Ing. Carmen Bazán A.
POSIBILIDADES Y PROBABILIDADES
� Conteo.- Es el estudio de lo que es posible donde se tiene 2 posibilidades:
� 1.- Donde se puede realizar un listado de todas las posibilidades.
� 2.- Donde no se puede hacer un listado de todas las posibilidades por se de gran magnitud y para calcular el número de posibilidades se utiliza la teoría combinatoria.
� Ej. Cual es la posibilidad de obtener un número entre 1 y 6 al lanzar un dado?
� Enumerando las posibilidades se tiene: 1,2,3,4,5,6�
TEOREMA DE MULTIPLICACION� Si una selección consta de dos pasos, de las cuales el
primero se puede efectuar de «m» maneras y para cada una de estas, la segunda se puede realizar de «n» maneras entonces la selección total o el total de posibilidades se puede hacer: � � �
� Ej. El lanzamiento de 2 dados cuantas opciones de pares de números pueden dar?
� El primer dado tiene 6 opciones m=6
� El segundo dado tiene 6 opciones n=6
� En total se tiene 6 � 6=36 posibilidades de pares de números
Definiciones� Experimento.- Es un proceso mediante el cual se obtiene
un resultado de una observación.
� Exp. Determinístico.- Donde se puede predecir el
resultado.
� Ej. La suma de dos números pares da como resultado un
número par.
� Exp. Aleatorio.- Donde no se puede predecir el resultado.
� Ej. La suma de 2 números enteros, puede dar como
resultado un número par como impar.
Definiciones
�Espacio Muestral (S).- Es el conjunto quecontiene a todos los resultados posibles deun experimento aleatorio o todo el conjuntode posibilidades.
�Evento (E).- O suceso, o es un subconjuntodel espacio muestral. También se consideraun éxito.
Probabilidad
� Si hay n posibilidades igualmente probables, de las
cuales una puede ocurrir «E» (éxito), ya que se
considera como favorable, entonces la probabilidad de
que ocurra dicho éxito de termina: P�E�
�
� Ej. La probabilidad de obtener un 2 en el lanzamiento
de un dado?
� E={2} es un elemento
� S={1,2,3,4,5,6} son 6 elementos
� Entonces: P�E� �
= 0.1666666
Axiomas de la teoría de probabilidades
1. La probabilidad sólo puede tomar valores entre 0 y 10 ≤ P(a) ≤ 1
2. La probabilidad de un suceso seguro es 1, es decir, 100%
3. La probabilidad de un suceso imposible debe ser 0
4. La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado.
P(A ∩ B) ≤ P(A) P(A ∩ B) ≤ P(B)
Axiomas de la teoría de probabilidades
5. La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado
P(A U B) >= P(A) P(A U B) >= P(B)
6. Si los sucesos son disjuntos debe ocurrir que:P(A U B) = P(A) + P(B) dado que (A ∩ B) = 0
7. La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer;
P ( A ) = 1 – P(A)
Sucesos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes.
Dos eventos A y B sonmutuamente excluyentes sino pueden presentarsesimultáneamente
A ∩ B = 0
A U B = A ó B = A + B
Dos eventos no sonmutuamente excluyentes,si la ocurrencia de uno noimposibilita la ocurrenciadel otro.
A ∩ B ≠ 0.
A U B = A + B - A ∩ B.
A B AB
Sucesos independientes y sucesos dependientes
Dos eventos A y B sonindependientes cuando laausencia o presencia de A esindependiente de la presencia oausencia de B.
A ∩ B = (A) (B).
Dos eventos son sucesosdependientes cuando laocurrencia o presencia deA es requisito para lapresencia u ocurrencia deB
A ∩ B = (A)/ (B/A) ; donde / significa dado
A B
A B
Para no olvidar..............
� La probabilidad de AUB se interpreta en el sentidode que por lo menos ocurre uno de dos eventos , en elcaso de que ocurra A pero no B, o si ocurre B pero noA; o que ocurran ambos.
� El evento A y el evento B son mutuamente excluyentesporque no tienen ningún evento en común, es decir,no tienen eventos en intersección.P (AUB) = P (A) + P (B).
La unión de dos o más eventos no excluyentes se obtienede la siguiente forma.P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A∩B).
Regla del producto de probabilidades
Sean dos eventos, la probabilidad del evento intersección se usa
para eventos independientes y dependientes será:
1.P (A∩B) = P(A) * P(B) eventos independientes
2.P (A∩B) = P(A)*P(A/B) eventos dependientes
Probabilidad CondicionalAquí hablamos de buscar la probabilidad de la ocurrencia de B acondición de que acontezca A, lo cual implica que A ya ocurrió odebe ocurrir forzosamente.
La probabilidad condicional de B en A se expresa:
P (B/A) = P (A∩B)
P(A)
esta indica que;
La probabilidad de B, a condición de A, es igual al número deeventos en intersección de A y B entre el número de eventos en A.
Otros conceptos
� Evento Compuesto => es aquel que está formado por dos o más eventos elementales.
� La probabilidad de un evento compuesto es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo componen ( eventos mutuamente excluyentes)
� Ejemplo: en el caso del lanzamiento de un dado, cae número impar o parA = ( 1,3,5) P (A) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2B = (2,4,6) P (B) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2
Que la realidad presenta sucesos compuestos, los que seforman uniéndolos, interceptándolos ycomplementándolos.
Dado los sucesos A y B, se tiene:
a) A ∩∩∩∩ B : sucede A y sucede B
P(A ∩∩∩∩ B ) = P(A) * P(B)
b) A U B: sucede A ó B
P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)
c) Ǎ = no sucede A, P(Ǎ) = 1 – P(A) ( complemento de A)
d) P(A ∩∩∩∩ B )= P(A/B)P(B) probabilidad condicional
� TECNICAS DE CONTEO
� Se utilizan para determinar el no. de elementos de un espacio muestral.
� PRINCIPIO DE LA ADICIÓN.- Si un suceso “a” puede ocurrir de n maneras y un suceso “b” de m maneras; el suceso a ó b puede ocurrir de (n+m) formas.
� PRINCIPIO DEL PRODUCTO.- Si un suceso “a” puede ocurrir de n formas y un suceso “b” de m formas; el suceso (a*b) puede ocurrir de (n*m) maneras diferentes.
� VARIACIONES.- Variaciones de n elementos tomados de r en r, son las distintas agrupaciones de m elementos que se pueden formar con los n elementos y que difieren unas de otras en algún elemento o en el orden.
� Variaciones sin Reposiciön:
�
)!/(,
rnn!V rn−=
� Variaciones con Reposiciön:
� PERMUTACIONES.- Las permutaciones de n elementos son las distintas formas en que se pueden ordenar dichos elementos.
�
nVRr
rn=
;
1*2*3).......2)(1( −−= nnnPn
!nP n=
� COMBINACIONES.-Combinaciones de n elementos tomados de r en r, es el no. de subconjuntos de tamaño r que se pueden formar con n elementos (los conjuntos no están ordenados)
)!(!!
rnr
n
r
nCn,r
−=
=
Regla de Bayes
� Proporciona un método para calcular la probabilidad a posteriori en base a probabilidades a priori y alguna otra información.
�
Ej: Una empresa manufacturera recibe embarques de partes de dos
proveedores distintos. Sea A1 el evento de que una parte provenga
del proveedor 1 y A2 el evento de que una parte provenga del
proveedor 2.
Actualmente 65% de las partes que compra la empresa provienen
del proveedor 1 y 35% del proveedor 2. En consecuencia asignamos
a priori: P(A1)=0.65 y P(A2)=0.35.
La calidad de las partes varían según su origen. Los datos históricos
sugieren que el desempeño en términos de calidad de los 2
proveedores son los siguientes:
Probabilidad
a priori
Información
nueva
Aplicación
del T. Bayes
Probabilidad
a posteriori
Si G representa el evento de que una parte es buena y B el evento de que una parte es
mala, la información da como resultado los siguientes valores de probabilidad
condicional:
P(G\A1)=0.98 P(B\A1)=0.02
P(G\A2)=0.95 P(B\A2)=0.05
% de piezas buenas % de piezas malas
Proveedor 1 98 2
Proveedor 2 95 5
Sustituyendo
Resultado� Al principio se tenía una probabilidad de 0.65 de que
una parte seleccionada al azar fuera del proveedor 1; sin embargo ante la información de que una parte es defectuosa, la probabilidad de que provenga del proveedor 1 baja a 0.4262.
� De hecho, si una parte es defectuosa hay más del 50% de probabilidad de que dicha parte sea del proveedor 2, es decir 0.5738.
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