INFORME
LABORATORIO 3
Edwin Callejas Pinto
10 de diciembre de 2015
LABORATORIO 3
1. Diagonalice la matriz A100, donde:
A =
−1 −2 3 20 1 0 1−2 −2 4 20 0 0 2
Solucion.- Para obtener se ha aplicado la propiedad; A = V D V−1, donde V es la matrizmodal, que contiene los autovectores de la matriz A y D es la matriz diagonal. Luego deaplicar el comando, entonces:
clc
clear all
A=[-1,-2,3,2;0,1,0,1;-2,-2,4,2;0,0,0,2];
[V,D]=eig(sym(A))
D100=D.^100
A100=V*D100*inv(V)
>>
A =
-1 -2 3 2
0 1 0 1
-2 -2 4 2
0 0 0 2
V =
[ -1, 3/2, 1, 0]
[ 1, 0, 0, 1]
[ 0, 1, 1, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
D =
[ 1, 0, 0, 0]
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 2, 0]
[ 0, 0, 0, 2]
D100 =
[ 1, 0, 0, 0]
1
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 1267650600228229401496703205376, 0]
[ 0, 0, 0, 1267650600228229401496703205376]
A100 =
[ -2535301200456458802993406410749, -2535301200456458802993406410750, 3802951800684688204490109616125,
2535301200456458802993406410750]
[ 0, 1, 0,
1267650600228229401496703205375]
[ -2535301200456458802993406410750, -2535301200456458802993406410750, 3802951800684688204490109616126,
2535301200456458802993406410750]
[ 0, 0, 0,
1267650600228229401496703205376]
2. Encontrar una formula mas simple de An, donde:
A =
(6 −26 −1
)Solucion.- Para encontrar aplicamos la propiedad An = V DnV−1
clc
clear all
A=[6,-2;6,-1]
[V,D]=eig(sym(A))
syms n
D1=sym(D.^n)
An=V*D1*inv(V)
>>
A =
6 -2
6 -1
V =
[ 1/2, 2/3]
[ 1, 1]
D =
[ 2, 0]
[ 0, 3]
D1 =
[ 2^n, 0^n]
[ 0^n, 3^n]
An =
[ 4*3^n - 3*2^n - 0^n, (7*0^n)/6 + 2*2^n - 2*3^n]
[ 6*3^n - 6*2^n, 0^n + 4*2^n - 3*3^n]
es decir
An =
4 · 2n − 3 · 3n 2 · 3n − 2 · 2n
6 · 2n − 6 · 3n 4 · 3n − 3 · 2n
2
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
3. Estudiar si es diagonalizable la matriz
A =
(cosα −senαsenα cosα
)Solucion.- Para encontrar aplicamos la propiedad An = V DnV−1
clc
clear all
syms a
A=sym(’[cos(a),-sen(a);sen(a),cos(a)]’)
Determinante = det(A)
[V,D]=eig(sym(A))
>>
A =
[ cos(a), -sen(a)]
[ sen(a), cos(a)]
Determinante =
cos(a)^2 + sen(a)^2
V =
[ - cos(a)/sen(a) + (cos(a) - sen(a)*i)/sen(a), - cos(a)/sen(a) + (cos(a) + sen(a)*i)/sen(a)]
[ 1, 1]
D =
[ cos(a) - sen(a)*i, 0]
[ 0, cos(a) + sen(a)*i]
se puede observar que el determinante es igual a 1; la matriz en cuestion corresponde auna transformacion lineal que se utiliza para rotar objetos.
4. Se estudian los mercados de aceite de oliva y de aceite de semillas de un determinadopaıs. Estos dos mercados estaban en equilibrio, pero una gran campana publicitaria sobrelos beneficos para la salud del consumo del aceite de oliva ha generado considerablesdistorsiones en los mismos. La distorsion en cualquiera de los mercados en el periodot + 1 es una funcion de la distorsion de los dos mercados en el periodo anterior, y masconcretamente segun las relaciones:
xt+1 = 0,4xt + 0,5yt
yt+1 = 0,2xt + 0,1yt
Siendo x e y las distorsiones en los mercados de aceite de oliva y de aceite de semillasrespectivamente. ¿Desapareceran estas distorsiones a largo plazo?
3
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Solucion.- Es posible escribir en forma matricial de la forma(xt+1yt+1
)=
(0,4 0,50,2 0,1
) (xtyt
)→ Zt+1 = A Zt
ahora resolviendo la ecuacion de recurrencia
t = 0 → Z1 = AZ0
t = 1 → Z2 = AZ1 = AAZ0 = A2Z0
t = 2 → Z3 = AZ2 = A3Z0
· · · → · · · · · ·· · · → · · · · · ·
t = n → Zn+1 = An+1Z0
donde Z0 es la condicion de partida del problema, es decir x0 y y0; por lo que en general elproblema consiste en determinar el valor de An, para ello se realiza el siguiente programa,puesto que los resultados muestran en forma analıtica, es necesario evaluar en el lımite,para distintos valores, t = 0, t = 1, t = 10, t = 100 y finalmente t = ∞, tal como semuestra a continuacion:
clc
clear all
A = [0.4,0.5;0.2,0.1];
[V,D]=eig(A)
syms n
D1=D.^n
An=V*D1*inv(V)
A0=limit(An,n,0)
A1=limit(An,n,1)
A10=limit(An,n,10)
A100=limit(An,n,100)
Ainf=limit(An,n,inf)
>>
V =
0.9285 -0.7071
0.3714 0.7071
D =
0.6000 0
0 -0.1000
D1 =
[ (3/5)^n, 0^n]
[ 0^n, (-1/10)^n]
4
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An =
[ (2*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 - (5*0^n*29^(1/2))/29))/7 - (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 - (5*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7, - (5*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 - (5*0^n*29^(1/2))/29))/7 - (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 - (5*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7]
[ (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 + (2*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7 - (2*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*29^(1/2))/29))/7, (5*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*29^(1/2))/29))/7 + (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 + (2*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7]
A0 =
[ 1, 0]
[ 0, 1]
A1 =
[ 2/5, 1/2]
[ 1/5, 1/10]
A10 =
[ 21595063/5000000000, 345521/80000000]
[ 345521/200000000, 17276051/10000000000]
A100 =
[ 233328079821453895034532238270734935906122753740341025551097130846248979099063/5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 746649855428652464110503162466351794899592811969091281763510818707996733117/16000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000]
[ 746649855428652464110503162466351794899592811969091281763510818707996733117/40000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 186662463857163116027625790616587948724898202992272820440877704676999183279251/10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000]
Ainf =
[ 0, 0]
[ 0, 0]
como puede observarse del resultado de las evaluaciones, la matriz An → 0 cuandon→ ∞, por lo que se puede deducir de ello que la distorsion desaparecera con el tiempo.
5. Hallar la k-esima potencia de la siguiente matriz
J =
α 1 0 0 · · · 0 00 α 1 0 · · · 0 00 0 α 1 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · α 10 0 0 0 · · · 0 α
(Sug.: Escribir la matriz como J = α I + A)
Solucion.- Escribiendo la matriz de la forma J = α I + A:
J = α I + A =
α 0 0 0 · · · 0 00 α 0 0 · · · 0 00 0 α 0 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · α 00 0 0 0 · · · 0 α
+
0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 0
5
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
ahora la matriz A es Nilpotente, es decir Ar = 0 para cierto valor de r, se observa que
A =
0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 0
; A2 =
0 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0
; · · ·
An−1 =
0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0
; An =
0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0...
......
............
......
0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0
es decir que, cada vez que se eleva a una potencia, los uno se recorren y finalmente An = 0,siendo n el tamano d ela matriz A. Ahora entonces, para obtener Jn se desarrolla:
Jn = (α I + A)n =n
∑k=0
(nk
)(α I)n−k Ak
Jn =n
∑k=0
(nk
)(α)n−k(I)n−k Ak =
n
∑k=0
(nk
)(α)n−k Ak
Jn =
(n0
)(α)n A0 +
(n1
)(α)n−1 A1 + · · · · · ·+
(n
n− 1
)(α)1 An−1 +
(nn
)An
Jn =
(n0
)(α)n I +
(n1
)(α)n−1 A1 + · · · · · ·+
(n
n− 1
)(α)1 An−1 +
(nn
)An
Jn =
(n0
)Dn +
(n1
)(α)n−1 A1 + · · · · · ·+
(n
n− 1
)(α)1 An−1 +
(nn
)An
de la ultima sumatoria se puede concluir que cada componente de la suma corresponde auna diagonal diferente a partir de la principal, entonces:
Jn =
αn (n1)α
n−1 (n2)α
n−2 (n3)α
n−3 · · · ( nn−2)α
2 ( nn−1)α
0 αn (n1)α
n−1 (n2)α
n−2 · · · ( nn−3)α
3 ( nn−2)α
2
0 0 αn (n1)α
n−1 · · · 0 0
......
......
.........
......
0 0 0 0 · · · αn (n1)α
n−1
0 0 0 0 · · · 0 αn
6
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
en esta expresion se debe asumir que n ≥ 0, por lo que para cualquier valor por ejemploαn−2 ∃∀n ≥ 2, caso contrario asume el valor de 0, un caso particular sera con una matrizde tamano 4, ahora si se reemplaza valores sera:
J =
α 1 0 00 α 1 00 0 α 10 0 0 α
; J2 =
α2 2α 1 00 α2 2α 10 0 α2 2α0 0 0 α2
; J3 =
α3 3α2 3α 10 α3 3α 3α0 0 α3 3α2
0 0 0 α3
este resultado implementado en MATLAB se muestra a continuacion, ademas se ha desa-rrollado hasta J5:
clc
clear all
syms a
J=[a,1,0,0;0,a,1,0;0,0,a,1;0,0,0,a]
[V,D]=eig(J)
A = J-a*eye(4)
J2=J^2
J3=J^3
J4=J^4
J5=J^5
>>
J =
[ a, 1, 0, 0]
[ 0, a, 1, 0]
[ 0, 0, a, 1]
[ 0, 0, 0, a]
V =
1
0
0
0
D =
[ a, 0, 0, 0]
[ 0, a, 0, 0]
[ 0, 0, a, 0]
[ 0, 0, 0, a]
7
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
A =
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 1, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
[ 0, 0, 0, 0]
J2 =
[ a^2, 2*a, 1, 0]
[ 0, a^2, 2*a, 1]
[ 0, 0, a^2, 2*a]
[ 0, 0, 0, a^2]
J3 =
[ a^3, 3*a^2, 3*a, 1]
[ 0, a^3, 3*a^2, 3*a]
[ 0, 0, a^3, 3*a^2]
[ 0, 0, 0, a^3]
J4 =
[ a^4, 4*a^3, 6*a^2, 4*a]
[ 0, a^4, 4*a^3, 6*a^2]
[ 0, 0, a^4, 4*a^3]
[ 0, 0, 0, a^4]
J5 =
[ a^5, 5*a^4, 10*a^3, 10*a^2]
[ 0, a^5, 5*a^4, 10*a^3]
[ 0, 0, a^5, 5*a^4]
[ 0, 0, 0, a^5]
6. La k-esima generacion de una poblacion animal consiste en Hk hembras y Mk machos. Lageneracion siguiente depende de la actual de acuerdo con el sistema:
Hk+1 = 0,8 Hk + 0,7 Mk
Mk+1 = 0,2 Hk + 0,3 Mk
Si al principio habıa 300 hembras y 100 machos. ¿Cual serıa la poblacion a largo plazo?.Ademas presente el grafico de los pares (Hk, Mk) sobre el plano euclidiano R2.
8
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
Solucion.- (Hk+1Mk+1
)=
(0,8 0,70,2 0,3
) (HkMk
)→ Yk+1 = A Yk
ahora resolviendo la ecuacion de recurrencia
k = 0 → Y1 = AY0
k = 1 → Y2 = AY1 = AAY0 = A2Y0
k = 2 → Y3 = AY2 = A3Y0
· · · → · · · · · ·· · · → · · · · · ·
k = n → Yn+1 = An+1Y0
es decir para analizar la situacion a largo plazo se debe analizar el comportamiento de lamatriz An, para lo cual se puede aplicar An = V DnV−1, entonces:
clc
clear all
A = [0.8,0.7;0.2,0.3]
Y0=[300;100]
[V,D]=eig(A)
syms n
D1=sym(D.^n)
An=V*D1*inv(V)
Yn=An*Y0
for k=0:10
k
Y=limit(Yn,n,k)
Z(1,k+1)=Y(1);
Z(2,k+1)=Y(2);
end
Yinf=limit(Yn,n,inf)
Z
Z=[Z,Yinf];
subplot(3,1,1), stem(Z(1,:)), grid
title(’Poblacion de Hembras’)
ylim([295 315])
subplot(3,1,2), stem(Z(2,:)), grid
title(’Poblacion de Machos’)
ylim([85 105])
subplot(3,1,3), plot(Z(1,:),Z(2,:)), grid
title(’Poblacion Machos vs Hembras’)
xlabel(’Poblacion Hembras’)
ylabel(’Poblacion Machos’)
>>
9
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A =
0.8000 0.7000
0.2000 0.3000
Y0 =
300
100
V =
0.9615 -0.7071
0.2747 0.7071
D =
1.0000 0
0 0.1000
D1 =
[ 1, 0^n]
[ 0^n, (1/10)^n]
An =
[ (2*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 - (7*0^n*53^(1/2))/53))/9 + (53^(1/2)*((7*53^(1/2))/53 - (0^n*2^(1/2))/2))/9, (53^(1/2)*((7*53^(1/2))/53 - (0^n*2^(1/2))/2))/9 - (7*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 - (7*0^n*53^(1/2))/53))/9]
[ (53^(1/2)*((2*53^(1/2))/53 + (0^n*2^(1/2))/2))/9 - (2*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*53^(1/2))/53))/9, (7*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*53^(1/2))/53))/9 + (53^(1/2)*((2*53^(1/2))/53 + (0^n*2^(1/2))/2))/9]
Yn =
(400*53^(1/2)*((7*53^(1/2))/53 - (0^n*2^(1/2))/2))/9 - (100*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 - (7*0^n*53^(1/2))/53))/9
(100*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*53^(1/2))/53))/9 + (400*53^(1/2)*((2*53^(1/2))/53 + (0^n*2^(1/2))/2))/9
k =
0
Y =
300
100
k =
1
Y =
310
90
k =
2
Y =
311
10
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
89
k =
3
Y =
3111/10
889/10
k =
4
Y =
31111/100
8889/100
k =
5
Y =
311111/1000
88889/1000
k =
6
Y =
3111111/10000
888889/10000
k =
7
Y =
31111111/100000
8888889/100000
k =
8
Y =
311111111/1000000
88888889/1000000
k =
9
Y =
11
Lab 3 Edwin Callejas Pinto
3111111111/10000000
888888889/10000000
k =
10
Y =
31111111111/100000000
8888888889/100000000
Yinf =
2800/9
800/9
Como se observa de los resultados la poblacion de Machos se estabiliza M∞ = 8009 =
88,88 ≈ 89 y la de hembras en H∞ = 28009 = 311,11 ≈ 311. Los graficos pertinentes son:
0 2 4 6 8 10 12295
300
305
310
315Población de Hembras
0 2 4 6 8 10 1285
90
95
100
105Población de Machos
300 302 304 306 308 310 31285
90
95
100Población Machos vs Hembras
Población Hembras
Pob
laci
ón M
acho
s
12