La Medida en la Educacin Primaria
Unidad didctica: Permetro, rea y volumen en el 3.er ciclo 10-12Las actividades que conforman esta unidad didctica fueron elaboradas en colaboracin con ngeles Camacho Machn, Antonio Ramn Martn Adrin, Dulce Mara Chico Garca, Mara del Carmen Gonzlez Martn, Teresa Padilla Alonso y Matas Camacho Machn. A todos ellos queremos agradecer sus aportaciones, de manera especial a Teresa Padilla cuya ausencia lamentamos enormemente puesto que no ha podido ver en letra impresa el fruto de muchas reuniones de trabajo durante los aos ochenta. La unidad parte de la introduccin del concepto de permetro de figuras planas, del que los alumnos tienen una idea previa. A continuacin, haciendo uso de una serie de materiales didcticos estructurados, se introduce el concepto de rea de figuras planas como concepto general, primeramente utilizando unidades de superficie arbitrarias para despus hacerlo con unidades convencionales. Es importante destacar la conveniencia de introducir lo que se entiende por figuras equivalentes y figuras isoperimtricas, dado que distintas investigaciones han mostrado la confusin de ambos conceptos por parte de los estudiantes. Una posible alternativa que trata de evitar la confusin de tales conceptos consiste en tratarlos conjuntamente y no por separado. A lo largo de la unidad, a medida que se estudie el rea de una figura geomtrica, se analizar la variacin del permetro de figuras equivalentes y la variacin de rea de figuras isoperimtricas. Otra idea que preside el diseo de la unidad es considerar tanto el aspecto esttico como dinmico del concepto de rea, esto es: Considerar las figuras geomtricas como rellenadas por cuadrados unidad (sentido esttico) y las superficies como engendradas por el movimiento de lneas, en el sentido propuesto por Isaac Newton en su libro Introductio. Tractatus de quadratura curvarum: Voy a considerar en esta obra las magnitudes matemticas no como integradas por partes constantes, incluso infinitamente pequeas, sino como engendradas por un movimiento continuo. Las lneas sern descritas y en consecuencia engendradas, no por adicin de partes, sino por un movimiento continuo de puntos; las superficies, por movimientos de lneas; los slidos por movimiento de superficies... Estas generaciones se realizan verdaderamente en la naturaleza y pueden observarse todos los das en el movimiento de los cuerpos. As, nuestros antepasados indicaron la generacin del rectngulo como descrito por un segmento mvil perpendicular a uno fijo" Algunas de las actividades que se plantean pueden ser consideradas actividades de extensin. Se han incluido para conseguir un tratamiento ms completo de la unidad didctica que se presenta. El maestro debe elegir las actividades que considere ms oportunas de acuerdo con el nivel de sus alumnos.
136A U L A C U A D E R N O S D E
Unidades didcticas
Objetivos: Comprender los conceptos de rea y permetro de figuras planas tanto desde una perspectiva esttica como dinmica. Comprender el concepto de volumen de figuras espaciales tanto desde una perspectiva esttica como dinmica. Saber deducir informalmente y a travs de la manipulacin las frmulas bsicas que permiten calcular el rea de los polgonos. Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el rea de distintas figuras cuando su permetro permanece constante. Saber deducir informalmente y a travs de la manipulacin las frmulas bsicas que permiten calcular el volumen y el rea lateral de prismas, pirmides, conos y cilindros. Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el permetro de distintas figuras cuando su rea permanece constante. Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el rea de un slido cuando su volumen permanece constante.
Conocimientos previos: Idea del clculo del permetro como procedimiento de medir longitudes. Conocimientos del sistema mtrico decimal. Hbito de resolver problemas. Conocimiento intuitivo de la proporcionalidad. 137A U L A C U A D E R N O S D E
Contenidos conceptuales Sentido dinmico del rea y permetro de figuras planas. rea de una figura plana. Figuras equivalentes. Figuras isoperimtricas. Frmulas para la obtencin del rea de: RECTNGULO TRINGULO ROMBOIDE TRAPECIO ROMBO POLGONO CUALQUIERA Sentido dinmico del volumen de superficies. Volumen de un slido en el espacio. reas lateral y total.
La Medida en la Educacin Primaria
Frmulas para la obtencin del rea y el volumen de: PRISMA PIRMIDE CILINDRO CONO
138A U L A
Contenidos de procedimiento Justificacin informal del clculo de la frmula del rea de los cuadrilteros tringulos, as como la de un polgono regular cualquiera. Anlisis de la variacin experimentada por el rea de estos polgonos si los permetros permanecen constantes. Obtencin del polgono de mayor rea entre un conjunto de figuras isoperimtricas. Anlisis de la variacin experimentada por el permetro de estos polgonos si sus reas permanecen constantes. Obtencin del polgono de menor permetro entre un conjunto de figuras equivalentes. Obtencin del polgono de mayor rea entre un conjunto de figuras isoperimtricas. Justificacin informal del clculo de la frmula del volumen del prisma y la pirmide. Anlisis de la variacin del volumen de un prisma cuya rea lateral es constante. Justificacin informal del clculo de la frmula del volumen del cilindro y el cono. Anlisis de la variacin del volumen de un cilindro cuya rea lateral es constante.
C U A D E R N O S
Contenidos de actitud Valoracin de la importancia de la justificacin (informal) de frmulas y propiedades geomtricas. Inters y gusto por la descripcin de formas y caractersticas geomtricas. Reconocimiento de la importancia de la manipulacin de materiales concretos para el descubrimiento de regularidades y propiedades. Sensibilidad y gusto por la presentacin ordenada de trabajos y actividades geomtricas.
D E
Unidades didcticas
Secuenciacin de las actividades
El concepto de Permetro
Actividad 1: Recuerda que se llama permetro de una figura a la medida del contorno de la misma. Colorea de rojo el contorno de estas figuras.
colorear, por qu?
................................................................................................................................ ....................................
Actividad 2: Colorea el contorno de las siguientes figuras. Cuntas unidades tiene el permetro de las mismas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unidadD E C U A D E R N O S
A U L A
Lo que has pintado de rojo es el
..........................................
de las figuras. Has dejado rayas por
139
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3: Recuerda que el permetro es la medida del contorno de una figura. Por ejemplo:
El permetro de esta casita es: 3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm = 13 cm
Calcula el permetro de las siguientes figuras:
140A U L A
El permetro esD E
...............................................
El permetro es ...............................................................................................
C U A D E R N O S
El permetro es
...............................................
El permetro es ...............................................................................................
Unidades didcticas
Introduccin al concepto de rea, figuras equivalentes y figuras isoperimtricas: unidades arbitrarias y unidades convencionalesrea de figuras con unidades arbitrarias Actividades con el tangram Actividad 1. Separa las piezas que sean iguales y cuntalas. Completa:
Nmero de piezas Tringulos grandes (Tg) Tringulos medianos (Tm) Tringulos pequeos (Tp) Cuadrados (C) Romboides (R)
Vamos a comparar las piezas: 141A U L A C U A D E R N O S D E
Cuntas veces podras colocar el Tp dentro del Tm sin que sobre espacio? Comprubalo. Cuntos Tp caben en el cuadrado (C)? Cuntos Tp caben en el R? Cuntos Tp caben en el Tg?.............................................
................................
....................................................................
..................................................................
La unidad de medida usada ha sido
.........................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. Cuntos R caben en el tangram (T)? La medida del tangram es Completa esta tabla:
.....................................................
...................................................
R.
rea del tangram rea del tangram rea del tangram rea del tangram rea del tangram
8
R Tg Tm Tp C
Con todas las piezas del tangram, construye un tringulo y haz un cuadrado igual que el anterior. Qu observas?................................................................................................................................ ...............................................................
142A U L A
Tambin se puede construir un rectngulo y un hexgono con todas las piezas. Hazlo. Utiliza todas las piezas para hacer algunas figuras que se te ocurran.
D E
Actividad 3. Vamos a utilizar como unidad de medida el cuadrado. Cuntos C caben en el Tg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobra espacio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si tu respuesta es afirmativa, utiliza los resultados de la ficha anterior para dar la respuesta exacta. Cuntos C caben en el Tm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagnate que el C representa la superficie de un parque y el Tm la superficie de una plaza. Dnde crees que tendras ms espacio para jugar? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
Cuntos C caben es R?
......................................
Qu relacin observas entre estas tres piezas?...............
C
.................
R
Tm
Unidades didcticas
Actividad 4. En una ficha anterior has construido con todas las piezas del tangram cuatro figuras de diferente forma (cuadrado, tringulo, rectngulo y hexgono). Todas tienen la misma rea. Decimos entonces que son figuras equivalentes. Construye con tu tangram las siguientes figuras:
Utilizando el Tp como unidad de medida calcula el rea de cada una de ellas. 143A U L A C U A D E R N O S D E................................................................................................................................ ...............................................................
Haz lo misma utilizando el C como unidad. Podramos decir que las figuras son equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividades de plegado de papel Actividad 1. 1. Construye un cuadrado de papel y dblalo por la mitad haciendo coincidir un lado con otro (mira la figura) y vuelve a doblarlo por la mitad, de la misma forma que antes.
Desdblalo y crtalo por los dobleces; obtenemos cuatro tiritas iguales. 144A U L A
2. Si colocamos los rectngulos en dos filas, obtenemos un rectngulo. Tiene el mismo permetro que el cuadrado inicial?..............................................
Y la misma rea?
.......................................................
D E
3. Si los ponemos en una sola fila, el nuevo rectngulo tiene el mismo permetro que el cuadrado?..............................................................................................
Y la misma rea?
.......................................................
C U A D E R N O S
Hazlo primero sin medir, y comprueba despus las respuestas anteriores.
Unidades didcticas
Actividades con los pentaminos Actividad 1. Sobre la cuadrcula para pentaminos mide cuntos cuadrados tiene cada uno, es decir, su rea, y mide el permetro. Rellena el siguiente cuadro:
Pentamino nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rea unidades cuadradas u2 u2 u2 u2 u2 u2 u2 u2 u2 u2 u2
Permetro unidades u u u u u u u u u u u 145A U L A C U A D E R N O S D E
Se dice que DOS FIGURAS SON EQUIVALENTES SI TIENEN LA MISMA REA. DOS FIGURAS SON ISOPERIMTRICAS SI TIENEN EL MISMO PERMETRO. Son todos los pentaminos figuras equivalentes?................................................................................................................................ ...............................................................
Son todos los pentaminos figuras isoperimtricas?................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. Utiliza solamente dos pentaminos para construir las siguientes figuras.
A
B
C
Rellena el siguiente cuadro:
rea Figura A Figura B Figura C 146A U L A
Permetro u u u
u2 u2 u2
Construye figuras equivalentes a estas. Son isoperimtricas?................................................................................................................................ ...............................................................
D E
C U A D E R N O S
Actividad 3. Utiliza solamente cuatro pentaminos para construir todos los posibles rectngulos. Represntalos sobre la cuadrcula. Cuntos hay?...............................................
Tendran el mismo permetro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calclalos Tendran la misma rea? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por qu?
...............................................................
................................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Haz lo mismo con dos, tres y cinco pentaminos.
Unidades didcticas
Actividades con el geoplano Actividad 1. Construye en tu geoplano las siguientes figuras y calcula su rea y su permetro.
Fig. 1
Fig. 2 Completa la siguiente tabla: rea Figura 1 Figura 2
Fig. 3
Permetro
Fig. 4
Figura 3 Figura 4 147A U L A C U A D E R N O S D E
Cules son equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cules son isoperimtricas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Actividad 2. Observa que si quieres hallar reas de tringulos en el geoplano, puedes hacerlo teniendo en cuenta las figuras:
1 rea de A = unidades cuadradas 2 4 rea de B = = 2 unidades cuadradas 2
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Calcula el rea de las siguientes figuras. Indica cules tienen la misma rea y cules el mismo permetro.
Fig. 1
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 4
148A U L A
Actividad 4. Construye en tu geoplano cinco figuras que tengan la misma rea pero formas distintas, y dibjalas en el papel punteado.
C U A D E R N O S
D E
Unidades didcticas
rea con unidades convencionales Juegos de cuadrados Construyen en un papel un decmetro cuadrado (dm2). Cuntos dm2 crees que medir tu mesa?...........................................................
Con el dm2 que has construido, calcula el rea de la mesa. Haz lo mismo con el cuaderno y con el libro. Primero estima la medida y despus calclala.
1 dm2
Obtienes un nmero exacto de dm2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cmo crees que podemos medir lo que falta?................................................................................................................................ ...............................................................
149A U L A C U A D E R N O S D E
Para poder cubrir toda la superficie de la mesa, el cuaderno, el libro, necesitamos dividir el dm2. Para ello, fracciona cada lado del dm2 en diez partes iguales, cuadricula el dm2 y recrtalo. Cuntos cuadraditos has obtenido?....................................................................
Cada uno de estos cuadraditos se llama
..............................................................
Con estos cuadraditos, termina de cubrir la superficie de los objetos que faltaba, y completa la siguiente tabla:
Mesa Cuaderno Libro
.............................................
dm2 y dm2 y dm2 y
........................................
cm2 cm2 cm2
.............................................
........................................
.............................................
........................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividades con papel centrimetrado transparente Calcula el rea de las siguientes figuras utilizando el papel centrimetrado transparente.
rea =
...................................
cm2.
rea =
...................................
cm2.
150A U L A
rea =D E
...................................
cm2.
rea =
...................................
cm2.
C U A D E R N O S
Unidades didcticas
Rectngulosrea del rectngulo. Obtencin de la frmula Actividad 1 Fig. B Fig. A Fig. C
Fig. D
Fig. E Rellena el siguiente cuadro: 151A U L A C U A D E R N O S D E
rea (u2) Figura A Figura B Figura C Figura D Figura F
Largo (u)
Ancho (u)
Cmo podras calcular el rea de todos los rectngulos sin tener que contar los cuadrados que lo componen?................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. Calcula el rea de las siguientes figuras. 8 cm A 2 cm B 8 cm 2 cm
C
3 cm
D
6 cm 7 cm E F 5 cm 152A U L A
3 cmD E
C U A D E R N O S
rea A = rea B = rea C =
........................
cm2 cm2 cm2
rea D = ............................................................. cm2 rea E = .............................................................. cm2 rea F = ............................................................... cm2
.........................
........................
Escribe una frmula general que te permita calcular siempre el rea de cualquier rectngulo: rea del rectngulo =.............................................
x ...................................................
Unidades didcticas
Variacin del rea de rectngulos que tienen igual permetro Actividad 1. Une con un nudo los extremos de una cuerda. Aguntala ahora entre el pulgar y el ndice de las dos manos, mantenindola bien tirante, formando as un rectngulo (mira la figura).
Si separas o unes los dedos a la vez, se formarn diferentes rectngulos. Tendrn todos el mismo permetro? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
Tendrn todos la misma rea? Por qu?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construye ahora en cartulina posibles rectngulos de permetro 36 cm, y recrtalos disponindolos como las hojas de una libreta sobre un folio. Une los vrtices libres de los rectngulos. Qu lnea obtienes?................................................................................................................................ ...............................................................
153A U L A C U A D E R N O S D E
Actividad 2. Escribe en la tablas siguiente el largo y el ancho de cada uno de los rectngulos recortados segn las indicaciones de la actividad anterior. largo (X) ancho (Y) semipermetro (S)
Qu relacin observas entre X, Y, S? Escrbela................................................................................................................................. ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Supongamos ahora que el permetro (largo de la soga) es de 32 cm. Haz una tabla como la anterior y escribe la relacin entre X, Y, S. Representa ahora sobre unos ejes esta relacin. Qu observas?................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Variacin del permetro de rectngulos que tienen igual rea Actividad 1. Construye con cartulina diferentes rectngulos que tengan de rea 36 cm2 (largo x ancho = 36 cm2). Son isoperimtricos? Y equivalentes?................................................................................................................................ ...............................................................
Cul es el que tiene menos permetro? Por qu? (Puedes ayudarte de los minos, aunque el rea sea de 36 minos)................................................................................................................................. ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Disponiendo los rectngulos sobre un folio, como las hojas de una libreta, y uniendo los vrtices libres con un lpiz, se obtiene una lnea. Su nombre es Hiprbola.
Actividad 2. Son equivalentes el cuadrado y el rectngulo de la siguiente figura? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
154A U L A
Son isoperimtricos? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
D E
Haz en tu geoplano varios rectngulos isoperimtricos y estudia sus reas (utiliza elsticos de distintos colores). Haz en tu geoplano varios rectngulos equivalentes y estudia su permetro. Representa lo que hiciste en las figuras siguientes.
Unidades didcticas
Actividad 3. Con doce cuadrados unidad (cm2), cuntos rectngulos podemos construir colocando los cuadrados de diferente manera? Qu longitudes tienen el largo y el ancho de estos rectngulos?................................................................................................................................ ...............................................................
Tienen todos el mismo permetro?
........................................................................................................................
Habr alguno que tenga 5 cuadrados unidad (cm2) en la base? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
Para los siguientes problemas puedes valerte de los materiales que quieras: 1. Un rectngulo tiene 24 cm de permetro y una de las dimensiones es 9 cm. Determina la longitud de la otra dimensin.
155 2. Un rectngulo tiene un rea de 18 cm2 y una de las dimensiones es 3 cm. Determina el permetro.A U L A C U A D E R N O S D E
3. Si elegimos dos rectngulos de 28 cm de permetro, resultan siempre iguales sus reas?
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 4. Juego de reas y permetros Este es un juego para dos personas. Uno de los jugadores, jugador A, dibuja sobre la cuadrcula una figura de 12 cm2 de rea, pintndola de rojo y anotando en la tabla el permetro obtenido. El otro jugador, jugador B, dibuja otra figura de 12 cm2 de rea con la condicin de que toque a la dibujada por el A, pintndola de azul y anotando en la tabla su permetro. Se contina as hasta completar la cuadrcula. Ganar el jugador que haya obtenido el permetro total ms pequeo. Jugador A Jugador B
156A U L A C U A D E R N O S D E
CUADRCULA
Unidades didcticas
El cuadrado como rectngulo particularActividad 1. Calcular el rea de las siguientes figuras: 4 cm
4 cm
4 cm 3 cm
6 cm
4 cm
157A U L A...................................................................................
6 cm
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Sabiendo ya la frmula para calcular el rea del rectngulo, sabras hallar el rea de cualquier cuadrado?................................................................................................................................ ...............................................................
Escribe esa frmula: REA DEL CUADRADO = unidades2.
C U A D E R N O S
D E
Actividad 2. Uniendo los extremos de una cuerda y aguantndola entre los dedos pulgar e ndice, ya habas visto que se formaban diferentes rectngulos. Podras obtener un cuadrado? En qu caso?
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Con los cuadrados unidad (cm2) que ya tienes construidos en cartulina, si quiero duplicar el lado, cuntos cuadrados unidad necesitar? Cul es el rea del nuevo cuadrado?................................................................................................................................ ...............................................................
Si triplicamos el lado?................................................................................................................................ ...............................................................
Si lo cuadriplicamos?................................................................................................................................ ...............................................................
Si lo quintuplicamos?................................................................................................................................ ...............................................................
Podras relacionar esto con la frmula del rea del cuadrado?................................................................................................................................ ...............................................................
Haz lo mismo con el geoplano. 158A U L A
Problemas 1. Un cuadrado tiene de rea 16 cm2. Determina el permetro. Si el rea fuera 25 cm2, cul sera su permetro? Y si fuera 36 cm2?
C U A D E R N O S
D E
2. Un seor tiene un terreno cuadrado de 600 m de permetro, mientras que otro seor tiene uno rectangular del mismo permetro, siendo la base de ste el triple del ancho. El dueo del terreno rectangular propone al otro cambiarlo, le interesa el cambio? Ocurre siempre lo mismo con cualquier rectngulo y cualquier cuadrado con el mismo permetro?
Haz un modelo de este problema con cartulina, de tal manera que cada cm de cartulina sea 10 metros de la realidad, comprobando las respuestas que has dado.
Unidades didcticas
Actividad 4. Dado un cuadrado cualquiera, obtn a partir de l otro que tenga de rea la mitad.
Platn cuenta que este problema le fue planteado a un esclavo y que, con las indicaciones que le iba dando, fue capaz de resolverlo. El esclavo, en esa poca, no saba de matemticas.
Tringulosrea del tringulo. Obtencin de la frmula a partir del rectngulo Actividad 1. Construye en tu geoplano el rectngulo A.
A
Cul es su rea?.............................................................................................................
159A U L A C U A D E R N O S D E
Construye ahora los tringulos que ves abajo, con elsticos de distintos colores.
B
C
altura
D altura
Cul es el rea del tringulo B? Cul es el rea del tringulo C?
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
Cul es el rea del tringulo D? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observa que el rea del tringulo B es: rea B = rea rectngulo 2....................................................................................................
Ocurre lo mismo para los dems tringulos?
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. En la actividad anterior has calculado el rea de diferentes tringulos. En esos casos podemos decir que: rea del tringulo =.........................
x 2
.............
Construye ahora en tu geoplano los siguientes tringulos:
Calcula el rea de esos tringulos y comprueba que la expresin (frmula) que permite calcular el rea del tringulo es vlida.
Actividad 3. Calcula el rea de las siguientes figuras: 1. 160A U L A
2. 3.2 cm 3 cm 2.5 cm
3. 3.5 cm
2 cm
2.5 cmD E
5 cm
C U A D E R N O S
4. 4 cm 3 cm 5 cm 5. 2 cm
6. 2 cm 1.5 cm 9 cm
3 cm 4 cm
9 cm
Unidades didcticas
Variacin del permetro de tringulos de igual rea. El tringulo issceles Actividad 1. Dibuja varios de los tringulos que va obteniendo el profesor al mover la anilla del dispositivo que te presenta.
Qu tienen en comn todos los tringulos?................................................................................................................................ ...............................................................
Todos los tringulos que se forman son equivalentes? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
161A U L A C U A D E R N O S D E
Son todos isoperimtricos? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Cul es el que tiene menor permetro?................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. Construye el avin de la figura. 1
2 3
Pieza 1
Pieza 2 2 cm
5 cm
3 cm Alerones 3 cm 162A U L A
2 cm
Timn
Pieza 3
10 cm 2 cm
C U A D E R N O S
D E
3 cm 4 cm
Calcula el rea de cada una de las piezas construidas.
Unidades didcticas
Variacin del rea de tringulos de igual permetro Actividad. Dibuja sobre una cartulina una recta justo por la mitad, pegndola a continuacin sobre un trozo de madera. Clava sobre dicha lnea dos clavos tal y como se ve en la figura:
Ata los dos extremos de un hilo mayor que la distancia entre las chinchetas y, mantenindolo siempre tenso, con un bolgrafo dibuja la figura ovalada que ves abajo.
163A U L A
La figura que obtienes se llama elipse. Si ralentizamos la construccin de la figura, van apareciendo muchos tringulos. Qu le ocurre a sus reas?................................................................................................................................ ........
Qu tringulo es el de rea mxima? Cul es el de rea mnima?
...................................................................................................................
................................................................................................................................ .......
Qu le ocurre a sus permetros?
.............................................................................................................................
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Romboides o paralelogramosrea del romboide. Obtencin de la frmula a partir del rectngulo Actividad 1. Construye con las tiras del mecano un rectngulo que tenga de dimensiones 5 cm y 15 cm. Cul es su permetro? Cul es su rea?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Si ahora vas estirando una de las puntas, obtendrs diferentes romboides (observa la figura).
164A U L A
Cambiar el permetro de cada una de los romboides? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
D E
Y el rea? Por qu?C U A D E R N O S................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Unidades didcticas
Actividad 2. Dibuja sobre una cartulina los romboides siguientes y calcula su rea contando cuadrados.
A
rea de A =
.........................
cm2
B
rea de B =
..........................
cm2
165.........................
C
D
rea de D =
.........................
cm2
E
rea de E =
..........................
cm2
C U A D E R N O S
D E
A U L A
rea de C =
cm
2
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Vamos a buscar otra forma para calcular el rea de cualquier romboide. Recorta el romboide A dibujado en la cartulina usada en la actividad anterior. Traza la lnea de puntos que ves en la figura de abajo, corta y coloca el tringulo obtenido al otro lado:
Base
Altura 166A U L A
Qu figura tienes ahora?................................................................................................................................ ...............................................................
D E
Calcula el rea. Haz lo mismo con todos los romboides dibujados en la cartulina. Comprueba que el rea del romboide se calcula multiplicando la base por la altura. rea del romboide = Base x Altura
C U A D E R N O S
Unidades didcticas
Actividad 4. Calcula el rea y el permetro de los romboides siguientes. Indicacin: Para calcular la altura puedes utilizar la escuadra o el cartabn:
Hay algunos isoperimtricos? Y equivalentes?................................................................................................................................ ...............................................................
167A U L A C U A D E R N O S D E
rea A =
....................................
Permetro A =
.............................................
rea B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permetro B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rea C =....................................
Permetro C =
.............................................
rea D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permetro D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Medida en la Educacin Primaria
Variacin del permetro de romboides que tienen igual el rea. El rectngulo como romboide de menor permetro Actividad. Dibuja alguno de los romboides que va obteniendo el profesor al realizar los movimientos que hace en el dispositivo mvil.
Qu tienen en comn todos los romboides?................................................................................................................................ ...............................................................
Son todos los romboides que se forman equivalentes? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
168A U L A
Son todos isoperimtricos? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
D E
................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
Cul es el que tiene menor permetro?................................................................................................................................ ...............................................................
Unidades didcticas
Trapecios
El rea del trapecio. Obtencin de la frmula a partir del rectngulo Actividad 1. Utilizando cuatro barras de mecano, construye diferentes tipos de trapecios y dibjalos (recuerda que todos los trapecios deben tener un par de lados paralelos). Observa la vieta siguiente. Qu conclusin puedes sacar?
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
169 Actividad 2. Dibuja sobre la cartulina los siguientes trapecios y calcula su rea contando los cuadrados.A U L A C U A D E R N O S D E
A
B
rea de A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rea de B =
......................................
C D rea de D = rea de C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Vamos a buscar otra forma para calcular el rea de cualquier trapecio. Recorta el trapecio A dibujado en la cartulina para hacer la actividad anterior. Traza una lnea paralela a la base, exactamente a la mitad (puedes encontrarla doblando la cartulina). Base menor
Altura
Base mayor Cortar por la lnea punteada y colocar los dos trapecios obtenidos, uno a continuacin del otro. Altura 2
170A U L A
Base mayorD E
Base menor
Qu figura tienes ahora? Calcula el rea.
................................................................................................................................ ...........
C U A D E R N O S
Haz lo mismo ahora con todos los trapecios de la actividad anterior. Comprueba que el rea del trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las bases por la altura. rea del trapecio = Base mayor + Base menor 2 Altura
Unidades didcticas
Actividad 4. Calcula el rea de los siguientes trapecios. 5 cm 6 cm 10 cm A 8 cm 14 cm 18 cm 7 cm 5 cm 7 cm rea de A = rea de C = rea de B = C 8 cm 9 cm D B 12 cm
..............................
.....................................
..............................
rea de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171A U L A C U A D E R N O S D E
La Medida en la Educacin Primaria
Variacin del permetro de trapecios que tienen igual rea Actividad. Dibuja alguno de los trapecios que va obteniendo el profesor al realizar los movimientos que hace con el dispositivo mvil.
Qu tienen en comn todos los trapecios?................................................................................................................................ ...............................................................
Son todos los trapecios que se forman equivalentes? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
172A U L A
Son todos isoperimtricos? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
D E
Cul es el que tiene el menor permetro?C U A D E R N O S................................................................................................................................ ...............................................................
Unidades didcticas
Rombosrea del rombo. Obtencin de la frmula a partir del rectngulo Actividad 1. Construye con las barras de mecano un cuadrado que tenga de lado 7 cm. Cul es su permetro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cul es su rea?................................................................................................................................ ............................
Si ahora estiras por una de las puntas, obtendrs diferentes rombos (observa la figura).
Cambiar el permetro de cada uno de los rombos? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
Y el rea? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
173A U L A C U A D E R N O S D E
Actividad 2. Dibuja sobre la cartulina los siguientes rombos y calcula su rea contando cuadrados.
B A
C
E D
F
rea de A = rea de D =
............................
rea de B = rea de E =
................................
rea de C = rea de F =
................................
............................
................................
.................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Vamos a buscar otra forma para calcular el rea de cualquier rombo. Recortar el rectngulo que contiene al rombo E dibujado en la cartulina para hacer la actividad anterior. Recorta ahora el rombo por la lnea de puntos. Obtienes cuatro tringulos, que puedes reunir formando un rombo igual al E. Hazlo.
Cul es el rea del rectngulo?................................................................................................................................ ...............................................................
174A U L A
Cul es el rea de los dos rombos?................................................................................................................................ ...............................................................
D E
Y el de uno slo?................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
Haz lo mismo con todos los rombos dibujados en la cartulina. Comprueba que el rea del rombo se calcula multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menor y dividiendo por dos.
Unidades didcticas
Actividad 4. Calcula el rea de las siguientes figuras: A 2 cm 4 cm B 6 cm C
D
E 15 cm 24 cm
rea de A = rea de D =
............................
rea de B = rea de E =
................................
rea de C =
................................
............................
................................
Actividad 5. Construye el dispositivo que ves en la figura:
175A U L A
Moviendo las diagonales, van apareciendo diferentes romboides. Tienen todos el mismo permetro? Y la misma rea?................................................................................................................................ ...............................................................
Podras formar un rombo? Y un cuadrado?................................................................................................................................ ...............................................................
Qu le ocurre a las diagonales?................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Polgonos
Actividad. Calcula el rea de los siguientes polgonos contando los cuadrados. Escribe el nombre de cada una de las figuras.
A
B
C
D
E
F
176A U L A
rea de A = rea de D =
............................
rea de B = rea de E =
................................
rea de C = rea de F =
................................
D E
............................
................................
.................................
C U A D E R N O S
Qu ocurre con la figura C?................................................................................................................................ ...............................................................
Unidades didcticas
rea de un polgono regular Actividad 1. Vamos a buscar una forma para poder calcular el rea de la figura C de la actividad anterior y que nos sirva para cualquier polgono regular.
C
Para ello lo primero que vas a hacer es triangular el hexgono de la siguiente manera: Base
Apotema Cuntos tringulos se obtienen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recrtalos y pgalos uno a continuacin del otro. 177A U L A C U A D E R N O S D E
Altura del tringulo = apotema del polgono Base = lado del hexgono Podrs calcular el rea del hexgono ahora? Cmo?................................................................................................................................ ...............................................................
rea del hexgono = 6 veces el rea del tringulo. rea del hexgono = 6 x base x altura 2
Como la base del tringulo es el lado del hexgono, 6 veces la base es el permetro de la figura (recuerda que la altura del tringulo corresponde a la apotema del polgono). El rea de un polgono regular se obtiene multiplicando el permetro por la apotema y dividiendo por dos. rea del hexgono = permetro x apotema 2
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. Calcula el rea y el permetro de las siguientes figuras regulares utilizando esta expresin:
rea = 7.6 cm
pxa 2 2 cm a = 1.7 cm
A= r = 2.2 cm P=
.................
A= P=
.................
.................
.................
r = 2 cm
A= P=
.................
a = 2.2 cm.................
A= r = 2.4 cm P=
.................
.................
Hay algunos que sean isoperimtricos? 178A U L A
.............................................................
Y equivalentes?
...........................................................................................................
C U A D E R N O S
D E
Unidades didcticas
rea de un polgono cualquiera Actividad 1. No todos los polgonos son regulares. Observa la figura A:
A 4 cm 2 cm 4 cm
6 cm Por qu no es un polgono regular?................................................................................................................................ ...............................................................
En la actividad anterior, para calcular el rea de un polgono regular triangulbamos la figura desde el centro. Podras hacerlo ahora?................................................................................................................................ ...............................................................
A1 A2
A rea A = rea A1 + rea A2
Haz ahora otra descomposicin distinta y comprueba que coinciden los resultados si hallamos el rea de las dos formas.
C U A D E R N O S
D E
A U L A
La forma ms sencilla de calcular el rea de un polgono es descomponerlo en el menor nmero de polgonos de los que sepamos calcular su rea, por ejemplo, como lo hacemos en la siguiente figura:
179
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 2. Calcula el rea de los siguientes polgonos irregulares de la forma que aprendiste en la actividad anterior. A B
C
D
AA = AC = 180A U L A
...........................................
AB = AD =
.............................................
...........................................
............................................
Actividad 3. En la figura 1 se representan dos pentgonos que pueden ser obtenidos mediante un dispositivo mvil parecido al de actividades anteriores. En la figura 2 son cuadrilteros. Dibuja otros. E F
C U A D E R N O S
D E
A Fig. 1 B C
D
Fig. 2
Tendran todos los pentgonos igual rea? Y los cuadrilteros?................................................................................................................................ ...............................................................
Tendran igual permetro?
................................................................................................................................ ........
Cules seran los de permetro mnimo?
.............................................................................................................
Unidades didcticas
Actividad 4. Observa los hexgonos de la figura siguiente. Si consideras que est construido con un hilo, podramos decir que son equivalentes? Y que son isoperimtricos?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
A
F H
B
E
C
D
Qu podras decir de la curva que une los puntos F y H?................................................................................................................................ ...............................................................
181A U L A C U A D E R N O S D E
................................................................................................................................ ...............................................................
Podras decir cul es el polgono de rea mxima?................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Medida de slidos: rea lateral, rea total y volumen
Actividad 1. Un prisma es un slido en el espacio que al seccionarlo (o cortarlo en rodajas), presenta iguales sus secciones (o rodajas). Los siguientes cuerpos son prismas:
Este cuerpo no es un prisma. Es una pirmide:
182A U L A
Cul de stos son prismas? Indica cules son sus secciones.
C U A D E R N O S
D E
Unidades didcticas
Actividad 2. Indica (s o no) cules de los siguientes slidos son prismas:
a
c b
d
e
f
g
h
i
j
183A U L A
a b c d e f g h i j
C U A D E R N O S
S
NO
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Los prismas que se pueden encontrar son, en general, distintos de los de la actividad anterior. Por ejemplo, el slido de la figura:
Fig. 1
Es un prisma triangular. Por qu se llamar as?................................................................................................................................ ...............................................................
Si los tringulos de las bases son equilteros, se dir que es un prisma triangular regular. Obsrvalo ahora en esta otra posicin. Generalmente se llaman bases a las secciones que permiten formarlo y altura al nmero de veces que se repite la seccin. 184A U L A
Fig. 2
D E
Seala las bases y las alturas en los prismas de las figuras 1 y 2.
C U A D E R N O S
Actividad 4. Qu tipos de prismas son los que aparecen en la figura siguiente?................................................................................................................................ ...............................................................
Indica cules son sus bases y sus alturas. Podramos decir tambin que la altura del prisma es el segmento trazado perpendicularmente desde cualquier punto de la base superior hasta el plano de la base inferior.
Unidades didcticas
rea lateral y rea total Actividad 1. Qu cantidad de cartn necesitars para construir una caja igual que esta? 2 cm 2 cm 4 cm Ahora, si abres la caja, queda:
Cmo te resulta ms sencillo averiguarlo?................................................................................................................................ ...............................................................
La cantidad necesaria de cartn para construir la caja recibe el nombre de rea total del ortoedro. 185A U L A C U A D E R N O S D E
Actividad 2. Tambin se podra calcular el rea total del ortoedro sin tener que desarrollarlo. Observa la figura y calcula el rea total. 3.4 cm
8.2 cm 5.3 cm Si en la caja de la actividad anterior quitamos la tapa y el fondo, se necesitar, evidentemente, menos cartn. Calculando ahora la cantidad de cartn necesaria para construir la caja sin tapa y sin fondo, lo que se obtiene es la superficie (o rea) lateral del ortoedro. Calcula ahora el rea lateral del ortoedro de la actividad anterior y el de esta actividad.
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Calcular el rea lateral de la siguiente figura (puedes dividirla en dos partes). 1 cm 2 cm
2.5 cm
3 cm 4 cm
6 cm
Volumen. Introduccin al concepto de volumen: concepto dinmico Actividad 1. El hombre de la figura 1 est amontonando cajas. Cada capa del montn lleva nueve cajas.
186A U L A
Fig. 1
D E
Con dos capas, cuntas cajas tenemos? Y con tres? Y con cuatro?
..............................................................................................................
C U A D E R N O S
................................................................................................................................ ......
Comprubalo con tu juego de cubos anterior.
Unidades didcticas
Actividad 2. Estima cuntas cajas hay en el montn de la figura:
Cuntas cajas hay en cada capa?
...........................................................................................................................
Cuntas cajas hay en el montn? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coincide con el resultado que diste? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187A U L A C U A D E R N O S D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Fjate en las figuras siguientes:
a b
c
d f e
188A U L A
Completa el siguiente cuadro: Cajas por capa Nmero de capas Nmero total de capas
D E
FiguraC U A D E R N O S
a b c d e f
Unidades didcticas
Actividad 4. En la siguiente caja de plstico caben tres capas de cubos. Cuntos necesitaras para llenarla?
Cuntos cubos necesitars para llenar estas otras cajas?
189A U L A
3
4
5
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 5. Calcular el volumen de un ortoedro es obtener el nmero de cubos unidad (un centmetro de arista) que contiene. Calcula el volumen de los siguientes ortoedros:
Observa que lo puedes hacer de manera parecida que en las actividades anteriores. Se te ocurre alguna forma de calcular el volumen del siguiente ortoedro?
3 cm 4 cm 190A U L A
5 cm
Actividad 6. Recuerda que: el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando la base por la altura. Observa en la siguiente figura que, para obtener el rea, la medida de la base recorre la medida de la altura.
C U A D E R N O S
D E
Qu podras decir del volumen de un ortoedro? Observa la figura.
Unidades didcticas
Variacin del rea de figuras equivalentesActividad 1. Observa las siguientes figuras:
Figura 4 Figura 2 Figura 1 Figura 3
Puesto que estn formadas por el mismo nmero de cubos (unidades), tienen el mismo volumen. Se dice que son cuerpos equivalentes. Rellena el siguiente cuadro: Estimacin Figura 1 Figura 2A U L A C U A D E R N O S D E
rea u2 191
u2
Figura 3 Figura 4 Primero hazlo valindote de los dibujos, y luego construye las figuras con tu juego de cubos.
Actividad 2. Con cinco cubos construye cuatro slidos de distinta rea y que sean equivalentes. Represntalos:
Qu conclusiones puedes sacar?
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Con cinco cubos, puedes construir figuras con igual superficie y que no sean equivalentes? Represntalas.
Compara esta actividad y la anterior, y saca conclusiones.
Actividad 4. Calcula el volumen y el rea de todas las piezas del cubo SOMA. Recuerda que sus piezas son: 192A U L A
1
2
3
4
D E
5
6
7
C U A D E R N O S
Completa el siguiente cuadro: rea (u2) 1 2 3 4 5 6 7 u2 Volumen (u3) u3
Unidades didcticas
Teniendo en cuenta el cuadro anterior, contesta las siguientes cuestiones: Cules tienen igual rea?................................................................................................................................ ...............................................................
Cules tienen el mismo volumen?................................................................................................................................ ...............................................................
Qu has observado?................................................................................................................................ ...............................................................
Actividad 5. Utiliza tres piezas del SOMA (distintas de la pieza 1) y construye tres cuerpos diferentes. Represntalos en el papel punteado. Qu podras decir de los volmenes de los tres cuerpos?................................................................................................................................ ...............................................................
193A U L A C U A D E R N O S D E
................................................................................................................................ ...............................................................
Qu podras decir de sus reas?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Variacin del volumen de slidos de igual rea
Actividad 1. Coge un folio y construye dos ortoedros, dividindolo en cuatro partes horizontalmente y verticalmente. Tendran la misma superficie lateral? Y el mismo volumen?...................................................................................................................
................................................................................................................................ .................
Actividad 2. Construye los dos ortoedros de la actividad anterior en cartulina. Ponles una base. Comprueba si sus volmenes son iguales o no. Para esto puedes utilizar tierra, arena... 194A U L A
Actividad 3. Construye con tres folios (o trozos de cartulina) del mismo tamao un prisma triangular, un ortoedro y un prisma pentagonal, dividindolo en 3, 4 y 5 partes iguales. Tendran la misma superficie lateral? Y el mismo volumen?...................................................................................................................
D E
................................................................................................................................ .................
C U A D E R N O S
Observa la figura:
Unidades didcticas
Actividad 4. Constryelos ahora ponindoles una base. Comprueba tu respuesta utilizando tierra, arena... Cundo podras obtener un volumen mximo? Raznalo................................................................................................................................. ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Volumen y rea del cubo. Variacin del volumen a medida que vara el lado Actividad 5. Observa las siguientes figuras:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
195A U L A
Cul es la medida de la superficie total de cada uno de esto cubos? Rellena el cuadro siguiente:
Figura 1 Superficie total
Figura 2
Figura 3
Desarrllalos ahora sobre papel centimetrado y comprueba tu respuesta.
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 6. Busquemos ahora una forma sencilla para calcular el rea de la superficie de los cubos anteriores. Para ello, rellena el siguiente cuadro: Medida de la arista Figura 1 Figura 2 Figura 3 Puedes escribir alguna frmula que te permita calcular siempre el rea total de cualquier cubo? ATcubo =......................................................................
rea de cada cara
rea total del cubo
Si consideramos ahora que al cubo le quitamos las tapas, cul sera el rea lateral de los cubos de la actividad anterior? Busca una frmula para cualquier cubo.
196A U L A
Actividad 7. Calcula el rea total y lateral de cada uno de los siguientes cubos:
C U A D E R N O S
D E
2 cm
4 cm
Unidades didcticas
Actividad 8. Se quiere construir en cartulina un cubo de 8 cm de arista. Qu cantidad de cartulina necesitas? Aydate de un dibujo.
Actividad 9. Observa los siguientes cubos:
1 cm
2 cm
3 cm
Copia y completa la siguiente tabla: Arista del cubo Nmero de cm3 Si se duplica la arista de un cubo, se duplica el volumen? Raznalo. Y si se triplica la arista? Podras obtener una frmula simple para calcular el volumen de cualquier cubo? Vcubo =........................................................................
197A U L A
Actividad 10. Podras encontrar alguna relacin entre el volumen de un cubo y el de un ortoedro?
c
Vortoedro = a x b x c a cubo
Vcubo =
............................................................
b a ortoedro
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 11. Calcula el volumen de los siguientes slidos:
2 cm
4 cm
Actividad 12. Rellena el cuadro siguiente observando la figura: 198A U L A
3 cm 2 cm 1 cm
C U A D E R N O S
D E
Lado 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm...................
rea cm2
a cm Represntalo en papel milimetrado con bolgrafo azul.
Unidades didcticas
Actividad 13. Rellena el cuadro siguiente observando la figura:
1 cm
2 cm
3 cm
Lado 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm
rea cm2
199...................
a cm
Represntalo en el mismo papel milimetrado que usaste en la actividad anterior, pero con bolgrafo rojo. Qu puedes observar?................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
D E
A U L A
La Medida en la Educacin Primaria
Clculo de volmenes y reas: prismas y pirmides
rea y volumen del prisma Actividad 1. Para calcular el volumen de los siguientes prismas (comprueba que son prismas), podemos hacer algo parecido?
a
b
c
Rellena el siguiente cuadro: 200A U L A
Figura
Cajas por capa
Nmero de capas
Nmero total de capas
a b c
C U A D E R N O S
D E
Actividad 2. Observa ahora cmo se puede calcular el volumen del prisma. El rea de la seccin es 7 cm2 Cada banda vertical contiene 7 cm3 (cubos de 1 cm)
1 cm 4 cm 4 cm
Unidades didcticas
El prisma tiene 4 cm de largo
Por tanto, el volumen del prisma ser 7 x 4 = 28 cm3
4 cm 7 cm2
4 cm
Actividad 3. Calcula el volumen de los siguientes prismas:
a
b
c
d
e
201A U L A
f
g
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 4. Las siguientes figuras son tambin prismas (regulares). Calcula su volumen: 4 cm2 7 cm2 6 cm2
15 cm 8 cm 9 cm
Prisma Hexagonal Pentagonal Triangular
Volumen
202A U L A
Actividad 5. Observa los siguientes prismas regulares desarrollados: Prisma hexagonal 3 cm
D E
Prisma pentagonal 7 cm 7 cm 4 cm 3.5 cm 4 cm Ortoedro
C U A D E R N O S
6 cm
Unidades didcticas
Completa la siguiente tabla:
rea lateral Prisma hexagonal Prisma pentagonal Ortoedro
rea total
Actividad 6. Vamos ahora a obtener una frmula para calcular el rea total y lateral de un prisma regular recto. Para ello completa la siguiente tabla.
Lado de la base Prisma hexagonal Prisma pentagonal Ortoedro
Apotema
rea de la base
Altura
rea lateral
rea total
203A U L A
Intenta escribir una frmula para el rea lateral: Alateral = Atotal =..............................
x
...................................
.........................................................................
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
rea y volumen de la pirmide Actividad 1. Se trata de construir una pirmide con todas las aristas iguales. Sigue los pasos que aparecen dibujados:
1
2
3
4
204A U L A
C U A D E R N O S
D E
5
Pligala y pgala por las solapas.
Unidades didcticas
Actividad 2. Un desarrollo distinto de la misma pirmide sera ste: 7 cm 7 cm 7 cm
Sigue los pasos 1, 2 y 3 para construirla: 1 3
2 205A U L A C U A D E R N O S D E
Constryela. Si unes las dos bases de las dos pirmides, qu slido obtienes?................................................................................................................................ ...............................................................
Escribe lo que sepas de l................................................................................................................................. ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Indica cules de estas figuras corresponden a desarrollos de pirmides. Qu conclusiones puedes sacar?
b a
206A U L A
c
d
C U A D E R N O S
D E
e
f
Comprubalo ahora recortando y pegando.
Unidades didcticas
Actividad 4. Dibuja en cartulina las siguientes figuras, recrtalas y constryelas:
12 cm 10 cm
12 cm 10 cm
12 cm 12 cm 207A U L A C U A D E R N O S D E
5 cm 5 cm
Rellena con arroz la pirmide de base hexagonal, y vierte su contenido, tantas veces como sea necesario, en el prisma de igual base. Haz lo mismo con el prisma y la pirmide cuadrangular. Qu observas?................................................................................................................................ ...............................................................
Escribe una frmula que relacione el volumen de estos slidos: Vpiramide =..........................
x
...................................
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 5. Con tres compaeros construye un juego de seis pirmides en cartulina, utilizando el siguiente modelo:
6 cm
Dibuja en un folio el desarrollo de un cubo de 6 cm de arista: 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 208A U L A
6 cm
6 cm
D E
Sobre cada cuadrado pega las bases de las seis pirmides construidas en la actividad anterior, y pligalas formando un cubo (los vrtices de las pirmides hacia el interior). Qu relacin hay entre el volumen de la pirmide y el volumen del cubo?................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
................................................................................................................................ ...............................................................
Si al lado del cubo lo llamas a, podras obtener el volumen de la pirmide dependiendo de a? Escribe tus observaciones................................................................................................................................. ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
................................................................................................................................ ...............................................................
Unidades didcticas
Actividad 6. Considera la pirmide desarrollada de la siguiente figura:
12 cm 10 cm
12 cm
Calcula el rea lateral y el rea total: Alateral = Atotal =......................................................................
.........................................................................
Actividad 7. Observa la siguiente figura:
209A U L A C U A D E R N O S D E
13 cm
5 cm
Calcula el rea lateral y el rea total: Alateral = Atotal =......................................................................
.........................................................................
Busca una frmula general para calcular el rea lateral y total de la pirmide. Alateral = Atotal =......................................................................
.........................................................................
La Medida en la Educacin Primaria
Clculo de volmenes y reas de cuerpos de revolucin: cilindro y conoActividad 1. Recorta un rectngulo de cartulina y pgalo al lpiz como en el dibujo:
Hazlo girar sostenindolo por la punta. Imagina la figura que se forma. Dibjala.
Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste................................................................................................................................. ...............................................................
Los objetos anteriores que tienen forma cilndrica son CILINDROS. Qu forma tiene las bases de los cilindros? Cuntas bases tiene un cilindro? 210A U L A........................................................................................................
............................................................................................................................
Actividad 2. Toma tu escuadra y sostenla de tal forma que slo tenga un cateto en contacto con la mesa. Hazla girar lentamente sostenindola por el vrtice superior.
D E
C U A D E R N O S
Imagina que figura forma y dibjala.
Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste................................................................................................................................. ..............
Los objetos que tienen forma cnica son CONOS. Tomando como eje la hipotenusa, haz girar la escuadra, qu observas?................................................................................................................................ ...............................................................
Dibuja la figura que se engendra.
Unidades didcticas
Actividad 3. Pega el semicrculo a un lpiz como indica el dibujo:
Colcalo sobre una mesa y hazlo girar. Qu figura se forma?
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El lpiz atraviesa a la esfera por su centro, y representa el eje de sta. Nombra objetos de forma esfrica................................................................................................................................. ...............................................................
Actividad 4. Construye dos crculos iguales y recrtalos. Corta elsticos de la misma medida. Perfora los bordes de los crculos, y usando los elsticos construye este cuerpo: 211A U L A
Qu cuerpo se ha formado? Su altura es
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...................................................................
Su generatriz es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qu relacin existe entre la altura y la generatriz de un cilindro?................................................................................................................................ ...............................................................
Ocurre lo mismo con el cono? Por qu?................................................................................................................................ ...............................................................
C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 5. Con la figura que construiste en la actividad anterior, rota ahora el crculo de arriba manteniendo fija la base. Qu figura obtienes?
Las rectas que representan los elsticos (en la actividad 2, la hipotenusa de la escuadra) se llaman generatrices. En la figura, cul es la altura del cono inferior y la del cono superior? Sern iguales? 212A U L A...................................................
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Actividad 6. En alguna romera habrs visto una danza donde los danzarines colocados en crculo sostienen cintas de colores que estn atadas a un eje central. 1. En el momento de comenzar, qu objeto geomtrico representan los danzarines y sus cintas?................................................................................................................................ ...............................................................
D E
C U A D E R N O S
2. El palo central ser la 3. Cada cinta sera la
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del cono. del cono.
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4. Los pies de los danzarines representan puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la base del cono. 5. Qu le sucede al cono a medida que las cintas de los danzarines se lan al palo?............................................................................................................................................
6. Podras utilizar el material de las actividades anteriores para visualizar esto?................................................................................................................................ ....
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Unidades didcticas
rea y volumen del cilindro Actividad 1. Observa en la figura siguiente, como un cilindro es como un prisma regular de base un polgono de infinitos lados. Cmo se te ocurrira calcular su volumen?................................................................................................................................ ...............................................................
Repasa las actividades donde se calculaba el volumen de prismas. Hay alguna forma ms sencilla?................................................................................................................................ ...............................................................
213 Actividad 2. Recorta distintos rectngulos de cartulina y construye diversos cilindros.A U L A C U A D E R N O S D E
Cmo se te ocurrira obtener la superficie lateral del cilindro?................................................................................................................................ ...............................................................
Y la superficie total?
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Si llamas r al radio del crculo de la base y h a la altura, escribe las frmulas para calcular el rea lateral y total del cilindro: Alateral = Atotal =......................................................................
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La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 3. Recorta dos rectngulos iguales de cartulina y construye dos cilindros como se indica en la siguiente figura:
b b a a
rea y volumen del cono Actividad 1. Observa la siguiente figura:
214A U L A
Qu analoga encuentras entre las pirmides y los conos?................................................................................................................................ ...............................................................
D E
Y entre los cilindros y los conos?C U A D E R N O S................................................................................................................................ ...............................................................
Teniendo en cuenta esto, escribe una frmula para calcular el volumen del cono, conociendo el radio de la base y la altura. Vcono =........................................................................
Unidades didcticas
Actividad 2. Dibuja en cartulina las figuras del esquema y construye el cilindro y el cono que aparecen:
5 cm
12 cm 31.4 cm 12 cm 5 cm 138.4
Rellena el cono con arroz tantas veces como necesites para completar el cilindro. Qu relacin encuentras entre sus volmenes?................................................................................................................................ ...............................................................
215A U L A
Vcilindro = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vcono =
......................................
Actividad 3. Si desmontamos el cono utilizado en la ficha anterior, qu figura plana se obtiene? Cmo podras calcular la superficie lateral del cono?................................................................................................................................ ...............................................................
Y la total?
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C U A D E R N O S
D E
La Medida en la Educacin Primaria
Actividad 4. Observa ahora que un sector puede descomponerse en muchos sectores ms pequeos, todos iguales, de forma que el rea de uno de estos sectores ser como el rea del tringulo que tenga por base la longitud del sector y por altura el radio.
Considera el cono construido: cul es la longitud de la base del sector?................................................................................................................................ ...............................................................
Cul es la longitud del radio?................................................................................................................................ ...............................................................
216A U L A
Escribe una frmula para calcular el rea del cono: Alateral =........................................
Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D E
Actividad 5. Recorta la cuarta parte de un crculo de 8 cm de radio y forma un cono (sin base). Calcula el radio y la altura.
C U A D E R N O S
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