INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”
SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
“Estimación del ancho de banda para comunicaciones satelitales
utilizando la teoría de propagación en medios con dispersión”
TESIS
Que para obtener el grado de:
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
PRESENTAN:
Ing. Rabindranath Reséndiz Vázquez
Director de Tesis: Dr. Vladislav Kravchenko Cherkasski.
México D.F. 2004
iii
Índice
Relación de figuras y tablas
v
Resumen vii
Abstract viii
Objetivo y justificación
ix
Introducción
1
Capítulo 1 Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio 4
1.1 La ionósfera
4
1.2 Ionización
1.2.1 Actividad solar
1.2.1.1 Manchas solares
1.2.1.2 Flujos solares
1.2.1.3 Brillos solares
8
9
10
11
11
1.3 Densidad electrónica y frecuencia de colisiones en la ionósfera
12
1.4 Capas de la ionósfera
1.4.1 La capa D
1.4.2 La capa E
1.4.3 La capa F
15
15
16
17
1.5 Permitividad y conductividad de la ionósfera
18
1.6 Reflexión de las ondas de radio en la ionósfera
20
iv
Capítulo 2 Propagación de ondas en medios con dispersión
24
2.1 Velocidad de propagación de una onda electromagnética y el índice
de refracción
24
2.2 Índice de refracción en la ionósfera Medios con dispersión
26
2.3 Medios con dispersión 27
2.4 Propagación de ondas en medios con dispersión
2.4.1 Dispersión de primer orden
2.4.2 Dispersión de segundo orden
29
33
36
2.5 Relación entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase
39
2.6 Ondas en medios con absorción
40
Capítulo 3 Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y
análisis de resultados
43
3.1 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de fase 45
3.2 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de grupo
3.2.1 Procedimiento para el cálculo del ancho de banda
49
54
3.3 Presentación y comparación de resultados 57
Conclusiones
74
v
Bibliografía 75
Apéndice A Asignación de frecuencias para comunicaciones satelitales.
Apéndice B Programa para el cálculo del ancho de banda en el día para
Comunicaciones satelitales.
Apéndice C Programa para el cálculo del ancho de banda en la noche para
Comunicaciones satelitales.
78
82
87
Relación de figuras y tablas
Figura
Descripción Página
1.1 Capas de la ionósfera 5
1.2 Reflexión de ondas en la ionósfera 7
1.3 La ionósfera de noche y día 9
1.4 Concentración electrónica en la ionósfera 13
1.5 Frecuencia de colisiones en la ionósfera 13
1.6 Frecuencias por encima de 30 MHz ya no se reflejan 18
1.7 Refracción en la ionósfera y escape de la onda 21
3.1 Trayectoria de la señal hacia el satélite 44
3.2 Trayectoria de la señal y distancia en la ionósfera 48
3.3 Distancia recorrida por la señal en la ionósfera de acuerdo al
ángulo de elevación del satélite
55
3.4 Anchos de banda en el día para frecuencias de 10 a 200 GHz 65
3.5 Anchos de banda en el día para frecuencias de 45 a 55 GHz 66
3.6 Anchos de banda en el día para frecuencias de 55 a 60 GHz 67
3.7 Anchos de banda en el día para frecuencias de 60 a 65 GHz 68
vi
Figura Descripción Página
3.8 Anchos de banda en el día para frecuencias de 65 a 70 GHz 69
3.9 Anchos de banda en el día para frecuencias de 70 a 80 GHz 70
3.10 Anchos de banda en el día para frecuencias de 110 a 200 GHz 71
3.11 Anchos de banda en el día para frecuencias de 150 a 200 GHz 72
3.12 Anchos de banda en la noche para frecuencias de 10 a 200 GHz 73
Tabla
Descripción Página
3.1 Valores de N y ν de acuerdo con la altura 52
3.2 Frecuencias de la banda C, enlace de subida. Día. 58
3.3 Frecuencias de la banda C, enlace de bajada. Día. 58
3.4 Frecuencia de la banda X, enlace de bajada. Día. 58
3.5 Frecuencias de la banda Ku, enlace de subida. Día. 59
3.6 Frecuencias de la banda Ku, enlace de bajada. Día. 59
3.7 Frecuencias de la banda Ka, enlace de subida. Día. 60
3.8 Frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada. Día. 60
3.9 Frecuencia de la banda L, enlace de subida. Día. 61
3.10 Frecuencia de la banda L, enlace de bajada. Día. 61
3.11 Frecuencias de la banda C, enlace de subida. Noche. 61
3.12 Frecuencias de la banda C, enlace de bajada. Noche. 62
3.13 Frecuencia de la banda X, enlace de bajada. Noche. 62
3.14 Frecuencias de la banda Ku, enlace de subida. Noche. 62
3.15 Frecuencias de la banda Ku, enlace de bajada. Noche. 63
3.16 Frecuencias de la banda Ka, enlace de subida. Noche. 63
3.17 Frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada. Noche. 64
3.18 Frecuencia de la banda L, enlace de subida. Noche. 64
3.19 Frecuencia de la banda L, enlace de bajada. Noche. 64
A.1 Bandas de frecuencia para comunicaciones satelitales 71
vii
Resumen
En este trabajo hemos hecho una estimación más precisa del ancho de banda para
frecuencias utilizadas en comunicaciones satelitales, por medio de considerar la teoría de
propagación en medios con dispersión.
Al inicio, tenemos una introducción general sobre la ionósfera, en ésta, tienen lugar algunos
fenómenos físicos principalmente provocados por la actividad solar, de los cuales, la
ionización o separación de los electrones de las moléculas es de nuestro interés por los
efectos que tiene en la propagación de ondas electromagnéticas. Los principales factores
que intervienen en nuestro trabajo son la concentración electrónica y la frecuencia
promedio de colisiones, las cuales varían dependiendo de la altura.
A continuación, introducimos el concepto de velocidad de grupo, que describe la velocidad
del movimiento del grupo de ondas que componen a la señal de información. En los medios
con dispersión, como la ionósfera, el espectro de las señales sufre una deformación, debida
a que en tales medios, diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades. Para calcular
el ancho de banda máximo que se permite, debemos tomar en cuenta tal deformación.
Mediante considerar la velocidad de grupo promedio de la señal en la ionósfera, estimamos
el retardo de las componentes extremas de la señal y hacemos el cálculo del ancho de banda
con el que se tiene una diferencia de fase mucho menor que 2π, este es el ancho de banda
máximo permisible. También investigamos el cambio provocado en el ancho de banda por
el ángulo de elevación del satélite y la variación de los parámetros de la ionósfera durante
el día y la noche.
Este procedimiento para el cálculo del ancho de banda, con la teoría utilizada y los
parámetros considerados, permite obtener una estimación más precisa, la cual, en la parte
final del trabajo, comparamos con los resultados obtenidos mediante otros dos métodos.
viii
Abstract
In this work we have made a more precise estimation of the bandwith for frequencies used
in sattelite communications by means of taking in account the dispersive media propagation
theory.
First, we give a general introduction to the ionosphere, on which, some physical
phenomena take place, mainly caused by Sun´s activity, among these phenomena,
ionization or removal of the electrons from the molecules is of our concern because of its
effects on the propagation of electromagnetic waves. Two parameters mainly matter in our
work, the electronic concentration and the average collision frequency, which vary
depending on the altitude.
Next, we introduce the notion of the group velocity that describes the velocity of a wave
packet that constitutes the information signal. In dispersive media, the spectrum of the
signal suffers deformation, due to the fact that, in such media, different frecuencies travel at
different velocities. In the calculation of the maximum bandwith such deformation should
be taken in account.
Considering the average group velocity of the signal in the ionosphere, we estimate the
delay of the extreme components of the signal and calculate the maximum bandwith which
produces a phase difference much less than 2π. We also investigated the change on the
bandwith caused by the elevation angle of the sattelite and the variation of the ionosphere
parameters during the day and the night.
This procedure for the calculation of the bandwith, because of the theory and the
parameters considered, allows us to obtain a more precise estimate which in the final part of
the work we compare with the results obtained by the aid of other two methods.
ix
Objetivo Obtener una estimación más precisa del ancho de banda para comunicaciones satelitales,
utilizando la teoría de propagación de ondas electromagnéticas en medios con dispersión.
Justificación Uno de los principales factores a considerar para el establecimiento de un sistema de
comunicaciones satelitales es el cálculo del ancho de banda que se puede utilizar, dado que
el espectro de frecuencias es un recurso finito y tiene diferentes asignaciones ya
establecidas. Es importante administrarlo ya que este es un recurso estratégico, escaso e
imprescindible, dado que las compañías de telecomunicaciones cada vez ofrecen más
servicios, tanto fijos como móviles y requieren de ofrecerlos con la mejor calidad posible.
Además, cada vez se tiene menos espectro disponible y su costo ha ido creciendo, de aquí
que se tiene la necesidad de optimizar el ancho de banda y su utilización.
En líneas de comunicación cósmicas, normalmente se requiere un ancho de banda bastante
amplio, en la transmisión de información, uno de los factores que limita el ancho de banda
es el defasamiento de las componentes espectrales de la señal por la dispersión en la
ionósfera, es necesario estimar la deformación de la señal por este efecto, tomando en
cuenta las propiedades no homogéneas de la ionósfera.
Introducción
1
Introducción
Los satélites de comunicación hoy en día, forman una parte muy importante de las
redes de telecomunicaciones y también de la vida del ser humano, dados los servicios que
se pueden brindar, tales como acceso a Internet, videoconferencia, telefonía,
comunicaciones móviles, transmisión de televisión y aplicaciones como telemedicina,
educación a distancia, meteorología, etc.
A través de los sistemas de comunicaciones satelitales es posible transmitir información
desde un punto a otro que puede estar muy alejado geográficamente o tener acceso en áreas
donde la comunicación con otro tipo de medio sería muy complicada por las diversas
condiciones de propagación. Con un sistema satelital, es posible establecer comunicación
entre usuarios que pueden estar fijos o móviles, ya sea en tierra, mar o aire.
Un sistema de comunicación satelital, en principio consta de uno o más satélites en el
espacio, enlazando básicamente dos estaciones en la superficie de la Tierra, la transmisora
y la receptora. La señal de banda base producida por el usuario se procesa y se transmite
sobre una portadora de radiofrecuencia hacia el satélite. El satélite recibe la señal
transmitida a una cierta frecuencia (enlace de subida), la amplifica y la manda de regreso a
la Tierra a una frecuencia diferente (enlace de bajada).
La señal de información, por lo tanto, en su viaje hacia el satélite, pasa a través de las
diferentes capas de la atmósfera de la Tierra. A partir de la altura alrededor de 50 Km, se
encuentra la ionósfera, esta capa por sus características de ionización afecta de diferentes
maneras la propagación de ondas electromagnéticas. Frecuencias entre 3 y 30 MHz,
aproximadamente, se reflejan en la ionósfera haciendo posible la comunicación a grandes
distancias, frecuencias superiores ya no se reflejan y pueden escapar de la atmósfera
terrestre, estas frecuencias son las utilizadas para comunicaciones satelitales. Sin embargo,
al ser la ionósfera un medio dispersivo, el espectro de las señales sufre una deformación
debida a que en tales medios, diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades, es
decir, tienen diferentes tiempos de propagación.
Introducción
2
Para el cálculo del ancho de banda en comunicaciones satelitales, se utilizan algunas
fórmulas conocidas, como la fórmula de Carson [19], pero estas fórmulas no toman en
cuenta las propiedades no homogéneas de la ionósfera. También se emplea una fórmula
para el cálculo de ancho de banda obtenida a partir de calcular el retardo en tiempos de
propagación de las componentes extremas del espectro de la señal [8], pero en la obtención
de esta fórmula se toma en cuenta la velocidad de fase, no la velocidad de grupo.
En este trabajo se ha hecho una estimación del ancho de banda para comunicaciones
satélites, tomando en cuenta la teoría de propagación en medios con dispersión.
Las señales que transmiten información están compuestas de un grupo de ondas, entonces
es necesario introducir el concepto de velocidad de grupo. El trabajo que se ha hecho es
calcular el ancho de banda máximo permisible para una determinada frecuencia central por
medio de obtener el retardo de propagación en la ionósfera de las componentes extremas de
la señal, considerando la velocidad de grupo promedio.
Se han elaborado programas en lenguaje C para obtener los cálculos de ancho de banda
para cualquier frecuencia deseada y se comparan los resultados con los obtenidos mediante
dos fórmulas que se presentan en el Capítulo 3. También se ha estimado la variación del
ancho de banda de acuerdo al ángulo de elevación del satélite. Además, la ionósfera tiene
variaciones dependiendo de la hora del día, entonces hacemos una estimación
correspondiente al día y otra a la noche.
En el Capítulo 1, tenemos una presentación general de la ionósfera, los estratos que la
componen, las alturas aproximadas a las que se encuentran y las causas principales de
ionización. La ionósfera juega un papel importante en las comunicaciones de radio a gran
distancia, se aprovecha que algunas frecuencias se reflejan y regresan a la Tierra, en este
capítulo mencionamos las frecuencias aproximadas que se reflejan en las diferentes capas.
Dado que la ionósfera es un medio no homogéneo, introducimos los principales factores
que intervienen en nuestro cálculo, la densidad electrónica, frecuencia de colisiones de
Introducción
3
partículas pesadas, permitividad y conductividad de la ionósfera. En la última parte de este
capítulo, tenemos una consideración más detallada de la reflexión de ondas en la ionósfera.
En el Capítulo 2, establecemos la teoría de propagación en medios con dispersión a partir
de la cual se obtiene la velocidad de grupo, que vamos a utilizar para nuestro cálculo del
ancho de banda. Primero tenemos la velocidad de propagación de una onda monocromática,
la velocidad de fase, esta velocidad es utilizada en un método de cálculo del ancho de
banda contra el cual vamos a comparar nuestros resultados. Introducimos las dispersiones
de primer y segundo orden. En la última parte de este capítulo presentamos brevemente la
propagación de ondas en medios con absorción, donde tenemos la expresión para el número
de onda k que interviene en el cálculo de la velocidad de grupo .
En el capítulo 3, tenemos tres métodos para calcular el ancho de banda, el primero con una
fórmula establecida en [8], para el segundo método, se toma en cuenta la obtención de
dicha fórmula pero sustituyendo nuestro cálculo de la integral de la concentración
electrónica hecho con los valores que se tienen disponibles de N y ν. El tercer método es el
establecido en este trabajo en base a la teoría presentada en los capítulos anteriores. En la
parte final de este capítulo, tenemos la presentación de resultados y la comparación de los
anchos de banda obtenidos con los diferentes métodos.
En el apéndice A, se muestran las bandas de frecuencia utilizadas para comunicaciones
satelitales, de las cuales se van a tomar algunas para hacer los cálculos. Los programas para
el día y para la noche se anexan en los apéndices B y C.
De acuerdo con la teoría que se presenta, la estimación del ancho de banda que se hace en
el presente trabajo es más precisa, por lo que el método planteado puede consultarse para el
cálculo de ancho de banda en comunicaciones satelitales.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
4
EFECTOS DE LA IONÓSFERA EN LA
PROPAGACIÓN DE ONDAS DE RADIO
1.1 La ionósfera
A partir de la altura alrededor de 50-60 km, se manifiesta considerablemente la
ionización del medio atmosférico. Es la frontera inferior de la ionósfera, es un nombre
acumulativo aplicado a las partes de la atmósfera superior de la Tierra que contiene iones
libres en una cantidad adecuada para afectar la propagación de ondas electromagnéticas. El
grado de ionización se caracteriza por el número de electrones libres por unidad de
volumen, denotado por N. La magnitud N alcanza su máximo, dependiendo de una serie de
condiciones, en la altura desde 250 km hasta 400 km. La ionósfera debajo de este nivel se
llama interior y arriba exterior. La última incluso hasta la altura del orden del radio de la
esfera terrestre influye notablemente sobre la propagación de las ondas de radio.
La causa principal de la ionización de la atmósfera es la radiación ultravioleta y los rayos X
del Sol (en la banda de ondas menores de 0.1 mkm). Se sabe que solo una pequeña parte de
la energía de radiación del Sol ocupa este intervalo de espectro. La radiación con longitud
de onda más grande (con la menor energía de cuantos) no es capaz de producir el trabajo
requerido para la ionización.
El segundo factor de la ionización (según su importancia) son los flujos corpusculares,
también en mayor parte de origen solar. Conforme el flujo ionizante penetra en la
atmósfera, la densidad de energía del flujo que llega a la tierra decrece como resultado de la
absorción. Pero la densidad del gas al contrario decrece con el aumento de la distancia con
respecto a la tierra. Precisamente por eso, la cantidad de electrones libres por unidad de
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
5
volumen N como función de la altura tiene un máximo, en una cierta altura la ionización es
más intensa.
Debido a la variedad y complejidad de los procesos físicos en el espacio circunsterrestre, la
estructura real de la ionósfera no se agota con esta descripción muy simplificada. En la
ionósfera se distinguen tres importantes dominios, llamados estratos, D, E y F. El estrato F
a menudo se divide en dos partes F1 y F2. En la figura 1.1 tenemos una representación de
la ionósfera.
Figura 1.1 Capas de la ionósfera.
En el dia la ionización es mucho más alta, en la noche los estratos F1 y F2 no tienen una
frontera bien marcada y la frontera inferior de la ionósfera sube hasta la altura de 100 km,
el dominio D desaparece.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
6
Dependiendo de la actividad solar (ciclo de 11 años), estación del año y hora, la
distribución de la concentración electrónica varía.
El subestrato E1, según datos existentes, en las horas del dia se tiene durante todas las
estaciones del año sobre toda la esfera terrestre. El subestrato E2 se tiene solamente en
algunos lugares. Los llamados subestratos esporádicos Es consisten de formaciones de
pequeña longitud horizontal (unas decenas de kilómetros). En el dominio F a menudo se
puede distinguir precisamente los subestratos F1 y F2. En general el subestrato F2 es el más
irregular y está bajo la influencia del campo magnético de la tierra. Algunos investigadores
creen que es necesario distinguir el así llamado subestrato F11/2. Cabe mencionar también
que la ionósfera posee una “estructura fina” irregular que son variaciones locales
(condensaciones y rarefacciones) de la concentración electrónica de carácter casual.
Para la completa caracterización de la ionósfera los fenómenos irregulares de gran escala
son muy importantes. Con las tormentas magnéticas provocadas por la invasión a la
ionósfera de los flujos corpusculares como resultado de las explosiones en el Sol, cambia
considerablemente el régimen del dominio F. Por lo menos se puede hablar de una
disminución de la concentración electrónica y del aumento de la altura del máximo.
Las explosiones de otro tipo (cromosféricas) se caracterizan por la intensificación de la
radiación ultravioleta y de rayos X. Como resultado de la penetración profunda de esta
radiación sucede una subida brusca de la ionización del dominio D.
El estudio de la ionósfera está basado en el estudio de sus efectos en las ondas
electromagnéticas, las cuales pueden o no ser reflejadas por esta, dependiendo de la
frecuencia de radiación. Muchos experimentos hechos encontraron que a ciertas frecuencias
de transmisión, las ondas reflejadas en el dia eran muy débiles, inadecuadas para manejar el
ruido en el receptor; en la noche sin embargo, la intensidad de la onda reflejada se
incrementa a niveles aceptables para comunicaciones. A frecuencias más altas, entre
aproximadamente 5 y 30 MHz, incluso las señales en el dia alcanzan niveles que permiten
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
7
la comunicación sobre varios miles de kilómetros. En la figura 1.2 tenemos una
representación de la reflexión de ondas en la correspondiente capa de la ionósfera.
Las ondas de altas frecuencias y superiores pasan a través de la ionósfera y no son
utilizables para comunicaciones terrestres de larga distancia, se utilizan para
comunicaciones satelitales.
Figura 1.2 Reflexión de ondas en la ionósfera.
Generalmente las ondas espaciales son menos estables que las ondas de tierra y presentan
varios fenómenos que no se encuentran con las ondas de tierra. Son afectadas por el estado
de la ionósfera, el cual puede variar de estación a estación, dia a dia, incluso de hora en
hora. Son afectadas por fenómenos tales como manchas solares, tormentas magnéticas e
incluso por repentinas precipitaciones pluviales. Muchas de las variaciones sin embargo,
son más o menos regulares y el comportamiento de la ionósfera puede ser estimado con
buena exactitud. Observatorios ionosféricos operan en varias ubicaciones de la Tierra y
publican datos que pueden ser utilizados para seleccionar frecuencias apropiadas para
comunicaciones sobre la trayectoria requerida.
La propagación de señales de radio a grandes distancias está generalmente restringida a la
banda de HF (3-30 MHz), aunque propagación significativa puede tener lugar a otras
frecuencias en circunstancias inusuales.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
8
Las señales de HF son refractadas en regiones de ionización que existen en la atmósfera de
la Tierra. Estas regiones forman la ionósfera y consiste de capas de moléculas de gas
ionizadas y electrones libres. Este es el plasma electrón gas que puede refractar las ondas
electromagnéticas e impedir que escapen al espacio.
La frecuencia exacta de radio que puede ser refractada depende de la densidad electrónica
(que se incrementa con la altura desde la tierra ) y el ángulo de incidencia de las ondas en la
ionósfera.
1.2 Ionización
La ionización o la separación de un electrón de una molécula o átomo de gas atmosférico es
causada principalmente por fenómenos naturales, tales como la radiación ultravioleta del
Sol, rayos cósmicos, meteoros, radiación corpuscular o efectos causados por el hombre
como explosiones nucleares. Todos estos, deben alcanzar la atmósfera con una energía
adecuada para separar los electrones de los átomos o las moléculas. Los átomos sin los
electrones son iones y un medio ionizado es un plasma.
El estudio teórico de la ionización por rayos ultravioleta está basado en el trabajo de
Sydney Chapman en 1931, que simplificó el proceso por medio de asumir solo un tipo de
gas en una atmósfera planamente estratificada y a la misma temperatura y una radiación
monocromática de rayos solares paralelos.
En la realidad, el proceso de ionización es mucho más complicado, dado que las
suposiciones hechas nunca se satisfacen, sin embargo, es una buena aproximación. La Ley
de Chapman establece que la concentración electrónica N varía con la altura. En este
trabajo no se presenta el desarrollo de Chapman, para conocer esta ley, se pueden consultar
algunas referencias [14].
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
9
La cantidad de ionización (y por consiguiente la densidad electrónica en el plasma)
dependen del flujo de radiación proveniente del Sol. Este separa los electrones de las
moléculas de gas para crear el plasma y los iones. El nivel de radiación del Sol depende de
la hora del dia, estación del año y el ciclo solar de 11 años. Una buena estimación del nivel
de actividad solar puede ser obtenido por medio de contar el número de manchas solares
que se ven en la superficie del Sol.
Figura 1.3 La ionósfera de noche y dia.
La figura 1.3 muestra (en forma exagerada) cómo la altura de la ionósfera varía con la hora
del día. Durante el día, el flujo solar se incrementa cuando el Sol se puede ver y la densidad
electrónica en la ionósfera se incrementa. En la noche, cuando el flujo solar es bajo, la
energía de las ondas de radio es absorbida en menor cantidad.
1.2.1 Actividad solar
El Sol emite radiación electromagnética y partículas de energía. Algunas vienen de la
superficie del Sol y otras de su corona. Diferentes emisiones del Sol están a las longitudes
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
10
de onda que afectan la ionósfera, Ultravioleta (UV) y rayos X. Necesitamos conocer tres
fenómenos físicos para entender la radiación de la superficie del Sol, manchas solares,
flujos solares y brillos solares, estos fenómenos se describen brevemente en la siguiente
sección, para conocer más, consultar [15], [21].
Aproximadamente 50% de la radiación del Sol está en la forma de infrarrojo, 40% luz
visible y aproximadamente 10% ultravioleta, esta última es de interés porque UV afecta la
propagación de ondas de radio dado que ioniza la capa F de la ionósfera. La mayor parte de
la radiación UV proviene de las manchas solares [21].
1.2.1.1 Manchas solares
Son regiones oscuras en la superficie del Sol (fotósfera), o grandes concentraciones de
fuerte flujo magnético de varias veces el tamaño de la Tierra. Estos, usualmente ocurren en
pares que normalmente duran varios dias y liberan de sus bordes radiación ultravioleta.
La radiación UV viaja a la Tierra por medio de fotones energetizados a longitudes de onda
de UV, como partículas y como ondas, dependiendo de cómo se miden. Más manchas
solares significan mayor radiación UV, incrementando la ionización de la capa F y creando
la capa F2 en el dia.
Las manchas solares, generalmente siguen un ciclo de 11 años y son medidas en una escala
de 0-200. Estos números son mediciones visuales reportadas ya sea bajo el “Número de
Manchas Solares de Canto” o el “Número Internacional de Manchas Solares”. El Número
de Manchas Solares Suavizado es un valor promedio usado para registrar los ciclos de las
manchas solares.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
11
1.2.1.2 Flujos Solares.
La medida de emisiones de radio totales del Sol a 10.7 cm. (2800 MHz), en una escala de
60 a 300, generalmente correspondientes al nivel de manchas solares, pero son muy bajos
en energía para causar ionización, no relacionados con el nivel de ionización de la
ionósfera. Flujos solares mayores, generalmente sugieren mejor propagación en las bandas
de 10,12,15,17 y 20 metros; los flujos solares raramente afectan las bandas de 30,40,60,80
y 160 metros.
1.2.1.3 Brillos solares.
Explosiones usualmente cercanas a las manchas solares que expulsan partículas y energía
electromagnética (rayos X, Gamma e incrementan UV) y partículas energéticas. Los brillos
son medidos por satélites y son difíciles de predecir porque la evidencia visual llega
simultáneamente con la demás radiación electromagnética. Las partículas energéticas llegan
después. Los brillos son clasificados de acuerdo a su luminosidad de rayos X (en la banda
de 1-8 angstroms) en cuatro categorías, clase B, clase C (C1-C9) (Pequeños), clase M (M1-
M9) (Medios) y clase X (X1-X9) (Grandes). Los brillos de clase X emitidos en la banda de
1-8 angstroms pueden incrementar repentinamente la ionización de las capas D y E,
causando que absorban frecuencias más altas, incrementando la LUF (Frecuencia Mínima
Utilizable). Los brillos pueden alterar la capa F causando que absorba HF y disminuir la
MUF (Frecuencia Máxima Utilizable).
La radiación electromagnética y partículas de energía provenientes del Sol afectan las
diferentes capas de la ionósfera. Por supuesto, la propagación ionosférica ocurre cuando las
ondas de radio de HF son refractadas por las diferentes capas de la ionósfera y regresan a la
Tierra.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
12
1.3 Densidad electrónica y frecuencia de colisiones en la ionósfera
Antes de estudiar las propiedades de reflexión de la ionósfera, debemos conocer cómo
varían la concentración electrónica N y la frecuencia promedio de colisiones ν con la altura,
en esta sección, presentamos unos registros que se tienen disponibles [4], también se
pueden consultar [1], [2], [14], [15].
La densidad electrónica neta N a cualquier nivel es la resultante de los procesos de
producción y pérdida, sin tomar en cuenta los movimientos de los electrones. Los diferentes
procesos por los cuales los electrones son perdidos en la ionósfera varían de una región a
otra y son relativamente complicados. N es la cantidad de electrones libres por unidad de
volumen.
La distribución real de la densidad electrónica es muy complicada y no puede ser, en
general, expresada en términos de simples expresiones matemáticas, en muchos casos es
preferible utilizar modelos matemáticos para aproximar los cálculos [2]. Los valores de N
en las diferentes alturas que vamos a utilizar, se obtienen a partir de mediciones hechas por
ionosondas, los registros que se tienen, se muestran en la figura 1.4 [4].
El número promedio de colisiones ν que un electrón hace por unidad de tiempo con las
moléculas de aire depende del número de densidad de moléculas, y entonces de la densidad
y composición del aire. También depende de la velocidad del electrón, pero para muchos
efectos es permisible omitir este efecto.
Los cambios en el valor de ν afectan a la propagación de ondas de radio mucho menos que
los cambios en N. Para muchos propósitos es permisible tratar a ν como una constante
sobre un rango pequeño de alturas. Esto es especialmente cierto a altas frecuencias
(mayores que 1 MHz aproximadamente) cuando la longitud de onda es pequeña comparada
con la escala de altura, que es aproximadamente de 10 km, que es precisamente nuestro
caso.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
13
En las figuras 1.4 y 1.5 se muestran los registros de N y ν, donde podemos observar su
variación con la altura, estos valores serán utilizados para nuestro cálculo de la velocidad
de grupo, recordando que estos valores dependen de varios factores y pueden cambiar de
región en región [4].
Figura 1.4 Concentración electrónica
Figura 1.5 Frecuencia de colisiones
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
14
El equipo convencional para medir la distribución de la densidad electrónica en la ionósfera
es la llamada ionosonda, que es un dispositivo radar de barrido de frecuencias que
normalmente cubre un rango de frecuencias aproximadamente de 1 MHz a 20 MHz con un
tiempo de barrido que varía desde unos pocos segundos a unos cuantos minutos. Un pulso
de radiofrecuencias es mandado desde el transmisor, y al mismo tiempo, es iniciada la base
de tiempo de un tubo de rayos catódicos. Se mide el tiempo que tarda la señal en viajar a la
ionósfera, ser reflejada y regresar [2]. Sobre la medición de N, también se puede consultar
[14], [15].
Cuando la frecuencia es lentamente incrementada, la onda penetra más en la capa de la
ionósfera y en general, el retardo se incrementa. En algún momento la frecuencia será tan
grande para ser reflejada y la onda penetrará. La frecuencia más alta reflejada en una capa
de la ionósfera o la frecuencia más baja que penetra la capa es llamada la frecuencia de
penetración o frecuencia crítica fc. Esta es una medida directa del máximo de la
concentración electrónica Nmáx de la capa. En la sección 1.6, se abunda un poco más en la
medición de N.
El tiempo de retardo medido a cualquier frecuencia menor a la frecuencia crítica puede ser
convertido en una altura equivalente o virtual h′ asumiendo que la onda viaja a la velocidad
de la luz en su viaje a la ionósfera y de regreso a la tierra. Entonces h′ = ct/2.
De hecho la señal disminuye su velocidad en la ionósfera y se detiene en el nivel de
reflexión. La altura virtual es entonces, siempre mayor que la altura real de reflexión. Una
gráfica de la altura virtual contra la frecuencia es llamada ionograma [1], [2].
Actualmente hay más de cien estaciones ionosféricas localizadas alrededor del mundo. En
estas estaciones los ionogramas son tomados cada hora e incluso algunas veces cada 15
minutos.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
15
1.4 Capas de la ionósfera
Como ya se ha mencionado, la ionósfera consiste de un número de regiones que afectan la
propagación de ondas electromagnéticas a varias frecuencias de diferentes maneras, esta
sección está dedicada a la descripción del comportamiento de estas regiones o capas de la
ionósfera [1], [2], [21].
1.4.1 La capa D.
La capa D es la más cercana a la superficie de la Tierra aproximadamente de 60 a 100 Km.
Se ioniza mayormente al mediodía por medio de fuertes rayos X del Sol de 1-10 angstroms.
Presenta muy fuerte absorción de radiación electromagnética a frecuencias alrededor de 1
MHz. Debido a su baja concentración electrónica de aproximadamente 1×108 / m3 y su baja
frecuencia crítica de entre 100 y 700 kHz, esta no refleja radiaciones de Alta Frecuencia, de
más de 5MHz, que son generalmente usadas para sondeos ionosféricos, pero esta capa
refleja muy eficientemente ondas de frecuencias bajas y muy bajas, por esto, es útil para
propagación a grandes distancias. Absorbe bajas frecuencias (aprox. 10 MHz y menores) ,
pero permite a las frecuencias mayores pasar a las capas superiores. La capa D se desioniza
rápidamente en la noche y las ondas incluyendo medias y largas ya no son atenuadas y se
pueden propagar a grandes distancias.
Observaciones que se han hecho, muestran que la reflexión de las ondas de Muy Baja
Frecuencia ocurre a alturas aproximadamente de 76 km durante el dia y 90 km en el ocaso.
La capa D que se presenta durante el dia aparece como un máximo de ionización
débilmente definido a la altura de entre 75 y 90 km. Seguido de un decremento de
ionización por encima de 90 km. Donde empieza la capa E. Durante periodos de mínimas
manchas solares, puede ocurrir un máximo de ionización a alturas de 65 a 70 km, a
latitudes medias en las horas de la mañana, esto es lo que se ha llamado la capa C.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
16
Se ha encontrado que la ionización en la capa D varía con las estaciones y latitudes
geográficas. En invierno, cuando la atmósfera circula mejor y las partículas moleculares
complejas pueden ser transferidas de la atmósfera baja a la capa D, una mayor variación de
la densidad electrónica ocurre a alturas fijas. Esto causa un incremento en la variación de la
absorción ionosférica.
1.4.2 La capa E.
Aproximadamente de 100 a 125 km, se ioniza por medio de los rayos X suaves del Sol de
10-100 angstroms, también sólo durante el dia. Fuertes brillos solares pueden causar
incrementos repentinos en la absorción de la capa E. Esta capa se ioniza y desioniza más
lentamente que la capa D, pero puede refractar las frecuencias más altas HF y VHF que
penetran la capa D. En el verano y algunas veces en el invierno, densas nubes de ionización
se pueden formar por cortos periodos de tiempo. Estas partes de capa E esporádicas pueden
refractar señales de radio dentro de VHF. La capa E esporádica es la responsable de
recepción de larga distancia de VHF y es usualmente usada por radioaficionados para
grandes distancias (se han alcanzado distancias de hasta 10,000 km).
La máxima concentración electrónica durante el día a latitudes geográficas medias
generalmente es del orden de 1×1011 electrones/m3 y aunque esta capa persiste durante la
noche, la concentración se reduce grandemente. Esta concentración corresponde a una
frecuencia crítica de aproximadamente 4 MHz. La frecuencia crítica durante la noche
decrece a aproximadamente 250 kHz, durante periodos de manchas solares mínimas y 500
kHz en los máximos. Estas corresponden a una concentración electrónica del orden de 109
electrones/m3.
Debido a que la frecuencia de colisiones es mas o menos grande, con valores de entre
5×103 y 2×104 /s, la absorción es correspondientemente alta.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
17
La capa E persiste durante la noche, sin embargo, con una densidad de iones grandemente
reducida. Similarmente, las densidades en el invierno también son bajas debido a que el
efecto de ionización del Sol es oblicuo durante esta estación.
1.4.3 La capa F.
Aproximadamente por encima de 150 km, se ioniza por medio de la radiación ultravioleta
de 100-1000 angstroms. Esta capa se puede dividir en dos, F1 y F2. El pico de la ionización
de la región más baja, la capa F1 está alrededor de la altura de 160 km, mientras que la de
la capa más alta F2 alrededor de 250 km. La capa F2 es el mayor factor en la propagación
de HF.
La altura de las capas F es tan alta que es iluminada por el Sol por largos periodos de
tiempo y puede retener mucha de su ionización durante la noche. En la noche las dos capas
F1 y F2 se combinan dentro de la capa F, y siguen refractando las frecuencias menores de
HF (10-15 MHz) las cuales en la noche no son absorbidas por las capas D y E. La
frecuencia más alta refractada por la capa F es la MUF (Máxima Frecuencia Utilizable).
Esta capa está a su mínimo justo antes del amanecer y alcanza su pico al mediodía.
Las frecuencias mayores a 30 MHz (la frontera entre las ondas cortas y ultracortas) que es
aproximadamente la mayor frecuencia utilizable en las condiciones de un sistema de
transmisión que utiliza las ondas ionosféricas ya no se reflejarán en la ionósfera, pasarán a
través de ella y son las utilizadas para las comunicaciones satelitales, por lo tanto son las
frecuencias que son de nuestro interés en el presente trabajo. En la figura 1.6 tenemos una
representación de la reflexión de las ondas que se reflejan en las correspondientes capas de
la ionósfera y las ondas que la atraviesan. La propagación de ondas en la ionósfera será
estudiada con más detalle en la sección 1.6.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
18
Figura 1.6 Frecuencias por encima de 30 MHz ya no se reflejan.
1.5 Permitividad y conductividad de la ionósfera
La ionósfera debido a su contenido de iones y electrones, tiene una constante dieléctrica y
conductividad que difieren de las del espacio libre. Una onda electromagnética que pasa,
fuerza a las portadoras de carga a oscilar. Un electrón en movimiento representa una
corriente, cada electrón que oscila actúa como una antena parásito que absorbe energía de
la onda que pasa y la vuelve a radiar con una fase diferente. Para el estudio de la ionósfera,
la podemos considerar como un dieléctrico con pérdidas libre de cargas, que tiene una
constante dieléctrica efectiva ε´ y una conductividad efectiva σ. Estos valores efectivos
pueden ser obtenidos para una frecuencia dada, con la densidad de iones y la frecuencia de
colisiones en la región ionizada.
Debido a que los electrones están rodeados por un gran número de moléculas de gas neutro
en continuo movimiento térmico, los electrones y las moléculas se colisionan y, asumiendo
que la energía impartida por los electrones sobre las moléculas es mυ, donde υ es la
velocidad de los electrones y m su masa, la energía total transmitida en un segundo es mυν,
con ν igual a la frecuencia promedio de colisiones por segundo.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
19
La fuerza que actúa sobre un electrón en el espacio libre es el producto de la magnitud del
campo eléctrico y la carga electrónica.
La constante dieléctrica relativa y la conductividad de la región ionizada son [1]:
)(1 22
0
2
ωνεε
+−=′
mNe
y (1.1)
mmho
mNe
)( 22
2
ωννσ+
=
Estas expresiones muestran que ambas, la constante dieléctrica relativa y la conductividad
de la región ionizada están afectadas por la presencia de iones y electrones. Ambas,
dependen de la densidad de la portadora de carga N y la frecuencia de colisiones ν. La
constante dieléctrica es reducida bajo el valor de uno, del espacio libre, mientras que la
conductividad a la ubicación considerada es máxima cuando ν = ω. La dependencia de la
altura de estas dos cantidades está implícita en la frecuencia de colisiones, la cual es una
función de la temperatura y presión del gas, ambas dependientes de la altura. La frecuencia
de colisiones varía entre aproximadamente 1012 /s en la superficie de la tierra, donde la
densidad molecular a la temperatura de 0o C es 2.7 X 1019 por cm3 , a 1/s a la altura de 800
km con una densidad molecular de 2.7 X 106/cm3 , [1].
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
20
1.6 Reflexión de las ondas de radio en la ionósfera
Como se ha estado mencionando en las secciones anteriores, la ionósfera tiene una
importante influencia en la propagación de ondas electromagnéticas, la refracción de ondas
incluso hasta la banda de ondas ultracortas. Este proceso es mucho más complicado que
simplemente la reflexión de las ondas en la frontera entre dos diferentes medios
homogéneos. Podemos abordar este fenómeno tomando como referencia [4]. La idea
principal de cómo se refleja la onda por la ionósfera es más clara si consideramos la
siguiente fórmula que es uno de los resultados básicos de la óptica:
00 θθ sennnsen = (1.2)
El significado de esta igualdad es que si el ángulo de entrada del rayo en un medio es θ0 y
el coeficiente inicial de refracción es n0 entonces para cualquier ángulo instantáneo de la
dirección del rayo (ángulo θ) en un punto donde el coeficiente de refracción es igual a n se
tiene la igualdad (1.2). En otras palabras, n sen θ = const.
Partiremos del modelo más simple del plasma ionosférico olvidando la absorción y la
influencia del campo magnético de la tierra. En esta aproximación el coeficiente de
refracción es [4]:
22
/6.8011 fNn p −=
−=
ωω
(1.3)
Donde ω es la frecuencia de la onda y ωp se conoce como la frecuencia de plasma. La
frecuencia de proceso f está dada en Hertz y la concentración N es la cantidad de electrones
libres en 1 m3. Esta expresión de n es válida para cualquier plasma, la dependencia del
índice de refracción de la frecuencia se llama dispersión.
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
21
Como se desprende de la ecuación (1.3), la densidad óptica de la ionósfera decrece con la
altura debido al crecimiento de N, por lo tanto, el rayo que entra en la ionósfera se inclina
hacia la tierra como se muestra en la figura 1.7. Para cada punto de la trayectoria, la
magnitud θ se calcula según la fórmula (1.2). El carácter de la curva depende de la rapidez
del decremento de n con la altura, lo cual se determina por la frecuencia de proceso f, dada
la distribución de la concentración electrónica.
Figura 1.7 Refracción en la ionósfera y escape de la onda.
Si la rapidez con que n disminuye es bastante pequeña entonces en la ionósfera interior
habrá un nivel con tal concentración N = N* (le corresponde n = n*) que el rayo tendrá un
punto de tangencia con la línea horizontal del nivel con n = n* (figura b). Este es
precisamente el punto de vuelta de la trayectoria hacia la tierra, la parte descendente de la
trayectoria es simétrica a la ascendente. Pero la frecuencia del proceso puede ser tan alta
que al alcanzar la frontera de la ionósfera interior (el punto M′ en la figura c) el rayo puede
tener la tangente inclinada, entonces no sucederá la vuelta del rayo a la Tierra ya que en la
ionósfera exterior el coeficiente de refracción no decrece sino que crece con la altura,
tendiendo al valor n = 1 y por lo tanto el rayo se aparta de la Tierra.
θ0
θ
Tierra
Frontera de la ionósfera
900
N = Nmáx
N = N*
M′
a) b) c)
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
22
Podemos entonces encontrar la condición de vuelta del rayo. Sustituyendo en (1.2) n0 = 1 y
θ = 900 (figura b) obtenemos el valor requerido del coeficiente de refracción n = n* el cual
corresponde al ángulo dado de incidencia θ0 a la frontera inferior de la ionósfera:
0* θsenn = (1.4)
Con ayuda de (1.3), poniendo ωp = ωp* y N = N*, obtenemos:
fN
p
**
0 9/cos ≈= ωωθ (1.5)
De esta ecuación (1.5) podemos observar que si cos θ0 = 1 (incidencia vertical):
*9 Nf ≈ (1.6)
De aquí que, si se envía una señal de frecuencia f a la ionósfera con incidencia vertical, se
puede medir τ, que es el retardo de la señal que se recibe después de haberse reflejado en la
ionósfera, con τ/2 podemos calcular la altura de la ionósfera para esa frecuencia y esa N*.
Si para un cierto ángulo θ0 con una frecuencia de trabajo f resulta que la concentración
requerida N* es mayor que el valor máximo Nmáx (el nivel correspondiente está en la capa F)
entonces el rayo no volverá a la Tierra, es decir, la ionósfera no lo reflejará. De (1.6)
obtenemos la frecuencia máxima (que corresponde al ángulo dado θ0) para la cual todavía
habrá reflexión:
00 cos
9)(θ
θ máxmáx
Nf ≈ (1.7)
Efectos de la ionósfera en la propagación de ondas de radio
23
En el caso de incidencia vertical (θ0 = 0) esta frecuencia se llama crítica. Tenemos que:
máxcr Nf 9≈ (1.8)
En el caso de un transmisor colocado en la superficie terrestre el ángulo θ0 no puede ser
mayor que el valor θ0 = θ0,lim determinado por la siguiente fórmula:
hRR
arcsen+
=0
0lim,0θ (1.9)
Sustituyendo esta magnitud en (1.7) obtenemos:
hhRhRNf máxmáx )2(
90
0lim, +
+≈ (1.10)
Que es el valor límite (máximo) de la frecuencia máxima fmáx. Donde h es la altura de la
frontera inferior de la ionósfera.
Obtuvimos la expresión de la mayor frecuencia posible en las condiciones de una línea de
transmisión terrestre que utiliza las ondas ionosféricas. Esta frecuencia está alrededor de la
frontera entre las bandas de las ondas cortas y ultracortas. La longitud de onda
correspondiente es 10 m aproximadamente (durante los años de máxima actividad solar se
disminuye en unos metros).
Notemos que este estudio de propagación de ondas en la ionósfera es en gran medida
idealizado, la ionósfera se considera como un medio compuesto por estratos horizontales,
este modelo es aceptable en la mayoría de los casos. Existe otro factor, la influencia del
campo magnético de la Tierra sobre las propiedades del plasma. Resulta que en realidad la
ionósfera es un medio anisotrópico [4].
Propagación de ondas en medios con dispersión
24
PROPAGACIÓN DE ONDAS
EN MEDIOS CON DISPERSIÓN.
2.1 Velocidad de propagación de una onda electromagnética y el índice de refracción.
En esta sección vamos a introducir el concepto de velocidad de fase que será
utilizado posteriormente en el capítulo 3 para el cálculo del ancho de banda y su relación
con el índice de refracción [5].
La magnitud n = εµ , donde ε es la permitividad del medio y µ es la permeabilidad, se
conoce como índice de refracción. En la teoría clásica del electromagnetismo el índice de
refracción se considera constante y se define totalmente por los valores ε y µ para el medio
bajo consideración.
Analicemos el concepto de la velocidad de propagación εµ/cu = de la onda
electromagnética, la cual aparece como uno de los parámetros de la expresión de una onda
plana:
)]/(exp[Re 0 uztiEE −= ω (2.1)
Donde u caracteriza la velocidad de propagación de la fase de la onda y se conoce como
“velocidad de fase”.
Propagación de ondas en medios con dispersión
25
El valor de u se obtiene fácilmente de la condición de que la fase sea constante:
.)/( constuzt =−ω (2.2)
Entonces diferenciando esta expresión con respecto a t tenemos:
dtdzu = (2.3)
Es decir la velocidad de propagación de la onda a lo largo del eje z. Utilizando el número
de onda k, la condición (2.2) se expresa de la siguiente manera:
( ) .constkzt =−ω cnk ω= ,
ncu =
Entonces, para la velocidad de fase de la onda monocromática obtenemos:
kdtdzu ω== (2.4)
Si se trata solamente de radiación monocromática, entonces esta es la velocidad, el
concepto de velocidad de fase es suficiente para la descripción de todos los fenómenos
relacionados con la propagación de ondas electromagnéticas.
En realidad, la radiación se propaga en forma de impulsos que representan un conjunto o
paquete de diferentes ondas monocromáticas. Propagándose en medios reales el impulso se
deforma y es imposible caracterizar con un solo valor u = ω/k todos los procesos
complicados que están relacionados con la propagación [5]. Es necesario introducir nuevos
conceptos, lo que haremos en las siguientes secciones de este capítulo.
Propagación de ondas en medios con dispersión
26
2.2 Índice de refracción en la ionósfera.
La relación entre la velocidad de fase υ y el índice de refracción εµ=n está dada por la
igualdad:
εµυ c= (2.5)
Es decir, nc=υ . Cuando ε = µ = 1, la velocidad de fase u es igual a la velocidad de la luz.
Para la ionósfera:
22
/6.8011 fNn p −=
−=
ωω (2.6)
Dónde:
ωp es la frecuencia de plasma, ω es la frecuencia de la onda, N es la cantidad de electrones
libres en un m3, f es la frecuencia de proceso en Hz.
Como se desprende de (2.6), para el caso de la ionósfera, el índice de refracción depende de
la frecuencia, también, tenemos que n es un valor menor que 1, entonces la velocidad de la
onda es mayor que la velocidad de la luz, lo cual es una contradicción con la teoría de la
relatividad. En este caso además de la velocidad de fase es necesario introducir la llamada
velocidad de grupo, que caracteriza la velocidad de propagación de todo el grupo de ondas,
esto corresponde a las secciones siguientes de este capítulo.
Propagación de ondas en medios con dispersión
27
2.3 Medios con dispersión.
Una sola sinusoide, que oscila con amplitud, frecuencia y fase fijas no puede transportar
información, no lleva más mensaje que su propia existencia y la duración de su periodo.
Una señal de información está compuesta de un espectro de frecuencias. La manera de
cómo el espectro es afectado cuando la señal es transportada desde el transmisor al receptor
es materia de estudio para la ingeniería.
En el vacío la exponencial ejωt que tiene una sola frecuencia es transmitida como ej(ωt-kz) y
el número de onda k es proporcional a la frecuencia ω : k = k(ω) = ω/c, entonces la
velocidad de fase ω/k = c es la misma para todas las componentes de frecuencia. Todas las
frecuencias del espectro son transmitidas a la misma velocidad y la señal completa llega sin
distorsiones.
Para un medio en el cual, los parámetros constitutivos µ y ε son dependientes de la
frecuencia, el número de onda es una función más complicada de la frecuencia, entonces la
velocidad de fase, ya no es la misma para todas las frecuencias. Diferentes frecuencias en el
espectro de la señal son transmitidas a diferentes velocidades y llegan a su destino en
diferentes tiempos. La señal reconstruida en el receptor aparece entonces distorsionada.
Cuando la velocidad de fase depende de la frecuencia, decimos que el medio es un medio
dispersivo.
La ionósfera, dadas sus características, mencionadas en el capítulo anterior, es un medio
dispersivo, esto quiere decir que una señal que atraviesa la ionósfera va a sufrir una
distorsión debida a la diferencia de velocidades de las componentes de frecuencia de la
señal.
El objetivo de este trabajo es hacer una estimación del ancho de banda para comunicaciones
satelitales, es decir, la señal va a pasar a través de la ionósfera. Vamos a calcular el tiempo
de retardo que van a tener las componentes extremas de la señal, esto por medio de
Propagación de ondas en medios con dispersión
28
considerar la teoría de propagación en medios con dispersión que se presenta en este
capítulo.
Para una clase importante de señales de información, la distorsión resulta benigna. La señal
completa se distorsiona en el medio con dispersión, pero la información de la señal puede
permanecer sin distorsión, siendo meramente transmitida a una velocidad diferente de
cualquiera de las componentes de frecuencia. Dentro de estas señales están las señales de
banda estrecha, en las cuales, el espectro está confinado a un rango de frecuencias
relativamente estrecho. Esto lo vamos a tomar en cuanta en la sección 2.4 para la obtención
de la velocidad de grupo.
Propagación de ondas en medios con dispersión
29
2.4 Propagación de ondas en medios con dispersión
En esta sección, vamos a investigar cual es la velocidad de grupo que describa el
movimiento de todo el grupo de ondas, utilizando la teoría de propagación en medios con
dispersión [7]. Con esta velocidad vamos a buscar en el capítulo 3, una estimación más
precisa del ancho de banda para señales utilizadas en comunicaciones satelitales.
Recordemos que en los medios con dispersión, el número de onda k es una función de la
frecuencia:
)(ωkk = (2.7)
Además, recordemos que vamos a considerar una señal de banda estrecha:
0ωω <<∆ (2.8)
Y un sistema con entrada y salida.
El impulso de entrada está dado por:
titi eteetetE 00 )(21)(
21)( 000
ωω εε −+= !!! (2.9)
El impulso de salida está dado por:
titi eteetetE 00 )(21)(
21)( ωω εε −+= !!!
(2.10)
Propagación de ondas en medios con dispersión
30
Las funciones ε0(t) y ε(t) las vamos a tomar como imágenes de la Transformada de Fourier
de otras funciones:
∫∞
∞−
= ωωεπ
ε ω det ti)(21)( 00 (2.11)
y
∫∞
∞−
= ωωεπ
ε ω det ti)(21)( (2.12)
Entonces, el proceso de propagación de la señal se puede describir con:
zike )(
0 )()( ωωεωε −= (2.13)
La amplitud espectral ε0(ω) se expresa a través de la amplitud compleja de la señal de
entrada ε0(t) por medio de la Transformada inversa de Fourier:
∫∞
∞−
−= dtet tiωεωε )()( 00 (2.14)
En (2.13), zike )(ω− es el coeficiente de transferencia del medio con dispersión y lo vamos
a denotar como χ(ω).
Propagación de ondas en medios con dispersión
31
Tenemos que:
)()()( 0 ωχωεωε = (2.15)
Vamos a sustituir (2.15) en la expresión (2.12):
∫∞
∞−
= ωωχωεπ
ε ω det ti)()(21)( 0 (2.16)
De la ecuación (2.14) y de la ecuación (2.15) tenemos que:
∫∞
∞−
−= dtet tiωεωχωε )()()( 0 (2.17)
Hacemos un cambio de variable:
∫∞
∞−
−= θθεωχωε ωθde i)()()( 0 (2.18)
Sustituimos (2.18) en (2.12):
ωθθεωχπ
ε ωωθ dedet tii−∞
∞−
∞
∞−∫∫= )()(
21)( 0 (2.19)
Esto lo rescribimos en la siguiente forma:
∫∞
∞−
−= θθθεε dtht )()()( 0 Integral de Duamel. (2.20)
Propagación de ondas en medios con dispersión
32
donde:
∫∞
∞−
= ωωχπ
ω deth ti)(21)( (2.21)
La ecuación (2.21) se conoce como Función de Green de este sistema. La relación entre
h(t) y χ(ω) es simplemente la Transformada de Fourier.
Recordemos, que estamos considerando un ancho de banda estrecho, en ese caso, podemos
representar k(ω) como una serie de Taylor:
"+″−+′−+= 02
0000 )(21)()( kkkk ωωωωω (2.22)
Donde:
",
)(
0
0
00
ωωω
ω
=∂∂=′
=
kk
kk
En principio, podemos considerar lo que se conoce como dispersión de primer y segundo
orden.
Propagación de ondas en medios con dispersión
33
2.4.1 Dispersión de primer orden
Primero, para analizar la dispersión de primer orden, se toman los dos primeros términos de
la serie de Taylor en (2.22), se puede conocer más sobre este análisis en [7]:
′−+= 000 )()( kkk ωωω (2.23)
Sustituimos la expresión (2.23) en la expresión de χ(ω):
zkkie ])([ 000)( ′−+−= ωωωχ (2.24)
Ahora sustituimos χ(ω) en h(t):
∫
∫
∫ ∫
∞
∞−
′−′−
∞
∞−
′′−−
∞
∞−
∞
∞−
′−+−
=
=
==
ωπ
ωπ
ωπ
ωωχπ
ωω
ωωω
ωωωω
deee
deeee
deedeth
zktizkizik
tizkizkizik
tizkkiti
)(
])([
0000
0000
000
2
21
21)(
21)(
(2.25)
Tenemos la representación de Fourier de la función delta de Dirac:
∫∞
∞−
−=− dkexx xxik )(0
0
21)(π
δ
Propagación de ondas en medios con dispersión
34
De donde:
zkkiezktth )(
0000)()( ′−−′−= ωδ (2.26)
zkkiezktth )(
0000)()( ′−−−′−=− ωθδθ (2.27)
(2.27) se sustituye en la expresión (2.20):
zkki
zkki
ezkt
dezktdtht
)(00
)(000
000
000
)(
)()()()()(
′−−
∞
∞−
′−−∞
∞−
′−=
−′−=−= ∫∫
ω
ω
ε
θθδθεθθθεε
(2.28)
Se obtiene que en este caso:
zkki
zkki
ezktt
ezktth
)(00
)(0
000
000
)()(
)()(
′−−
′−−
′−=
′−=
ω
ω
εε
δ
Entonces, )(tE va a tener la siguiente forma:
)(00
)(00
00000000 )(21)(
21)( zkzktizkzkti ezkteezktetE ′−+−′+− ′−+′−= ωωωω εε !!!
(2.29)
Esta es la señal de salida para un medio con dispersión de primer orden.
Propagación de ondas en medios con dispersión
35
Podemos observar en principio que la forma de la señal no ha cambiado. La velocidad de
propagación es diferente:
gkkkk
U υω =∂∂=
′=
= 00
1 (2.30)
En esta última ecuación, tenemos la expresión para la velocidad de grupo, la cual vamos a
utilizar como uno sobre la derivada del número de onda en ω = ω0, para el cálculo del
ancho de banda en el capítulo 3, podemos observar la diferencia con la velocidad de fase:
0
0
kω
υ = (2.31)
Matemáticamente, la distinción es que la velocidad de fase es la relación de la frecuencia ω
con el número de onda k, mientras que la velocidad de grupo, es la derivada de la
frecuencia con respecto al número de onda, dado que k es función de ω, ω es también una
función de k y su derivada dω/dk puede ser obtenida ya sea por medio de ω = ω(k) o la
relación inversa k = k(ω).
Físicamente, la distinción es que la oscilación portadora se propaga como una onda a la
velocidad de fase, mientras la envolvente con información o moduladora se propaga como
una onda a otra velocidad, la velocidad de grupo. Cada factor de la señal completa, la
portadora y la envolvente, llegan sin distorsión, pero cada una con su propio retardo.
La señal completa entonces, no es precisamente idéntica en forma a la señal emitida, pero sí
preserva la información que fue impuesta a la portadora con la modulación. Entonces, para
una señal de banda estrecha, la distorsión causada por la dispersión no afecta la
información o el mensaje contenido en la envolvente o señal modulante y en este sentido, la
distorsión es benigna [10].
Propagación de ondas en medios con dispersión
36
El término velocidad de grupo se refiere al grupo de frecuencias en la vecindad de la
frecuencia portadora, que componen a la señal de banda estrecha.
La velocidad de grupo para un experimento, se introduce como la velocidad del
desplazamiento del máximo de la energía del grupo de ondas bajo consideración y como
hemos visto, esta velocidad υg puede ser distinta de la velocidad de fase υ.
2.4.2 Dispersión de segundo orden
En el caso de la dispersión de segundo orden, se consideran ahora los tres primeros
miembros de la serie de Taylor en (2.22):
02
0000 )(21)()( kkkk ′′−+′−+= ωωωωω (2.32)
La particularidad de los medios con dispersión de segundo orden consiste en que en tales
medios la velocidad de grupo depende de la frecuencia o como se dice, tiene lugar la
dispersión de las velocidades de grupo.
0kkgr k =∂
∂= ωυ (2.33)
ωωυ 00
1 kkk
gr
′′+′=∂∂= (2.34)
La dispersión de las velocidades de grupo implica algunos fenómenos físicos particulares
como por ejemplo, el ensanchamiento de los impulsos, la formación de impulsos con una
forma estable de sus envolventes, las cuales repiten su espectro de frecuencias (espectrón),
el mismo efecto permite crear en base a las fibras ópticas los dispositivos para el control de
Propagación de ondas en medios con dispersión
37
la duración de impulsos ópticos, en particular de los generadores de impulsos ópticos
extremadamente cortos.
En este caso tenemos :
zkkkie
)21( 0
200)(
′′+′+−=
ωωωχ (2.35)
Sustituyendo (2.35) en h(t):
∫
∫
∫
∞
∞−
′′−′−−
∞
∞−
′′−′−−
∞
∞−
′′+′+−
=
=
=
ωπ
ωπ
ωπ
ωω
ωωω
ωωω
deee
deeee
deeth
zkizktizik
tizkizkizik
tizkkki
02
00
02
00
02
00
21
)(
21
)21(
2
21
21)(
(2.36)
Denotamos: zkyzkt 000 ′′=′−= τθ , entonces:
∫∞
∞−
−−
= ωπ
τωωθdeeth
iizik 20
2021
2)( (2.37)
Propagación de ondas en medios con dispersión
38
Utilizamos la siguiente integral:
ab
ba ea
de2
2 2 πωωω =∫∞
∞−
+−
Con 22
20
θτ ibyia == , tenemos:
20
202
0
20
2
20
42
20
22
22
)( τθ
τθ
τπ
πτ
ππ
iziki
zik
ei
eei
eth−−−
==
Simplificando esta ecuación obtenemos:
20
2
2)(
20
2
0
τπ
τθ
ieeth
i
zik
−= (2.38)
Esta expresión la sustituimos en (2.12):
∫∞
∞−
−
−= τετπ
ε τθτ
τττ
θ
deti
eetii
i
zik 20
20
220
2
0 202
0
2
)(2
)( (2.39)
Esta última ecuación es la función ε(t) en términos de ε0(t), la podemos sustituir en (2.10)
para conocer la forma del impulso de salida, notamos que en este caso la forma sí ha
cambiado. Para conocer más sobre este análisis, se puede consultar [7].
Propagación de ondas en medios con dispersión
39
2.5 Relación entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase
Para encontrar la relación entre ellas consideremos la siguiente cadena de igualdades [5]:
dkdk
dkkd
dkdU υυυω +=== )( (2.40)
Tomando en cuenta que λλπ
λπ ddkyk 2
22 −== obtenemos la expresión:
λυλυ
ddU −= (2.41)
La cual se conoce como fórmula de Rayleigh.
Vamos a analizar más detalladamente la relación entre la velocidad de fase y la velocidad
de grupo:
1. Si 0=λυ
dd , es decir, n = constante, no hay dispersión. En este caso, U = υ , la
velocidad de fase coincide con la velocidad de grupo. Esto es valido para algunos
medios materiales, incluso considerando la propagación de ondas luminosas en el
aire y en el agua se puede menospreciar la dispersión ya que es demasiado pequeña.
2. Si 0>λυ
dd , entonces U < υ, en este caso, como regla tiene lugar cuando la luz se
propaga a través de diferentes cristales y otros medios transparentes. Notemos que
si 0>λυ
dd , es decir, 0>
nc
ddλ
, entonces 0<λd
dn , ya que λλ
υddn
nc
dd
2−= . Por lo
tanto, el índice de refracción n disminuye con el aumento de la longitud de onda.
Este frecuente tipo de dependencia de n con la longitud de onda λ se conoce como
dispersión normal.
Propagación de ondas en medios con dispersión
40
3. Si 0<λυ
dd , entonces U > υ. En tal caso 0>
λddn , es decir, el índice de refracción
crece con el aumento de la longitud de onda λ. Tal dependencia de n con λ puede
tener lugar en las regiones del espectro donde se observa una intensa absorción de la
luz, esta dependencia se llama dispersión anómala.
2.6 Ondas en medios con absorción
En la ecuación (2.30) tenemos la expresión de la velocidad de grupo, de acuerdo con esta,
necesitamos conocer la forma para el número de onda k, para esto, vamos a tomar en cuenta
la propagación de ondas en medios con absorción.
Tenemos las definiciones de los ángulos de las pérdidas eléctricas y magnéticas [4]:
µµεε ′′′=∆′′′=∆ /tan/tan M (2.42)
La magnitud ∆ se conoce como ángulo de las pérdidas eléctricas y ∆M como ángulo de las
pérdidas magnéticas. ε ′ y ε ′′ son la parte real e imaginaria de la permitividad
respectivamente, µ′ y µ ′′ son la parte real e imaginaria de la permeabilidad.
En el caso de medios con absorción, el número de onda es una magnitud compleja debido a
la complejidad de la permitividad ε y permeabilidad µ:
( ) 2/Miekkikk ∆+∆−±=′′−′= (2.43)
Donde µεω )/( ck = .
Propagación de ondas en medios con dispersión
41
Tenemos que las partes real e imaginaria del número de onda k tienen la siguiente forma:
)tan11(21Re 2 ∆++′′= µεω
ck (2.44)
)tan11(21Im 2 ∆++−′′= µεω
ck (2.45)
Donde ε′ y µ′ son las partes reales de la permitividad y permeabilidad respectivamente, ∆
es el ángulo de las pérdidas eléctricas, c es la velocidad de la luz.
Ahora utilizamos las siguientes igualdades que representan el comportamiento de una
partícula en el plasma [4]:
)(tan1 222
2
22
2
p
pp yωνωω
νωνω
ωε
−+=∆
+−=′ (2.46)
Donde ωp es la frecuencia de plasma y 2pω = Ne2/ε0m, e es la carga eléctrica del electrón,
m su masa y ν es el término medio de la cantidad de colisiones de electrones con las
partículas pesadas del medio por unidad de tiempo. Entonces las ecuaciones (2.44) y (2.45)
que representan las partes real e imaginaria del número de onda complejo k se convierten
en:
))(
11()1(Re 22222
42
22
2
21
p
pp
ck
ωνωωων
νωωω
−+++
+−= (2.47)
y
))(
11()1(Im 22222
42
22
2
21
p
pp
ck
ωνωωων
νωωω
−+++−
+−= (2.48)
Propagación de ondas en medios con dispersión
42
La parte real del número de onda k será utilizada posteriormente para el cálculo de la
velocidad de grupo. La parte imaginaria es el coeficiente de amortiguamiento de la onda.
Hasta aquí, hemos establecido el marco teórico necesario para conocer la propagación de
ondas en la ionósfera y estudiar el fenómeno de la dispersión. En el capítulo 3, entonces,
vamos a establecer el procedimiento para hacer la estimación del ancho de banda necesario
para comunicaciones satelitales, tomando en cuenta la teoría de propagación en medios con
dispersión.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
43
CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA PARA
DIFERENTES FRECUENCIAS Y COMPARACIÓN
DE RESULTADOS.
En los sistemas de comunicaciones en general, uno de los factores más importantes
que se debe tener en cuenta es el ancho de banda necesario para transmitir todas las
componentes de frecuencia de la señal sin distorsión, por otro lado, también se tienen
limitantes dado que el espectro de frecuencias de radio es un recurso finito, cada vez se
tiene menor espacio disponible y cada vez se requiere de mayor ancho de banda para los
servicios de telecomunicaciones.
En los Sistemas de Comunicaciones Satelitales, la señal de información viaja desde la
estación terrena hasta el satélite y de regreso, por lo tanto, la señal tiene que atravesar la
ionósfera, figura 3.1. Como ya se mencionó en el capítulo 2, la ionósfera es un medio
dispersivo, es decir, el número de onda depende de la frecuencia. Dicho de otra manera,
diferentes frecuencias, viajan a diferentes velocidades, entonces la señal sufre una
deformación, debida al retardo de las frecuencias dentro de la ionósfera.
El objetivo de este trabajo es hacer una estimación de esa deformación que sufre la señal,
tomando en cuenta la propagación en medios con dispersión que ya se estudió en el
capitulo anterior.
Primero, en la sección 3.1 mostramos un método que está establecido para el cálculo del
ancho de banda, este método considera la velocidad de fase de las componentes extremas
de la señal y obtiene una fórmula. En la obtención de dicha fórmula, se considera un valor
para la integral de la concentración electrónica, nosotros, de acuerdo con nuestros datos de
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
44
la concentración electrónica, hacemos un cálculo de la integral y obtenemos un segundo
valor para el ancho de banda. Posteriormente, en la sección 3.2 se presenta el
procedimiento que seguimos en este trabajo para la obtención del ancho de banda máximo
permitido, pero tomando en cuenta la velocidad de grupo (2.30) en cada una de las
componentes extremas de la señal.
En la sección 3.3 presentamos los resultados obtenidos y la comparación con los valores de
anchos de banda calculados utilizando los dos primeros métodos.
Figura 3.1 Trayectoria de la señal hacia el satélite
Enlace de subida Enlace de bajada
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
45
3.1 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de fase
Para calcular el ancho de banda máximo permitido de frecuencias utilizadas en
comunicaciones satelitales, es posible utilizar directamente una fórmula, sustituyendo la
frecuencia central. En esta sección presentamos dicha fórmula y el procedimiento que se
sigue para su obtención [8].
En líneas de comunicación cósmicas, normalmente se requiere un ancho de banda bastante
amplio, en la transmisión de información analógica, uno de los factores que limita el ancho
de banda es el defasamiento de las componentes espectrales de la señal por la dispersión en
la ionósfera.
La estimación cuantitativa de tales perturbaciones se reduce a la determinación de la
diferencia en tiempos de propagación de las componentes extremas del espectro de la señal,
la energía de la cual, está concentrada en el intervalo de frecuencias entre:
22 00máxmáx ffyff ∆
−∆
+ (3.1)
El cálculo del tiempo de propagación de una onda en la ionósfera tiene que tomar en cuenta
sus propiedades no homogéneas, supongamos que el índice de refracción n(ω,r) es
constante en un intervalo elemental del trayecto ∆r, entonces el cambio en la fase a lo largo
de ∆r es:
rrnc
rrk ∆⋅=∆⋅= ),(),( ωωωϕ (3.2)
Donde k es el coeficiente de fase (número de onda), c es la velocidad de la luz en el vacío, r
es la distancia y ω es la frecuencia angular de la señal.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
46
Para toda la ionósfera se obtiene que:
∫ ′′=r
rdrnc 0
),(ωωϕ (3.3)
Para las frecuencias que se utilizan en las líneas cósmicas, el índice de refracción en la
ionósfera está dado como:
22 /)(4.401/)(8.801),( frNfrNrn −≈−=ω (3.4)
Sustituyendo (3.4) en (3.3):
( )∫ ′′−=r
rdfrNc 0
2/)(4.401ωϕ (3.5)
Entonces el tiempo de propagación de esa onda para la frecuencia f es:
∫ ′′−==r
rdrNcfc
rddrt
02 )(4.40),(ωϕω (3.6)
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
47
La diferencia en los tiempos de propagación de las componentes extremas:
∫ ′′∆=∆∆r
máxmáxmáx rdrNfcf
rft0
23 )(8.80),( (3.7)
La diferencia de fase:
máxmáxmáx tf ∆⋅∆=∆ πϕ 2 (3.8)
Se supone que ∆ϕmáx << 2π, y normalmente se toma que:
∆fmáx ⋅ ∆tmáx < 0.1 (3.9)
Esta desigualdad se cumple cuando (3.7) < 0.1.
De aquí se observa que el ancho de banda permisible ∆fmáx depende de la concentración
electrónica integrada a lo largo del trayecto de propagación, una aproximación de ∆fmáx se
puede lograr considerando el trayecto de propagación casi recto, lo cual es cierto para la
banda de frecuencia considerada y con los ángulos de elevación mayores que 100, en esta
aproximación:
∆′
=′sen
hdrd (3.10)
Donde ∆ es el ángulo de elevación, ver figura 3.2.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
48
Entonces, tenemos que:
∫ ′′
∆⋅⋅⋅<∆ hmáx
hdhN
senfcf
0
302
)(8.80
1.0 (3.11)
De donde ∆fmáx:
∫ ′′
∆⋅⋅⋅<∆ hmáx
hdhN
senfcf
0
30
)(8.80
1.0 (3.12)
Donde h es la altura en la ionósfera, ver figura 3.2.
Figura 3.2 Trayectoria de la señal y distancia en la ionósfera.
Tierra
D
F
E
60 Km
100 Km
600 Km
900 ∆
IONÓSFERA dh′ dr′
h r
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
49
Para las condiciones promedio, la concentración electrónica integrada equivale a 3 × 1017
m-2 y entonces el ancho de banda se obtiene como:
∆×<∆ − senffmáx3
06101.1 (3.13)
Donde ∆fmáx y f0 están dados en Hz.
Esta ecuación (3.13) es comúnmente utilizada para el cálculo del ancho de banda en
comunicaciones satelitales, simplemente sustituyendo la frecuencia central de la señal y el
ángulo de elevación del satélite. Notemos que se están considerando las velocidades de fase
de las componentes extremas, a partir de estas se calcula la diferencia en tiempos de
propagación, pero no se considera la velocidad de grupo.
Posteriormente, vamos a comparar el resultado obtenido con esta fórmula (3.13), que
vamos a llamar método 1 y el resultado de tomar en cuenta la velocidad de grupo.
3.2 Método de cálculo del ancho de banda con la velocidad de grupo Hemos obtenido en la sección 2.4 que la velocidad de grupo:
0
1
0kk kk
g ′=
∂∂=
=
ωυ
Donde:
0
000 ,)(ωωω
ω=∂
∂=′= kkkk
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
50
Tenemos de la ecuación (2.47) que:
))(
11()1( 22222
42
22
2
21
p
ppr c
kωνωω
ωννω
ωω−+
+++
−=
En esta ecuación, kr representa la parte real del número de onda complejo k.
De acuerdo con (2.30), para obtener la velocidad de grupo de la frecuencia ω0, necesitamos
la derivada de k con respecto a ω en ω = ω0, entonces calculamos la derivada de kr con
respecto a ω:
++−++
+−
+
++−++
+
++−+
++−−
++−−
+−
+
+
++−++
+−
=′
22222
24
22
2
222
22222
242
22222
24
22223
24
3222
24
22
2
22222
24
22
2
)(11122
)(
)(112
)(12
)(2
)(4
1
2
)(111
ωνωωνω
ωνω
ων
ωνωωνω
ωω
ωνωωνω
ωνωωνω
ωνωωνω
ωνω
ω
ωνωωνω
ωνω
p
pp
p
pp
p
p
p
p
p
pp
p
pp
r
c
ck
(3.14).
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
51
Sustituyendo las ecuaciones (2.46) de ε y tan ∆ , con ω = ω0 , tenemos la siguiente forma:
( ) ( )
)tan11()(22
)(tan112
tan12
tan2)(
tan4
2)tan11()(
2
220
2
20
2
2
0
2
2220
20
0
2
0∆++′
+∆++
+∆+
∆−−+∆
−′
+∆++′
=′ε
ωνωωωωνω
ωεω
ε
cck
pp
(3.15)
Recordamos que la frecuencia de plasma al cuadrado:
mNe
p0
22
εω =
Donde, ε0 es la permitividad del vacío, e la carga del electrón y m su masa:
ε0 = 8.854 × 10-12 C2/N⋅m2
e = 1.602 × 10-19 C
m = 9.11 × 10-31 kg.
Entonces sustituyendo estos valores en (2.46) y (3.15), podemos calcular la velocidad de
grupo (2.30) para esa frecuencia en cada altura, dado que depende de la concentración
electrónica N y la frecuencia promedio de colisiones ν que varían con la altitud. En la tabla
3.1 se presentan los valores de N y ν que se tienen para el cálculo de la velocidad de grupo,
tomados de las gráficas en las figuras 1.4 y 1.5.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
52
Altura
en
Km
Concentración
electrónica, N
en m-3 para el día
Concentración
electrónica, N
en m-3 para la noche
Frecuencia de
colisiones, νννν
en s-1
60 1×108 - 3×107
70 8×108 - 8×106
80 1×109 - 1×106
90 6×1010 - 6×105
100 1×1011 1×108 1×105
130 9×1010 2×1010 2×104
140 9×1010 3×1010 1×104
150 2×1011 3×1010 6×103
170 3×1011 3×1010 3×103
190 3×1011 4×1010 1×103
200 4×1011 4×1010 8×102
210 5×1011 5×1010 6×102
220 6×1011 6×1010 6×102
230 6×1011 6×1010 6×102
240 7×1011 9×1010 5×102
250 9×1011 9×1010 5×102
270 9×1011 2×1011 5×102
280 1×1012 2×1011 5×102
370 1×1012 3×1011 5×102
380 8×1011 3×1011 5×102
440 8×1011 2×1011 5×102
450 5×1011 2×1011 5×102
550 5×1011 9×1010 5×102
560 4×1011 9×1010 5×102
600 4×1011 7×1010 5×102
Tabla 3.1 Valores de N y ν de acuerdo con la altura.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
53
Debemos mencionar que estos valores que se tienen disponibles fueron obtenidos en
latitudes altas. Para el caso de México, estos valores pueden tener variaciones por el cambio
de latitud, pero simplemente debemos hacer la sustitución de valores en el método que es el
mismo.
También, recordemos que para la obtención de (3.13) se sustituyó el valor de la integral de
la concentración electrónica como 3×1017 m-2. Dado que nosotros tenemos nuestros valores
de la tabla 3.1, vamos a sustituir en (3.12) nuestro valor de la integral de N calculado como:
∑∫=
⋅=′′55
10
00010)()(i
i
h
mhNhdhNe (3.16)
Para el día, i varía desde 1 hasta 55 que es el número de alturas tomadas de 10 en 10 desde
60 hasta 600 km, y con i desde 1 hasta 50 para la noche, de 100 a 600 km. Al cálculo del
ancho de banda con la sustitución de (3.16) en (3.12) lo vamos a llamar método 2 y
también lo vamos a comparar.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
54
3.2.1 Procedimiento para el cálculo del ancho de banda
Tenemos una frecuencia portadora f0, tomando en cuenta la dispersión que sufre la señal en
la ionósfera, vamos a investigar qué tan alejado puede estar el ancho de banda ∆f de esa
frecuencia f0.
Para nuestro método, sustituyendo los valores de la tabla 3.1, vamos a calcular la velocidad
de las componentes extremas de la señal dadas en (3.1), a cada 10 km, desde 60 hasta 600
km que es el intervalo que estamos considerando de la ionósfera en el día y de 100 a 600
km para la noche, la velocidad es calculada en cada altura con (3.15).
Una vez teniendo las velocidades de las frecuencias extremas en cada altura, calculamos la
velocidad promedio como la suma de todas las velocidades entre 55, que es el número de
alturas tomadas para el día y 50 para la noche.
La velocidad promedio la utilizamos para calcular el tiempo de retardo de cada frecuencia
desde la frontera inferior de la ionósfera hasta la frontera superior:
promveldt = (3.17)
La distancia d recorrida en la ionósfera en el día para el caso de incidencia vertical de la
onda es de 540 km, recordando que para las frecuencias utilizadas podemos considerar una
trayectoria recta de la señal, ver figura 3.3. Esta distancia varía de acuerdo al ángulo de
elevación del satélite como:
θsenkmd 540= (3.18)
Donde θ es el ángulo de elevación del satélite.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
55
En la noche, la distancia d recorrida en la ionósfera para el caso de incidencia vertical de la
onda es de 500 km, ver figura 3.3. Esta distancia varía de acuerdo al ángulo de elevación
del satélite como:
θsenkmd 500= (3.19)
Dado que a diferentes ángulos de elevación del satélite, la señal recorre diferentes
distancias en la ionósfera, el ancho de banda varía con el ángulo de elevación, ver figura
3.3.
Figura 3.3 Distancia recorrida por la señal en la ionósfera de acuerdo
al ángulo de elevación del satélite.
La menor distancia recorrida dentro de la ionósfera se tiene cuando el ángulo θ es de 900,
por lo tanto se tiene un ancho de banda mayor. Cuando θ = 100, la distancia que recorre la
señal en la ionósfera es más grande, se tiene un mayor retardo de la señal y por lo tanto el
ancho de banda permisible se reduce considerablemente. La comparación de los resultados
con diferentes ángulos de elevación también se va a presentar posteriormente.
Tierra
D
F
E
60 Km
100 Km
600 Km
900 θ
IONÓSFERA d1 d2
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
56
Una vez que se tiene la distancia recorrida correspondiente al ángulo de elevación,
calculamos el retardo máximo ∆τmáx como la diferencia de los tiempos de retardo de las
componentes extremas de la señal:
21 ttmáx −=∆τ (3.20)
Donde t2 es el tiempo de retardo de la frecuencia 20máxff ∆
+ y t1 es el tiempo de retardo
de la frecuencia 20máxff ∆
− , calculados con (3.17).
El retardo máximo debe satisfacer la condición:
1.0<∆⋅∆ máxmáxf τ (3.21)
Donde ∆fmáx es el ancho de banda máximo permisible para esa determinada frecuencia f0.
Todos los cálculos se obtuvieron mediante un programa de computadora, el cual va
aumentando ∆fmáx desde un valor pequeño, obtiene la velocidad de las componentes
extremas correspondientes y va calculando el retardo máximo (3.20), en cada cálculo se
verifica la condición (3.21), en el momento en que ya no se satisface la condición, se
detienen los cálculos, mostrando el ancho de banda máximo que satisface la desigualdad.
Este es el ancho de banda máximo permitido para esa frecuencia.
Los listados de los programas utilizados para el día y para la noche se tienen en los
apéndices A y B respectivamente. Los resultados obtenidos con los diferentes métodos se
muestran en la siguiente sección.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
57
3.3 Presentación y comparación de resultados
Para mostrar los resultados obtenidos de cálculos de anchos de banda, tomamos diferentes
frecuencias portadoras en las bandas C, Ka, Ku y L, de acuerdo al apéndice C. Los
resultados comparativos se muestran en las siguientes tablas.
Tenemos en cada tabla, la frecuencia central f0, el ángulo de elevación del satélite y los
anchos de banda calculados con los diferentes métodos, el método 1 es el ancho de banda
calculado con (3.13), el método 2 es el ancho de banda considerando (3.16) y finalmente, la
estimación hecha en este trabajo.
Para el día, el valor calculado de la integral de la concentración electrónica (3.16), es:
3.0451899 × 1017 m-2.
Podemos observar que en este caso, el resultado es bastante aproximado al que se considera
para la obtención de (3.13), como consecuencia, los anchos de banda calculados son muy
parecidos, tablas 3.2 – 3.10.
Para la noche, el valor calculado de la integral de la concentración electrónica (3.16), es:
0.72909997491 × 1017 m-2.
En este caso, el resultado es diferente al que se considera para la obtención de (3.13), por lo
que los anchos de banda tienen cambios más grandes de acuerdo al método, tablas 3.11 -
3.19.
En las tablas, se presentan los anchos de banda calculados para frecuencias que están
asignadas en las bandas C, X, Ku, Ka para el Servicio Fijo por Satélite y en la banda L para
el Servicio Móvil por Satélite, frecuencias asignadas para el enlace de subida y enlace de
bajada [20]. Las tablas 3.2 – 3.10 son para el día y las tablas 3.11- 3.19 para la noche.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
58
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 5.787 90 4.842536 × 108 4.861026 × 108 4.903640 × 108 5.787 45 4.072071 × 108 4.087619 × 108 4.125620 × 108 5.787 10 2.017938 × 108 2.025643 × 108 2.046440 × 108
6.475 90 5.731289 × 108 5.753172 × 108 5.802360 × 108 6.475 45 4.819420 × 108 4.837822 × 108 4.882050 × 108 6.475 10 2.388292 × 108 2.397411 × 108 2.421930 × 108
Tabla 3.2 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda C, enlace de subida.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 3.45 90 2.229057 × 108 2.237568 × 108 2.258820 × 108 3.45 45 1.874406 × 108 1.881563 × 108 1.900030 × 108 3.45 20 1.303608 × 108 1.308585 × 108 1.321950 × 108
4.65 90 3.487964 × 108 3.501282 × 108 3.533220 × 108 4.65 50 3.052805 × 108 3.064461 × 108 3.093460 × 108 4.65 20 2.039848 × 108 2.047637 × 108 2.068290 × 108
Tabla 3.3 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda C, enlace de bajada.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 7.65 90 7.360119 × 108 7.388221 × 108 7.448680 × 108 7.65 60 6.849362 × 108 6.875514 × 108 6.933980 × 108 7.65 40 5.900904 × 108 5.923435 × 108 5.976970 × 108
Tabla 3.4 Anchos de banda en el día para una frecuencia de la banda X, enlace de bajada.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
59
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 12.75 90 1.583645 × 109 1.589692 × 109 1.600182 × 109 12.75 50 1.386069 × 109 1.391361 × 109 1.401830 × 109 12.75 20 9.261552 × 108 9.296915 × 108 9.382550 × 108
14.25 90 1.871177 × 109 1.878322 × 109 1.889844 × 109 14.25 55 1.693547 × 109 1.700013 × 109 1.711799 × 109 14.25 25 1.216435 × 109 1.221080 × 109 1.231692 × 109
Tabla 3.5 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ku, enlace de subida.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 11.95 90 1.436959 × 109 1.442446 × 109 1.452322 × 109 11.95 65 1.367988 × 109 1.373211 × 109 1.383091 × 109 11.95 15 7.310425 × 108 7.338338 × 108 7.408850 × 108
12.625 90 1.560413 × 109 1.566371 × 109 1.576768 × 109 12.625 42 1.276424 × 109 1.281298 × 109 1.291465 × 109 12.625 28 1.069164 × 109 1.073246 × 109 1.082606 × 109
Tabla 3.6 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ku, enlace de bajada.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
60
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 27.5 90 5.016394 × 109 5.035548 × 109 5.045980 × 109 27.5 60 4.668281 × 109 4.686105 × 109 4.701090 × 109 27.5 50 4.390547 × 109 4.407311 × 109 4.425110 × 109
30.5 90 5.859255 × 109 5.881627 × 109 5.888470 × 109 30.5 40 4.697601 × 109 4.715537 × 109 4.736700 × 109 30.5 20 3.426638 × 109 3.439722 × 109 3.464910 × 109
92.1 90 3.074554 × 1010 3.086293 × 1010 3.034305 × 1010 92.1 45 2.585381 × 1010 2.595253 × 1010 2.571587 × 1010 92.1 20 1.798075 × 1010 1.804941 × 1010 1.806491 × 1010
209.5 90 1.054796 × 1011 1.058824 × 1011 1.008086 × 1011 209.5 45 8.869746 × 1010 8.903612 × 1010 8.617220 × 1010 209.5 20 6.168712 × 1010 6.192266 × 1010 6.124093 × 1010
Tabla 3.7 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ka, enlace de subida.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 20.7 90 3.276032 × 109 3.288541 × 109 3.302200 × 109 20.7 45 2.754804 × 109 2.765322 × 109 2.781970 × 109 20.7 10 1.365159 × 109 1.370371 × 109 1.383330 × 109
40.2 90 8.866081 × 109 8.899935 × 109 8.884270 × 109 40.2 45 7.455456 × 109 7.483923 × 109 7.497330 × 109 40.2 10 3.694595 × 109 3.708702 × 109 3.739840 × 109
82.5 90 2.606595 × 1010 2.616547 × 1010 2.579596 × 1010 82.5 50 2.281395 × 1010 2.290106 × 1010 2.270509 × 1010 82.5 20 1.524401 × 1010 1.530222 × 1010 1.533060 × 1010
157.5 90 6.875646 × 1010 6.901898 × 1010 6.662844 × 1010 157.5 50 6.017838 × 1010 6.040815 × 1010 5.891188 × 1010 157.5 20 4.021048 × 1010 4.036402 × 1010 4.012894 × 1010
Tabla 3.8 Anchos de banda en el día para frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
61
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 1.633 90 7.258918 × 107 7.286635 × 107 7.360000 × 107 1.633 45 6.103998 × 107 6.127305 × 107 6.190000 × 107 1.633 10 3.024872 × 107 3.036422 × 107 3.068400 × 107
Tabla 3.9 Anchos de banda en el día para frecuencia de la banda L, enlace de subida.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 1.534 90 6.608923 × 107 6.634157 × 107 6.701200 × 107 1.534 45 5.557420 × 107 5.578639 × 107 5.635800 × 107 1.534 10 2.754012 × 107 2.764527 × 107 2.793600 × 107
Tabla 3.10 Anchos de banda en el día para frecuencia de la banda L, enlace de bajada.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 5.787 90 4.842536 × 108 9.800884 × 108 9.744540 × 108 5.787 45 4.072071 × 108 8.241528 × 108 8.211120 × 108 5.787 10 2.017938 × 108 4.084137 × 108 4.084560 × 108
6.475 90 5.731289 × 108 1.159964 × 109 1.152333 × 109 6.475 45 4.819420 × 108 9.754099 × 108 9.712320 × 108 6.475 10 2.388292 × 108 4.833701 × 108 4.833490 × 108
Tabla 3.11 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda C, enlace de subida.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
62
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 3.45 90 2.229057 × 108 4.511424 × 108 4.498320 × 108 3.45 45 1.874406 × 108 3.793640 × 108 3.787320 × 108 3.45 20 1.303608 × 108 2.638393 × 108 2.638100 × 108
4.65 90 3.487964 × 108 7.059345 × 108 7.028500 × 108 4.65 50 3.052805 × 108 6.178619 × 108 6.159820 × 108 4.65 20 2.039848 × 108 4.128481 × 108 4.125920 × 108
Tabla 3.12 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda C, enlace de bajada.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 7.65 90 7.360119 × 108 1.489625 × 109 1.477721 × 109 7.65 60 6.849362 × 108 1.386253 × 109 1.376882 × 109 7.65 40 5.900904 × 108 1.194293 × 109 1.188686 × 109
Tabla 3.13 Anchos de banda en la noche para una frecuencia de la banda X, enlace de
bajada.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 12.75 90 1.583645 × 109 3.205164 × 109 3.160210 × 109 12.75 50 1.386069 × 109 2.805287 × 109 2.775800 × 109 12.75 20 9.261552 × 108 1.874460 × 109 1.866940 × 109
14.25 90 1.871177 × 109 3.787105 × 109 3.727360 × 109 14.25 55 1.693547 × 109 3.427596 × 109 3.383850 × 109 14.25 25 1.216435 × 109 2.461962 × 109 2.447120 × 109
Tabla 3.14 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ku, enlace de
subida.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
63
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 11.95 90 1.436959 × 109 2.908284 × 109 2.870220 × 109 11.95 65 1.367988 × 109 2.768692 × 109 2.736100 × 109 11.95 15 7.310425 × 108 1.479568 × 109 1.475930 × 109
12.625 90 1.560413 × 109 3.158145 × 109 3.114310 × 109 12.625 42 1.276424 × 109 2.583375 × 109 2.560280 × 109 12.625 28 1.069164 × 109 2.163898 × 109 2.151100 × 109
Tabla 3.15 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ku, enlace de
bajada.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 27.5 90 5.016394 × 109 1.015275 × 1010 9.840990 × 109 27.5 60 4.668281 × 109 9.448207 × 109 9.196450 × 109 27.5 50 4.390547 × 109 8.886096 × 109 8.676640 × 109
30.5 90 5.859255 × 109 1.185863 × 1010 1.145583 × 1010 30.5 40 4.697601 × 109 9.507549 × 109 9.299130 × 109 30.5 20 3.426638 × 109 6.935226 × 109 6.856840 × 109
92.1 90 3.074554 × 1010 6.222637 × 1010 5.645682 × 1010 92.1 45 2.585381 × 1010 5.232593 × 1010 4.872953 × 1010 92.1 20 1.798075 × 1010 3.639153 × 1010 3.511619 × 1010
209.5 90 1.054796 × 1011 2.134819 × 1011 1.760363 × 1011 209.5 45 8.869746 × 1010 1.795161 × 1011 1.551207 × 1011 209.5 20 6.168712 × 1010 1.248495 × 1011 1.155152 × 1011
Tabla 3.16 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ka, enlace de subida.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
64
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 20.7 90 3.276032 × 109 6.630412 × 109 6.476870 × 109 20.7 45 2.754804 × 109 5.575490 × 109 5.485020 × 109 20.7 10 1.365159 × 109 2.762967 × 109 2.754460 × 109
40.2 90 8.866081 × 109 1.794420 × 1010 1.715076 × 1010 40.2 45 7.455456 × 109 1.508921 × 1010 1.461060 × 1010 40.2 10 3.694595 × 109 7.477548 × 109 7.423810 × 109
82.5 90 2.606595 × 1010 5.275528 × 1010 4.829981 × 1010 82.5 50 2.281395 × 1010 4.617352 × 1010 4.308346 × 1010 82.5 20 1.524401 × 1010 3.085260 × 1010 2.988099 × 1010
157.5 90 6.875646 × 1010 1.391572 × 1011 1.193432 × 1011 157.5 50 6.017838 × 1010 1.217959 × 1011 1.077025 × 1011 157.5 20 4.021048 × 1010 8.138262 × 1010 7.666526 × 1010
Tabla 3.17 Anchos de banda en la noche para frecuencias de la banda Ka, enlace de bajada.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 1.633 90 7.258918 × 107 1.469143 × 108 1.468160 × 108 1.633 45 6.103998 × 107 1.235397 × 108 1.235300 × 108 1.633 10 3.024872 × 107 6.122086 × 107 6.128300 × 107
Tabla 3.18 Anchos de banda en la noche para una frecuencia de la banda L, enlace de
subida.
fo
GHz
Ángulo de elevación en
grados
Método 1 Ancho de Banda
en Hz
Método 2 Ancho de Banda
en Hz
Ancho de Banda con velocidad de
grupo en Hz. 1.534 90 6.608923 × 107 1.337590 × 108 1.336860 × 108 1.534 45 5.557420 × 107 1.124774 × 108 1.124790 × 108 1.534 10 2.754012 × 107 5.573887 × 107 5.579700 × 107
Tabla 3.19 Anchos de banda en la noche para una frecuencia de la banda L, enlace de
bajada.
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
65
Figura 3.4 Anchos de banda en el día para frecuencias de 10 a 200 GHz.
Ancho de banda en el día
1.00E+07
1.00E+10
2.00E+10
3.00E+10
4.00E+10
5.00E+10
6.00E+10
7.00E+10
8.00E+10
9.00E+10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Frecuencia GHz
Anc
ho d
e B
anda
en
Hz
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
66
Figura 3.5 Anchos de banda en el día para frecuencias de 45 a 55 GHz.
Ancho de Banda en el día
8.50E+09
9.00E+09
9.50E+09
1.00E+10
1.05E+10
1.10E+10
1.15E+10
1.20E+10
1.25E+10
45 50 55
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e ba
nda
en H
z
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
67
Figura 3.6 Anchos de banda en el día para frecuencias de 55 a 60 GHz.
Ancho de banda en el día
1.15E+10
1.20E+10
1.25E+10
1.30E+10
1.35E+10
1.40E+10
55 60
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e ba
nda
en H
z
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
68
Figura 3.7 Anchos de banda en el día para frecuencias de 60 a 65 GHz.
Ancho de banda en el día
1.35E+10
1.37E+10
1.39E+10
1.41E+10
1.43E+10
1.45E+10
1.47E+10
1.49E+10
1.51E+10
1.53E+10
1.55E+10
60 65
Frecuencia en GHz
AN
cho
de b
anda
en
Hz
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
69
Figura 3.8 Anchos de banda en el día para frecuencias de 65 a 70 GHz.
Ancho de banda en el día
1.50E+10
1.55E+10
1.60E+10
1.65E+10
1.70E+10
1.75E+10
65 70
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e ba
nda
en H
z
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
70
Figura 3.9 Anchos de banda en el día para frecuencias de 70 a 80 GHz.
Ancho de banda en el día
1.70E+10
1.75E+10
1.80E+10
1.85E+10
1.90E+10
1.95E+10
2.00E+10
2.05E+10
2.10E+10
2.15E+10
70 75 80
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e ba
nda
en H
z
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
71
Figura 3.10 Anchos de banda en el día para frecuencias de 110 a 200 GHz.
Ancho de banda en el día
3.00E+10
4.00E+10
5.00E+10
6.00E+10
7.00E+10
8.00E+10
9.00E+10
110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e ba
nda
en H
Z
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
72
Figura 3.11 Anchos de banda en el día para frecuencias de 150 a 200 GHz.
Ancho de banda en el día
5.00E+10
5.50E+10
6.00E+10
6.50E+10
7.00E+10
7.50E+10
8.00E+10
8.50E+10
150 160 170 180 190 200
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e ba
nda
en H
z
Método1Método2Método3
Cálculo del ancho de banda para diferentes frecuencias y comparación de resultados
73
Figura 3.12 Anchos de banda en la noche para frecuencias de 10 a 200 GHz.
Ancho de Banda en la noche
0.00E+00
2.00E+10
4.00E+10
6.00E+10
8.00E+10
1.00E+11
1.20E+11
1.40E+11
1.60E+11
1.80E+11
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Frecuencia en GHz
Anc
ho d
e B
anda
Método1Método2Método3
Conclusiones
74
Conclusiones
Hemos hecho los cálculos de anchos de banda con los tres métodos para varias frecuencias
en las diferentes bandas, para el día y para la noche, con tres ángulos de elevación en cada
una, para investigar los cambios que se producen.
De los resultados obtenidos podemos observar que en el día, los anchos de banda con los
tres métodos no son muy diferentes, pero, el cálculo con el método 1, siempre es menor.
Aproximadamente a frecuencias menores que 50 GHz, el ancho de banda calculado con
nuestro método es el mayor, muy parecido al método 2. Con frecuencias mayores a 50
GHz, aproximadamente, el ancho de banda de nuestro método empieza a ser menor que el
del método 2 y la diferencia crece con el aumento de la frecuencia.
En la noche, el ancho de banda tiene un aumento considerable, debido a la disminución de
la ionización. En nuestra estimación y el método 2, se ha considerado este cambio, teniendo
que el ancho de banda siempre es mayor con el método 2, con valores muy parecidos a los
de nuestro método, aunque la diferencia crece con la frecuencia. En la obtención del
método 1, no se consideran los cambios en los parámetros de la ionósfera, debido a esto el
ancho de banda con este método está más alejado.
Como se estableció en la sección 3.2.1, la distancia recorrida por la señal varía dependiendo
del ángulo de elevación del satélite, en los resultados, vemos que efectivamente, el ancho
de banda se reduce considerablemente con la disminución del ángulo de elevación. El
ancho de banda mayor se tiene con θ = 900 y el menor con θ =100.
La similitud entre el método 2 y nuestro método es debida a que hemos sustituido nuestro
valor de la integral de la concentración electrónica en 3.12 en cada caso.
Sin embargo, por la teoría y la variación en los parámetros que se han considerado, nuestro
método debe utilizarse en el cálculo de ancho de banda para comunicaciones satelitales en
lugar de otros métodos menos precisos.
Bibliografía
75
Bibliografía
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Boston London, 1991, pp. 129-200.
[2] Kenneth Davies, “Ionospheric Radio Waves”, Blaisdell Publishing Company,
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[3] Walter Greiner, “Classical Electrodynamics”, Springer, New York, 1998, pp. 379-
408.
[4] Vladislav V. Kravchenko, “Propagación de ondas electromagnéticas”,
Departamento de Telecomunicaciones, Sección de Estudios de Postgrado e
Investigación, ESIME, IPN, México D.F.
[5] Vladislav V. Kravchenko, “Tópicos Selectos de Sistemas de Comunicaciones por
Fibras Ópticas”, Departamento de Telecomunicaciones, Sección de Estudios de
Postgrado e Investigación, ESIME, IPN, México D.F.
[6] John R. Reitz, “Foundations of electromagnetics theory”, Addison-Wesley, New
York, cuarta edición, 1993, pp. 484-523.
[7] S. A. Akhmanov, S. Yu. Nikitin, “Óptica física”, Editorial de la Universidad de
Moscú, 1998.
[8] G. Yerokhin, O. Chernishev, N. Kozirev, V. Kocherzhevski, “Dispositivos Antenno-
feeders y propagación de ondas de radio”, Radio y Sviaz, Moscú, 1996, pp. 327-
329.
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pp. 116-123.
Bibliografía
76
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pp. 69-89.
[11] Leon Brillouin, “Wave propagation and group velocity”, Academic Press, New
York, 1960, pp. 1-83.
[12] Stephen G. Lipson, “Optical Physics”, Cambridge University Press, 3 ra edición,
1995, pp. 31-33.
[13] Pochi Yeh, “Optical waves in layered media”, Wiley, New York, 1988, pp. 19-29.
[14] K. G. Budden, “Radio waves in the ionosphere”, Cambridge University Press,
1961, pp. 1-23.
[15] John Ashworth Ratcliffe, “An introduction to the ionosphere and magnetosphere”,
Cambridge University Press, 1972, pp. 3-220.
[16] John D. Kraus, “Electromagnetics”, Mc. Graw Hill, New York, 4a. Edición, 1992,
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[17] N. M. Queen, G. Violini, “Dispersion theory in high-energy physics”, Macmillan,
London, 1974, pp. 19-29.
[18] Eugene Hecht, “Optics”, Addison Wesley, USA, 2da. Edición, 1987, pp. 12-23
[19] G. Maral, “Satellite Communications Systems”, John Wiley & Sons, New York, 3
era. Edición, 1998, pp. 64-66.
[20] Walter L. Morgan, “Communications Satellite Handbook”, John Wiley & Sons,
New York, 1989, pp. 124-163.
Bibliografía
77
[21] www.pgh-net.com/oes/prop-main.html
[22] www.sct.gob.mx
[23] www.satmex.com.mx
[24] www.cft.gob.mx
Apéndice A
78
Frecuencias en los Sistemas de Comunicación Satelital
Uno de los recursos básicos para los satélites de comunicaciones es el espectro de
radiofrecuencias y la organización encargada de la administración del espectro es la ITU
(Unión Internacional de Telecomunicaciones) y su Comité Consultivo Internacional de
Radio, el CCIR. Sin embargo, muchas administraciones nacionales deciden qué usos se
pueden hacer del espectro asignado por la ITU dentro de sus territorios.
El concepto de servicio de radiocomunicación es aplicado a la asignación de bandas de
frecuencia y el análisis de las condiciones para compartir una determinada banda entre
servicios compatibles. Para este fin, la ITU ha dividido el mundo en tres regiones:
Región 1: Europa, África, el Medio Este y los países de la ex Unión Soviética.
Región 2: América.
Región 3: Asia, excepto el Medio Este y los países de la ex Unión Soviética, Oceanía.
Las asignaciones de frecuencia para un determinado servicio pueden depender de la región.
De acuerdo a la región, las bandas asignadas pueden se exclusivas (bandas asignadas
únicamente al servicio) o compartidas (bandas compartidas entre varios servicios).
Los Servicios Fijos por Satélite usan las siguientes bandas:
a) Cerca de 6 GHz para el enlace de subida y cerca de 4 GHz para el enlace de bajada,
son los sistemas descritos como de 6/4 GHz o de banda C. Estas bandas están
ocupadas por los sistemas más viejos, como INTELSAT, Sistemas Domésticos
Americanos, etc. Tienden a estar saturados.
Apéndice A
79
b) Cerca de 8 GHz para el enlace de subida y alrededor de 7 GHz para el enlace de
bajada, sistemas descritos como de 8/7 GHz o de banda X. Estas bandas están
reservadas por acuerdo entre administraciones para uso de gobierno.
c) Cerca de 14 GHZ para el enlace de subida y cerca de 12 GHz para el enlace de
bajada, sistemas descritos como de 14/12 GHz o de la banda Ku. Sistemas como
EUTELSAT.
d) Cerca de 30 GHz para el enlace de subida y cerca de 20 GHz para el enlace de
bajada. Sistemas descritos como de 30/20 GHz o de la banda Ka. Estas bandas están
siendo de mayor interés dado el gran ancho de banda disponible y la poca
interferencia, dado el menor uso que tiene.
Las bandas por arriba de 30 GHz serán utilizadas de acuerdo con la tecnología y el
desarrollo de los requerimientos.
La mayoría de los Servicios Móviles por Satélite actualmente usan las bandas alrededor de
1.6 GHz para el enlace de subida y 1.5 GHz para el enlace de bajada (banda L).
El Servicio de Broadcast por Satélite contiene solo enlaces de bajada que usan bandas
alrededor de 12 GHz. El enlace de subida pertenece al Servicio Fijo por Satélite y se
conoce como enlace alimentador. La tabla A.1 Resume lo anterior [19].
Apéndice A
80
Servicio de radiocomunicación Bandas de frecuencia típicas
para subida/bajada
Término usado
Servicio Fijo por Satélite
(FSS)
6/4 GHz
8/7 GHz
14/12-11 GHz
30/20 GHz
Banda C
Banda X
Banda Ku
Banda Ka
Servicio Móvil por Satélite
(MSS)
1.6/1.5 GHz
30/20 GHz
Banda L
Banda Ka
Servicio de Broadcast Satelital
(BSS)
12 GHz Banda Ku
Tabla A.1 Bandas de frecuencia para comunicaciones satelitales.
Sistema de Satélites Mexicanos [23].
El Sistema de Satélites Mexicanos (SSM) está formado por los satélites Morelos II,
Solidaidad II, Satmex V y Satmex VI, cuyo estado operativo dentro de los parámetros
orbitales es responsabilidad del Centro de Control Primario Satelital ubicado en Iztapalapa,
el cual tiene un Centro de Control Alterno como respaldo ubicado en Hermosillo, Sonora.
El Morelos II forma parte de la primera generación de satélites mexicanos cuya
construcción se inició en 1983. Fabricado por Hughes, el Morelos II fue lanzado al espacio
el 27 de noviembre de 1985 en el transbordador espacial Atlantis (OV-104).
Solidaridad II pertenece a la segunda generación de comunicaciones espaciales para
México y cuenta con 18 transpondedores en banda C y 16 en banda Ku, equivalentes a 24
transpondedores de 36 MHz en cada banda. Se encuentra ubicado en la órbita 113° W.
La cobertura de Solidaridad II en banda C incluye México, el sur de los Estados Unidos, El
Caribe, Centro y Sudamérica. Por otro lado, la cobertura en banda Ku incluye México, la
Apéndice A
81
Costa Este de los Estados Unidos y las ciudades de San Francisco y Los Ángeles. Este
satélite ofrece, cobertura de alta potencia sobre México, conectividad entre los Estados
Unidos y Latinoamérica, ángulos de elevación excelentes en Norteamérica y la mayor parte
de Latinoamérica.
El Satmex V tiene cobertura continental en las bandas C y Ku. Es un satélite
geoestacionario que proporciona servicios de comunicaciones comerciales como Internet,
telefonía internacional, televisión analógica y digital, transmisión de datos y distribución de
contenido multimedia. Se encuentra ubicado en la órbita 116.8° W.
Satmex 6 es un satélite con un total de 60 transpondedores; 36 en banda C para tres
coberturas: Estados Unidos, Sudamérica y Continental; y 24 en banda Ku con dos
coberturas: Estados Unidos-México y Continental, con un haz de alta potencia sobre las
principales ciudades en Sudamérica. Ofrece, reducción del tamaño de antenas, linealizador
en cada canal, coberturas configurables, alta potencia en Sudamérica y el Caribe, y un solo
satélite con servicio para las Américas en bandas C y Ku.
Los satélites mexicanos operan básicamente en las bandas C, Ku y L para el Servicio
Móvil, sin embargo, para el cálculo de los anchos de banda, tomamos frecuencias
portadoras dentro de cada una de las bandas mencionadas en la tabla que son las bandas
utilizadas en los Sistemas de Comunicación Satelitales.
Apéndice B
82
/* Programa que calcula el ancho de banda en el día para frecuencias utilizadas en comunicaciones satelitales */ #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> int R; void main() { do{ clrscr(); int i,j,inc,A; float dfm,f0,f01,f02,N,v,h,n,fdfm,D,cdfm; double SUM2[100],SUM[100]; double wp2,wp4,T,v2,s,S2,s3; double sum,sum2,prom,prom2,t,t2,fase,ret,vg,df; double k0,k1,k2,k3,k4,k5,w0,w02; double E,Tan,in; const double PI=3.14159265359; const int C0=3e8; printf("\n CALCULO DE ANCHO DE BANDA EN EL DIA\n"); printf("\n PARA FRECUENCIAS UTILIZADAS EN COMUNICACIONES SATELITALES\n"); printf("\n\n Introduce f0 en Hz: "); scanf("%f",&f0); printf("\n Introduce el ángulo de elevación en grados: "); scanf("%d",&A); /*Fórmula 1 para ancho de banda*/ fdfm=((1.1e-6)*(sqrt((pow(f0,3))*sin((PI/180)*A)))); D=(540000/(sin((PI/180)*A))); /*Distancia recorrida*/
Apéndice B
83
if(f0<1e6) {df=1; inc=1;} /*Iniciación e incremento*/ if((f0>=1e6) && (f0<1e9)) {df=10; inc=10;} /*del ancho de banda*/ if((f0>=1e9) && (f0<100e9)) {df=1000; inc=1000;} if(f0>=100e9) {df=10000; inc=10000;} do { dfm=df/2; f01=f0-dfm; /*Componentes extremas de la señal*/ f02=f0+dfm; h=50; sum=0; in=0; for (i=1; i<=55; i++) { /*55 alturas de 60 hasta 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 60) {N=1e8; v=1e7;} /*Valores de N y v para alturas*/ if (h == 70) { N=8e8; v=5e6;} if (h == 80) { N=1e9; v=5e6;} if (h == 90) { N=6e10; v=1e6;} if ((h > 90) && (h<=130)) { N=1e11; v=1e5;} if (h == 140) { N=9e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=2e11; v=6e3;} if ((h > 160) && (h<=190)) { N=3e11; v=1e3;} if (h == 200) { N=4e11; v=1e3;} if (h == 210) { N=5e11; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e11; v=5e2;} if (h == 240) { N=7e11; v=5e2;} if ((h > 240) && (h<=270)) { N=9e11; v=5e2;} if ((h > 270) && (h<=370)) { N=1e12; v=5e2;} if ((h > 370) && (h<=440)) { N=8e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=550)) { N=5e11; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=4e11; v=5e2;} in=in+(N*10000); /*Cálculo de integral de N*/ w0=(f01*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para primer frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2);
Apéndice B
84
E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM[i]=vg; sum=sum+SUM[i]; } prom=(sum/55); /*Velocidad promedio*/ t=(D/prom); /*Tiempo de retardo*/ /*Fórmula 2 con integral de N*/ cdfm=sqrt(((0.1)*C0*(pow(f0,3))*(sin((PI/180)*A)))/(80.8*in)); h=50; sum2=0; for (i=1; i<=55; i++) { /*55 alturas de 60 hasta 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 60) {N=1e8; v=1e7;} /*Valores de N y v para alturas*/ if (h == 70) { N=8e8; v=5e6;} if (h == 80) { N=1e9; v=5e6;} if (h == 90) { N=6e10; v=1e6;} if ((h > 90) && (h<=130)) { N=1e11; v=1e5;} if (h == 140) { N=9e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=2e11; v=6e3;} if ((h > 160) && (h<=190)) { N=3e11; v=1e3;} if (h == 200) { N=4e11; v=1e3;} if (h == 210) { N=5e11; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e11; v=5e2;} if (h == 240) { N=7e11; v=5e2;} if ((h > 240) && (h<=270)) { N=9e11; v=5e2;} if ((h > 270) && (h<=370)) { N=1e12; v=5e2;}
Apéndice B
85
if ((h > 370) && (h<=440)) { N=8e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=550)) { N=5e11; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=4e11; v=5e2;} w0=(f02*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para segunda frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2); E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM2[i]=vg; sum2=sum2+SUM2[i]; } prom2=(sum2/55); /*Velocidad promedio*/ t2=(D/prom2); /*Tiempo de retardo*/ ret=t-t2; /*Cálculo del retardo máximo*/ fase=df*ret; /*Ancho de Banda por retardo máximo*/ df=df+inc; /*Ancho de banda más incremento*/ } while (fase<0.1); /*Condición*/
Apéndice B
86
printf("\n\n\n Para f0-Df/2 = %e \n\n",f01); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum); printf("\n Velocidad promedio = %.10e m/s",prom); printf("\n Tiempo de retardo t1 = %.10e s \n\n",t); printf("\n\n Para f0+Df/2 = %e \n\n",f02); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum2); printf("\n Velocidad promedio = %.10e m/s",prom2); printf("\n Tiempo de retardo t2 = %.10e s",t2); printf("\n\n Distancia recorrida en la ionósfera = %f mts.",D); printf("\n\n\n\n\n Retardo máximo t1-t2 = %e s",ret); printf("\n\n Ancho de Banda X Retardo Máximo = %f",fase); printf("\n\n\n Para f0 = %.4e el ancho de banda= %f = %e Hz",f0,df,df); printf("\n\n\n Valor calculado de la integral de N = %.10e m-2",in); printf("\n\n Delta fmax por fórmula1 para f0 = %.4e = %.7e Hz",f0,fdfm); printf("\n Delta fmax por fórmula2 para f0 = %.4e = %.7e Hz",f0,cdfm); printf("\n\n\n Para hacer otro cálculo presiona 1 [enter],salir 0 [enter]:"); scanf("%d",&R);} while(R==1); }
Apéndice C
87
/* Programa que calcula el ancho de banda para la noche*/ /* de frecuencias utilizadas en comunicaciones satelitales */ #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> int R; void main() { do{ clrscr(); int i,inc; float dfm,f0,f01,f02,N,v,h,n,fdfm,D,cdfm,A; double wp2,wp4,T,v2,s,S2,s3,df; double SUM2[100],SUM[100]; double sum,sum2,prom,prom2,t,t2,fase,ret; double Tan,k0,k1,k2,k3,k4,k5,vg,w0,w02; double E,in; const double PI=3.14159265359; const float C0=3e8; printf("\n CALCULO DE ANCHO DE BANDA NOCTURNO"); printf("\n\n PARA FRECUENCIAS UTILIZADAS EN COMUNICACIONES SATELITALES"); printf("\n\n\n Introduce f0 en Hz: "); scanf("%f",&f0); printf("\n Introduce el ángulo de elevación en grados: "); scanf("%f",&A); /*Fórmula 1 para ancho de banda*/ fdfm=((1.1e-6)*(sqrt((pow(f0,3))*sin((PI/180)*A)))); D=(500000/(sin((PI/180)*A))); /*Distancia recorrida*/
Apéndice C
88
if (f0<1e6) {df=1; inc=1;} /*Iniciación e incremento*/ if ((f0>=1e6) && (f0<1e9)) {df=10; inc=10;} /*del ancho de banda*/ if ((f0>=1e9) && (f0<100e9)) {df=1000; inc=1000;} if (f0>=100e9) {df=10000; inc=10000;} do { dfm=df/2; f01=f0-dfm; /*Frecuencias extremas*/ f02=f0+dfm; h=90; sum=0; in=0; for (i=1; i<=50; i++) { /*50 alturas de 100 a 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 100) { N=1e9; v=1e5;} /*Valores para N y v*/ if (h == 110) { N=1e10; v=5e4;} if (h == 120) { N=1e10; v=5e4;} if ((h > 120) && (h<=130)) { N=2e10; v=2e4;} if ((h > 130) && (h<=140)) { N=3e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=3e10; v=6e3;} if (h == 170) { N=3e10; v=3e3;} if ((h > 170) && (h<=190)) { N=4e10; v=1e3;} if (h == 200) { N=4e10; v=8e2;} if (h == 210) { N=5e10; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e10; v=6e2;} if ((h > 230) && (h<=250)) { N=9e10; v=5e2;} if (h == 260) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 260) && (h<=280)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 280) && (h<=440)) { N=3e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=460)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 460) && (h<=530)) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 530) && (h<=550)) { N=9e10; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=7e10; v=5e2;} in=in+(N*10000); /*Integral de N*/
Apéndice C
89
w0=(f01*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para primer frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2); E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM[i]=vg; sum=sum+SUM[i]; } prom=(sum/50); /*Velocidad promedio*/ t=(D/prom); /*Tiempo de retardo t1*/ /*Fórmula 2 con integral de N*/ cdfm=sqrt(((0.1)*C0*(pow(f0,3))*(sin((PI/180)*A)))/(80.8*in)); h=90; sum2=0; for (i=1; i<=50; i++) { /*50 alturas de 100 a 600 km*/ h=h+10; /*Cada 10 km*/ if (h == 100) { N=1e9; v=1e5;} /*Valores para N y v*/ if (h == 110) { N=1e10; v=5e4;} if (h == 120) { N=1e10; v=5e4;} if ((h > 120) && (h<=130)) { N=2e10; v=2e4;} if ((h > 130) && (h<=140)) { N=3e10; v=1e4;} if ((h > 140) && (h<=160)) { N=3e10; v=6e3;} if (h == 170) { N=3e10; v=3e3;} if ((h > 170) && (h<=190)) { N=4e10; v=1e3;}
Apéndice C
90
if (h == 200) { N=4e10; v=8e2;} if (h == 210) { N=5e10; v=6e2;} if ((h > 210) && (h<=230)) { N=6e10; v=6e2;} if ((h > 230) && (h<=250)) { N=9e10; v=5e2;} if (h == 260) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 260) && (h<=280)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 280) && (h<=440)) { N=3e11; v=5e2;} if ((h > 440) && (h<=460)) { N=2e11; v=5e2;} if ((h > 460) && (h<=530)) { N=1e11; v=5e2;} if ((h > 530) && (h<=550)) { N=9e10; v=5e2;} if ((h > 550) && (h<=600)) { N=7e10; v=5e2;} w0=(f02*2*3.1416); /*Cálculo de la velocidad de grupo*/ w02=(w0*w0); /*Para segunda frecuencia*/ v2=(v*v); wp2=(N*(2.566e-38))/((8.854e-12)*(9.11e-31)); wp4=(wp2*wp2); E=(1-(wp2/(v2+w02))); s=(w02+v2-wp2); S2=((w02+v2-wp2)*(w02+v2-wp2)); s3=(v2+w02)*(v2+w02); Tan=((wp4*v2)/(w02*S2)); k1=(sqrt(E*((1+(sqrt(1+Tan))))))/((1.4142)*(3e8)); k2=(((-4*w0*Tan)/s)-((2*Tan)/w0)); k3=((E*k2)/(2*sqrt(1+Tan)))+((2*wp2*w0)*(1+sqrt(1+Tan)))/s3; k5=(w0*k3)/(2*1.4142*3e8*sqrt(E*(1+sqrt(1+Tan)))); k0=k1+k5; vg=1/k0; SUM2[i]=vg; sum2=sum2+SUM2[i]; } prom2=(sum2/50); /*Velocidad promedio*/ t2=(D/prom2); /*Tiempo de retardo t2*/
Apéndice C
91
ret=t-t2; /*Retardo máximo t1-t2*/ fase=df*ret; /*Ancho de banda por el retardo*/ df=df+inc; /*Ancho de banda más incremento*/ } while (fase<0.1); /*Condición*/ printf("\n\n\n Para f0-Df/2 = %e \n\n",f01); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum); printf("\n Velocidad de grupo promedio = %.12e m/s",prom); printf("\n Tiempo de retardo t1 = %.10e s \n\n",t); printf("\n\n Para f0+Df/2 = %e \n\n",f02); printf("\n Suma de velocidades = %.10e",sum2); printf("\n Velocidad d grupo promedio = %.12e m/s",prom2); printf("\n tiempo de retardo t2 = %.10e s",t2); printf("\n\n\n Distancia recorrida en la ionósfera = %f mts.",D); printf("\n\n\n\n\n Retardo máximo t1-t2 = %e s",ret); printf("\n\n Ancho de banda x Retardo Máximo = %f",fase); printf("\n\n Para f0 = %.4e el ancho de banda = %f = %e Hz",f0,df,df); printf("\n\n\n Valor calculado de la integral de N = %.10e m-2",in); printf("\n\n Delta fmax por fórmula1 para f0 =%.4e = %.7e Hz",f0,fdfm); printf("\n Delta fmax por fórmula2 para f0 =%.4e = %.7e Hz",f0,cdfm); printf("\n\n\n Para hacer otro cálculo presiona 1 [enter],salir 0 [enter]:"); scanf("%d",&R);} while(R==1); }
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