Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
1
Índice
Índice ………………………………………………………………… 1
Prefacio ……………………………………………………………. 2
Segunda parte
Práctica de Repaso ………………………………………… 4
Práctica 1 ………………………………………………………… 7
Práctica 2 ………………………………………………………… 11
Práctica 3 ………………………………………………………… 18
Práctica 4 ………………………………………………………… 23
Práctica 5 ………………………………………………………… 26
Práctica 6 ………………………………………………………… 33
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
2
Prefacio
La metodología de la enseñanza del cálculo en los diferentes niveles debe ser
modificada, a pesar de que el cálculo no ha sufrido cambios substanciales en los
últimos años, al contar ahora con una poderosa herramienta; la combinación
resultante de computadoras personales con sencillos programas capaces de
resolver problemas matemáticos complejos.
Actualmente el 100% de los estudiantes que cursan nuestros programas de
Ingeniería pueden disponer para trabajar de una computadora, en caso de no
contar con una propia, bien puede usar una de los diferentes centros de cómputo
de nuestra facultad, cuya velocidad y capacidad es varios órdenes superior a
aquéllas que guiaron y controlaron la primera misión a la luna en 1969. Además,
en los últimos 10 años, los programas de computadora comerciales han
evolucionado para ser cada vez más accesibles en costo, en la simplicidad de sus
instrucciones, en la complejidad del tipo de problemas que pueden resolver y en
sus gráficos.
De esta forma, podemos recordar desde el original programa “Mathemática©”,
cuya licencia individual tenía un alto costo, con un lenguaje simbólico
relativamente complejo al igual que sus instrucciones. De manera posterior, el
programa “Maple©” fue lanzado al mercado gozando de mucho más accesibilidad
tanto en su costo como en simplicidad de manejo, con un buen despliegue de
gráficos, pero muy limitado en herramientas que difieren al cálculo simbólico.
Finalmente, dentro de estos importantes programas, la empresa MathWorks
ofrece “Matlab©” como su principal producto para computación numérica, análisis
y visualización de datos. El cual posee un costo medio con un manejo simple,
capaz de resolver problemas de manera simbólica, numérica y/o con
programación, pero su mayor ventaja está representada en la cantidad de
herramientas con las que cuenta, de tal forma que lo hacen una necesidad para
cualquier estudiante de ciencias de ingeniería, sin importar su área de desarrollo,
en las diversas etapas de su preparación.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
3
Por otro lado, es un hecho que nuestros estudiantes de ingeniería deben seguir
siendo capaces de conocer, dominar y analizar los teoremas básicos sobre los
cuales el cálculo es fundamentado. Sin embargo, el conocimiento teórico y
analítico adquirido por el estudiante en el salón de clases, puede ser
sustancialmente complementado y potenciado con este tipo de programas
computacionales. El añadir una constante a una función para ver en tiempo real,
como se modifica su gráfica, su dominio e inclusive su imagen, o el poder
visualizar las zonas de intersección en el cálculo de integrales con varias
funciones, o revisar los conceptos de simetrías en funciones, sus límites o revisar
el concepto de asíntotas horizontales o verticales, representan algunas de las
acciones que los estudiantes podrían realizar para afianzar sus conocimientos
adquiridos en clases.
Estas prácticas están realizadas en el programa de “Matlab©”, versión 6.5 y por la
simplicidad planteada, no se requiere de conocimiento previo en el manejo de
este programa por parte del estudiante, ni siquiera por parte del profesor.
Atentamente
Los autores
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
4
PRÁCTICA DE REPASO
Instrucciones Generales
OBJETIVO: Repasar lo aprendido acerca del análisis de funciones usando la computadora
como una herramienta a través del uso del paquete Matlab.
Inicie el programa de Matlab
. Encontrará en la pantalla el siguiente símbolo
>>
el cual indica que ya puede empezar a trabajar dentro del programa y que Matlab espera una
instrucción.
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después de
cada línea. Observe que pasa.
>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>>syms x % Declaramos a x como variable simbólica .
>>f=2*x^3-1 % Declaramos la función a analizar.
>>ezplot(f,[-4 4]) % Graficamos la función en cierto rectángulo de
inspección, la gráfica de la función en este caso será desde x = -4 a x = 4.
>>grid on % Cuadriculamos la figura.
>>title(´Gráfica de la función f´) % Ponemos título a la figura.
>>xlabel(‘abscisa, x’) % Ponemos nombre al eje x.
>> ylabel(‘ordenada, f(x)’) % Ponemos nombre al eje y.
>> fin=finverse(f) % Calculamos la función inversa de la función.
>> pretty(fin) % Reescribimos la función inversa de una forma
más fácil de entender.
>> hold on; % Mantenemos la grafica de f para graficarla
junto con su función inversa.
>> ezplot(fin,[-4 4]) % Graficamos en el mismo rectángulo de
inspección a la función inversa, observe la reflexión respecto a la recta y=x.
>> axis([-4 4 -4 4]) % Cambiamos el rectángulo de inspección para
poder apreciar mejor las graficas en x de -4 a 4.
>> f1=diff(f) % Calculamos la primera derivada.
>> solve(f1) % Hallamos los puntos críticos de la función, que
para este caso son dos repetidos en x=0.
>> f2=diff(f,2) % Calculamos la segunda derivada.
>> solve(f2) % Hallamos los puntos de inflexión de la función
f, que para este caso se encuentra uno en x=0.
>> figure % Creamos una nueva ventana de figura.
>> ezplot(f1) % Graficamos la 1ra derivada de la función f.
>> grid on % Cuadriculamos la figura.
>> hold on % Mantenemos la grafica de la primera derivada
para graficarla junto con la segunda derivada de la función f.
>> ezplot(f2) % Graficamos la 2da derivada de la función f.
%Nota: con las flechas del teclado se puede acceder a cualquier instrucción que previamente se haya definido.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
5
Gráficas en Matlab
Grafica de
12 3 xxf
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-100
-50
0
50
100
abcisa,x
Grafica de la funcion f
ord
enada,f
(x)
Grafica de 12 3 xxf
y
su Inversa 31
2
1 x
xf
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Función y su Inversa
f
fin
f
y = x
Grafica de la Primera derivada
26' xxf
y la Segunda derivada de f
xxf 12''
-6 -4 -2 0 2 4 6
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
x
Grafica de la 1ra y la 2da derivada de la funcion f
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
6
Actividad.
Para las siguientes funciones,
i) Encuentre la función inversa de la función, grafíquela junto con la función original
en un mismo sistema de ejes coordenados. Si no tiene inversa indíquelo.
ii) Calcule la primera y segunda derivada de la función y grafíquelas. Una vez hallada
las primera y segunda derivada, encontrar los puntos críticos y los puntos de
inflexión.
1) 32 xy
2) Senxy
3) 29 xy
4) 32
1
sr
5) xy ln
Use para la raíz el comando, “sqrt(...)”, para la división ^(-1), para la función logaritmo
natural use el comando “log(...)” y para la función seno use el comando “sin(...)”. También
puede consultar la ayuda (del programa) para ver la lista de comandos completa o los más
típicos que usará en cálculo elemental, por ejemplo al escribir en el prompt del Matlab
“help sqrt”, desplegara un texto de ayuda en la pantalla respecto al comando sqtr.
Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se
admitirán trabajos sin observaciones y/o comentarios.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
7
PRÁCTICA 1
Instrucciones Generales
OBJETIVO: Aprender a calcular integrales definidas e indefinidas de funciones con cálculo
simbólico, usando la computadora como una herramienta a través del uso del paquete Matlab
La primera actividad de esta práctica consiste en ejecutar las siguientes instrucciones en la
ventana de comandos para realizar las siguientes integrales.
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después de
cada línea. Observe que pasa.
a) dxx
xx
2
23 1152
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x k % Declaramos a las variables x y k como simbólicas.
>> f=2*x^3-5*x^2-1+1/x^2; % Definimos la función a integrar.
>> F1=int(f) % Calculamos la integral indefinida de la función.
Observe que el resultado mostrado por Matlab
no incluye la constante de integración.
F1 =
1/2*x^4-5/3*x^3-x-1/x
>> F=int(f)+k % Podemos definir una familia de funciones simplemente
definiendo una nueva función que incluya la constante de integración.
F =
1/2*x^4-5/3*x^3-x-1/x+k
b) dxxx
6
2
32 2
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.
>> F=int((x^2)*(x+2)^(1/3),-2,6) % Calculamos la integral definida,
F = % obteniendo este resultado.
2376/35*8^(1/3)
>> 2376/35*8^(1/3)
% Copiamos la solución obtenida en la siguiente línea
ans = % de comandos para visualizar el resultado de una
% forma más simplificada.
135.7714
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
8
c) dxyzzyxxyz
b
a
23 222
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x y z a b % Declaramos a la variables x, y, z, a, b como
simbólicas. Cuando se realiza una operación con solo variables, se deben de declarar todas y
cada una de ellas como simbólicas ya que si no Matlab marca un error.
>> F=int(x*y*z^2+3*x^2*y^2*z-2*y*z,x,a,b) % Calculamos la integral, definiendo
primeramente la función a integrar, luego la variable respecto a la cual se va a integrar y por
último los limites de integración.
F = % Siendo este el resultado de la integral simbólica.
1/2*y*z^2*(b^2-a^2)+y^2*z*(b^3-a^3)-2*y*z*(b-a)
>> pretty(F) % Reescribimos la solución en una forma más fácil
% de entender.
2 2 2 2 3 3
1/2 y z (b - a ) + y z (b - a ) - 2 y z (b - a)
d) Separar la siguiente función en fracciones parciales e integrarla.
345
24
23
24
44
1216
2
1216
xxx
xxx
xx
xxxxf
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x k % Declaramos a la variable x y k como simbólicas.
>> num=[1 0 1 16 -12]; % Creamos una matriz con los coeficientes del numerador,
tomando en cuenta que van en orden decreciente.
>> den=[1 -4 4 0 0 0]; % Creamos una matriz con los coeficientes del
denominador, tomando en cuenta que van en orden decreciente.
>> [r,p,k]=residue(num,den) % Usando la función residue(…) se puede descomponer en
fracciones parciales una fracción compleja y viceversa.
r =
-1
5
2
1
-3
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
9
p =
2
2
0
0
0
k =
[]
>> F=int((x^4+x^2+16*x-12)/(x^3*(x-2)^2))+k % Integramos la función.
F =
% Obteniendo este resultado en Matlab.
-log(x-2)+3/2/x^2-1/x-5/(x-2)+2*log(x)+k
>> pretty(F) % Reescribimos la solución en una forma más fácil
% de entender.
1 5
-log(x - 2) + 3/2 ---- - 1/x - ----- + 2 log(x) + k
2 x - 2
x
Los valores del vector r = [-1, 5, 2, 1, -3] son los valores de las Ai‟s buscadas al escribir la
función separada en fracciones parciales de la forma.
3
5
2
43
2
21
23
24
222
1216
x
A
x
A
x
A
x
A
x
AxP
xx
xxxxf
Los valores del vector p = [2, 2, 0, 0, 0] son los valores de las raíces del polinomio del
denominador. Si el polinomio posee un término que no se puede factorizar, como por ejemplo
una suma de cuadrados, Matlab
lo descompone en factores complejos.
El valor de k es el residuo que queda al hacer la división del polinomio del numerador entre el
denominador, para este caso es cero ya que el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Por tanto, la función f(x) descompuesta fracciones parciales queda escrita
como:
32223
24 312
2
5
2
1
2
1216
xxxxxxx
xxxxf
Actividad.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
10
Calcule las siguientes integrales usando la herramienta de Matlab
. Si la integral es indefinida,
agregue la constante de integración; si la integral es definida indique la solución de forma
simplificada y reducida. Para el inciso h) separe en fracciones parciales y después integre la
función.
1)
dx
xxx
3
2 135 2)
1
2
212 dxx
3) 4
1
ln dxxx 4) dxxTan 36
5) 6
0
42
dxxxCosSen 6)
b
a ww
dw
722
7)
2ln
0
2/32 78dt
ee
e
tt
t
8) 62
3010842
23
xx
xxxxf
9) Si 18 472
m
dxx . Encuentre el valor de m que hace que lo anterior se cumpla.
10) El volumen de un globo se incrementa de acuerdo a la formula:
ttdt
dV
3
21
Donde V cm3
es el volumen del globo a los t segundos. Si V = 33 cm3
cuando t = 3 seg.
Calcule
a) Una formula de V en términos de t.
b) El volumen del globo a los 8 segundos.
11) Obtenga el valor de la siguiente derivada
x
dttdx
dtan
2
21
1
Para sustituir en una variable un valor puede usarse la función subs(…). Es muy importante
que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se admitirán trabajos
sin comentarios u observaciones.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
11
PRÁCTICA 2
Instrucciones Generales
OBJETIVO: El alumno aprenderá a resolver problemas de aplicación de la integral
auxiliándose de cálculo simbólico a través de la herramienta Matlab.
En esta práctica comenzamos calculando el área comprendida entre las graficas de
xxxxf 103)( 23 y xxxg 2)( 2 . Recuerde que el área se define como la
diferencia entre la curva de arriba menos la de abajo.
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después de
cada línea. Observe que pasa.
>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>>syms x % Declaramos a x como simbólica.
>> f=3*x^3-x^2-10*x; % Declaramos la primera función.
>> g=-x^2+2*x; % Declaramos la segunda función.
>> ezplot(f) % Graficamos la primera función.
>> text(-0.8,6.5,'f(x)') % Etiquetamos a f para identificarla.
>> hold on % Mantenemos la grafica de f.
>> ezplot(g) % Graficamos la segunda función.
>> text(1.2,1.5,'g(x)') % Etiquetamos a g para identificarla.
>> grid on % Agregamos el mallado.
>> axis([-3 3 -10 10]) % Cambiamos el cuadro de inspección.
>> title('Área entre las graficas de f y g') % Ponemos titulo a la grafica.
>> solve(f-g) ans = % Encontramos los puntos de intersección entre
% las funciones f y g, para hallar los limites de
0 % integración al momento de calcular el área.
2
-2
>> h1=f-g % De la grafica se observa que para calcular el área
% es necesario definir dos alturas, la primera es h1
h1 = % en la cual f está arriba y g abajo y va desde [-2,0].
3*x^3-12*x
>> h2=g-f % La segunda altura es h2 en la cual g está arriba y
% f abajo y va desde [0,2].
h2 =
12*x-3*x^3
>> A=int(h1,-2,0)+int(h2,0,2) % Calculamos el área total sumando las dos secciones
% que se forman entre f y g,
A =
24 % obteniendo esta área total.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
12
Gráfica en Matlab
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
Area entre las graficas de f y g
f(x)
g(x)
dx
dx
h1
h2
Nota:
Para crear los rectángulos, así
como algunos de los textos
que aparecen en el dibujo, se
pueden hacer directamente
desde la ventana de la figura.
Calcular la longitud de arco de la curva x
xxf
2
1
6
3
en el intervalo 2,21 . Recuerde que la
longitud de arco se define como: dxxfL
b
a
2
)('1
>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>>syms x % Declaramos a x como simbólica.
>> F=(x^3)/6+1/(2*x); % Definimos la función a analizar.
>> dF=diff(F); % Calculamos la derivada de F.
>> G=sqrt(1+dF^2) % Definimos la función a integrar.
G =
(1+(1/2*x^2-1/2/x^2)^2)^(1/2)
>> L=int(G,0.5,2)
% Integramos desde 0.5 a 2 para obtener la
L = % longitud del arco.
33/32*4^(1/2)
>> 33/32*4^(1/2)
ans =
2.0625
% Simplificando el resultado se obtiene la longitud del arco que es L = 2.0625 u.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
13
Calcule el volumen del solido de revolución generado al girar, en torno de la recta 4x , la
región limitada por las graficas de 3 2y x , 2y , 2x .
Método de Capas Cilíndricas
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x y % Declaramos a x e y como simbólicas.
>> ezplot(x^3+2,[-1 5]) % Graficamos la función, para identificar la
>> grid on % región que se va a hacer girar.
>> axis([-1 6 -2 16]) % Ajustamos la ventana de inspeccion.
%Nota: Las rectas que definen la región, el eje de revolución, las rectas de los ejes, así como todas las etiquetas y el rectángulo que representa al elemento diferencial se agregaron desde la figura.
% La fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de capas
cilíndricas es:
2
b
a
V p x h x dx
>> h=(x^3+2)-2 % La altura de la capa cilíndrica queda definida
% como la curva superior menos la curva inferior.
h =
x^3
>> p=4-x % El radio de la capa cilíndrica esta determinado
% por la distancia de la capa al eje de revolución.
p =
4-x
>> V=2*pi*int(h*p,x,0,2) % Se sustituye los valores del radio y la altura de
% la capa en la fórmula para calcular el volumen
V = % del sólido de revolución.
96/5*pi
>> double(V) % Simplificamos el resultado.
ans =
60.3186
% El volumen obtenido del solido de revolución es V = 60.3186 u3.
% Para comparar los diversos métodos para obtener el volumen, se calculara este mismo
volumen pero usando ahora el método de arandelas.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
14
Gráfica en Matlab
Método de Arandelas
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x y % Declaramos a x e y como simbólicas.
>> ezplot(x^3+2,[-1 5]) % Graficamos la función, para identificar la
>> grid on % región que se va a hacer girar.
>> axis([-1 6 -2 16]) % Ajustamos la ventana de inspeccion.
%Nota: Las rectas que definen la región, el eje de revolución, las rectas de los ejes, así como todas las etiquetas y el rectángulo que representa al elemento diferencial se agregaron desde la figura.
% La fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de
arandelas es:
2 2
d
e i
c
V R y R y dy
% Para determinar los limites de integración, debemos notar primero que la variable respecto a
la cual se va a integrar es y. Por lo cual, el elemento diferencial dy recorrerá desde la recta y=2
hasta el punto donde la función se cruza con la recta x=2, como se aprecia en la siguiente figura
>> subs(x^3+2,2) % El límite superior antes mencionado se calcula
% evaluando la función en x = 2.
ans =
10
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
15
>> x=solve(x^3+2-y,x) % Dado que la variable respecto a la cual se va a
% integrar es y, entonces despejaremos a x de la
x = % función. Como se debe esta resolviendo una
% ecuación cubica, entonces se van a obtener 3
(-2+y)^(1/3) % soluciones, de las cuales 2 son complejas
-1/2*(-2+y)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(-2+y)^(1/3) % y la otra es real.
-1/2*(-2+y)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(-2+y)^(1/3)
>> x=x(1) % Como estamos trabajando en el campo de los
% números reales, se elige el primero de los 3
x = % resultados de la variable despejada. Otra forma
% de obtener este valor es obteniendo la inversa
(-2+y)^(1/3) % de la función, aunque quedaría en función de x.
>> Ri=(4)-(2) % A continuación calculamos el radio interno de
% la arandela, el cual queda definido como la
Ri = % diferencia entre la curva de la derecha, x = 4,
% y la curva de la izquierda, x = 2.
2
>> Re=4-x % Ahora calculamos el radio externo de la aran--
% dela, el cual está definido como la diferencia
Re = % entre la curva de la derecha, x = 4, y la curva
% de la izquierda.
4-(-2+y)^(1/3)
>> V=pi*int(Re^2-Ri^2,y,2,10) % Sustituimos los valores de las funciones de los
% radios en la fórmula del volumen del sólido de
V = % revolución antes mencionada. El resultado
% obtenido esta en forma simbólica.
pi*(24/5*8^(2/3)+96-48*8^(1/3))
>> double(V) % Pasamos el resultado de la forma simbólica a
% una forma más reducida y simplificada.
ans =
60.3186
% El volumen del sólido de revolución obtenido por el método de arandelas es V=60.3186 u3.
% Comparando los volúmenes obtenidos por ambos métodos podemos ver que ambos son
iguales.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
16
Gráfica en Matlab
Gráficas hechas en Mechanical Desktop
:
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
17
Actividad.
1) Calcule el área de la región limitada por las dos curvas
xxxy 86 23 e xxy 42 .
2) Hallar el volumen del sólido formado al hacer girar la región limitada por las graficas
de xy e 2xy alrededor del eje x.
3) Calcular la distancia recorrida por un proyectil que sigue una trayectoria dada por 2005.0 xxy . Considere al eje x como el nivel del piso, x e y se miden en metros.
Nota: El problema no consiste en calcular la distancia a la que el proyectil cae.
4) La longitud de una barra es de 13 m y la densidad lineal de la barra en un punto que
esta a x metros de un extremo es )62( x kg/m. Calcule la masa total y el centro de
masa de la barra.
5) Determine el centroide de la región limitada por las fronteras:
42 xy e 22 xxy
6) Un cable de 200 ft de longitud pesa 4 lb/ft y pende verticalmente en un pozo. Si se
suspende un cuerpo cuyo peso es de 100 lb del extremo inferior del cable, determine el
trabajo efectuado al subir el cable y el cuerpo hasta la parte superior del pozo
Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se
admitirán trabajos sin comentarios u observaciones.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
18
PRÁCTICA 3
Instrucciones Generales
OBJETIVO: Aprender a calcular límites e integrales impropias con limites al infinito y/o
formas indeterminadas del tipo 0/0 ó / , usando la computadora como una herramienta a
través del uso del paquete Matlab
.
En esta práctica se mostrara como realizar algunas operaciones que involucran formas
indeterminadas.
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después
de cada línea. Observe que pasa.
a)
0
0
1
32lim
2
1 x
xx
x
>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria. >>syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.
>>num=2*x^2-x-3; % Separamos al numerador
>>den=x+1; % y al denominador.
>>subs(num,-1) % Evaluamos el numerador en el punto a analizar.
ans =
0
>>subs(x+1,-1) % Evaluamos el denominador en el punto a analizar.
ans = % se observa que se tiene una división de 0/0 por
0 % tanto podemos aplicar la Regla de L‟Hôpital.
>>dnum=diff(num)
dnum = % Derivamos el numerador, el cual ahora es diferente
4*x-1 % de 0 al evaluarlo en -1.
>>dden=diff(den)
dden = % Derivamos el denominador, el cual siempre será
1 % diferente de 0 inclusive en x = -1.
>>limit(dnum/dden,-1) % Calculamos el límite de las derivadas en -1.
ans =
-5
>>limit(num/den,-1) % Calculamos el límite de la fracción original en -1.
ans =
-5 % Observe que se obtiene el mismo resultado. Lo cual
nos indica que pudimos haber calculado el límite sin necesidad de revisar si tenía una
indeterminación o no.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
19
b) xx e
xx5
3 2lim
>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria. >>syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.
>>limit((x^3-2*x)/(exp(5*x)),x,inf) % Calculamos el limite indicando que la variable x
% tiende a infinito por medio de su representación
ans = % simbólica inf.
0 % Conforme x crece sin límite, la función tiende a
% cero como lo indica el resultado.
c)
b
eeb xx
dx
xx
dx22 )(ln
lim)(ln
>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria. >>syms x b % Declaramos las variables x y b como simbólicas.
>>F=1/(x*(log(x))^2); % Declaramos la función con la que se va a trabajar.
>> Fi=int(F,x,exp(1),b) % Integramos la función desde e hasta b.
Fi =
-(-log(3060513257434037)+50*log(2)+log(b))/log(b)/(-log(3060513257434037)+50*log(2))
>> limit(Fi,b,inf) % Calculamos el limite cuando b tiende a infinito.
ans =
-1/(-log(3060513257434037)+50*log(2)) % Obteniendo este resultado.
>> -1/(-log(3060513257434037)+50*log(2)) % Copiamos la solución en la siguiente
% línea de comando para simplificar
ans = % el resultado.
1
>> int(F,x,exp(1),inf) % Realizamos la integral desde e hasta infinito para
% comprobar el resultado obtenido.
ans =
-1/(-log(3060513257434037)+50*log(2))
>> -1/(-log(3060513257434037)+50*log(2))
ans = % Observe que Matlab
no muestra problemas en definir
% los limites como infinitos. Además, como se observa el
1 % resultado que se obtiene es el mismo.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
20
d) Calcular la siguiente integral 2 2
2 211
lim1 1a
a
dx dx
x x x x
La integral anterior es una integral impropia ya que el integrando tienen una discontinuidad
infinita en el punto 1x , el cual pertenece al intervalo de integración.
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x a % Declaramos las variables x y a como simbólicas.
>> F=1/(x*sqrt(x^2-1)); % Declaramos la función con la que se va a trabajar e
>> Fi=int(F,a,2) % integramos la función desde „a‟ hasta 2.
Fi =
-1/6*pi+atan(1/(a^2-1)^(1/2))
>> Fa=limit(Fi,a,1,'right') % Se calcula el limite cuando „a‟ tiende a 1 por la
% derecha, ya que la integral tiene la discontinuidad en
Fa = % el límite inferior.
1/3*pi % Obteniéndose este resultado.
>> Fd=int(F,1,2) % Calculamos la integral impropia de forma directa. Como
% se observa el resultado que se obtiene es el mismo que
Fd = % el obtenido por medio de límites.
1/3*pi
% Es importante saber porque lado se debe de calcular el límite (derecha o izquierda), ya que si
se calcula del lado equivocado, se obtendrá un resultado equivocado. A continuación se
muestra el resultado que se obtendría, si en lugar de calcular el límite por la derecha lo
calculamos por la izquierda
>> Fa=limit(Fi,a,1,'left')
Fa =
-2/3*pi
% Aunque cuando Matlab
resuelva todo tipo de integrales incluyendo las impropias, se debe
de saber qué clase de problema se está resolviendo para saber qué resultado esperar.
e) Calcular la siguiente integral
2 2 211
2 2 2lim lim
1 1 1
c b
baa c
dx dx dx
x x x x x x
Esta es una integral doblemente impropia, ya que por un lado el límite de integración inferior
tiene una discontinuidad infinita en el punto 1x , y en el límite de integración superior se tiene
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
21
un límite infinito. Para calcular esta integral se separa en dos partes como se muestra arriba, en
donde 1,c .
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x a b c % Declaramos las variables x,a,b,c como simbólicas.
>> F=2/(x*sqrt(x^2-1)); % Declaramos la función con la que se va a trabajar.
>> S1=int(F,x,a,c) % Calculamos la primera integral desde „a‟ hasta „c‟.
S1 =
-2*atan(1/(c^2-1)^(1/2))+2*atan(1/(a^2-1)^(1/2))
>> S2=int(F,x,c,b) % Calculamos la segunda integral desde „c‟ hasta „b‟.
S2 =
-2*atan(1/(b^2-1)^(1/2))+2*atan(1/(c^2-1)^(1/2))
>> S=limit(S1,a,1,'right')+limit(S2,b,inf) % Una vez calculadas las dos integrales en
% forma simbólica, se procede a calcular la
S = % suma de los limites de las integrales en x=1 por la
pi % derecha y en infinito, obteniéndose este resultado.
>> Sd=int(F,x,1,inf) % Calculamos la integral impropia de forma directa.
% Al igual que en los ejemplos anteriores el resultado
Sd = % obtenido por ambos métodos es el mismo.
pi
% Este problema se resolvió de manera simbólica, sin embargo se pudo haber sustituido a la
variable c por un valor numérico entre 1 e infinito, sin que el resultado variara. Para un valor de
c=6 por ejemplo, el resultado que se obtendría sería:
>> S1=int(F,x,a,6)
S1 =
-2*atan(1/35*35^(1/2))+2*atan(1/(a^2-1)^(1/2))
>> S2=int(F,x,6,b)
S2 =
-2*atan(1/(b^2-1)^(1/2))+2*atan(1/35*35^(1/2))
>> S=limit(S1,a,1,'right')+limit(S2,b,inf)
S =
pi
% El resultado de la integral no cambia debido a que no depende del punto intermedio que se
utiliza para evaluar la integral, sino que depende únicamente de los límites de integración.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
22
Actividad.
Calcule el límite indicado y compruebe gráficamente el límite. Elija un intervalo adecuado en el
cual se pueda ver claramente el comportamiento de la función alrededor del punto a analizar.
1) 12
23lim
2
x
x
x 2)
1x
x3
1x
x2 lim
x
3) 12
2 16lim
xx e
xx 4)
x
x
x 4
lnlim
5)
30
1lim
x
xe x
x
6) x
x
x
24lim
2
0
7) 3
9lim
2
3
x
x
x 8)
20
11lim
xxx
En los siguientes ejercicios calcule las integrales de dos formas, haciendo uso de límites y de
forma directa.
9) dxe x 4 7/
10)
dx
xx
1
1
1
11) dxe x
0
2
12) dxxe x
0
2
13)
2
20 2
dx
x x 14)
2
01
xdx
x
15) 2
2 4
dx
x
16)
23 9
dx
x x
17) Usando Matlab
compruebe las siguientes igualdades.
x
xxe
/1
01lim
ó
x
x xe
11lim
Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se
admitirán trabajos sin comentarios u observaciones.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
23
PRÁCTICA 4
Instrucciones Generales
OBJETIVO: El alumno aprenderá a graficar y resolver funciones de una variable mediante
series de Taylor. Además, aprenderá a controlar la precisión de los resultados, auxiliándose de
cálculo simbólico a través de la herramienta Matlab
.
En esta práctica se encontrara el polinomio de Taylor alrededor de los puntos: a=0 (serie de
McClaurin), y a=5 de la siguiente función. Se mostrara la diferencia que hay entre la función
original y el polinomio de Taylor, evaluando en dos puntos cualesquiera, así como haciendo la
comparación de sus graficas. xexf )(
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después
de cada línea. Observe que pasa.
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>>syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.
>> f=exp(x); % Definimos la función.
>> vpa(subs(f,0),10) % Evaluamos la función f en el punto x=0, usando el
% comando subs(…) y ajustamos la precisión a 10
ans = % cifras usando el comando vpa(…), para después
1. % comparar el valor de la función con la aproximación
% en series de Taylor
>> vpa(subs(f,5),10)
% Evaluamos también en el punto x=5.
ans =
148.4131591
>> g=taylor(f,7) % Se calcula el polinomio de Taylor de grado menor a 7
% correspondiente a la función f alrededor de a=0.
g =
1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6
>> ezplot(f) % Graficamos la función original junto con su represen-
>> hold on % tación en series de Taylor para compararlas.
>> ezplot(g) % Observe como el polinomio se aproxima muy bien a
>> grid on % la función cerca de x=0 pero no fuera de este.
>> vpa(subs(g,0),10) % Se evalúa el polinomio en x=0 para saber cuánta es la
% variación entre ambas. Como se observa, el punto en
ans = % x=0 es prácticamente el mismo que el de la función.
1.
>> vpa(subs(g,5),10) % Sin embargo, cuando evaluamos en un punto alejado
% de x=0 como por ejemplo x=5, la variación entre las
ans = % funciones es más evidente llegando a ser de más 35
113.1180556 % unidades.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
24
>> g=taylor(f,7,5) % Se calcula el polinomio de Taylor de grado menor a 7
% correspondiente a la función f alrededor de a=5.
g =
exp(5)+exp(5)*(x-5)+1/2*exp(5)*(x-5)^2+1/6*exp(5)*(x-5)^3+1/24*exp(5)*(x-
5)^4+1/120*exp(5)*(x-5)^5+1/720*exp(5)*(x-5)^6
>> ezplot(f) % Graficamos ambas funciones en el mismo rectángulo
>> hold on % de inspección, para comparar la grafica de la nueva
>> ezplot(g) % aproximación con la función original.
>> grid on
>> vpa(subs(g,0),10) % Se evalúa nuevamente en x=0 pero con la nueva aproxi-
% mación, obteniéndose una diferencia con la función
ans = % original de más de 1390 unidades.
1390.342720
>> vpa(subs(g,5),10) % Sin embargo, si ahora evaluamos el polinomio en el
% punto x=5, vemos que esta vez el polinomio coincide
ans = % con la función original.
148.4131591
Gráficas en Matlab
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
400
x
Polinomio de Taylor alrededor de a = 0
y
f
g
-1 0 1 2 3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
400
x
Polinomio de Taylor alrededor de a = 5
y
f
g
Figura 1. Figura 2.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
25
Actividad.
Evaluar con una exactitud de cinco cifras decimales las integrales definidas
1. 2/1
0
2 dxxArcTan 2.
2/1
0
3
dxe x 3. dxxsenx
1
0
4. Obtenga el polinomio de Taylor para la función 2xexf en a = 0.5 con 5 términos,
compare las graficas de f y su aproximación por series de Taylor.
5. Obtenga una representación en serie de potencias para la función Senxxf alrededor de
los siguientes números 0a , 6
a ,
2
a ,
4
3a . Grafique la función junto con cada
una de las aproximaciones.
6. Determine los 3 y 6 primeros términos diferentes de cero de la serie de Maclaurin para la
función xsen2. Compare ambas aproximaciones con la función original.
7. Determine el polinomio de Taylor de grado 4 para la función Cosxxf ln , alrededor del
punto 3
a . Compare con la función original.
Use para la arcotangente el comando, “atan(...)”, para la función exponencial use el comando
“exp(...)”, para ajustar la precisión de las variables use el comando “vpa(...)” y para evaluar
una función en un punto o valor use el comando “subs(...)”. También puede consultar la ayuda
(del programa) para ver la lista de comandos completa o los más típicos que usará en
cálculo, por ejemplo al escribir en el prompt de Matlab “help subs”, desplegara un texto
de ayuda en la pantalla respecto al comando subs.
Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se
admitirán trabajos sin comentarios u observaciones.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
26
PRÁCTICA 5
Instrucciones Generales
OBJETIVO: El alumno aprenderá a obtener y graficar los términos de las series y sucesiones,
así como a comprobar la convergencia de estas, usando la computadora como una herramienta,
a través del uso del paquete Matlab.
En esta práctica comenzaremos analizando la sucesión 1
2 1n
na
n
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después de
cada línea. Observe que pasa.
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms n % Declaramos a la variable n como simbólica.
>> for i=1:10; a(i)=(i+1)/(2*i-1); end % Se calculan los primeros 10 términos de la
% sucesión, los cuales se calculan y almacenan
% en el arreglo a[], por medio de un ciclo for.
>> a % Escribimos en el Prompt el nombre del arreglo,
a = % para visualizar los elementos de este.
Columns 1 through 7
2.0000 1.0000 0.8000 0.7143 0.6667 0.6364 0.6154
Columns 8 through 10
0.6000 0.5882 0.5789
>> sym(a) % Para ver los elementos anteriores de una forma
ans = % simbólica, se usa el comando sym(…).
[ 2, 1, 4/5, 5/7, 2/3, 7/11, 8/13, 3/5, 10/17, 11/19]
>> limit((n+1)/(2*n-1),inf) % Calculamos el límite de la sucesión en el infinito
ans = % para analizar si converge o diverge. En este caso
1/2 % como el limite existe, la sucesión es convergente.
>> plot(a) % Si se desea graficar los puntos de la sucesión o
>> grid on % cualquier conjunto de puntos, se usa el comando
>> axis([0 11 0 2.1]) % plot(…), en lugar del comando ezplot(…).
% En algunas ocasiones, es necesario dividir una ventana para graficar varias funciones a la
vez, cada una en su propio rectángulo de inspección, para hacer esto en Matlab
se usa el
comando subplot(…). A continuación se muestran 4 ejemplos de algunas variantes que se
pueden hacer con el comando plot(…), todas ellas dentro de una misma ventana.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
27
>> subplot(2,2,1) % Dividimos la ventana en 4 partes y graficamos
>> plot(a) % los puntos antes calculados en la primera parte.
>> grid on
>> axis([0 11 0 2.1])
>> subplot(2,2,2) % En la segunda parte se grafica los puntos sin
>> plot(a,'*r') % unirlos, marcándolos con un asterisco rojo.
>> grid on
>> axis([0 11 0 2.1])
>> subplot(2,2,3) % En la tercera parte se grafica los puntos unidos
>> plot(a,'--go') % por línea punteada en color rojo, con cada uno
>> grid on % de los puntos marcados por un circulo.
>> axis([0 11 0 2.1])
>> subplot(2,2,4) % En la cuarta parte se grafica los puntos unidos
>> plot(a,'-.mhexagram') % por otro tipo de línea punteada en color guinda,
>> grid on % con los puntos marcados con una estrella.
>> axis([0 11 0 2.1])
Gráfica en Matlab
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
Uso de los Comandos Plot y Subplot
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
28
A continuación se mostrara como se realizan las sumas simbólicas (Notación Sigma) en
Matlab
. Después se analizara la serie infinita 1
2n n
s
, determinando si esta converge o
diverge, se calcularan algunas de las sumas parciales y finalmente se graficaran.
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms n k % Iniciamos asignando las variables n, k como simbólicas.
>> symsum((1/2)^n,n,1,4) % Para realizar sumatorias en Matlab
se usa el comando
% symsum(…) el cual tiene como entrada la función en la
ans = % que se evaluara, así como los puntos de inicio y fin. En
15/16 % este caso se sumara desde el termino 1 al 4 en 1 2n
>> symsum((1/2)^n,n,1,k) % Si se calcula la suma hasta un valor arbitrario k, lo que
% se obtiene es una fórmula para las sumas parciales de la
ans = % serie correspondiente a esta función si es que existe.
-2*(1/2)^(k+1)+1
>> simplify(ans) % Simplificamos aun más el resultado anterior.
ans =
-2^(-k)+1
>> symsum((1/2)^n,n,1,Inf) % Para comprobar si la serie converge, lo que se hace es
% calcular la suma desde el primer elemento hasta infinito
ans = % Si la suma existe, la serie converge, si la suma crece
1 % indefinidamente, la serie diverge. En este caso la serie
% infinita converge y su suma llega a 1.
>> for i=1:15; s(i)=symsum(1/(2^n),n,1,i); end % En la variable s se almacenan las 15
% primeras sumas parciales obtenidas por
>> s % medio del ciclo for, para la serie con la
% que se está trabajando.
s =
[ 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, 127/128, 255/256,
511/512, 1023/1024, 2047/2048, 4095/4096, 8191/8192, 16383/16384, 32767/32768]
>> plot(double(s),'-diamondb') % Si se desea graficar los 15 puntos de la serie es
>> grid on % necesario convertir el tipo de variable, pasando
>> axis([0 16 0.4 1.05]) % del tipo sym a double, todo el arreglo.
Del análisis hecho se puede concluir que esta serie es monótona creciente, y se encuentra
acotada por arriba. La suma de esta serie infinita es convergente y converge a 1.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
29
Gráficas en Matlab
La siguiente figura muestra la grafica de los puntos obtenidos de la sucesión. Como se puede
apreciar cada uno de los puntos están marcados en rojo, las líneas que los unen vienen por
default en el comando plot(…), aunque solo sirven para visualizar de una mejor forma la
tendencia que van siguiendo los términos de la sucesión.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Grafica de los Puntos de la Sucesión
Empleando nuevamente el comando plot(…) se grafican los términos pero ahora de la serie,
aun cuando solo se graficaron 15 términos de la serie, se puede observar la tendencia que lleva
la serie hacia el valor de 1.
0 2 4 6 8 10 12 14 160.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Grafica de la Serie sn=(1/2)n
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
30
Determine el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias.
21
2n n
n
x
n
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms x n % Iniciamos asignando las variables x, n como simbólicas.
>> F=2^n*x^n/n^2; % Declaramos la formula de la serie.
% Aplicando el criterio de la razón, se tiene que calcular
1lim n
nn
u
u
>> r=subs(F,n,n+1)/F % Calculamos primeramente la razón entre un+1 y un .
r =
2^(1+n)*x^(1+n)/(1+n)^2/(2^n)/(x^n)*n^2
>> [r,how]=simple(r) % Simplificamos el resultado anterior, con el comando
r = % simple(…) el cual definiéndolo de esta manera,
2*x/(1+n)^2*n^2 % despliega la solución más simple y el método usado
% para hacer esta simplificación.
how =
expand
>> pretty(r) % Mostramos el resultado obtenido de una forma mas
2 % fácil de visualizar por medio del comando pretty(…).
x n
2 --------
2
(1 + n)
>> L=limit(r,n,inf) % Calculamos el limite conforme n tiende a ∞ para la
% razón obtenida anteriormente.
L = % Obteniéndose este resultado.
2*x
% La serie dada será absolutamente convergente cuando 2 1x . Como Matlab
no cuenta
con un comando o función para resolver desigualdades, entonces lo que se puede hacer es
resolver la igualdad en lugar de resolver la desigualdad.
2 1x ó 2 1 0x
>> E=solve(abs(L)-1)
E =
[ 1/2]
[ -1/2]
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
31
% Los dos valores obtenidos determinan el intervalo de convergencia 1 12 2, , el cual es un
intervalo abierto, ya que lo que se está resolviendo es una desigualdad estricta. Dado que no se
tiene información respecto a la convergencia de la serie de potencias en los puntos terminales
del intervalo de convergencia, habrá que analizar estos dos puntos de forma separada para ver
si en cada uno de ellos la serie converge o diverge.
>> F1=subs(F,x,-1/2) % Sustituyendo el valor del extremo inferior 12
x ,
% la serie se convierte en esto.
F1 =
2^n*(-1/2)^n/n^2
>> F1=simplify(F1) % Simplificando el resultado anterior, se puede
% observar que para 12
x , lo que se tiene es
F1 = % una serie alternante.
(-1)^n/n^2
>> limit(F1,n,inf) % Para saber si la serie alternante es convergente, se
% calcula el limite cuando n tiende a ∞, para ver que
ans = % pasa con el n-esimo termino. Como en el límite este
0 % se va a cero, la serie alternante es convergente. Lo
% que nos indica que el extremo inferior pertenece al
>> symsum((-1)^n/n^2,n,1,inf) % intervalo de convergencia. Otra forma de ver que
% esta serie alternante es convergente, es calculando
ans = % la suma desde el primer elemento hasta el infinito,
-1/12*pi^2 % obteniéndose un valor finito, indicándonos que la
% serie alternante converge.
>> F2=subs(F,x,1/2) % A continuación se sustituye el extremo superior
% 12
x , convirtiéndose la serie en esto.
F2 =
2^n*(1/2)^n/n^2
>> F2=simplify(F2) % Simplificando el resultado anterior, se puede
% observar que para 12
x , lo que se tiene es
F2 = % una serie p, con p=2. Por lo tanto, como p>1 la
1/n^2 % serie es convergente.
>> symsum(1/n^2,n,1,inf) % Otra forma de ver que esta serie p es convergente
% es calculando la suma desde el primer elemento
ans = % hasta el infinito, obteniéndose un valor finito, lo
1/6*pi^2 % cual nos indica que la serie p converge.
% Una vez analizados los extremos del intervalo de convergencia, vemos que en ambos casos
la serie de potencias converge. Por lo cual estos dos valores pueden ser incluidos dentro del
intervalo.
% En consecuencia, el intervalo de convergencia de la serie de potencia analizada es 1 12 2, .
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
32
Actividad.
Para las siguientes sucesiones determine los primeros 20 términos. Indique si la sucesión es
convergente o divergente, si converge diga a que valor lo hace. Finalmente, grafique los puntos
obtenidos.
1.- ln
n
na
n
2.- 2
1
1na
n n
3.-
1 7
2 5n
na
n
4.- Demuestre que las sucesiones
2
3
n
n
y
2
4
n
n
son divergentes, pero que la
sucesión 2 2
3 4
n n
n n
es convergente.
5.- Considere la sucesión, donde a, b son constantes y b0. Determine si la sucesión es
convergente o divergente. Si la sucesión es convergente calcule su límite.
1
1
1
1
a
n
n b
n
a
Para las siguientes series determine los primeros 12 términos y grafíquelos. Determine si la
serie infinita converge o diverge, si converge diga a que valor lo hace. Además, si existe
determine una fórmula para encontrar la suma parcial hasta el k-esimo término.
6.- 5
1
n
n
e
7.-
1
31
11
2
n
n n
8.- 1
1
n
Senn
9.- 21
31
nn
n n
10.- Determine el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias.
1
3
2
n
nn
x
11.- Se deja caer una pelota desde una altura de 12 pies, y cada vez que toca el suelo rebota
hasta una altura de tres cuartos de la distancia desde la cual cae.
a) Determine la distancia total recorrida por la pelota antes de que alcance el estado de
reposo.
b) Si la pelota tarda en caer 4h segundos si se deja caer desde una altura de h pies.
Determine cuanto tiempo empleara la pelota para dejar de rebotar.
Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se
admitirán trabajos sin comentarios u observaciones.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
33
PRÁCTICA 6
Instrucciones Generales
OBJETIVO: El alumno aprenderá a cambiar de coordenadas cartesianas a polares y de polares
a cartesianas. Además, aprenderá a graficar funciones polares, así como a calcular el área de
regiones definidas por curvas polares usando la computadora como una herramienta a través del
uso del paquete Matlab.
En esta práctica comenzaremos convirtiendo el punto (x,y) = (3,-4) de coordenadas cartesianas
a polares, y el punto (r,) = (4, 3/ ) de polares a cartesianas.
Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después de
cada línea. Observe que pasa.
>> syms r a x y % Iniciamos asignando las variables x,y,r,a como simbólicas.
>> [a,r]=cart2pol(3,-4) % La conversión de coordenadas cartesianas a polares se hace
a = % usando el comando cart2pol(…), que tiene como entrada
-0.9273 % las coordenadas del punto en el plano cartesiano y regresa
% las coordenadas del mismo punto pero en el plano polar.
r = % El primero de estos valores es el valor del ángulo polar y el
5 % segundo es el valor del radio vector.
>> [x,y]=pol2cart(pi/3,4) % La conversión de coordenadas polares a cartesianas se hace
x = % usando el comando pol2cart(…), que tiene como entrada
2.0000 % las coordenadas del punto en el plano polar y regresa las
% coordenadas del mismo punto pero en el plano cartesiano.
y = % El primero de estos valores es el valor de la abscisa y el
3.4641 % segundo es el valor de la ordenada.
Pasar la siguiente ecuación rectangular a su forma polar, 422 yx
>> syms r a x y % Iniciamos asignando las variables x,y,r,a como simbólicas.
% Para realizar la conversión de la forma rectangular a la forma polar se sustituirá rCosax e
rSenay en la ecuación, usando el comando subs(…).
>> subs(x^2-y^2-4,{x,y},{r*cos(a),r*sin(a)})
ans =
r^2*cos(a)^2-r^2*sin(a)^2-4
>> simple(ans) % Se simplifica la ecuación con el comando simple(…).
ans =
r^2*cos(2*a)-4 % Por tanto, la forma polar de esta ecuación sería:
2 2 4 0r Cos ó 2 2 4r Cos
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
34
Pasar la siguiente ecuación polar a su forma rectangular, 4 rCosar
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms r a x y % Iniciamos asignando las variables x,y,r,a como simbólicas.
% Para realizar la conversión de la forma polar a la forma rectangular se sustituirá 22 yxr y )/( xyArcTana en la ecuación, usando el comando subs(…).
>> subs(r-r*Cos(a)-4,{r,a},{sqrt(x^2+y^2),atan(y/x)})
ans =
(x^2+y^2)^(1/2)-(x^2+y^2)^(1/2)/(1+y^2/x^2)^(1/2)-4
>> simple(ans) % Se simplifica la ecuación con el comando simple(…).
ans =
(x^2+y^2)^(1/2)-x-4
>>x=solve(ans,x) % Resolviendo para x, se obtiene la forma rectangular.
x =
1/8*y^2-2 % Por tanto, la forma rectangular de esta ecuación sería:
212
8x y ó 2 8 2y x
Obtenga el área de la región dentro de la primera ecuación y fuera de la grafica de la segunda
ecuación, 3r y Cosr 13
>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.
>> syms r a % Iniciamos asignando las variables r,a como simbólicas.
>> ezpolar(3-3*Cos(a)) % Graficamos ambas funciones en un mismo circulo de
>> hold on % inspección, para identificar el área a calcular. En este
>> ezpolar('3') % caso se usa el comando ezpolar(…).
>> solve(3-(3-3*cos(a))) % A continuación se buscan los puntos de intersección,
% encontrándose un solo punto. Sin embargo, se puede
ans = % usar el hecho de que ambas funciones son simétricas
1/2*pi % respecto al eje polar, como se observa en la figura.
% Para calcular el área buscada se usa la formula
dgfA22
2
1
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
35
>> A=1/2*int(3^2-(3-3*cos(a))^2,-1/2*pi,1/2*pi)
A =
-9/4*pi+18
>> double(A)
ans =
10.9314
% Simplificando el resultado se obtiene el área A=10.9314 u2.
Gráfica en Matlab
Actividad.
Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional
Lab. de Matemáticas
36
Convertir los siguientes puntos a coordenadas polares.
1.- 2,3 2.- 0,4 3.- 3,5 4.- 5,3
Convertir los siguientes puntos a coordenadas rectangulares.
5.-
4,3
6.- º270 ,1 7.-
2,2
8- º30 ,4
Pasar las siguientes ecuaciones a su forma polar.
9.- 2xy 10.- 442 yx
Pasar las siguientes ecuaciones a su forma rectangular.
11.- Senr 4 12.- 04 32 rCosSen
Graficar las siguientes funciones polares.
13.- aCosr 23 14.- Senar 13 15.- aSenr 3252
16.- 5r 17.- Cosr 21 18.- Senr 46
19.- Obtenga el área de la región dentro de la primera ecuación y fuera de la grafica de la
segunda ecuación, Senr 2 y CosSenr
20.- Calcule el área de la región formada por la intersección de las siguientes curvas.
Cosr
r
23
2
Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se
admitirán trabajos sin comentarios u observaciones.
Top Related