Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1
Variables aleatorias
Tema 4
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Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas
Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev5. Transformaciones de variables aleatorias6. Independencia entre variables aleatorias
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Objetivos Manejar variables aleatorias con soltura. Manejar funciones de distribución, de probabilidad y
de densidad con soltura. Calcular esperanzas de variables aleatorias y de
transformaciones suyas. Calcular la distribución de una transformación de
una variable aleatoria con distribución conocida. Entender el concepto de independencia entre
variables aleatorias.
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Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas
Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev5. Transformaciones de variables aleatorias6. Independencia entre variables aleatorias
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Concepto de variable aleatoriaUna variable aleatoria asocia un número con
cada resultado del experimento aleatorio.
Es aleatoria porque al no conocer el resultado del
experimento antes de realizarlo, tampoco
conocemos el valor que va a tomar la variable.
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Concepto de variable aleatoria Definición. Una variable aleatoria X es una
aplicación X: E IR, donde E es el espacio muestral asociado a un experimento.
e1
e3
e2
X (e3) X (e2) X (e1)
X
IR
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Concepto de variable aleatoriaLos sucesos que nos interesarán a partir de ahora son
del tipo XA donde A es un subconjunto de IR.
Con probabilidades P(XA) = P({eE: X(e)A}).
Propiedades:
1. P(XA) 0 ;
2. P(XIR) = 1 ;
3. si A1, A2,…IR son tales que AiAj= para i j,
entonces P(Xi=1, Ai)=i=1,P(XAi) .
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Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas
Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev5. Transformaciones de variables aleatorias6. Independencia entre variables aleatorias
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El rango de una variable aleatoriaEl rango de una variable aleatoria es el conjunto de
valores que puede tomar. Una variable aleatoria es discreta si su rango es
finito o infinito numerable. Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado
hasta un 5. Una variable aleatoria es continua si en su rango
contiene un intervalo. Ejemplos: duración batería.
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Variables aleatorias discretasDada X una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad asigna a cada posible valor de la variable, la probabilidad de que X tome dicho valor.
p: IR [0,1]
x p(x) = P(X=x)
Cumple que 0 p(x) 1 para todo x y si la variable
toma n valores distintos x1,…,xn , entoncesi p(xi) = 1,
así P(XA) = xiA p(xi) .
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Variables aleatorias discretasSupongamos que X es el número de
motores averiados en cierta máquina
compuesta por tres motores. Dicha
variable tendrá como función
de probabilidad
0 1 2 3
Funcion de probabilidad
numero motores averiados
prob
abili
dad
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
x p(x) = P(X=x)
0 0’125
1 0’375
2 0’375
3 0’125
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Variables aleatorias discretasLa función de distribución evaluada en x es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que x.
F(x) = P(X x)1. limxF(x) = 0 ;
2. limx F(x) = 1 ;3. F es no decreciente ;4. F es continua por la derecha.
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Variables aleatorias discretasLa función de distribución
de una variable aleatoria
discreta será escalonada,
F(x) = P(X x)
= xi x p(xi)
-1 0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Funcion de distribucion
numero motores averiados
pro
babili
dad
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Variables aleatorias continuas
Histogram of duracion
duracion
Den
sity
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Histogram of duracion
duracion
Den
sity
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Como el conjunto de valores que toma una variable aleatoria
continua es no numerable, expresiones del tipo i p(xi) = 1 no
tienen sentido.
Histograma para la duración de 10000 baterías.
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Variables aleatorias continuasLa curva f que hemos
trazado sobre el segundo
histograma, lo aproxima
muy bien, de hecho tenemos
P(2 X 4) f(x)dx
donde X es la duración, en
cientos de horas de una
batería.0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
dens
idad
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Variables aleatorias continuasLa función de densidad f describe la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple:
1. f(x) 0 ;
. f(x)dx = 1 .
3. Tenemos además P(a X b) = abf(x)dx .
Dada X v.a. continua, cumple P(X = a) = 0 ; P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b)
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Variables aleatorias continuasCalculamos la función de distribución de una variable aleatoria continua integrando su función de densidad,
F(x) = P(X x) = xf(t)dt
1. limxF(x) = 0 ;
2. limxF(x) = 1 ;3. F es no decreciente ;4. F es continua.
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Variables aleatorias continuasComo la función de distribución
es una primitiva de la función de
densidad, obtenemos la función
de densidad derivando la función
de distribución,
f(x) = dF(x)/dx .
Estamos manejando
f(x) = ex si x > 0
F(x) = 1ex si x > 0
Mean1
Exponential Distribution
x
cumu
lative
prob
abilit
y-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas
Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión
4. Desigualdad de Chebichev5. Transformaciones de variables aleatorias6. Independencia entre variables aleatorias
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Esperanza matemática o mediaLa esperanza o media () de una variable aleatoria
es el centro de gravedad de los valores que toma
X discreta, = E[X] = xip(xi)
X continua, = E[X] = xf(x)dx
Propiedades: Dadas X,Y y dos números, a,b
1. E[a+bX] = a+bE[X] ;
2. E[X+Y] = E[X]+E[Y] .
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Esperanza matemática o mediaDada una función g: IR IR, podemos calcular
la esperanza de la variable aleatoria g(X) como
X discreta, E[g(X)] = g(xi)p(xi)
X continua, E[g(X)] = g(x)f(x)dx
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MedianaLa mediana de una variable aleatoria X es un
valor Me tal que
F(Me) P(X Me)
Si X es una variable aleatoria continua, entonces
F(Me) = 1/2.
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Medidas de posición no centralEl cuantil 0 < de una variable aleatoria X es un
valor x tal que la probabilidad de que X sea menor o
igual que x es, al menos, y la probabilidad de que sea
mayor o igual es, al menos, 1.
F(x) = P(X x) P(X x) 1
Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles
Pa = xaQi = Pi
donde 1 a 99 y 1 i 3 .
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Medidas de dispersiónLa varianza de una variable aleatoria X se define
2 = Var[X] = E[(XE[X])2] X discreta, 2 = Var[X] = xi)2 p(xi)
X continua, 2 = Var[X] = x)2 f(x)dx
La desviación típica es la raíz cuadrada positiva
de la varianza, = (Var[X])1/2 .
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Medidas de dispersiónPropiedad. Var[X] = E[X2]E[X]2 = E[X2]2
Dados a,bIR y una variable aleatoria X,
tenemos las siguientes propiedades de la varianza
1. Var[b] = 0 ;
2. Var[aX] = a2Var[X] ;
3. Var[aX+b] = a2Var[X] .
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Medidas de formaDescriben la distribución de la variable aleatoria
sin tener en cuenta su escala
Momento de orden k respecto del origen, mk = E[Xk]
Momento de orden k respecto de la media, k = E[(X)k]
Coeficiente de asimetría. CA = 3/3
Coeficiente de apuntamiento. CAp = 4/43
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3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión
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Desigualdad de ChebichevSi una variable aleatoria X tiene media y
varianza 2 y dados k, > 0, tenemos las
siguientes expresiones equivalentes:
P(| X| k) 1/k2
P(| X| ) 2/2
P(k < X < +k) 11/k2
P( < X < +) 12/2
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Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas
Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
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Transformaciones de vables. aleatoriasDada una variable aleatoria X y una funcióng: IR IR, queremos estudiar la distribución de la variable aleatoria Y=g(X).
FY(y) = P(Y y) = P(g(X) y) = P(X Ay) ,
donde Ay = {x: g(x) y}.
En muchos casos este conjunto Ay es sencillo de
calcular.
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Transformaciones de vables. aleatorias
Si X es una variable aleatoria discreta, tenemos
FY(y) = P(Y y) = P(g(X) y)
= g(xi) y pX(xi) ,
además la función de probabilidad de Y será,
pY(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y)
= g(xi) = y pX(xi) .
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Transformaciones de vables. aleatorias
Si g es continua y creciente
FY(y) = P(g(X) y) = P(X g1(y)) = FX(g1(y))
En general, si X es una variable aleatoria
continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva,
tenemos que la función de densidad de Y cumple
fY (y) = fX (x) |dx/dy|
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Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas
Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)
Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)
3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión
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Independencia de variables aleatorias
Dos variables aleatorias X e Y se dicen
independientes si para cualesquiera A,BIR,
P((XA)(YB)) = P(XA)P(YB)
Equivalentemente, para cualesquiera x,yIR
P((X x)(Y y)) = P(X x)P(Y y)
Propiedad. Si X e Y son independientes,
Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y]