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1.2.- El valor del dinero a
travs del tiempo
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El Concepto
Basado en recibir HOYen lugar deMAANA( alguna fecha futura)una suma fija de dinero.
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Frmula fundamental del valortiempo del dinero:
DondeVPes el valor en el tiempo = 0 (cero - presente)
VFes el valor en el tiempo = n (futuro)ies la tasa bajo la cual el dinero ser aumentado a travs
del tiempo.nes el nmero de periodos a calcular.
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1.2.1.- Inters Simple e inters
CompuestoPrestador. Propietario del dinero.
Prestatario. Quien pide el dinero.
Inters. Cuota cargada por el uso del dinero de otrapersona, checando el monto, el tiempo y la tasa de inters.
Tasa de inters. Porcentaje cobrado por el prstamo deuna cantidad en un perodo.
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Ejemplo de Inters.Se piden prestados $20,000.00 por apertura de
un negocio.
El banco acuerda prestar la cantidad siempre ycuando se paguen $920.00 mensuales durante
dos aos.
Cunto se cobra de inters?
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Ejemplo de Inters.Cantidad total -> ($920.00 )(24)
=$22,080.00
Prstamo original -> $20,000.00
Inters -> $22,080.00 - $20,000= $2,080.00
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Ejemplo de Tasa de Inters.
Se realiza un prstamo por $5,000.00.
Se pagarn en una sola suma dentro de un ao.
Qu tasa de inters anual corresponde a un pagonico de $5,425.00?
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Ejemplo de Tasa de Inters.Cantidad total de inters a pagar:
$425.00 = ($5,425.00 - $5,000.00)
Tasa de Inters:
(425.00/5,000.00)* 100% = 8.5% anual
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Inters simple.
Cantidad que resulta de multiplicar la cantidad dedinero prestada por la vida del prstamo y por la
tasa de inters.
Inters compuesto.
Capitalizacin peridica del Principal ms elinters.
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Ejemplo con Inters Simple.
Frmula: l = n i P
Dnde: l es Cantidad total de Inters Simple.n es Perodo del prstamo.
i es Tasa de Inters.P es Principal.
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Ejemplo con Inters Simple.Cuando ocurre un prstamo con inters simple no
se paga sino hasta el final del perodo.
Es entonces cuando se pagan el principal y elinters acumulado.
La cantidad puede expresarse as:F = P + l = P (1 + n i )
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Ejemplo con Inters Simple.Se piden $3,000.00 por concepto de inicio de
estudios a una persona fsica.
Persona fsica accede siempre que se pague uninters simple a una tasa del 5.5% anual.
Se considera que el prstamo puede sertotalmente pagado en dos aos.
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Ejemplo con Inters Compuesto.
Se depositan $1,000.00 en una cuenta de ahorrosque paga intereses a una tasa del 6% anualcapitalizado anualmente.
Si se deja acumular todo el dinero, Cunto dinerotendr despus de 12 aos?
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Ejemplo de Inters Compuesto.Frmula:F = P ( 1 + i )n
Sustitucin:F= 1,000 ( 1 + 0.06 )12 = $2,012.20
Comparacin con Inters Simple:F = P ( 1 + n i)F = 1,000 { ( 1 + ( 12 ) ( 0.06 ) } = $1,720.00
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1.2.2 Concepto de Equivalencia.Significa el hecho de tener un valor igual , y se
aplica a la comparacin de flujos de efectivo.
Uno de los factores principales : determinarcuando tienen lugar las transacciones.
El segundo factor lo constituyen las cantidadesespecficas.
Por ltimo debe considerarse la tasa de inters.
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Ejemplo de EquivalenciaSuponga usted que durante el verano trabaj
parcialmente. Recibiendo $1,000 al trmino.Usted desea ahorrarlos para el enganche de un aparato
electrnico de moda, pero un amigo le pide un prstamode $1,000, garantizando devolverle $1,060. Su razn esque dentro de un ao es lo que recibira usted sidepositara el dinero en una cuenta de ahorros con unatasa de inters anual efectiva del 6%.
(1,000 * 0.06 + 1,000) bien (1,000 * 1.06)
Entonces se trata de dos transacciones equivalentes.
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1.2.3. Factores de Pago nico.
sta relacin se debe a que dadas unas variablesen el tiempo (i) y un nmero de perodos (n),una persona recibe capital una sola vez.
Realizando un solo pago durante el perododeterminado.
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Significados de los smbolos a utilizar en las
frmulas financieras de pagos nicos
P :Valor presente de lo que se recibe en el momento cero.
F :Valor futuro de lo que se paga al final del perodo.
n : Nmero de perodos transcurridos de P a F tiemponecesario para realizar una transaccin. Puede nopresentarse continuamente segn se va evaluando lasituacin.
i : Tasa de inters reconocida por perodo, sea inversin ofinanciacin obtenida. El inters reconocido enrelaciones de pago nico es compuesto.
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1. Clculo del Valor Futuro dado un Valor Presente.
Es necesario conocer: P, i y n para deducir F.
A continuacin se representa el modogrfico para una
mejor comprensin del concepto:
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Se concluye que con el depsito hecho en el presente,
a medida que se va liquidando el inters, se originannuevos saldos, gracias al uso del inters compuestoen la frmula (capitalizacin de los intereses), lacual es:
Donde, la expresin matemtica (l + i)nes el factor dela cantidad compuesta de pago nico, el cual agregavalor a la cantidad P a lo largo del periodo.
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Adicionalmente, existe una expresin simblica que
representa este factor, el cual se denota (F/P; i%, n) ycuya lectura es:
Encontrar un valor futuro (F), dado un valor presente (P),a una tasa de inters (i) y a (n)perodos".
Bajo esta connotacin la frmula de valor futuro dado unvalor presente se puede escribir simblicamente as:
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2. Clculo del Valor Presente dado un Valor Futuro.
sta relacin es inversa a la anterior. Ahora esnecesario conocer F, i y n para deducir P.
Modogrfico:
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Su frmula es:
En donde, la expresin (1+i)nes el factor devalor presente de un pago nico.
El cual desagrega valor a la cantidad F a lo largodel periodo para hallar el valor presente.
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Ejemplo 2Suponga que al final del periodo 3 se deben pagar $1.200.
La persona sabe que la tasa de inters asignada fue del8% anual.
Cul es el monto a desembolsar por la entidad financieraen el momento para que la persona pueda pagar en elfuturo el valor conciliado?
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La expresin simblica que representa este factor es:
P = F (P/F , i %, n)
Su lectura es: Encontrar un valor presente (P), dado unvalor futuro (F), a una tasa de inters (i) y a (n)perodos.
Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante lafrmula se plantea de la siguiente manera:
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3. Clculo del Nmero de Periodos.Ahora conocemos P, i y F. Deduciremos n.
La frmula se extrae de la ecuacin:
F = P (l+i)n
En donde para despejar n se aplican logaritmos.
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Ejemplo 3
A Felipe Snchez le desembolsaron un prstamo de$52.000.000, el cual debe pagar a una tasa de inters del1.8% mensual y que al final del periodo debepagar $85.000.000.
Cul es el periodo de tiempo requerido para realizar latransaccin descrita?
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4. Clculo de la tasa de inters.Para hallar la tasa de inters bajo la cual se realiz
una transaccin, partiendo de la ecuacin:
F = P ( l + i )n
Usando una relacin matemtica.
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Ejemplo 4
Lina Hoyos pide unprstamo por$30,000,000 el cualpagar en 4 aos.
Al finalizar el perodopagar $42,000,000.
Cul es la tasa deinters ?
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1.2.4. Factor de Valor Presente y
Recuperacin de Capital.
Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme.
P/A = (A/P)-1 = l - (l+i)-n
i
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Ejemplo de Valor Presente
Se planea el retiro de un trabajador. Se hanestimado $10,000 cada ao, cantidad que seretirar de una cuenta de ahorros.
Cunto dinero deber tener el banco alprincipio de su retiro si le ofrece una tasa del
6% anual, capitalizado cada ao planeando unretiro de 12 aos?
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Ejemplo de Valor PresenteDatos:
A = $10,000
i = 6% anual,capitalizadoanualmente
n =12 aos
P = ?
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Factor de Recuperacin de Capital de
una Serie Uniforme.
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Ejemplo de Capital con una Serie Compuesta
Se planea el retiro de un trabajador y se hareunido $50,000 en su cuenta de ahorros quele ofrece un rendimiento del 6% anual,capitalizado cada ao.
Le pide su asesora para que le diga Qu
cantidad mxima podr retirar de manera fijaal final de cada ao durante 10 aos?
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Ejemplo de Capital con una Serie Compuesta
Datos:
P = $50,000
i = 6% anual,capitalizadoanualmente
n =10 aos
A = ?
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1.2.5. Factor de Fondo de amortizacin y
cantidad compuesta.
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