaces de resolver de manera eficiente la
mayora de las clases de modelos de optimizacin.
resolver de manera eficiente la mayora de las clases de modelos de optimizacin.
Aprender acerca del acceso a las herramientas ms poderosas de LINGO a travs
de su lenguaje es una tarea compleja, sin embargo los modelos que no precisan de
un complejo uso de recursos pueden resolverse con una sintaxis sumamente
sencilla.
SOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL CON LINGO Al igual que para cualquier otro mtodo de resolucin, el primer paso para resolver
un problema de programacin lineal (PL) consiste en el modelamiento matemtico, y
es en esta fase en la que el profesional de Ingeniera Industrial debe desarrollar su
mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se
encuentran en el mdulo de programacin lineal.
El PROBLEMA Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero
y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas
bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?
EL MODELO MATEMTICO
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaa (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaracin de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaa a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y
Como podemos observar, el comando "MAX:" se utiliza para consignar la funcin
objetivo y su criterio (en caso de minimizar se utilizar MIN:). Para separar cada
lnea de cdigo es necesario utilizar el caracter ";". Una vez tenemos el cdigo con
nuestras restricciones establecidas, procedemos a resolver, dando clic en el botn
Solve:
Al resolver obtendremos el reporte solucin, con base en sus datos podremos
efectuar un anlisis de sensibilidad, hay que tener en cuenta que los datos
expresados en el reporte se encuentran en funcin de la lnea de cdigo ingresada,
por lo tanto hay que considerar en que lnea se escribi cada restriccin y funcin
objetivo para hacer un adecuado anlisis.
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javascript:;javascript:;Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este
caso la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000.
Value: Es el valor que toman las variables de decisin en la funcin objetivo.
Slack or Surplus: Cuando la restriccin en cuestin tiene el operador =, corresponde a un
exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la
restriccin de mnimo uso.
Dual Price: El precio sombra de una restriccin, es el cambio marginal de la
funcin objetivo cuando el valor del lado derecho de la restriccin aumenta en una
unidad. En nuestro ejemplo sera as: por cada kg de acero adicional que tengamos
disponible, la funcin objetivo aumentar en $ 1250.
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javascript:;El mtodo grfico es un procedimiento de solucin de problemas de programacin
lineal muy limitado en cuanto al nmero de variables (2 si es un grfico 2D y 3 si es
3D) pero muy rico en materia de interpretacin de resultados e incluso anlisis de
sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar
en la medida de lo posible el polgono (poliedro) factible, comnmente llamado el
conjunto solucin o regin factible, en el cual por razones trigonomtricas en uno de
sus vrtices se encuentra la mejor respuesta (solucin ptima).
EL PROBLEMA La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad
Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72
27 gr de c.
bricar?
LA MODELIZACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
RESTRICCIONES
0,15XT +
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se
trata de un ejercicio de maximizacin, cuando el ejercicio sea de minimizacin lo
ms recomendado es incluirlas.
FUNCIN OBJETIVO
LA SOLUCIN MEDIANTE MTODO GRFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las
restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar
con la tabulacin que nos otorgar las coordenadas para esbozar cada una de las
grficas. Adems dado que se trabajar en el plano cartesiano sera prudente
renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restriccin, hallamos las primeras dos
coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las
variables a cero, para de esta manera despejar ms fcilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
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Seguimos con la segunda restriccin,
0,15X + 0,1y = 300
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Tercera restriccin,
0,072X + 0,027y = 108
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En el siguiente grfico se muestra el polgono solucin de color gris, en este
conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales
se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta caracterstica se
representa con una flecha haca abajo.
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javascript:;javascript:;Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones ptimas se
alojan en los vrtices del polgono solucin (color gris) y que identificar a la solucin
ptima es cuestin de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas
disponibles (tecnolgicas y conocimientos matemticos).
La primera opcin es la geomtrica, esta depende de trazar la ecuacin que
representa a la funcin objetivo (este paso consiste en realizar el mismo
procedimiento de las restricciones).
Funcin objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la grfica
correspondientes a la ecuacin (en esta ocasin es recomendable ms de dos
coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).
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Una vez se ha esbozado la funcin objetivo (lnea negra) sacamos replicas
perpendiculares a esta que se encuentren con cada vrtice, y solo en el caso en que
la lnea imaginaria perpendicular a la funcin objetivo no corte el polgono solucin
se ha encontrado la solucin ptima. En otras palabras trasladamos la funcin
objetivo por todo el polgono conservando la perpendicularidad con la original, la
detenemos en los vrtices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solucin.
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javascript:;javascript:;Claramente solo en el punto "B", es decir en el vrtice formado por la interseccin
de las ecuaciones 1 y 2, la lnea imaginaria no corta el polgono solucin, entonces
es este punto el correspondiente a la coordenada ptima.
Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolucin de
ecuaciones lineales 2x2, y se pueden considerar varios mtodos de solucin entre
ellos:
Mtodo por sustitucin
- Mtodo por igualacin
- Mtodo por reduccin o Eliminacin
- Mtodo por eliminacin Gauss
- Mtodo por eliminacin Gauss - Jordn
- Mtodo por determinantes
La riqueza de las matemticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el
mtodo de reduccin o eliminacin es muy sencillo de aplicar.
El mtodo por reduccin o eliminacin consiste en igualar los coeficientes de una de
las variables multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos
coeficientes queden iguales pero con signos contrarios.
Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500
Ecuacin 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)
Ecuacin 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600
Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100
Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)
x = 555,55
luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con
el objetivo de despejar "y".
Ecuacin 1 0,12x + 0,2y = 500
Reemplazamos "x" 0,12(555,55) + 0,2y = 500
Despejamos "y" 66,666 + 0,2y = 500
0,2y = 500 - 66,666
0,2y = 433,334
y = 433,334 / 0,2
y = 2166,67
De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y".
Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT
y XT'
x = XT
y = XT'
XT = 555,55
XT' = 2166,67
y la contribucin obtenida (reemplazando las variables en la funcin objetivo) es de:
Zmax = 4000XT + 5000XT'
Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)
Zmax = 13.055.550
Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolucin
por Solver - Excel, sin embargo recuerden que el mtodo de bsqueda de la
solucin ptima en el mtodo grfico que utilizamos es el geomtrico y que existe
una posibilidad mucho ms engorrosa pero igualmente efectiva, este es el mtodo
de iteracin por vrtice, y que consiste en hallar todas las coordenadas de los
vrtices y luego en cada coordenada se evala la funcin objetivo, (cada
coordenada nos proporciona un valor en "x" y otro en "y", luego reemplazamos estos
valores en la funcin objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los resultados
seleccionando la mayor cantidad).
Una herramienta muy til al momento de resolver ejercicios mediante el mtodo
grfico es una calculadora graficadora, como es el caso de la calculadora de encarta
(disponibleaqu).
VARIANTES EN EL MTODO GRFICO
Como en la mayora de los casos el ejemplo con el que aqu se explic el mtodo
grfico es el ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solucin ptima
nica, sin embargo existen una variedad de problemas diferentes a los ideales y que
vale la pena analizar:
SOLUCIN PTIMA MLTIPLE Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programacin
lineal consiste en la cantidad de soluciones ptimas, gran cantidad de ellos presenta
ms de una solucin ptima, es decir una solucin en la cual la funcin objetivo es
exactamente igual en una combinacin cuantitativa de variables diferente.
Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el anlisis de
sensibilidad, es decir una vez encontradas mltiples soluciones iguales se debe
proceder al comportamiento del consumo de los recursos y restricciones,
evidentemente prevaleciendo el concepto de productividad de los recursos ms
limitados y costosos.
Un ejemplo de este caso es el siguiente:
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/descargas-y-multimedia/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/La ebanistera "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes
prefabricadas para la elaboracin de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un
plan de produccin enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos
restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos
modelos, modelo A y B, y estas no requieren ms que ser ensambladas y pintadas.
Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para
elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa
modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que
cada mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura
respectivamente. Si el margen de utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y
$10000 por cada mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de produccin
para esta semana.
X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana
Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana
Restricciones
2X + Y
Como nos podemos dar cuenta mediante la geometra en dos vrtices la lnea
imaginaria perpendicular a la funcin objetivo no atraviesa el conjunto solucin, por
ende en dos puntos se presentan soluciones ptimas, que son los puntos B y C.
Observemos la solucin ptima mltiple
Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0
Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000
Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000
Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000
Existen entonces dos soluciones ptimas
Solucin ptima 1
X = 4 Y = 2
Solucin ptima 2
X = 5 Y = 0
La pregunta siguiente es cul decisin tomar?, pues depende de factores tales
como una anlisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de
determinados recursos (horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al
modelo como lo puede llegar a ser en este caso una necesidad de espacio de
almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se elaboran ms mesas
que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar los
resultados pues requerir de la capacidad de quien toma las decisiones.
SOLUCIN PTIMA NO ACOTADA Otra de las variantes que presentan los modelos de programacin lineal corresponde
a los modelos de solucin ptima no acotada, es decir problemas con infinitas
soluciones ptimas. Hay que reconocer que en la vida real gran parte de estos
problemas se deben a un mal planteamiento de las restricciones, sin embargo es
comn que este tipo de problemas sean evaluados en la vida acadmica.
Un ejemplo:
La compaa comercializadora de bebidas energticas "CILANTRO SALVAJE" se
encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se
encuentran en promocin se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de
demanda, sin embargo existen 2 polticas que la empresa debe tener en cuenta. Una
de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor
que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500
bebidas de cualquier tipo.
Dado que se encuentran en promocin el precio de venta de ambas bebidas
equivale a $1800 pesos.
Determine la cantidad de unidades que deben venderse!!
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X = Cantidad de bebidas tipo A a vender
Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender
Restricciones
X => Y
X + Y => 1500
Funcin Objetivo
Zmax = 1800X + 1800Y
La grfica resultante sera:
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Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando
indefinidamente la funcin objetivo, en estos casos se dice que la solucin ptima no
es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.
SOLUCIN INFACTIBLE El caso de la solucin infactible es ms tpico de lo pensado, y corresponde a los
casos en los cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones.
Es muy comn ver este fenmeno producto de inviables proporciones de oferta y
demanda.
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javascript:;Un ejemplo:
La compaa de galletas "CAROLA" desea planificar la produccin de galletas que
tendr que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compaa
"CAROLA" se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera
sea su tipo (presentacin D, presentacin N o una combinacin de ambas
presentaciones), cada caja de galletas presentacin D tiene un tiempo de
elaboracin de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de
presentacin N tiene un tiempo de elaboracin de 3 horas y un tiempo de horneado
de 1 hora. La compaa cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboracin
y con 480 horas de horneado.
Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentacin
D y N es de $8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de
programacin lineal el plan de produccin que maximice las utilidades.
Variables
X = Cantidad de cajas de galletas presentacin D a producir en 2 semanas
Y = Cantidad de cajas de galletas presentacin N a producir en 2 semanas
Restricciones
2X + 3Y
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Evidentemente no existe forma alguna de satisfacer todas las restricciones, por ende
se concluye que no existe solucin factible.
REDUNDANTES O SOBRANTES Existen en los modelos de programacin lineal un tipo de restricciones que no
juegan rol alguno en la determinacin del conjunto solucin (de igual manera en la
solucin ptima), lo que lleva a deducir que estas son redundantes.
Por ejemplo:
La compaa "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de
congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres
operaciones antes de su comercializacin: Ensamblaje, pintura y control de calidad.
Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas
de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg
de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada
congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente.
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javascript:;La compaa dispone como mximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840
kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la informacin
suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia
para maximizar las utilidades.
Las variables:
X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente
Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente
Las restricciones:
2X + 3Y
El Mtodo Simplex es un mtodo analtico de solucin de problemas
de programacin lineal capaz de resolver modelos ms complejos que los resueltos
mediante elmtodo grfico sin restriccin en el nmero de variables.
El Mtodo Simplex es un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en
cada paso. La razn matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en
caminar del vrtice de un poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o
disminuya (segn el contexto de la funcin objetivo, sea maximizar o minimizar),
dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro solucin es finito siempre
se hallar solucin.
Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense
George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de
crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
Una matriz puede definirse como una ordenacin rectangular de elementos, (o
listado finito de elementos), los cuales pueden ser nmeros reales o complejos,
dispuestos en forma de filas y de columnas.
La matriz idntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo nmero
tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos
diagonales iguales a uno (1) y todos los dems componentes iguales a cero (0), se
denomina matriz idntica o identidad de orden n, y se denota por:
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que el algoritmo se basa en dicha teora para la resolucin de sus problemas.
OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MTODO SIMPLEX
VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Mtodo Simplex trabaja basndose en ecuaciones y las restricciones iniciales que
se modelan mediante programacin lineal no lo son, para ello hay que convertir
estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura
y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restriccin y que en
el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos
programas de resolucin de investigacin de operaciones, estas variables adquieren
un gran valor en el anlisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la
creacin de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restriccin
es de signo "=".
Por ejemplo:
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javascript:;VARIABLE ARTIFICIAL / MTODO DE LA "M" Una variable artificial es un truco matemtico para convertir inecuaciones ">=" en
ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la caracterstica
principal de estas variables es que no deben formar parte de la solucin, dado que
no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formacin
de la matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones,
su coeficiente es M (por esto se le denomina Mtodo de la M grande, donde M
significa un nmero demasiado grande muy poco atractivo para la funcin objetivo),
y el signo en la funcin objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en
problemas de Maximizacin su signo es menos (-) y en problemas de Minimizacin
su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solucin sea cero (0).
MTODO SIMPLEX PASO A PASO
EL PROBLEMA La empresa el SAMN Ltda. Dedicada a la fabricacin de muebles, ha ampliado su
produccin en dos lneas ms. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas
y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas
cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2
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javascript:;piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines,
1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada
biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2
pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se
vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada
cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta
producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fbrica es maximizar las
utilidades.
Problema planteado por Edwin Bastidas - Ingeniero Industrial
PASO 1: MODELACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL Las variables:
X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Las restricciones:
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado
que todas las restricciones son "
Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de
la fila "solucin" en la funcin objetivo.
Variable Solucin = En esta columna se consigna la solucin bsica inicial, y a
partir de esta en cada iteracin se van incluyendo las variables que formarn parte
de la solucin final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su
derecha "Variable solucin" en la funcin objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribucin total, es decir la suma de los productos
entre trmino y Cb.
Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado
es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de
la variable correspondiente que no forme parte de la solucin.
Solucin inicial:
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PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS Este es el paso definitivo en la resolucin por medio del Mtodo Simplex, consiste en
realizar intentos mientras el modelo va de un vrtice del poliedro objetivo a otro.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Evaluar que variable entrar y cual saldr de la solucin ptima:
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javascript:;Maximizar Minimizar
Variable que entra
La ms positiva de los Cj - Zj La ms negativa de los Cj - Zj
Variable que sale
Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor correspondiente a la interseccin entre b y la variable que entra. La menos positiva de los b/a.
Siendo b los valores bajo la celda solucin y a el valor correspondiente a la interseccin entre b y la variable que entra. La ms positiva de los b/a.
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2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solucin implica
una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarn a
continuacin.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en
este caso el "a = 4".
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- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
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- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harn los
clculos correspondientes en el resto de las celdas.
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javascript:;javascript:;www.ingenieriaindustrialonline.com
De esta manera se culmina la primera iteracin, este paso se repetir cuantas veces
sea necesario y solo se dar por terminado el mtodo segn los siguientes criterios.
Maximizar Minimizar
Solucin ptima
Cuando todos los Cj - Zj sean = 0
- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos
anteriores.
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En esta ltima iteracin podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj
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La manera de llegar a la otra solucin consiste en alterar el orden en que cada una
de las variables entro a la solucin bsica, recordemos que el proceso fue decidido
al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aqu les presentamos
una de las maneras de llegar a la otra solucin.
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Podemos observar como existe una solucin ptima alternativa en la cual la
combinacin de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado
que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solucin ptima con un
coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso
(pieza rectangular de 8 pines).
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javascript:;X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)
X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)
X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)
S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)
Con una utilidad de: $ 340000
PROBLEMAS DE MINIMIZACIN CON EL MTODO SIMPLEX
Para resolver problemas de minimizacin mediante el algoritmo simplex existen dos
procedimientos que se emplean con regularidad.
El primero, que a mi juicio es el ms recomendable se basa en un artificio
aplicable al algoritmo fundamentado en la lgica matemtica que dicta
que "para cualquier funcin f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizar
tambin a - f(x)". Por lo tanto el procedimiento a aplicar es multiplicar por el
factor negativo (-1) a toda la funcin objetivo.
a continuacin se resuelve el algoritmo como un problema de maximizacin.
El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimizacin
consiste en aplicar los criterios de decisin que hemos esbozado con
anterioridad, en los casos de la variable que entra, que sale y el caso en el
que la solucin ptima es encontrada. Aqu recordamos los procedimientos
segn el criterio dado el caso "minimizar".
Minimizar
Variable que entra La ms negativa de los (Cj - Zj)
Variable que sale Siendo "b" los valores bajo la celda solucin y "a" el valor correspondiente a la interseccin entre "b" y la variable que entra. La ms positiva de los "b/a".
Solucin ptima Cuando todos los (Cj - Zj) sean >= 0.
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javascript:;El problema del transporte o distribucin es un problema de redes especial
en programacin lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto
especfico llamadoFuente u Origen hacia otro punto especfico llamado Destino.
Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfaccin de todos los
requerimientos establecidos por los destinos y claro est la minimizacin de los
costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.
El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar
soluciones atinentes al rea de operaciones, inventario y asignacin de elementos.
El procedimiento de resolucin de un modelo de transporte se puede llevar a cabo
mediante programacin lineal comn, sin embargo su estructura permite la creacin
de mltiples alternativas de solucin tales como laestructura de asignacin o los
mtodos heursticos ms
populares como Vogel, Esquina Noroeste o Mnimos Costos.
Bryan Antonio Salazar Lpez
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http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/teor%C3%ADa-de-redes/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/problemas-de-asignaci%C3%B3n/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-de-aproximaci%C3%B3n-de-vogel/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-de-la-esquina-noroeste/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-del-costo-m%C3%ADnimo/javascript:;Los problemas de transporte o distribucin son uno de los ms aplicados en la
economa actual, dejando como es de prever mltiples casos de xito a escala
global que estimulan la aprehensin de los mismos.
PROBLEMA DE TRANSPORTE MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL Como se mencion anteriormente la programacin lineal puede ser utilizada para la
resolucin de modelos de transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos
mediante el Mtodo Simplex si puede ser de gran utilidad la fase de modelizacin, la
programacin carece de la practicidad de los mtodos de asignacin, pero puede ser
de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales
que puede presentar un problema particular.
EL PROBLEMA Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para
satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y
Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW
al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y
Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.
Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre
cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades
de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIN MEDIANTE PL El modelo bsico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual
a la cantidad demandada, como es el caso de este ejercicio, sin embargo trasladar
esta suposicin a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orgenes
y/o destinos ficticios con el excedente de oferta y/o demanda.
Como ya lo hemos planteado en mdulos anteriores el primer paso corresponde a la
definicin de las variables, regularmente se le denomina a las variables de manera
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http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/algebraica Xi,j donde i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este
caso i define el conjunto {Planta 1, Planta 2, Planta 3 y Planta 4}, y j define el
conjunto {Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla}. Sin embargo es prctico renombrar
cada fuente y destino por un nmero respectivo, por ende la variable
X1,2 corresponde a la cantidad de millones de KW enviados diariamente de la Planta
1 a la ciudad de Bogot.
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El segundo paso corresponde a la formulacin de las restricciones de oferta y
demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y
destinos, en este caso 16 restricciones.
Restricciones de oferta o disponibilidad, las cuales son de signo :
X1,1 + X1,2 + X1,3 + X1,4 80
X2,1 + X2,2 + X2,3 + X2,4 30
X3,1 + X3,2 + X3,3 + X3,4 60
X4,1 + X4,2 + X4,3 + X4,4 45
X1,1 + X2,1 + X3,1 + X4,1
X1,2 + X2,2 + X3,2 + X4,2
X1,3 + X2,3 + X3,3 + X4,3
X1,4 + X2,4 + X3,4 + X4,4
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javascript:;Luego se procede a formular la funcin objetivo, en la cual se relaciona el costo
correspondiente a cada ruta.
ZMIN = 5X1,1 + 2X1,2 + 7X1,3 + 3X1,4 + 3X2,1 + 6X2,2 + 6X2,3 + 1X2,4 + 6X3,1 + 1X3,2 +
2X3,3 + 4X3,4 + 4X4,1 + 3X4,2 + 6X4,3 + 6X4,4
Luego se puede proceder al uso de la herramienta WinQSB para resolver el modelo
realizado, aqu estn los resultados.
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Este problema presenta una solucin ptima alternativa, aqu los resultados.
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javascript:;javascript:;Red Solucin
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Los anlisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser
bastante interesantes, pues pueden llegar a determinar aumentos de capacidad en
las fuentes si el precio sombra de las rutas en relacin a ellas lo justifica.
El mtodo de aproximacin de Vogel es un mtodo heurstico de resolucin
de problemas de transporte capaz de alcanzar una solucin bsica no artificial de
inicio, este modelo requiere de la realizacin de un nmero generalmente mayor de
iteraciones que los dems mtodos heursticos existentes con este fin, sin embargo
produce mejores resultados iniciales que los mismos.
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http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/dualidad-en-programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/problema-del-transporte-o-distribuci%C3%B3n/javascript:;ALGORITMO DE VOGEL
El mtodo consiste en la realizacin de un algoritmo que consta de 3 pasos
fundamentales y 1 ms que asegura el ciclo hasta la culminacin del mtodo.
PASO 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalizacin restando los dos
costos menores en filas y columnas.
PASO 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalizacin, es decir que de la resta
realizada en el "Paso 1" se debe escoger el nmero mayor. En caso de haber
empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).
PASO 3 De la fila o columna de mayor penalizacin determinada en el paso anterior
debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor
cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda
quedar satisfecha por ende se tachar la fila o columna, en caso de empate solo se
tachar 1, la restante quedar con oferta o demanda igual a cero (0).
PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES - Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda,
detenerse.
Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las
variables bsicas en la fila o columna con el mtodo de costos mnimos, detenerse.
Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda,
determine las variables bsicas cero por el mtodo del costo mnimo, detenerse.
Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las
ofertas y las demandas se hayan agotado.
EJEMPLO DEL MTODO DE APROXIMACIN DE VOGEL Por medio de este mtodo resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en
mdulos anteriores mediante programacin lineal.
EL PROBLEMA Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para
satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y
Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y
Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.
Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre
cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades
de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIN PASO A PASO El primer paso es determinar las medidas de penalizacin y consignarlas en el
tabulado de costos, tal como se muestra a continuacin.
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El paso siguiente es escoger la mayor penalizacin, de esta manera:
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javascript:;javascript:;www.ingenieriaindustrialonline.com
El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela
se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el
menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como mximo 60
unidades "que es la capacidad de la planta 3".
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javascript:;javascript:;Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades)
esta debe desaparecer.
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Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso
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Iniciamos una nueva iteracin
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Continuamos con las iteraciones,
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Iniciamos otra iteracin
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Al finalizar esta iteracin podemos observar como el tabulado queda una fila sin
tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables bsicas y hemos
concluido el mtodo.
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Los costos asociados a la distribucin son:
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javascript:;javascript:;www.ingenieriaindustrialonline.com
De esta manera hemos llegado a la solucin a la cual tambin llegamos
medianteprogramacin lineal, definitivamente desarrollar la capacidad para modelar
mediante programacin lineal y apoyarse de una buena herramienta como WinQSB,
STORM,LINGO, TORA etc. termina siendo mucho ms eficiente que la utilizacin de
los mtodos
heursticos para problemas determinsticos; sin embargo cabe recordar que uno de
los errores ms frecuentes en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de
adaptar a sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son los
modelos los que deben adaptarse a las organizaciones lo cual requiere de
determinada habilidad para realizar de forma inmediata cambios innovadores para
sus fines, en pocas palabras un ingeniero industrial requiere de un buen toque
de heurstica.
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http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-lingo/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-tora/javascript:;Cada uno de los problemas abordados hasta entonces en los mdulos anteriores se
consideran problemas primales dado que tienen una relacin directa con la
necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulacin del
problema original; sin embargo cada vez que se plantea y resuelve un problema
lineal, existe otro problema nsitamente planteado y que puede ser resuelto,
es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y
propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la
toma de decisiones. Los problemas primales y duales se encuentran ligados por una
serie de relaciones, saber la existencia de estas puede ser considerado de gran
utilidad para la resolucin de problemas que parecen no factibles, o que no pueden
ser resueltos mediante un mtodo en particular.
Relaciones entre problemas primales y duales
El nmero de variables que presenta el problema dual se ve determinado por
el nmero de restricciones que presenta el problema primal.
El nmero de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado
por el nmero de variables que presenta el problema primal.
Los coeficientes de la funcin objetivo en el problema dual corresponden a los
trminos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro
lado de las variables.
Los trminos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual
corresponden a los coeficientes de la funcin objetivo en el problema primal.
La matriz que determina los coeficientes tcnicos de cada variable en cada
restriccin corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes tcnicos
del problema primal.
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