Integrales Impropias (II)Integrales Impropias (II)
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias
La integral es impropia si: • El intervalo de integración no está
acotado.• La función f no está definida o no está
acotada en puntos que pertenecen al intervalo de integración
• Ambas cosas.
f x dx
a
b
Definición
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias
Suponiendo que la función f es continua en el intervalo [a, b) se tiene que:
Si el límite existe y es finito , la integral impropia converge, y
lim b
f x dxa
f x dxa
b
f x dx
a
b
lim b
f(x) dxa
.
Si la integral no converge, entonces la integral diverge.
f x dx
a
b
Definición
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias
dx
xp1
limb
dx
xp1
b
lim
b
x p1
p 1
1
b
lim
b
b1 p
1 p
1
1 p
1
p 1.
Lo anterior es cierto si 1 - p < 0. Si 1 - p ≥ 0, la integral diverge.
Suponiendo que p ≠ 1
lim
b x p dx
1
b
Ejemplo
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias
dx
xp0
1
lima 0
dx
xpa
1
lim
a 0
x p1
p 1
a
1
lim
a 0
1
1 p
a1 p
1 p
1
1 p.
Suponiendo que 1 - p > 0, i.e. p < 1.
NOTA:Supongamos que p > 0, y p ≠ 1 pues si p ≤ 0, la integral no es impropia.
lim
a 0x p dx
a
1
Ejemplo
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias
eax dx
1
limb
eax dx1
b
lim
b
eax
a
1
b
lim
b
eab
a
ea
a
ea
a.
Suponiendo que a < 0. Si a ≥ 0, la integral impropia diverge.
Suponiendo que a ≠ 0.
Ejemplo
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias Básicas
11
eax dx
1
dx
xp1
converge si p > 1.
22
33
dx
xp0
1
converge si p < 1.
converge si a < 0.
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias Básicas
44
xp dx1
converge si p < -1.
55 xp dx
0
1
converge si p > -1.
Para todos los demás valores del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen.
Integrales impropias. Teoría II
Convergencia de las Integrales Impropias
A menudo no es posible calcular el límite de la definición de un integral impropia directamente.Con el fin de averiguar si la integral converge o no, se puede tratar de comparar la función que se integra con otra que pertenezca a una integral que ya conocemos.
Integrales impropias. Teoría II
Convergencia de las Integrales Impropias
Consideremos la integral impropia
3
(1 2sin2(4x))(1 x2)dx
0
.
3
(1 2sin2(4x))(1 x2)
La gráfica de la función
se muestra en la figura.
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
La integral impropia converge si el área que encierra la curva y el eje x es finita.
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
En esta gráfica se puede estudiar a partir de la curva azul que es una función más simple y podemos ver fácilmente si encierra un área finita.
La integral impropia converge si el área queencierra la función y el eje x es finita.
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
0
3
(1 2sin2(4x))(1 x2)
3
1 x2
Observar que, para todo x se verifica
3
1 x2La curva es la gráfica
azul.
y la roja es la de la función
3
(1 2sin2(4x))(1 x2).
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
3
1 x2dx
0
limb
3dx
1 x20
Siendo
lim
b 3arctanx 0
b
lim
b 3arctanb 3arctan0
32
,
y siendo
concluimos que converge.
0
3
(1 2sin2(4x))(1 x2)
3
1 x2,
3
(1 2sin2(4x))(1 x2)dx
0
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
Teorema ATeorema A
Sea -∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que se verifica que
0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, con a < x < b.
Si la inegral converge, entonces también lo hará
y
g x dx
a
b
f x dxa
b
0 f x dx
a
b
g x dxa
b
.
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
Teorema BTeorema B
Sea ∞ ≤ a < b ≤ ∞ . Supongamos que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x, a
< x < b.
Si la integral diverge, entonces también lo hará
.
g x dx
a
b
f x dxa
b
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
Converge la integral ?
dx
sin x0
1
Sabemos que 0 <sin x< x, para 0 < x ≤ 1.
0
1
x
1
sinxPor tanto para 0 < x ≤ 1.
Ejemplo
Solución
Integrales impropias. Teoría II
Teorema de Comparación
Converge la integral l ?
0
1
x
1
sinx
dx
sin x0
1
Se tiene: para 0 < x ≤ 1
Como la integral diverge, entonces diverge .
dx
sin x0
1
Ejemplo
Solución (continuación)
dx
x0
1
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias Básicas
11
eax dx
1
dx
xp1
converge si p > 1.
22
33
dx
xp0
1
converge si p < 1.
converge si a < 0.
Integrales impropias. Teoría II
Integrales Impropias Básicas
44 xp dx
1
converge si p < -1.
55 xp dx
0
1
converge si p > -1.
Para cualquier otro valor del parámetro p, las cinco integrales anteriores divergen. Usar el Teorema de Comparación para ver la convergencia o divergencia de integrales impropias comparándolas con estos cinco tipos de integrales.
Integrales impropias. Teoría II
Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä
Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa
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